導(dǎo)語：如何才能寫好一篇高等函數(shù)的概念，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

三角函數(shù)與解三角形

第九講

三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換

2019年

1.（2019北京文8）如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，

是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為

（A）4β+4cosβ

（B）4β+4sinβ

（C）2β+2cosβ

（D）2β+2sinβ

2.（全國(guó)Ⅱ文11）已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=

A．

B．

C．

D．

3.（2019江蘇13）已知，則的值是

.

2010-2018年

一、選擇題

1．(2018全國(guó)卷Ⅰ)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，，且，則

A．

B．

C．

D．

2．(2018全國(guó)卷Ⅲ)若，則

A．

B．

C．

D．

3．(2018北京)在平面坐標(biāo)系中，，，，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點(diǎn)在其中一段上，角以為始邊，為終邊，若，則所在的圓弧是

A．

B．

C．

D．

4．（2017新課標(biāo)Ⅲ）已知，則=

A．

B．

C．

D．

5．（2017山東）已知，則

A．

B．

C．

D．

6．（2016年全國(guó)III卷）若，則=

A．

B．

C．

D．

7．（2015重慶）若，，則

A．

B．

C．

D．

8．（2015福建）若，且為第四象限角，則的值等于

A．

B．

C．

D．

9．（2014新課標(biāo)1）若，則

A．

B．

C．

D．

10．（2014新課標(biāo)1）設(shè)，，且，則

A．

B．

C．

D．

11．（2014江西）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為若，則的值為

A．

B．

C．

D．

12．(2013新課標(biāo)2)已知，則

A．

B．

C．

D．

13．（2013浙江）已知，則

A．

B．

C．

D．

14．（2012山東）若，，則

A．

B．

C．

D．

15．(2012江西)若，則tan2α=

A．?

B．

C．?

D．

16．（2011新課標(biāo)）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則=

A．

B．

C．

D．

17．（2011浙江）若，，，，則

A．

B．

C．

D．

18．（2010新課標(biāo)）若，是第三象限的角，則

A．

B．

C．2

D．2

二、填空題

19．（2017新課標(biāo)Ⅰ）已知，，則

=__________．

20．（2017北京）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．若sin=，則sin=_________．

21．（2017江蘇）若，則=

．

22．（2016年全國(guó)Ⅰ卷）已知是第四象限角，且，則

.

23．（2015四川）已知，則的值是________．

24．（2015江蘇）已知，，則的值為_______．

25．（2014新課標(biāo)2）函數(shù)的最大值為_______．

26．（2013新課標(biāo)2）設(shè)為第二象限角，若

，則=_____.

27．（2013四川）設(shè)，，則的值是____________．

28．（2012江蘇）設(shè)為銳角，若，則的值為

．

三、解答題

29．（2018浙江）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)．

(1)求的值；

(2)若角滿足，求的值．

30．（2018江蘇）已知為銳角，，．

(1)求的值；

(2)求的值．

31．（2015廣東）已知．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

32．(2014江蘇)已知，．

(1)求的值；

(2)求的值．

33．（2014江西）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，其中．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

34．（2013廣東）已知函數(shù)．

(1)

求的值；

(2)

若，求．

35．（2013北京）已知函數(shù)

（1）求的最小正周期及最大值．

（2）若，且，求的值．

36．（2012廣東）已知函數(shù)，（其中，）的最小正周期為10．

(1)求的值；

(2)設(shè)，，，求的值．

專題四

三角函數(shù)與解三角形

第九講

三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換

答案部分

2019年

1.解析

由題意和題圖可知，當(dāng)為優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積取最大值，如圖所示，設(shè)圓心為，，.

此時(shí)陰影部分面積.故選B.

2.解析

由，得.

因?yàn)椋?

由，得.故選B.

3.解析

由，得，

所以，解得或．

當(dāng)時(shí)，，，

.

當(dāng)時(shí)，，，

所以.

綜上，的值是．

2010-2018年

1．B【解析】由題意知，因?yàn)?，所以?/p>

，得，由題意知，所以．故選B．

2．B【解析】．故選B．

3．C【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用三角函數(shù)可得，所以，．所以所在的圓弧是，故選C．

4．A【解析】由，兩邊平方得，所以，選A．

5．D【解析】由得，故選D．

6．D【解析】由，得，或，

，所以，故選D．

7．A【解析】．

8．D【解析】由，且為第四象限角，則，

則，故選D．

9．C【解析】知的終邊在第一象限或第三象限，此時(shí)與同號(hào)，

故，選C．

10．B【解析】由條件得，即，

得，又因?yàn)?，?/p>

所以，所以．

11．D【解析】=，，上式=．

12．A【解析】因?yàn)椋?/p>

所以，選A.

13．C【解析】由，可得，進(jìn)一步整理可得，解得或，

于是．

14．D【解析】由可得，

，，答案應(yīng)選D。

另解：由及可得

，

而當(dāng)時(shí)，結(jié)合選項(xiàng)即可得.答案應(yīng)選D．

15．B【解析】分子分母同除得：，

16．B【解析】由角的終邊在直線上可得，，

．

17．C【解析】

，而，，

因此，，

則．

18．A【解析】，且是第三象限，，

．

19．【解析】由得

又，所以

因?yàn)椋?/p>

因?yàn)椋?/p>

20．【解析】與關(guān)于軸對(duì)稱，則

，

所以．

21．【解析】．

22．【解析】因?yàn)?，所?/p>

，因?yàn)闉榈谒南笙藿牵裕?/p>

所以，

所以，

所以．

23．【解析】由已知可得，

＝．

24．3【解析】．

25．1【解析】

．，所以的最大值為1．

26．【解析】,可得，

，=．

27．【解析】，則，又，

則，．

28．【解析】因?yàn)闉殇J角，cos(=,sin(=，

sin2(

cos2(，所以sin(．

29．【解析】(1)由角的終邊過點(diǎn)得，

所以．

(2)由角的終邊過點(diǎn)得，

由得．

由得，

所以或．

30．【解析】(1)因?yàn)?，，所以?/p>

因?yàn)?，所以?/p>

因此，．

(2)因?yàn)闉殇J角，所以．

又因?yàn)椋裕?/p>

因此．

因?yàn)?，所以?/p>

因此，．

31．【解析】（Ⅰ）．

（Ⅱ）

．

32．【解析】（1），

；

（2）

．

33．【解析】（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，而為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，又得

所以，由，得，即

（2）由（1）得：因?yàn)?，得又，所以因?/p>

34．【解析】（1）

（2）

所以，

因此

35．【解析】：（1）

所以，最小正周期

當(dāng)（），即（）時(shí)，

（2）因?yàn)?，所?/p>

因?yàn)?，所?/p>

所以，即

36．【解析】（1）．

（2）

篇2

Qin Yufang；Zheng Xiaoqi

（①上海海洋大學(xué)信息學(xué)院，上海 201306；②上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，上海 200234）

（①College of Information Technology，Shanghai Ocean University，Shanghai 201306，China；

②Department of Mathematics，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China）

摘要：復(fù)變函數(shù)主要研究復(fù)數(shù)域上的函數(shù)，是高等數(shù)學(xué)課程的延伸。本文闡述了復(fù)變函數(shù)和高等數(shù)學(xué)在理論體系上的異同，并強(qiáng)調(diào)其差異性。在復(fù)變函數(shù)的授課中，采用對(duì)比教學(xué)法，以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高分析和解決問題的能力。

Abstract: Complex Analysis, which mainly studies the functions in the complex fields, is the extension of Advanced Mathematics. In the paper, we discuss the similarities and differences between Complex Analysis and Advanced Mathematics in theory, with an emphasis on the differences. In the courses of teaching, we exploit the comparative teaching, which intends to deepen the understanding the knowledge and improve the abilities to analyze and solve the problems.

關(guān)鍵詞：初等函數(shù) 解析函數(shù) 級(jí)數(shù)

Key words: elementary function；analytic function；series

中圖分類號(hào)：G42 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1006-4311（2011）20-0234-02

0引言

復(fù)變函數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)系和許多工科院系的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，它不僅在數(shù)學(xué)的其它分支，如常微分方程、積分方程、概率論有著重要的應(yīng)用，而且廣泛應(yīng)用于其它科學(xué)領(lǐng)域，如理論物理、空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)、自動(dòng)控制學(xué)等。因此，如何學(xué)好復(fù)變函數(shù)這門課程是非常重要的。

復(fù)變函數(shù)主要利用微分、積分、級(jí)數(shù)展開等工具研究復(fù)數(shù)域上函數(shù)的性質(zhì)。從這個(gè)意義上講，復(fù)變函數(shù)本質(zhì)上是將實(shí)數(shù)域上的分析學(xué)推廣到復(fù)數(shù)域上，因此，學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)課程既可以加深對(duì)各種分析學(xué)工具的理解，又可以培養(yǎng)學(xué)生利用這些工具研究和分析新問題的能力。

復(fù)變函數(shù)中“實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)”的推廣并非平凡的推廣，實(shí)數(shù)域上的函數(shù)、積分、微分等概念很容易被感知。然而，由于引入了虛數(shù)單位i，復(fù)數(shù)域上的相應(yīng)概念很難形象地理解，例如函數(shù)圖像都很難在我們感知的空間中直觀地描述出來。并且，由于定義域擴(kuò)充到復(fù)數(shù)域上，從而發(fā)展出柯西積分定理、最大模原理等優(yōu)美的結(jié)論。因此，“指出聯(lián)系、強(qiáng)調(diào)區(qū)別，采用對(duì)比的方式教授相關(guān)內(nèi)容”是復(fù)變函數(shù)教學(xué)的一個(gè)重要方法之一。本文將結(jié)合作者在分析領(lǐng)域多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，將復(fù)變函數(shù)與高等數(shù)學(xué)進(jìn)行縱橫對(duì)比，分清異同，理解本質(zhì)，希望給學(xué)習(xí)這門課的學(xué)生及任課老師一些借鑒。

1初等函數(shù)的定義和性質(zhì)

在復(fù)變函數(shù)中，首先根據(jù)歐拉公式形式地給出了復(fù)數(shù)域上指數(shù)函數(shù)的概念，然后利用指數(shù)函數(shù)定義了冪函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)，雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)等初等函數(shù)。無論從定義的方式和概念的形式，都與高等數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)域上的初等函數(shù)存在很大的不同，但是，當(dāng)復(fù)數(shù)域上初等函數(shù)的定義域限制到實(shí)數(shù)域時(shí)，就是實(shí)數(shù)域上對(duì)應(yīng)的初等函數(shù)。在性質(zhì)方面，兩者呈現(xiàn)出許多相異的地方[1]。例如：①復(fù)數(shù)域上的對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)均為多值函數(shù)，這一點(diǎn)增加了復(fù)變函數(shù)研究的復(fù)雜性和難度；②復(fù)數(shù)域上的指數(shù)函數(shù)是以2πi為基本周期的函數(shù)；③復(fù)數(shù)域上的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在定義域上是無界的。

除了強(qiáng)調(diào)復(fù)變函數(shù)中某些概念及其性質(zhì)呈現(xiàn)出的差異這些知識(shí)點(diǎn)外，在教學(xué)中還應(yīng)使學(xué)生明確概念推廣所遵循的一些基本原則。一方面，概念的推廣必須滿足相容性，例如當(dāng)復(fù)數(shù)域上函數(shù)限制到實(shí)數(shù)域時(shí)，必須與實(shí)函數(shù)的一切性質(zhì)相吻合。另一方面，概念推廣要盡可能保持原對(duì)象的性質(zhì)，尤其是運(yùn)算性質(zhì)。以三角函數(shù)為例，它在復(fù)數(shù)域上是無界的，但限制在實(shí)數(shù)域上就是高等數(shù)學(xué)中研究的三

角函數(shù)，而且，三角恒等式如和差化積、積化和差、二倍角、半角公式也都是成立的。課堂上，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的概念，分析從實(shí)”到“復(fù)”變化中的異同，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不斷地思考，從而加深對(duì)概念本質(zhì)的理解，并激發(fā)探求新知識(shí)的積極性。

