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關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學競賽試題 絕對值 導數(shù) 最值

絕對值函數(shù)是中學數(shù)學中重要的一元函數(shù)，它的連續(xù)性，最值，單調(diào)性等都有非常直觀的幾何解釋.高等數(shù)學是中學數(shù)學的直接后繼課程，運用高等數(shù)學解決實際問題往往要處理一些包含絕對值的問題.所以，必須熟練掌握解決絕對值問題的方法.

高等數(shù)學競賽旨在提高學生運用數(shù)學知識解決問題的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，推動大學數(shù)學教學體系、教學內(nèi)容和方法的改革［1］.各?。ㄊ校└叩葦?shù)學競賽往屆試題中有大量關(guān)于絕對值的問題，下面結(jié)合高等數(shù)學競賽試題歸納絕對值與最值的類型和解決問題的方法.

1.用絕對值定義函數(shù)的最值問題

第一類問題，用絕對值定義函數(shù).通常做法是對定義域進行分割，去掉絕對值，將函數(shù)盡量簡化.

例1.2005年浙江省高等數(shù)學競賽（文專類）題：求函數(shù)f（x）=|x|+|x-1|+|x-3|的最小值.

評注：這事實上是中學數(shù)學問題.由于函數(shù)x，x-1，x-3分別在x=0，1，3的兩側(cè)變號，因此需要將實直線分割為4個子區(qū)間，然后化簡函數(shù).在多元函數(shù)中也存在絕對值定義函數(shù)的最值問題.

例2.陜西省第七次大學生高等數(shù)學競賽復賽試題：求函數(shù)f（x，y）=max{|x-y|，|x+y|，|x-2|}的最小值［2］.

評注：將多元函數(shù)中絕對值去掉要麻煩得多.這個問題中x-y，x+y，x-2分別在直線y=x的上下兩側(cè)變號，在直線y=-x的上下兩側(cè)變號，以及在直線x=2左右兩側(cè)變號，因此用這三條直線可以將xoy平面分割為7部分，然后在每個區(qū)域上化簡函數(shù)f（x，y）.在每個區(qū)域中f（x，y）都是關(guān)于x和y的一次函數(shù)，于是兩個偏導數(shù)都是0，因此在區(qū)域內(nèi)部f（x，y）不可能取到最小值，最值點只可能位于區(qū)域的邊界上.比較邊界線y=x，y=-x和x=2上點的函數(shù)值，得到minf（x，y）=2，（x，y）∈R.

第二類方法是使用最優(yōu)化理論方法.此種問題事實上就是凸規(guī)劃問題，根據(jù)最優(yōu)化理論可知：凸函數(shù)在凸區(qū)域的最值只在區(qū)域的邊界上取到［3］.在例2中，用三條線將平面分割為7部分，每個部分都是平面上的凸集，而化簡后的f（x，y）是線性函數(shù)因此也是凸函數(shù)，f（x，y）只能在這7部分的邊界上取到最值.

2.已知最值求參數(shù)問題

第二類問題，已知最值（或極值），計算其中所含參數(shù)的值.通常的辦法是先計算不含有絕對值函數(shù)的最值（或極值），然后取絕對值后比較這些點處函數(shù)值的大小，得出參數(shù)的值.

例3.2008年浙江省高等數(shù)學競賽題［4］：求常數(shù)的值使得|cosx+x-t|=π.

評注：首先計算函數(shù)g（x）=cosx+x-t在區(qū)間［0，2π］的極值問題.由于g（x）單調(diào)增加，所以|g（x）|的最大值一定在區(qū)間端點處取到，比較|g（0）|和|g（2π）|可得t=x+1.

例4.2011年浙江省高等數(shù)學競賽題（文專類）［5］：求a的值，使得函數(shù)f（x）=|x-4x-a|在［-2，2］上的最大值為2.

評注：作變量代換y=x后問題等價于f（y）=|y-4y-a|在上［-4，4］的最大值為2.先計算絕對值之內(nèi)的函數(shù)的極值點，因為是拋物線，因此最大值一定在對稱軸或區(qū)間端點處取到，比較這些點的函數(shù)值即可得到a=-2.也可以直接計算g（x）=x-4x-a在［-2，2］上的極值，再比較這些點和區(qū)間端點處函數(shù)值的大小可得結(jié)果.

3.絕對值積分的最值問題

第三類問題，定積分中被積函數(shù)包含絕對值，求其最值問題.

例5.2011年浙江省高等數(shù)學競賽（文專類）題：計算?蘩|x-t|dx.

評注：解決此類問題的通常方法是根據(jù)積分變量的取值范圍，將積分區(qū)間進行分割，使每個區(qū)間中被積函數(shù)不含有絕對值，積分后再利用積分區(qū)間可加性計算積分.本例中將積分區(qū)間分割成［0，］和［，1］兩個區(qū)間后分別積分得到?蘩|x-t|dx=t-t+.然后計算在［0，1］上的最大值即可得結(jié)果2/3.

例6.2009年浙江省高等數(shù)學競賽題：求g（x）=?蘩|x-t|edt的最小值.

評注：類似于例5，根據(jù)參數(shù)不同取值劃分區(qū)間，去掉絕對值.因為研究的是最值，所以不必要（有時候是不能）將積分先計算出來然后討論最值.第二種處理方法是直接研究這些積分表示函數(shù)的單調(diào)性，從而得出最值.令A(yù)=?蘩edt＞0（這個積分無法用牛頓――萊布尼茨公式計算出來），則x＜1當時，g′（x）=-A；當x＞1時，g′（x）=A；當-1≤x≤1時，g′（0）=0，g″（x）=2e＞0，因此g（x）在x=0在取到最小值.

4.結(jié)語

高等數(shù)學（微積分）中絕對值和其他問題結(jié)合往往會增加問題的難度，如何選擇合適的方法去掉絕對值是解決此類問題的關(guān)鍵.一般方法是比較絕對值內(nèi)部變量值的大小劃分區(qū)間（或者區(qū)域）去掉絕對值后分段討論.

參考文獻：

［1］浙江省高校高等數(shù)學教學研究會.浙江省大學生高等數(shù)學（微積分）競賽章程［EB/OL］.http：//zufe.省略/document.asp?docid=5520.

［2］陜西省第七次大學生高等數(shù)學競賽復賽試題［J］.高等數(shù)學研究，2009，（02）：封面三.

［3］袁亞湘等.最優(yōu)化理論與方法［M］.北京：科學出版社，1997.

［4］盧興江，金蒙偉主編.高等數(shù)學競賽教程（第四版）［M］.杭州：浙江大學出版社，2011.

［5］田增鋒.浙江省高等數(shù)學競賽題的幾何思考［J］.考試周刊，2011，（40）：13-14.

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【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學競賽；基本功的訓練；探討

一、校內(nèi)數(shù)學競賽方式的提出

如何培養(yǎng)大學生學習高等數(shù)學的興趣一直是數(shù)學教師關(guān)注和研究的問題。基于高等數(shù)學在四年大學學習中的重要性，舉辦校內(nèi)數(shù)學競賽，無疑對提高學生學習興趣、鞏固基礎(chǔ)知識、加強基本功訓練都有很大的幫助。他們不僅能在激烈的高數(shù)競賽中脫穎而出， 而且綜合素質(zhì)與教學素養(yǎng)的提升更會受益終身。一般通過校內(nèi)選拔參加市級數(shù)學競賽的畢竟是少數(shù)，是成績中的佼佼者，而且從時間上這類競賽要到高等數(shù)學結(jié)課后能舉行，其中很大一部分同學學習高等數(shù)學的興趣可能會在這一學年的時間內(nèi)慢慢褪去。而部分對數(shù)學有興趣但基礎(chǔ)不夠好的同學覺得未能參加競賽也是一種遺憾。對于三本院校的學生更是如此，因此為了更好地激發(fā)與提高大學生學習高等數(shù)學的興趣，加強與鞏固大一學生在高等數(shù)學課程中必須掌握的求極限、求導數(shù)和求積分基本技能：同時也對傳統(tǒng)的高等數(shù)學考核方式進行一次變革，進而達到提高教學質(zhì)量的目的，對大一學生舉辦了高等數(shù)學求導數(shù)、求積分基本功大賽?，F(xiàn)已經(jīng)成功舉辦兩屆。

二、賽前準備

基于舉辦校內(nèi)數(shù)學競賽的目的，基本功大賽的難度不同于市級或國家數(shù)學競賽。重在基礎(chǔ)，考察學生對基本的求導、求積分公式的掌握以及簡單應(yīng)用。為了讓學生更加清楚和重視校內(nèi)數(shù)學競賽，對學生做了賽前的安民告示、通過學校的網(wǎng)站進行宣傳、制作張掛條幅渲染氣氛。事實證明，大一學生對這種性質(zhì)的比賽很感興趣，關(guān)注度遠在期中考試之上。甚至很多大二大三的同學也表示要參加校內(nèi)。

三、比賽規(guī)則

數(shù)學競賽分為一、二、三等獎，由學校給與獲獎學生一定的獎勵；競賽成績記入高等數(shù)學最終課程考核成績中，凡參加者則根據(jù)不同的分數(shù)段給予計分，最高計10分，最低計2分，不參加者記0分。獲獎學生名單根據(jù)最后的競賽成績，比例約為1%，2%，3%。

四、賽后成績分析

競賽結(jié)束后對每個系、每個班的成績進行系統(tǒng)分析。下面以兩個系的成績?yōu)槔M行說明。

從分布圖中很明顯的看出，經(jīng)濟系的成績分布要優(yōu)于機械系，通過計算每個系的成績平均分也證實了這一點。再結(jié)合任課老師的實際反映，得出經(jīng)濟系學生的輔導員工作非常認真負責，任課的數(shù)學老師也對學生要求嚴格，這都對學生的學習起到了很好的督促作用，所以他們的成績普遍比較好。由此我們得出如下：任課老師的認真負責、學生輔導員的細致工作、良好的學風班風都對學生的學習起到了重要的作用。

小結(jié)

通過在校內(nèi)舉行數(shù)學基本功大賽，同學們都感到受益頗多，都覺得對自己數(shù)學基本功掌握起到了促進作用，都覺得有了一定的提高，對后續(xù)的期末考試起到良好的復習鞏固作用。我們認為在校內(nèi)舉辦，數(shù)學競賽起到了以點帶面的作用，也有利于推進和豐富校園文化活動， 更有利于激發(fā)全體學生學習數(shù)學和應(yīng)用數(shù)學的熱情， 其意義已經(jīng)遠遠超出了競賽和競賽獲獎本身。

【參考文獻】

[1]施俊，金亞東等。高等數(shù)學競賽培訓模式的探討，江蘇技術(shù)師范學院學報[J]，2012，18（2）：120-124.

