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【關(guān)鍵詞】高等代數(shù) 習(xí)題處理

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1006－9682（2011）07－0015－01

高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，其特點(diǎn)是抽象嚴(yán)謹(jǐn)，解題方法靈活多變。因此，同學(xué)普遍感到難學(xué)。有些同學(xué)反應(yīng)盡管在課堂上對(duì)教學(xué)內(nèi)容已經(jīng)很清楚，但是到做時(shí)仍不知如何下手。

為幫助學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，加深對(duì)基本概念、基本理論的理解，提高解題的技巧和能力，老師還需要上習(xí)題課。習(xí)題有助于更好地把握教學(xué)內(nèi)容中的概念、方法和技巧，所以應(yīng)該處理好習(xí)題課。習(xí)題課的作用：有助于正確理解基本概念和教材所涉及的內(nèi)容；有助于訓(xùn)練學(xué)生的解題技巧，培養(yǎng)解題能力。那么，該如何上好習(xí)題課呢？我認(rèn)為應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

首先，分析常見的錯(cuò)誤。主要是將學(xué)生常見的錯(cuò)誤指出來并加以分析。例如：在多項(xiàng)式的這一章中，很多同學(xué)在利用艾森斯坦判別法時(shí)出現(xiàn)的常見錯(cuò)誤是將它作為必要條件，認(rèn)為不滿足艾森斯坦判別條件的整系數(shù)多項(xiàng)式就是可約的。針對(duì)這種情況，老師應(yīng)舉例說明艾森斯坦判別法只是整系數(shù)多項(xiàng)式不可約的充分條件，并非必要條件，不滿足判別條件的整系數(shù)多項(xiàng)可能是可約的，也可能是不可約的。

其次，解題的方法和技巧。有一些習(xí)題初看好像有些難度，但是只要仔細(xì)進(jìn)行分析，結(jié)合所學(xué)內(nèi)容就可以得出不同的解題方法。例如：教材［1］的習(xí)題中有如下一道題：設(shè)V是n維歐氏空間，α≠0是V中的一個(gè)固定向量，證明：V1＝｛x|（x，α）＝0，x∈V｝是V的子空間；V1的維數(shù)等于n－1。分析：問題（1）的證明一般情況下就用子空間的定義證明即可，即對(duì)數(shù)乘和加法運(yùn)算封閉。但是問題（2）初看覺得不知如何下手，但是我們?cè)谒鶎W(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析就可以得出此題不同的解法。

證法1：為證明結(jié)論，首先證明V1是L（α）（表示由向量α生成的子空間）的正交補(bǔ)。事實(shí)上，由書上的結(jié)論可知：

L（α）＝｛x∈V|（x，β）＝0， β∈L（α）｝

而容易證明：

｛x∈V|（x，β）＝0， β∈L（α）｝＝V1。

從而L（α）＝V1。所以，V＝V1＋L（α）＝V1+L（α）。因此，由直和的判定定理可知：

n＝dimV＝dimV1＋dimL（α）＝dimV1＋1。

這表明dimV1＝n－1。

證法2：由書上結(jié)論可知任意歐氏空間必存在標(biāo)準(zhǔn)正交基，故不妨設(shè)α1，…αn為V的標(biāo)準(zhǔn)正交基。設(shè)α＝k1α1＋…＋knαn，其中k1，…，kn∈R，則對(duì) β＝x1α1＋…＋xnαn∈V1，其中x1，…，xn∈R，由α1，…，αn為V的標(biāo)準(zhǔn)正交基可知（α，β）＝x1k1＋…＋xnkn＝0。因此，線性方程組x1k1＋…＋xnkn＝0的解就是V1中的向量在α1，…，αn下的坐標(biāo)向量，其解空間的維數(shù)就是V1的維數(shù)。因?yàn)棣痢?，故（k1，…，kn）≠0，從而x1k1＋…＋xnkn＝0的解空間的維數(shù)為n－1，即dimV1＝n－1。

證法3：考慮實(shí)數(shù)集R按數(shù)的加法和數(shù)乘在實(shí)數(shù)域R上構(gòu)成的的線性空間，定義映射σ∶VR為σ（x）＝（x，α）， x∈V，則易驗(yàn)證σ是線性映射，σ的核空間就是V1＝｛x|σ（x）＝（x，α）＝0，x∈V｝，σ的像空間為R。由線性映射的維數(shù)公式有：σ的核空間的維數(shù)+σ的像空間的維數(shù)＝dimV＝n，而σ像空間的維數(shù)＝dimR＝1，故σ的核空間的維數(shù)＝dimV1＝n－1，故結(jié)論成立。

以上利用不同的方法給出了一道習(xí)題的證明，并且所用到的知識(shí)都是高等代數(shù)中一些重要的結(jié)論。通過不同的方法解題可以讓學(xué)生了解到一道數(shù)學(xué)題的證明不止一種方法，只要在做題的過程中聯(lián)系所學(xué)的內(nèi)容，可以得到許多不同的方法，這也將有助于加深對(duì)已學(xué)內(nèi)容的理解。

高等代數(shù)這門課是比較難的基礎(chǔ)課，如何讓學(xué)生更好的掌握所學(xué)內(nèi)容是所有老師一直在思考的問題。本文，只從習(xí)題處理對(duì)高等代數(shù)的教學(xué)進(jìn)行了分析。我認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)一定要多做題，在做題過程中學(xué)生可以更好地掌握所學(xué)的抽象概念，由此對(duì)所學(xué)內(nèi)容加深理解。在教學(xué)實(shí)踐中，可以發(fā)現(xiàn)老師可以通過習(xí)題課加深學(xué)生對(duì)這門課的內(nèi)容，可以培養(yǎng)學(xué)生自覺地上下聯(lián)系、經(jīng)?？偨Y(jié)，從而對(duì)這門課感興趣，愿意去學(xué)習(xí)并能學(xué)好它。

參考文獻(xiàn)

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多項(xiàng)式是一類最常見,最簡單的函數(shù),他的應(yīng)用非常廣泛。多項(xiàng)式理論是以代數(shù)方程的根的計(jì)算和分布作為中心問題的,也叫做方程論。研究多項(xiàng)式理論,主要在于探討代數(shù)方程的性質(zhì),從而尋找簡易的解方程的方法。

多項(xiàng)式代數(shù)所研究額內(nèi)容,包括整除性理論,最大公因式,重因式等。這些大體和中學(xué)代數(shù)里的內(nèi)容相同。多項(xiàng)式的整除性質(zhì)對(duì)于解代數(shù)方程是很有用的。解代數(shù)方程無非就是求對(duì)應(yīng)多項(xiàng)式的零點(diǎn),零點(diǎn)不存在的時(shí)候,多對(duì)應(yīng)的代數(shù)方程就沒有解。

我們把一次方程叫做線性方程,討論線性方程的代數(shù)叫做線性代數(shù)。在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。

行列式的概念最早是由十七世界日本數(shù)學(xué)家孝和提出來的。他在寫了一部叫做《解伏題之法》的著作,標(biāo)題的意思是"解行列式問題的方法",書里對(duì)行列式的概念和他的展開已經(jīng)有了清楚的敘述。歐洲第一個(gè)提出行列式概念的是德國的數(shù)學(xué)家萊布尼茨。德國數(shù)學(xué)家雅可比總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論。

行列式有一定的計(jì)算規(guī)則,利用行列式可以把一個(gè)線性方程組的解表示成公式,因此行列式是解線性方程組的工具。行列式可以把一個(gè)線性方程組的解表示成公式,也就是說行列式代表著一個(gè)數(shù)。

因?yàn)樾辛惺揭笮袛?shù)等于列數(shù),排成的表總是正方形的,通過對(duì)它的研究又發(fā)現(xiàn)了矩陣的理論。矩陣也是由數(shù)排成行和列的數(shù)表,可是行數(shù)和列數(shù)相等也可以不相等。

矩陣和行列式是兩部完全不同的概念,行列式代表著一個(gè)數(shù),而矩陣僅僅是一些數(shù)的有順序的擺法。利用矩陣這個(gè)工具,可以把線性方程組中的系數(shù)組成向量空間中的向量,這樣對(duì)于一個(gè)多元線性方程組的解的情況,以及不同解之間的關(guān)系等等一系列理論上的問題,都可以得到徹底的解決。矩陣的應(yīng)用是多方面的,不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里,而且在力學(xué),物理,科技等方面都有十分廣泛的應(yīng)用。

高等代數(shù)在初等代數(shù)的基礎(chǔ)上研究對(duì)象進(jìn)一步擴(kuò)充,還引入了最基本的集合,向量和向量空間等。這些量具有和數(shù)相類似的運(yùn)算特點(diǎn),不過研究的方法和運(yùn)算的方法都更加繁瑣。

集合是具有某種屬性的事物的全體:向量是除了具有數(shù)值,同時(shí)還具有方向的量,向量空間也叫線性空間,是由許多向量組成的并且符合某些特定運(yùn)算的規(guī)則的集合。向量空間中的元素已經(jīng)不只是數(shù),而是向量了,其運(yùn)算性質(zhì)也有很大的不同了。

在高等代數(shù)的發(fā)展過程中,許多數(shù)學(xué)家都做出了杰出的貢獻(xiàn),伽羅華就是其中一位,伽羅華在臨死前預(yù)測(cè)自己難以擺脫死亡的命運(yùn),所以曾連夜給朋友寫信,倉促的把自己生平的數(shù)學(xué)研究心得扼要寫出,并附以論文手稿。他在給朋友舍瓦利葉的信中說:"我在分析方法做出了一些新發(fā)現(xiàn),有些是關(guān)于方程論的,有些是關(guān)于整函數(shù)的……,公開請(qǐng)求雅可比或高斯,不是對(duì)這些定理的證明的正確定而是對(duì)這些定理的重要性發(fā)表意見。我希望將來有人發(fā)現(xiàn)消除所有這些混亂對(duì)他們是有益的。

伽羅華死后,按照他的遺愿,舍瓦利把他的信發(fā)表在《百科評(píng)論》中。他的論文手稿過了14年,才由劉維爾編輯出版了他的部分文章,并向數(shù)學(xué)界推薦。隨著時(shí)間的推移,伽羅華的研究成果的重要意義愈來愈為人們認(rèn)識(shí)。伽羅華雖然十分年經(jīng),但他在數(shù)學(xué)史上作出的貢獻(xiàn),不僅解決了幾個(gè)世紀(jì)以來一直沒有解決的代數(shù)解問題,更重要的是他在解決這個(gè)問題提出了"群"的概念,并由此發(fā)展了一系列一整套關(guān)于群和域的理論,開辟了代數(shù)學(xué)的一個(gè)嶄新的天地,直接影響了代數(shù)學(xué)研究方法的變革。從此,代數(shù)學(xué)不再以方程理論為中心內(nèi)容,而轉(zhuǎn)向?qū)Υ鷶?shù)結(jié)構(gòu)性質(zhì)的研究,促進(jìn)了代數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。

