導(dǎo)語：養(yǎng)老金替代率與養(yǎng)老險(xiǎn)基金缺口預(yù)測(cè)一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的改革在于保障廣大退休人員的晚年基本生活，關(guān)系到社會(huì)穩(wěn)定和老齡化社會(huì)的順利過渡?，F(xiàn)在，我國(guó)的養(yǎng)老保險(xiǎn)改革正處于過渡期，預(yù)測(cè)養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的運(yùn)行情況，對(duì)于完善養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的安排具有重要意義。本文針對(duì)文獻(xiàn)[1]提出的問題，建立一系列的預(yù)測(cè)方法。

1社會(huì)平均工資的預(yù)測(cè)

養(yǎng)老金的發(fā)放與社會(huì)平均工資有著密切的關(guān)系。社會(huì)平均工資是指某地區(qū)（如某?。┌茨杲y(tǒng)計(jì)的職工平均工資。一般來說，社會(huì)平均工資逐年增長(zhǎng)，增長(zhǎng)率并不固定且隨地區(qū)而異，所以預(yù)測(cè)養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的運(yùn)行，首先要預(yù)測(cè)社會(huì)平均工資的變動(dòng)。文獻(xiàn)[1]給出了山東省1978年至2010年的職工平均工資統(tǒng)計(jì)表，要求以此為依據(jù)，預(yù)測(cè)該省從2011年至2035年的年平均工資。

1.1預(yù)測(cè)模型的理論分析

設(shè)y為年工資、t為時(shí)間，為避免計(jì)算數(shù)據(jù)的畸變，用t=1表示1978年，t=33表示2010年。文獻(xiàn)[1]給出了33個(gè)數(shù)據(jù)yt（1≤t≤33），其中y33=32074（單位：元，下同）。經(jīng)濟(jì)性增長(zhǎng)預(yù)測(cè)通?？紤]指數(shù)模型y=aekt或邏輯斯蒂模型[2]y=（a+be-kt）-1，其中a、b、k為待定參數(shù)。前者可化為線性回歸，但預(yù)測(cè)值會(huì)無限增長(zhǎng)，且增速越來越大，不符合實(shí)際情況；后者不能線性化，用最小二乘擬合需做三維非線性搜索。有人在邏輯斯蒂模型中先選定k或a，經(jīng)回歸擬合后再設(shè)法做一些調(diào)整，但這些方法的預(yù)測(cè)結(jié)果都顧此失彼，經(jīng)不起關(guān)于合理性的質(zhì)疑。預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，當(dāng)然最好由實(shí)踐檢驗(yàn)，但“將來”尚未發(fā)生，檢驗(yàn)無從談起。事實(shí)上，預(yù)測(cè)不總是準(zhǔn)確的，其優(yōu)劣只能用合理性來評(píng)判，有了合理性，才會(huì)有可靠性。一個(gè)好的預(yù)測(cè)，應(yīng)該滿足以下三個(gè)基本條件：

（1）預(yù)測(cè)模型要有理論依據(jù)的支持。邏輯斯蒂模型具有阻滯性質(zhì)，有經(jīng)濟(jì)理論的支持，可信度有保障。指數(shù)模型只能在變型期工資快速增長(zhǎng)階段有效，用于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，缺少理論依據(jù)。

（2）預(yù)測(cè)模型要保持連續(xù)性。這一點(diǎn)往往被忽視。尤其要保持“過去”與“將來”的交界點(diǎn)，即“現(xiàn)在”的連續(xù)性，具體而言就是2010年的連續(xù)性。工資增長(zhǎng)最看重“當(dāng)前”的基數(shù)，如果有跳空缺口，那么相當(dāng)于將預(yù)測(cè)模型建立在“空中樓閣”之上，連預(yù)測(cè)近在眼前的2011年都非常不準(zhǔn)，何談以后？遠(yuǎn)期預(yù)測(cè)還有追加信息的機(jī)會(huì)，近期則沒有，所以近期預(yù)測(cè)的不合理性，已經(jīng)對(duì)整個(gè)預(yù)測(cè)做出了自我否定。有人關(guān)注t→∞時(shí)預(yù)測(cè)模型的“合理性”，這是一種偏見。因?yàn)槿魏文Ｐ投疾豢赡茴A(yù)測(cè)到無窮遠(yuǎn)處，所以談?wù)摴べY趨向的“合理性”毫無意義。工資的變化與許多因素有關(guān)，對(duì)邏輯斯蒂模型要有深入的理解，在不同階段，參數(shù)a、b、k的取值會(huì)因環(huán)境而變，只有隨著時(shí)間的推移，不斷追加信息，才能不斷完善遠(yuǎn)期的預(yù)測(cè)。

