導語：如何才能寫好一篇高一函數(shù)的單調(diào)性，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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函數(shù)是高中數(shù)學最核心的概念，函數(shù)和方程思想是重要的思想方法。高中函數(shù)的性質(zhì)是指函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性，課程標準要求為：通過以學過的函數(shù)，特別是二次函數(shù)理解函數(shù)的單調(diào)性，最大（?。┲导皫缀我饬x，結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性。

一、數(shù)學的抽象性必須以具體為基礎(chǔ)

函數(shù)的性質(zhì)在教學過程中的安排：大綱版教材，高一上學期學習“函數(shù)”這一章節(jié)單獨學習函數(shù)的單調(diào)性，高一下學期學習“三角函數(shù)”這一章，借助正弦函數(shù)的性質(zhì)導出函數(shù)的奇偶性和周期性。在課標人教版高中數(shù)學教材中，高一上學期學習“集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)”這一章節(jié)學習函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，高一下學期學習“三角函數(shù)”這一章，借助正弦函數(shù)的性質(zhì)導出函數(shù)的周期性。

二、直觀化是從具體上升到抽象的輔助手段

數(shù)形結(jié)合使抽象的概念關(guān)系得以直觀化、形象化，有利于分析發(fā)現(xiàn)和理解概念，故講授函數(shù)性質(zhì)要充分利用函數(shù)圖象。在講授函數(shù)的單調(diào)性時，我們要充分利用已學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)，特別是二次函數(shù)的圖象來認識函數(shù)的單調(diào)性，使單調(diào)性得以直觀體現(xiàn)，并經(jīng)歷由圖形化理解、關(guān)系化理解再到離散化理解三個階段。

三、抽象性要以具體性為歸宿

從抽象的數(shù)學內(nèi)容進一步過渡到實踐，即過渡到更廣泛、更豐富的具體對象，是認識事物更關(guān)鍵、更本質(zhì)的階段。

四、從抽象到抽象是對學生抽象思維能力的檢驗

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函數(shù)的單調(diào)性是學生在了解函數(shù)概念后學習的函數(shù)的第一個性質(zhì)，是函數(shù)學習中第一個用數(shù)學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數(shù)其他性質(zhì)提供了方法依據(jù)．

對于函數(shù)單調(diào)性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）用準確的數(shù)學符號語言刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據(jù)以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點和難點．

二、教學目標的確定

根據(jù)本課教材的特點、教學大綱對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標．重視單調(diào)性概念的形成過程和對概念本質(zhì)的認識；強調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習慣的養(yǎng)成．

三、教學方法和教學手段的選擇

本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，采用教師啟發(fā)引導，學生探究學習的教學方法，通過創(chuàng)設(shè)情境，引導探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法．本節(jié)課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識．

四、教學過程的設(shè)計

為達到本節(jié)課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：

（1）在探索概念階段， 讓學生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的三次認識，使得學生對概念的認識不斷深入．

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關(guān)鍵詞：二次函數(shù)、單調(diào)性、最值

中圖分類號：G633.6

在初中教材中，對二次函數(shù)作了較詳細的研究，由于初中學生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內(nèi)容的學習多是機械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進入高中以后，尤其是高三復習階段，要對他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，對二次函數(shù)還需再深入學習。下面我把自己在多年的職高數(shù)學教學中對二次函數(shù)在高一數(shù)學中具體應(yīng)用做一個小結(jié)。

一、可以幫助學生進一步深入理解函數(shù)概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進入高中后在學習集合的基礎(chǔ)上又學習了映射，接著重新學習函數(shù)概念，主要是用映射觀點來闡明函數(shù)，這時就可以用學生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來加以更深認識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射 :AB，使得集合B中的元素 與集合A的元素X對應(yīng)，記為 這里 表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數(shù)的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

類型I：已知 ，求

這里不能把 理解為 時的函數(shù)值，只能理解為自變量為 的函數(shù)值。

類型Ⅱ：設(shè) ,求

這個問題理解為，已知對應(yīng)法則 下，定義域中的元素 的象是 ，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。

一般有兩種方法：

(1)把所給表達式表示成 的多項式。

，再用 代 得

(2)變量代換：它的適應(yīng)性強，對一般函數(shù)都可適用。

令 ，則 從而

二、進一步論證了二次函數(shù)的單調(diào)性與圖象。

在高中階階段學習單調(diào)性時，必須讓學生對二次函數(shù) 在區(qū)間 及 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎(chǔ)上，與此同時，進一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學生配以適當?shù)木毩?，使學生逐步自覺地利用圖象學次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。

類型I：函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，求：實數(shù) 的取值范圍

解：因為函數(shù) 的圖象的對稱軸為直線 ，且在區(qū)間 上單調(diào)遞減，所以

，即

類型Ⅱ：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。

這里要使學生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象。

三、巧妙求二次函數(shù)的最值

解決二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，核心是對函數(shù)圖象的對稱軸與給定區(qū)間的相對位置關(guān)系的討論，一般分為對稱軸在區(qū)間的左邊、中間、右邊三種情況。

1、 正向型

正向型指已知二次函數(shù)的解析式和定義域，求其最值。對稱軸與定義域的相對位置關(guān)系的討論是解決此類問題的關(guān)鍵，此類問題包括三種情形：軸定，區(qū)間定；軸定，區(qū)間變；軸變，區(qū)間定。

軸定，區(qū)間定

類型I：已知函數(shù) ，當 時，求最大值和最小值。

解：

當 時， ，則當 時， 取得最小值 ，當 時， 取得最大值 。

軸定，區(qū)間變

類型Ⅱ：設(shè)函數(shù) ， ，求函數(shù) 的最小值。

解： ， ， ，對稱軸為 。

當 ，即 時，函數(shù) 在區(qū)間 為減函數(shù)，所以最小值為

當 ，即 時，在對稱軸為 處取得最小值，最小值為

當 時，函數(shù) 在區(qū)間 為增函數(shù)，所以最小值為

綜上可知， ，

，

，

軸變，區(qū)間定

類型Ⅲ：求函數(shù) 在 上的最大值

解： 的對稱軸為

當 ，即 時， 在 上的最大值為

當 ，即 時， 在 上的最大值為

當 ，即 時， 在 上的最大值為

綜上可知， ，

，

，

2、 逆向型

逆向型指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)解析式或區(qū)間中的參數(shù)值。

已知函數(shù) 在區(qū)間 上有最大值 ，求實數(shù) 的值。

解：

當 時，函數(shù) 在區(qū)間 上的值為常數(shù) ，不符合題意，舍去

當 時，函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，最大值為 ，解得

當 時，函數(shù) 在區(qū)間 上是減函數(shù)，最大值為 ，解得

綜上可知， 的值為 或

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關(guān)鍵詞： 高考數(shù)學 概念教學 基本思路 單調(diào)性

筆者繼2011年高考閱卷后又有幸參加了江蘇省2015年數(shù)學高考閱卷，批閱的正好是19題.第（1）問是含參的三次函數(shù)單調(diào)性討論的基礎(chǔ)題，預測本問得分率應(yīng)該不低.而實際批改時情況卻很糟糕，最終此問均分不過四點幾分.主要問題有：（1）求完導后無思路;（2）不知道a對進行分類討論;（3）單調(diào)區(qū)間亂放并.針對本小題出現(xiàn)的問題，筆者進行了反思，并結(jié)合平時教學中的措施和體會，談?wù)勅绾螐睦斫飧拍詈驼莆栈舅悸穬蓚€方面讓學生不功虧于基礎(chǔ)題，以期拋磚引玉.

