導(dǎo)語：統(tǒng)計(jì)力學(xué)時(shí)期數(shù)學(xué)物理學(xué)關(guān)系研究一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要:以玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)力學(xué)理論為主要研究對(duì)象，對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)形成時(shí)期的數(shù)學(xué)物理學(xué)關(guān)系進(jìn)行探討，研究此時(shí)期數(shù)學(xué)物理學(xué)關(guān)系以及其在整個(gè)歷史時(shí)期中所起的重要作用。研究結(jié)果表明，物理學(xué)促進(jìn)了數(shù)學(xué)方程和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的形成，同時(shí)數(shù)學(xué)觀念、方法、原理等的介入促進(jìn)了物理學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)思想的引進(jìn)帶來了統(tǒng)計(jì)世界觀的轉(zhuǎn)變。此時(shí)期的數(shù)學(xué)物理學(xué)關(guān)系在數(shù)學(xué)物理學(xué)關(guān)系由經(jīng)典力學(xué)到量子力學(xué)的轉(zhuǎn)變中起到了承上啟下的作用。

關(guān)鍵詞:統(tǒng)計(jì)力學(xué);數(shù)學(xué);物理學(xué)

數(shù)學(xué)與物理學(xué)的關(guān)系在古希臘時(shí)期就開始被討論，數(shù)學(xué)和物理學(xué)最初的研究對(duì)象都為自然界，二者在某種意義上存在著相互關(guān)聯(lián)。統(tǒng)計(jì)力學(xué)是在經(jīng)典力學(xué)的框架之下，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法和概念，通過研究大量微觀粒子的運(yùn)動(dòng)來描述和解釋宏觀的現(xiàn)象和規(guī)律，物理學(xué)研究開始深入微觀領(lǐng)域。狄拉克認(rèn)為，物理學(xué)家研究自然現(xiàn)象有2種有效方法，一種是實(shí)驗(yàn)和觀察，另一種則是數(shù)學(xué)理性［1］。當(dāng)研究深入微觀領(lǐng)域時(shí)，由于人類應(yīng)用實(shí)驗(yàn)方法的局限性，數(shù)學(xué)開始占據(jù)主導(dǎo)方法的地位。統(tǒng)計(jì)力學(xué)在物理學(xué)上被稱為經(jīng)典力學(xué)到量子力學(xué)的過渡時(shí)期，那么，其在數(shù)學(xué)與物理學(xué)的關(guān)系上是否也成為一個(gè)重要的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在此時(shí)期統(tǒng)計(jì)力學(xué)會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)與物理學(xué)的關(guān)系產(chǎn)生什么樣的認(rèn)識(shí)論和世界觀的轉(zhuǎn)變?本文以玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)力學(xué)為主要理論，對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)形成時(shí)期數(shù)學(xué)與物理的關(guān)系進(jìn)行深入研究，探求二者關(guān)系發(fā)生的變化。

