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摘要：本文對(duì)由周期通向混沌的主要道路之一——倍周期分岔道路做了深入的分析與研究，并使用圖像分解方法展示正分岔和倒分岔及各自的分岔圖形。從微觀的角度在更深入的層面上揭示混沌圖像的深層細(xì)節(jié)，以填補(bǔ)傳統(tǒng)的混沌圖像生成方法中看不到圖形內(nèi)部結(jié)構(gòu)的空白。

關(guān)鍵字：倍周期分岔；周期；混沌

中圖分類號(hào)：TP301

一、前言

隨著非線性科學(xué)理論研究和應(yīng)用的不斷發(fā)展，混沌理論正日益受到關(guān)注。前不久美國(guó)上映的新影片“蝴蝶效應(yīng)”曾創(chuàng)北美票房紀(jì)錄。影片的片頭語(yǔ)稱：“北非的蝴蝶扇一扇翅膀有可能使得半個(gè)世界以外的地方刮起臺(tái)風(fēng)?！?AbutterflyflappingitswingsinNorthAfricacancauseatyphoonhalfaworldaway.)。這段話是科學(xué)家對(duì)混沌特性的描述語(yǔ)言，即“蝴蝶效應(yīng)”應(yīng)屬于混沌學(xué)(Chaos)。它反映了因果關(guān)系，意思是小小的擾動(dòng)（原因變化）可能引起完全不同的結(jié)果。當(dāng)然電影要談的并不是混沌學(xué)，但它在一定程度上為混沌的普及起到一定的推波助瀾的作用，使混沌從最初的科學(xué)家談?wù)摰拿~進(jìn)入到社會(huì)的方方面面，為更多的人所認(rèn)識(shí)。

現(xiàn)代的科學(xué)意義上的混沌是個(gè)難以精確定義的概念，不同領(lǐng)域的科學(xué)家往往對(duì)其有不同的理解，至今對(duì)混沌概念還沒(méi)有公認(rèn)的嚴(yán)格的定義。李－約克的定義是用三個(gè)方面的本質(zhì)特征來(lái)對(duì)混沌進(jìn)行刻畫(huà)的，即“有界”、“非周期”和“敏感初條件”[1]，而在有限性制約下的物理混沌仍具有這三個(gè)本質(zhì)特征。所以，我們認(rèn)為可以這樣來(lái)界定混沌概念，“混沌是確定性非線性系統(tǒng)的有界的敏感初條件的非周期行為”，只要能確定系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，那么行為(或狀態(tài))主體就是確定性的非線性系統(tǒng)，而且它一定具有“有界”、“敏感初條件”和“非周期”三個(gè)本質(zhì)特征；反之，任何一個(gè)確定性的非線性系統(tǒng)，只要它表現(xiàn)出“有界”、“非周期”和“敏感初條件”的特征，那么就可以認(rèn)為該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

歸納起來(lái)，它具有如下的特征[2]：混沌具有內(nèi)在的隨機(jī)性；混沌具有分形的性質(zhì)；混沌具有標(biāo)度不變性，是一種無(wú)周期的有序；混沌現(xiàn)象還具有對(duì)初始條件的敏感依賴性。

目前，公認(rèn)的通向混沌的主要道路有三條[3]：倍周期分岔，陣發(fā)混沌和準(zhǔn)周期進(jìn)入混沌。與之對(duì)應(yīng)的是非線性方程中三種不同類型的分岔——倍周期分岔、切分岔和霍普夫分岔。本文對(duì)其中的倍周期分岔道路進(jìn)行分析與研究,重點(diǎn)是從微觀的角度在更深入的層面上揭示混沌圖像的深層細(xì)節(jié)，以填補(bǔ)傳統(tǒng)的混沌圖像生成方法中看不到圖形內(nèi)部結(jié)構(gòu)的空白。