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參加全國大學生數(shù)學競賽除了上述的必要條件之外，還需具備四個充分條件:如何穩(wěn)固參加預(yù)賽的人數(shù)、制定合理有效的培訓內(nèi)容、師資隊伍的建設(shè)以及經(jīng)費來源等。首先，如何有效地組織大學生參加競賽，可謂是四個條件中最重要的一項，也是下一節(jié)筆者所研究的重點;另外，作為數(shù)學競賽的主要內(nèi)容:《高等數(shù)學》是工科類學生必修的基礎(chǔ)理論課，《數(shù)學分析》、《高等代數(shù)》、《解析幾何》等課程是數(shù)學專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課。這些是數(shù)學競賽得以順利開展的基礎(chǔ)。第三，調(diào)動部分高校專任的數(shù)學教師組成競賽培訓團隊也是一項重要的環(huán)節(jié)，筆者將會在第三節(jié)做詳細的研究。最后是競賽活動經(jīng)費，筆者認為可以從以下三個方面獲得:第一方面，每所高校都會有專項的創(chuàng)新活經(jīng)費，可以從此項經(jīng)費中申請一部分;第二方面，各賽區(qū)的主辦方會拔給每個學校一些經(jīng)費;第三方面，適當?shù)叵騾⒓优嘤柕膶W生收取(或變相地收取)一部分。這些經(jīng)費主要用于:參加競賽的學生報名費、培訓教師的課時費和學生競賽時的考試相關(guān)費用等?；谏鲜龇治?，在普通高校開展數(shù)學競賽培訓以及組織學生參加全國大學生數(shù)學競賽是完全可行的并具有實際意義的。

2普通高校學生現(xiàn)狀分析

為了吸引、鼓勵更多的學生參與數(shù)學競賽活動，必須先了解現(xiàn)在普通高校本科生的生源現(xiàn)狀及其學習狀態(tài)。不得不承認，全國高校自擴招以來，普通高校大學生的質(zhì)量普遍下降。主要原因有兩個:一是大學的教育已由精英式轉(zhuǎn)為大眾式;二是隨著擴招的進行，大多數(shù)優(yōu)質(zhì)生源進入了985或211這樣的重點高校，這樣就導致普通高校中的優(yōu)質(zhì)生源比例相對減少。限于優(yōu)質(zhì)生源比例小的問題，再加上數(shù)學理論繁雜與深奧，學習起來困難重重，多數(shù)學生在學習數(shù)學時會產(chǎn)生為難情緒從而心生畏懼。還有小部分的學生在進校時數(shù)學基礎(chǔ)就比較差，(或由此產(chǎn)生的)學習數(shù)學的積極性很低。還有一部分學生認為數(shù)學無實際用途，從主觀上學習數(shù)學的興趣消極?；谝陨蠋c原因加上一些來自普通高校教學條件的限制，很多大學生的實際數(shù)學水平較低，所引發(fā)的直接結(jié)果就是學習成績下降、考試分數(shù)偏低、補考人數(shù)增多，更有甚者一些學生因為數(shù)學不及格而無法畢業(yè)?，F(xiàn)階段普通高校多數(shù)強調(diào)實踐，所以在大學一、二年級基礎(chǔ)階段會大量調(diào)減理論課時，特別是有關(guān)數(shù)學的理論課程。這樣就導致了教師在上課時會對課程進行調(diào)整，例如內(nèi)容增加、進度加快等等。數(shù)學課中部分核心內(nèi)容由于難以理解，權(quán)衡之下只好放棄。因課時問題，數(shù)學習題課早已名存實亡。關(guān)于這一點在文［3］中筆者會有詳盡的論述。一些普通高校強調(diào)少講精講，但數(shù)學本身就是一門高深抽象的學科，沒有理論基礎(chǔ)實踐就無從說起。一些內(nèi)容略講或是不講，都有可能在學生在今后的實際應(yīng)用中造成影響。但即使知道刪減理論會有諸多的弊病，許多普通高校還是在課程中減少了很多的數(shù)學內(nèi)容。多數(shù)普通高校的本科學生所學的數(shù)學內(nèi)容少，而且掌握的不扎實不牢固。這一點與數(shù)學競賽產(chǎn)生了嚴重的予盾。那么哪些學生適合參加數(shù)學競賽呢?筆者認為有兩類學生比較合適一類是自主學習能力強，數(shù)學基礎(chǔ)扎實，對數(shù)學非常感興趣的學生;另一類就是考研的學生。這兩部分學生對數(shù)學的求知欲望非常強烈，因此成為是參加數(shù)學競賽的主力軍。

3穩(wěn)固參賽學生群體策略

據(jù)調(diào)查顯示，有的普通高校因為這個問題而放棄參加全國大學生數(shù)學競賽。即便參加人數(shù)也少的可憐，以我校為例，我校于2011年第一次參加全國大學生數(shù)學競賽，當時僅有一個非數(shù)學專業(yè)的學生參加了競賽，其余29名數(shù)學專業(yè)的學生也是被志愿的。為了保障全國性的數(shù)學競賽活動在我校順利開展，我校實行了以“利益驅(qū)動”的辦法。使學生有兩方面的既得利益:選修學分和考研輔導。為了穩(wěn)固參賽學生的群體，我校主要從以下三方面開展了工作。

3．1有效宣傳

根據(jù)經(jīng)驗，通過學生(或輔導員)在學生中進行數(shù)學競賽宣傳以及在學生中發(fā)放宣傳小冊子的方法收效甚微。為了能夠在學生中得到有效的宣傳，我院在大一的第二學期末，由《高等數(shù)學》任課教師負責向自己的任課班級做大量宣傳，向?qū)W生講清楚參加數(shù)學競賽所能獲得的利益，通過自愿報名的方式鼓勵學生積極參與。

3．2設(shè)立選修課

為能夠順利進行數(shù)學競賽輔導培訓，我們開設(shè)兩門40學時的選修課《高等數(shù)學選修》與《數(shù)學基礎(chǔ)研修》(這兩門課程的學分均為2學分，他們的本質(zhì)是數(shù)學競賽輔導課程)。這樣我們就解決了培訓的時間與教室的安排問題(當然，我們可以給教務(wù)部門一些時間安排上的建議)。由于大學生在大學期間要修滿一定的選修學分，所以這兩門課程的開設(shè)對學生是有一定吸引力的。另外，培訓內(nèi)容要盡可能讓學生理解。如果內(nèi)容難度過大，就會造成多數(shù)學生在課堂的注意力不集中，甚至來上課僅僅是為了走形式。這樣就達不到吸引學生參加競賽的目的。總的來說，就是用選修課的學分來吸引學生參加數(shù)學競賽培訓，在學生能夠接受的基礎(chǔ)之上對其加以培訓，并弱化對選修課的考核。慢慢提高學生對學習數(shù)學信心，自主自愿報名參加數(shù)學競賽?？紤]到普通高校的教學內(nèi)容(無論是專業(yè)的還是非專業(yè)的)無法滿足競賽的要求，而且還有一小部分競賽內(nèi)容不在工科教學大綱的范圍內(nèi)。我校選擇了開設(shè)《高等數(shù)學選修》、《基礎(chǔ)數(shù)學研修》兩門選修課?！陡叩葦?shù)學選修》是為參加數(shù)學競賽預(yù)賽的工科類學生準備的;《基礎(chǔ)數(shù)學研修》是為專業(yè)類的本科學生而開設(shè)的。這兩門選修課的授課內(nèi)容嚴格遵從《中國大學生數(shù)學競賽大綱》的要求。對提高學生數(shù)學素養(yǎng)是有百利而無一害的。

3．3考研輔導

數(shù)學競賽的難度大大超過了考研數(shù)學的難度，為了吸引更多考研的學生，我們的輔導以考研數(shù)學的難度為基礎(chǔ)的。讓學生在參賽的同時得到專業(yè)教師的考研輔導，加大學生對競賽的興趣。競賽輔導的基礎(chǔ)目標是考研數(shù)學輔導，重要目標是數(shù)學競賽輔導。我們的輔導內(nèi)容遵從競賽大綱、以歷年考研真題結(jié)合歷年的競賽真題的解題技巧制定講授內(nèi)容。這樣既能得學分，又能得到考研數(shù)學的輔導，在幫助考研學生的同時也達到了穩(wěn)定參加數(shù)學競賽人數(shù)的目的。筆者認為上述條件能夠吸引很大一批學生選修《高等數(shù)學選修》與《基礎(chǔ)數(shù)學研修》?？焖贁U大數(shù)學競賽在學生中的影響。一方面學生會因為選修學分易得而在學生群體廣泛宣傳;另一方面學生會因為能滿足自己的求知欲望而踴躍報名，還有一些學生會因能得到免費的考研數(shù)學輔導而進行宣傳。在參加競賽培訓的人數(shù)得以保障的情況想，在參加培訓的學生中選擇一些較好的參加競賽，這樣就能夠提高獲獎率，也可以減少一些費用(比如報名費、考務(wù)費等)。另外，我校的學生在數(shù)學競賽中獲得的獎項，在物質(zhì)上是沒有任何獎勵的。不過，按獲得的獎項的等級不同會獎勵不同的創(chuàng)新學分，創(chuàng)新學分可作為選修學分。比如，在初賽中獲得國家一等獎，會得5個創(chuàng)新學分;二等獎，4個創(chuàng)新學分，依次類推。在決賽中獲得獎項，在我校還從未有過，但筆者相信通過我校師生的共同努力，在不遠的將來一定會實現(xiàn)這個夢想。

