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摘要本文在方法B網(wǎng)格生成的基礎(chǔ)之上，提出了比一般格式更加有效、適應(yīng)性強的離散格式。作者利用此格式分別對通風(fēng)房間、帶移動頂蓋的方型空隙、外掠后臺階的流動進行了數(shù)值計算，與參考文獻提供的值比較，結(jié)果基本合理。

關(guān)鍵詞方法B離散格式數(shù)值模擬有效

1引言

在對流體流動、傳熱及傳質(zhì)問題進行數(shù)值模擬時，首先要進行區(qū)域離散化。視節(jié)點在子區(qū)域中位置的不同，可把區(qū)域離散化方法分為兩類：方法A（外節(jié)點法）及方法B（內(nèi)節(jié)點法）。方法A是指先確定節(jié)點的坐標(biāo)再計算相應(yīng)的界面，使節(jié)點位于子區(qū)域角頂?shù)姆椒?；方法B是指規(guī)定界面位置而后確定節(jié)點，使節(jié)點位于子區(qū)域中心的方法。

當(dāng)網(wǎng)格不均勻時，方法B中節(jié)點永遠位于控制容積的中心，這樣方法B中的節(jié)點更能代表控制容積，界面導(dǎo)數(shù)的計算精確度也要高。所求解的區(qū)域中物性發(fā)生階躍性的變化時，采用方法B時可以較方便地反發(fā)生階躍變化的面作為界面，從而可以避免在同一控制容積內(nèi)物性發(fā)生突變的情形，若采用方法A時實現(xiàn)這一點要困難的多。綜述之，一般通風(fēng)空調(diào)工程問題中采用方法B進行區(qū)域離散化。本文的出發(fā)點也基于此，希望通過常用的方法B離散網(wǎng)格建立有效的、強健的差分格式。

2對流-擴散方程式的離散及基于方法B的有效差分格式

對流換熱問題的數(shù)學(xué)描述包括質(zhì)量、動量及能量守恒三種方程式，可用統(tǒng)一張量形式可表示為：

（1）

上述方程的四項分別是不穩(wěn)態(tài)項，對流項，擴散項以及源項。據(jù)[1]，無論守恒方程式的何種離散或差分格式，必須滿足四項基本法則，作者提出的守恒型離散格式亦必須滿足這四項原則?，F(xiàn)給出一個通用的離散方程式：

（2）

用數(shù)值方法求解上述方程（尤其是滿足動量守恒的N-S方程）的主要困難來自非線性的一階導(dǎo)數(shù)項及壓力梯度項的不妥離散方式。到目前，為解決一些相關(guān)問題已提出了許多的差分離散方案：指數(shù)、混合、冪函數(shù)（乘方格式）、QUICK格式、SHYBRID二階混合等方案。這些方案，在具體應(yīng)用中，各有優(yōu)劣。作者在暖通空調(diào)工程數(shù)值實驗中，基于B方法生成的交錯網(wǎng)格推導(dǎo)出一種有效差分格式，特闡述如下：

控制方程組（1）中包含有兩類變量：矢量與標(biāo)量。{U，V，W}為矢量，擴散系數(shù)、溫度、壓力、紊流脈動能k、紊流耗散率ε等為標(biāo)量。這樣交錯網(wǎng)格的數(shù)據(jù)存儲可表述為：標(biāo)量數(shù)據(jù)皆存儲在節(jié)點位置{P、E、W、N、S等}；而矢量數(shù)據(jù)皆存儲在截面位置{e、w、n、s等}；圖1中陰影區(qū)為標(biāo)量控制容積區(qū)，標(biāo)量分布均勻，由節(jié)點P等代表。矢量亦均勻分布于各截面，用e等代表。下面皆以二維穩(wěn)態(tài)情形為例進行分析。

2．1標(biāo)量場

首先分析標(biāo)量場，以φ代表通用標(biāo)量，由（2）其離散方程的一般形式可寫為：

（3）

據(jù)冪函數(shù)方案AI（I代表e，w，n，s等界面）的取法，上式各系數(shù)可表述為：

（4）

（4）式中，Peclet數(shù)PI=FI/DI，F(xiàn)代表單位截面上對流流量，而D代表單元內(nèi)物理量的擴散。因為物性參數(shù)（標(biāo)量）亦儲存在各個節(jié)點上，據(jù)前述的四項基本法則，須滿足界面上連續(xù)性的要求，故可用調(diào)和平均來計算界面參數(shù)。以為例可由下式求得：

（5）

其他的系數(shù)同理可求。

2．2矢量場

二維矢量場（即U、V兩個速度矢量的分布），而速度的控制容積與標(biāo)量的不同，其示意圖如圖2所示。比較圖1與圖2可以看出：矢量控制容積只是在標(biāo)量控制容積的基礎(chǔ)上沿特定方向發(fā)生錯移，這也是交錯網(wǎng)格的特點之一。以二維穩(wěn)態(tài)離散U方程為例，由N-S方程對上圖的控制容積積分可以導(dǎo)出[3]：