二、倍周期分岔過(guò)程

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)變化的周期行為是一種有序狀態(tài)，它在一定的條件下，系統(tǒng)經(jīng)倍周期分岔，就會(huì)逐步喪失周期行為而進(jìn)入混沌。這種周期加倍增加，最后進(jìn)入混沌的過(guò)程稱為倍周期分岔，它是通向混沌的主要道路之一。

下面以邏輯斯蒂模型[4]

為例來(lái)說(shuō)明倍周期分岔，其中1<<4是人們感興趣的參數(shù)的取值范圍。一個(gè)看似簡(jiǎn)單的系統(tǒng)，隨著參量的不同會(huì)表現(xiàn)出截然不同的行為周期區(qū)。

當(dāng)0<<1時(shí)，在線段[0，1]內(nèi)任選一個(gè)初值，迭代過(guò)程迅速趨向一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)

O（），下面不在發(fā)生變化。當(dāng)時(shí)，從初值出發(fā)的迭代過(guò)程總是離開(kāi)不穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)O趨進(jìn)穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)A。即系統(tǒng)仍將有一個(gè)穩(wěn)定的迭代結(jié)果。

當(dāng)3<<=1+=時(shí)，O點(diǎn)仍是不穩(wěn)定的。而A點(diǎn)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定。于是系統(tǒng)出現(xiàn)兩個(gè)穩(wěn)定的迭代結(jié)果和，這叫周期2解。=3是系統(tǒng)變化的第一個(gè)分岔點(diǎn)。當(dāng)3.449<&lt;3.545=時(shí)，周期2的兩個(gè)值又不穩(wěn)定，各自產(chǎn)生一對(duì)新的不動(dòng)點(diǎn)，此時(shí)在四個(gè)值上跳動(dòng)，這叫周期4解，=3.545是系統(tǒng)變化的第二個(gè)分岔點(diǎn)。依次類推，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)一系列分岔點(diǎn)，，等，直到=3.569945672,最后喪失周期行為，使系統(tǒng)進(jìn)入混沌。由此可見(jiàn)，混沌否定有序的過(guò)程，是系統(tǒng)經(jīng)過(guò)一系列分岔最后完成的。

系統(tǒng)進(jìn)入了混沌狀態(tài)（如圖1所示）此時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)不再具有規(guī)律性，而是發(fā)生隨機(jī)的波動(dòng)，使圖1右側(cè)的大部分區(qū)域被涂黑了，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，混沌區(qū)域并非一片涂斑，而是有粗粗細(xì)細(xì)的白色“豎線”，稱為周期窗口，隨著參量μ的增大（如）時(shí)，混沌突然消失，系統(tǒng)出現(xiàn)周期三的穩(wěn)定狀態(tài)，接著倍周期分岔以更快的速度進(jìn)行，再次進(jìn)入混沌狀態(tài)。如果將周期窗口放大，發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)與分岔圖的整體結(jié)構(gòu)具有相似性，而且是一種無(wú)限嵌套的自相似結(jié)構(gòu)。Fig.1Logisticbifurcationmap

可以看出，通過(guò)改變系統(tǒng)參量，使系統(tǒng)進(jìn)入混沌的第一種模式是倍周期分岔，即由不動(dòng)點(diǎn)→周期二→周期四→…無(wú)限倍周期→進(jìn)入混沌狀態(tài)。當(dāng)然通向混沌的道路不只于此，第二種通向的道路是：從平衡態(tài)到周期運(yùn)動(dòng)，再到擬周期運(yùn)動(dòng)，直到進(jìn)入混沌狀態(tài)。第三種通向混沌的方式是陣發(fā)（或間歇）道路，即系統(tǒng)在近似周期運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，通過(guò)改變參量，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)陣發(fā)性混沌過(guò)程，隨著參量的調(diào)整，陣發(fā)性混沌越來(lái)越頻繁，近似的周期運(yùn)動(dòng)越來(lái)越少，最后進(jìn)入混沌。