高等代數(shù)不是一門孤立的學(xué)科,它和幾何學(xué),分析數(shù)學(xué)等有密切聯(lián)系的同時(shí),又具有獨(dú)特的方面。

首先,代數(shù)運(yùn)算是有限次的,而且缺乏連續(xù)性的概念,也就是說,代數(shù)學(xué)主要是關(guān)于離散性的。盡管在現(xiàn)實(shí)中連續(xù)性和不連續(xù)性是辯證統(tǒng)一的,但是為了認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí),有時(shí)候需要把它分成幾個(gè)部分,然后分別的研究認(rèn)識(shí),在綜合起來,就得到對(duì)現(xiàn)實(shí)的總的認(rèn)識(shí)。這是我們認(rèn)識(shí)事物的簡單但是科學(xué)的重要手段,也是代數(shù)學(xué)的基本重要思想和方法。代數(shù)學(xué)注意到離散關(guān)系,并不能說明它的特點(diǎn),時(shí)間已經(jīng)多次,多方位的證明了代數(shù)學(xué)的這一特點(diǎn)是有效的。

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關(guān)鍵詞： 高等代數(shù) 線性相關(guān) 多項(xiàng)式

高等代數(shù)作為初等代數(shù)的發(fā)展和提高，是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門必修基礎(chǔ)課，它所介紹的理論、方法廣泛應(yīng)用于各個(gè)學(xué)科與實(shí)際問題中，其內(nèi)容較多地體現(xiàn)著數(shù)學(xué)中嚴(yán)密的邏輯推理方法和計(jì)算方法，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和邏輯推理能力等方面發(fā)揮著非常重要的作用.但由于高等代數(shù)課程概念多，內(nèi)容抽象，思維方式獨(dú)特，與初等數(shù)學(xué)的思維習(xí)慣差距較大，剛?cè)雽W(xué)的新生常常不能適應(yīng)，而且一般的教材中例題較少，初學(xué)者常常感到困難，如何提高教師的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，成為師生共同探討的問題.下面我就幾年來高等代數(shù)的教學(xué)談?wù)勼w會(huì).

1.教師應(yīng)發(fā)揮緒論課的重要性

現(xiàn)在的理科生在高中階段已經(jīng)接觸了高等代數(shù)的部分內(nèi)容，比如二階行列式和二階矩陣，聯(lián)系學(xué)生已學(xué)知識(shí)，教師在高等代數(shù)緒論課上介紹行列式和矩陣產(chǎn)生的背景，讓學(xué)生明白高等代數(shù)要解決的問題及其主要的思想方法.初等代數(shù)從最簡單的一元一次方程開始，一方面研究二元及三元的一次方程組，另一方面研究二次以上及可轉(zhuǎn)化為二次的方程組.沿著這兩個(gè)方向繼續(xù)發(fā)展，討論任意多個(gè)未知數(shù)的一次方程組（即線性方程組）的同時(shí)還研究次數(shù)更高的一元方程，發(fā)展到這個(gè)階段，就叫做高等代數(shù).行列式和矩陣也是在解線性方程組時(shí)引入的工具；在緒論課上，教師要向?qū)W生介紹高等代數(shù)這門課程的性質(zhì)與后續(xù)課程的關(guān)系，指出高等代數(shù)是有志從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)生將來勝任中學(xué)主干學(xué)科――代數(shù)課教學(xué)的理論基礎(chǔ)和指導(dǎo)，也是學(xué)生將來參加研究生考試的必考科目.從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：學(xué)好高等代數(shù)是將來工作和深造的需要，這樣可以使學(xué)生萌發(fā)對(duì)高等代數(shù)的初級(jí)興趣，進(jìn)而為提高教學(xué)質(zhì)量打下基礎(chǔ).

2.對(duì)于抽象概念的教學(xué)，做到深入淺出

線性代數(shù)是高等代數(shù)中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，而“線性”這個(gè)數(shù)學(xué)名詞在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中從未出現(xiàn)，學(xué)生剛進(jìn)入大學(xué)，對(duì)這一詞匯的具體內(nèi)容知之甚少.所以在學(xué)習(xí)之前，學(xué)生必須對(duì)什么是“線性”有所了解.首先以線性方程組為例讓學(xué)生對(duì)線性這個(gè)詞有初步印象，然后從線性運(yùn)算、線性空間等概念提煉出“線性”的特點(diǎn)，加深學(xué)生對(duì)“線性”的印象.線性相關(guān)性是高等代數(shù)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，所涉及的內(nèi)容包括行列式、矩陣、線性方程組，并為向量組的極大無關(guān)組及向量組的基和維數(shù)、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系奠定了基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)線性空間、線性變換和歐氏空間的一個(gè)重要工具.此部分的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生來說內(nèi)容抽象，是一個(gè)難點(diǎn).根據(jù)以前的講授經(jīng)驗(yàn)，很多同學(xué)對(duì)于線性相關(guān)性概念中的不全為0理解不清晰，常常與線性組合的概念混淆.事實(shí)上，將這兩個(gè)概念與齊次和非齊次方程組聯(lián)系，如齊次線性方程組

3.教師充分備課，使課堂教學(xué)生動(dòng)有趣

針對(duì)每次課的特點(diǎn)，選取合適的教學(xué)方法，在講授抽象概念時(shí)適時(shí)引入此概念的研究背景，同時(shí)穿插一些名家的數(shù)學(xué)小故事.很多同學(xué)認(rèn)為理論內(nèi)容在實(shí)際中沒有多大應(yīng)用，因此偶爾引入數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在生活中有很多應(yīng)用.例如，在學(xué)習(xí)了矩陣和線性方程組的有關(guān)知識(shí)后可以引入簡單供求模型、簡單國民收入模型等線性經(jīng)濟(jì)模型，讓學(xué)生接觸一些簡單的實(shí)際問題，樹立理論聯(lián)系實(shí)際的思想和初步分析解決實(shí)際問題的能力，而且讓他們切實(shí)體會(huì)到學(xué)習(xí)高等代數(shù)是有用的，可培養(yǎng)他們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)和工作中主動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)工具分析和解決專業(yè)中實(shí)際問題的意識(shí)和能力.

4.在課堂中讓學(xué)生充分參與

多年的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)通常以講授為主，忽視了學(xué)生的主動(dòng)參與性.鑒于此，教師在講解高等代數(shù)中的概念時(shí)，一定要著重揭示其含義和實(shí)質(zhì)，注重聯(lián)系中學(xué)教學(xué)實(shí)際，使學(xué)生掌握基本的系統(tǒng)的高等代數(shù)知識(shí)和高等代數(shù)方法，從而提高學(xué)生對(duì)高等代數(shù)知識(shí)的理解.對(duì)于相關(guān)定理和結(jié)論，建議學(xué)生多方面考慮，帶著問題學(xué)習(xí).例如多項(xiàng)式中兩個(gè)最大公因式的存在性定理：對(duì)于任意的，在中一定存在一個(gè)最大公因式，且可表示成的一個(gè)組合，講授此定理時(shí)，建議學(xué)生考慮此定理的逆命題是否成立？若不成立，需要加什么條件才可以成立？

比如在講授可逆矩陣的定義的時(shí)候，因?yàn)閷W(xué)生中學(xué)里學(xué)過此定義：若方陣，則稱可逆，又因?yàn)榫仃嚨某朔ㄒ话悴粷M換律，建議學(xué)生考慮要是這個(gè)定義中去掉一半，只有或者，能不能得到可逆呢？再例如矩陣的乘法一般不滿換律，建議學(xué)生探討在什么情況下的矩陣是可交換的？幫助學(xué)生設(shè)問，建議學(xué)生在自己學(xué)習(xí)的時(shí)候類似考慮問題，讓學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，只有充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)參與性，才能從根本上提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

當(dāng)然，提高高等代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率的方法很多，以上只是一些粗淺的做法，教和學(xué)如何適應(yīng)新時(shí)期的要求與時(shí)俱進(jìn)，有待教師和學(xué)生不斷探索和改進(jìn).

參考文獻(xiàn)：

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].5版.北京：高等教育出版社，1988.

[2]王勇.高等代數(shù)教學(xué)的一些探討.廣西民族大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007，13（4）：93-95.

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【關(guān)鍵詞】高等代數(shù) 矩陣 線性方程組 特征值 特征向量 向量空間

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）09-0133-01

1.引言

高等代數(shù)是高校數(shù)學(xué)專業(yè)一年級(jí)的專業(yè)基礎(chǔ)課，該學(xué)科內(nèi)容抽象，邏輯嚴(yán)密，它不僅是研究數(shù)學(xué)其他分支和自然科學(xué)的基本工具，而且在經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程力學(xué)、管理學(xué)科等領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用。為充分深刻理解代數(shù)的價(jià)值，須通過教學(xué)改革注重理論與實(shí)際的聯(lián)系，課程內(nèi)容要充實(shí)應(yīng)用實(shí)例，尤其是代數(shù)與數(shù)學(xué)其他分支及其他學(xué)科相互滲透的例子，與社會(huì)密切聯(lián)系的例子，講課中可將高等代數(shù)的知識(shí)與數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)行融合，如矩陣與密碼、特征值問題與動(dòng)力系統(tǒng)等，引入典型應(yīng)用性例題既能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理的理解，又能將數(shù)學(xué)知識(shí)與其他知識(shí)有機(jī)結(jié)合。這種教學(xué)方法不僅能提高學(xué)生的抽象思維能力、應(yīng)用能力，而且能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識(shí)。每個(gè)概念的應(yīng)用實(shí)例是比較多的，我們?cè)谶x擇例子的時(shí)候要選擇簡單一點(diǎn)的，學(xué)生感興趣的例子，這樣效果好一些。本文具體給出高等代數(shù)中的幾個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)中實(shí)例的引入。

2.幾個(gè)具體的實(shí)例的引入

2.1矩陣概念相關(guān)例題的引入

矩陣的概念是高等代數(shù)中最基礎(chǔ)的一個(gè)概念，如果直接給學(xué)生講這個(gè)概念，學(xué)生會(huì)感到抽象，如果我們?cè)谥v概念前能夠引入一些實(shí)例，學(xué)生對(duì)這個(gè)掌握的可能會(huì)更好些，其實(shí)矩陣在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用，我們可以舉下面一個(gè)有趣的例子，古羅馬時(shí)期，凱撒大帝為了避免信使在途中被殺以至于情報(bào)被敵軍劫走，發(fā)明了一種方法，就是把明文中的每一個(gè)字母轉(zhuǎn)化成英文字母表中的第四個(gè)字母，人們?yōu)榱思o(jì)念凱撒，把這種密碼稱為凱撒密碼。但是凱撒密碼有一個(gè)致命的缺陷，即每個(gè)字母與經(jīng)過轉(zhuǎn)化后的字母分別在明文和密文出現(xiàn)的頻率是相通的。到1929年，HILL提出了克服凱撒密碼的缺陷的密碼，該密碼以矩陣變換的方法建立字母組間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，下面利用二階矩陣的例子來說明HILL密碼的加密與解密。