1統(tǒng)計(jì)力學(xué)形成時(shí)期的理論

統(tǒng)計(jì)力學(xué)形成時(shí)期主要是指以克勞修斯在1850年引入統(tǒng)計(jì)平均為起到1877年玻爾茲曼確定了熵與概念的關(guān)系(玻爾茲曼原理)為止。統(tǒng)計(jì)力學(xué)形成初期，克勞修斯定性地說明了氣體運(yùn)動(dòng)論的基本思想，即以氣體中大量分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)為起點(diǎn)，根據(jù)力學(xué)定律來描述微觀分子的運(yùn)動(dòng)與宏觀現(xiàn)象之間的聯(lián)系。他認(rèn)為氣體分子運(yùn)動(dòng)是一個(gè)隨機(jī)的過程，將分子集合速度的數(shù)值看作是平均數(shù)值。同時(shí)，引進(jìn)了平均自由程這個(gè)統(tǒng)計(jì)概念來解決氣體分子理論上的速度與氣體擴(kuò)散速度相差較大這一事實(shí)之間的矛盾。麥克斯韋基于氣體性質(zhì)的考察來彌補(bǔ)克勞修斯理論的缺陷。他用剛球模型來模擬氣體分子，在動(dòng)力學(xué)體系下，對(duì)分子碰撞進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，認(rèn)為分子碰撞時(shí)能量的分配具有規(guī)律性，通過討論分子的速度分布，推導(dǎo)出平衡態(tài)的速度分布函數(shù)?？藙谛匏箖H使用了平均值這個(gè)概念，麥克斯韋使用概率來定義速度分布函數(shù)的概念，描述了微觀粒子的宏觀狀態(tài)，具有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。在克勞修斯和麥克斯韋工作的基礎(chǔ)上，玻爾茲曼在1872年，借助于麥克斯韋的剛球分子模型和統(tǒng)計(jì)分析，通過考慮在均勻空間中無外力作用的情況下，能量為x的分子在6N維相空間中碰撞后在某一位置上某一瞬間數(shù)量的變化，得出有關(guān)概率密度函數(shù)隨時(shí)間的演化方程。然后考慮在外力作用之下的非均勻分布的情況，玻爾茲曼將物質(zhì)的不連續(xù)性應(yīng)用到能量上，推導(dǎo)出關(guān)于位形和速度的分布函數(shù)ft(r，v)隨時(shí)間的演化方程，成為歷史上第一個(gè)關(guān)于概率在時(shí)間上的演化方程［2］，被命名為玻爾茲曼方程［3］:ft+ξfx+ηfy+ζfz+Xfξ+Yfη+Zfζ+∫dξ1dη1dζ1∫bdb∫dψV(ff1－f'f'1)=0(1)玻爾茲曼用此方程推導(dǎo)出單原子分子系統(tǒng)的H定理，dHdt≤0，H定理從微觀角度證明了宏觀現(xiàn)象的時(shí)間不可逆性以及熱平衡狀態(tài)的存在，證明了麥克斯韋分布的唯一性。H定理雖然成功地解釋了大量的物理現(xiàn)象，但同時(shí)也遭到物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家的批評(píng)。1876年，洛喜密脫提出可逆性佯謬，說明在力學(xué)體系下用微觀上的可逆性去解釋宏觀的不可逆性是矛盾的。1877年，玻爾茲曼在解決不可逆佯謬時(shí)開始意識(shí)到了熱力學(xué)第二定律統(tǒng)計(jì)解釋的意義。他考慮裝在完全彈性的容器內(nèi)的封閉氣體，避免分子速度和位置的連續(xù)性，利用完全彈性剛球分子模型，依據(jù)先驗(yàn)的等概率性，同時(shí)對(duì)于分子的速度運(yùn)用離散模型，將能量對(duì)分子進(jìn)行配容，得到下式:m0+m1+m2+……+mp=Nm1+2m2+……+pmp=λ(2)這樣，由置換論點(diǎn)的方法，可得一個(gè)確定狀態(tài)分布的配容數(shù)p，配容數(shù)即為該狀態(tài)的幾率。取極限過渡到連續(xù)能量情形，利用斯特林公式和拉格朗日乘子方法求logP最大值，即可求得最可幾的狀態(tài)分布。接下來，玻爾茲曼將熱力學(xué)第二定律與概率理論聯(lián)系起來，在平衡態(tài)下進(jìn)行考慮，得出熵與幾率的對(duì)數(shù)成正比關(guān)系，后被普朗克以精確的公式表示出來，即S=κlogW(3)式中:S為熵，κ為玻爾茲曼常數(shù);W為配容數(shù)或者狀態(tài)的幾率。以最可幾狀態(tài)來定義熱平衡狀態(tài)以及確定熱力學(xué)第二定律與概率之間的關(guān)系，標(biāo)志著統(tǒng)計(jì)力學(xué)基本形成。

2統(tǒng)計(jì)力學(xué)形成時(shí)期數(shù)學(xué)與物理學(xué)的關(guān)系

2.1物理學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的影響

玻爾茲曼堅(jiān)持原子論，認(rèn)為物質(zhì)是由不連續(xù)的分子組成的，而連續(xù)的事物都是由不連續(xù)的事物極限過渡產(chǎn)生的。玻爾茲曼將物質(zhì)的不連續(xù)性用于能量上，得出的玻爾茲曼方程不僅是玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)力學(xué)理論的核心內(nèi)容，首次給了我們以處理微觀與宏觀現(xiàn)象之間關(guān)系的工具，從而預(yù)測(cè)了宏觀現(xiàn)象的不可逆性，而且已成為數(shù)學(xué)嚴(yán)密理論的研究對(duì)象。1994年，路易斯•萊昂因證明了玻爾茲曼方程的存在性獲得了菲爾茲獎(jiǎng)。玻爾茲曼方程對(duì)物理學(xué)也是一個(gè)有用的工具，尤其是在航空航天上的應(yīng)用。熵與概率的關(guān)系式也是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，維納將此關(guān)系式應(yīng)用到信息傳遞的過程中，從而發(fā)現(xiàn)了信息量其實(shí)就是負(fù)熵，熵增即代表信息損失。物理學(xué)的發(fā)展促進(jìn)了新的數(shù)學(xué)方程和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的形成，同時(shí)因探索描述物理過程而形成的數(shù)學(xué)方程，將物理學(xué)的思想上升到抽象的高度，反過來又促進(jìn)和豐富物理學(xué)的發(fā)展。

