導(dǎo)語(yǔ)：量化容差關(guān)系研究論文一文來(lái)源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要對(duì)量化容差關(guān)系中由于容差度閾值的變化而引起的論域覆蓋的粒度、粗糙集的近似精度與粗糙熵、知識(shí)的粗糙熵的度量變化進(jìn)行了討論。建立了量化容差關(guān)系下知識(shí)依賴的概念，并探討了容差度閾值和知識(shí)的變化對(duì)知識(shí)依賴度量的影響。對(duì)量化容差關(guān)系所產(chǎn)生的覆蓋進(jìn)行修正，以使得新覆蓋的任一模塊里的任意元素均兩兩滿足量化容差關(guān)系，并進(jìn)行了相關(guān)性質(zhì)的證明。

關(guān)鍵字粗糙集；量化容差關(guān)系；不完備信息系統(tǒng)；熵；知識(shí)依賴

1引言

粗糙集理論[1](RoughSetsTheory，簡(jiǎn)稱RST)是一種用于處理含糊和不精確性問(wèn)題而又不同于模糊集理論的新型數(shù)學(xué)工具。Pawlak提出的RST僅僅適用于所有屬性值都已知的完備信息系統(tǒng)，然而現(xiàn)實(shí)世界中由于各種原因存在著大量的不完備信息系統(tǒng)(IncompleteInformationSystems[2]，簡(jiǎn)稱IIS)，因此如何使用RST處理IIS正逐漸成為RST研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。使用RST處理IIS，大致可以分為兩種方式：1、間接處理，即數(shù)據(jù)補(bǔ)齊或數(shù)據(jù)刪除方法；2、直接處理，對(duì)基于不可分辨關(guān)系（等價(jià)關(guān)系）的RST模型進(jìn)行擴(kuò)充。由于間接處理方法會(huì)損害到數(shù)據(jù)的原有分布特征，挖掘出的規(guī)則往往帶有不確定性，因此使用直接方法處理IIS就具有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。

隨著理論研究的不斷深入，目前已經(jīng)涌現(xiàn)出了很多擴(kuò)展RST模型以處理IIS，如容差關(guān)系模型[2]、量化容差關(guān)系模型[3]、限制容差關(guān)系模型[4]、相似關(guān)系模型[3]等等。由于量化容差關(guān)系是一種推廣的容差關(guān)系，量化容差類是一個(gè)用關(guān)于參考元素的容差度作為成員函數(shù)的模糊集合，因此文中主要圍繞量化容差關(guān)系在RST中的若干問(wèn)題進(jìn)行討論。

2量化容差關(guān)系

2.1容差關(guān)系

一個(gè)IIS是一個(gè)二元組：，其中U是一個(gè)被稱為論域的非空有限的對(duì)象集合；AT是一個(gè)非空有限的屬性集合。

對(duì)于任意a∈AT，有a:U→Va，其中Va是屬性a的值域（可包含空值，文中用〝*〞表示）；V為全體屬性值域，即；定義f為信息函數(shù)，對(duì)于，有f(x,a)∈Va.

定義1.1令S為一IIS，屬性集合，則由A決定的容差關(guān)系如下表示：

2.2量化容差關(guān)系

量化容差關(guān)系是容差關(guān)系的推廣，在容差關(guān)系中加入了描述對(duì)象之間的相似程度這一參考因素。

令S為一IIS，其中.假設(shè)對(duì)于，x在屬性a上取值的概率為(表示集合Va的基數(shù)).

定義1.2令S為一IIS，對(duì)于，x,y在屬性集合上取等值的概率（容差度）為，

其中表示x,y在屬性a上取等值的概率，其取值如下所示：

定義1.3令S為一IIS，，容差度閾值λ∈[0，1]，則量化容差關(guān)系定義如下：

若假定容差度為1，量化容差關(guān)系就退化成定義1.1中的容差關(guān)系。

定義1.4令S為一IIS，，容差度閾值λ∈[0，1]，對(duì)于，x關(guān)于的量化容差類定義為：

.

一般來(lái)說(shuō)，在IIS中，量化容差關(guān)系對(duì)于論域構(gòu)成了一個(gè)覆蓋而非劃分，若令表示覆蓋，則.