2.2線性方程組實(shí)例的引入

線性方程組也是一個(gè)重要的概念，它的應(yīng)用是非常廣泛的，在講解這個(gè)內(nèi)容的時(shí)候，我們可以引入這樣的一個(gè)例子。一種在20世紀(jì)80年代很流行的食譜，稱為劍橋食譜，是博士領(lǐng)導(dǎo)的科學(xué)家團(tuán)隊(duì)經(jīng)過8年對(duì)過度肥胖病人的臨床研究，在劍橋大學(xué)完成的。下表是該食譜中的3種食物以及100克每種食物成分含有某些營養(yǎng)素的數(shù)量。

如果用這三種食物作為每天的主要食物，那么它們的用量應(yīng)各取多少才能全面準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)這個(gè)營養(yǎng)要求。以100克為一個(gè)單位，為了保證減肥所需求的每日營養(yǎng)量，設(shè)每日需食用的脫脂牛奶x1個(gè)單位，大豆面粉x2個(gè)單位，乳清x3個(gè)單位，由所給的條件得到一個(gè)線性方程組36x1+51x2+13x3=3352x1+34x2+74x3=45，7x2+1.1x3=3 其解為x1=0.2772，x2=0.3919，x3=0.2332即為了保證減肥所要求的每日營養(yǎng)量，每日需脫脂牛奶27.72克，大豆面粉39.19克，乳清23.32克。減肥是現(xiàn)在比較流行的一個(gè)話題，這個(gè)問題也是要轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的線性方程組的問題解決的。這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候就興趣很高，效果自然會(huì)很好。

2.3 特征值與特征向量的實(shí)例的引入

高等代數(shù)中的特征值與特征向量這個(gè)內(nèi)容是個(gè)重點(diǎn)也是個(gè)難點(diǎn)，我們?cè)谥v的時(shí)候可以引入這樣的一個(gè)例子，可以幫助學(xué)生理解概念，同時(shí)學(xué)生也知道了怎么將這個(gè)知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際。

在利用或?yàn)E用太平洋西北部大面積森林問題上，北方的斑點(diǎn)貓頭鷹成為一個(gè)爭論的焦點(diǎn)，環(huán)境保護(hù)學(xué)家試圖說服聯(lián)邦政府，如果采伐原始森林的行為不遏制的話，貓頭鷹將瀕臨滅絕的危險(xiǎn)，而木材行業(yè)卻爭辯說貓頭鷹不應(yīng)被劃為瀕臨滅絕的的動(dòng)物，并引用一些已經(jīng)發(fā)表的科學(xué)報(bào)告來支持其觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家要對(duì)這個(gè)斑點(diǎn)貓頭鷹種群進(jìn)行動(dòng)力學(xué)研究，他們使用動(dòng)力系統(tǒng)xk+1=Axk為貓頭鷹建立種群模型，在該模型中，xk=（jk，sk，ak）的分量分別表示在時(shí)間k幼年，半成年和成年的雌性貓頭鷹的數(shù)量，A為階段矩陣A=0 0 2.4向量空間實(shí)例的引入

向量空間是高等代數(shù)中的一個(gè)重要的研究對(duì)象，那么它有沒有在實(shí)際中有所應(yīng)用呢，可以給學(xué)生舉一個(gè)例子， 航天飛機(jī)的控制系統(tǒng)對(duì)飛機(jī)是絕對(duì)關(guān)鍵的，由于航天飛機(jī)是個(gè)不穩(wěn)定的空中機(jī)體，在大氣層飛行時(shí)它需要不間斷的用計(jì)算機(jī)監(jiān)控，飛行控制系統(tǒng)不斷的向空氣動(dòng)力控制表面和44個(gè)小推進(jìn)器噴口發(fā)送命令，從數(shù)學(xué)的角度看，一個(gè)工程學(xué)系統(tǒng)輸入和輸出信號(hào)都是函數(shù)，這些函數(shù)的加法和數(shù)量乘法在應(yīng)用中是重要的，在這節(jié)的學(xué)習(xí)中可以看到，函數(shù)的這兩個(gè)運(yùn)算既有完全類似于中向量的加法和數(shù)量乘法的代數(shù)性質(zhì)，由于這個(gè)原因，所有可能輸入的集合稱為一個(gè)向量空間。這樣就可以引入向量空間的定義。

3.小結(jié)

本文只是就一些概念的學(xué)習(xí)引入典型的實(shí)例，其實(shí)高等代數(shù)的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都可以引入實(shí)例。我們?cè)谝雽?shí)例的時(shí)候要注意例子的選擇，不要選那些超越我們所學(xué)知識(shí)的例子，并且學(xué)生相對(duì)感興趣的例子，這種教學(xué)方法不僅能提高學(xué)生的抽象思維能力、應(yīng)用能力，而且能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識(shí)，是常規(guī)教學(xué)方法的一種改進(jìn)和提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].高等教育出版社，2003.

[2]張賢科，許甫華.高等代數(shù)學(xué)[M].清華大學(xué)出版社，2004.

篇5

關(guān)鍵詞：高等代數(shù)；教學(xué)；改革

前言

高等代數(shù)是高師數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，它不僅是中學(xué)代數(shù)的延拓，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。然而由于這課程概念多，定理多，證明多，便構(gòu)成了高等代數(shù)抽象、邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn)，因此，也就成了初學(xué)者的“老大難”。筆者通過很多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，對(duì)高師高等代數(shù)課程教學(xué)改革提出幾點(diǎn)建議：

1 因材施教，適當(dāng)調(diào)整課程教學(xué)。

根據(jù)學(xué)生實(shí)際的專科教育，高等代數(shù)的改革目標(biāo)應(yīng)當(dāng)是符合學(xué)生實(shí)際，且全體學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)都能得到培養(yǎng)和提高。

（1） 強(qiáng)調(diào)代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和基本理論

教學(xué)計(jì)劃和教學(xué)方案的改革直接關(guān)系到人才培養(yǎng)規(guī)格，而代數(shù)、分析、幾何等重要的基礎(chǔ)課應(yīng)在適當(dāng)更新內(nèi)容的基礎(chǔ)上得到加強(qiáng)和保證。作為高師數(shù)學(xué)專業(yè)重要基礎(chǔ)課程之一的高等代數(shù)，它進(jìn)行的改革必須是突出和保證基礎(chǔ)知識(shí)和基本理論的教學(xué)改革。高師高等代數(shù)分二個(gè)學(xué)期教學(xué)，筆者在張禾瑞編著的《高等代數(shù)》（第五版）作為教材的基礎(chǔ)上，對(duì)教材內(nèi)容和順序進(jìn)行了調(diào)整，第一學(xué)期按照順序?qū)W習(xí)行列式、矩陣、線性方程組，把多項(xiàng)式這一章放到第一學(xué)期的最后，行列式和矩陣是高等代數(shù)的主要內(nèi)容之一和最基本的研究工具，貫穿著高等代數(shù)課程整個(gè)內(nèi)容的始終。第二學(xué)期依次學(xué)次型、線性空間、線性變換、歐幾里得空間。

（2） 適當(dāng)融代數(shù)應(yīng)用知識(shí)于代數(shù)理論

數(shù)學(xué)的應(yīng)用已深入到社會(huì)生產(chǎn)和生活的各個(gè)方面，數(shù)學(xué)的發(fā)展始終沒有離開社會(huì)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，是數(shù)學(xué)科學(xué)的重要組成部分而且還是這門學(xué)科存在價(jià)值的一個(gè)體現(xiàn)，為了在數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，也為了適合未來數(shù)學(xué)教育改革的形式多樣化，知識(shí)多層次化，思想方法突出化和應(yīng)用強(qiáng)化，以及素質(zhì)教育的需要，高等代數(shù)的教學(xué)改革，必須是適當(dāng)融代數(shù)應(yīng)用知識(shí)于代數(shù)理論的教學(xué)改革。如在矩陣乘法運(yùn)算中，筆者引用了這么一個(gè)例子：某公司生產(chǎn)的A，B，C三種產(chǎn)品的原料成本、人工成本、管理與其他成本和每種產(chǎn)品在每個(gè)季度生產(chǎn)的數(shù)量如下表：

生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本（單位：元）

每季度的產(chǎn)量

現(xiàn)用一張表格展示出在每一季度中每一類成本的成本值。

用這么個(gè)例題就可以充分展示出矩陣在實(shí)際生活當(dāng)中的利用價(jià)值，就是體現(xiàn)了學(xué)有所用。

（3） 運(yùn)用現(xiàn)代化的數(shù)學(xué)語言

一直以來數(shù)學(xué)課堂的緊張、嚴(yán)肅、枯燥壓抑著學(xué)生，教師要上好課，必須講求課堂教學(xué)的語言藝術(shù)。這就需要我們?cè)跀?shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性、準(zhǔn)確性、精煉性、形象性、幽默性等方面下功夫，讓數(shù)學(xué)語言“與時(shí)俱進(jìn)”，體現(xiàn)數(shù)學(xué)語言獨(dú)有的風(fēng)韻格調(diào)。如筆者在多項(xiàng)式互素的充要條件教學(xué)中，采取如下形式描述：。這樣將普通的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言（即數(shù)學(xué)化），運(yùn)用現(xiàn)代化的數(shù)學(xué)語言，不僅有利于問題的轉(zhuǎn)化和解決，可以把枯燥的數(shù)學(xué)課堂變得有趣，更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想和內(nèi)涵，收到更好的教學(xué)效果。

2 選擇適合學(xué)生實(shí)際的好的教學(xué)方法

在數(shù)學(xué)概念或命題的教學(xué)中，學(xué)生心里老是納悶，這個(gè)證明或解法是怎樣想出來的？從中可悟出，數(shù)學(xué)概念或命題的教學(xué)過程離不開數(shù)學(xué)思想方法，離不開處理具體問題的具體方法的體現(xiàn)，更離不開適合學(xué)生實(shí)際的好的教學(xué)方法，因此高等代數(shù)的教學(xué)改革，必須是體現(xiàn)出代數(shù)思想方法和適合學(xué)生實(shí)際的好的教學(xué)方法的教學(xué)改革。