2分析學(xué)工具的比較

復(fù)變函數(shù)中的基本概念如極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分以及級(jí)數(shù)，與高等數(shù)學(xué)中的定義方式完全一致。例如，極限均是采用“ε-δ”語言來定義的，積分是采用分割、近似代替、求和、取極限來定義的。由于定義方式完全相同，它們的運(yùn)算性質(zhì)是一致的。此外，由于一個(gè)復(fù)函數(shù)可以等價(jià)地由實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)二元實(shí)函數(shù)來刻畫，因此復(fù)函數(shù)的極限存在性、連續(xù)性等與其實(shí)部、虛部?jī)蓚€(gè)二元實(shí)函數(shù)的極限存在性、連續(xù)性等價(jià)。然而可微性是個(gè)例外，復(fù)函數(shù)的可微性不僅要求實(shí)部、虛部?jī)蓚€(gè)二元實(shí)函數(shù)是可微的，還要求它們的偏導(dǎo)數(shù)滿足一個(gè)條件――柯西黎曼方程（C.-R.方程）。由于滿足了較為苛刻的條件，可微的復(fù)變函數(shù)具有更好的性質(zhì)，人們單獨(dú)對(duì)這類函數(shù)進(jìn)行研究，即復(fù)變函數(shù)中的一個(gè)重要研究對(duì)象―解析函數(shù)。

泰勒展開是研究函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要工具。高等數(shù)學(xué)中對(duì)一個(gè)實(shí)函數(shù)進(jìn)行泰勒展開的條件是[2]，f（x）在區(qū)域x-x■

在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生比較高等數(shù)學(xué)和復(fù)變函數(shù)中極限、連續(xù)、可導(dǎo)等概念的異同點(diǎn)，這樣既能夯實(shí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，又能在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)時(shí)達(dá)到事半功倍的效果，從而實(shí)現(xiàn)縱向?qū)哟紊系膶?duì)比教學(xué)。

3可導(dǎo)與解析的關(guān)系

解析是比可導(dǎo)更強(qiáng)的一個(gè)概念，復(fù)函數(shù)在一點(diǎn)處解析，不僅要求在該點(diǎn)可導(dǎo)，還要求在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)可導(dǎo)。因此，復(fù)函數(shù)在某點(diǎn)解析，一定可導(dǎo)，但反之不一定成立。在定義域的每點(diǎn)都解析的函數(shù)稱為解析函數(shù)。解析函數(shù)具有一個(gè)非常好的性質(zhì)，即無窮階可導(dǎo)性，因此解析函數(shù)可以利用泰勒展開定理和洛朗展開定理來研究自身的性質(zhì)。利用泰勒展開式，人們研究解析函數(shù)的零點(diǎn)的分類，并推導(dǎo)出解析函數(shù)零點(diǎn)必孤立和唯一性定理、最大模原理等結(jié)論；利用函數(shù)的洛朗展開式，人們研究解析函數(shù)孤立奇點(diǎn)的分類，并為著名的留數(shù)定理奠定了理論基礎(chǔ)；另外，這兩類級(jí)數(shù)是微分方程中冪級(jí)數(shù)解法的理論基礎(chǔ)。

在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生分析復(fù)變函數(shù)中概念之間的相似之處與差異，例如解析和可導(dǎo)、泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)等，使得學(xué)生在掌握新概念的同時(shí)領(lǐng)悟概念間的內(nèi)在聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)橫向?qū)哟紊系膶?duì)比教學(xué)。

4導(dǎo)數(shù)、積分與級(jí)數(shù)的關(guān)系

在復(fù)變函數(shù)中，泰勒展開定理的內(nèi)容如下[3]：若f（z）在圓域D：z-z■

同樣，洛朗展開定理將洛朗級(jí)數(shù)、導(dǎo)數(shù)和積分聯(lián)系在一起。特別的，洛朗級(jí)數(shù)中（z-z■）■項(xiàng)的系數(shù)具有重要的地位，這個(gè)系數(shù)被定義為孤立奇點(diǎn)的留數(shù)。留數(shù)是復(fù)變函數(shù)中的一個(gè)重要概念，留數(shù)方法已成為計(jì)算復(fù)變函數(shù)中積分的一個(gè)重要工具，并且留數(shù)方法還可以計(jì)算被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示的實(shí)積分，此外，在流體力學(xué)、彈性力學(xué)的應(yīng)用中發(fā)揮了重要作用。

5柯西積分定理和格林公式的關(guān)系

柯西積分定理是復(fù)變函數(shù)理論中最重要的定理之一，在研究解析理論中起著關(guān)鍵性的作用。根據(jù)柯西積分定理[4]，設(shè)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區(qū)域D內(nèi)解析，C為區(qū)域內(nèi)任意一條有向簡(jiǎn)單閉曲線，則∮■f（z）dz=0，在講解這個(gè)定理時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下思考：高等數(shù)學(xué)里是否有對(duì)應(yīng)的定理？

下面我們看一下高等數(shù)學(xué)中的格林公式。設(shè)函數(shù)P（x，y），Q（x，y）在區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，C為區(qū)域內(nèi)任意一條有向分段光滑閉曲線，則∮■ Pdx+Qdy=■■-■dxdy，其中D0為C所圍成的區(qū)域[2]。 從形式上看，似乎沒有聯(lián)系。實(shí)際上，根據(jù)f（z）的解析性質(zhì)，它一定滿足柯西-黎曼條件，即■=■，■=-■，所以

∮Cf（z）dz=∮■udx-vdy+i∮■vdx+udy

=■-■-■dxdy+i■■-■dxdy=0，

其中D0為C所圍成的區(qū)域。從而柯西積分定理可以看成是格林公式在復(fù)變函數(shù)中的推廣。

在教學(xué)過程中，除了講解課本上的已知結(jié)論，還鼓勵(lì)學(xué)生多思考，開拓創(chuàng)新思維，這樣學(xué)生不僅理解知識(shí)的本質(zhì)，還可以享受到創(chuàng)新的快樂，激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情和積極性。

總之，與高等數(shù)學(xué)相比，復(fù)變函數(shù)研究的內(nèi)容和分析問題的方法有很多內(nèi)在的聯(lián)系與區(qū)別。因此在教學(xué)中采用對(duì)比教學(xué)法，比較和探究復(fù)變函數(shù)和高等數(shù)學(xué)的異同，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高分析問題和解決問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]焦紅偉,尹景本.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京:北京大學(xué)出版社,2007.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

篇3

【關(guān)鍵詞】工程數(shù)學(xué)；復(fù)變函數(shù)；積分變換；教學(xué)方法

工程數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程，是一門重要的工科專業(yè)必修課。它不僅在數(shù)學(xué)的其他分支，如常微分方程、積分方程，有著重要的應(yīng)用，還在其他科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如理論物理、流體力學(xué)等。

我校是醫(yī)學(xué)院校，針對(duì)我校生物醫(yī)學(xué)工程專業(yè)，我們?cè)趯W(xué)生大二第一學(xué)期開設(shè)了工程數(shù)學(xué)這門課程，是一門必不可少的專業(yè)基礎(chǔ)類必修課程。它為電工與電路分析、模擬電子技術(shù)、信號(hào)與系統(tǒng)等后續(xù)專業(yè)專業(yè)課學(xué)習(xí)提供了必要的數(shù)學(xué)工具，在整個(gè)課程體系中占有舉足輕重的地位和作用。因此，如何學(xué)好工程數(shù)學(xué)這門課程是非常重要的。我校工程數(shù)學(xué)計(jì)劃54學(xué)時(shí)，包括復(fù)變函數(shù)和積分變換，學(xué)時(shí)少，內(nèi)容多。在教學(xué)過程中，學(xué)生也時(shí)常反應(yīng)概念難懂、方法不易掌握、習(xí)題難做，容易與高等數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)混淆。對(duì)此，本文結(jié)合實(shí)際授課經(jīng)驗(yàn)和我校工程數(shù)學(xué)這門課程教學(xué)改革，淺談教學(xué)過程中遇到的一些問題和對(duì)一些知識(shí)點(diǎn)的處理建議。

工程數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)既有區(qū)別又有聯(lián)系。它們的研究對(duì)象都是函數(shù)，研究主線都是通過變量研究函數(shù)，從而定義極限，利用極限去研究函數(shù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分。兩者的差異在于工程數(shù)學(xué)研究的函數(shù)是復(fù)變函數(shù)，高等數(shù)學(xué)研究的函數(shù)是實(shí)變函數(shù)。從實(shí)變函數(shù)到復(fù)變函數(shù)，函數(shù)的定義域與值域從實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。因此，復(fù)變函數(shù)是實(shí)變函數(shù)理論的延續(xù)和拓展，兩者的區(qū)別和聯(lián)系貫穿教學(xué)的始終，在教學(xué)過程中，通過類比的方式，利用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，理解復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的區(qū)別。例如，對(duì)許多基本概念及定義進(jìn)行理解時(shí)，使用類比法多做對(duì)比，找出相似點(diǎn)與不同點(diǎn)，加深對(duì)這些概念的理解。

1 復(fù)數(shù)的定義

一般稱（其中，x，y是實(shí)數(shù)）是一個(gè)復(fù)數(shù)。但這個(gè)概念的本質(zhì)是什么呢？類似實(shí)數(shù)可用直線上的點(diǎn)來表示，一個(gè)復(fù)數(shù)由一對(duì)有序?qū)崝?shù)（x，y）唯一確定，當(dāng)建立直角坐標(biāo)系后，平面xoy上的任意一點(diǎn)P（x，y）可以按照一定規(guī)則與一對(duì)有序?qū)崝?shù)（x，y）建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，也可以和起點(diǎn)為原點(diǎn)，終點(diǎn)為P的向量建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。因此，從幾何角度理解，復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)P或者向量來表示，也可以說復(fù)數(shù)是向量的另外一種表示方式。因此，復(fù)數(shù)的本質(zhì)應(yīng)該是向量，而不是“數(shù)”?！皵?shù)”的本質(zhì)特性是可以比較大小的，因此，可以從這個(gè)角度不難理解，復(fù)數(shù)為什么不能比較大小了。

2 復(fù)變函數(shù)的定義

復(fù)變函數(shù)是一元實(shí)變函數(shù)的直接推廣，它的定義與一元實(shí)函數(shù)的定義形式完全相同，但是復(fù)變函數(shù)的自變量和因變量都取自復(fù)數(shù)，其與兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)相對(duì)應(yīng)，因此，復(fù)變函數(shù)在幾何上就可以看成是z平面上的一個(gè)點(diǎn)集G到平面上一個(gè)點(diǎn)集的映射。因而，無法用直觀的圖形來表示函數(shù)關(guān)系，若要直角坐標(biāo)系畫出，需要四維空間，而一元實(shí)變函數(shù)在幾何上表示的是一條平面曲線。這是復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)定義上的一個(gè)不同。在向?qū)W生講解復(fù)變函數(shù)的幾何特性時(shí)，可以從簡(jiǎn)單的例子出發(fā)，例如，函數(shù)可以先介紹點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，然后是點(diǎn)集與點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)，如Z平面上的曲線在該函數(shù)作用下的圖像。復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)另外一個(gè)不同在于復(fù)變函數(shù)可以是多值函數(shù)，例如，開方函數(shù)可以將Z平面上的一點(diǎn)映射為平面上的兩個(gè)點(diǎn)。

3 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)

復(fù)變函數(shù)與一元實(shí)變函數(shù)的極限、連續(xù)在定義形式上相似，許多基本性質(zhì)與運(yùn)算法則也相同，但本質(zhì)上與二元實(shí)變函數(shù)一致。定理證明[1-2]，一個(gè)復(fù)變函數(shù)的極限存在充要條件是它的實(shí)部函數(shù)與虛部函數(shù)的極限都存在；一個(gè)復(fù)變函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)充要條件是它的實(shí)部函數(shù)與虛部函數(shù)在點(diǎn)是連續(xù)的。因此，研究復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)等問題可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的極限與連續(xù)問題。其次，復(fù)變函數(shù)中自變量的變化趨勢(shì)與實(shí)變函數(shù)的自變量的變化趨勢(shì)也有所不同，復(fù)變函數(shù)中自變量的變化趨勢(shì)指的是以任何方式任何路徑區(qū)域，不僅僅是左右兩個(gè)方向趨于，而實(shí)變函數(shù)的自變量的變化趨勢(shì)是指從左右兩個(gè)方向趨于。因此，復(fù)變函數(shù)的極限要求更高、更嚴(yán)格。而連續(xù)是基于極限這個(gè)基礎(chǔ)的，所以復(fù)變函數(shù)連續(xù)也要比實(shí)變函數(shù)連續(xù)要求更高。