一、治療區(qū)間亂放并，理解概念是良藥

19題（1）問主要錯誤之一是單調(diào)區(qū)間亂放并.教師在平時教學中對此問題已是苦口婆心，然而盲點依然“逍遙法外”.是學生笨嗎？這個問題真的很難？都不是.是學生沒有真正理解單調(diào)性定義中的“任意”.而“數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”――中國科學院李邦河院士（數(shù)的概念的發(fā)展.《數(shù)學通報》，2009，8）.因此，重視概念教學毋庸置疑.筆者針對單調(diào)性定義的理解作了如下習題教學設(shè)計：

例1：畫出下列函數(shù)圖像，并寫出單調(diào)區(qū)間：

（1）y=-x+2; （2）y=（x≠0）

設(shè)計意圖：本例來源于課本，旨在反映單調(diào)性是局部性質(zhì)：即函數(shù)在某個區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，但在整個定義域上不一定是單調(diào)函數(shù).但（2）是學生的一個盲點，而且正確與否直接反映學生對單調(diào)性定義的理解與否.所以不可操之過急，要動之以情.以下記錄的是筆者精心設(shè)計的片段：

生1：（2）中函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間也為（-∞，0）∪（0，+∞）.

師：此函數(shù)圖像在整個定義域上都是單調(diào)遞減嗎？請從左往右仔細觀察圖像.

生2：函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間有兩個：（-∞，0）和（0，+∞）.函數(shù)圖像整體上從左往右看不是下降的.

師：很好.從形的角度解釋本題的兩個單調(diào)減區(qū)間之間不能放并.所以同學們要養(yǎng)成畫草圖看單調(diào)性的習慣.同學們能否再從單調(diào)減區(qū)間定義出發(fā)說明不能放并呢？

生3：在區(qū)間（-∞，0）∪（0，+∞）中取-1和2，-1

師：很好.通過找到一個反例，發(fā)現(xiàn)與單調(diào)減區(qū)間定義中的“任意”矛盾.從數(shù)的角度再次說明這兩個減區(qū)間之間不能放并.所以本題答案：單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0）和（0，+∞）.放并就變成一個了.

練習1：根據(jù)下列函數(shù)圖像，寫出單調(diào)區(qū)間.

（1） （2）

（3） （4）

答案：（1）增區(qū)間為（-∞，0]和（0，+∞）

（2）增區(qū)間為R

（3）增區(qū)間為（-∞，0]∪（0，+∞）

（4）減區(qū)間為（-∞，-2.5）和[1，+∞），增區(qū)間為[-2.5，1]

設(shè)計意圖：由于高一學生基本初等函數(shù)圖像模型掌握較少，因此可以設(shè)計性地給出函數(shù)圖像，在豐富學生的圖形庫的同時，通過練習對比：圖（1）（4）不能放并，圖（2）（3）要放并，讓學生從形的角度真正理解“并”的去留，而并非教師口中通常所說的單調(diào)區(qū)間不能放并.

練習2：（蘇教版必修1課后練習P408）判斷下列說法是否正確：

（1）若定義在R上的函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上也是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù).

（2）若定義在R上的函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上也是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù).

設(shè)計意圖：練習1是從圖形直觀感知，練習2旨在讓學生自己通過畫圖并適當進行代數(shù)說理進行判斷正誤.如果學生能將練習1中的四個圖納為己用，解決練習2，那么體現(xiàn)的不僅是學生圖形庫的豐富，而且是在靈活應(yīng)用中對單調(diào)性的認識上升到了理性層次.

二、重重障礙不可怕，基本思路定心丸

19題（1）問中通過設(shè)置參數(shù)考察了分類討論的思想，這是高中重要的思想方法之一，它體現(xiàn)了思維的嚴謹性和全面性，對思維的要求較高.然而將這樣的思想方法放在第一問，是不是意味著第一問就變成了難題呢？非也.

數(shù)學中很多問題都有其解決的基本思路，有時我們認為一個問題較難，只是因為在基本思路的某一步或某幾步中設(shè)置了一些障礙.例如用導數(shù)研究單調(diào)性的基本思路如下：

S1：求定義域

S2：求f′（x）

S3：判斷方程f′（x）=0在定義域內(nèi)是否有根

S4：列表畫草圖

S5：寫出單調(diào)區(qū)間

出現(xiàn)求完導后無思路的情況顯然是未掌握用導數(shù)研究單調(diào)性的基本思路，若再添加幾個參數(shù)干擾，則自然無所適從.而不知道對a的范圍進行討論的考生大多數(shù)沒有列表，不然就會考慮到0與-a是如何分割定義域的，分類討論自然水到渠成.考生如果理解單調(diào)性的定義，養(yǎng)成畫草圖的習慣，那么不論是從形還是數(shù)的角度都不會亂放并的.所以，掌握了基本思路，即使在多個步驟設(shè)置障礙，也不會黔驢技窮.

數(shù)學中還有很多其他類問題都有解決的基本思路，如：二次函數(shù)求最值、用導數(shù)研究函數(shù)最值、解一元二次不等式.這些問題中都可以通過設(shè)置參數(shù)考察分類討論思想增加難度，但仍然屬于基礎(chǔ)題.令人不解的是，栽在這幾類問題上的學生每屆都有.如果教師授予的是基本思路，并在平時教學設(shè)計中多體現(xiàn)障礙可能出現(xiàn)在哪幾步，那么學生做此類問題時定有“會當凌絕頂，一覽眾山小”之感.

高考中，基礎(chǔ)題是學生踏進象牙塔的前提.如何助學生不失江山于基礎(chǔ)，筆者認為平時教學中要注重概念教學.除了重視概念的生成外，還要針對概念理解中的盲點，精心設(shè)計，充分發(fā)揮教材例題和習題的作用.此外，教師還要教給學生解決某一類問題的基本思路，讓學生認識到障礙可能出現(xiàn)在哪幾步中，給學生一顆定心丸.這樣，學生才能在高考中穩(wěn)操勝券地拿下基礎(chǔ)題.

參考文獻：

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數(shù)學教學過程總是充滿了矛盾，如教與學的矛盾、學生認知特點與數(shù)學學科特點的矛盾、學生認知發(fā)展水平與數(shù)學教學內(nèi)容的矛盾等.有矛盾才能有發(fā)展，其中，學生現(xiàn)有的知識基礎(chǔ)、能力水平與教學要求之間的矛盾是數(shù)學教學的決定性動力.作為教師，應(yīng)努力做到敏銳地發(fā)現(xiàn)、深刻地認識各種矛盾，進而在教學中科學合理地暴露、“創(chuàng)設(shè)”甚至“激化”矛盾，以幫助學生在解決矛盾的過程中發(fā)展自己的認知結(jié)構(gòu)、提升自己的數(shù)學素養(yǎng)，這可以充分體現(xiàn)出教師的專業(yè)水平、教學能力與教學智慧.