4建立一支德能兼?zhèn)涞呐嘤枅F隊

為了能夠更好地讓學生適應(yīng)競賽試題題型，組建一支不計報酬和得失、具有奉獻精神和敬業(yè)精神的的培訓教師團隊是關(guān)鍵。組建這樣的隊伍需要兩個條件。首先，培訓教師雖然不計報酬但不能沒有報酬，否則會使培訓的教師缺乏教學興趣。由于我校的數(shù)學競賽培訓是以選修課的形式進行教學的，故大部分的報酬是由學校以課時費的形式來支付的。但是與培訓教師花費大量時間和精力進行試題和教法的研究相比，他們所得的課時費與付出是無法成正比的。其次，大學生的數(shù)學競賽培訓可以看作我們?nèi)粘＝虒W的有益補充。培訓教師必須有較好的數(shù)學素養(yǎng)，教學方法，在解題能力和表達能力有較高的水平。同時，還要求培訓教師廣泛地查閱課外參考書、新近的考研參考書和各省市及國家的數(shù)學競賽試卷等。可以說培訓團隊業(yè)務(wù)水平及敬業(yè)精神的高低直接決定著數(shù)學競賽成績的好壞。以我校為例———數(shù)學專業(yè)的培訓團隊有五人，非數(shù)學專業(yè)的團隊有四人。他們每人分別負責一部分內(nèi)容。大家的同感是:任何一門課程的全部培訓內(nèi)容由一人完成幾乎是不可能的，競賽培訓備課所需的時間與精力不是正常課程備課所能比擬的。甚至，有時我們在一學時的時間里只能講解一道例題，不是我們的培訓教師沒有能力，而是我們在將知識教授給學生們的同時還要保證學生能順利消化，扎實的掌握解題技巧。據(jù)筆者調(diào)查，各普通高校很少有專門的數(shù)學教師來輔導將要考研學生的數(shù)學知識。由于數(shù)學競賽的難易程度在考研數(shù)學的難度之上，故數(shù)學競賽的培訓教師完全勝任考研數(shù)學輔導。這樣一個專門的考研輔導團隊是學校領(lǐng)導和所有將要考研的學生非常期待的。所以將考研團隊與數(shù)學競賽培訓團隊融為一體，從各個角度上看都是可以實現(xiàn)的，也是具有現(xiàn)實意義的。

5結(jié)語

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關(guān)鍵詞： 競賽數(shù)學 數(shù)學學習 數(shù)學教育

現(xiàn)代競賽數(shù)學是從匈牙利開始的。世界上許多國家越來越重視一些重大數(shù)學競賽。我國也不遺余力地投入支持各類國際國內(nèi)數(shù)學競賽。正確認識國際國內(nèi)競賽的作用，對于發(fā)現(xiàn)競賽數(shù)學在數(shù)學學習和教學中的正面影響極為重要[1]。

一、隨堂競賽激發(fā)學習欲望

良好的開端是成功的一半。若能在一節(jié)課的開始把競賽數(shù)學引入課堂，則能盡快將學生帶入最佳學習狀態(tài)。例如，給學生講授一門新課程――圖論。我們可以從七橋問題開始：一條河穿過一座城市，河中間有兩個小島，有七座橋把兩個島與河岸聯(lián)系起來，其中兩島之間連接一座橋，一個小島到兩邊河岸分別有兩座橋，另一個小島到兩邊河岸分別有一座橋。有個人提出一個問題：一個步行者怎樣才能不重復、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發(fā)點。很長一段時間人們都沒能找到解決方法。后來數(shù)學家歐拉把它轉(zhuǎn)化成一個幾何問題――一筆畫問題。也就是將河中的兩座島（A和B）及兩岸（C和D）分別抽象為點，它們之間的橋抽象為邊（如左圖所示），要求一筆畫出下圖，每條邊均要通過且不重復。

問題作為課堂的導入必定會引發(fā)學生濃厚的探索興趣，他們進行各種嘗試，試圖找到這樣一種走法。此時，作為課堂學習的引導者，教師可以通過圖形提示這個問題有沒有解的關(guān)鍵點：圖的頂點度的奇偶性。事實上，我們一筆畫一個圖時，經(jīng)過一個點便要經(jīng)過一出一進兩條邊，最終回到起點。如果圖中有關(guān)聯(lián)奇數(shù)條邊的點，則無法做到一筆畫。學生可以在此提示上進一步探索此問題的解決方法，最終可以發(fā)現(xiàn)此問題無解。著名的歐拉定理就來源于此。

對于此類啟發(fā)式問題，教師可以在課堂教學中進行分組競賽。教師設(shè)計好競賽活動的規(guī)則，明確活動要求，并給予相對公平的評價方式，對優(yōu)秀小組給予鼓勵。以此激發(fā)學生對競賽活動的興趣，更重要的是起到充分調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性和主動性的重要作用。

二、競賽數(shù)學開發(fā)學習潛能

由于數(shù)學知識有較強的抽象性，許多學生往往在某一個學習環(huán)節(jié)就弄不清問題所反映的數(shù)學本質(zhì)。競賽能有效激發(fā)學生自主探究的興趣和能力。首先，通過競賽讓基礎(chǔ)較差的學生在激勵的氛圍下逐漸做到主觀能動地學習。鼓勵學生先獨立思考，再在小組內(nèi)討論。然后讓各小組相互展示他們解決問題的技巧與方法，通過交流進一步完善自己的結(jié)果。交流時的操作和講解也能讓其他學生能具體問題反映的數(shù)學本質(zhì)，而不是簡單停留在問題的答案上。這一點能讓學生了解數(shù)學知識形成的具體過程，最終達到最大限度地開發(fā)學生的潛能的目的。

競賽數(shù)學融會了各種類型問題的解題技巧，甚至將各學科的知識綜合起來。雖然分析競賽題離不開一般的思維規(guī)律和基本的數(shù)學知識，許多方法和技巧也經(jīng)常在競賽中被用到，但最終的解決方案一般來說沒有常規(guī)模式可以套用。隨著數(shù)學學科及其分支的不斷擴大和分化，各類數(shù)學競賽題目的內(nèi)容也在不斷更新，這就要求學生在思考問題時具有敏銳的洞察力、獨創(chuàng)性的思維能力。除此之外，還要求他們能全面地將各學科的知識綜合起來，創(chuàng)造性地給出較好的解決方案。這種全方位考慮問題的習慣必定能夠極大地開發(fā)學生的學習潛能。這體現(xiàn)了競賽數(shù)學的教育功能[2]。

三、數(shù)學競賽是發(fā)現(xiàn)數(shù)學人才的一種有效手段

數(shù)學競賽的范疇主要包括數(shù)論、組合數(shù)學、數(shù)列、不等式、函數(shù)方程和幾何等，當然也會包含一部分的趣味數(shù)論題目。這些題目具有較強的靈活性和技巧性，著重培養(yǎng)學生的運算，邏輯思維，以及空間想象能力，目的是使學生逐步學會綜合分析、歸納演繹、概括類比等重要的思想方法[3-5]。事實證明，許多重大數(shù)學競賽的優(yōu)秀者都在他們后來的事業(yè)中表現(xiàn)得極為卓越。因此，數(shù)學競賽活動受到許多國家的重視。從中學數(shù)學競賽到全國大學生數(shù)學競賽，從國內(nèi)數(shù)學競賽到國際數(shù)學競賽，無不為廣大青少年學子提供了一個展示其所學和其活躍的數(shù)學思維的平臺，這正是我們發(fā)現(xiàn)和選拔優(yōu)秀數(shù)學人才的有效途徑，也是進一步促進中學數(shù)學和高等學校數(shù)學課程建設(shè)的改革和發(fā)展的重要環(huán)節(jié)。

四、正確利用競賽數(shù)學這一有效工具

毫無疑問，競賽數(shù)學對于促進學生的數(shù)學學習和教師的教學均有深刻的意義。然而，只有正確地利用競賽數(shù)學這個有效的工具才能達到學習與教育的目的。

1.適度運用。

數(shù)學競賽毫無疑問在一定程度上能提高學生綜合分析、歸納演繹、概括類比的思維能力，也能在一定程度上使學生對已學知識的理解記憶更深刻，并學會將各學科知識融會貫通[3-5]。然而數(shù)學競賽并不是對所有學習者、任何學習階段都適用，過度的數(shù)學競賽有其弊端。過量的數(shù)學競賽會加重學生的學習負擔。繁重的競賽訓練會在一定程度上影響學生的身體和心理健康，尤其是中學生。畢竟競賽數(shù)學不是簡單和淺顯的數(shù)學知識的學習過程。在一定程度上會超出學生當前的學習范疇。尤其是讓中學生參加數(shù)學競賽必定會增加一些培訓和超出其學習范圍的知識學習。學生本身的學習任務(wù)就比較繁重，難免會對他們造成比較大的壓力，甚至會影響他們的全面發(fā)展。