4 解析函數(shù)

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)的一個(gè)重要研究對(duì)象。函數(shù)解析是比可導(dǎo)（可微）更強(qiáng)的一個(gè)概念，復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處解析，不僅要求在該點(diǎn)可導(dǎo)，還要求在該點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)。因此，復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)解析，一定是可導(dǎo)的，反之，不一定成立。在區(qū)域D內(nèi)每點(diǎn)都解析的函數(shù)稱為區(qū)域D上的解析函數(shù)。判斷復(fù)變函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件是它的實(shí)部函數(shù)和虛部函數(shù)在這一點(diǎn)可導(dǎo)，且滿足柯西-黎曼方程。要判斷函數(shù)在這一點(diǎn)的解析性，一般只能通過定義。其次，要判斷一個(gè)復(fù)變函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的充要條件是它的實(shí)部函數(shù)和虛部函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)且在區(qū)域D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程。這里主要利用了開區(qū)域的定義，因?yàn)殚_區(qū)域每個(gè)點(diǎn)都是其內(nèi)點(diǎn)，故若函數(shù)在開區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則在D內(nèi)處處滿足上述兩個(gè)條件。因此，對(duì)于D內(nèi)任意一點(diǎn)，必存在該點(diǎn)的一個(gè)鄰域，使得函數(shù)在該鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)。故由函數(shù)解析的定義可得，函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)處解析。

5 復(fù)變函數(shù)的積分

從形式上看，復(fù)變函數(shù)的積分是實(shí)變函數(shù)定積分的一種自然推廣。但其本質(zhì)上是復(fù)平面上的，它可以與二元實(shí)函數(shù)的線積分聯(lián)系在一起。相對(duì)應(yīng)就有了柯西-古薩基本定理，在此基礎(chǔ)上，得到了一系列推廣定理如：復(fù)合閉路定理、閉路變形原理等。柯西積分公式的證明基于柯西-古薩定理。其重要性在于解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以通過其在邊界上的值通過積分得到。

綜上所述，工程數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)方法，特別是類比的數(shù)學(xué)方法。工程數(shù)學(xué)中很多問題可以通過一定的技巧轉(zhuǎn)化為高等數(shù)學(xué)的問題，很多的結(jié)論可以通過與高等數(shù)學(xué)的知識(shí)類比得到。但是，它們?cè)诟拍钌弦灿幸欢ǖ牟町?，因此，在教學(xué)過程中，要注重與高等數(shù)學(xué)知識(shí)銜接，比較和探究它們的異同，概括它們的原理，使得學(xué)生在掌握新概念的同時(shí)，領(lǐng)悟概念間的內(nèi)在聯(lián)系，從而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高分析問題和解決問題的能力。

【參考文獻(xiàn)】

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關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)理解

對(duì)數(shù)學(xué)來說，結(jié)構(gòu)無處不在，結(jié)構(gòu)是由許多節(jié)點(diǎn)和聯(lián)線繪成的穩(wěn)定系統(tǒng)。數(shù)學(xué)中最基本的就是概念結(jié)構(gòu)，它們之間的聯(lián)系組成了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，剖析高等數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，有助于加深對(duì)高等數(shù)學(xué)的理解。由于理解是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，學(xué)生可以通過對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、概念與原理的理解和掌握來發(fā)展他們的數(shù)學(xué)能力。從認(rèn)知結(jié)構(gòu)，特別是結(jié)構(gòu)的建構(gòu)觀點(diǎn)來看，學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理、法則，如果在心理上能夠組織起適當(dāng)?shù)?、有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使其成為個(gè)人內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么這才是理解。而其中所需要做的具體工作，就是需要尋找并建立恰當(dāng)?shù)男?、舊知識(shí)之間的聯(lián)系，使概念的心理表象建構(gòu)得比較準(zhǔn)確，與其它概念表象的聯(lián)系比較合理，比較豐富和緊密。在學(xué)習(xí)一個(gè)新概念之前，頭腦里一定要具備與之相關(guān)的儲(chǔ)備知識(shí)，它們是支撐新概念形成的依托，并且這些有關(guān)概念的結(jié)構(gòu)，是能夠被調(diào)動(dòng)起來的，使之與新概念建立聯(lián)系，否則就不會(huì)產(chǎn)生理解。所以要使新舊知識(shí)能夠互相發(fā)生作用，建立聯(lián)系，有必要建立一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，以加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解。在微積分的學(xué)習(xí)中，通過對(duì)其結(jié)構(gòu)的剖析，使學(xué)習(xí)者頭腦中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)處于不斷形成和發(fā)展之中，并將其發(fā)展的結(jié)構(gòu)與已形成的結(jié)構(gòu)統(tǒng)一起來，以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的真正理解。

一、高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

高等數(shù)學(xué)以極限思想為靈魂，以微積分為核心，包括級(jí)數(shù)在內(nèi)，它們都是從量的方面研究事物運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)學(xué)方法，本質(zhì)上是幾種不同性質(zhì)的極限問題。連續(xù)性質(zhì)是自變量增量趨于零時(shí)，函數(shù)對(duì)應(yīng)增量的極限；導(dǎo)數(shù)是自變量增量趨于零時(shí)，函數(shù)的增量（偏增量）與自變量增量之比（差商）的極限；一元或多元積分都是和式的極限，而無窮級(jí)數(shù)則是密切聯(lián)系序列極限的另一種極限。微分是從微觀上揭示函數(shù)的有關(guān)局部性質(zhì)，積分則從宏觀上揭示函數(shù)的有關(guān)整體性質(zhì)，它們之間通過微積分基本定理聯(lián)系起來；廣義積分把無窮級(jí)數(shù)與積分的內(nèi)部溝通起來；而微分方程又從方程的角度把函數(shù)、微分、積分有機(jī)地聯(lián)系起來，展示了它們之間的內(nèi)在的依賴轉(zhuǎn)化關(guān)系。

二、如何利用結(jié)構(gòu)加強(qiáng)理解

（1）注重整體結(jié)構(gòu)理解當(dāng)代著名的認(rèn)知心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為“知識(shí)是主體與環(huán)境或思維與客體相互交換而導(dǎo)致的知覺建構(gòu)，雖然現(xiàn)今的教材基本上按一定框架編寫，但其中相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)要在學(xué)生的頭腦中形成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，并達(dá)到真正理解，還需要一個(gè)很長(zhǎng)的過程，在這個(gè)過程中需要師生的共同努力。在教學(xué)中教師應(yīng)將數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)與心理結(jié)構(gòu)統(tǒng)一起來，把學(xué)生看成是學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己頭腦中已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)建構(gòu)新的知識(shí)結(jié)構(gòu)。理解知識(shí)的前提是理解它如何在頭腦中表征的，這個(gè)過程主要表現(xiàn)為學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握，在此基礎(chǔ)上再加以運(yùn)用，達(dá)到更深意義上的掌握。由于高等數(shù)學(xué)具有清晰的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，因而其相關(guān)知識(shí)學(xué)習(xí)中也充滿了知識(shí)的同化過程。在高等數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中，微積分建立在極限的基礎(chǔ)之上。因此在高等數(shù)學(xué)中，新知識(shí)獲得要依賴于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)觀念，同時(shí)新舊知識(shí)還必須要有相互作用，即新舊意義的同化，才能形成高度分化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如微分是差商的極限，積分為微分的逆運(yùn)算，而定積分則為和的極限，只有將這些新舊概念在頭腦中不斷同化作用，才能形成新的高級(jí)知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，才能加強(qiáng)對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)的真正理解。這個(gè)過程實(shí)際上是一個(gè)內(nèi)部認(rèn)知過程，它要求學(xué)習(xí)者要有積極主動(dòng)的精神，即有意義學(xué)習(xí)傾向；同時(shí)還要在學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到適當(dāng)?shù)耐c(diǎn)。學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是從所接受的知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化而來的，因此教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程。

（2）注重結(jié)構(gòu)中的概念理解數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是有許多個(gè)結(jié)構(gòu)所組成的，而個(gè)別的概念一定要融人其它概念，合成的概念結(jié)構(gòu)才有用。數(shù)學(xué)中的概念往往不是孤立的，它們之間存在著一定的聯(lián)系，理清概念之間的聯(lián)系，既有助于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的建立，有助于新的概念地自然引入，從而有助于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握。在微積分這部分內(nèi)容中，多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)這組概念之間的聯(lián)系，與一元函數(shù)中的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、微分概念之間的聯(lián)系，這兩者之間既有相同之處，又有不同之處，而且每個(gè)相對(duì)的概念之間又存在一定的聯(lián)系與區(qū)別，多元函數(shù)中許多微分概念是在一元函數(shù)基礎(chǔ)上的推廣與發(fā)展，它們是密不可分。積分學(xué)中的定積分、重積分、二類曲線積分、二類曲面積分之間也存在著類似的關(guān)系。通過聯(lián)想，可以從二維空間進(jìn)入到三維空間，直至到更多維的空間，從有形進(jìn)入無形，從現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)入虛擬世界，這樣步步滲入，步步構(gòu)建，不斷引入新概念，不斷更新組建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不斷更新，不斷完善，從而達(dá)到對(duì)知識(shí)的真正理解與掌握。

（3）在教學(xué)中利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解教師對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的理解對(duì)學(xué)生建立起自身的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)起著不可缺少的作用才能理解數(shù)學(xué)。首先，在數(shù)學(xué)中利用高等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的縱向與橫向聯(lián)系，有意識(shí)地幫助學(xué)生建立自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，如在利用求曲邊梯形的面積來引入定積分的概念時(shí)，其基本思維方法是：分割、近似代替，求和、取極限，最后得出定積分的概念。而這一方法同樣可解決求曲頂柱體的體積、空間物體的質(zhì)量、曲線段的質(zhì)量等問題，區(qū)別僅在于取極限時(shí)趨向于零的元素不同而已。在具體每一章的講解中，要著重介紹此章知識(shí)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的內(nèi)在聯(lián)系及其本章的關(guān)鍵與核心的處理方法，使學(xué)生能夠抓住本質(zhì)，真正做到變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，主動(dòng)建構(gòu)自己本章的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并能用框圖展現(xiàn)出知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，只有這樣才能提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和積極性，增加對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提高高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量。幫助學(xué)生建立自己的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、歸納能力、分析問題、解決問題的能力，還能促進(jìn)其自學(xué)，調(diào)動(dòng)和增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的信心和自覺程度。

參考文獻(xiàn)：

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關(guān)鍵詞：財(cái)經(jīng)；高等數(shù)學(xué)；習(xí)題課；分層次教學(xué)

中圖分類號(hào)：G640 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1673－291X（2011）02－0216－03

自1969年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)設(shè)立以來，絕大多數(shù)獲獎(jiǎng)成果都是建立在比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的，因此《高等數(shù)學(xué)》是財(cái)經(jīng)類學(xué)生的一門非常重要的基礎(chǔ)課程。但是因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)比較抽象，所以對(duì)于某些學(xué)生特別是文科學(xué)生來講，還是有一定的難度的。因而，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)課程中，除了要在課堂上將這些比較抽象的數(shù)學(xué)概念講清楚以外，適當(dāng)設(shè)置一些習(xí)題課也是比較好的方法。因?yàn)榱?xí)題課可以使得學(xué)生對(duì)于所學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行消化和理解，同時(shí)也為下一階段的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。習(xí)題課可以說是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，既可以幫助學(xué)生加深對(duì)于經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)概念的理解，也能夠提高學(xué)生應(yīng)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的能力。