（3）預(yù)測(cè)模型要充分運(yùn)用現(xiàn)有的信息。對(duì)預(yù)測(cè)函數(shù)與散點(diǎn)的偏差進(jìn)行最小化是充分利用信息的表現(xiàn)。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，用偏差平方和作為目標(biāo)是慣例，比較成熟。此外，還可考慮偏差的均勻性指標(biāo)。但要明確的是，充分利用信息，最小化偏差平方和是一個(gè)有效途徑，反之則不然，實(shí)施了偏差的最小化，未必充分利用了信息。由于是預(yù)測(cè)未來的工資，而不是預(yù)測(cè)過去的工資，也就是說，其預(yù)測(cè)函數(shù)與散點(diǎn)吻合的好差不是評(píng)判的標(biāo)準(zhǔn)，重要的是信息處理的合理性。比如，在存在跳空缺口的情況下，是在錯(cuò)誤的基礎(chǔ)上利用信息，非但不充分，反而會(huì)差之毫厘謬以千里。又比如，用線性化方法處理非線性問題，對(duì)信息的利用可能會(huì)產(chǎn)生異變。

1.2合理的預(yù)測(cè)模型

在上述分析的基礎(chǔ)上，我們提出以下預(yù)測(cè)模型：min33t=1Σt1a+be-kt-ytΣΣ2s.t.a+be-33k=（32074）-1這是一個(gè)二維非線性規(guī)劃，目標(biāo)函數(shù)是加權(quán)的偏差平方和，加權(quán)體現(xiàn)了對(duì)近期信息的注重，約束條件來自于t=33（2010年）處的連續(xù)性y（33）=y33=32074。這個(gè)模型沒有解析解，可用數(shù)值搜索的方法。用Matlab或Excel表都不難完成二維搜索。得到的具體結(jié)果為y=10000（0.06024）+（30.1094）e-（0.1450）t（1）以下將函數(shù)（1）記為y=y（t），它與散點(diǎn)擬合的均方誤差為σ=455。該誤差不如指數(shù)模型對(duì)應(yīng)的σ=442，更不如無連續(xù)性約束經(jīng)三維搜索得到的最小值σ=404，但比較這個(gè)指標(biāo)沒有意義，因?yàn)槲覀冃枰A(yù)測(cè)未來而不是預(yù)測(cè)過去，擬合誤差小，只說明用來“預(yù)測(cè)”過去比較好。利用模型（1）預(yù)測(cè)未來的社會(huì)平均工資y（34）~y（67），部分結(jié)果如表1所示。

2養(yǎng)老金替代率的預(yù)測(cè)

2.1兩個(gè)關(guān)鍵的概念

關(guān)于養(yǎng)老金的計(jì)算，必須理解和把握兩個(gè)關(guān)鍵的概念：“個(gè)人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資”和“繳費(fèi)指數(shù)”。為敘述方便，本文改按順時(shí)累計(jì)年份的流水號(hào)：i=0表示繳費(fèi)起始年，i=n-1表示繳費(fèi)結(jié)束年，n為繳費(fèi)年限，i=n表示退休年，退休的那一年當(dāng)然不繳費(fèi)。

2.1.1個(gè)人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資個(gè)人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資記為S，計(jì)算公式為[2]S=cn-112nn-1i=0Σxici（2）其中：xi是第i年的個(gè)人繳費(fèi)工資額，ci是第i年的社會(huì)平均工資。個(gè)人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資是將不可比的xi，通過社會(huì)平均工資ci換算為反映參保人員在整個(gè)繳費(fèi)年限的繳費(fèi)工資平均水平。

