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內容摘要：本文通過對我國和美國股票的收益率序列進行多重分形分析，得出結論：兩國股票市場均具有多重分形性，我國股票市場的多重分形特征更明顯。實證研究又發(fā)現股票市場收益率不遵循隨機游動，標準差作為風險的度量不完全合適。結合兩國股票市場實際風險的情況，得到風險與多重分形之間的對應關系。

關鍵詞：收益率風險多重分形

資本市場理論認為收益率遵循隨機游動，其分布近似于正態(tài)或對數正態(tài)。實證研究發(fā)現證券收益率不服從正態(tài)分布，標準差作為風險的度量不再合適。隨著對資本市場混沌特性的研究，人們開始用分形來研究風險問題?，F階段隨著對金融市場分形性質研究的進一步加深，又產生多重分形問題，多重分形分析向人們展現了各個股市的混沌現象，使人們感覺到風險的存在。

本文研究的問題是：不同股票市場的風險不一樣，它們的多重分形特征也不同，那么風險與多重分形間有什么關系呢？利用MF-DFA方法對中、美兩國股票市場的多重分形特性進行研究與比較，結合二者的實際風險情況，得到多重分形與風險的關系。

證券市場風險的分形分析

當今資本市場理論是以理性投資者、有效市場和隨機游動三個關鍵概念為基礎，由于投資者的理性和市場的有效，收益率遵循隨機游動。因此，收益率的概率分布近似于正態(tài)或對數正態(tài)，風險用收益率的標準差度量。但是，在對股票市場收益率分布進行正態(tài)性檢驗時，發(fā)現其明顯地不擬合于正態(tài)分布的。只有在其背后的系統(tǒng)是隨機的時候，標準差作為風險的度量才有意義。股票市場收益率的分布不呈現正態(tài)，所以我們關于風險的統(tǒng)計測度——標準差——亟需修正。

英國水文學家赫斯特在20世紀40年代研究了有偏隨機游走，提出一種新的統(tǒng)計量即Hurst指數(H)。赫斯特指數有三個不同的類型：(1)H=0.5；(2)0≤H<0.5；(3)0.5Mandelbrot在20世紀60年代再次對非隨機時間序列作了全面研究，指出證券市場收益率服從一族分形分布。分形維(D)描述一個時間序列如何填充其空間的，是所有對于生成這一時間序列的系統(tǒng)發(fā)生影響的因素的產物。分形維是由時間序列如何填充其空間決定的。Hurst指數與時間序列分形維的關系：D=2-H。一條線分形維為1，隨機時間序列的分形維為1.5。宋學鋒提出用“混沌度”度量系統(tǒng)的復雜性，其中分形維就是“混沌度”的組成部分。劉衛(wèi)東等人也提出用分形維度量證券投資風險。

證券市場的多重分形分析

隨著對金融市場分形性質研究的進一步加深，又產生了下述問題：一個分形維數能否很好地描述市場的分形結構，價格增量的不同部分的相關性及其在時間軸上的分布是否一致。要回答這些問題必須對分形局部結構進行更細致的研究。如果分形的局部結構是均勻一致的，那么一個整體分形維數就能很好地描述它；如果分形結構是非均勻的，僅用一個分形維數只能描述收益率波動的宏觀面貌，無法對其局部進行細致的刻畫，必須用多重分形來對局部結構進行更細致的分析。K.MATIA,Y.ASHKENAZY等人對股票和商品的價格波動的多重分形特性進行了研究。胡雪明、宋學鋒等曾對我國股票市場進行了多重分形分析。

所謂多重分形，是定義在分形結構上的由多個標度指數的分形測度組成的無限集合。它刻畫了分布在子集上的具有不同標度和標度指數的分形子集的局部標度性。從幾何的觀點看，組成分形集的若干個子集的標度、分形維數都不同。多重分形理論間接刻畫價格波動。

下面，我們利用多重分形理論對股票市場價格波動進行分析。

多重分形消除趨勢波動分析（MultifractalDetrendedFluctuationAnalysis，記MF-DFA）方法是驗證一個非平穩(wěn)時間序列是否具有多重分形性的有效方法。對于給定長度為N的序列{xi}，i=1，2，……，N，MF-DFA方法一般可分為如下五個步聚：

1.計算序列對于均值的累積離差{Yi}：

其中為均值。

2.分割序列{Yi}成等長小段。把序列{Yi}分成長為s的NS≡int(N/s)個互不重疊小段。

3.通過最小二乘法擬合每一小段上的局部趨勢函數Pv(i)，這里Pv(i)是第v小段上的擬合多項式函數，可以是線性的、二次或更高階多項式（分別記為MF-DFA1，MF-DFA2,……）。消除每一小段的趨勢，得殘差平方和：