“函數(shù)的單調(diào)性”是反映函數(shù)變化規(guī)律的一個最基本的性質(zhì)，是學生學習了函數(shù)概念后研究的第一個函數(shù)性質(zhì)，也是學生在高中階段遇到的第一個用數(shù)學符號語言刻畫的概念，對學生進一步學習函數(shù)的其它性質(zhì)具有示范和引領(lǐng)作用.本節(jié)課匯集了數(shù)學教學的諸多矛盾，如何在教學中處理好這些矛盾，特別是其中的主要矛盾，對每個數(shù)學教師都是一項極具挑戰(zhàn)性的任務(wù).筆者認為，“函數(shù)的單調(diào)性”教學，關(guān)鍵是要深刻認識、科學處理以下“三個矛盾”.1 “上升”、“下降”、“單調(diào)”等名詞的數(shù)學意義與學生的生活理解之間的矛盾

“函數(shù)的單調(diào)性”教學，通常是從現(xiàn)實生活入手——展示某地某天的氣溫變化圖、舉出生活中描述“升降”變化規(guī)律的成語（如蒸蒸日上、每況愈下、此起彼伏）并畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象等，然后讓學生觀察得到：函數(shù)圖象有的呈上升趨勢，有的呈下降趨勢，有的在一個區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢，而在另一個區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢，此時教師指出：函數(shù)圖象的“上升”“下降”反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì)——單調(diào)性，接下來引導學生用自然語言進行描述，并體驗單調(diào)性是函數(shù)的局部特征（教師可在此處提前介紹“增函數(shù)”、“減函數(shù)”、“單調(diào)區(qū)間”等名詞）.

這里，“上升”、“下降”、“單調(diào)”的數(shù)學意義與學生在日常生活中的理解有一定的“矛盾”：在生活中，若從A到B是“上升”，則從B到A就是“下降”，如同“上坡”“下坡”那樣，僅僅考慮了鉛垂方向；而在數(shù)學中，若x增大時y也隨之增大，則稱函數(shù)y=f（x）“上升”，若x增大時y隨之減小，則稱函數(shù)y=f（x）“下降”，是水平與鉛垂這兩個方向的“合成”.在生活中，“單調(diào)”是指“重復而缺少變化”；而在數(shù)學中，“單調(diào)”是指“隨著自變量的增大，函數(shù)值始終增大或始終減小”，是不斷變化的.對此，有些學生可能會因區(qū)分不清而產(chǎn)生錯誤理解.例如，對于函數(shù)y=x2（x≥0），有學生認為：x由小到大時，y是“上升”的，x由大到小時，y是“下降”的；又如，對于函數(shù)y=2，有學生認為它是“單調(diào)”的，理由是“y始終沒有變化”.

因此，在本節(jié)課的教學中，教師應(yīng)明確地指導學生將數(shù)學名詞與日常概念區(qū)分開：

（1）對于同一段函數(shù)圖象來說，在數(shù)學上它究竟是“上升”還是“下降”，應(yīng)該是確定的，不能產(chǎn)生歧義.因此，我們選擇x軸正方向作為參照，從左往右，沿著圖象“策馬前行”，函數(shù)圖象的“上升”“下降”就有了統(tǒng)一的規(guī)則和統(tǒng)一的結(jié)論；

（2）數(shù)學上的“單調(diào)”，其本身也含有“重復而缺少變化”的意味，但它不是指函數(shù)值始終保持不變，而是指函數(shù)在某個區(qū)間“上升”“下降”（或“增加”“減少”）具有不變的規(guī)律性，反映的是一種“變中的不變性”，當然也顯得“單調(diào)”.

2 學生已有的知識基礎(chǔ)和認知習慣與新知學習的必要性之間的矛盾

我們知道，“精確定量思維方式”是數(shù)學教育所能給予學生的最重要和最基本的數(shù)學素質(zhì)，也是培養(yǎng)學生理性精神的最好體現(xiàn).在高中階段，“函數(shù)的單調(diào)性”定義之所以要進一步符號化（形式化），正是基于數(shù)學精確化、嚴謹性的要求.只有這樣，學生才可以通過準確的計算進行推理論證，以保證結(jié)論的嚴密性，在此過程中逐漸培養(yǎng)并形成“算法的思維”.

然而，學生在初中已經(jīng)接觸過一次、二次、反比例函數(shù)，對函數(shù)的單調(diào)性已經(jīng)初步有了直觀形象的認識：圖象從左往右上升（y隨x的增大而增大）是增函數(shù)，圖象從左往右下降（y隨x的增大而減?。┦菧p函數(shù).他們會覺得這種定義通俗易懂、易于接受，用它解決函數(shù)的單調(diào)性問題時也沒遇到過什么困難，進而產(chǎn)生疑問：為什么還要費盡周折地去學習符號化（形式化）定義呢？豈不是“多此一舉”！學生一旦在心理上排斥新知，那么教與學的效果都將大打折扣，這是一個很重要的問題.

因此，在學習抽象的定義之前，教師應(yīng)針對性地設(shè)置“認知沖突”，以便讓學生充分體驗到學習新知的必要性，增強研究的興趣和積極主動性.例如，可讓學生依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的圖象特征或自然語言描述，嘗試判斷函數(shù)y=x+1x在[1，+∞）內(nèi)的單調(diào)性.由于學生對該函數(shù)的圖象性質(zhì)并不熟悉，因此無法判斷函數(shù)圖象呈現(xiàn)什么樣的變化趨勢，也難以根據(jù)函數(shù)解析式描述其變化規(guī)律.此時，學生就會自然意識到自己知識上的欠缺，認識到用精確的數(shù)學語言刻畫定義的必要性，從而進入一種“憤悱狀態(tài)”，產(chǎn)生較強勁的學習動力.

3 學生現(xiàn)有的思維水平與函數(shù)單調(diào)性定義的思維要求之間的矛盾

這是本節(jié)課教學的核心矛盾.剛進入高一的學生，其思維處于從經(jīng)驗型水平向理論型水平轉(zhuǎn)變的階段，仍然偏于簡單化、直 觀化，邏輯思維水平不高，抽象概括能力不強.函數(shù)單調(diào)性的定義，是數(shù)學概念形式化的典型案例，具有高度的抽象性.從“隨著x增大，y也增大”這一自然語言轉(zhuǎn)換到“對于某區(qū)間上任意的x1<；x2，有f（x1）<；f（x2）”這一數(shù)學符號語言，跳躍性較大，學生非常不習慣，特別是為什么要用“任意”二字，在區(qū)間上“任意”取兩個大小不等的x1<；x2，通過比較f（x1）與f（x2）的大小來刻畫函數(shù)的單調(diào)性，學生更是感到難以理解，容易產(chǎn)生思維障礙.

為此，教師應(yīng)精心設(shè)置一系列問題，讓學生充分參與函數(shù)單調(diào)性定義的符號化過程，感悟數(shù)學的研究方法，積累基本的數(shù)學活動經(jīng)驗.首先，要緊緊抓住新舊知識間的內(nèi)在聯(lián)系，使得形式化定義是在文字語言描述的基礎(chǔ)上自然“生長”出來的，而不是“天上掉下個林妹妹”.其次，對于單調(diào)性概念中“自變量不可能被窮盡”這一本質(zhì)（也是難點），應(yīng)及時喚醒學生已有經(jīng)驗，使他們自然想到用“任意”突破“無限”.最后，對于學生中出現(xiàn)的錯誤認識，應(yīng)引導他們結(jié)合具體例子（最好是由學生自己舉出）、分別用圖形語言和文字語言進行辨析，以逐步形成對概念正確、全面而深刻的理解.