3基本概念

a)近似精度及粗糙熵

定義2.1令S為一IIS，，容差度閾值λ∈[0，1]，對(duì)于，X關(guān)于的上、下近似集合可表示為和，其中

定理2.1令S為一IIS，屬性集合，若容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]，且，則

證明：對(duì)于，因?yàn)?，所?若，則必定有；反之則不一定成立。所以.同理可以證得.

定理2.1說(shuō)明粗糙集合的下近似集隨著容差度閾值的減小而不斷減小，上近似集卻隨著容差度閾值的減小而不斷增大。

定義2.2令S為一IIS，且，容差度閾值λ∈[0，1]，則X關(guān)于的近似精度，粗糙性分別如下所示：

定理2.2令S為一IIS，屬性集合，容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]且，則對(duì)于，有.

證明：利用定理2.1的結(jié)果，易證。

定理2.2說(shuō)明隨著容差度閾值的減小，粗糙集合的近似精度在不斷減小，粗糙性在不斷增大。

定義2.3令S為一IIS，屬性集合，容差度閾值λ∈[0，1]，則知識(shí)A的粗糙熵定義為：

定理2.3令S為一IIS，，若容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]且，則.

證明：對(duì)于，因?yàn)椋?于是可以得到不等式

.

擴(kuò)充這個(gè)不等式就可以得到.

為了對(duì)粗糙集的不確定性進(jìn)行更為精確的測(cè)量，已有學(xué)者開(kāi)始研究各種不同的粗糙集的粗糙熵[5]。根據(jù)量化容差關(guān)系，可以定義如下兩種不同形式的粗糙集的粗糙熵。

定義2.4令S為一IIS，屬性集合，容差度閾值λ∈[0，1]，對(duì)于，X關(guān)于知識(shí)A的粗糙熵定義為：

定理2.4令S為一IIS，屬性集合，若容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]且，則對(duì)于有.

證明：利用定理2.2及2.3的結(jié)果，易證。

作為一種特殊的容差關(guān)系，量化容差關(guān)系當(dāng)然也滿足容差關(guān)系下的一些性質(zhì)，如定理2.5所示。

定理2.5令為一IIS，屬性集合，若容差度閾值λ∈[0，1]，則，，，.

b)知識(shí)依賴

利用對(duì)象的分類，可以方便地研究?jī)蓚€(gè)不同屬性子集，即知識(shí)之間的依賴關(guān)系[6]。

定義2.5令S為一IIS，容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]，屬性集合B對(duì)于屬性集合A的依賴關(guān)系表示為，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于，若，則必定有.

定義2.6令S為一IIS，容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]，則知識(shí)A與B之間存在等價(jià)依賴當(dāng)且僅當(dāng)且.

知識(shí)的部分依賴表示知識(shí)之間的推理可以是部分的，換言之，只有部分關(guān)于B的知識(shí)可以從A推導(dǎo)出來(lái)。知識(shí)的部分依賴一般用知識(shí)的正區(qū)域來(lái)表示。

定義2.7令S為一IIS，，容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]，則知識(shí)A對(duì)于知識(shí)B的正區(qū)域表示為：

.

定義2.8令S為一IIS，，容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]，知識(shí)B以程度k依賴于知識(shí)A，表示為，其中.

當(dāng)k=0時(shí)，知識(shí)依賴表示為；當(dāng)k=1時(shí)，知識(shí)依賴表示為.

定理2.6令S為一IIS，，容差度閾值λ1,λ2,λ3∈[0，1]且，如果有知識(shí)依賴，，那么.

證明：對(duì)于，根據(jù)定理2.1，因?yàn)?，所以，?所以.

定理2.6說(shuō)明隨著知識(shí)依賴的被依賴部分的容差度閾值逐漸減少，依賴部分對(duì)于被依賴部分的依賴程度逐漸減小。

定理2.7令S為一IIS，，容差度閾值λ1,λ2,λ3∈[0，1]且，如

果有知識(shí)依賴，，那么.

證明：對(duì)于，因?yàn)?，所?

對(duì)于，若，則，反之則不一定成立，所以，即.

定理2.7說(shuō)明隨著知識(shí)依賴的依賴部分的容差度閾值逐漸減少，依賴部分對(duì)于被依賴部分的依賴程度逐漸增大。

定理2.8令S為一IIS，若且容差度閾值λ∈[0，1]，則有知識(shí)依賴.

證明：對(duì)于，若，則.因?yàn)?，所以，?滿足定義2.5，所以.