一、高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)目的

設(shè)立高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)掌握知識(shí)的需要，還是高等數(shù)學(xué)課自身使命使然。對(duì)于幫助學(xué)生理解與深化概念、提高解題能力、加強(qiáng)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)修養(yǎng)以及培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣都有很大的幫助。通過反復(fù)學(xué)習(xí)與訓(xùn)練，能夠增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的信心。

1.對(duì)所學(xué)高等數(shù)學(xué)概念和理論的再思考

高等數(shù)學(xué)是一門很嚴(yán)密的學(xué)科，對(duì)于概念的定義都很精確、抽象，因?yàn)闀r(shí)間的關(guān)系，課堂上教師不能面面俱到，習(xí)題課就是對(duì)加深高等數(shù)學(xué)概念經(jīng)濟(jì)理解的一種非常有效補(bǔ)充。教師可以通過在習(xí)題課上對(duì)習(xí)題講解，結(jié)合其中涉及到的概念，加以有針對(duì)性地講解，做到習(xí)題和理論有效結(jié)合，將理論與習(xí)題交織在一起，形成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，這將有利于學(xué)生構(gòu)架整個(gè)的知識(shí)框架，有了這個(gè)大框架，學(xué)生更加深刻地理解概念和習(xí)題，學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的熱情就會(huì)提高很多，學(xué)習(xí)效果將得到較大改善。比如，講到函數(shù)的概念時(shí)候，要反復(fù)提醒函數(shù)概念的經(jīng)濟(jì)和金融應(yīng)用。

2.提高學(xué)生的解題技巧

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，經(jīng)常會(huì)遇見學(xué)生抱怨，如將書上以及老師講的內(nèi)容全部弄懂了，但仍不會(huì)做書后面的習(xí)題。究其原因，主要是因?yàn)閷W(xué)生看懂和聽懂的內(nèi)容不是他自己真正掌握的，比如看懂的是書作者所呈現(xiàn)的作品，聽懂的是老師所傳授知識(shí)。那么如何才能將知識(shí)轉(zhuǎn)換為學(xué)生自己的呢？筆者通過多年的教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，最為有效的途徑就是通過學(xué)生自己去嘗試，而習(xí)題課恰恰就是這樣一個(gè)很好的平臺(tái)。在習(xí)題課上，教師可以多講一些解題技巧，然后讓學(xué)生自己去實(shí)戰(zhàn)，真正讓自己所聽所看的知識(shí)轉(zhuǎn)換為真正屬于自己的東西。同時(shí)老師不僅要講習(xí)題，關(guān)鍵在于教會(huì)學(xué)生怎么去做題，怎么樣舉一反三，觸類旁通，利用聯(lián)想、類比、歸納等各種手段。比如，講到數(shù)值計(jì)算的方法求定積分近似值的時(shí)候，常常會(huì)講授兩種方法，其中一種是比較簡(jiǎn)單的梯形法，另外一種是稍微復(fù)雜的拋物線型法，很多同學(xué)會(huì)將兩者混起來，這時(shí)候就要善于歸納總結(jié)。有的同學(xué)就歸納出了口訣，比如梯形法是，一頭一尾是一倍，中間統(tǒng)統(tǒng)是兩倍，然后再除以2；而拋物線法則是一頭一尾還是一倍，奇數(shù)下標(biāo)為4倍，偶數(shù)下標(biāo)為2倍，下標(biāo)是從0開始標(biāo)，注意是除以3。如果記住了這類歸納出來的口訣，那么以后這兩種方法就不會(huì)混淆起來了。從而建立從題設(shè)到未知路徑的通道和橋梁紐帶，學(xué)會(huì)分析問題，真正做到教會(huì)學(xué)生做習(xí)題并使他們樂在其中，這也是習(xí)題課的最大目的。

3.深化相關(guān)高等數(shù)學(xué)概念的經(jīng)濟(jì)含義

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是經(jīng)濟(jì)類學(xué)科的一門基礎(chǔ)課程，是以后學(xué)習(xí)概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科的基礎(chǔ)，而且很多概念和理論與現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)問題相關(guān)。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生會(huì)經(jīng)常問到數(shù)學(xué)到底有什么用處，學(xué)習(xí)目的不太明確。那么教師可以充分利用習(xí)題課這一平臺(tái)，多舉一些應(yīng)用方面的例子，打消學(xué)生的數(shù)學(xué)無用論思想，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。比如，當(dāng)講到函數(shù)的定義時(shí)候，強(qiáng)調(diào)函數(shù)的概念中要排除一對(duì)多的情形，就可以將股票的價(jià)格看為時(shí)間的函數(shù)來進(jìn)行解釋：第一，在交易時(shí)期，任何時(shí)間都有股價(jià)，也就是任何定義域中的變量都有象；第二，任何時(shí)間只可能有一個(gè)股價(jià)，但是可以允許多個(gè)時(shí)間對(duì)應(yīng)同一個(gè)股價(jià)，就是說，允許多對(duì)一，而不允許一對(duì)多。再者高等數(shù)學(xué)中常用的幾類函數(shù)，例如符號(hào)函數(shù)，其實(shí)可以對(duì)應(yīng)于一個(gè)賭博模型，也就是有輸有贏，那么是不是可以設(shè)計(jì)只贏不賠的模型呢？答案就是絕對(duì)值函數(shù)，對(duì)應(yīng)于金融工程中的跨式期權(quán)，只是要減去期權(quán)費(fèi)而已。再比如，學(xué)期伊始，可以先向?qū)W生明確本課程的兩大目的：求導(dǎo)數(shù)和求積分。然后說明導(dǎo)數(shù)和積分的實(shí)際背景：導(dǎo)數(shù)就是變化率，求積分就是相當(dāng)于求平均值?？梢跃腿说纳砀邌枌W(xué)生兩個(gè)問題：其一，人的身高一生何時(shí)變化最快，何時(shí)變化最慢；其二，人的身高一生的平均值如何計(jì)算。從而讓同學(xué)明確高等數(shù)學(xué)的討論較多涉及有實(shí)際意義的問題，而不完全是討論抽象的問題。還有如定積分就是曲邊梯形的面積，現(xiàn)實(shí)生活中在測(cè)量湖泊的流量就會(huì)用到相關(guān)知識(shí)。通過詳細(xì)地講這些例子，學(xué)生就能夠加深對(duì)高等數(shù)學(xué)的經(jīng)濟(jì)含義的理解，從而激發(fā)他們對(duì)高等數(shù)學(xué)的興趣，變被動(dòng)為主動(dòng)。其他的例子如彈性的經(jīng)濟(jì)含義等。

4.培養(yǎng)學(xué)生分析經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的能力

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課有很強(qiáng)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用性，很多概念都是從經(jīng)濟(jì)學(xué)直接引用過來的，比如需求和供給函數(shù)、市場(chǎng)均衡、成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)。還涉及到彈性，如何求經(jīng)濟(jì)函數(shù)的最值問題，都可以找出其經(jīng)濟(jì)含義的背景，比如講到定積分在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用的時(shí)候，就可以提醒學(xué)生，我們學(xué)了導(dǎo)數(shù)，那么導(dǎo)數(shù)是怎么應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的呢？應(yīng)該是利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值問題，求出最小的平均成本以及最大利潤(rùn)。當(dāng)然這還需要和連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的駐點(diǎn)唯一性定理結(jié)合起來用，只有在連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的唯一駐點(diǎn)才能夠使局部效果的極值成為函數(shù)的整體最值。學(xué)了不定積分，那么在經(jīng)濟(jì)中有什么用處呢？可以利用不定積分求出經(jīng)濟(jì)函數(shù)。有兩個(gè)步驟：第一步是求不定積分，第二步則是利用初始條件求出自由未知數(shù)。這樣就可以將經(jīng)濟(jì)函數(shù)求出來，當(dāng)然可以和導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)函數(shù)的應(yīng)用結(jié)合起來一起用。那么定積分怎么樣在經(jīng)濟(jì)中應(yīng)用呢？通過定積分可以求出經(jīng)濟(jì)函數(shù)的改變量，利用的是牛頓－萊布尼茲公式即可以解決這個(gè)問題，這樣將全部相關(guān)的串起來，那么學(xué)生就能夠掌握知識(shí)結(jié)構(gòu)，同時(shí)也確實(shí)能夠體會(huì)經(jīng)濟(jì)中會(huì)用到數(shù)學(xué)，學(xué)生則會(huì)端正學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度。教師可以將許多經(jīng)濟(jì)中的問題用來作為例子，從而引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的分析和把握能力。

二、習(xí)題課教學(xué)的模式

高等數(shù)學(xué)課程和其他的課程相比，比較抽象，較難掌握。以前的高等數(shù)學(xué)的教學(xué)模式主要是以課堂講授的形式，但是隨著計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，筆者認(rèn)為，可以在教學(xué)過程中采取以下幾種教學(xué)模式。

1.課堂教授型

高等數(shù)學(xué)是一門比較抽象、深?yuàn)W的學(xué)科，要盡可能地讓學(xué)生接受、理解，其中較有效的方式是課堂傳授的方法。教師通過對(duì)教學(xué)素材精挑細(xì)選，課堂上使用幽默的口頭語言、豐富的表情語言和形象的形體語言，將深?yuàn)W抽象的數(shù)學(xué)講得通俗易懂，淺顯具體。重點(diǎn)講解如何利用基本知識(shí)點(diǎn)來求解習(xí)題，將問題分解為基本概念和基本理論的邏輯推理關(guān)系，講授通用的解題思路和解題方法，將尋求解題思路的思維過程呈現(xiàn)出來，這樣學(xué)生才容易接受，才能達(dá)到預(yù)期的效果。

2.小組學(xué)習(xí)型

數(shù)學(xué)的核心是問題，針對(duì)于數(shù)學(xué)問題的討論，可以組建一些學(xué)習(xí)小組，數(shù)學(xué)的習(xí)題課也可以利用這個(gè)學(xué)習(xí)小組，經(jīng)過小組成員之間的討論，學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的你追我趕的積極性得到很大提高。教師可以出一些相關(guān)的題目，以小組的形式，發(fā)動(dòng)班級(jí)學(xué)生圍繞專題進(jìn)行討論和交流，尋求解題過程，形成一致的意見，然后和其他小組的意見相結(jié)合，最后由教師加以總結(jié)或者評(píng)判。比如，在講求導(dǎo)數(shù)的過程中，介紹完了導(dǎo)數(shù)的基本公式后，筆者經(jīng)常會(huì)出幾個(gè)典型的題目。要求同學(xué)分成幾個(gè)小組進(jìn)行討論，一來新同學(xué)比較容易犯錯(cuò)誤，二來題目本身有很多種做法，值得讓大家一起來討論討論。所以教師可以出一些能夠用多種方法求解的題目以及解法之間有很多的差異的題目，通過學(xué)生之間小組之間進(jìn)行討論，然后教師加以總結(jié)組織，結(jié)果是很明顯的。在此過程中，學(xué)生和教師的積極配合和有效互動(dòng)，通過學(xué)生和學(xué)生之間，小組和小組之間以及學(xué)生和教師之間的多渠道全方位交流，能夠達(dá)到很好的教學(xué)效果。

3.網(wǎng)絡(luò)答疑型

現(xiàn)在高校的網(wǎng)絡(luò)資源相當(dāng)豐富，網(wǎng)上不僅有教學(xué)資源、教學(xué)視頻、網(wǎng)絡(luò)課程，還有和學(xué)生交流的BBS平臺(tái)及習(xí)題庫，教師可以充分利用學(xué)校這些豐富的網(wǎng)上交流平臺(tái)與同學(xué)展開交流。網(wǎng)絡(luò)答疑形式類似課堂小組交流，而課堂上組織小組交流活動(dòng)，花的時(shí)間會(huì)比較多，因此可以充分高效地利用網(wǎng)絡(luò)答疑這種形式。具體的，可先由教師根據(jù)教學(xué)的進(jìn)度，布置一些相關(guān)的作業(yè)或者習(xí)題，留給學(xué)生在課堂以外討論，過一段時(shí)間，教師可以針對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)過程中普遍存在的問題或者比較難掌握的知識(shí)點(diǎn)組織一到兩次適時(shí)BBS，然后將討論的結(jié)果加以整理置頂，以便學(xué)生的學(xué)習(xí)和總結(jié)。這種有主題而且連貫性答疑形式很受學(xué)生的歡迎。另外教師也可以根據(jù)學(xué)生的水平，結(jié)合所學(xué)專業(yè)的特點(diǎn)，布置一些專業(yè)相關(guān)的開放題、思考題，也可以找一些數(shù)學(xué)史方面的資料，開展專題BBS，找一些高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的具體應(yīng)用資料。一個(gè)學(xué)期反復(fù)做幾次，可以解決學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇見的很多問題，學(xué)生的學(xué)習(xí)信心和興趣將會(huì)得到較大提高，使得網(wǎng)絡(luò)課堂真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的第二課堂。