以下是筆者施教這一環(huán)節(jié)時的具體設(shè)計：

問題1 如何用符號化的數(shù)學語言來表述“當x增大時，函數(shù)值f（x）隨之增大”？

教師引導學生分析其中的關(guān)鍵詞“增大”的含義及其符號表示，得出：增大，刻畫的是一種相對性，說明第二個量比第一個量大，它是兩個數(shù)值之間的大小比較.因此，可將x的第一個取值記為x1，第二個值記為x2，則將文字語言“當x增大時，函數(shù)值f（x）隨之增大”用符號語言表示即為“當x1<；x2時，f（x1）<；f（x2）”.

問題2 能否取滿足x1<；x2的若干組具體數(shù)值，只要驗證相應(yīng)的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以斷定函數(shù)f（x）的單調(diào)性？

教師應(yīng)盡量放手讓學生思考討論，若學生作肯定回答，則追問“為什么”；

若學生作否定回答，則讓其舉出反例，以不斷完善學生的認知結(jié)構(gòu)，必要時教師應(yīng)進行引導：

以函數(shù)f（x）=x2（x∈R）為例，由于自變量x的取值“無限”，因此，不論驗證多少次也無法窮盡.雖然當-1<；2<；3<；…時，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但這并不能保證f（x）=x2（x∈R）的圖象從左往右始終“上升”.可見，具體驗證是不可靠的.

問題3 在此之前，你有沒有遇到過“無法窮盡”的情況？當時是怎么處理的？

教師引導學生回憶“子集”的證明方法：設(shè)A、B是兩個無窮集合，要證明AB，逐一驗證A中的每一個元素都屬于B是不可能的，于是，為了突破“無限”這個障礙，就一般性地“任取”一個元素x∈A，只要能證明x∈B就行了.

至此，學生不難理解，在函數(shù)f（x）的單調(diào)性中，x1、x2也應(yīng)該是“任意”的.

問題4 設(shè)區(qū)間D是函數(shù)f（x）的定義域I內(nèi)的某個區(qū)間，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）來刻畫函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)、減函數(shù)呢？

學生嘗試用數(shù)學符號語言表達單調(diào)增（減）函數(shù)的定義，師生共同修正.在此過程中，學生可能會有一定的模仿的成分，這也是一種內(nèi)化的過程，對初學者來說是正常的，也是必要的.

問題5 請你嘗試利用上述定義判斷函數(shù)y=x+1x在[1，+∞）內(nèi)的單調(diào)性.

這是對前述“遺留問題”的呼應(yīng)，由學生盡量獨立完成，教師可在“作差”、“變形”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)適時予以指導，解決該問題后，師生共同概括出用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟.顯然，由之前的“不能”到現(xiàn)在的“能”，既加深了學生對定義的理解與掌握，也體現(xiàn)了定義的應(yīng)用價值，學生從中可以獲取成功的學習體驗和心理上的滿足感.

問題6 判斷下列說法是否正確，并說明理由.

（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為[0，+∞），若取x1=0，且對于任意的x2>；0，都有f（x2）>；f（0），則f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)；

（2）下圖是三個分段函數(shù)（定義域均為R）的圖象，它們都是R上的增函數(shù)；

（3）反比例函數(shù)y=1x的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）.

篇6

摘要：實施素質(zhì)教育，要求之一就是在教學中要面向全體學生。但就目前各校各班的學生狀況看，就學習成績而言，參差不齊，且差異較大。那么，在課堂教學中，如何設(shè)計教學過程，才能真正體現(xiàn)面向全體，才能使不同層次的學生都得到發(fā)展和開發(fā)，都能獲得較大的收益，這就是我們在課堂教學中必須認真考慮的一個問題。“低起點、多層次”教學法，給出了一種嘗試。

關(guān)鍵詞：低起點、多層次、面向全體。

一、問題的提出：

據(jù)大連市現(xiàn)行的初升高招生政策，即使是重點高中，每屆學生的入學成績也是參差不齊，且成績差異較大。即對高一新生而言，原有基礎(chǔ)不等，又由于初升高試題重考察學生能力不夠，使得有些靠初中用功學習而升入重點高中的學生，因高中學習理性要求較初中強或因?qū)W習方法不當而不適應(yīng)，又要產(chǎn)生一些入學成績較高不適應(yīng)高中學習的成績差生，而實施素質(zhì)教育要求在教學中要面向全體學生，那么，如何設(shè)計教學過程，才能真正體現(xiàn)這一點呢？對此，我做了“低起點、多層次”教學試驗，收到了較好的效果。

二、“低起點、多層次”及其做法

所謂“低起點”，就是在分析教學內(nèi)容和了解學生的基礎(chǔ)上，適當放低教學過程的起點，使全班學生從教學過程開始，都能進入到教學活動中去。

所謂“多層次”，就是在分析教材知識結(jié)構(gòu)與學生認識發(fā)展過程的基礎(chǔ)上，將教學內(nèi)容及其所要達到的教學目標分解為若干個由低到高的梯度較小而又層次分明的問題，使絕大多數(shù)學生都能在這些問題的引導下，一步一個臺階上到本節(jié)教學所要達到的基本目標，同時又使學習基礎(chǔ)好的學生能上到盡可能高的層次，達到較高的教學目標。

“低起點、多層次”教學思想用一句話來表示就是：適當放低教學起點，適當增多教學層次，盡可能提高課堂效益。這種做法，尤其適用于專題教學和拓寬引用方面的教學。

具體做法是：

（一）分析與新課相關(guān)的舊知識有哪些，了解差生對這些舊知識掌握情況。從學生實際出發(fā)，確定本節(jié)課教學過程的起點，一般說來，這個起點要比傳統(tǒng)教學過程起點低，使成績差生都能接受。上課時，從這個適當放低了的起點出發(fā)，把全班學生都吸引到教學活動中來。

（二）剖析教學內(nèi)容及其要達到的教學目標的層次和學生認識發(fā)展過程的階段結(jié)構(gòu)，按照由低到高、由淺入深、由單一到綜合的順序，安排教學層次，包括教師講課的層次和學生活動的層次。

（三）根據(jù)教學層次安排，設(shè)計或選配相應(yīng)的啟發(fā)性問題、例題和練習題，使之形成梯度較小，層次分明的臺階，上課時，教師引導學生沿著這些臺階逐步掌握本節(jié)課的教學內(nèi)容，達到自己力所能及的目標。

（四）對于學生可能出現(xiàn)的困難和較高層次的問題，在備課時要準備補充性問題，以便使學生“啟而不發(fā)”時，再上一個臺階，讓學生能借助這個臺階攀上教學的較高層次。

（五）上課時注意學生的反饋信息，根據(jù)學生認識過程發(fā)展的實際情況及時調(diào)整某些不完全符合實際的教學層次，同時注意掌握各教學層次的節(jié)奏使其與大多數(shù)學生相適應(yīng)。

（六）每節(jié)課都要安排有盡可能高的層次問題，作為機動內(nèi)容，供學習基礎(chǔ)好的學生研究，如果課堂時間不夠，就留給學生課外研究。

三、“低起點、多層次”課例：

課題：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

教學目的：

l、使學生進一步掌握函數(shù)單調(diào)性定義；

2、使學生初步掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)的方法；

3、使學生了解復合函數(shù)及其單調(diào)性。

起點：己掌握的函數(shù)圖象的作法及函數(shù)單調(diào)性定義。

教學過程：

l、復習：

（l）函數(shù)單調(diào)性的定義及其主要作用：用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性的步驟；

（2）判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性已知道的方法（①定義；②圖象：）門）單調(diào)區(qū)間與函數(shù)定義域的關(guān)系；