2.過程重于結(jié)果。

許多時候?qū)W生參加數(shù)學競賽，學校、國家組織數(shù)學競賽是為了取得名次，贏得榮譽。以至于只關(guān)注了贏，而忽視了輸。輸?shù)膶W生容易被教師所忽視。這樣的后果就是讓所謂“輸”的學生從心里面覺得數(shù)學知識很難理解，自己沒有學好數(shù)學的能力。對這些學生，數(shù)學競賽顯然起到了適得其反的作用。強烈的不自信感甚至會讓所謂輸了的學生在數(shù)學學習甚至是其他學科的學習上瞬間失去學習興趣，最終得不償失。實際上，數(shù)學競賽的目的是要讓學生從游戲中提高學習興趣，探索新知識，尋找新的解題方法，這些都是競賽過程中的良好產(chǎn)物。所以在運用數(shù)學競賽這個工具時，多關(guān)注過程才是最重要的。多關(guān)注學生是否在學習過程中學到了知識和解題技巧。要有意識地從教師、學生甚至是家長等方面淡化對結(jié)果的關(guān)注，讓數(shù)學競賽成為有趣的學習游戲，而不是純粹的“區(qū)分優(yōu)劣”的工具。

3.擺正心態(tài)，平衡發(fā)展。

驅(qū)除數(shù)學競賽中過于功利化的目的。一些學生認為對于一些重要的數(shù)學競賽，如果獲獎，便可以“一朝得獎，終身受益”。這樣的心態(tài)和目標讓不少的家長對孩子們參加數(shù)學競賽都奉行“從娃娃抓起”的政策。后果可能是孩子從某個時間段對數(shù)學競賽甚至是數(shù)學學習產(chǎn)生厭惡情緒。也有另外一種結(jié)果就是，一部分學生舍棄其他學科的學習而專注于數(shù)學競賽，得不償失。所以我們不應(yīng)該讓功利性的因素滲入數(shù)學競賽。

五、結(jié)語

競賽是游戲，基于興趣，重在獲取知識。只有正確利用，適度把握，才能讓數(shù)學競賽真正成為數(shù)學學習和數(shù)學教育的有力工具。

參考文獻：

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篇5

1.對教學內(nèi)容進行了適當?shù)募记商幚?/p>

高等數(shù)學課程有一套嚴密的課程體系，完成整個體系的教學約需150學時，但從各專業(yè)系部分配給高等數(shù)學的學時數(shù)來看，是遠遠不能夠完成的，但各專業(yè)對高等數(shù)學的要求并沒有降低。為此，對部分高等數(shù)學知識進行了技巧處理，如極限概念用描述性語言定義；微分中值定理采用幾何說明；淡化積分的高度技巧；不積分與定積分進行內(nèi)容整合；加強導數(shù)、定積分、微分方程的應(yīng)用；適度淡化數(shù)項級數(shù)及其斂散性的研究；對傅里葉級數(shù)在上形式及復數(shù)形式進行簡化；加強向量在平面與直線方面的應(yīng)用；多元函數(shù)微積分進行簡介。

2.以案例驅(qū)動，加強數(shù)學的實用性

注意以實例引入概念并最終回到數(shù)學應(yīng)用的思想，加強學生對數(shù)學的應(yīng)用意識、興趣及能力的培養(yǎng)。為保證實效，數(shù)學教研室全體教師分專業(yè)、分方向，認真研究各專業(yè)的課程體系、教學要求，以“適用、夠用、需要”為目標大量引入專業(yè)應(yīng)用問題實例，從下而上制定教學案例，切實服務(wù)專業(yè)需求。如對于經(jīng)管類專業(yè)補充了邊際、彈性、最值等方面的知識，增加了人口問題、環(huán)境污染等方面的模型；電子信息類專業(yè)增加了電路中的電量、脈沖信號、回路等方面的實例；機電類引入了相對誤差、壓力、制冷效果、速度、加速度等方面的案例；軟件類專業(yè)增加了數(shù)值計算，數(shù)理邏輯方面的應(yīng)用。

3.對數(shù)學各課程方向進行優(yōu)化

對數(shù)學的各課程進行整合，使得教學時數(shù)得以減少。如將數(shù)學建模引入到高等數(shù)學的課程中來，強調(diào)數(shù)學知識的應(yīng)用，既提高了學生們的學習興趣，又提升了學生們的數(shù)學工程應(yīng)用的理念；將數(shù)值計算、概率統(tǒng)計、線性代數(shù)、數(shù)字邏輯、模糊數(shù)學、拓樸學、集合論、程序設(shè)計等課程的內(nèi)容進行整合、優(yōu)化，編入了《工程數(shù)學》課程，此課程已作為學院重點建設(shè)的課程來進行建設(shè)。通過幾年的實踐，學生在數(shù)法設(shè)計上的能力有了明顯的提高，不及同學在省內(nèi)外的程序設(shè)計大賽上取得了不俗的成績。

4.注重教學原則運用。調(diào)動學生學習的積極性

數(shù)學由于其高度抽象及概念、符號、定理繁多而不易掌握。處理不好，學生極易失去學習興趣、產(chǎn)生畏難情緒，從而影響教學效果。我們在教學過程中，注重教學原則的應(yīng)用，調(diào)動學生學習的積極性。如充分利用啟發(fā)式教學原則進行教學，使學生在學習過程中感到事出有因，水到渠成；注重理論聯(lián)系實際，使學生覺得學有所用，而不是紙上談兵。直觀l生教具的運用，使學生不再感到數(shù)學枯燥無味?？傊?，每位數(shù)學教師都在激發(fā)學生的學習興趣上開動腦筋，努力工作。

5.重視學法指導，引導學生學好數(shù)學

教學法包括教法與學法兩方面，以往，我們存在重教法輕學法的傾向。經(jīng)驗告訴我們：不重視學法，教法往往就得不到學生的響應(yīng)。教會學生學習主要在于教師平時的循循善誘。我們主要從以下幾個方面人手：嚴格要求、加強管理、培養(yǎng)學生嚴密的組織紀律性，要求學生課前預(yù)習、課上記筆記、課后及時復習；加強作業(yè)的規(guī)范性管理，管理學生嚴謹認真的學生習慣；關(guān)心學生，做學生的知心朋友。數(shù)學老師作為任課教師，和學生接觸的多，在科學技術(shù)上有許多共同的語言，關(guān)心后進生，提高他們的學生自信心；鼓勵學生多閱讀課外書籍，拓寬知識面，帶著問題走進課堂。

6.積極開展第二課堂，拓寬學生的知識面，提高學生的綜合素質(zhì)

在課堂教學的基礎(chǔ)上，我們積極開展第二課堂活動，活動的開展調(diào)動了學生學習積極性，對學生素質(zhì)的提高和科技活動的開展起到了推動作用。我們先后兩次組織了全校性的高等數(shù)學知識競賽，每次均有近千名學生參加。開設(shè)了《趣味數(shù)學》、《數(shù)學建?！?、《模糊數(shù)學》等選修課程，組織學生進行高等數(shù)學知識及數(shù)學建模知識的培訓，帶領(lǐng)他們參加江蘇省大學生高等數(shù)學競賽、全國大學生數(shù)學建模比賽，均取得了不俗的成績。這些活動的開展極大地調(diào)動了學生學習的積極性，課堂教學與課外活動相配合，使教書育人工作得到了進一步的深入，對提高學生們的綜合素質(zhì)起到了積極的推動作用。

二、課程改革取得的成績

參加江蘇省第九屆大學生高等數(shù)學競賽獲得了大專組13名一等獎、19名二等獎、9名三等獎，獲獎面達91.1％，其中一等獎?wù)既∫坏泉効倲?shù)的26％。各指成績指標在同類院校中遙遙領(lǐng)先，贏得了兄弟院校的一致好評。

連續(xù)七年成功組織學生參加“高教社杯”全國大學生數(shù)學建模競賽，共獲得全國一等獎1個，全國二等獎8個，江蘇省一等獎4個，江蘇省二等獎8個，江蘇省三等獎15個。

通過選拔培訓，為學院發(fā)現(xiàn)并積累了一批好學上進、基本功扎實的好苗子，為今后學院選拔學生參加各類學科競賽及業(yè)技能競賽提供了寶貴的人才庫。

經(jīng)過全體數(shù)學教師的共同努力。我院的《高等數(shù)學》、《工科數(shù)學》已作為省級精品課程來進行重點建設(shè)。

篇6

看到本叢書，多數(shù)人會問這樣的問題：

“什么是教育數(shù)學？”

“教育數(shù)學和數(shù)學教育有何不同？”

簡單說，改造數(shù)學使之更適宜于教學和學習，是教育數(shù)學為自己提出的任務(wù)。

把學數(shù)學比作吃核桃，核桃仁美味而富有營養(yǎng)，但要砸開才能吃到它。有些核桃，外殼與核桃仁緊密相依，成都人形象地叫它們“夾米子核桃”，如若砸不得法，砸開了還很難吃到。數(shù)學教育要研究的，就是如何砸核桃吃核桃。教育數(shù)學呢，則要研究改良核桃的品種，讓核桃更美味，更營養(yǎng)，更容易砸開吃凈。

“教育數(shù)學”的提法，最早出現(xiàn)在筆者1989年所寫的《從數(shù)學教育到教育數(shù)學》中。其實，教育數(shù)學的活動早已有之，如歐幾里得著《幾何原本》，柯西寫《分析教程》，都是教育數(shù)學的經(jīng)典之作。

數(shù)學教育有很多世界公認的難點，如初等數(shù)學里的幾何和三角，高等數(shù)學里的微積分，都比較難學。為了對付這些難點，很多數(shù)學老師、數(shù)學教育專家前赴后繼，做了大量的研究，寫了很多的著作，進行了廣泛的教學實踐。多年實踐，幾番改革，還是覺得太難，不得不“忍痛割愛”，少學或者不學。教育數(shù)學則從另一個角度看問題：這些難點的產(chǎn)生，是不是因為前人留下來的知識組織得不夠好，不適宜于數(shù)學的教與學？能不能優(yōu)化數(shù)學，改良數(shù)學，讓數(shù)學知識變得更容易學習呢？