4.分層次形式

現(xiàn)在同學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、理解能力、學(xué)習(xí)能力、存在著較大差異，所以教師在進(jìn)行習(xí)題課的教學(xué)中應(yīng)該要考慮到不同層次的學(xué)生需求。特別是選取素材的時(shí)候要進(jìn)行分層次教學(xué)，對(duì)于基礎(chǔ)較差、學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)的學(xué)生，要求其掌握基本的概念和理論；對(duì)于那些水平相對(duì)好點(diǎn)的學(xué)生則不僅要掌握書上的基本內(nèi)容，還可以適當(dāng)提高標(biāo)準(zhǔn)增加習(xí)題難度，同時(shí)鼓勵(lì)他們幫助那些學(xué)習(xí)有困難的同學(xué)。這種做法有助于提高每個(gè)學(xué)生的積極性，使得每一個(gè)學(xué)生在習(xí)題課上都有所進(jìn)步。

三、習(xí)題課教學(xué)的實(shí)施

習(xí)題課和一般的課程不同之處在于，其教學(xué)方式、教學(xué)目標(biāo)、習(xí)題設(shè)計(jì)、教學(xué)策略是有差別的。這些差異要求教師精心準(zhǔn)備，學(xué)生積極配合，這樣才能將一堂習(xí)題課上好，達(dá)到預(yù)先設(shè)定的效果。

1倡導(dǎo)“避免一言堂”的教學(xué)方式

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，由于教師和學(xué)生的差距，往往容易形成上課只有教師一言堂的情況，但是習(xí)題課主要是解決學(xué)生自己的問題，所以習(xí)題課必須要學(xué)生多講多做，這樣才能暴露出學(xué)生自己的問題，教師才能有針對(duì)性的解決學(xué)生中存在的問題。高等數(shù)學(xué)概念以及經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)知識(shí)都是相互聯(lián)系的，所以教師和學(xué)生可以相互交流，積極發(fā)言，結(jié)合自己所熟悉的，談?wù)劯髯詫?duì)于概念的理解，以及概念和概念之間的聯(lián)系，這樣可以加深學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念和理論的了解。講解數(shù)學(xué)題時(shí)，也可以對(duì)一個(gè)題目討論多種解法。這樣每個(gè)學(xué)生都是課堂的主體，沒有局外人，師生之間，同學(xué)之間就實(shí)現(xiàn)了多向交流，會(huì)收到較好的效果。比如講求函數(shù)的最值時(shí)候，一般的方法是在求出函數(shù)的表達(dá)式后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)再求出駐點(diǎn)，然后進(jìn)行最值的討論，但是如果目標(biāo)函數(shù)比較特殊的時(shí)候，比如是一個(gè)二次多項(xiàng)式或者滿足基本不等式的函數(shù)，那么此時(shí)就可以用二次函數(shù)的最值討論或者利用基本不等式來求目標(biāo)函數(shù)的最值，這樣就可以和初中的知識(shí)掛起來，使得同學(xué)容易理解函數(shù)的最值問題了。

2.堅(jiān)持循循善誘的教學(xué)方法

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，習(xí)題課教學(xué)目標(biāo)可以概括為三級(jí)：理解知識(shí)目標(biāo)，應(yīng)用知識(shí)目標(biāo)，能力目標(biāo)。在設(shè)計(jì)習(xí)題課的時(shí)候，應(yīng)該辨別該習(xí)題課的目標(biāo)，然后按照此目標(biāo)，注意目標(biāo)的階段性和可行性，循序漸近引導(dǎo)學(xué)生，千萬不要急于求成，否則會(huì)適得其反。比如，求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，必須先掌握了初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后在掌握復(fù)合函數(shù)的分解基礎(chǔ)上，再掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，才能夠掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)。所以教師堅(jiān)持循循善誘的教學(xué)方法，逐步引導(dǎo)學(xué)生上好這堂習(xí)題課。由于習(xí)題具有層次性，不同水平的學(xué)生都能學(xué)到其相應(yīng)水平的知識(shí)，從而能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，極大改善學(xué)生學(xué)習(xí)效果，較好的完成教學(xué)任務(wù)。

3.遵循精編細(xì)選的習(xí)題設(shè)計(jì)原則

習(xí)題課上選用的題目有一定的要求，即要具有一定的典型性、針對(duì)性、科學(xué)性和啟發(fā)性。所謂典型性就是指經(jīng)常會(huì)遇見的問題，不偏不怪的題目；所謂針對(duì)性，主要是針對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或者經(jīng)常容易犯錯(cuò)誤的地方；所謂科學(xué)性就是指符合客觀規(guī)律的表達(dá)清晰、嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)；啟發(fā)性主要是指對(duì)學(xué)生的思維具有一定的啟發(fā)。一般習(xí)題課上的題目要遵循上面四個(gè)條件，這樣取得的效果會(huì)比較明顯。比如，講復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，應(yīng)該舉一些常見的函數(shù)的求導(dǎo)，兩重或者三重的復(fù)合函數(shù)，三重以上的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)則屬于偏怪的題目了，對(duì)學(xué)生知識(shí)的掌握幫助有限，這種情況應(yīng)盡量避免。再比如，教定積分計(jì)算的時(shí)候，我們可以設(shè)計(jì)如下三種基本類型：題目（1）是一般的定積分，在區(qū)間[1，3]上的定積分；題目（2）是瑕積分，因?yàn)楸环e函數(shù)在積分下限是沒有意義的；題目（3）則是被積函數(shù)在無窮限上的積分，從上面的例子可以看出，題目雖然不是很難，但是能夠概括出這章節(jié)討論題目的基本類型和主要知識(shí)，如果選題能夠顧及到這點(diǎn)，那么習(xí)題課就能夠取到很好的效果。如果所選的習(xí)題滿足以上四個(gè)要求，遵循精編細(xì)選的習(xí)題設(shè)計(jì)原則，那么就不用再搞題海戰(zhàn)術(shù)，就可以達(dá)到較好的教學(xué)效果。

4.貫徹重視分析過程的教學(xué)策略

數(shù)學(xué)是一門思維邏輯很強(qiáng)的學(xué)科，教師進(jìn)行習(xí)題課分析的時(shí)候應(yīng)該著重分析解題的過程，分析題目的來龍去脈，重點(diǎn)剖析題目的邏輯思維結(jié)構(gòu)，而不只是注重答案的求解。這樣才能使得學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)建數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)的習(xí)題課效果才能更加明顯。比如，利用分步積分法求函數(shù)的積分，教師要將過程講得很仔細(xì)，否則同學(xué)無法辨認(rèn)哪個(gè)函數(shù)該積分，哪個(gè)函數(shù)是用于求導(dǎo)數(shù)，要將辨別的標(biāo)準(zhǔn)和同學(xué)講得很清楚并總結(jié)規(guī)律。如果只講一個(gè)結(jié)果，學(xué)生很難做到舉一反三、觸類旁通。

結(jié)束語

習(xí)題課是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的關(guān)鍵一環(huán)，通過習(xí)題課使得同學(xué)能夠梳理高等數(shù)學(xué)中的抽象概念和相關(guān)的定理，另外一方面也要加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)知識(shí)在財(cái)經(jīng)中的應(yīng)用的教學(xué)，使得學(xué)生具有應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決財(cái)經(jīng)問題的能力。另外教師想要將習(xí)題課上好，要在習(xí)題的選擇、授課方法等方面下工夫。因此，如何上好經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)這門課的習(xí)題課，是一個(gè)值得不斷探討的問題。

參考文獻(xiàn)：

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篇6

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 教學(xué)法 創(chuàng)新

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）02（b）-0034-01

科研能力和科研成果標(biāo)志著一個(gè)國(guó)家的科技水平，培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識(shí)和科研能力的人才是高等院校所面臨和必須解決的實(shí)際問題，然而科研能力的培養(yǎng)并非要從研究生階段才開始著重培養(yǎng)，在本科階段的教學(xué)中給學(xué)生盡早接觸科研的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生從本科階段開始培養(yǎng)一種標(biāo)新立異提問題的習(xí)慣至關(guān)重要。而對(duì)本科生科研能力的培養(yǎng)最主要的途徑就是在對(duì)其傳授知識(shí)的過程中完成的。高等數(shù)學(xué)作為高等院校各院系一門重要的公共基礎(chǔ)課之一對(duì)學(xué)生在四年大學(xué)生活中扮演著重要的角色，高等數(shù)學(xué)中微積分的創(chuàng)立、一元微積分到多元微積分的發(fā)展以及各個(gè)重要概念的產(chǎn)生無不透露出數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思路，如果能夠從中進(jìn)行引導(dǎo)，找到適合的切入點(diǎn)，逐步在學(xué)習(xí)過程中讓學(xué)生積累素材并培養(yǎng)一種問“好”問題的習(xí)慣，本科學(xué)生一樣可以接觸科研。

培養(yǎng)學(xué)生的科研能力，最重要的是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)覺問題的能力，而這首先要求學(xué)生改變以往的學(xué)習(xí)模式，即由被動(dòng)的接受到主動(dòng)的思考創(chuàng)造的學(xué)習(xí)模式的轉(zhuǎn)變，這種學(xué)習(xí)模式的轉(zhuǎn)變進(jìn)而要求教師授課模式的轉(zhuǎn)變。本文就講透基本概念，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足及類比教學(xué)等幾方面來談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)模式，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的科研能力。

1 講透基本概念

數(shù)學(xué)中最重要的就是基本概念，基本概念把握不透到頭來學(xué)生可能只會(huì)做部分簡(jiǎn)單的習(xí)題。事實(shí)上，高等數(shù)學(xué)授課的主要目的并非讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何計(jì)算導(dǎo)數(shù)和微分，更多的是該讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)思想，深刻理解數(shù)學(xué)概念。深刻理解概念即要把握概念的本質(zhì)。以極限概念為例，怎么理解數(shù)列，如果只是按照書上的定義把語言寫出來還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，應(yīng)該告訴學(xué)生極限最本質(zhì)的東西就是用距離去刻畫，即數(shù)列和某個(gè)定點(diǎn)的距離當(dāng)時(shí)無限接近。知道了這一點(diǎn)，平面上一個(gè)點(diǎn)列的概念自然就有了，同樣我們用點(diǎn)列和點(diǎn)的距離當(dāng)時(shí)無限接近去刻畫。只是需要注意的一點(diǎn)的是，平面上兩點(diǎn)間的距離不能再用絕對(duì)值了，而是用

進(jìn)而到維空間中乃至無窮維空間中如何定義點(diǎn)列收斂我們都可以知道，關(guān)鍵是距離起著重要作用。再以函數(shù)可微概念為例，很多學(xué)生只知道，至于為什么求微分，以及什么是可微函數(shù)不知道。這些就需要老師在講授這個(gè)基本概念的時(shí)候介紹清楚，讓學(xué)生搞透這個(gè)概念。事實(shí)上，一個(gè)函數(shù)是不是可微就是看這個(gè)函數(shù)的增量與其自變量的增量是否可成一個(gè)線性比例關(guān)系，即是否成立，知道了這一點(diǎn)，可以立即讓學(xué)生去思考如果是一個(gè)二元函數(shù)是否可微該如何定義？按照上面的說法，二元函數(shù)的增量和其自變量的增量是否成線性比例關(guān)系，二元函數(shù)的變量是兩個(gè)，即看是否成立？同樣多元函數(shù)的可微性乃至一個(gè)泛函的可微性理解起來都很簡(jiǎn)單了。搞透數(shù)學(xué)中的基本概念這是讓學(xué)生能夠不斷思考并發(fā)現(xiàn)問題的前提。