三、圖形展示分岔過(guò)程

對(duì)一維邏輯斯蒂映射的計(jì)算表明，隨著參數(shù)的增長(zhǎng)，一維邏輯斯蒂映射發(fā)生一系列的倍周期分岔，但倍周期分岔在一臨界點(diǎn)時(shí)終止，此后，每次迭代得到的值是隨機(jī)地出現(xiàn)的，說(shuō)明系統(tǒng)已從周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入到了非周期運(yùn)動(dòng)，或稱混沌運(yùn)動(dòng)。

其參數(shù)在（0，）區(qū)間內(nèi)為周期區(qū)。其內(nèi)有一個(gè)正的周期分岔序列（如圖2至圖6）。從周期到，各分岔點(diǎn)之間的間隔比有一極限

計(jì)算間距比由此得到表1中的結(jié)果。

其參數(shù)在區(qū)間(,4)中為混沌區(qū)。其內(nèi)有一個(gè)反的周期的混沌帶序列?；煦鐜Р⒎莵y成一片，其實(shí)混沌區(qū)中也有不少的周期窗口。窗口區(qū)內(nèi)還有混沌，窗口的混沌區(qū)內(nèi)還有窗口。這種結(jié)構(gòu)將無(wú)窮地重復(fù)，往往有無(wú)窮多的層次，而且每一層次都有上一個(gè)層次的重復(fù)，這是一種自相似的結(jié)構(gòu)。

在混沌區(qū)內(nèi)，從參數(shù)最大的開(kāi)始，=4時(shí)，迭代后其的數(shù)值充滿整個(gè)[0，1]區(qū)間，從0到1稱為“單片”混沌。當(dāng)從4逐漸減小時(shí)，開(kāi)始混沌仍然是單片的，只是的數(shù)值分布的范圍略小于從0到1之間的整個(gè)區(qū)間（如圖7）。但當(dāng)減小到小于時(shí)，由單片混沌變?yōu)閮善煦纾磾?shù)值分布在兩個(gè)區(qū)間內(nèi)，且每次迭代時(shí)的數(shù)值從其中一個(gè)區(qū)間跳到另一個(gè)區(qū)間（如圖8）。當(dāng)值再減少到時(shí)，則兩片混沌又分為四片混沌（如圖9）。隨著的繼續(xù)減小，將依次繼續(xù)發(fā)生4分為8，8分為16等等。這種倒分岔過(guò)程一直進(jìn)行到為止。其分岔過(guò)程和間距比值如表2.2所示。

這里應(yīng)指出，由于在參數(shù)區(qū)間存在一個(gè)周期的正周期分岔序列，而在區(qū)間存在一個(gè)反的周期為的混沌帶序列，因此它們從兩邊收斂到同一個(gè)參數(shù)處。

雖然混沌系統(tǒng)具有復(fù)雜性和不可預(yù)測(cè)性，但期間也蘊(yùn)涵著某種規(guī)律性[5]，（一）混沌系統(tǒng)中普遍存在奇怪吸引子，無(wú)論系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性多么復(fù)雜以及初始狀態(tài)如何不同，系統(tǒng)的狀態(tài)最終會(huì)回到吸引子區(qū)；（二）系統(tǒng)狀態(tài)的終態(tài)集具有精巧的幾何結(jié)構(gòu)，奇怪吸引子具有無(wú)限嵌套的自相似性；（三）在通往混沌的道路上，倍周期分岔點(diǎn)的收斂速率是一普適常數(shù)。上面討論的logistic映射，費(fèi)根鮑姆常數(shù)[6]，而費(fèi)根包姆普適常數(shù)又是一切倍周期分岔所共有的，它反映了倍周期分岔通向混沌的規(guī)律性。