4.計算序列的q階波動函數Fq(s)=

其中，q為不等于0的實數。很顯然，Fq(s)與s、q有關。對于給定的q，Fq(s)隨s增加而增加。因此，對不同的s，重復步聚2、3、4，就可得到對應Fq(s)。一個分形時間序列，對于大量的s，有如下關系：Fq(s)~sh(q)。

5．給定階數q，通過雙對數圖，分析波動函數Fq(s)與時間標度s的關系。

一般地，標度指數h(q)與q有關。當h(q)與q無關時，稱時間序列是單分形的。當h(q)與q有關時，稱時間序列是多重分形的。對于平穩(wěn)時間序列，h(2)就是Hurst指數H，因此，我們稱h(q)為廣義Hurst指數。

考慮到數據的代表性和可比性，本文選取1990年12月19日至2004年6月30日相同時間跨度的上證綜合指數和道瓊斯工業(yè)指數的日收盤指數為研究對象。這里上證綜指和道瓊斯指數的數據長度N分別為3132和3413。

首先把指數序列轉化為收益率序列{rt}：

rt=lnPt+1-lnPt，t=1，2，……，N-1

其中，Pt是股票市場在第t個交易日的收盤指數，rt為股票市場的日收益率。

考慮到要將股票市場收益率序列與高斯隨機序列作比較，我們用Matlab軟件的randn函數產生兩個高斯隨機序列，長度分別為3132和3413，依據MF-DFA方法分別計算其廣義Hurst指數，將其平均值作為隨機序列的廣義Hurst指數。

當擬合區(qū)間s取10~500天時，下面給出MF-DFA1的結果。

從表1可以看出，當q從負10變到正10，上證的h(q)從0.7946遞減為0.2633，而道瓊斯的h(q)從0.6248遞減為0.3015,隨機序列的h(q)則在0.4791~0.5067之間變動。

對上證、道瓊斯及隨機序列的h(q)與q的關系分別作線性回歸分析，結果如表2。

根據表2的P-value值，不難得出結論：隨機序列的h(q)與q無顯著關系,而上證和道瓊斯的h(q)與q有顯著關系。

h(q)和q無關等價于Fq(S)和q無關，即一個時間序列的每一小段消除趨勢后的q階波動相同，說明時間序列的局部結構是均勻一致的，這樣的分形時間序列當然是單分形的。h(q)僅給出這一相同的標度行為。理論上，隨機序列的h(q)應為0.5，由于Matlab產生的隨機數本身就是偽隨機數，所以，q從負10變到正10，隨機序列的h(q)在0.4791~0.5067之間變動是合理的。h(q)與q有關和Fq(S)與q有關是等價的，即消除趨勢后Ns小段的q階波動大小不同，說明時間序列的局部結構是非均勻一致的，這樣的分形時間序列是多重分形的。所以，得出結論：上證綜指和道瓊斯工業(yè)指數收益率均存在較明顯的多重分形特性。但是，從表2的Coefficients值看，上證的h(q)隨q變化趨勢更明顯，所以，我們說上證的多重分形特征比道瓊斯明顯。

對深圳成指與納斯達克綜指進行相同分析，可得出類似的結論，在此不列出詳細結果。

多重分形與風險關系

線性范式基本上是說，投資者以線性方式對信息做出反應。也就是說，他們在接到信息時做出反應；他們不以累計的方式對一個事件列做出反應。線性觀點是內在于理性投資者的概念的，因為過去的信息已經被計算進證券的價格了。因此，線性范式暗示收益率應該有近似正態(tài)的分布，應該是獨立的。但對收益率分布的正態(tài)性進行檢驗時得出結論：股票市場收益率不是正態(tài)分布的。因此，描述收益率的概率的線性范式失靈了。標準差作為風險的度量不再合適。

經濟系統(tǒng)本質上是非線性的，應用非線性理論研究經濟系統(tǒng)，也就是自然的事。非線性范式推廣了投資者的反應以容納對于信息的非線性反應的可能性，并因此而成為當今視點的一個自然延伸。分形理論是非線性科學研究中十分活躍的一個分支，多重分形則是對金融市場分形性質研究的進一步加深，研究多重分形與風險的關系也就很自然。

本文通過同時對上證綜合指數和道瓊斯工業(yè)指數的對數收益率序列進行多重分形消除趨勢波動分析，得出它們均是多重分形的，但上證的多重分形特征更明顯。而我國證券市場與美國證券市場相比，具有運行時間較短，風險較大的特點，這也是顯然的。類似研究得出同樣結論。據此，我們得出風險與多重分形的對應關系：一個股票市場的多重分形特征越明顯，其風險也越大。