2 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足

無論哪門學(xué)科之所以產(chǎn)生、發(fā)展，往往源于人們對(duì)已有相關(guān)學(xué)科的不滿以及該學(xué)科創(chuàng)立時(shí)的不完善。作為教師，應(yīng)當(dāng)更多地呈現(xiàn)給學(xué)生所講學(xué)科的不足及存在的問題，這樣學(xué)生才有思考的余地，把學(xué)科的不足及問題隱藏起來而只把學(xué)科完美的漂亮的結(jié)果展現(xiàn)給學(xué)生，那么他們就只會(huì)做練習(xí)而永遠(yuǎn)也不會(huì)去創(chuàng)作東西。要知道，正是當(dāng)年微積分的不完善才有了極限的產(chǎn)生。數(shù)學(xué)就是在不斷地發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足并改進(jìn)的過程中逐步完善起來的。眾所周知，數(shù)學(xué)史上曾發(fā)生過三次數(shù)學(xué)危機(jī)，可每一次危機(jī)都沒有前人的理論而只是在數(shù)學(xué)這座漂亮的高樓大廈上添磚加瓦而已，危機(jī)使數(shù)學(xué)更加完善了，危機(jī)的產(chǎn)生正是由于學(xué)科本身的問題和不足導(dǎo)致的。

當(dāng)講完定積分時(shí)不能讓學(xué)生認(rèn)為定積分是完美無暇的，應(yīng)該讓學(xué)生尋找這個(gè)概念的不足之處，比如狄利克雷函數(shù)，這樣簡(jiǎn)單的函數(shù)為何不可積？可能有人認(rèn)為這是實(shí)變函數(shù)的內(nèi)容超出了高等數(shù)學(xué)的范圍，事實(shí)上不是這樣的。通過讓學(xué)生尋找定積分的不足可以鍛煉學(xué)生的一種思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。人人都認(rèn)為所創(chuàng)造出來的學(xué)科是神圣不可侵犯的話就不會(huì)有所發(fā)展了，這給了學(xué)生一種提出質(zhì)疑的態(tài)度，培養(yǎng)了學(xué)生問問題的一種習(xí)慣，久而久之，學(xué)生的科研能力也能加強(qiáng)。另一方面，我們可以告訴學(xué)生黎曼積分不是那么完美的，因?yàn)檫€有一種更廣泛的積分就是勒貝格積分，告訴學(xué)生在微積分之后還有一門后續(xù)課程是實(shí)變函數(shù)，感興趣的同學(xué)會(huì)自己去查閱。同時(shí)我們可以用形象地?cái)?shù)錢地方式告訴學(xué)生什么是黎曼積分，什么是勒貝格積分。有一搭錢，我想知道數(shù)目是多少，從頭開始累加而不管其面值是多少可以得出最后的數(shù)目這就是黎曼積分，如果會(huì)打理一些，把面值相同的錢先放在一起，5元，10元，100元，再數(shù)各面值的有多少張，最后算和這就是勒貝格積分。這樣不僅提高了學(xué)生的興趣，加深了他們對(duì)概念的理解，也開闊了學(xué)生的思維。

3 類比教學(xué)

數(shù)學(xué)中有很多基本概念都是相近的，作好相似、相近或相關(guān)概念的歸納比較，展示概念之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)區(qū)別，讓學(xué)生在比較中學(xué)習(xí)，從比較中加深理解，從整體上把握所學(xué)到的諸多概念，這樣既可以學(xué)習(xí)新知識(shí)又可鞏固舊知識(shí)。以無窮積分與無窮級(jí)數(shù)為例，從定義來講，無窮級(jí)數(shù)與無窮積分的基本概念之間存在離散與連續(xù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

，

（前提是極限都存在）。這樣很容易得出p級(jí)數(shù)與有相同的斂散性（這是教材的一個(gè)定理），這樣學(xué)生能自己去給出這個(gè)定理，不僅很快掌握了，而且有著自己發(fā)現(xiàn)定理的成就感。

4 結(jié)語

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)要使學(xué)生不僅知道許多重要的數(shù)學(xué)概念、方法，而且領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想，從而在自己所學(xué)的領(lǐng)域中不斷發(fā)現(xiàn)問題并運(yùn)用其相同或相近的思想解決問題。只有轉(zhuǎn)變了學(xué)生從被動(dòng)接受到主動(dòng)思考創(chuàng)造的學(xué)習(xí)模式，才能培養(yǎng)其科研能力。

參考文獻(xiàn)

篇7

關(guān)鍵詞：極限；左右極限；函數(shù)

求函數(shù)極限的方法很多，有些函數(shù)可直接計(jì)算極限。另外，還有些函數(shù)需要分別考查兩個(gè)單側(cè)極限，即左、右極限，然后利用函數(shù)極限存在的充分必要條件判斷。若左、右極限相等，則函數(shù)在該處的極限存在；否則不存在。需考察左、右極限的函數(shù)求極限問題是教學(xué)的難點(diǎn)，為了便于掌握，將常見題型分析如下：

一、求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限

一般地，若某點(diǎn)的兩側(cè)是同一表達(dá)式，則可直接計(jì)算雙側(cè)極限，如果是分段函數(shù)的區(qū)間分段點(diǎn)，由于分段點(diǎn)的兩側(cè)具有不同的表達(dá)式，因而左右極限有可能不同，必須考察左、右極限。求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限時(shí)，不必考慮函數(shù)在分段點(diǎn)的取值情況，只需分析在分段點(diǎn)左右兩側(cè)的取值情況即可。

例1：函數(shù)f（x）=x+1 x>1x-1 x≤1，問■f（x）在x=1處的極限是否存在。

解：f（x）在x=1處的右極限f（x）=■x+1=2，

f（x）在x=1處的左極■f（x）=■x-1=0，

因?yàn)椤?f（x）≠■f（x），所以f（x）在x=1處的極限不存在。

二、求含絕對(duì)值的函數(shù)的極限

含絕對(duì)值的函數(shù)在求極限時(shí)，一般可先去掉絕對(duì)值，改寫為分段函數(shù)，然后再考察函數(shù)在分段點(diǎn)的左、右極限。

例2：考察函數(shù)f（x）=■在x=0處的極限。

解：將|x|改寫為分段函數(shù)|x|=-x，x

所以■f（x）=■■=-1，■f（x）=■■=-1

因?yàn)椤鰂（x）≠■f（x），所以f（x）在x=0處的極限不存在。

三、求取整函數(shù)的極限

由[x]≤x

例3：討論極限■（■-[■]）是否存在。

解：當(dāng)x>1時(shí)，有0

四、求當(dāng)x趨向無窮時(shí)含ax（a>0且a≠1）的函數(shù)極限，或求當(dāng)x趨于零時(shí)含a■的函數(shù)的極限

因?yàn)楫?dāng)a>1時(shí)，■ax=0或■a■=0，■ax=+∞或■a■=+∞，當(dāng)0

■ax=+∞或■a■=+∞，

所以■ax或■a■不存在。故需要討論左右極限。

例4：討論f（x）=■）在x=0處的極限是否存在。

解：當(dāng)x0-時(shí)■2■=■2u=0，當(dāng)x0+時(shí)■2■=■2u=+∞，所以■f（x）=■■=■=-1，■f（x）=■■=■=1，

因此該函數(shù)在x=0處的極限不存在。

五、求含arctanx（arccotx）的函數(shù)x趨向無窮的極限，或含arctan■（arccot■）的函數(shù)x趨于零的極限

這是因?yàn)楫?dāng)■arctanx=π/2，當(dāng)■arctanx=-π/2，故■arctanx不存在。同樣■arccotx=π，■arccotx=0，故■arccotx不存在。

同理當(dāng)x0+和x0-時(shí)arctan■（arccot■）的極限值不相等，故需討論左、右極限。

例5：求極限■■的值。

解：因?yàn)椤觥?■=0，■■=■=0，該函數(shù)的左右極限存在且相等，故所求極限存在且■■=0。

六、求含偶次方根的函數(shù)的極限

由于開偶次方根的結(jié)果為非負(fù)數(shù)，求xx0或x∞時(shí)的極限，應(yīng)分xx0+或x∞和xx0-或x-∞兩種情況討論。

例6：求■x（■-x）

解：因?yàn)椤鰔（■-x）=■■

=■■=■，■x（■-x）

=■■=■■=∞，故所求極限不存在。

左、右極限的概念和計(jì)算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，這部分內(nèi)容概念抽象，題型靈活多樣，需要及時(shí)總結(jié)歸納。只有深刻理解基本概念，掌握好各種題型的解題技巧，才能找到解決問題的切入點(diǎn)和突破口。

參考文獻(xiàn)：

篇8

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué) 樣例教學(xué) 選取原則

一、引言

中國(guó)文藝有樣板戲，例如《紅燈記》、《沙家浜》、《智取威虎山》，等等。這些作品運(yùn)用中國(guó)傳統(tǒng)和外國(guó)藝術(shù)形式來表現(xiàn)戲劇的主題，這些樣板戲經(jīng)電影、電視、廣播反復(fù)播放，在這樣一種文藝熏陶下，“窮人的孩子早當(dāng)家”、“渾身是膽雄赳赳、打不盡豺狼決不下戰(zhàn)場(chǎng)”、“智斗、定能戰(zhàn)勝頑敵渡難關(guān)”、“娘子軍連連歌、軍民團(tuán)結(jié)一家親”這樣一些場(chǎng)景和表達(dá)出的思想為當(dāng)時(shí)的人們所熟知，連不熟悉戲曲的男女老少都能哼唱幾句。撇開樣板戲，作為重要基礎(chǔ)課程的高等數(shù)學(xué)，它所引入的許多概念、方法如果能通過選取的樣板例題來傳遞，讓學(xué)生通過反復(fù)學(xué)習(xí)和研摩樣板例，來體會(huì)數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念和方法，那么樣板例題選取的研究工作就是有意義的。

二、選取準(zhǔn)則

從心理學(xué)角度來說，教師提供給學(xué)生的新材料知識(shí)如果缺乏潛在的意義，即新知識(shí)與學(xué)生認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)無法建立空質(zhì)的聯(lián)系，原有知識(shí)不能同化新知識(shí)，而獲得明確而穩(wěn)定的意義，而只是靠死記硬背獲得知識(shí)；或者學(xué)習(xí)者缺乏積極主動(dòng)學(xué)習(xí)心向，而處在被動(dòng)狀態(tài)；那么所學(xué)材料與學(xué)習(xí)者認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中原有的觀念的適當(dāng)部分只是建立起了暫時(shí)的、生硬的、表面的聯(lián)系，所學(xué)習(xí)的知識(shí)很快就會(huì)被學(xué)習(xí)者遺忘。另外，在教學(xué)內(nèi)容的選擇上，如果教師提供給學(xué)生的新材料知識(shí)缺乏潛在的意義和遷移的生成能力，那么學(xué)生往往就不能有效地加以消化和理解，以達(dá)到融會(huì)貫通。綜合上面的考慮，本文就高等數(shù)學(xué)樣例教學(xué)上提出來如下的選取準(zhǔn)則并給出相應(yīng)的樣例加以說明。

1.能將所學(xué)許多概念和方法“串”起來的樣例。

人們的思維活動(dòng)是從問題開始的，如果教師能通過樣例引入問題，分析問題，并在這個(gè)過程中引入或復(fù)習(xí)已學(xué)過的概念、方法，以最終解決問題，那么學(xué)生在圍繞解決問題的過程來學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)概念和方法，就會(huì)學(xué)得自然、牢靠。

例如，物理上光的折射定律表述如下［1］：一束光從點(diǎn)A（0，y），y＞0出發(fā)經(jīng)過界面y=0到達(dá)B（x，y），x＞0，y＜0。設(shè)光在介質(zhì)1（y＞0）和介質(zhì)2（y＜0）中速度分別為v，v。