（1） 提高學(xué)生對(duì)代數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣

興趣是學(xué)習(xí)的一切動(dòng)力。教師在教學(xué)中可展現(xiàn)所教內(nèi)容的歷史背景，穿插些數(shù)學(xué)史料，使學(xué)生沿著數(shù)學(xué)發(fā)展的足跡認(rèn)識(shí)代數(shù)學(xué)的真諦，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，從思想上提高對(duì)代數(shù)意義的認(rèn)識(shí)。高等代數(shù)中某些內(nèi)容的知識(shí)背景源于中學(xué)的，在教學(xué)過程中注意與初等代數(shù)的縱橫聯(lián)系，能從較高的層次對(duì)中學(xué)所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容給予更科學(xué)的解釋。如多項(xiàng)式與中學(xué)的代數(shù)式、方程、因式分解等聯(lián)系較緊。例如，分解因式（x-y-z）3-（x3-3-z3）在中學(xué)是一道比較難的習(xí)題，而利用多項(xiàng)式的根與因式分解聯(lián)系起來可以很容易解決。解法是：因x=-y，x=-z，y=-z均為多項(xiàng)式的根，所以（x-y-z）3-（x3-y3-z3）=m（x+y）（x+z）（x+z）。用待定系數(shù)法得m=3。這些活生生的實(shí)例，不但使學(xué)生增強(qiáng)了解題能力，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，也排除了少數(shù)學(xué)生“當(dāng)一個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教師，學(xué)高等代數(shù)有何用”的疑難。

（2） 運(yùn)用適合學(xué)生的好的教學(xué)技術(shù)手段

由于高等代數(shù)教學(xué)的許多軟件不斷出現(xiàn)，迫使我們高等代數(shù)教師不得不考慮適當(dāng)使用先進(jìn)教學(xué)技術(shù)、手段和軟件，來提高教學(xué)效果和學(xué)生興趣，做到使用新技術(shù)的教學(xué)與好的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有機(jī)結(jié)合與統(tǒng)一。筆者在高等代數(shù)教學(xué)改革中采用了前期開展的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，在行列式、矩陣的教學(xué)中，展示數(shù)學(xué)軟件在高等代數(shù)中的運(yùn)用，讓學(xué)生充分體會(huì)先進(jìn)教學(xué)技術(shù)的魅力，取得了很好的效果。

（3） 運(yùn)用啟發(fā)式的教學(xué)

教師要從學(xué)生實(shí)際情況出發(fā)，考慮教學(xué)設(shè)計(jì)，善于設(shè)疑誘導(dǎo)，采用啟發(fā)式教學(xué)，教學(xué)中要善于體現(xiàn)出各知識(shí)點(diǎn)的銜接和相互結(jié)合的關(guān)系，注意承上啟下的關(guān)系和不同知識(shí)之間的聯(lián)系。筆者認(rèn)為，學(xué)好高等代數(shù)，重點(diǎn)講清基本概念，讓學(xué)生真正理解高等代數(shù)中的概念和定理。在高等代數(shù)教學(xué)中為保證教學(xué)達(dá)到預(yù)期的效果，可以同時(shí)適當(dāng)兼顧解決實(shí)際問題的“技能”性教學(xué)，適當(dāng)重視解決實(shí)際問題能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力。

（4） 適當(dāng)引進(jìn)一些帶有研究性的開放性數(shù)學(xué)問題

平常在教學(xué)過程中可以適時(shí)適量的給出一些數(shù)學(xué)開放性問題，所謂開放性問題，即只提出原則性的要求，對(duì)問題所涉及的知識(shí)和能力范圍有所控制，不對(duì)完整解答問題所需要的知識(shí)，能力層次作出要求。對(duì)開放性問題的教學(xué)，可由學(xué)生自已作出小結(jié)，進(jìn)行板演，最后由教師進(jìn)行總結(jié)和點(diǎn)評(píng)。筆者認(rèn)為可以充分利用數(shù)學(xué)建模這個(gè)平臺(tái)，目前我系的數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)正在按計(jì)劃進(jìn)行，力求通過對(duì)開放性問題的深入研究，提高學(xué)生解決問題能力、科研能力及創(chuàng)新能力。

（5） 實(shí)施參與式教學(xué)，將數(shù)學(xué)教育與素質(zhì)教育有機(jī)結(jié)合

所謂參與式教學(xué)，就是要求學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，要有一種主動(dòng)參與精神，在學(xué)習(xí)的同時(shí)要敢于去想和說一些自已的思想和觀點(diǎn)；而教師應(yīng)該更注重引導(dǎo)，在引導(dǎo)過程中培養(yǎng)學(xué)生具有適應(yīng)社會(huì)，改造社會(huì)的素質(zhì)和能力。參與式教學(xué)常見形式為課堂討論，通過學(xué)生相互討論，鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力和口頭表達(dá)能力，強(qiáng)化了學(xué)習(xí)的效果，增加學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的自信心。新世紀(jì)素質(zhì)教育的基本要求是“以學(xué)生發(fā)展為本”。教學(xué)有法，教無定法，通過教師的“行動(dòng)研究”，使數(shù)學(xué)教育與素質(zhì)教育有機(jī)結(jié)合，以期達(dá)到提高學(xué)生整體素質(zhì)的目的。

3 結(jié)語

現(xiàn)代高等代數(shù)課程建設(shè)是一項(xiàng)巨大的系統(tǒng)工程，只有在課程教育觀念更新、課程內(nèi)容、教學(xué)方式、方法和手段改革、師資隊(duì)伍建設(shè)等方面做大量深入的開創(chuàng)性工作，才能真正建成適應(yīng)我國現(xiàn)代高層次人才培養(yǎng)目標(biāo)的高等代數(shù)課程體系。

[參考文獻(xiàn)]

篇6

關(guān)鍵詞：高等代數(shù) 解析幾何 課程改革 整合

作為高校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，高等代數(shù)、解析幾何一直備受關(guān)注。如何實(shí)現(xiàn)包括高等代數(shù)、解析幾何在內(nèi)的大學(xué)基礎(chǔ)課程的改革與發(fā)展，是教育工作者一直關(guān)注的問題。本文在教學(xué)改革實(shí)踐探索的基礎(chǔ)上，分析高等代數(shù)、解析幾何改革發(fā)展的一種可行方案整合及其實(shí)踐探索。

一、高等代數(shù)與解析幾何課程整合的可行性分析

（一）改革高等代數(shù)與解析幾何課程設(shè)置是數(shù)學(xué)教師專業(yè)化發(fā)展的需要。

當(dāng)前，教師專業(yè)化發(fā)展成為推動(dòng)師范教育走向教師教育的不竭動(dòng)力，高等師范教育的目的在于培養(yǎng)合格的中小學(xué)教師。作為培養(yǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)教師必備的高等代數(shù)和解析幾何課程，面臨著中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容綜合化和現(xiàn)代化的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)，課程內(nèi)容的綜合化需要高等代數(shù)、解析幾何走向整合，而課程內(nèi)容的現(xiàn)代化又要求師范教育必須壓縮傳統(tǒng)課程的課時(shí)，增加反映現(xiàn)代數(shù)學(xué)基本思想和基本方法的課程內(nèi)容。壓縮課時(shí)、整合內(nèi)容、提高教學(xué)效率，成為高等代數(shù)、解析幾何兩門基礎(chǔ)課程需要解決的問題。

（二）高等代數(shù)與解析幾何課程改革是適應(yīng)高等教育理念變化的需要

眾所周知，教學(xué)內(nèi)容受制于一定的教育理念，高等教育理念的變化總會(huì)誘發(fā)高等教育教學(xué)內(nèi)容的相應(yīng)變革。近代高等教育初始時(shí)的功能比較單一，以傳授知識(shí)為主，高等教育的主要甚至唯一的基點(diǎn)就是教學(xué)。隨著社會(huì)的發(fā)展，高等教育與社會(huì)經(jīng)濟(jì)的關(guān)系日趨緊密，產(chǎn)、學(xué)、研三結(jié)合日趨密切，高等教育步入了多樣化、綜合化、個(gè)性化和職前職后一體化的終身教育發(fā)展進(jìn)程，高等學(xué)校也日益成為科學(xué)、文化、社會(huì)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展的中心。適應(yīng)高等教育理念的變革，體現(xiàn)多樣化、綜合化的特點(diǎn)，高師院校的課程結(jié)構(gòu)必須由線性單向的課程模式向網(wǎng)狀多向的課程模式方向發(fā)展。關(guān)注學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)、關(guān)注不同領(lǐng)域之間的內(nèi)在聯(lián)系，是當(dāng)前教育教學(xué)內(nèi)容改革的整體趨勢(shì)。

二、高等代數(shù)與解析幾何課程整合的主要措施

整合教材的編寫

1.將高等代數(shù)與解析幾何的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行實(shí)質(zhì)性整合。將高等代數(shù)與空間解析幾何的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行整合，并不是將二者簡單地拼湊，而是將其糅合在一起，形成統(tǒng)一的整體，使得彼此雙方的核心內(nèi)容都得到加強(qiáng)?；谶@種考慮，我們的做法是：適當(dāng)增加與中學(xué)數(shù)學(xué)有聯(lián)系的數(shù)論等內(nèi)容；適當(dāng)增加抽象代數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，將抽象代數(shù)與高等代數(shù)的內(nèi)容整合在一起，并用統(tǒng)一的思想方法加以處理；把高等幾何的主要內(nèi)容整合到解析幾何中；通過對(duì)傳統(tǒng)的經(jīng)典內(nèi)容的精選、貫通、融合和相互滲透，進(jìn)一步加強(qiáng)高等代數(shù)與解析幾何在內(nèi)容和方法上的緊密聯(lián)系，即不僅體現(xiàn)高等代數(shù)作為解析幾何的主要工具作用，而且更要具體地給高等代數(shù)提供各種幾何背景和幾何解釋。

2.精選和更新課程內(nèi)容。高等代數(shù)與解析幾何畢竟屬于基礎(chǔ)課，許多基本內(nèi)容在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中居于基礎(chǔ)地位，仍需要保留，問題的關(guān)鍵在于如何加以精選，賦予新的意義。

（1）精選好高等代數(shù)與解析幾何相互融合的結(jié)合點(diǎn)，使學(xué)生更直觀地接受現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一些重要數(shù)學(xué)思想方法和思維方式，學(xué)會(huì)如何尋找事物的內(nèi)在聯(lián)系，掌握課程的精華所在，體會(huì)數(shù)與形的和諧統(tǒng)一。

（2）精選好具有堅(jiān)實(shí)的幾何直觀背景的有關(guān)代數(shù)內(nèi)容。例如，加強(qiáng)二維、三維的線性方程組、線性空間、線性變換等內(nèi)容。通過數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生借助二維、三維的幾何直觀進(jìn)一步理解高維的線性方程組、變換、空間等內(nèi)容，感受立足幾何圖形把握問題實(shí)質(zhì)的思維方式，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)直覺思維、形象思維在數(shù)學(xué)演繹中的重要地位，體會(huì)數(shù)學(xué)的抽象美與直觀美之間的和諧統(tǒng)一。