2.1.2繳費(fèi)指數(shù)職工第i年的繳費(fèi)指數(shù)定義為λi=xici這里的ci可按公式（1）預(yù)測(cè)。設(shè)開始繳費(fèi)的年份序號(hào)為T（例如2000年的年份序號(hào)為T＝2000－1977＝23），則預(yù)測(cè)值ci=y（T+i）。當(dāng)然，如果T+i≤33（對(duì)應(yīng)2010年），那么可直接用已知數(shù)據(jù)ci=yT+i，不必預(yù)測(cè)。但第ii年的個(gè)人繳費(fèi)工資額xi卻因人而異、因年而異，不易獲得此項(xiàng)數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)[1]對(duì)此給出了重要提示：“某企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比，可看作職工繳費(fèi)指數(shù)的參考值?！边@樣就解決了繳費(fèi)指數(shù)的計(jì)算問題。文獻(xiàn)[1]給出了山東某企業(yè)各年齡段的工資分布表，由此計(jì)算各年齡段平均工資與企業(yè)平均工資之比，作為職工繳費(fèi)指數(shù)λ的參考值，計(jì)算結(jié)果如表2所示。比如某職工從30歲開始繳費(fèi)，到60歲退休，則n=30。其繳費(fèi)指數(shù)從表2查得為：λ0~λ4=0.983，λ5~λ9=1.067，…，λ25~λ29=1.155。表2中缺少60~64歲的繳費(fèi)指數(shù)，可通過數(shù)據(jù)擬合估算。將各年齡段用序號(hào)v表示，畫出散點(diǎn)圖后可以看出，大致呈拋物線狀，故用二次函數(shù)擬合，得到λ=（0.4169）+（0.2453）v-（0.01882）v2以v=9代入，可得60~64歲的繳費(fèi)指數(shù)為λ=1.100。

2.2養(yǎng)老金的計(jì)算

2.2.1A賬戶和B賬戶

我國(guó)企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)實(shí)行“社會(huì)統(tǒng)籌”與“個(gè)人賬戶”相結(jié)合的模式。企業(yè)把職工工資總額按20%的比例繳納到社會(huì)統(tǒng)籌基金賬戶，這部分簡(jiǎn)稱為A賬戶；職工個(gè)人工資按8%的比例繳納到個(gè)人賬戶，簡(jiǎn)稱為B賬戶。第i年的個(gè)人繳費(fèi)工資額xi不易獲得，但可通過繳費(fèi)指數(shù)計(jì)算：xi=λici。A賬戶由社會(huì)統(tǒng)籌基金撥付，所以A賬戶沒有利息，計(jì)算比較簡(jiǎn)單，退休時(shí)A賬戶中儲(chǔ)存額的計(jì)算模型為A=n-1i=0Σ（20%）xi=0.2n-1i=0Σλici（3）B賬戶（個(gè)人賬戶）中的儲(chǔ)存額需要計(jì)算利息，每年的利息可通過轉(zhuǎn)存計(jì)入本金，故按復(fù)利計(jì)算。為簡(jiǎn)單起見，年利率統(tǒng)一設(shè)定為r=3%，則到退休時(shí)B賬戶中儲(chǔ)存額的計(jì)算模型為B=0.08n-1i=0Σλici（1+r）n-i（4）。