證明：折射定律=等價(jià)于光以最短的時(shí)間從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B，其中α，β分別是入射角和折射角，進(jìn)而從數(shù)學(xué)角度上說明光傳波的特性：按用時(shí)最短的路徑傳波。

分析與解答：設(shè)光線與界面＄y=0＄的交點(diǎn)為變量x，則從A到B需要的時(shí)間為

t（x）=+，x∈（-∞，+∞）。

該例給出如何建立函數(shù)模型，將所研究的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題一個(gè)范例。運(yùn)用連續(xù)函數(shù)介值性定理和函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性證明了極值點(diǎn)存在和唯一性。該例研究函數(shù)的最小值是一個(gè)全局問題，將其歸結(jié)為±∞的局部性質(zhì)（極限）、極值點(diǎn)候選點(diǎn)存在性、極值點(diǎn)判定等研究，這是一個(gè)將全局問題轉(zhuǎn)化為局部問題研究的范例。該例題中學(xué)生可以體會(huì)到極限的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性上應(yīng)用，可導(dǎo)極值點(diǎn)的必要條件，函數(shù)連續(xù)性在零點(diǎn)存在性問題上應(yīng)用。

學(xué)生熟練掌握該例就能對(duì)極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、最值問題求解步驟有個(gè)感性的認(rèn)識(shí)。

類似地，從物理、化學(xué)、生物或其他工程技術(shù)鄰域提出典型樣例幫助理解和掌握高等數(shù)學(xué)中概念和方法的做法，以及從數(shù)學(xué)角度來理解一些大自然最優(yōu)規(guī)律很有意義。

2.能幫助理解和記憶抽象概念、性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的過渡的樣例。

高等數(shù)學(xué)中定積分及其性質(zhì)比較抽象，學(xué)生掌握起來較難，這時(shí)可以選取一個(gè)具體的例子加以講解，來幫助學(xué)生來理解和掌握這些性質(zhì)。高等數(shù)學(xué)中定積分就是一維長(zhǎng)度向平面區(qū)域面積的推廣，定積分存在與否實(shí)際是與平面區(qū)域面積是否有定義密切相關(guān)的。那么定積分存在被積函數(shù)具有什么特征呢？

例如Rimanne函數(shù)R（x）=1/q，x=p/q∈（0，1），p，q互質(zhì)0，x=0，1，或?yàn)椋?，1］中無理數(shù)。通過Riemanne函數(shù)，學(xué)生可以更好認(rèn)識(shí)可積函數(shù)的性質(zhì)：了解一個(gè)可積函數(shù)可以有很多（可數(shù)個(gè)）不連續(xù)點(diǎn)，但是它仍可以在［0，1］上可積。除此之外，通過Riemanne函數(shù)還可以了解如下的可積函數(shù)性質(zhì)。

（1）函數(shù)的可積性是一個(gè)整體性質(zhì)：f（x）在區(qū)間［0，1］上可積，這時(shí)可以改變可數(shù)個(gè)點(diǎn)處f（x）函數(shù)值的定義，則所得新函數(shù)仍是可積的且函數(shù)的積分值不變。設(shè)f（x）≥0，x∈［a，b］且在［a，b］上可積，則?蘩f（x）dx≥0。現(xiàn)在問題是進(jìn)一步如果存在點(diǎn)x∈［a，b］有f（x）＞0，問是否一定有?蘩f（x）dx＞0？考察黎曼函數(shù)R（x），容易知道R（x）在［0，1］上非負(fù)且在（0，1）上有理點(diǎn)取正值，盡管取R（x）＞0的點(diǎn)有可數(shù)多個(gè)，但是仍有?蘩R（x）dx=0。對(duì)R（x）＞0的點(diǎn)進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，這些點(diǎn)一個(gè)共同點(diǎn)都是R（x）的不連續(xù)點(diǎn)。于是，一個(gè)自然問題就是：設(shè)f（x）在［a，b］上非負(fù)且可積，如果在x∈［a，b］處連續(xù)且f（x）＞0，則是否一定有?蘩f（x）dx＞0？回答是肯定的。該例可以引導(dǎo)學(xué)生思考對(duì)積分值做出影響的是函數(shù)定義域中的哪些點(diǎn)或哪些子集。

（2）變限積分函數(shù)的可導(dǎo)性：由［1，2］知道如下結(jié)論：f（x）在［a，b］上可積，則F（x）=ff（t）dt，x∈［a，b］是連續(xù)函數(shù)；進(jìn)一步，若f（x）在x∈［a，b］處連續(xù)，則變限積分函數(shù)F（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且F′（x）=f（x）。一個(gè)自然問題出來了，若f（x）在［a，b］上可積，且在x∈［a，b］處不連續(xù)，則F（x）是否一定不可導(dǎo)呢？回答是否定的。考慮Riemanne函數(shù)，則由積分單調(diào)性知0≤G（x）=?蘩R（t）dt≤?蘩R（t）dt=0，于是G（x）當(dāng)然在［0，1］處處可導(dǎo)。高等數(shù)學(xué)中一些重要的函數(shù)形式就是由變限積分定義的函數(shù)，例如lnx=?蘩dt，arcsinx=?蘩dt，除此之外，還有單擺運(yùn)行周期的函數(shù)就是一個(gè)由變限積分函數(shù)t=?蘩dθ就是一個(gè)由變限積分函數(shù)。因此借助于黎曼函數(shù)來理解對(duì)這類函數(shù)連續(xù)性、單調(diào)性、可導(dǎo)性等性質(zhì)當(dāng)然是很有意義的。

3.了解問題的來龍去脈并為新課程開啟大門的樣例。

現(xiàn)在使用的教材中大部分對(duì)冪級(jí)數(shù)和微分方程的關(guān)系都放在習(xí)題之中，通常是讓學(xué)生驗(yàn)證某一冪級(jí)數(shù)是方程的解。如果教師能先通過一個(gè)簡(jiǎn)單微分方程的冪級(jí)數(shù)解的求解過程，導(dǎo)出冪級(jí)數(shù)，再來研究?jī)缂?jí)數(shù)的性質(zhì)，那么這個(gè)過程會(huì)使得學(xué)生感覺冪級(jí)數(shù)性質(zhì)研究是有迫切需要的，也是有意思的。

考察Airy方程［3］y″=xy，x、y∈R的解，其中y″=。

分析與解答：可設(shè)方程有冪級(jí)數(shù)解y=ax。對(duì)y進(jìn)行逐項(xiàng)微分，并調(diào)整求和指標(biāo)，再由冪級(jí)數(shù)的唯一性，就得到下面的遞推公式（n+2）（n+1）a=a，n=0，1，2，…。

故得到原方程的冪級(jí)數(shù)解為

y=a［1+］+a［x+］，其中a，a為任意常數(shù)。

由［2］知，若a≥0且a=0，則=0。易驗(yàn)證上述冪級(jí)數(shù)解中=0，=0，=0，再由數(shù)列極限與子列極限關(guān)系知，=0。因此，由冪級(jí)數(shù)收斂半徑的根式判別法知，方程解的定義域?yàn)椋?∞，+∞）。

該例可以使得學(xué)生對(duì)冪級(jí)數(shù)收斂半徑及其性質(zhì)研究意義有了切實(shí)體會(huì)，并對(duì)數(shù)學(xué)分析中函數(shù)的來源有了了解，并提高學(xué)生對(duì)后繼微分方程課程的學(xué)習(xí)興趣，以及對(duì)以后碰到特殊函數(shù)有了感性認(rèn)識(shí)。

三、結(jié)語

通過教學(xué)實(shí)踐和與學(xué)生的交流，我體會(huì)到一個(gè)好的教學(xué)樣例可以更好地幫助學(xué)生了解和掌握高等數(shù)學(xué)中的基本概念、工具，使之學(xué)得扎實(shí)牢靠。本文給出的幾個(gè)樣例的選取原則意在拋磚引玉，不斷思考如何用適當(dāng)選取的樣例來將所教學(xué)的知識(shí)串起來，讓學(xué)生好學(xué)、好記、好用，提高他們的學(xué)習(xí)興趣，并拓寬他們的眼界和思路。

參考文獻(xiàn)：

［1］歐陽光中，姚允龍.數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)）.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1993.

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.北京：高等教育出版社，2001.

篇9

關(guān)鍵詞：Origin；高等數(shù)學(xué)；幾何圖形

中圖分類號(hào)：TP391.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9599 (2011) 18-0000-02

Application of Origin in the Teaching of Advanced Mathematical

Jiao Zhilian

(Taiyuan Normal University,Taiyuan 030031,China)

Abstract:The paper introduced the unique advantages of Origin in the drawing technique by solving practical problems of advanced mathematical.The powerful drawing technique of Origin can be convenient to draw geometry,it makes the problems of space analytic geometry and mathematical analysis has become visualized and vivid,and helps students from the perceptual to understand the teaching content.

Keywords:Origin;Advanced Mathematical;Geometric Figure

OriginLab公司研發(fā)的專業(yè)制圖和數(shù)據(jù)分析軟件Origin，是公認(rèn)的簡(jiǎn)單易學(xué)、操作靈活、功能強(qiáng)大的科學(xué)繪圖與數(shù)據(jù)分析軟件。它是從事科學(xué)研究和工程師設(shè)計(jì)必備的工具，在科技領(lǐng)域享有很高的聲譽(yù)[1]，隨著Origin版本的不斷更新和完善，近幾年來關(guān)于Origin在科技、教學(xué)、實(shí)驗(yàn)等方面的論文非常層出不窮[3-5]。

而高等數(shù)學(xué)是一門十分抽象的學(xué)科，傳統(tǒng)的方法是教師對(duì)定義、定理、推論等在黑板上進(jìn)行推導(dǎo)，學(xué)生要跟上教師的邏輯推理過程，才能理解掌握。如果沒有與教學(xué)過程相配合的各種圖形，學(xué)生難以進(jìn)行感性思維。在學(xué)習(xí)中若能借助幾何圖形，就可以從直觀上理解數(shù)學(xué)中抽象的概念、無法觀察的現(xiàn)象以及多維空間中的函數(shù)，則可以收到事半功倍的效果。Origin強(qiáng)大的圖形輸出功能使我們能較容易地解決上述問題，方便、快速地繪出各種圖形。本文通過幾個(gè)實(shí)例討論了幾何圖形在高等數(shù)學(xué)中的作用，及在Origin下實(shí)現(xiàn)圖形可視化的方法。

一、實(shí)例及分析

（一）利用幾何圖形理解抽象概念

高等數(shù)學(xué)中有許多概念都很抽象，往往又非常重要，例如極限和導(dǎo)數(shù)，通過幾何圖形能夠很好的體現(xiàn)這些概念內(nèi)涵。

例1：在 上作 的圖形，觀察 的極限和 時(shí)的極限。

用Origin作出函數(shù) 的圖形[2]（如圖1所示），根據(jù)圖1可以非常直觀地觀察到： 和 。在計(jì)算復(fù)雜函數(shù)極限時(shí)，往往要使用這兩個(gè)已知極限，通過以上繪圖可以加深學(xué)生對(duì)它們的記憶。

（二）利用圖形理解可以將函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)的形式

為了便于研究一些復(fù)雜函數(shù)，我們往往希望用一些簡(jiǎn)單函數(shù)來近似表示，而冪級(jí)數(shù)是各類函數(shù)中最簡(jiǎn)單的一種。因此用冪級(jí)數(shù)近似表達(dá)函數(shù)是近似計(jì)算和理論分析中的一個(gè)重要內(nèi)容。但是，即使在教學(xué)中通過嚴(yán)格的證明得到泰勒公式和麥克勞林公式，學(xué)生還是很難理解，一個(gè)復(fù)雜函數(shù)怎么就能用冪級(jí)數(shù)來表示，這時(shí)可以借助于幾何圖形來讓學(xué)生理解。

例2：將函數(shù) 展成麥克勞林級(jí)數(shù)。

利用麥克勞林公式可得： 。

可以用Origin作出 階冪級(jí)數(shù) 的圖形（如圖2-1～2-6），由圖2可知，當(dāng) 不斷增大，增大到 時(shí)，在區(qū)間 范圍內(nèi) 階冪級(jí)數(shù)就可以代替函數(shù) ?？梢韵胂螽?dāng) 一直不斷增大，即 時(shí)，無窮冪級(jí)數(shù)就可以代替函數(shù) 。