3.教材內(nèi)容的編寫注意體現(xiàn)啟發(fā)式。面向21世紀(jì)的大學(xué)代數(shù)與幾何教材，不僅要求內(nèi)容新、體系新，而且要求方法也要新。所謂方法新，是指采用啟發(fā)式的教學(xué)方法，對(duì)既定的教學(xué)內(nèi)容加以組織和表達(dá)，使之易教、易學(xué)，具有典型的學(xué)材風(fēng)格（而不是專著風(fēng)格）。

（1）寫明主題。在每一章節(jié)的開頭都簡要地寫明本章節(jié)的主題，讓學(xué)生能整體了解本章節(jié)的內(nèi)容特點(diǎn)，包括知識(shí)的來龍去脈和基本思路，以便于整體把握本章節(jié)內(nèi)容。

（2）突出知識(shí)點(diǎn)。突出每一章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)，并冠以小標(biāo)題，讓學(xué)生一目了然，同時(shí)采用既有分解又有綜合，既有特殊到一般，又有一般到特殊的表達(dá)和敘述方法，使學(xué)生在從具體到抽象的認(rèn)識(shí)過程中，了解知識(shí)的來龍去脈。

（3）關(guān)注知識(shí)的前后聯(lián)系與對(duì)比。對(duì)主干知識(shí)（基本概念、基本理論和基本方法），力求體現(xiàn)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的全過程，體現(xiàn)前后內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，以便于學(xué)生在體系中掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。同時(shí)，在內(nèi)容的展開中，適時(shí)地通過分析、腳注等形式，給學(xué)生提供思維過程，提出問題，引發(fā)學(xué)生去思考，給學(xué)生留下思考的空間。

（4）精心設(shè)計(jì)課后習(xí)題。除編寫一些基本訓(xùn)練題外，還要為不同層次的學(xué)生編選一些復(fù)習(xí)思考題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)加以擴(kuò)展、延伸和綜合運(yùn)用，留給學(xué)生足夠的思考空間。努力改變學(xué)生只會(huì)做題，不會(huì)研究的學(xué)習(xí)方式。

（5）編寫小結(jié)，引發(fā)學(xué)生及時(shí)回顧、反思。為了加強(qiáng)啟發(fā)性和研討性，在每一章的最后，可以編寫一些有特色的本章小結(jié)，概述本章知識(shí)的整體邏輯結(jié)構(gòu)以及貫穿全章的數(shù)學(xué)基本思想和方法。既包括正文中沒有深入闡述的結(jié)論，也包括推理過程中沒有詳細(xì)涉及的問題，也涉及已講授內(nèi)容的擴(kuò)展性、延伸性問題。這樣做有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合概括能力，也為學(xué)生的創(chuàng)新思維開辟了較大的空間。

（6）在教材中適當(dāng)增加課外閱讀材料?？梢越榻B有關(guān)代數(shù)與幾何方面的一些史料以及有突出貢獻(xiàn)的一些數(shù)學(xué)家，介紹他們的簡要經(jīng)歷、學(xué)術(shù)成就、治學(xué)態(tài)度與方法，以此激勵(lì)學(xué)生刻苦鉆研、勇于創(chuàng)新。也可以介紹代數(shù)與幾何在其他領(lǐng)域中的一些應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

篇7

關(guān)鍵詞： 多項(xiàng)式 整數(shù)環(huán) 整環(huán) 素?cái)?shù) 不可約多項(xiàng)式

一、引言

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的專業(yè)基礎(chǔ)課之一，它強(qiáng)調(diào)邏輯的嚴(yán)密性和計(jì)算的準(zhǔn)確性.正因?yàn)槿绱?，它在代?shù)學(xué)、數(shù)值計(jì)算、最優(yōu)化等學(xué)科中有著重要的應(yīng)用.相對(duì)于計(jì)算的準(zhǔn)確性，邏輯的嚴(yán)密性讓剛走進(jìn)大學(xué)校門的新生倍感吃力.造成這一現(xiàn)象的最初原因就是多項(xiàng)式理論太抽象了.學(xué)生不知道這些理論從哪里來？為何會(huì)有如此多的定理？

注意到高等代數(shù)的教材中提到了多項(xiàng)式環(huán)的概念，并沒有給出相應(yīng)的解釋，這給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來一定的困擾.本文將從環(huán)論的角度重新解釋多項(xiàng)式理論，使該理論更容易被更多學(xué)生接受.通過對(duì)比的學(xué)習(xí)，學(xué)生將能夠更好地掌握多項(xiàng)式的互素，最大公因式，不可約多項(xiàng)式，以及因式分解定理.

本文共分為兩部分，在第一部分，我們將回顧環(huán)的定義整環(huán)的定義及整數(shù)環(huán)的基本性質(zhì).在第二部分，我們將對(duì)照第一部分給出的有關(guān)整數(shù)環(huán)的結(jié)果給出多項(xiàng)式環(huán)的相關(guān)結(jié)果.

二、整環(huán)與整數(shù)環(huán)

在本節(jié)中我們將首先回顧環(huán)和整環(huán)的定義，然后給出整數(shù)環(huán)的性質(zhì).為了解決教材中的多項(xiàng)式環(huán)留下的疑問，我們需要給出以下定義：

定義 2.1 設(shè)R為一個(gè)非空集合，記RXR={（r，s）|r，s 為R中的元素}，設(shè)a： RXR------> R的映射使得a（r，s）=rs，則R被稱為群如果a滿足

（1）結(jié)合律成立，即對(duì)于R中任意的r，s，t有（rs）t=r（st）.

（2）左單位元存在，即存在R中的元素e使得對(duì)任意的R中的元素r ， er=r.

（3）左逆元存在，即對(duì)于R中任何的元素r存在r使得rr=e.

注記：非零有理數(shù)關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個(gè)群.形如a的映射可以看成集合上的一種運(yùn)算.

定義2.2 設(shè)R，RXR，a同上且b：RXR------> R的映射使得b（r，s）=r+s. R 被稱為一個(gè)環(huán)如果 a，b滿足：

（1）R關(guān)于加法構(gòu)成一個(gè)ablian 群，也就是說R關(guān)于定義的′+′構(gòu)成一個(gè)交換群.

（2）R關(guān)于乘法滿足結(jié)合律，即對(duì)于R中任意的r，s，t有（rs）t=r（st）.

（3）分配率成立，（a+b）c=ac+bc； c（a+b）=ca+cb.

注記：整數(shù)集關(guān)于通常的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán).所有的一元多項(xiàng)式的集合關(guān)于多項(xiàng)式的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán).

為了說明我們的主要結(jié)果，給出整環(huán)的定義.

定義2.3 一個(gè)環(huán)R成為整環(huán)如果它滿足：

（1）它的乘法可交換.

（2）它含有一個(gè)幺元 I，即Ia=a 對(duì)任意的R中的元素a成立.

（3）任意R中的非零元素a，b，ab≠0.

注記： 特別地，如果一個(gè)交換有幺元環(huán)R中的非零元素關(guān)于它的乘法構(gòu)成一個(gè)群，則稱R為域.注意域必為整環(huán)，實(shí)數(shù)域，有理數(shù)域是域，都也是整環(huán).

為了給出本文的主要結(jié)果，下面我們回顧整數(shù)環(huán)作為整環(huán)具有的性質(zhì).

定理2.4 設(shè)R整數(shù)環(huán)，則R滿足：

（1）對(duì)于任意的R中的元素m，n≠0存在q，r∈R使得m=qn+r其中0≤r

（2）對(duì)于任意的R中的元素m，n ，它們的最大公因子（m，n）存在且（m，n）=lm+pn，其中l(wèi)， p 為R中的元素.

（3）對(duì)于任意素?cái)?shù)p和任意的n， 都有p|n或者（p，n）=1.

三、一元多項(xiàng)式環(huán)的性質(zhì)

本節(jié)中我們將研究數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式環(huán)的性質(zhì).注意到P上的所有的一元多項(xiàng)式關(guān)于多項(xiàng)式的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán)P[X].下面證明P[X]是一個(gè)整環(huán).

命題3.1 P[x]是一個(gè)整環(huán).

證明：由定義2.3，我們只需要證明P[x]中交換有幺元且非零元之積不為零.由多項(xiàng)式的乘法可知，幺元為零次多項(xiàng)式 1且f（x）g（x）=g（x）f（x）.再由多項(xiàng)式乘法的定義可知若f（x），g（x）不為零，則f（x）g（x）≠0.

注意到整數(shù)環(huán)是整環(huán)，自然地問題是整環(huán)是否有類似定理2.1的性質(zhì)呢？此部分近世代數(shù)將詳細(xì)講解.而多項(xiàng)式環(huán)也是特殊的整環(huán)，本文將考慮如下問題.

問題3.2 P[x]是否有類似定理2.4的性質(zhì)？

下面我們給出高等代數(shù)第一章的主要定理.但我們不給出定理的證明，只給出如何與定理2.1對(duì)比.

定理 3.3 設(shè)P為一數(shù)域，P[x]為其一元多項(xiàng)式環(huán).

對(duì)比說明：

（1）提示學(xué)生思考有沒有類似定理2.4（1）的結(jié)論.然后學(xué)生考慮如何改善定理2.4（1）中的余數(shù)比較大小的問題.這里要聲明多項(xiàng)式是沒法比較大小的，但是次數(shù)是可以的.

（2）這里要提示學(xué)生對(duì)比寫出類似的結(jié)論并用類似的方式證明.需要注意這里的最大公因式并不唯一，因此引進(jìn)了首1的最大公因式.

（3）結(jié)合素?cái)?shù)的定義，由學(xué)生給出對(duì)應(yīng)的不可約多項(xiàng)式的概念，然后類似地證明相似的性質(zhì).

（4）有了（3）的引入，誘導(dǎo)學(xué)生自然地思考本命題的表達(dá)形式.并參考素?cái)?shù)的證明給出證明.

四、結(jié)語

通過本文的論述，學(xué)生很容易知道這一章的所有結(jié)果不是憑空而來的，而是仿照整數(shù)環(huán)的理論類比而來的，同時(shí)學(xué)生也知道了環(huán)和域的概念.此外，關(guān)于整環(huán)上的問題3.2，給學(xué)生留下了懸念.

參考文獻(xiàn)：

[1]北大代數(shù)組.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社， 2013，1-50.