知識的組織方式和學習的難易有密切的聯(lián)系。 英語中12個月的名字：January，F(xiàn)ebruary，……背單詞要花點工夫吧？如果改良一下：一月就叫Monthone，二月就叫Monthtwo，等等，馬上就能理解，就能記住，學起來就容易多了。生活的語言如此，科學的語言——數(shù)學——何嘗不是這樣呢？

很多人認為，現(xiàn)在小學、中學到大學里所學的數(shù)學，從算術(shù)、幾何、代數(shù)、三角到微積分，都是幾百年前甚至幾千年前創(chuàng)造出來的數(shù)學。這些數(shù)學的最基本的部分，普遍認為是經(jīng)過千錘百煉，相當成熟了。對于這樣的數(shù)學內(nèi)容，除了選擇取舍，除了教學法的加工之外，還有優(yōu)化改革的余地嗎？

但事情還可以換個角度看。這些進入了課堂的數(shù)學，是在不同的年代、不同的地方，由不同的人，為不同的目的而創(chuàng)造出來的，而且其中很多不是為了教學的目的而創(chuàng)造出來的。難道它們會自然而然地配合默契，適宜于教學和學習嗎？

看來，這主要不是一個理論問題，而是一個實踐問題。

走進教育數(shù)學，看看教育數(shù)學在做什么，有助于回答這類問題。

隨便翻翻這幾本書，就能了解教育數(shù)學領(lǐng)域里近20年來做了哪些工作。從已有的結(jié)果可以看到，教育數(shù)學有事可做，而且能做更多的事情。

比如微積分教學的改革，這是在世界范圍內(nèi)被廣為關(guān)注的事。叢書中有兩本專講微積分，主要還不是講教學方法，而是講改革微積分本身。

由牛頓和萊布尼茨創(chuàng)建的微積分，是第一代的微積分。這是說不清楚的微積分。創(chuàng)建者說不清楚，使用微積分解決問題的數(shù)學家也說不清楚。原理雖然說不清楚，應(yīng)用仍然在蓬勃發(fā)展。微積分在說不清楚的情形下發(fā)展了130多年。

柯西和魏爾斯特拉斯等建立了嚴謹?shù)臉O限理論，鞏固了微積分的基礎(chǔ)，形成了第二代的微積分。數(shù)學家把微積分說清楚了，但是由于概念和推理繁瑣迂回，對于絕大多數(shù)學習高等數(shù)學的人來說，還是聽不明白的微積分。微積分在多數(shù)學習者聽不明白的情形下，又發(fā)展了170多年，直到今天。

第三代的微積分，是正在創(chuàng)建發(fā)展的新一代的微積分。人們希望微積分不但嚴謹，而且直觀易懂，簡潔明快，讓學習者用較少的時間和精力就能夠明白其原理，不但知其然而且知其所以然；不但數(shù)學家說得清楚，而且非數(shù)學專業(yè)的多數(shù)學子也能聽得明白。

第一代微積分和第二代微積分，在具體計算方法上基本相同；不同的是對原理的說明，前者說不清楚，后者說清楚了。

第三代微積分和前兩代微積分，在具體計算方法上也沒有不同，不同的仍是對原理的說明。

幾十年來，國內(nèi)外都有人從事第三代微積分的研究以及教學實踐。這方面的努力，已經(jīng)有了顯著的成效。在我國，林群院士近10年來在此方向做了大量的工作。本叢書中的《微積分快餐》，就是他在此領(lǐng)域的代表作。

古今中外，通俗地介紹微積分的讀物極多，但能夠兼顧嚴謹與淺顯直觀的幾乎沒有，《微積分快餐》做到了。一張圖，一個不等式，幾行文字，濃縮了微積分的精華。作者將微積分講得輕松活潑、簡單明了而且嚴謹自封，讓讀者在品嘗快餐的過程中進入了高等數(shù)學的殿堂。

叢書中還有一本《直來直去的微積分》，是筆者學習微積分的心得。書中從“瞬時速度有時比平均速度大，有時比平均速度小”這個平凡的陳述出發(fā)，不用極限和實數(shù)，“微分不微，積分不積”，直截了當?shù)亟⒘宋⒎e分基礎(chǔ)理論。書中的概念與《微積分快餐》中的邏輯等價而呈現(xiàn)形式不盡相同，殊途同歸，顯示出第三代微積分的豐富多彩。

回顧歷史，牛頓和拉格朗日都曾撰寫著作，致力于建立不用極限也不用無窮小的微積分，或證明微積分的方法，但沒有成功。我國數(shù)學大師華羅庚所撰寫的《高等數(shù)學引論》中，也曾刻意求新，不用中值定理或?qū)崝?shù)理論而尋求直接證明“導數(shù)正則函數(shù)增”這個具有廣泛應(yīng)用的微積分基本命題，可惜也沒有達到目的。

前輩泰斗是我們的先驅(qū)。教育數(shù)學的進展實現(xiàn)了先驅(qū)們簡化微積分理論的愿望。

兩本關(guān)于微積分的書，都專注于基本思想和基本概念的變革?；舅枷搿⒒靖拍?，以及在此基礎(chǔ)上建立的基本定理和公式，是這門數(shù)學的筋骨。數(shù)學不能只有筋骨，還要有血有肉。中國高等教育學會教育數(shù)學專業(yè)委員會理事長、全國名師李尚志教授的最新力作《數(shù)學的神韻》，是有血有肉、豐滿生動的教育數(shù)學。書中的大量精彩實例可能是你我熟悉的老故事，而作者卻能推陳出新，用新的視角和方法處理老問題，找出事物之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)不同中的相同，揭示隱藏的規(guī)律。幽默的場景，詼諧的語言，使人在輕松閱讀中領(lǐng)略神韻，識破玄機。看看這些標題，“簡單見神韻”、“無招勝有招”、“茅臺換礦泉”、“凌波微步微積分”，可以想見作者的功力非同一般！特別值得一提的是書中對微積分的精辟見解，如用代數(shù)觀點演繹無窮小等，適用于第一代、第二代和第三代微積分的教學與學習，望讀者留意體味。

練武功的上乘境界是“無招勝有招”，但武功仍要從一招一式入門。解數(shù)學題也是如此。著名數(shù)學家和數(shù)學教育家項武義先生說，教數(shù)學要教給學生“大巧”，要教學生“運用之妙，存乎一心”，以不變應(yīng)萬變，不講或少講只能對付一個或幾個題目的“小巧”。我想所謂“無招勝有招”的境界，就是“大巧”吧！但是，小巧固不足取，大巧也確實太難。對于大多數(shù)學子來說，還要重視有章可循的招式，由小到大，以小御大，小題做大，小中見大。朱華偉教授和錢展望教授的《數(shù)學解題策略》，踏踏實實地從一招一式、一題一法著手，探秘發(fā)微，系統(tǒng)地闡述數(shù)學解題法門，是引領(lǐng)讀者登堂入室之作。作者是數(shù)學奧林匹克領(lǐng)域的專家。數(shù)學奧林匹克講究題目出新，不落老套。我看了這本書里的不少例題，看不出有哪些似曾相識，真不知道他是從哪里搜羅來的！

朱華偉教授還為本叢書寫了一本《從數(shù)學競賽到競賽數(shù)學》。競賽數(shù)學當然就是奧林匹克數(shù)學。華偉教授認為，競賽數(shù)學是教育數(shù)學的一部分。這個看法是言之成理的。數(shù)學要解題，要發(fā)現(xiàn)問題、創(chuàng)造方法。年復一年進行的數(shù)學競賽活動，不斷地為數(shù)學問題的寶庫注入新鮮血液，常常把學術(shù)形態(tài)的數(shù)學成果轉(zhuǎn)化為可能用于教學的形態(tài)。早期的國際數(shù)學奧林匹克試題，有不少進入了數(shù)學教材，成為例題和習題。競賽數(shù)學與教育數(shù)學的關(guān)系，于此可見一斑。

寫到這里，忍不住要為數(shù)學競賽說幾句話。 有一陣子，媒體上出現(xiàn)不少討伐數(shù)學競賽的聲音，有的教育專家甚至認為數(shù)學競賽之害甚于黃賭毒。我看了有關(guān)報道后的第一個想法是，中國現(xiàn)在值得反對的事情不少，論輕重緩急還遠遠輪不到反對數(shù)學競賽吧。再仔細讀這些反對數(shù)學競賽的意見，可以看出來，他們反對的實際上是某些為牟利而又誤人子弟的數(shù)學競賽培訓。就數(shù)學競賽本身而言，它是面向青少年中很小一部分數(shù)學愛好者而組織的活動。這些熱心參與數(shù)學競賽的數(shù)學愛好者（還有不少數(shù)學愛好者參與其他活動，例如青少年創(chuàng)新發(fā)明活動、數(shù)學建模活動、近年來設(shè)立的丘成桐中學數(shù)學獎），估計不超過約兩億中小學生的百分之五。從一方面講，數(shù)學競賽培訓活動過熱產(chǎn)生的消極影響，和升學考試體制以及教育資源分配過分集中等多種因素有關(guān)，這筆賬不能算在數(shù)學競賽頭上；從另一方面看，大學招生和數(shù)學競賽掛鉤，也正說明了數(shù)學競賽活動的成功因而得到認可。對于青少年的課外興趣活動，積極的對策不應(yīng)當是限制、堵塞，而是開源分流。發(fā)展多種課外活動，讓更多的青少年各得其所，把各種活動都辦得像數(shù)學競賽這樣成功并且被認可，數(shù)學競賽培訓活動過熱的問題自然就化解或緩解了。