2.2.2養(yǎng)老金的計(jì)算公式

我國(guó)企業(yè)退休職工的養(yǎng)老金計(jì)算公式[3]為：養(yǎng)老金＝基礎(chǔ)養(yǎng)老金＋個(gè)人賬戶養(yǎng)老金；基礎(chǔ)養(yǎng)老金＝（全省上年度在崗職工月平均工資＋個(gè)人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資）÷2×繳費(fèi)年限×1%；其中“：全省上年度在崗職工月平均工資”顯然為cn-1/12，“個(gè)人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資”即S，“繳費(fèi)年限”用n表示；“個(gè)人賬戶儲(chǔ)存額”即公式（4）的B，“計(jì)發(fā)月數(shù)”用m表示，其數(shù)值可參看文獻(xiàn)[1]，而幾個(gè)特殊的值為：55歲退休m=170，60歲退休m=139，65歲退休m=101。設(shè)基礎(chǔ)養(yǎng)老金為p（每月），個(gè)人賬戶養(yǎng)老金為q（每月），則每月的養(yǎng)老金為（p+q）。將上面的文字型計(jì)算公式改換成數(shù)學(xué)公式，可得p、q的計(jì)算公式為p=cn-112i+Sin2•（1%），q=Bm再將式（2）和式（4）代入，即得p=cn-12400n+n-1i=0Σλiii（5）q=0.08mn-1i=0Σλici（1+r）n-i（6）2.3養(yǎng)老金替代率的計(jì)算養(yǎng)老金替代率是指職工剛退休時(shí)的養(yǎng)老金占退休前工資的比例。退休前的工資是指退休前一年的月工資，即xn-1/12，而xn-1=λn-1cn-1，所以養(yǎng)老金替代率μ可用數(shù)學(xué)公式表示為μ=p+qxn-1/12=12（p+q）λn-1cn-1，將式（5）、（6）代入，可整理為μ=1λn-11200n+n-1i=0ΣλiΣii+0.96mn-1i=0Σλi（cicn-1）（1+r）n-Σi（7）其中：ci可查表1：ci=y（T+i）（T+i＞33），或用已知數(shù)據(jù)：ci=yT+i（T+i≤33）；λi可查表2；r=3%。有了養(yǎng)老金替代率的計(jì)算式（7）和表1、表2等數(shù)據(jù)及60~64歲的繳費(fèi)指數(shù)推算值λ=1.100，很容易利用Excel表計(jì)算得到各種情況下的養(yǎng)老金替代率。表3列出了企業(yè)職工自2000年（對(duì)應(yīng)T=23）起分別從30歲、40歲開始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳到退休（55歲，60歲，65歲）的計(jì)算結(jié)果，表中附有各種情況下的繳費(fèi)年限、個(gè)人賬戶養(yǎng)老金計(jì)發(fā)月數(shù)的規(guī)定值m，這些數(shù)據(jù)對(duì)計(jì)算安排有

目標(biāo)尚有較大差距。

3養(yǎng)老保險(xiǎn)基金缺口的預(yù)測(cè)

3.1養(yǎng)老金的調(diào)整

增長(zhǎng)率的一定比例[4]，記該比例為β。設(shè)第i年（i≥n）的基礎(chǔ)養(yǎng)老金為pi，個(gè)人賬戶養(yǎng)老金為qi，則pi+1=piβ（cici-1Σ-1）+1Σ（8）qi+1=qiβ（cici-1Σ-1）+1Σ（9）其中：pn=p和qn=q分別由公式（5）、（6）確定，社會(huì)平均工資ci的下標(biāo)滯后一年，是因?yàn)槠浣y(tǒng)計(jì)結(jié)果通常在次年獲得。根據(jù)網(wǎng)上查得的數(shù)據(jù)[3]，計(jì)算2008年~2010年的β值依次為0.53、0.64、0.80，呈上升趨勢(shì)?？紤]到社會(huì)平均工資的增長(zhǎng)率將逐步減小且β≤1，因此估計(jì)以后的β值大致穩(wěn)定在β=0.8。代入式（8）、（9），不難遞推計(jì)算出退休后所有年份的養(yǎng)老金。

3.2賬戶余額函數(shù)

A賬戶和B賬戶合稱為養(yǎng)老保險(xiǎn)基金。賬戶的運(yùn)行規(guī)則是基礎(chǔ)養(yǎng)老金pi由A賬戶撥付，個(gè)人賬戶養(yǎng)老金qi由B賬戶支付，故賬戶余額應(yīng)分別計(jì)算。A賬戶不計(jì)利息，賬戶余額容易計(jì)算。設(shè)A賬戶第i年的余額為f（i），則有遞推式f（i）=f（i-1）-12pi（10）其中：i≥n；f（n-1）=A由公式（3）確定；pi由公式（8）確定。B賬戶在支付養(yǎng)老金的同時(shí)，仍在產(chǎn)生利息。設(shè)B賬戶第i年的余額為g（i），則g（i）=wig（i-1）-12qi（11）其中：i≥n；g（n-1）=B由公式（4）確定；qi由公式（9）確定；g（i-1）≥0時(shí)wi=1+r，g（i-1）＜0（發(fā)生透支）時(shí)wi=1。f（i）和g（i）稱為賬戶余額函數(shù)。由上述遞推公式可算出退休后任何一年的賬戶余額。需要說明的是，公式（11）是按年計(jì)息，而養(yǎng)老金是按月發(fā)放，似乎可以做更細(xì)致的利息計(jì)算。其實(shí)不然，因?yàn)闊o論在哪個(gè)月發(fā)放養(yǎng)老金，B賬戶都處于同一計(jì)息年度，尚未達(dá)到計(jì)息時(shí)限，屬于提前支取，不計(jì)利息，所以公式（11）并無瑕疵。