定理2.9令S為一IIS，，容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]，如果有知識(shí)依賴，那么.

證明：對(duì)于，若，則，即.對(duì)于，可以得到，于是有，即.

定理2.10令S為一IIS，，容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]，如果有知識(shí)依賴，，那么.

證明：類似于定理2.9的證明，對(duì)于，有.

對(duì)于，若，則，反之則不一定，所以，即.

4基于量化容差關(guān)系的覆蓋

1)覆蓋粒度

定義3.1在一IIS中，，分別為論域U的兩種不同覆蓋，若對(duì)于，必定使得，并且對(duì)于，必定使得，則稱覆蓋比覆蓋更為精細(xì)，或者說(shuō)比更為粗糙，表示為<.

定理3.1令S為一IIS，，若容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]且，則<.

證明：對(duì)于，因?yàn)?，所?滿足定義3.1，所以.

定理3.2令S為一IIS，容差度閾值λ∈[0，1]，若，則.

證明：對(duì)于，因?yàn)?，所以，即，滿足定義3.1，所以<

定理3.1和3.2說(shuō)明在量化容差關(guān)系下，隨著容差度閾值的減小，覆蓋的精細(xì)程度也在不斷地減小；隨著知識(shí)的不斷增加，覆蓋的精細(xì)程度不斷地增大。

2)覆蓋修正

令，由定義1.4可知，中的所有元素都只是與x之間存在量化容差關(guān)系，而對(duì)于，并不一定能保證m，n之間也存在著量化容差關(guān)系。因此有必要重新定義由量化容差關(guān)系所產(chǎn)生的論域覆蓋，以保證覆蓋中任一模塊中的任意兩個(gè)元素之間都具有量化容差關(guān)系。

定義3.2令S為一IIS，屬性集合，容差度閾值λ∈[0，1]，則論域的覆蓋表示如下：

.

3)相關(guān)性質(zhì)

定理3.3令S為一IIS，屬性集合，容差度閾值λ∈[0，1]，則

證明：(1)對(duì)于，有，于是，使得.所以.

又因?yàn)閥為中任意取得，所以

(2)對(duì)于，必定使得且.而此時(shí)根據(jù)量化容差類的定義，有.又因?yàn)閥為中任意取得，所以有綜合(1)(2)，定理得證。

由定理3.3可得看出，覆蓋相比于覆蓋更為精細(xì)，即.

定理3.4令S為一IIS，，容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]且，則對(duì)于，必定，使得.

證明：對(duì)于，令，則，因?yàn)?，所以，即必定有使?因?yàn)閤,y為M中任意取得，所以.

定理3.5令S為一IIS，，容差度閾值λ∈[0，1]，對(duì)于，必定，使得.

證明：對(duì)于，令，則.因?yàn)?，所以，即必定存在使?因?yàn)閤，y為M中任意取得，所以.

定義3.3令S為一IIS，，容差度閾值λ∈[0，1]，對(duì)于，論域覆蓋為，X的上、下近似集合可表示為，其中

定理3.6，.

證明：(1)令，則∩.根據(jù)定理3.3，必定，使得且M∩X≠Φ，即.所以.

令，則使得x∈M且M∩X≠Φ.由定理3.3可知，，即∩，.所以.

(2)令，則.由定理3.3，對(duì)于且x∈M，必定，即.所以.

5結(jié)束語(yǔ)

作為一種RST擴(kuò)展模型以便于直接處理IIS，量化容差關(guān)系用容差度描述對(duì)象之間的相似程度，是容差關(guān)系的進(jìn)一步拓展。

本文對(duì)基于量化容差關(guān)系的RST中的一些基本概念，如覆蓋的精細(xì)程度、粗糙集的近似精度、粗糙熵、知識(shí)的粗糙熵以及函數(shù)依賴進(jìn)行了討論，研究了容差度閾值的變化對(duì)這些概念的度量的影響。分析了由量化容差關(guān)系產(chǎn)生的論域的覆蓋，發(fā)現(xiàn)在這個(gè)覆蓋里，任一模塊中的元素都只是與模塊的生成元素存在量化容差關(guān)系，于是重新定義了基于量化容差關(guān)系的覆蓋，使得任一模塊中的任意兩個(gè)元素之間都具有量化容差關(guān)系，并聯(lián)系原有覆蓋進(jìn)行了相關(guān)性質(zhì)的討論。

參考文獻(xiàn)

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