（4）單調(diào)函數(shù)的圖象特征。

2、引入新課：

通過上節(jié)學習，上要解決了用單調(diào)性的定義證明某函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性問題，在此基礎(chǔ)上，這節(jié)來學習函數(shù)單調(diào)性的另一類問題——求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

例題：

(l) 作出函數(shù)f(x)－X－X’（X∈R）的圖象，并根據(jù)圖象指出它的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性。

分析：根據(jù)學生掌握的作函數(shù)圖象的能力，略加引導學生便會作出圖象，從而即可寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

說明：利用函數(shù)圖象可求函數(shù)單調(diào)區(qū)間。

(2) 己知函數(shù)y=f(x)

①求它的定義域；②利用函數(shù)單調(diào)性定義探索它的單調(diào)區(qū)間。

分析：利于②根據(jù)題目要求，則不難知道如何入手。

說明：

l. 求單調(diào)區(qū)間應(yīng)注意的問題（要考慮定義域；單增（或減）區(qū)間不只一個時的寫法）；

2. 利用函數(shù)單調(diào)性定義求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

(3) 己加f(x)、g(x)在R上是增函數(shù)，求證 f[g(x)]在R上也是增函數(shù)，又問f(x)與g(x)在R上一增一減時，結(jié)論如何。

分析：①先通過具體例了說明f[g(x)]的意義，并給出復合函數(shù)一說；②根據(jù)學生實際完成這個證明是可行的；③啟發(fā)引導學生概括出得到的結(jié)論。

l

（4）利用 門）得到的結(jié)論求函數(shù)y一二廠丁 的單調(diào)區(qū)間。

分析：①把所給函數(shù)視為哪兩個函數(shù)的復合，為什么？

（l“y一 7；2”u—x‘干 1，會求它們的單調(diào)廠問）

②求函數(shù)單調(diào)區(qū)問是求訟的變化范作I？如何山X的4刨飼求得X的范m。說明：利用復合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)岡。

3、小結(jié)：

（1）以上介紹了求函數(shù)單調(diào)廠問的＿斥十基本方法（圖象、定義、復合函數(shù)），對于只體題目，要注意題目要求（要求證明的最好用定義）沒要求的要從方便考慮。

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)注意的問題。

4、練習：分層次給出，考慮篇幅，略。

5、作業(yè)：分必作題和選作題，略。

四、收獲與體會

通過開展“低起點、多層次”教學實踐，已取得較好效果。首先是激發(fā)了學生的興趣，促進了成績差生學習成功，使差生建立了自信心、自尊心、勝任感、成功欲和學習興趣，從而為提高整體水平掃清了障礙；其次提高了課堂的教學效率，使不同程度的學生學習成績有所提高。再次是使本人摸索到了備課和上課的規(guī)律，能分層次地啟發(fā)學生思考問題，教和學密切配合，課堂教學質(zhì)量有所提高。

體會是：

l、與傳統(tǒng)教學相比較，“低起點、多層次”教學有以下好處：①由于起點低，學生學有所得，逐漸對本學科的學習產(chǎn)生了興趣，為實現(xiàn)成績差生學習上的轉(zhuǎn)化創(chuàng)造了條件；②由于增多了教學層次，減緩了坡度，從而減少了差生學習上的困難，使他們能保持學習的積極性；③由于教學層次分明，一步一個臺階，便于啟發(fā)學生思考，促進了教學方法的改進；④由于實行多層次安排教學，避免了簡單重復，增大了課堂容量，提高了課堂效益；⑤由于教學層次的科學安排，隨著教學活動由低到高的發(fā)展，學生的學習與探究能力相應(yīng)地得到提高；③由于每節(jié)都安排了盡可能高的層次問題，優(yōu)生也受益匪淺；③實行“低起點、多層次”教學，促進了教師專研教材、了解學生，有利于教師掌握備課和上課的規(guī)律，對培養(yǎng)和提高教師有促進作用；③實行“低起點、多層次”教學，把對學生學習方法的指導寓于教學的層次安排之中，在幫助學生掌握學習數(shù)學的科學方法方面有一定的作用。

2、“低起點、多層次”教學思想是面向全體學生，因材施教，貫徹啟發(fā)式原則，實施素質(zhì)教育等教學思想的具體化，解決課堂教學中統(tǒng)一施教與學生程度參差不齊的矛盾，能使教學過程更加符合學生的認識規(guī)律，還能很好地發(fā)揮教師的主導作用與學生的主體作用，使教與學更加緊密地協(xié)調(diào)配合，從而提高課堂教學的效益，使素質(zhì)教育在教學中得到很好地實施。

主要參考文獻：

l、《精心設(shè)計問題，提高教學質(zhì)量》，中學數(shù)學教學參考，2000年l～2期

2、《教學方法》和《教學模式》——教師教學基本功

3、李興懷《素質(zhì)教育與數(shù)學教學》，中學數(shù)學教學，1996年6期

篇7

一、 關(guān)鍵點1：必須使學生深刻理解并把握函數(shù)概念的本質(zhì)

實踐表明，由于函數(shù)概念的抽象性，“變量”概念的復雜性以及函數(shù)符號的抽象性，使函數(shù)概念成為中學生感到最難學的數(shù)學概念之一. 學習了集合理論后，教材運用集合與映射的觀點重新定義了函數(shù)：函數(shù)是非空數(shù)集上的映射. 而映射是一對一，多對一的對應(yīng). 于是在康托集合論的基礎(chǔ)上來理解函數(shù)，別有一片天地. 之前的函數(shù)概念：在某一運動變化過程中有兩個變量x，y，當x在某一給定范圍內(nèi)任意取值時，在某一對應(yīng)法則f的作用下，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么y就叫做x的函數(shù)，其中x叫自變量，x的取值范圍構(gòu)成的集合就是定義域，y的對應(yīng)值的集合是值域，這種運動變化觀點下的函數(shù)定義稱為傳統(tǒng)定義，而現(xiàn)在建立在集合與映射觀點之上的函數(shù)定義稱之為近代定義.

事實上，函數(shù)的本質(zhì)是兩個變量之間的一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，有三個要素：定義域，值域和對應(yīng)法則，通?？杀硎緸閒：AC，A代表定義域，C代表值域，f指的是對應(yīng)法則，函數(shù)就是建立在兩個非空數(shù)集A，C上的一種對應(yīng)關(guān)系，有判別兩個函數(shù)是否表示同一函數(shù)的問題. 如 ①f（x）=x，g（t）=■；雖然表示自變量的字母不一樣，但因為g（t）=■=t，和f（x）=x的定義域和對應(yīng)法則都一樣，因而值域肯定一樣，g（t）與f（x）表示同一函數(shù)；②f（x）=■，g（x）=x+2；因為②中的兩函數(shù)雖然化簡后的解析式一樣，但因定義域不同，故就不是同一函數(shù)；③f（x）=x，g（x）=■；這兩個函數(shù)，雖然定義域相同，但g（x）=x，與f（x）=x的對應(yīng)法則不同，也不是同一個函數(shù). 三要素中只要有一項不同就不是同一函數(shù)，這種題型有助于我們理解函數(shù)的本質(zhì).

對于一個具體的函數(shù)關(guān)系，我們首先要把握一個重要的原則，就是定義域優(yōu)先. 定義域是函數(shù)的一條生命線，在求函數(shù)值域，判斷函數(shù)的周期性或奇偶性時必須首先考慮函數(shù)的定義域. 如求f（x）=loga（x2-2x-3）的單調(diào)區(qū)間，學生們常常會忽視定義域，有時在求解過程中還要注意定義域的變化.