回到前面的話題。上面說到“大巧”和“小巧”，自然想到還有“中巧”。大巧法無定法，小巧一題一法。中巧呢，則希望用一個方法解出一類題目。也就是說，把數(shù)學問題分門別類，一類一類地尋求可以機械執(zhí)行的方法，即算法。中國古代的《九章算術(shù)》，就貫穿了分類解題尋求算法的思想。中小學里學習四則算術(shù)、代數(shù)方程，大學里學習求導數(shù)，學的多是機械的算法。但是，自古以來幾何命題的證明卻千變?nèi)f化，法無定法。為了找尋幾何證題的一般規(guī)律，從歐幾里得、笛卡兒到希爾伯特，前赴后繼，孜孜以求。我國最高科技獎獲得者、著名數(shù)學家吳文俊院士指出，希爾伯特是第一個發(fā)現(xiàn)了幾何證明機械化算法的人。在《幾何基礎(chǔ)》這部名著中，希爾伯特對于只涉及關(guān)聯(lián)性質(zhì)的這類幾何命題，給出了機械化的判定算法。由于受時代的局限性，希爾伯特這一學術(shù)成果并不為太多人所知。直到1977年，吳文俊先生提出了一個新的方法，可以機械地判定初等幾何中等式型命題的真假。這一成果在國際上被稱為“吳方法”，它在幾何定理機器證明領(lǐng)域中掀起了一個，使這個自動推理中最不成功的部分變成了最成功的部分。

“吳方法”和后來提出的多種幾何定理機器證明的算法，都不能給出人們易于檢驗和理解的證明，即所謂可讀證明。國內(nèi)外的專家一度認為，機器證明的本質(zhì)在于“用量的復雜克服質(zhì)的困難”，所以不可能機械地產(chǎn)生可讀證明。

筆者基于1974年在新疆教初中時指導學生解決幾何問題的心得，總結(jié)出用面積關(guān)系解題的規(guī)律。在這些規(guī)律的基礎(chǔ)上，1992年提出消點算法，和周咸青、高小山兩位教授合作，創(chuàng)建了可構(gòu)造等式型幾何定理可讀證明自動生成的理論和方法，并在計算機上實現(xiàn)。最近在網(wǎng)上看到，面積消點法也多次在國外的不同的系統(tǒng)中實現(xiàn)了。本叢書中的《幾何新方法和新體系》，包括了面積消點法的通俗闡述，以及筆者提出的一個有關(guān)面積方法的公理系統(tǒng)，由冷拓同志協(xié)助筆者整理成書。教育數(shù)學研究的副產(chǎn)品解決了機器證明領(lǐng)域中的難題，對筆者而言實屬僥幸。

基于對數(shù)學教育的興趣，筆者從1974年以來，30多年持續(xù)地探討面積解題的規(guī)律，想把幾何變?nèi)菀滓恍?。后來發(fā)現(xiàn)，國內(nèi)外的中學數(shù)學教材里，已經(jīng)把幾何證明刪得差不多了。于是“迷途知返”，把三角作為研究的重點。數(shù)學教材無論如何改革，三角總是刪不掉的吧。本叢書中的《一線串通的初等數(shù)學》，講的是如何在小學數(shù)學知識的基礎(chǔ)上建立三角，以三角的發(fā)展引出代數(shù)工具并探索幾何，把三者串在一起的思路。

在《一線串通的初等數(shù)學》中沒有提到向量。其實，向量早已下放到中學，與傳統(tǒng)的初等數(shù)學為伍了。在上海的數(shù)學教材里甚至在初中就開始講向量。講了向量，自然想試試用向量解決幾何問題，看看向量解題有沒有優(yōu)越性?？上г诮滩睦锖涂锷铣霈F(xiàn)的許多向量例題中，方法略嫌繁瑣，反而不如傳統(tǒng)的幾何方法簡捷優(yōu)美。如何用向量法解幾何題？能不能在大量的幾何問題的解決過程中體現(xiàn)向量解題的優(yōu)越性？這自然是教育數(shù)學應(yīng)當關(guān)心的一個問題。為此，本叢書推出一本《繞來繞去的向量法》。書中用大量實例說明，如果掌握了向量解題的要領(lǐng)，在許多情形下，向量法比純幾何方法或者坐標法干得更漂亮。這要領(lǐng)，除了向量的基本性質(zhì)，關(guān)鍵就是“回路法”。繞來繞去，就是回路之意?；芈贩ㄊ枪P者的經(jīng)驗之談，沒有考證前人是否已有過，更沒有上升為算法。書稿主要由彭翕成同志執(zhí)筆，絕大多數(shù)例子，也是他采集加工的。

談起中國的數(shù)學科普，談祥柏的名字幾乎無人不知。老先生年近八旬，從事數(shù)學科普創(chuàng)作超過半個世紀，出書50多種，文章逾千篇。他對于數(shù)學的執(zhí)著和一生的愛，洋溢于他為本叢書所寫的《數(shù)學不了情》的字里行間。哪怕僅僅信手翻上幾頁，哪怕是對數(shù)學知之不多的中小學生，也會被一個個精彩算例所顯示的數(shù)學之美和數(shù)學之奇深深吸引。書中涉及的數(shù)學知識似乎不多、不深，所蘊含的哲理卻足以使讀者掩卷遐想。例如，書中揭示出高等代數(shù)的對稱、均衡與和諧，展現(xiàn)了古老學科的青春；書中提到海峽兩岸的數(shù)學愛好者發(fā)現(xiàn)了千百年來從無數(shù)學者、名人的眼皮底下滑過去的“自然數(shù)高次方的不變特性”，這些生動活潑的素材，兼有冰冷的思考與火熱的激情，無論讀者偏文偏理，均會有所收益。

沈文選教授長期從事中學數(shù)學研究、初等數(shù)學研究、奧林匹克數(shù)學研究和教育數(shù)學的研究。他的《走進教育數(shù)學》和本叢書同名，是一本從學術(shù)理論角度探索教育數(shù)學的著作。在書中，他試圖詮釋“教育數(shù)學”的概念，探究“教育數(shù)學”的思想源頭與內(nèi)涵；提出“整合創(chuàng)新優(yōu)化”、“返璞歸真優(yōu)化”等優(yōu)化數(shù)學的方法和手段，并提供了豐富的案例。筆者原來杜撰出“教育數(shù)學”的概念，雖然有些實例，但卻凌亂無序，不成系統(tǒng)。經(jīng)過文選教授的旁征博引，詮釋論證，居然有了初具規(guī)模的體系框架，有點學科模樣了。這確實是意外的收獲。

瀏覽著這風格不同并且內(nèi)容迥異的10本書，教育數(shù)學領(lǐng)域的現(xiàn)狀歷歷在目。這是一個開放求新的園地，一個蓬勃發(fā)展的領(lǐng)域。在這里耕耘勞作的人們，想的是教育，做的是數(shù)學，為教育而研究數(shù)學，通過豐富發(fā)展數(shù)學而推進教育。在這里，大家都做自己想做的事，提出新定義、新概念，建立新方法、新體系，發(fā)掘新問題、新技巧，尋求新思路、新趣味，凡此種種，無不是為教育而做數(shù)學。

篇7

數(shù)字教學 樂在其中

2012年10月，筆者在田立平老師課堂上做了多次旁聽生。在筆者印象中，高高瘦瘦的田老師看起來不像嚴師，更像慈父。講課的時候他表情認真，而和學生們聊天時卻又是那么和藹親切。課堂上，學生積極踴躍發(fā)言，課堂氣氛很活躍，大家總是愿意把自己在聽課中不明白的地方直接告訴田老師。當學生們遇到問題時，田老師總是給予充分的時間讓學生自己思考，在思考過程中他會對大多數(shù)學生容易犯的錯誤進行剖析。下課后，田老師并不急于離開，他會像長輩一樣，和學生們談心，關(guān)心學生們的日常生活瑣事。田老師告訴筆者，高等數(shù)學是一個枯燥的東西，作為老師最大的職責就是激發(fā)學生的學習興趣，讓學生在輕松的環(huán)境中掌握它。田老師說：“只要同學們興趣上來了、方法掌握了，在老師的啟迪與自己的努力下，完全可以學好數(shù)學，不再為數(shù)學頭疼，不再害怕數(shù)學考試?！?/p>

田老師上課很少點名，出勤率卻出奇的高。他的課上，很少有學生缺課。很多其他專業(yè)的學生，還會自發(fā)地來田老師班上旁聽。物流學院一名大一學生說：“田老師的課貼近生活，容易理解，老師本人和藹幽默，大家都喜歡上他的課?！彼€自豪地對我們表示：“有些同學聽說是田立平老師給我講高數(shù)，都特別羨慕，吵著要來蹭課?！碧锢蠋煹恼n堂上不時笑聲朗朗，他總能夠結(jié)合生活中的實際問題，通過一些數(shù)學史話或典故等來揭示數(shù)學原理。信息學院一位大二的女學生說：“田老師總是會舉一些生動的例子和比喻把抽象的數(shù)學變成學生抓得到的東西，他的PPT課件簡單明了，讓大家很容易就能抓住知識的重點與難點，知道學習的側(cè)重點?！痹谶@種輕松環(huán)境下愉快地學習，學生們的思維更加開闊，懂得了舉一反三，不再視高數(shù)為“心中永遠的痛”了。

俗話說，課上十分鐘，課下十年功。田老師告訴筆者，讓學生喜歡上自己的課是要煞費苦心的。首先要對課程吃透、了解，掌握每個知識點的先后關(guān)系與在實際中的運用，做到有的放矢，而且要善于用通俗的語言、生活實際問題來啟發(fā)學生去尋找解題方法，把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為生活中的例子。此外，田老師還把多年積累的經(jīng)驗、歷屆學生中容易出錯的問題作為案例，讓學生們發(fā)現(xiàn)錯誤，從而能夠更加深入地領(lǐng)悟、理解和掌握所學內(nèi)容。

