導(dǎo)語：如何才能寫好一篇分式方程應(yīng)用題，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

1審題 弄清題意和題目的已知數(shù)、未知數(shù)，并找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系

2設(shè)未知數(shù) 選擇一個適當?shù)奈粗獢?shù)用字母表示，并根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系用含未知數(shù)的代數(shù)式表示有關(guān)的未知量

3列方程 根據(jù)相等關(guān)系列分式方程

4解方程 其過程可以省略

5檢驗 首先檢查所列方程是否正確，然后檢查所列方程的解是否符合題意

6寫答 千萬不要忘記單位

以上六個步驟，審題是基礎(chǔ)，難點是找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系，關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)和用未知數(shù)的代數(shù)式表示有關(guān)的未知量

現(xiàn)舉例介紹，供同學(xué)們參考

例1 2008年5月12日，四川省汶川發(fā)生80級大地震，某中學(xué)師生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人數(shù)比第一天捐款人數(shù)多50人，且兩天人均捐款數(shù)相等，那么兩天共參加捐款的人數(shù)是多少?人均捐款多少元?

分析:解答本題要注意利用如下相等關(guān)系：

第一天人均捐款數(shù)=第二天人均捐款數(shù)

解:設(shè)第一天捐款的人數(shù)為x人，則第二天捐款的人數(shù)為(x+50)人，依題意，得

=

解方程得, x=200

經(jīng)檢驗, x=200是所列方程的解，且符合題意

所以兩天捐款人數(shù)為x+(x+50)=450，人均捐款為 =24

答:兩天共參加捐款的有450人,人均捐款24元

例2 甲、乙兩同學(xué)玩“托球賽跑”游戲，商定:用球拍托著乒乓球從起跑線l起跑，繞過P點跑回到起跑線(如圖所示)；途中乒乓球掉下時須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑，用時少者勝結(jié)果:甲同學(xué)由于心急，掉了球，浪費了6秒鐘，乙同學(xué)則順利跑完 事后，甲同學(xué)說:“我倆所用的全部時間的和為50秒”，乙同學(xué)說:“撿球過程不算在內(nèi)時，甲的速度是我的12倍” 根據(jù)圖文信息，請問哪位同學(xué)獲勝?

分析：要判斷哪位同學(xué)獲勝，應(yīng)把甲、乙兩位同學(xué)跑完全程的時間分別求出來 不難發(fā)現(xiàn)，表示本題全部含義的一個相等關(guān)系為：

甲跑完全程的時間+乙跑完全程的時間=甲、乙兩同學(xué)所用的全部時間的和

解:設(shè)乙的速度為每秒x米，則甲的速度為每秒12x米 依題意，得 +6+ =50

解之, x=25

經(jīng)檢驗, x=25是所列方程的解，且符合題意

所以甲跑完全程的時間為 +6=26(秒),乙跑完全程的時間為 =24(秒)

答:乙同學(xué)獲勝

例3 某文化用品商店用2000元購進一批學(xué)生書包，面市后發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求，商店又購進第二批同樣的書包，所購數(shù)量是第一批購進數(shù)量的3倍，但單價貴了4元，結(jié)果第二批用了6300元

(1)求第一批購進書包的單價是多少元?

(2)若商店銷售這兩批書包時，每個售價都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元?

分析：解答本題要注意利用如下相等關(guān)系：

第二批所購書包數(shù)量=第一批所購書包數(shù)量的3倍

解:(1)設(shè)第一批購進書包的單價是x元，則第二批購進書包的單價是(x+4)元 依題意，得

= ×3

解方程得, x=80

經(jīng)檢驗, x=80是所列方程的解, 且符合題意

答:第一批購進書包的單價是80元

(2)不難計算出,第一批所購書包數(shù)量為 = =25(個),第二批所購書包數(shù)量為25×3=75(個)

所以兩批書包的全部售價為(25+75)×120元，即12000元

因為兩批書包的全部進價為(2000+6300)元，即為8300元

篇2

北師大版八年級下冊第三章第四節(jié)第三課時《列分式方程解應(yīng)用題》。

一、設(shè)計思路：教材分析：

本節(jié)教學(xué)內(nèi)容是在學(xué)過一元一次方程和二元一次方程及其應(yīng)用之后進行的，是對方程應(yīng)用的擴展，又是進一步學(xué)習(xí)可化為一元二次方程的分式方程的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)了分式方程后，也為解決實際問題拓寬了思路，打破了列方程解應(yīng)用題時代數(shù)式必須為整式的這一限制。

1、學(xué)情分析：學(xué)生已認識了分式方程這樣的數(shù)學(xué)模型，并且學(xué)會了解分式方程，同時已掌握了利用一元一次方程解應(yīng)用題的方法步驟，為本節(jié)分式方程的應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。