四、研究意義

了解如何通向混沌是很有意義的。有時(shí)候我們需要人為地制造混沌，如保密通訊，但一些時(shí)候，我們又不允許系統(tǒng)出現(xiàn)混沌，這都要求我們對(duì)通向混沌的道路了如指掌。我們了解到，混沌學(xué)已經(jīng)融入了整個(gè)科學(xué)體系中。從歷史發(fā)展的角度看[7]，在橫向上，它將各個(gè)學(xué)科連接起來(lái)，抹平了由于社會(huì)分工而造成的行業(yè)鴻溝，使混沌理論具有更廣泛的適用性；縱向上，它不僅進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，開(kāi)展深一層次的理論分析，而且，已經(jīng)漸漸開(kāi)始將一部分成果轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力（如混沌的控制和同步等）。如今，擺在我們面前的是一幅有序和混沌交替出現(xiàn)又同時(shí)并存的世界。聲學(xué)混沌，光學(xué)湍流，化學(xué)反應(yīng)的混沌變化，太陽(yáng)系中行星的混沌軌道，地震的混沌特征，長(zhǎng)時(shí)期天氣的“蝴蝶效應(yīng)”，蟲(chóng)口數(shù)目的混沌更迭，電子線路中的噪音輸出及電力網(wǎng)的復(fù)雜振蕩等等都無(wú)不與這門新學(xué)科相聯(lián)系。探索復(fù)雜性，揭示生命現(xiàn)象的奧妙，混沌行為的啟發(fā)將使人類自身健康狀況改善，經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)者正試圖應(yīng)用混沌理論來(lái)尋求商業(yè)周期中隱藏的有序性，以改善經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的短期預(yù)報(bào)......可謂大千世界皆混沌；混沌即進(jìn)一步細(xì)分了我們的研究客體，同時(shí)又統(tǒng)一了我們的研究方式，混沌理論的發(fā)展必將帶來(lái)新的技術(shù)革命。在理論方面，混沌綜合了很多數(shù)學(xué)分支，如測(cè)度論、泛函分析、拓?fù)?、分形幾何等等。在技術(shù)上，一方面實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家們正在不斷地?cái)U(kuò)大對(duì)混沌的研究領(lǐng)域，另一方面，他們正在試圖駕馭混沌：他們用種種方法將系統(tǒng)穩(wěn)定在混沌區(qū)的一個(gè)周期軌道上；他們還設(shè)法使兩個(gè)混沌的系統(tǒng)同步化，從而實(shí)現(xiàn)利用混沌的保密通訊。

五、結(jié)論

倍周期分岔是許多非線性動(dòng)力學(xué)過(guò)程中的常見(jiàn)的現(xiàn)象，也是進(jìn)入混沌的一種重要方式。本文先以邏輯斯蒂模型為例，說(shuō)明一個(gè)由單峰映射描述的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)可以通過(guò)倍周期分岔，以費(fèi)根鮑姆常數(shù)的收斂速度從周期運(yùn)動(dòng)走向混沌。本文著重討論了倍周期分岔道路的全過(guò)程,從微觀的角度在更深入的層面上揭示混沌圖像的深層細(xì)節(jié)，以填補(bǔ)傳統(tǒng)的混沌圖像生成方法中看不到圖形內(nèi)部結(jié)構(gòu)的空白。

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TheInnerConstitutionDisplayofChaoticImagesbyLayersmethod

YANGFeng-xia1ZHANGJun-feng2

(ComputerDepartmentofCangzhouTeachers’College,Cangzhou061001,Heibei)

Abstract:Asoneofthemainroutestochaosfromperiodicstate,period-doublingbifurcationareanalysedandstudieddeeplyinthispaper.Bifurcationandinvertedbifurcationaswellastheirrelatedimagesarealsodisplyed.Moreover,theinnerconstitutiondisplayofchaoticimageshasbeenrevealedbylayersmethodindeeplydetailsbasedontheviewpointofmicrocosm,theseenableustofillinthegapsinthefieldsofexpressibleeffectsofchaoticattractors.

Keywords:period-doublingbifurcation;cycle;chaos