3.3兩個(gè)賬戶的收支平衡點(diǎn)

A賬戶和B賬戶分開運(yùn)作，余額非負(fù)時(shí)，兩者互不干擾。兩個(gè)賬戶都有可能發(fā)生透支，因?yàn)橛猩鐣?huì)統(tǒng)籌支撐，所以透支不影響?zhàn)B老金的支付，但計(jì)算透支額，即可知道養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口情況。若有某個(gè)I＞n，使得f（I）≥0而f（I+1）＜0，則I就是A賬戶收支平衡的年份。若有某個(gè)J＞n，使得g（J）≥0而g（J+1）＜0，則J就是B賬戶收支平衡的年份。兩個(gè)賬戶的收支平衡點(diǎn)一般不相同。下面是一個(gè)具體例子。某職工自2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳到退休，退休年齡為55歲、60歲、65歲。根據(jù)式（3）～（6）和式（8）～（11），利用Excel表逐個(gè)計(jì)算各年份的賬戶余額f（i）和g（i），即可獲得平衡點(diǎn)，非常方便。其中r=3%，社會(huì)平均工資仍按ci=y（23+i）（i＞10）預(yù)測(cè)，可查表1。兩個(gè)賬戶的收支情況和平衡點(diǎn)的具體結(jié)果如表4所示。根據(jù)養(yǎng)老保險(xiǎn)制度設(shè)計(jì)的基本精神，當(dāng)A賬戶發(fā)生透支時(shí)，不可用B賬戶資金填補(bǔ)，而當(dāng)B賬戶發(fā)生透支時(shí)，可用A賬戶資金填補(bǔ)，但一般不夠填補(bǔ)，透支依然發(fā)生。所以整個(gè)養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的平衡點(diǎn)以先發(fā)生透支的賬戶為準(zhǔn)。表4顯示，55歲退休，62歲（2032年）達(dá)到平衡，下一年打破平衡出現(xiàn)透支；60歲退休，68歲（2038年）達(dá)到平衡，下一年打破平衡出現(xiàn)透支；65歲退休，73歲（2043年）達(dá)到平衡。B賬戶的透支時(shí)點(diǎn)與計(jì)發(fā)月數(shù)基本相當(dāng)，規(guī)定的計(jì)發(fā)月數(shù)可分別折算為14.2年、11.6年、8.4年，表4顯示B賬戶透支前發(fā)放14年、12年、9年，兩者之間的差距主要來自于養(yǎng)老金的增長(zhǎng)和利息參與。3.4養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口兩個(gè)賬戶的透支總額即為養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口?？紤]一個(gè)具體例子：2000年30歲開始繳費(fèi)，至75歲死亡，賬戶運(yùn)行至2044年（死亡當(dāng)年的補(bǔ)償、喪葬費(fèi)等屬于另外的賬戶），對(duì)應(yīng)i=44。兩個(gè)賬戶的透支額分別為f（44）和g（44）（負(fù)值），仍按式（10）和（11），延續(xù)表4的計(jì)算過程，計(jì)算結(jié)果如表5所示。從表5可看出，除繳費(fèi)35年外，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口比較嚴(yán)重，分別達(dá)50.4萬元和32.5萬元。在公式（8）、（9）中，若養(yǎng)老金調(diào)整幅度比例取β=1，則養(yǎng)老金發(fā)放水平將有所提高，但養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口將增加10%～20%，通過相應(yīng)的計(jì)算可得：表5的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金透支總額分別增加到56.1萬、32.5萬、2.8萬，不過表4的賬戶收支平衡點(diǎn)基本不變。