例1 已知f（x+■）=x2+■，求f（x-1）.

錯解：由已知得：f（x+■）=（x+■）2-2.

f（x）=x2-2.

f（x-1）=（x-1）2-2=x2-2x-1.

剖析：在使用直接拼配法或換元法求函數(shù)解析式時，沒有考慮定義域變化.

正解：由已知得f（x+■）=（x+■）2-2.

x+■≥2，f（x）=x2-2（x≥2）.

從而. f（x-1）=（x-1）2-2=x2-2x-1（x≥3或x≤-1）

分段函數(shù)的學習更能幫助我們理解函數(shù)的本質(zhì)，分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是多個函數(shù).

例2 求分段函數(shù)y=2x+3，x≥0，x2-1，x

錯解：當x≥0時，y=2x+3≥3；當x-1. 故原函數(shù)的值域為：當x≥0時，值域為y■≥3；當x-1.

剖析：分段函數(shù)是借助于幾個不同的表達式來表示的，它是一個函數(shù)，而不能誤認為是幾個函數(shù)，在處理分段函數(shù)的問題時，要分段處理，其函數(shù)的值域應(yīng)是各個分段函數(shù)的并集，同時各個分段的“斷點”要注意處理好.

正解：x≥0時，y=2x+3≥3；當x-1，故原函數(shù)的值域為y■>-1.

函數(shù)概念的學習是一個循序漸進的過程，為了切實使學生理解函數(shù)的概念我們應(yīng)當做到如下三點.

1. 注重學生學習函數(shù)概念的心理建構(gòu)過程

建構(gòu)主義教學理論認為：應(yīng)把學習看成是學生主動的建構(gòu)活動，教學應(yīng)與一定的知識、背景即情境相聯(lián)系；在實際情境下進行教學，可以使學生利用已有的知識與經(jīng)驗同化和索引出當前要教學的新知識，這樣獲取的知識，不但便于保持，而且易于遷移到陌生的問題情境中. 在函數(shù)概念教學中，可以適當采用引導討論，注重分析、啟發(fā)、反饋，先從實際問題引入概念，然后揭示函數(shù)概念的共同特性：（1）問題中所研究的兩個變量是相互聯(lián)系的. （2）其中一個變量變化時，另一個變量也隨之發(fā)生變化. （3）對第一個變量在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，第二個變量都有唯一確定的值與它對應(yīng). 同時從閱讀、練習中鞏固概念，再從討論、反饋中深化概念，讓學生自己完成從具體到抽象的過程，避免概念教學的抽象與枯燥，使學生深入理解函數(shù)的實質(zhì)，從而讓學生較好地完成函數(shù)概念的建構(gòu).

2. 注重函數(shù)概念與信息技術(shù)的適時適度性結(jié)合

剛進高中的高一學生，思維較為單一，認識比較具體，注意不夠持久. 并且高中數(shù)學比較抽象，學生教學普遍感到困難. 因此在教學過程中應(yīng)創(chuàng)設(shè)一些知識情境，借助現(xiàn)代教學手段多媒體進行教學，讓學生在輕松愉快的氛圍中進行學習. 應(yīng)用信息技術(shù)時要根據(jù)教學需要，學生需求和課堂教學過程中出現(xiàn)的情況適時使用，并且運用要適度，掌握分寸，避免過量信息鈍化學生的思維. 函數(shù)概念教學中，教師可以借助于幾何畫板，圖形計算器等現(xiàn)代教學工具輔助教學，鼓勵學生上機操作，觀察函數(shù)圖象的變化過程，引導學生交流與討論，更好地教學和理解函數(shù).

3. 注重函數(shù)概念的實際應(yīng)用

抽象的函數(shù)概念必須經(jīng)過具體應(yīng)用才能得到深刻理解，生活中許多問題都是通過建立函數(shù)模型而解決的. 在函數(shù)概念教學中，可以通過函數(shù)性質(zhì)比較大小，解不等式，證明不等式等活動加強理解. 同時引入具體的函數(shù)生活實例，如銀行利率表、股市走勢圖，讓學生記錄一周的天氣預報，列出最高氣溫與日期的函數(shù)關(guān)系等. 這樣學生既受到思想方法的訓練，又對函數(shù)概念有了正確的認識，使學生相應(yīng)的數(shù)學能力得到充分的培養(yǎng)與發(fā)展.

二、關(guān)鍵點2：必須使學生正確理解和刻畫函數(shù)的圖象

函數(shù)的圖象不僅是函數(shù)表示的一種方法，更是函數(shù)性質(zhì)的外在表現(xiàn)，通過圖象可以幫助我們認清和理解函數(shù)的性質(zhì)，教學中必須明確函數(shù)的圖象都是滿足一定條件的點所構(gòu)成，本質(zhì)上就是以x作為橫坐標，y作為縱坐標的所有點構(gòu)成的曲線、折線或孤立的點. 同時必須明確的是，并不是所有的函數(shù)圖象都是連續(xù)的或是光滑的，有的函數(shù)圖象就是由一些孤立的點組成的，甚至有的函數(shù)圖象根本就畫不出來（如狄里克雷函數(shù)）.

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學思想方法，其作用在此不作贅述，這里只強調(diào)作圖的準確性. 也就是說利用這種數(shù)學方法解題時，前提是圖象畫得必須正確. 如圖1，y=sinx，x∈（-■，■）和 y=tanx，x∈（-■，■）的圖象不是左圖這樣的，而應(yīng)如右圖所畫. 如畫圖不準，數(shù)形結(jié)合就會得出sinx=tanx x∈（-■，■）解的個數(shù)為3的錯誤.

三、關(guān)鍵點3：必須使學生深刻理解函數(shù)的性質(zhì)

平時必須注意函數(shù)性質(zhì)的教學，舍得在函數(shù)性質(zhì)的新授課上花時間、花精力. 讓學生真正理解函數(shù)性質(zhì)的定義，什么樣的函數(shù)才有這樣的性質(zhì)，應(yīng)用的條件和范圍等，下面以單調(diào)性的教學為例說明.

1. 要使學生深刻理解單調(diào)性的定義

在函數(shù)的單調(diào)性定義的教學中，必須盡可能地做到：（1）把函數(shù)單調(diào)性的定義與直觀圖象結(jié)合起來，加深對定義的理解，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法；（2）強調(diào)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，單調(diào)性是相對于給定區(qū)間的，離開了相應(yīng)的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性，不能說函數(shù)在x=5時是遞增的還是遞減的，在強調(diào)局部性的時候也不排斥有些函數(shù)在其定義域內(nèi)都是增函數(shù)，也就是說并不是所有函數(shù)的單調(diào)區(qū)間都不能以并集的形式寫的；（3）厘清定義中的“任意”和“都有”的含義，強調(diào)“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數(shù)的單調(diào)性，而“都有”則是說只要x1

2. 要讓學生厘清函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)在某一區(qū)間單調(diào)的區(qū)別

例3 函數(shù)y=x2+2ax+1在x∈（-∞，1]上是單調(diào)減函數(shù)，求a的取值范圍.

錯解：因為函數(shù)y=x2+2ax+1在x∈（-∞，1]上是單調(diào)減函數(shù)，所以-a=1，即a=-1.