篇8

——以《高等代數(shù)》為例

朱雅敏

（西安工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710021）

【摘要】當(dāng)前的高校高等數(shù)學(xué)教育存在很多問題，這些問題體現(xiàn)在：學(xué)生對(duì)于課程的重要性和實(shí)用性了解不夠；因?yàn)樽霾坏铰殬I(yè)規(guī)劃，認(rèn)為高等數(shù)學(xué)對(duì)于自己的未來職業(yè)意義不大；高等數(shù)學(xué)的教學(xué)和考核方式太過呆板和單一。

關(guān)鍵詞 高等代數(shù)；實(shí)用；職業(yè)規(guī)劃

筆者從教以來，一直從事《高等代數(shù)》、《線性代數(shù)》等代數(shù)類課程的教學(xué)工作。在幾年的教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)學(xué)存在很大的問題（應(yīng)該說不止代數(shù)學(xué)，在其他高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中這些問題也是普遍存在的）。這些問題包括：

（1）學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)類課程的重要性存在疑問。大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為自己畢業(yè)之后并不會(huì)從事數(shù)學(xué)的研究工作，故此學(xué)習(xí)這些課程沒有太大意義，即對(duì)高等數(shù)學(xué)課程的實(shí)用性了解不夠，認(rèn)為這些只是理論基礎(chǔ)課。

（2）大學(xué)太早劃分了專業(yè)，很多學(xué)生是在對(duì)自己專業(yè)茫然無知狀態(tài)下做出的選擇，故此對(duì)自己所學(xué)專業(yè)本身談不上熱愛，但是對(duì)于專業(yè)之外的領(lǐng)域卻又一無所知。再加上最近幾年就業(yè)率下降，導(dǎo)致絕大部分學(xué)生在面對(duì)自己本該輝煌燦爛的未來時(shí)，表現(xiàn)出來的卻是茫然和恐懼，很難做到對(duì)自己的未來做充足的職業(yè)規(guī)劃，因此在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)等相對(duì)抽象而短時(shí)間之內(nèi)“貌似”看不到實(shí)用價(jià)值的課程提不起興趣。

（3)教學(xué)方式和考核方式單一。教學(xué)絕大部分高校目前仍然是采取板書為主，只有部分高校引進(jìn)多媒體，但效果并不理想?？己朔绞揭话愣际强荚嚕@就導(dǎo)致了，考試考得好，并不一定會(huì)用。考得好也不一定是學(xué)得好。

針對(duì)以上問題，筆者做了以下思考（以《高等代數(shù)》的教學(xué)為例）：

針對(duì)第一個(gè)問題：

高等數(shù)學(xué)是抽象的，是理論的，但并不代表它們?nèi)狈?shí)用性。事實(shí)上，數(shù)學(xué)是從實(shí)踐中來，最終所有的數(shù)學(xué)也都走回到了實(shí)踐中去，即使曾經(jīng)號(hào)稱“數(shù)學(xué)皇后”“最純粹的數(shù)學(xué)”的數(shù)論也不例外。在國家和高校都注重培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力和職業(yè)規(guī)劃教育的現(xiàn)在，在基礎(chǔ)課教學(xué)中融入實(shí)踐教育和職業(yè)引導(dǎo)，是順應(yīng)時(shí)代的大事。

以《高等代數(shù)》為例，《高等代數(shù)》學(xué)中的幾乎每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都可以涉及到很多的應(yīng)用領(lǐng)域：

比如講到矩陣，可以提到電影《黑客帝國》中無所不能的機(jī)器“matrix”，可以提到電視劇《潛伏》中的加密解密等密碼學(xué)問題，可以提到博弈論中用來分析描述博弈各方得失的“支付矩陣”，可以講到《圖論》中的“鄰接矩陣”及其應(yīng)用，甚至目前最火爆的大數(shù)據(jù)處理中各個(gè)數(shù)據(jù)特征的存取無一例外都是用到矩陣，機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的供機(jī)器學(xué)習(xí)和處理的數(shù)據(jù)也是以矩陣形式存在的…在這些領(lǐng)域矩陣都是必不可少的分析承載工具。

如果課時(shí)允許，在教授代數(shù)學(xué)理論時(shí)，能夠列舉并簡單介紹矩陣在這幾個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用情況，不僅讓學(xué)生了解這部分知識(shí)并不只是枯燥無味的符號(hào)，而是承載了好多學(xué)科發(fā)展的必不可少的工具，而且讓學(xué)生了解一些目前科學(xué)領(lǐng)域的不同方向，不同的學(xué)生會(huì)對(duì)不同的學(xué)科感興趣，不管他感興趣的是哪個(gè)學(xué)科，都起到了激發(fā)他學(xué)習(xí)本門課程的學(xué)習(xí)興趣以及根據(jù)自己愛好和能力，規(guī)劃自己未來職業(yè)道路的作用。

針對(duì)第二個(gè)問題：

高等院校是培養(yǎng)人才的搖籃，是直面就業(yè)的最后一道堡壘。在這里，我們應(yīng)該做的是最大的激發(fā)每個(gè)學(xué)生的潛能，照顧到學(xué)生興趣和能力的差異。

在這里，我認(rèn)為高校不應(yīng)該入學(xué)就設(shè)置專業(yè)壁壘，而應(yīng)該至少給學(xué)生一個(gè)認(rèn)識(shí)自己、發(fā)現(xiàn)自己的過渡時(shí)期。大一的時(shí)候可以設(shè)置很多專業(yè)基礎(chǔ)課，這些專業(yè)基礎(chǔ)課不應(yīng)該是按專業(yè)來劃分班級(jí)，而應(yīng)該是面對(duì)所有新生。根據(jù)學(xué)生的不同能力以及授課的不同側(cè)重點(diǎn)，可以把一門課程按照難度分解為幾個(gè)不同的課號(hào)。以密歇根大學(xué)（下文簡稱密大）的《抽象代數(shù)》為例:密大數(shù)學(xué)系提供了312,412,493三個(gè)模塊的《抽象代數(shù)》課程。這三個(gè)課程的教學(xué)目的都是：讓學(xué)生接觸嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)語言，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格的邏輯推理能力。但由于課程的難度和側(cè)重點(diǎn)不同，所以這三門課程的教材，開課時(shí)間，教學(xué)內(nèi)容都不盡相同。這很大程度上照顧到了學(xué)生的能力不同以及因?yàn)閭€(gè)人需要的不同而存在的差別。

以《高等代數(shù)》為例，我們的高校也可以采取類似的做法，根據(jù)學(xué)生需要不同以及能力的差異，對(duì)本門課程設(shè)置幾個(gè)模塊的教學(xué)內(nèi)容。根據(jù)側(cè)重點(diǎn)不同，每個(gè)模塊的授課方式，授課時(shí)間，以及教學(xué)內(nèi)容都不盡相同。針對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)等文科領(lǐng)域的學(xué)生，只教授和他們所學(xué)內(nèi)容相關(guān)的知識(shí)，并講授這些知識(shí)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的一些應(yīng)用案例。而針對(duì)喜歡計(jì)算機(jī)以及偏好其他工科的學(xué)生，可以教授和這些領(lǐng)域相關(guān)的內(nèi)容，并講授這些內(nèi)容在相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用案例。針對(duì)愛好數(shù)學(xué)以及上述兩個(gè)課程學(xué)完之后深覺知識(shí)信息量不夠的學(xué)生，可以講授理論推導(dǎo)邏輯性較強(qiáng)的目前的授課版本。這樣即照顧了學(xué)生的能力以及因?yàn)閻酆脤?dǎo)致的需求不同，又可以照顧到愛好數(shù)學(xué)以及學(xué)完專業(yè)版本代數(shù)學(xué)之后深感知識(shí)量不夠的學(xué)生的要求。學(xué)生帶著需求上課的學(xué)習(xí)效果，與強(qiáng)行灌輸?shù)男Ч厝徊豢赏斩Z。

雖然目前各個(gè)高校采取了類似的分類，但是分類簡單粗暴，只是把數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生和其他專業(yè)的學(xué)生做了簡單劃分，數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)《高等代數(shù)》，而其他專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》，而這種劃分，只是名義上的劃分，針對(duì)各個(gè)不同專業(yè)以及不同興趣的學(xué)生并無任何更多考慮。

針對(duì)第三個(gè)問題：

授課方式要多吸取國外高校數(shù)學(xué)類授課方式的長處。比如美國加州大學(xué)富勒頓分校（CSUF）的數(shù)學(xué)類授課方式大多采用案例式、討論式、研究式、實(shí)踐式等授課方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題的實(shí)踐能力。國外很多大學(xué)高等數(shù)學(xué)課堂人手一個(gè)的Graphingcalculator（圖形計(jì)算器），能夠幫助學(xué)生形象化的理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，但在國內(nèi)課堂，這些高科技的手段都難覓蹤跡。而考核方式，國外與國內(nèi)更是存在很大的不同，國內(nèi)一般是期末考試一次定終身，或者加上平時(shí)成績以及期中考試的成績比例。而在國外，以美國大學(xué)數(shù)學(xué)課程微積分（calculus）為例，課程最終成績一般由四大塊構(gòu)成（教師可自行調(diào)整比例）：家庭作業(yè)，每周小測(cè)驗(yàn)和期中考試，期末考試，實(shí)踐環(huán)節(jié)（用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題）。

國內(nèi)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)方式和考核方式改革也迫在眉睫。以《高等代數(shù)》為例，在授課過程中可以通過多媒體等教學(xué)方式，具體化某些抽象的代數(shù)問題或者達(dá)到形象生動(dòng)化一些實(shí)用案例的效果。比如多項(xiàng)式在擬合差值方面有重要的地位，在講多項(xiàng)式時(shí)，可以通過多媒體課件展示不同次數(shù)多項(xiàng)式的圖形效果，并進(jìn)而可以講到多項(xiàng)式差值的含義以及在飛機(jī)、汽車等工業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用。

而課程的考核方式改革也勢(shì)在必行。以《高等代數(shù)》為例，我們可以仿照美國大學(xué)的做法，把最終的考核結(jié)果分為更多模塊構(gòu)成，比如課后作業(yè)，期末考試，以及實(shí)踐環(huán)節(jié)等。而實(shí)踐環(huán)節(jié)可以考慮一學(xué)期完成一到兩個(gè)，專門某一節(jié)課可以讓學(xué)生講解自己的實(shí)踐作業(yè)處理的問題，思路，及求解辦法。這樣不僅可以學(xué)以致用，利用知識(shí)的有用性推動(dòng)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和研究的興趣，刺激學(xué)生展開想象力的翅膀，鼓勵(lì)各種奇思妙想，展示智慧結(jié)晶，并能夠帶動(dòng)學(xué)生對(duì)于一些數(shù)學(xué)工具軟件，比如matlab等的掌握。可謂一舉多得。而這樣做無非是比現(xiàn)在的考核方式多了兩次課的實(shí)踐展示環(huán)節(jié)，并不需要對(duì)當(dāng)下的教育模式動(dòng)太大的手術(shù)。

參考文獻(xiàn)

［1］余達(dá)錦,楊淑玲.創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育背景下高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法研究[J].江西財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)報(bào),2013(4),122-129.