2.2數(shù)學(xué)對(duì)物理學(xué)的影響

(1)數(shù)學(xué)中的想法可以發(fā)現(xiàn)新的物理定律。Vafa認(rèn)為數(shù)學(xué)與物理學(xué)家之間存在“鴻溝”主要是基于一個(gè)事實(shí):即使數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)入到物理中，但數(shù)學(xué)思考的模式對(duì)大部分物理學(xué)家仍然是陌生的［4］。這就在一定程度上限制了物理學(xué)的發(fā)展。而玻爾茲曼將數(shù)學(xué)中不連續(xù)的處理方法運(yùn)用到能量中，形成離散能量模型，再通過取極限將其過渡到連續(xù)的情形，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出熵與概率的關(guān)系式，從而發(fā)展了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)。普朗克承認(rèn)玻爾茲曼所使用的離散能量模型導(dǎo)致了他發(fā)現(xiàn)了能量子，而量子的概念則為量子力學(xué)理論的形成奠定了概念前提。數(shù)學(xué)不再單單是工具，數(shù)學(xué)的思維方式介入到物理學(xué)中，促進(jìn)物理學(xué)的發(fā)展。(2)數(shù)學(xué)概念和原理的應(yīng)用形成了新的世界觀。在經(jīng)典力學(xué)框架下，以統(tǒng)計(jì)學(xué)原理和熵概念為基礎(chǔ)形成的統(tǒng)計(jì)力學(xué)改變了人們看待世界的方式，形成了統(tǒng)計(jì)世界觀，即統(tǒng)計(jì)決定論:自然在統(tǒng)計(jì)的意義上具有決定性。我們所能觀測(cè)的量是宏觀可測(cè)量的量，這本身就存在著統(tǒng)計(jì)的性質(zhì)。H定理中借用分子運(yùn)動(dòng)統(tǒng)計(jì)分布律推導(dǎo)出熵必然增加。在可逆性佯謬提出之后，玻爾茲曼將宏觀量熵與概率聯(lián)系起來，將系統(tǒng)的熵解釋為“一種狀態(tài)的概率量度”，對(duì)熵的概念作了統(tǒng)計(jì)解釋，熵趨于最大時(shí)，趨于宏觀平衡態(tài)所對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)要比不趨于統(tǒng)計(jì)平衡態(tài)的微觀態(tài)大得多。熵減少也存在可能性，只是可能性微乎其微。熱力學(xué)平衡態(tài)是動(dòng)態(tài)的，存在漲落，以此說明了熱力學(xué)第二定律的統(tǒng)計(jì)本質(zhì)，指出宏觀世界運(yùn)行方向的不可逆性，而微觀世界分子運(yùn)行的可逆性在宏觀上的表征體現(xiàn)了自然界遵循的是統(tǒng)計(jì)規(guī)律。宏觀現(xiàn)象可逆性是可以實(shí)現(xiàn)的，但由于單位體積內(nèi)分子數(shù)目巨大，發(fā)生的概率極其小且經(jīng)歷的時(shí)間極其長(zhǎng)，可以說自然過程在統(tǒng)計(jì)意義上是具有決定性的。(3)數(shù)學(xué)促進(jìn)了物理學(xué)思想的形成，又反過來影響88了數(shù)學(xué)在物理學(xué)中的作用。在1872年之前，玻爾茲曼的理論都是建立在力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程基礎(chǔ)之上的，采用速度分布律對(duì)熱力學(xué)第二定律作了系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)論證，而所提到的概率代表相對(duì)時(shí)間或者相對(duì)粒子數(shù)，是一種純力學(xué)的解釋，作為一種數(shù)學(xué)方法或者計(jì)算工具存在，所以在此之前形成的理論是一種唯象理論。之后，玻爾茲曼意識(shí)到統(tǒng)計(jì)解釋的重要性，首次使用概率論證，將熵與概率聯(lián)系起來。而概率開始作為一種“非力學(xué)要素”［5］，被定義為相空間中的相對(duì)體積，概率概念的轉(zhuǎn)變標(biāo)志著統(tǒng)計(jì)力學(xué)的誕生。玻爾茲曼以等概率假設(shè)為依據(jù)，對(duì)分子進(jìn)行配容得出式(2)，確定了最可幾分布;利用數(shù)學(xué)推理，得出熵與概率的關(guān)系式(3)，解釋了熱力學(xué)第二定律以及其與概率之間的關(guān)系;通過“自旋回波”效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)以及對(duì)具有大量自由度的系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)字實(shí)驗(yàn)，表明大量粒子的系統(tǒng)具有時(shí)間反演的可能性。由此，統(tǒng)計(jì)力學(xué)理論首先經(jīng)歷了從唯象理論到非唯象理論的轉(zhuǎn)變［6］，即數(shù)學(xué)開始由描述物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)變?yōu)榻忉屛锢憩F(xiàn)象。