剖析：錯把函數(shù)在x∈（-∞，1]上單調(diào)遞減理解為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，1]，事實上，當a≤-1時，函數(shù)y=x2+2ax+1在（1，-a]上也是單調(diào)減函數(shù). 函數(shù)在某一區(qū)間單調(diào)與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不要混淆.

正解：函數(shù)的對稱軸為x=-a，因為函數(shù)在x∈（-∞，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，a≤-1.

3. 注意復合函數(shù)的單調(diào)性

例4 求函數(shù)y=cos（■-2x）的遞增區(qū)間.

錯解：由2kπ≤■-2x≤2kπ（k∈Z），解得-kπ+■≤x≤-kπ+■π（k∈Z）.

y=cos（■-2x）的單調(diào)增區(qū)間為

-kπ+■，-kπ+■π（k∈Z）

剖析：解法忽視了復合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)則，正確的答案應(yīng)是-kπ-■π，-kπ+■（k∈Z）.

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【摘 要】由函數(shù)圖象觀察、推導函數(shù)性質(zhì)是學生學習函數(shù)所必須經(jīng)歷的過程，而在這一過程中，學生對函數(shù)的理解必然得到有力地促進。本課例就是以指數(shù)函數(shù)為例，教師通過研課——上課——反思——再研課——再上課——再反思的思路對指數(shù)函數(shù)進行深入的研究。從而對如何培養(yǎng)學生由函數(shù)圖象觀察、推導函數(shù)性質(zhì)給出一些有益的啟示。

關(guān)鍵詞 課例研究；指數(shù)函數(shù)；同課異構(gòu)；課堂實錄

一、研究背景:

《指數(shù)函數(shù)》這節(jié)課出自普通高中課程標準實驗教科書(北京師范大學出版社數(shù)學必修一)。指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是教學重點，這部分要注重數(shù)形結(jié)合、幾何直觀等數(shù)學思想方法的滲透。指數(shù)函數(shù)是高中第一個系統(tǒng)的由圖象觀察、推導性質(zhì)的函數(shù)。所以這節(jié)課對于給學生確立先圖象后性質(zhì)的研究函數(shù)的方法至關(guān)重要。而教師如何培養(yǎng)學生的這種意識或者說是能力，自然成了我們研究的主題。我們通過研課——上課——反思——再研課——再上課——再反思的思路進行了探索和研究，以期找到一條適合我校學情的教學解決方案。

二、研究主題：

培養(yǎng)學生由函數(shù)圖象觀察、推導函數(shù)性質(zhì)的能力。

三、教學實踐：

第一次教學實踐：

1.上課班級：高一五班

2.學情分析：我們所面對的學生大多數(shù)數(shù)學基礎(chǔ)薄弱，理解能力、思維能力、運算能力等方面普遍很低。同時相當一部分學生學習信心不足，學習的主觀能動性有待加強?；诖宋以诮虒W中就要立足實際，適當降低學習內(nèi)容的難度和深度，對學習任務(wù)的完成也要降低標準。實際課堂教學中多關(guān)注學生的實時反饋，引導學生學會學習、學會思考，激發(fā)學生的求知欲和學習的積極性。

3.教學目標：(略)

4.重點、難點：（略）

5.教學過程設(shè)計：

（1）創(chuàng)設(shè)情境，導入新知。a舉例：由白紙對折事例，創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)學生思考。b呈現(xiàn)本節(jié)課的學習目標。

（2）啟發(fā)誘導，發(fā)現(xiàn)新知。a據(jù)上一環(huán)節(jié)教師引導學生歸納出指數(shù)函數(shù)的定義。b教師要求學生完成相應(yīng)練習。

（3）深入探究，理解新知。a教師指導學生完成以3和1/3為底的指數(shù)函數(shù)圖象。b教師對學生總結(jié)的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行質(zhì)疑、補充。

課堂實錄：

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)有了具體的函數(shù)圖象，并進而推測得出a>1和0<a<1的圖象，現(xiàn)在我們利用以前學過的有關(guān)函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性的有關(guān)知識填寫《問題導學案》上的表格，當然有些函數(shù)圖象的特點表格沒有列出來，你也可以說。（學生自主或合作填寫指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)表格，教師巡視指導）師：好了，大家填寫完了沒有？生：填完了。師：現(xiàn)在大家就自由發(fā)言，每一個同學填一空。生：定義域為R。生：由圖象可知，值域為（0,+∞）。生：觀察圖象的變化趨勢知道a>1時是增函數(shù)，0<a<1時是減函數(shù)。師：函數(shù)的單調(diào)性是我們剛剛學習的性質(zhì)，哪位同學說一下什么是函數(shù)的單調(diào)性？ 生：……師：大家再接著說。生：圖象既不關(guān)于x軸對稱，也不關(guān)于y軸對稱，還不關(guān)于原點對稱。生：圖象過（0,1）。師：大家說得很好，但有些地方?jīng)]有說完整，這樣吧，我們先看大屏幕。

（4）強化訓練、鞏固新知。a教師講解例題，并輔導學生完成相應(yīng)練習題。b教師下發(fā)當堂檢測題。

（5）小結(jié)歸納，拓展新知。教師引導學生總結(jié)本節(jié)的知識點。

（6）布置作業(yè)，內(nèi)化新知。教室布置課外作業(yè)，提出復習要求。

6.課后反思：

在教學實踐中，第四環(huán)節(jié)由于時間問題被臨時取消了。只完成了一二三五環(huán)節(jié)，并且五環(huán)節(jié)的反饋沒有達到預定目標，甚為遺憾。

第二次教學實踐：

1.上課班級：高一一班

2.教學過程設(shè)計：

（與第一次課基本一致，略）

課堂實錄：

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)有了具體的函數(shù)圖象，而且是具有普遍性質(zhì)的圖象，我們可以用圖象獲得函數(shù)的性質(zhì)，圖象的寬的范圍就是定義域，高的范圍是值域，圖象的變化趨勢就是單調(diào)性，關(guān)注圖象與x,y軸的交點以及圖象上的特殊點和圖象的邊界性。那么現(xiàn)在就請結(jié)合大屏幕上的圖象，填寫《問題導學案》上的那個表格。（學生自主或合作填寫指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)表格，教師巡視指導）師：好，現(xiàn)在哪位同學把你填寫的結(jié)果與大家交流一下。生：觀察圖象寬度知道定義域為R，觀察圖象高度知道值域為[0,+∞）……師：先打斷一下，由剛才這位同學說的值域，我知道函數(shù)值可以取到0。大家再觀察一下我們剛剛畫的以3和1/3為底的指數(shù)函數(shù)圖象，看看是不是這樣的？另一位同學：函數(shù)值是不能得0的，因為3的任何次冪都不為0，所以值域中不包含0，那個應(yīng)是左開右閉區(qū)間。師：這位同學說的很不錯，指數(shù)函數(shù)的值域中確實不包含0。你再接著說吧。生：觀察圖象的變化趨勢知道a>1時是增函數(shù)，0<a<1時是減函數(shù)。生：圖象必過（0,1）。師：這又是為什么呢？你再給大家解釋一下。生：因為任何數(shù)的0次冪都是1。師：除了表格上列的一部分性質(zhì)外，大家再想一下還有沒有其他的性質(zhì)。……老師提示一下如這兩個圖象有沒有關(guān)于某個點或線對稱??？生：圖象不具有對稱性。師：再看看圖象因為x的取值不同而被限制在特定區(qū)域。（學生間交流）生：我來說，a>1時，x<0時圖象在（0,1）之間，x>0時函數(shù)值都大于1。同樣0<a<1時也有類似的性質(zhì)。師：加上這位同學的補充，我們總結(jié)的已經(jīng)比較完整了，還有個別地方，一會兒我們再做補充?，F(xiàn)在大家一同和我看大屏幕。（教師呈現(xiàn)最終結(jié)果，并稍作補充）