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數(shù)學(xué)在我們生活中無處不在，在大學(xué)期間，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度有所增加，所以高等數(shù)學(xué)被分為了好多學(xué)科，其中就包括線性代數(shù)這一重要的學(xué)科。線性代數(shù)的學(xué)習(xí)程度對(duì)高等數(shù)學(xué)是有一定的影響的，因?yàn)榫€性代數(shù)與高等數(shù)學(xué)是由相輔相成的作用的，在解決某些問題上，采用其中的一種方法是有可能比較困難的，這個(gè)時(shí)候就需要轉(zhuǎn)變思維，換一個(gè)角度想問題，讓自己的學(xué)習(xí)過程更加順利，從而提高自己的成績。

1 線性代數(shù)方法學(xué)習(xí)所需能力

1.1 需要有抽象的思維能力才能使學(xué)習(xí)更加高效

線性代數(shù)是需要學(xué)生通過抽象的思維進(jìn)行想象的，可以說學(xué)習(xí)的過程中對(duì)于向量，矩陣等都需要自己通過抽象想象的。線性代數(shù)中這樣的學(xué)習(xí)有很多種，例如矩陣與線性方程組，在矩陣與矩陣，矩陣與向量組，向量組與向量組等等，所以學(xué)生要了解他們之間的抽象關(guān)系，認(rèn)真領(lǐng)會(huì)其中的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)他們的概念以及性質(zhì)的學(xué)習(xí)進(jìn)行加強(qiáng)。在初中和高中的學(xué)習(xí)中，學(xué)生們已經(jīng)接觸過具有抽象能力的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)了，比如說在向量的學(xué)習(xí)中，就需要將向量想象成一種抽象的東西，這個(gè)時(shí)候的數(shù)學(xué)還是很好學(xué)的，但是對(duì)于高等數(shù)學(xué)中的線性代數(shù)里面的思維想象能力的要求就相對(duì)來說比較高了，所以對(duì)于學(xué)生在這方面能力的鍛煉與培養(yǎng)，需要教師多加引導(dǎo)，讓學(xué)生養(yǎng)成自己思考，主動(dòng)學(xué)習(xí)的好習(xí)慣，多做題，逐漸的就會(huì)把自己的抽象能力培養(yǎng)出來。

1.2 邏輯推理能力

不僅僅是線性代數(shù)需要邏輯推理能力，可以說整個(gè)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是一個(gè)邏輯推理能力的培養(yǎng)從小學(xué)時(shí)，學(xué)生們便開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一直都在鍛煉學(xué)生們的是邏輯推理能力。線性代數(shù)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間邏輯關(guān)系是非常緊密的，邏輯性是非常高的。其實(shí)我們?cè)趯W(xué)習(xí)很多學(xué)科時(shí)都有這種體會(huì)，知識(shí)點(diǎn)不是單獨(dú)存在的，教材在安排知識(shí)點(diǎn)的位置的時(shí)候也都會(huì)將有聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)放在一起學(xué)，這樣既對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)起來是一個(gè)方便，同時(shí)教師在教授的過程中也更加容易方便，這在一定程度上考驗(yàn)了學(xué)生的邏輯思維能力，所以線性代數(shù)在學(xué)習(xí)過程中一定要上下聯(lián)系，找出其中關(guān)聯(lián)的地方，把有關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)放在一起仔細(xì)研究，找到他們?cè)诮忸}過程中的運(yùn)用效果，能夠在解題過程中顯得不那么手足無措，同時(shí)要深刻理解其中的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，從而提高學(xué)習(xí)效率。另一方面學(xué)習(xí)的過程中需要運(yùn)用的推理能力不僅僅表現(xiàn)在知識(shí)點(diǎn)的上下聯(lián)系，而且在解題過程中需要在讀過題之后快速的找到體重的關(guān)鍵點(diǎn)，找出解題時(shí)所要用到的知識(shí)點(diǎn)，這也是對(duì)邏輯推理能力的一個(gè)考驗(yàn)。[1]

2 線性代數(shù)核心方法與工具學(xué)習(xí)

學(xué)習(xí)過高等數(shù)學(xué)的人們都知道，在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，線性方程組是一個(gè)核心內(nèi)容，二有關(guān)于線性方程組在解題過程中的主要的答題方法和答題依據(jù)是矩陣和矩陣的初等變換。有的解題方法例如矩陣的初等變換這一階梯方法，可以用在特征向量，向量空間的維數(shù)和基，還有就是矩陣的逆矩陣這一內(nèi)容也可以用矩陣的初等變換這一方法。[2]所以，線性代數(shù)的學(xué)習(xí)是融會(huì)貫通的，教師在教學(xué)過程中和學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中都要注意好矩陣的初等變換這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)，掌握矩陣這一項(xiàng)主要的學(xué)習(xí)工具，這樣才能在學(xué)習(xí)過程中可以游刃有余，可以找到解題的思路。

3 注重學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)

前面我們說過了。線性代數(shù)的學(xué)習(xí)需要很多的抽象能力，二線性代數(shù)的核心又在于行列式，行列式的學(xué)習(xí)就需要很高的抽象能力，學(xué)生在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容時(shí)，僅僅是憑借著公式死記硬背的套上去是不能夠解決問題的，需要手和腦的一起使用，所以學(xué)生在進(jìn)行基礎(chǔ)概念的學(xué)習(xí)時(shí)，要靈活運(yùn)用，注意要和題相結(jié)合，在解題的過程中自然而然的就學(xué)會(huì)了基礎(chǔ)概念，才能對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行全面深入的了解。因此，學(xué)生在對(duì)線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)的掌握時(shí)，可以包含以下幾個(gè)基本點(diǎn)。

3.1 對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)和理解基本知識(shí)方面的能力進(jìn)行加強(qiáng)

學(xué)生在學(xué)習(xí)之前必須要搞清楚概念，只有概念問題解決了，在解題過程中才不至于一頭霧水，線性代數(shù)是一門概念問題非常多的一門學(xué)科，里面的解題思路也很復(fù)雜，所以要想學(xué)好這門學(xué)科，必須先要把概念搞清楚，概念不清楚，解題過程中就會(huì)一點(diǎn)思路也沒有，即使題做出來了，也會(huì)事倍功半，達(dá)不到自己預(yù)期的效果。[3]線性代數(shù)里面包含的概念有關(guān)于解方陣的冪，有要求解逆矩陣以及解矩陣的秩，還有計(jì)算字母型和數(shù)字型的行列式等一些概念，這些概念說容易，只要學(xué)生搞清楚里面的關(guān)系，還有他們之間的邏輯性，按照規(guī)律循序漸進(jìn)就可以很好地掌握，但是在掌握過程中，在一些抽象的地方還需要進(jìn)一步的想象和理解。

3.2 強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換與銜接

線性代數(shù)這門課的知識(shí)點(diǎn)是比較多的，但是我們上面已經(jīng)提到，這些知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系是比較緊密的，我們可以把這些知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，構(gòu)成一個(gè)知識(shí)體系，使知識(shí)點(diǎn)之間能夠統(tǒng)籌起來，讓自己的綜合分析能力得到提高，從而提升自己的解題能力。我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中，要把知識(shí)點(diǎn)前后連接起來，形成一套完整的知識(shí)體系。從內(nèi)容上看，這些知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系是相當(dāng)緊密的，有時(shí)候一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)得使用之前的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行連接貫通，，他們之間是相互滲透，縱橫交錯(cuò)的，所以在解題的過程中也有很多的方法可以進(jìn)行選擇，這些都是靈活多變的，我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中不能夠只是用一種方法階梯，這樣會(huì)使效率變得很低，達(dá)不到自己的要求。尤其是在線性代數(shù)這門課的學(xué)習(xí)中，應(yīng)該將其中知識(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換與串聯(lián)進(jìn)行靈活掌握，這樣才能在做題中快速的想到解題思路，提高做題速度，從而得到高分。[4]

3.3 敘述的表達(dá)能力需要鍛煉，邏輯思維能力需要提高

學(xué)生在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，一定會(huì)碰到很多的證明題，這些證明題在證明的過程中一定會(huì)遇到語言敘述方面的問題，不要小看這些文字?jǐn)⑹?，他們?cè)诳疾鞌⑹瞿芰瓦壿嬎季S能力方面是很強(qiáng)的。在證明時(shí)，首先得把解題的思路想出來，至于怎樣想的就需要對(duì)邏輯思維進(jìn)行考察，當(dāng)把解題思路想出來后，緊接著就是如何把自己的思路用簡潔明了的話語敘述出來，這就用到了我們的敘述表達(dá)能力了。[5]所以在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的時(shí)候，對(duì)于表達(dá)能力和邏輯能力是需要特別的能力的。學(xué)生在不斷地證明一道題之后對(duì)于里面設(shè)計(jì)到的一些知識(shí)和概念也會(huì)隨著做題量的增加而更加熟練更加游刃有余的。

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關(guān)鍵詞：高等代數(shù)與解析幾何；地方院校；教改

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）37-0164-02

一、背景

本文以筆者所在的民族地區(qū)新建本科院校開設(shè)的信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)為例，探討高等代數(shù)與解析幾何課程的教學(xué)改革。信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)培養(yǎng)具有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和思維能力，掌握信息或計(jì)算數(shù)學(xué)的基本理論、方法和技能，接受科學(xué)研究初步訓(xùn)練，能從事算法分析與設(shè)計(jì)、軟件開發(fā)、數(shù)據(jù)處理等方面的應(yīng)用型人才。這是一個(gè)交叉專業(yè)，不僅要開設(shè)大量的數(shù)學(xué)課程，比如高等代數(shù)與解析幾何、數(shù)學(xué)分析、常微分方程、數(shù)學(xué)模型、復(fù)變函數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等，而且要開設(shè)大量的計(jì)算機(jī)課程和一些信息類的課程。筆者曾經(jīng)在該專業(yè)做過統(tǒng)計(jì)，85%的同學(xué)報(bào)考的時(shí)候不知道這個(gè)專業(yè)需要學(xué)量的數(shù)學(xué)課程，有40%的同學(xué)壓根就不想學(xué)數(shù)學(xué)，有些同學(xué)高考數(shù)學(xué)科才考60分，大部分同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)課不感興趣。而高等代數(shù)與解析幾何課程是學(xué)生一進(jìn)入大學(xué)就學(xué)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程，學(xué)時(shí)又長，如果學(xué)得不好，影響后續(xù)課程的學(xué)習(xí)，甚至影響整個(gè)大學(xué)專業(yè)課程的積極性。根據(jù)該專業(yè)的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際情況，筆者對(duì)高等代數(shù)與解析幾何課程進(jìn)行了一些教學(xué)改革。