3結(jié)論

統(tǒng)計(jì)力學(xué)形成之前，在笛卡爾的機(jī)械自然觀的引導(dǎo)之下，牛頓將力從物體與運(yùn)動(dòng)中獨(dú)立出來，力具有了本體的位置，從而以力為基本概念發(fā)展形成經(jīng)典力學(xué)。在此時(shí)期，數(shù)學(xué)與物理學(xué)相互作用，一方面，數(shù)學(xué)在整體過程中以觀念和工具的方式融合進(jìn)物理，對(duì)物理現(xiàn)象進(jìn)行描述，促進(jìn)了物理本體的形成，進(jìn)而對(duì)自然進(jìn)行解釋和重構(gòu)［7］，同時(shí)也促進(jìn)了物理新思想的形成;另一方面，物理為數(shù)學(xué)提供概念和研究對(duì)象，物理學(xué)的發(fā)展也促進(jìn)了數(shù)學(xué)體系的形成。在統(tǒng)計(jì)力學(xué)形成時(shí)期，數(shù)學(xué)物理關(guān)系延續(xù)了牛頓力學(xué)時(shí)期的發(fā)展，即數(shù)學(xué)作為物理的語言和物理計(jì)量與推理的工具，如理性力學(xué)中微積分的概念代表瞬時(shí)變化率，統(tǒng)計(jì)力學(xué)中用分子速度分布律來表示概率。同時(shí)物理學(xué)的發(fā)展也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的形成，如微積分、概率微積分方程。但隨著數(shù)學(xué)物理學(xué)各自的發(fā)展，數(shù)學(xué)物理關(guān)系也發(fā)生了變化。從19世紀(jì)開始，數(shù)學(xué)的抽象影響了數(shù)學(xué)與物理學(xué)的關(guān)系，數(shù)學(xué)開始越來越獨(dú)立于力學(xué)和物理，雖仍然相互作用，但開始平行發(fā)展，不再相互滲透［8］。在統(tǒng)計(jì)力學(xué)形成時(shí)期，數(shù)學(xué)觀念的改變，數(shù)學(xué)方法和原理的介入都在物理學(xué)中起著重要的作用，甚至對(duì)物理學(xué)未來發(fā)展都有著一定的影響。因統(tǒng)計(jì)力學(xué)仍然是在經(jīng)典力學(xué)的大背景之下形成的，所以數(shù)學(xué)物理學(xué)的關(guān)系沒有發(fā)生根本性的改變，數(shù)學(xué)在物理學(xué)中的作用最根本還是工具性的運(yùn)用。雖然玻爾茲曼在置換論點(diǎn)方法中使用了置換群的概念，但并沒有產(chǎn)生數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思想，以及意識(shí)到數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)在物理學(xué)中的重要作用，使用的僅僅還是描述物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型或方法。但玻爾茲曼作為堅(jiān)定的原子論者，他相信整數(shù)的實(shí)在性，因而認(rèn)為自然界是不連續(xù)的。數(shù)為最簡(jiǎn)單基本的概念，對(duì)數(shù)以及數(shù)學(xué)的運(yùn)用構(gòu)成了自然科學(xué)的基礎(chǔ)概念，進(jìn)而認(rèn)識(shí)空間、力、能量等其他概念。19世紀(jì)末的數(shù)學(xué)開始趨向于統(tǒng)一，數(shù)和形的區(qū)別在于數(shù)是離散的，而形是連續(xù)的。以統(tǒng)一的觀點(diǎn)來看，數(shù)是零維的，而圖形是一維到更高維的［9］。因此，按玻爾茲曼的觀點(diǎn)來講，數(shù)能推導(dǎo)出空間的概念，幾何學(xué)也就可以用數(shù)來研究，體現(xiàn)了畢達(dá)哥拉斯萬物皆數(shù)的思想。所以數(shù)學(xué)與物理學(xué)在一定程度上達(dá)到了統(tǒng)一。19世紀(jì)末，結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)萌芽。根據(jù)對(duì)稱性等原理構(gòu)造數(shù)學(xué)方程以及利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來描述物理學(xué)成為20世紀(jì)物理學(xué)發(fā)展的慣用方式之一，這一時(shí)期數(shù)學(xué)與物理學(xué)的關(guān)系更加密切，數(shù)學(xué)不再僅僅是物理學(xué)的工具，很多人把本體論上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和世界結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)起來，討論由認(rèn)識(shí)論更多地上升到了本體論的層次。我們現(xiàn)在回頭審視統(tǒng)計(jì)力學(xué)發(fā)展的這一段歷史，它在數(shù)學(xué)物理學(xué)發(fā)展中承上啟下的地位得到了充分地展現(xiàn)。

作者:程瑞 許媛 單位:山西大學(xué)科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究中心

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