田老師每次都會提前半小時進入教室。學生們有困難或疑問都愿意去找田老師請教，而田老師從來都是面帶微笑、耐心地幫助學生尋找解決問題的方法。在工作之余，田老師還在默默資助著家庭經(jīng)濟困難學生，定時為他們購買教科用書，隨時關(guān)注他們的學習生活情況。田老師說，只有你真心對待學生，學生才會與你交心，愛你敬你。

田老師的課堂上經(jīng)常會有許多慕名而來的學生。這些學生大多數(shù)是準備考研的，在平時的復習中積累了很多問題，來尋求田老師的指導。盡管這些學生不是自己所教班級的學生，但田老師依然很有耐心為他們解答問題，為此犧牲了許多休息的時間。

數(shù)字殿堂 鉆之彌堅

田立平老師至今已在高校任教27年。27年里，田老師一直致力于“高等數(shù)學”的教學改革和科研，在略顯枯燥的數(shù)字鉆研中尋找最優(yōu)的教學模式和方法。

根據(jù)北京物資學院學生的實際情況，田老師組織北京市優(yōu)秀教學團隊的骨干成員編寫了《高等數(shù)學》《微積分》等適合學院特點的本科生教材及相應(yīng)的教輔材料，于2010年投入使用。

根據(jù)北京物資學院院系專業(yè)的調(diào)整以及教學計劃的修訂，田老師對數(shù)學教學內(nèi)容也做了相應(yīng)更新：物流學院和信息學院大一期間學習“高等數(shù)學”，而其他各個學院則學習“微積分”。在前期分級教學的基礎(chǔ)上，結(jié)合北京市2008年教改立項，田老師構(gòu)建了“兩軸、兩賽、一中心”的立體化教學模式，自2007級學生開始實施，取得了良好的效果?！皟奢S”：縱軸為時間軸，即堅持大學四年數(shù)學教育不斷線，前兩年基礎(chǔ)培養(yǎng)，后兩年拓展訓練；橫軸為含課堂內(nèi)、外兩個層面的教學環(huán)節(jié)軸，且采取“兩手抓兩手都要硬”的策略。“兩賽”：以校內(nèi)外的大學生數(shù)學競賽和數(shù)學建模競賽為契機，推動、促進、檢驗教學效果和實踐教學的開展。“一中心”：以培養(yǎng)學生運用知識的能力和創(chuàng)新能力為中心。田老師獨創(chuàng)的這一教學模式深受師生好評，曾獲校級教學成果一等獎。

田老師在教學中推行“興趣、問題、啟發(fā)、解決”的教學方法，以讓學生們更好、更快地吸收知識。田老師通過列舉生活中的數(shù)學問題，引起學生們的興趣，讓他們感受到數(shù)學在生活中的存在性。之后，田老師再從生活實例中提煉問題，啟發(fā)學生們將其與數(shù)學內(nèi)容結(jié)合、思考。最后，對回答問題正確的學生給予鼓勵，并幫助回答不正確的學生分析錯誤原因。

除了不斷創(chuàng)新課堂上的教學方法外，田老師還把自己的教學方法和理念傳授給了很多“徒弟”。他把指導和培養(yǎng)青年教師視為自己的義務(wù)和責任。近幾年，田老師先后指導了9名青年教師。這些青年教師會持續(xù)半年的時間去聽田老師的課，之后，田老師為他們創(chuàng)造講課機會，讓他們得到更多的鍛煉。經(jīng)他指導的青年教師不僅都順利通過了教學關(guān)，而且很快成為教學一線上受師生好評的教學骨干。田老師在指導青年教師搞好教學的同時，也積極引導并帶領(lǐng)他們申報校內(nèi)外的教學、科研項目，且?guī)椭麄兘鉀Q生活中的困難，使他們能夠全身心地投入到教學科研中。

談及北京物資學院青年教師的成長話題，田立平老師期望深遠：“青年教師們年輕有朝氣、素質(zhì)高、潛力大，我希望他們可以結(jié)合自身的特質(zhì)，并根據(jù)教學環(huán)境的不同，安排更加合理化的授課方案，制定更加適合學生的教學方法，促進學校教學和科研的創(chuàng)新發(fā)展?！?/p>

數(shù)字榮耀 篤行日新

田立平老師其實還承擔著一項特殊而重要的任務(wù)，即指導北京物資學院學生參加各類數(shù)學競賽。

從2006年至今，田老師指導學校大學生參加數(shù)學競賽，學生獲國家和市級獎項共50多個，為學校贏得了榮譽，也為學生能力的提升搭建了平臺。每次比賽前，田老師都會為學生們量身定做一套復習計劃。由于每次參賽準備時間緊，田老師便利用自己的寒暑假期為參賽學生們輔導。夏天，教室外邊炎熱似火，緊張備賽的學生們難免懈怠、心情煩悶，他便會在復習中穿插一些數(shù)學史，為學生們減壓；同時，不斷鼓勵他們，努力為大家創(chuàng)造一個輕松的學習環(huán)境。其實，田老師自己也是忍受著酷暑，但他依然堅持以飽滿的精神狀態(tài)為學生們準備比賽的課件，講解著每個考點。田老師認為，數(shù)學是學習其他各門學科的工具與基礎(chǔ)，而參加數(shù)學競賽可以調(diào)動學生學習數(shù)學的興趣，促進學生的全面發(fā)展。

物流學院大二的張家祥同學參加了2012年的數(shù)學競賽。他說：“很慶幸能夠遇到田老師這樣一位真正教給學生很多東西的老師。”他告訴筆者，每周三的下午，他都會去參加田老師的競賽輔導。田老師會根據(jù)不同學生的不同情況設(shè)定相應(yīng)的學習策略以幫助大家更好地發(fā)揮。另外，田老師更注重培養(yǎng)學生獨立思考和解題的能力。他會搜集近年的競賽題給學生們獨立完成，讓學生自己去發(fā)現(xiàn)、思考問題。之后，對于學生的疑難之處，田老師會耐心講解，認真書寫板書，舉一反三?！疤锢蠋熯€會把數(shù)學與生活融會貫通，讓我覺得學習數(shù)學并不是那么傷腦筋的一件事，甚至覺得這門課是對生活中的很多事情都有幫助的。”

篇8

求和公式的意義：在上面和下面所給出的某個變量n的取值范圍內(nèi)，對符號后面的表達式按不同的n求出結(jié)果，再將這些結(jié)果進行求和運算。有時候也只在下面寫一個類似n=[x,y]的式子，以表示變量的取值范圍。

數(shù)列求和對按照一定規(guī)律排列的數(shù)進行求和。求Sn實質(zhì)上是求{an}的通項公式，應(yīng)注意對其含義的理解。常見的方法有公式法、錯位相減法、倒序相加法、分組法、裂項法、數(shù)學歸納法、通項化歸、并項求和。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學習高等數(shù)學的基礎(chǔ)。在高考和各種數(shù)學競賽中都占有重要的地位。數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分數(shù)列的求和都需要有一定的技巧。

（來源：文章屋網(wǎng) ）

篇9

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學；微積分；教學策略

隨著高等教育新課改的不斷深入，高等數(shù)學微積分在其教學內(nèi)容、教學模式以及教學策略等方面出現(xiàn)不同程度的改變.在教學中更加突出學生學習主體的地位，因此，就需要對高等數(shù)學微積分教學策略進行改進與完善.

一、當前高等數(shù)學微積分教學現(xiàn)狀

在高等數(shù)學微積分教學中，學生學習的自主性對開展教學有重要的影響.教師在教學的過程中能否吸引學生的興趣，主動積極地參與到教學中也成為教學中的重要問題.在當前的高等數(shù)學微積分教學中，學生對一些新鮮事物產(chǎn)生興趣，在課堂教學中往往不能集中注意力學習，但是由于微積分本身對學生的要求較高，需要學生花費大量的時間與精力學習.學生在課堂教學中不能集中注意力學習，基礎(chǔ)知識掌握不牢固，在以后的學習中就很難理解相關(guān)的知識，就會放棄微分學習.這也就導致學生的微積分學習成績不夠理想，逐漸失去學習的興趣.同時，在很多高校在其微積分教學中，教師通常采取比較單一的教學方式與教學策略，不能根據(jù)學生的實際情況，設(shè)計與之相符的教學策略，導致微積分課堂比較枯燥與乏味.以上的種種現(xiàn)象就很容易導致學生對微積分失去興趣，學習效果不理想.這就需要教師能夠結(jié)合當前高等數(shù)學教學中存在的問題、學科特點以及有效的教學資源，對教學策略進行談?wù)?，設(shè)計學生喜歡的教學模式與教學方法.

二、高等數(shù)學微積分教學的策略

在新課改實施后，微積分在其教學內(nèi)容、教學方法等方面都出現(xiàn)了不同的改變，為了能夠有效的提高高等數(shù)學微積分的教學質(zhì)量，就要對其進行改進與改革.教師需要結(jié)合教學經(jīng)驗、教學實際等對教學策略進行探索與創(chuàng)新.

（一）根據(jù)專業(yè)不同，設(shè)計不同的培養(yǎng)方案

在大學高等數(shù)學微積分的學習中，學生的專業(yè)不同，學生在學習微積分的過程中也存在一定的差異性.但是學生的學習基礎(chǔ)存在一定的差異性，且在很多大學中將微積分作為基礎(chǔ)課程開展教學.但是，就目前微積分教學中使用的課本來看，雖然學生都學習了微積分知識，但是不同專業(yè)的學生對微積分知識掌握程度也存在差異性.學生在學習微積分時理解能力也存在一定的差異性，為了能夠使所有學習微積分的學生都能夠主動積極地學習相關(guān)知識.教師在教學的過程中要根據(jù)學生的專業(yè)不同，設(shè)計不同的教學策略，對學生學習知識的要求也要有所傾斜.例如要求英語文學專業(yè)的學生掌握高等數(shù)學微積分基礎(chǔ)知識即可，但是要求數(shù)學專業(yè)的學生能夠準確的掌握微積分的相關(guān)知識，并能夠靈活的應(yīng)用.