二、教改內(nèi)容

高等代數(shù)與解析幾何原來是該專業(yè)的兩門基礎(chǔ)課程，基于幾何為代數(shù)提供研究背景、代數(shù)為幾何提供研究方法的內(nèi)因和濃縮學(xué)時(shí)的外因考慮，將兩門課程合并教學(xué)，現(xiàn)在很多高校也都采用合并教學(xué)，諸多學(xué)者也對(duì)這門課程的合并教學(xué)從可行性、內(nèi)容和教學(xué)方法等進(jìn)行了很多探討，但大都是以數(shù)學(xué)師范專業(yè)為背景。筆者基于信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)，對(duì)該課程教學(xué)教學(xué)了以下探索。

1.重視概念教學(xué)。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)關(guān)系到學(xué)生是否能理解、能應(yīng)用，可以說是數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。而高等代數(shù)與解析幾何課程是學(xué)生從中學(xué)到大學(xué)學(xué)習(xí)的第一門基礎(chǔ)課程，學(xué)生很難一下子就能理解這些抽象概念。對(duì)于抽象的概念要注意從一般情況中總結(jié)：比如線性空間的概念是這門課的第一個(gè)抽象概念，概念的內(nèi)容又多，要求具有兩個(gè)運(yùn)算和滿足八條運(yùn)算規(guī)律，如果一下拋出這個(gè)概念，學(xué)生就懵了，哪里見過這么長的一個(gè)概念，往往就會(huì)產(chǎn)生抵觸心理。如果循序漸進(jìn)，先引導(dǎo)大家復(fù)習(xí)在中學(xué)熟悉的立體幾何知識(shí)，把幾何空間的一些基本性質(zhì)逐條展開，再提升到一般情況，如果一個(gè)集合中的元素也滿足這些條件，將問題一般化得到線性空間的概念，接著多舉一些例子，對(duì)抽象概念多作鋪墊便于理解。有些概念的教學(xué)要重視其來源和歷史發(fā)展，比如圍繞解線性方程組這條主線，當(dāng)方程個(gè)數(shù)和未知數(shù)個(gè)數(shù)相等時(shí)，引入了行列式這個(gè)工具來求解，當(dāng)方程個(gè)數(shù)不等于未知數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，行列式這個(gè)工具顯然不適用了，進(jìn)而就引入了矩陣這個(gè)工具，這也就是行列式和矩陣概念的由來，交代清楚的目的就是讓學(xué)生更好地理解概念，有利于學(xué)生形成良好的知識(shí)框架。有些概念太抽象了，也需要用通俗的例子或者形象的比喻來幫助學(xué)生理解，比如線性空間中基的概念，可以用班上學(xué)生的姓氏來比方，把班級(jí)看成一個(gè)線性空間，不同姓氏的同學(xué)就線性無關(guān)，每個(gè)姓氏選一個(gè)同學(xué)組成一組，這個(gè)組本身線性無關(guān)，班上的每一個(gè)姓都在里面，類似基的概念本身線性無關(guān)，線性空間中每個(gè)向量都可以由這組向量線性表示，又因?yàn)槊總€(gè)姓氏可以選不同的同學(xué)，組成一個(gè)新的組，選的這個(gè)組不是唯一的，對(duì)應(yīng)就是線性空間中基不是唯一的，但全班總共有幾個(gè)不同的姓氏是唯一的，也就是說每組同學(xué)的人數(shù)是唯一的，對(duì)應(yīng)在線性空間中就是維數(shù)是固定的等。有些例子可能沒有那么貼切，但對(duì)學(xué)生的理解是有好處的。

2.教學(xué)內(nèi)容要優(yōu)化。信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)學(xué)生需要掌握高等代數(shù)與解析幾何課程的基本思想、基本內(nèi)容和基本技能，但要與培養(yǎng)數(shù)學(xué)師范生有一定的區(qū)分，針對(duì)該專業(yè)并不需要每個(gè)定理、每個(gè)推論都證明，為了保證知識(shí)的系統(tǒng)性和達(dá)到培養(yǎng)目的，必要的證明也不能省，需要老師在教學(xué)中大膽、靈活地對(duì)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化，制定好適合該專業(yè)的課程大綱，對(duì)有些內(nèi)容可以簡講，甚至不講，但要經(jīng)常對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)，授課線條要清晰?，F(xiàn)在還沒有一本高等代數(shù)與解析幾何的教材完全適合該專業(yè)，通用的教材有陳志杰教授的《高等代數(shù)與解析幾何》、孟道驥教授的《高等代數(shù)與解析幾何》，這兩本都是極好的教材，只需根據(jù)實(shí)際情況對(duì)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化即可。有些同學(xué)覺得高等代數(shù)與解析幾何教材太難，把線性代數(shù)或者線性代數(shù)與空間幾何作為參考書，認(rèn)為這樣更好理解，易形成知識(shí)框架，也不失為一個(gè)方法。

3.數(shù)學(xué)軟件在教學(xué)中的應(yīng)用。信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)要培養(yǎng)學(xué)生具有較強(qiáng)的數(shù)據(jù)處理能力，對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件能力要求比較高，故需要從基礎(chǔ)課程就開始有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件解決數(shù)學(xué)問題的能力，比如對(duì)一些計(jì)算可以通過Matlab來實(shí)現(xiàn)，當(dāng)然也可以用其他軟件，這樣一方面可以盡早的讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)之間緊密的聯(lián)系，了解專業(yè)的特點(diǎn)，也能夠激起學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。可以用軟件來演示計(jì)算的內(nèi)容有：行列式的計(jì)算、矩陣的計(jì)算、線性方程組的求解、二次型與相似矩陣、特征值的計(jì)算等等，在進(jìn)行了必要的證明和方法介紹下，講述例題的時(shí)候，先用黑板演算，最后留點(diǎn)時(shí)間利用計(jì)算機(jī)軟件求解，因?yàn)橛行┯?jì)算比較繁瑣，學(xué)生不感興趣，采用軟件計(jì)算可以提高積極性，而且有利于學(xué)生了解專業(yè)特點(diǎn)，避免了學(xué)生到大二下學(xué)期還不知道信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)學(xué)的是什么，跟數(shù)學(xué)教育有什么區(qū)別。具體做法：在下課前十分鐘，教師打開多媒體電腦演示，課后讓學(xué)生自己練習(xí)，不必專門開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，一是學(xué)時(shí)不夠，二是該專業(yè)到三年級(jí)會(huì)開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程和一些算法類的課程，據(jù)筆者了解，一般院校高等代數(shù)與解析幾何課程開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程是不現(xiàn)實(shí)的。引導(dǎo)學(xué)生將一般的方法提煉成公式，將公式程序化，通過計(jì)算機(jī)軟件快速求解，這充分展示了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的魅力，改變了以往過于枯燥的計(jì)算，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)該專業(yè)的興趣。對(duì)于這個(gè)專業(yè)，筆者認(rèn)為利用講述數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，來傳授新的方法和新的知識(shí)，不能照搬傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)師范專業(yè)講授特點(diǎn)。

4.數(shù)學(xué)建模思想滲透到教學(xué)中，突出應(yīng)用數(shù)學(xué)的特色。該專業(yè)是一個(gè)應(yīng)用型專業(yè)，要求學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力特別強(qiáng)，而數(shù)學(xué)建模恰好是一個(gè)鍛煉應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的極好途徑，高等代數(shù)與解析幾何課程看似跟實(shí)際的問題聯(lián)系不緊密，但高等代數(shù)與解析幾何作為一個(gè)基礎(chǔ)課程，很多定理、推論、例題都是建模的思想，只要教師采用問題驅(qū)動(dòng)，適時(shí)地鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生積極探索，把抽象的定理、公式進(jìn)行結(jié)構(gòu)化和程序化，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，具體可以在定理的證明、公式的推導(dǎo)、例題的講解中滲透，從一般情況提煉出數(shù)學(xué)模型，鼓勵(lì)學(xué)生思考。這種滲透不是找一個(gè)實(shí)際問題來解決，況且學(xué)生現(xiàn)在所學(xué)的知識(shí)還不足于解決復(fù)雜點(diǎn)的實(shí)際問題，那是數(shù)學(xué)建模課程的任務(wù)，高等代數(shù)與解析幾何是要注重在平時(shí)課堂上潤物細(xì)無聲似的滲透，培養(yǎng)模型的思想。比如求平行六面體的體積，通過推導(dǎo)最后得到公式，建立坐標(biāo)系后，公式可以簡單地用行列式來表示，這些簡單的問題，教師采用問題驅(qū)動(dòng)，逐步推導(dǎo)，得到的公式簡單優(yōu)美。矩陣的乘法也具有數(shù)學(xué)建模的思想，比如5個(gè)同學(xué)參加4門考試，成績可以用一個(gè)5行4列的矩陣來表示，要評(píng)兩個(gè)獎(jiǎng)，每科的成績?cè)诿總€(gè)獎(jiǎng)中占的權(quán)重不同，可以構(gòu)造一個(gè)4行2列的矩陣，現(xiàn)在要你評(píng)獎(jiǎng)。這樣來引入矩陣的乘法很實(shí)際和實(shí)用，可能學(xué)生就更感興趣，這其中就是數(shù)學(xué)建模思想的滲透。

5.重視作業(yè)訓(xùn)練。數(shù)學(xué)課程一定要有適當(dāng)?shù)淖鳂I(yè)訓(xùn)練，數(shù)學(xué)是思維的體操，不做作業(yè)不僅思維得不到訓(xùn)練，而且知識(shí)極容易遺忘。作業(yè)的類型可以多樣，也可以留點(diǎn)利用軟件來簡單計(jì)算的操作題，但作業(yè)要有梯度，設(shè)置一些選做題，讓學(xué)生有挑戰(zhàn)性。教師要確保對(duì)作業(yè)有答復(fù)，可以在習(xí)題課上講解，如果時(shí)間不夠，也可以利用QQ交流工具解答，比如教師把過程寫出來拍照發(fā)給學(xué)生，這也是筆者答疑的一個(gè)方式。

三、結(jié)語

信息與計(jì)算科學(xué)是一個(gè)交叉專業(yè)，也可以說是一個(gè)邊緣性的數(shù)學(xué)專業(yè)，高等代數(shù)與解析幾何作為該專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程，學(xué)時(shí)長、抽象難學(xué)，學(xué)生基礎(chǔ)不好，要提高該課程的教學(xué)，需要從多個(gè)方面下功夫。筆者根據(jù)這個(gè)專業(yè)的特點(diǎn)從教學(xué)內(nèi)容到教學(xué)方法進(jìn)行的一些探索，從平時(shí)課堂表現(xiàn)和作業(yè)情況看，大部分學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性有較大提高。

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