[注1]：圖2中加"（）"符號的節(jié)點一致；

[注1]：圖1及圖2中的分別等于將要用到的分別等于將要用到的。

同(3)所述，亦采用冪函數(shù)格式，上式中的系數(shù)可以按（4）表達之，僅需調(diào)整I（代表E、W、S、N等節(jié)點位置）。從圖2可見，Peclet數(shù)P=F/D的求解難在界面交點N、S等。界面效點N處流速VN須應(yīng)用加權(quán)平均計算，這樣，界面流量FN可表述為：

（6）

擴散系數(shù)（7）

式（7）中系數(shù)是標(biāo)量，而處為界面位置，不存儲標(biāo)量，則可通過周圍四個節(jié)點上值的面積加權(quán)求解（若三維情形，應(yīng)為體積加權(quán)），這樣較容易滿足上述的四項基本法則。所以：

（8）

聯(lián)立求解，則DN的計算可進一步簡化。同理，可以導(dǎo)出DS的表達式：

（9）

（10）

至此，已得到整個U方程系數(shù)的求解方法，對于其他矢量方程的系數(shù)，同理可求。

2．3新格式與各種差分格式的特性比較及分析

對于一維穩(wěn)態(tài)無源項的對流擴散問題，其守恒方程為：

（11）

假定邊界條件為：

通過計算中間點x=0.5處Φ值，比較了理論解、一階上風(fēng)格式、中心差分格式及本文新的格式：中心差分格式隨著Pe數(shù)的增加而產(chǎn)生發(fā)散現(xiàn)象；一階上風(fēng)格式和本文提出的差分格式則與理論解有較為接近的值。特別當(dāng)Pe數(shù)增大時，本文的差分格式的更接近理論解。

3算例應(yīng)用、比較及分析

3．1單出入口二維通風(fēng)房間

室內(nèi)流體流態(tài)為穩(wěn)態(tài)紊流，采用LRN（Low-Reynolds-Number）模型計算。壓力、速度通過SIMPLEC算法耦合求解。入口邊界參數(shù)給定，出口邊界變量的法向梯度為零。以入口速度U為基準速度，以入口尺寸L（1m）為基準尺寸?；贐方法的網(wǎng)格生成為X×Y方向網(wǎng)格數(shù)為120×100。之后，作者重新布置網(wǎng)格（80×60），取某垂直截面段（X/L=15）并比較了兩者的水平速度分布。如圖5可見，兩者幾乎無差別，這可以說明本文格式應(yīng)用于工程實際時，對非均勻網(wǎng)格具有較好的適應(yīng)性。

對兩套網(wǎng)格系統(tǒng)計算過程的收斂史與差分格式未改進的情形進行比較（圖6），發(fā)現(xiàn)計算精度有較明顯的提高，可能的發(fā)散趨勢被抑制。

3．2帶移動頂蓋的方形空腔流

流體流態(tài)為穩(wěn)態(tài)層流。以頂蓋移動速度U為基準速度，以空腔進深D為基準尺寸。基于B方法的風(fēng)格生成為X×Y方向網(wǎng)格數(shù)為20×20。固體壁面為無滑移條件，因為是層流運動，故動量方程及連續(xù)性方程中的流速邊界都是如此。

取截面（Y/D=0.5）上的速度矢量與文獻[9]比較，由圖7及圖8可發(fā)現(xiàn)兩者相差甚微，再次證明本文改進格式的有效性。筆者在計算過程中還比較了一般程度消耗CPU時間一本文所花的時間相差不大，可能是因為物理模型規(guī)模較小所致。但是對于規(guī)模較大、風(fēng)格劃分不均勻的情形，本文的離散方程具有不可替代的優(yōu)勢。

3．3外掠后臺階的流動

如圖4所示，H為后臺階高度，并作為基準尺寸：入口及出口尺寸如圖4所示；未流速度U取為1m/s，并作為基準速度。來流溫度T分布均勻，作為基準溫度；壁面為均勻熱流條件?；贐方法的網(wǎng)格生成為X×Y方向網(wǎng)格數(shù)為60×50。

流體流態(tài)為穩(wěn)態(tài)二維紊流，服從Bousinesq假設(shè)。對此開口流場，出口處采用自由流速邊界條件，壓力修正方程界為Dirichlet條件。壁面附近采用壁面函數(shù)法加以修正。中心軸線上各個變量采用第二類邊界條件。

圖9是截面（X/H=10）上的流速分布，與文獻[4]結(jié)果相吻合。另外，作者還與文獻[5]比較了不同截面上Nu/NuH數(shù)，如圖10所示，兩者較接近。

4結(jié)論及展望

本文提出的差分格式從本質(zhì)上將講是對冪函數(shù)格式的修正及改進，其中應(yīng)用了中心差分、調(diào)和平均等思想，從而達到提高計算精度、減少發(fā)散的目的。但從一些運算結(jié)果來看，格式并非十分理想，譬如對向后臺階流動（文中未列出），涉及對流換熱、壁面邊界等問題，結(jié)果與文獻[2]提供的數(shù)據(jù)有一定差距；盡管上述運算較原來的算法迭代次數(shù)有所減少，但計算時間并未縮短，并且計算機內(nèi)存容量要求變有提高，這些問題有待今后改進。

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