3.課后反思：

本節(jié)課在第一次上課的基礎(chǔ)上進行了一些修正，教師只起到了啟發(fā)、誘導、點撥的作用，學生才是教學的主體。

四、本次課例研究總結(jié)：

掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)是我們研究函數(shù)的根本，本次的課例研究就是在試圖探索出一條畫圖象——學圖象——學性質(zhì)——用性質(zhì)的函數(shù)學習之路。從最終的效果來看，我們達到了一定的目的，對于如何讓學生學會由函數(shù)圖象觀察、推導函數(shù)性質(zhì)有了一定的心得體會。

參考文獻

[1]韓立福.《新課程有效課堂教學行動策略》.北京：首都師范大學出版社.2006

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高考數(shù)學指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)公式

(1)定義域、值域

指數(shù)函數(shù)

應(yīng)用到值 x 上的這個函數(shù)寫為 exp(x)。還可以等價的寫為 ex，這里的 e 是數(shù)學常數(shù)，就是自然對數(shù)的底數(shù)，近似等于 2.718281828，還叫做歐拉數(shù)。

一般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈R);

定義域：x∈R，指代一切實數(shù)(-∞，+∞)，就是R;

值域：對于一切指數(shù)函數(shù)y=a^x來講。他的a滿足a>0且a≠1，即說明y>0。所以值域為(0,+∞)。a=1時也可以，此時值域恒為1。

對數(shù)函數(shù)

一般地，函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，也就是說以冪(真數(shù))為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)，叫對數(shù)函數(shù)。

其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，+∞)。它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，可表示為x=ay。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

(2)單調(diào)性

對于任意x1，x2∈D

若x1

若x1f(x2)，稱f(x)在D上是減函數(shù)

(3)奇偶性

對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任一x，若f(-x)=f(x)，稱f(x)是偶函數(shù)

若f(-x)=-f(x)，稱f(x)是奇函數(shù)

(4)周期性

對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任一x，若存在常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)，則稱f(x)是周期函數(shù) (1)分數(shù)指數(shù)冪

正分數(shù)指數(shù)冪的意義是

負分數(shù)指數(shù)冪的意義是

(2)對數(shù)的性質(zhì)和運算法則

loga(MN)=logaM+logaN

logaMn=nlogaM(n∈R)

指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)

(1)y=ax(a>0，a≠1)叫指數(shù)函數(shù)

(2)x∈R，y>0

圖象經(jīng)過(0，1)

a>1時，x>0，y>1;x<0，0< p="">

a> 1時，y=ax是增函數(shù)

(2)x>0，y∈R

圖象經(jīng)過(1，0)

a>1時，x>1，y>0;0

a>1時，y=logax是增函數(shù)

指數(shù)方程和對數(shù)方程

基本型

logaf(x)=b f(x)=ab(a>0，a≠1)

同底型

logaf(x)=logag(x) f(x)=g(x)>0(a>0，a≠1)

換元型 f(ax)=0或f (logax)=0

 

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對高一新生來講，學習環(huán)境是全新的，新教材、新同學、新教師、新集體，學生需要有一個由陌生到熟悉的適應(yīng)過程。另外，經(jīng)過緊張的中考復習，考取了自己理想中的高中，必有些學生會產(chǎn)生“松口氣”的想法，入學后無緊迫感。也有些學生有畏懼心理，他們在入學前就耳聞高中數(shù)學很難學，高中數(shù)學課一開始也確有些難理解的抽象概念，如映射、集合等，使他們從開始就處于被動局面。

二、課時的變化

在初中，由于內(nèi)容少，題型簡單，課時較充足。因此課容量小，進度慢，對重難點內(nèi)容均有充足時間反復強調(diào)，對各類習題的解法，教師有足夠的時間進行舉例示范，學生也有足夠的時間進行鞏固。而到高中，由于知識點增多，靈活性加大，課時(自習輔導課)減少，課容量增大，進度加快，對重難點內(nèi)容沒有更多的時間強調(diào)，對各類題型也不可能講全講細以及鞏固強化。這也使高一新生開始不適應(yīng)高中學習而影響成績的提高。

三、教學內(nèi)容的銜接

首先，初中數(shù)學教材內(nèi)容通俗具體，多為常量，題型少且簡單；而高中數(shù)學內(nèi)容抽象，多研究變量、字母，不僅注重計算，而且還注重理論分析，與初中數(shù)學相比增加了難度。其次，由于近幾年教材內(nèi)容的調(diào)整，雖然初高中教材都降低了難度，但相比之下，初中降低的幅度大，而高中階段由于受高考的限制，教師都不敢降低難度，便造成了高中數(shù)學實際難度沒有降低的現(xiàn)實。因此，從一定意義上講，調(diào)整后的教材不僅沒有縮小初高中教材內(nèi)容的難度差距，反而加大了。此外相對初中數(shù)學所富有“生活趣味” 來講，高中數(shù)學則更有“數(shù)學味”。高中數(shù)學第一章就是集合、簡易邏輯等知識，緊接著就是函數(shù)問題。函數(shù)單調(diào)性的證明又是一個難點，立體幾何對空間想象能力的要求又很高。教材概念多、符號多、定義嚴格，論證要求又高。初中刪減的內(nèi)容都需要在高中階段補充上，因而增加了高中學生的課業(yè)負擔，這些都是升入高中后學生數(shù)學成績下降的客觀原因。

四、教學方法的銜接

初、高中教學方法上的差異也是高一新生成績下降的一個重要原因。初中數(shù)學教學中重視直觀、形象教學，每學習一道例題，都要進行相應(yīng)的練習，學生板演的機會較多。

一些重點題目學生可以反復練習，強化學習效果。而高中數(shù)學教學則更強調(diào)數(shù)學思想和方法，注重舉一反三，在嚴格的論證和推理上下工夫。高中數(shù)學的課堂教學往往采用粗線條模式，為學生構(gòu)建一定的知識框架，講授一些典型 例題，以落實“三基”培養(yǎng)能力。 剛進入高中的學生不容易適應(yīng)這種教學方法．聽課時存在思維障礙，難以適應(yīng)快速的教學推進速度，從而產(chǎn)生學習障礙，影響學習成績。因此，新高一數(shù)學教學中應(yīng)注意加強基本概念、基礎(chǔ)知識的講授，盡量以形象、直觀的方式講解抽象的數(shù)學慨念。 中國論比如講映射時可舉“某班5O名學生安排到50張單人課桌的分配方法” 等直觀例子，為引入映射概念創(chuàng)造階梯。由于初中學生尚未形成嚴格的論證能力，所以在高一證明函數(shù)單調(diào)性時可進行系列訓練，讓學生進行板演，從而及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。又比如在《拋物線及其標準方程 的教學中，可以從學生初中所學過的“二次函數(shù)的圖像是拋物線”入手，利用學生的已有的知識存量，引導學生找到聯(lián)系與區(qū)別，這樣便于學生對新知識的理解。 通過上述方法，能夠降低教材難度，增強學生的學習信心，讓學生逐步適應(yīng)高中數(shù)學的正常教學。

五、學習方法的銜接