（三）利用幾何圖形建立空間思維形象

在空間解析幾何和多元函數(shù)微積分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中經(jīng)常需要借助多元函數(shù)的圖形來理解。但是在許多教材中給出的三元函數(shù)的圖形，往往是用word軟件或其他幾何畫板軟件畫出來的，所顯示的立體感不強(qiáng)。如果建立不起空間圖形的概念，在學(xué)習(xí)多元函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)、積分內(nèi)容時(shí)常會(huì)感到困惑。利用Origin可以方便的建立三維空間的函數(shù)圖形[1]，使我們搭建起空間思維的模型，從而找到解決問題的途徑。

例3：給出正圓錐面和雙曲拋物面（馬鞍面）的圖像。

通過圖3-1和3-2可以使學(xué)生直觀了解正圓錐面和雙曲拋物面在三維立體空間的分布情況。從圖3也可以使學(xué)生理解，為什么雙曲拋物面也被稱作馬鞍面。同時(shí)，Origin還可以使我們從不同角度觀察圖形的分布情況，如圖4-1和4-2所示。

二、結(jié)束語

從本文的例子可以看出，利用Origin可以繪制數(shù)學(xué)中幾乎所有的圖形，并可以從不同的視角觀察圖形的變化。在數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中充分應(yīng)用Origin軟件的可視化功能，借助幾何圖形可以直觀、充分地理解數(shù)學(xué)中的概念和定理的內(nèi)涵。因此，當(dāng)圖形問題用其它數(shù)學(xué)軟件難以解決時(shí)，Origin將是解決問題的一個(gè)得力的工具。

參考文獻(xiàn)：

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篇10

【關(guān)鍵詞】 函數(shù)連續(xù) 函數(shù)改變量 高等數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】 G424 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1006-5962（2012）11（b）-0117-02

《高等數(shù)學(xué)》是我們學(xué)校計(jì)算機(jī)專業(yè)的一門重要課程，這也是專轉(zhuǎn)本學(xué)生必學(xué)必考的一門課程。據(jù)多數(shù)學(xué)生反映及本人教學(xué)發(fā)現(xiàn)，高等數(shù)學(xué)確實(shí)是一門比較難的課程，對(duì)于我們學(xué)校的學(xué)生而言學(xué)習(xí)更為困難。之所以更難，有兩個(gè)主要原因。其一，高等數(shù)學(xué)這門課程難，它是初等數(shù)學(xué)以外的一門數(shù)學(xué)，它有其固有的特點(diǎn)，這就是高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性。其二，計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生自身特點(diǎn).在經(jīng)過一學(xué)年的《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)這門課程表現(xiàn)出不知所措，無奈，無所謂的態(tài)度，這是一種令人擔(dān)憂的現(xiàn)象，尤其是在講函數(shù)的連續(xù)性這里，問題更是很多，為了能改變課堂教學(xué)中學(xué)生突然沒反應(yīng)這一令教師尷尬的場(chǎng)面，我進(jìn)行了不斷嘗試，認(rèn)真鉆研教材，結(jié)合學(xué)生的特點(diǎn)，努力尋找一種他們易懂易學(xué)的方法，引起他們學(xué)習(xí)的興趣，幫助他們找回學(xué)習(xí)的信心。筆者打算就函數(shù)的連續(xù)性第一課時(shí)談?wù)勛约旱慕虒W(xué)設(shè)計(jì)，并針對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行教學(xué)反思與評(píng)價(jià)。

1 函數(shù)的連續(xù)性第一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

《函數(shù)的連續(xù)性》是南京大學(xué)出版社周明儒編著的《高等數(shù)學(xué)》（文科類）第一章《極限與連續(xù)》中第5小節(jié)的內(nèi)容，函數(shù)連續(xù)的概念、證明函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)以及判斷分段函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).函數(shù)的連續(xù)性第一課時(shí)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)概念、函數(shù)極限的概念、性質(zhì)以及計(jì)算的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)一步進(jìn)行的討論。高等數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象是初等函數(shù)，而連續(xù)性是初等函數(shù)的重要性質(zhì)。因此，這一節(jié)內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)性知識(shí)，十分重要，而函數(shù)的連續(xù)性第一課時(shí)的學(xué)習(xí)又是下面學(xué)習(xí)間斷點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)，因此學(xué)好第一課時(shí)是學(xué)習(xí)其他知識(shí)的前提。

1.1 看一看，直觀感知函數(shù)的連續(xù)性

現(xiàn)實(shí)世界的許多現(xiàn)象和實(shí)物不僅是運(yùn)動(dòng)變化的，而且其運(yùn)動(dòng)過程是連續(xù)不斷的，如每日氣溫的變化、物體運(yùn)動(dòng)路程的變化、金屬絲加熱或冷卻時(shí)長(zhǎng)度的變化等，這種連續(xù)不斷變化的現(xiàn)象和事物在數(shù)量上的描述就是函數(shù)的連續(xù)性。通過生活中事物的現(xiàn)象讓學(xué)生直觀感知連續(xù)的概念，讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)的連續(xù)性是微積分學(xué)習(xí)的一重要概念，它也是下面學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的前提。

1.2 講一講，為函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)定義的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)

改變量也成為增量，它包括自變量改變量和函數(shù)改變量。

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有定義，是I內(nèi)的一點(diǎn)，再取一點(diǎn)（），用記號(hào)表示從到時(shí)的改變量，則有，亦即。

此時(shí)，當(dāng)自變量從到時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的改變量是。如果用表示函數(shù)改變量。

則=。

講到這時(shí)，很多學(xué)生在函數(shù)的改變量的表示

不懂，一臉茫然。發(fā)現(xiàn)他們對(duì)于函數(shù)值是什么？

如何求已經(jīng)沒概念了，所以此時(shí)我的設(shè)計(jì)是畫圖，幫助他們直觀理解函數(shù)改變量的表達(dá)式。如圖1：

1.3 求一求，強(qiáng)化對(duì)函數(shù)增量公式的記憶和理解

例1 設(shè)，=1，求當(dāng)，，時(shí)相應(yīng)的的值。

解===1.

若，則，故

若，則，故

若，則，故

顯然，通過上例具體的值可以感知到，函數(shù)改變量（亦稱增量）可以是正數(shù)，也可是是零或是負(fù)數(shù)。此時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生思考何時(shí)為正何時(shí)為負(fù)？為什么？

教師此時(shí)可以通過上圖1幫助他們發(fā)現(xiàn)結(jié)論。

1.4 議一議，引出函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念

在學(xué)習(xí)了改變量的基礎(chǔ)上再來學(xué)習(xí)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念就顯得不那么難了。函數(shù)連續(xù)的特征是自變量變化很小時(shí)，函數(shù)值的變化也很小。用改變量的符號(hào)，給出函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)的定義。

定義1 若， （1）

則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。

下面引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)另一個(gè)式子：

若取，則。

當(dāng)時(shí)，有，即。從而（1）式可以變?yōu)?，由函?shù)極限的四則運(yùn)算得，

又因?yàn)椋?/p>

從而有（2）

對(duì)于（2）式其實(shí)是不難推出的。但是對(duì)于這些計(jì)算機(jī)班學(xué)生，他們進(jìn)校時(shí)基礎(chǔ)相當(dāng)薄弱，前三年基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)的也不好，所以導(dǎo)致這兒（2）式的推導(dǎo)上存在很多困難，因此教師需要耐心引導(dǎo)，和他們一起在相互交流探討中體驗(yàn)學(xué)習(xí)的快樂，從而得出式子（2），這個(gè)式子是很重要的，尤其在對(duì)判斷分段函數(shù)在一點(diǎn)是否連續(xù)上起著方法上的指導(dǎo)作用。那么對(duì)于證明函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)可以有兩種方法，分別用（1）式和（2）式證明。判斷函數(shù)在某一點(diǎn)是否連續(xù)也可以從兩方面入手。

下面就通過例題來感受一下。

1.5 證一證，加深函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)定義的理解和應(yīng)用

例2 證明函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。

證 （方法一）對(duì)于任意，有

則

依定義（1）式知點(diǎn)連續(xù)。

（方法二）由于，且，

所以

依定義（2）式知點(diǎn)連續(xù)。

通過證明函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)連續(xù)的例題幫助學(xué)生理解定義，并通過兩種方法講解引導(dǎo)學(xué)生通過比較加強(qiáng)對(duì)式子的記憶。在應(yīng)用式子（1）時(shí)關(guān)鍵是求對(duì)，很多學(xué)生忘記如何求，這是函數(shù)中最基本的求函數(shù)值問題。所以在這兒教學(xué)中會(huì)再舉一些函數(shù)求值問題，幫助學(xué)生拉開記憶大門，保證都會(huì)求函數(shù)值，進(jìn)而會(huì)求函數(shù)改變量。應(yīng)用式子（2）關(guān)鍵是會(huì)求，對(duì)前面求函數(shù)極限要求較高。

1.6 練一練，及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)

①證明函數(shù)在處連續(xù)。

分別讓兩位學(xué)生到黑板上板演，對(duì)書寫格式及內(nèi)容進(jìn)行評(píng)價(jià)分析.

②討論函數(shù)在處的連續(xù)性。

分析 由于這個(gè)是分段函數(shù)，0是分界點(diǎn)，因此用定義（2）式來判斷簡(jiǎn)單易行。

解 由于，且

所以

故依定義（2）式知在點(diǎn)處連續(xù).

2 教學(xué)反思，提高教學(xué)

新課程標(biāo)準(zhǔn)中非常強(qiáng)調(diào)教師的教學(xué)反思。思之則活，思活則深，思深則透，思透則新，思新則進(jìn)。所以我打算從以下三個(gè)方面進(jìn)行反思：

（1）教學(xué)態(tài)度，在教學(xué)中，教師的態(tài)度對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活有一定的影響，對(duì)于大部分不想學(xué)習(xí)的孩子來說，應(yīng)該多些耐心，多些愛心，多些激勵(lì)，多些贊揚(yáng)。對(duì)于剛講過的學(xué)生又忘記了，此時(shí)生氣只能讓氣氛更加糟糕，只能換種心態(tài)看待，不妨開個(gè)小玩笑，調(diào)節(jié)一下氛圍，繼續(xù)再來耐心講一遍，此時(shí)學(xué)生會(huì)受到感染，坐直身體，豎起耳朵，認(rèn)真聽講，教師對(duì)學(xué)生不能放棄。

（2）教學(xué)設(shè)計(jì)，通過這節(jié)課的設(shè)計(jì)，與預(yù)想的差不多，學(xué)生對(duì)于定義（2）式的推導(dǎo)有著一定的困難，加上他們對(duì)于所學(xué)過的知識(shí)點(diǎn)不能融會(huì)貫通，所以單純的理論學(xué)習(xí)顯得枯燥無味。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。所以在設(shè)計(jì)本節(jié)課1.2內(nèi)容時(shí)充分利用了“數(shù)形結(jié)合”的思想，將抽象的知識(shí)直觀化，提高學(xué)生的興趣和信心。其次本節(jié)課用了類比分析的方法，培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的基本運(yùn)算能力，通過練一練的分析求解，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。

（3）教學(xué)效果，新的課堂教學(xué)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)首先關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)新課程的核心理念――為了每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展；強(qiáng)調(diào)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生生活以及現(xiàn)代社會(huì)和科技發(fā)展建立聯(lián)系；倡導(dǎo)主動(dòng)、合作、探究的學(xué)習(xí)方式；使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，形成正確的價(jià)值觀；培養(yǎng)創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力。本節(jié)課中，教師引導(dǎo)學(xué)生積極參與，注重評(píng)價(jià)多元化和科學(xué)化，尊重他們自尊心，給他們樹立信心。大部分學(xué)生積極主動(dòng)參與，整節(jié)課大部分學(xué)生伴有喜悅，滿足、成功等體驗(yàn)，從教材的學(xué)習(xí)中得到了生活、情感等方面的感悟，培養(yǎng)了他們?nèi)姘l(fā)展的能力。