（二）加強對高等數(shù)學微積分建模的重視

在高等數(shù)學體系中建模是學習相關(guān)知識的重要組成部分，而且也是社會不斷發(fā)展的重要推動力.在其他學科發(fā)展的過程中也可以通過微積分知識解決其中的問題，這也充分說明高等數(shù)學微積分存在可以建模的可能性.因此，在高等數(shù)學微積分教學中，教師可以合理地應(yīng)用微積分同其他學科之間的聯(lián)系，實現(xiàn)建模.通過數(shù)學建模不僅可以運用數(shù)學知識與其他學科知識和微積分知識來解決實際中存在的問題，也能促進學科的發(fā)展.為了促使高等數(shù)學微積分數(shù)學建模生命力不斷發(fā)展，在實際教學中還可以組織和鼓勵學生參加到數(shù)學競賽中.教師在教學中也可以結(jié)合現(xiàn)實生活，以微積分為基礎(chǔ)構(gòu)建模型.例如根據(jù)現(xiàn)實生活中比較常見的人口增長、商場物流等問題，將其應(yīng)用微積分知識進行分析，這樣不僅可以使學生能夠更好的對數(shù)學建模有更加深入的了解，也能使學生更加深入的認識微積分對現(xiàn)實生活的作用，吸引學生學習微積分的興趣.

（三）不斷完善高等數(shù)學微積分課程評價體系

在高校的高等數(shù)學微積分教學中通常是通過應(yīng)試考試與教師的評價，來完成對學生的評價.在對高等數(shù)學微積分教學中對教師的評價往往是通過教師的備課、教案記錄以及學生微積分考試成績來講進行考核的.但是，在實際中，因為教師的教學水平以及學校的綜合條件存在一定的差異，僅僅通過以上條件對高等數(shù)學微積分的教學質(zhì)量進行評價，使得評價還存在一定的不科學性，對教師教學的積極性會造成一定的影響.因此，這就需要高校能夠?qū)嶋H情況，設(shè)計科學的考核評價體系，在進行應(yīng)試考試的同時，也可以根據(jù)專業(yè)的不同來對其考核形式進行設(shè)計.例如可以要求數(shù)學專業(yè)的學生通過實地調(diào)研或者是考核的形式來完成考核.這樣，不僅可以使學生更好的掌握高等數(shù)學微積分知識，還能提高其實踐能力.通過實踐，培養(yǎng)與提高學生學習微積分的興趣.

結(jié)束語

隨著高等教育教學改革，對高等數(shù)學微積分教學提出了更加細致的要求，也為其開展教學提供了便利條件.在高等數(shù)學微積分教學中，教師對微積分的教學策略進行探索與改革，可以促使學生主動積極地參與到教學活動中，從而有效的提高微積分教學質(zhì)量.

【參考文獻】

[1]段玉，王敬童.高等數(shù)學課程中若干難點的教學策略――以微積分為例[J].當代教育理論與實踐，2014，06：61-63.

篇10

Wu Bin；Li Xinyue； Wei Chunqiang

（Ankang University，Ankang 725000，China）

摘要： 近年來高等數(shù)學的基本思想、基本方法和基本問題為高考試題的命制提供了新的背景和新的思路。高考試題考查的是學生的綜合能力，尤其是創(chuàng)新學習能力。這就需要有一個比較公平又有梯度的知識背景。然而高等數(shù)學的一些內(nèi)容可以通過初等數(shù)學的方法和手段解決，這類試題就很好地考查了學生進一步學習的潛能。因此以高等數(shù)學為背景的高考數(shù)學命題受到越來越多命題專家的青睞。文章從四個方面對高等數(shù)學背景下高考數(shù)學命題作出歸類總結(jié)與分析。

Abstract： In recent years, the basic idea, method and problems of higher mathematics have provided a new background and new ideas for setting questions for college entrance examination. College entrance examination tests students' comprehensive ability, especially the innovation learning ability. So it needs a relatively fair and gradient knowledge background. But, some of the contents of higher mathematics can be solved by the methods and means of elementary mathematics. This kind of mathematical questions can better test students' further leaning potential. So the mathematics proposition on the background of higher mathematics gets more and more the favour of proposition experts. This paper has made deflection-proof and analysis for setting mathematics proposition for college entrance examination under the background of higher mathematics from four aspects.

關(guān)鍵詞： 高考 數(shù)學試題 高等數(shù)學

Key words： college entrance examination；mathematical questions；higher mathematics

中圖分類號：G42文獻標識碼：A文章編號：1006-4311（2011）14-0272-02

0引言

隨著高考改革的不斷深化，尤其是在實施高中新課程以來，初等數(shù)學與高等數(shù)學的聯(lián)系越來越緊密，高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)以高等數(shù)學知識為背景的命題。這種試題起點高，但落點低，即試題的設(shè)計來源于高等數(shù)學，但解決的方法是中學所學的初等數(shù)學知識。這類試題具有研究性和探究性，對學生的創(chuàng)新意識有很好的檢測功能，很好的考察了學生進一步學習的潛能，因此，這樣的試題非常值得探究。

1以高等數(shù)學中函數(shù)的基本概念，基本定理為背景的高考試卷命題

例1 （2004年廣東高考題）設(shè)函數(shù)f（x）=x-ln（x+m），其中常數(shù)為整數(shù)。

①當m為何值時f（x）?叟0；

②定理：若函數(shù)g（x）在[a，b]上連續(xù)，且g（a）與g（b）異號，則至少存在一點x0∈[a，b]，使得g（x0）=0，試用上述定理證明：當m>1時，方程f（x）=0在（e■-m，e■-m）內(nèi)有兩個根。

解：①略

②題中的定理實質(zhì)就是高等數(shù)學中的零點存在定理。當m>1時，有f（1-m）=1-m-（1-m+m）=1-m0，且f（x）在區(qū)間[e■-m，1-m]上是連續(xù)的減函數(shù)，故由定理及函數(shù)的單調(diào)性可知，存在唯一的x■∈（e■-m，1-m），使得f（x1）=0；當m+1>0時，又有f（e■-m）e■-3m>（1+1）■-3m=（3+1）■-3m=3■+c■■3■+…c■■3+1-3m>0，且f（x）在[1-m，e■-m]上連續(xù)的增函數(shù)。同理可存在唯一的x■∈（1-m，e■-m），使得f（x2）=0。綜上有當m>1時，方程f（x）=0在（e■-m，e■-m）上兩個實根x1和x2。

這道題設(shè)計新穎，以高等代數(shù)中的零點定理知識為背景，考察了學生對數(shù)學定理的理解能力、知識的遷移能力、化抽象為具體的能力，這樣的試題體現(xiàn)了新課程自主學習和主動探究的學習理念。

2以高等數(shù)學符號運算系統(tǒng)為背景的高考試卷命題

以高等數(shù)學中抽象代數(shù)中的運算系統(tǒng)知識為背景，設(shè)計一個陌生的數(shù)學情景，給出一定容量的信息，通過閱讀相關(guān)信息，捕捉解題靈感而進行解答的一新類題型.這類試題具有一定的開放性，便于考察學生對新穎材料的學習理解能力、信息處理解題能力.

例2：在R上定義運算?塥，a?塥b=a（1-b）若不等式（x-m）?塥（x+m）對任意x∈R都成立，則m的取值范圍是（ ）

A.-1

解析：由題意可知（x-m）?塥（x+m）=-x2+x+m2-m0對恒成立，則對于任意的x∈R這個關(guān)于的一元二次方程x2-x-m2+m+1=0有=1-4（m+1-m2）

3以數(shù)列知識及極限知識為依托的高考試題命卷

極限思想是高等數(shù)學的主線，是高等數(shù)學的核心內(nèi)容，也是整個高等數(shù)學的基礎(chǔ)。高考試題經(jīng)常應(yīng)用數(shù)列的斂散性和函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系進行命題。這里試題蘊含著深刻的高等數(shù)學思想，而問題的呈現(xiàn)方式和解決屬于初等數(shù)學解法的范疇，這類試題有利于中學教學實施素質(zhì)教育。

例3 （2008陜西省高考理科試題）已知數(shù)列{an}的首項a■=■，a■=■，n=1，2…

①求{an}的通項；②證明對任意的x>0，a■?叟■-■?■-x，n=1，2…；③證明a■+a■+…+a■>■。

解析過程略，但本題有較多的高等背景，第①問對遞推方程作迭代a■=■=■其系數(shù)相當于二階矩陣3021做了一次乘法3021■=9081，如此迭代下去，可得{an}的通項公式，第②問在形式上類似拉格朗日型的泰勒展開式f（x）≈f（x0）+■（x-x■）+■（x-x■）■。

4以高等數(shù)學中的著名定理為背景設(shè)置高考命題

例4：已知不等式（x+y）■+■?叟9對任意的x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為（）

A.8B.6C.4D.2

這道題目的背景是用二維柯西不等式定理，求（x+y）■+■的最小值，再解不等式（1+■）■?叟9，可得a的最小值。柯西不等式原本只是在數(shù)學競賽中出現(xiàn)，但自從頒布的高中數(shù)學課程標準以來，以柯西不等式為背景的考題受到越來越多命題專家的青睞。

具有高等數(shù)學背景的高考試題是研究性、探究性、開放性的試題。是借用高觀點考查學生的潛能力，這樣的試題體現(xiàn)了高等數(shù)學中常用的數(shù)學思想和推理方法，它來源于高等數(shù)學，但解決的方法是中學所學的初等數(shù)學知識。因此，在新課程改革教學的過程中，要結(jié)合具體問題，不失時機地滲透數(shù)學思想方法，逐步內(nèi)化為學生自己的能力意識。

參考文獻：