2、設(shè)計理念：根據(jù)學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)，結(jié)合教材特點，選擇引導(dǎo)式教學(xué)法、自主式探究法，積極培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，爭取讓更多的學(xué)生達到學(xué)習(xí)目標。注重“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體”這一教學(xué)思想的體現(xiàn)，教學(xué)中通過設(shè)計開放性問題讓學(xué)生認真分析、主動探索、積極討論、友誼合作、嘗試總結(jié)。使學(xué)生由被動接受知識變?yōu)橹鲃拥厝カ@得知識。

三、教學(xué)目標:知識與技能：通過情景激趣，引導(dǎo)學(xué)生觀察分析，在與列一元一次方程解應(yīng)用題的類比中得出列分式方程解應(yīng)用題的方法步驟。過程與方法：學(xué)生親身經(jīng)歷探究相等關(guān)系的過程，再次體會應(yīng)用方程思想解決數(shù)學(xué)問題的方法。情感態(tài)度：體會數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于實際生活。

四、教學(xué)重點：認識列分式方程解應(yīng)用題的基本方步驟。

五、教學(xué)難點：尋找等量關(guān)系的方法，體會建模的過程。

六、教具準備：選擇學(xué)生身邊的問題情境，制成多媒體課件。

七、教學(xué)方法：主要采用引導(dǎo)式教學(xué)法、自主式探究法。教師要引導(dǎo)學(xué)生認真分析題意，積極思考，主動探索，盡量讓學(xué)生自己找出等量關(guān)系，歸納出列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟。課堂上讓學(xué)生始終處于主動學(xué)習(xí)的狀態(tài)，教師只起引導(dǎo)作用。

八、教學(xué)過程：

（一）、復(fù)習(xí)引入

出示題目：解方程略學(xué)生活動：兩名學(xué)生板演，其他同學(xué)自主完成后交給同伴檢查、交流，達成共識。最后另選兩名同學(xué)點評板演的情況。教師活動：巡視指導(dǎo)，總結(jié)引入。解分式方程的思路是利用轉(zhuǎn)化思想，先將其轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的一元一次方程，再通過驗根來完成求解的。今天我們將要學(xué)習(xí)列分式方程解應(yīng)用題，這與已學(xué)過的列一元一次方程解應(yīng)用題基本類似，但又有區(qū)別，希望同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中認真體會。設(shè)計意圖：既復(fù)習(xí)解分式方程的三個步驟，又為本節(jié)課的教學(xué)掃清障礙，作好鋪墊。教師的總結(jié)引入承上啟下，既點明了本節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，又道出了類比對象，同時提出了問題，引發(fā)學(xué)生注意與思考，并自然過渡到新課。

（二）、情境分析 構(gòu)建模型

出示“房屋出租問題”的情境（教材P92 ），并依次出示思考題：（1）你能找出這一情境中的等量關(guān)系嗎？（2）根據(jù)這一情境你能提出什么問題？（3）你能利用方程求出這兩年間房屋的租金各是多少嗎？學(xué)生活動（1）：仔細讀題，認真分析題意。找出情境中的已知量、未知量，分析量與量之間的關(guān)系，最后找出等量關(guān)系，完成思考題（1）?；顒有问剑合茸灾鞣治?，再小組討論、交流后選一名代表板書找到的等量關(guān)系，各小組進行比賽，看哪個小組找到的等量關(guān)系多還用的時間少，最后集體交流、訂證 ，選出優(yōu)勝組。 教師活動：巡回指導(dǎo)，及時點撥。鼓勵引導(dǎo)學(xué)生能從多角度分析出等量關(guān)系。集體訂證整理后教師大屏幕展示學(xué)生找出的所有等量關(guān)系，包括：①第二年每間房屋的租金=第一年每間房屋的租金+500元。②第一年出租房屋的間數(shù)=第二年出租房屋的間數(shù)。根據(jù)這一情境你最想知道什么?不防提出來讓大家?guī)湍憬鉀Q。

篇3

關(guān)鍵詞： 屋面和鋼筋頭；硬泡聚氨酯防水保溫一體化材料；應(yīng)用

中圖分類號：TU198 文獻標識碼：A

引言：

建筑的節(jié)能和墻體的改造的改革政策的不斷深化施工，工程隊采用在現(xiàn)場噴涂硬泡聚氨酯屋面保溫防水等一體化新興技術(shù)正在興起。

1. 屋面和鋼筋頭

我國在傳統(tǒng)的屋面保溫材料中，居民大多數(shù)采用的是擠塑聚苯板、珍珠巖，近年來珍珠巖有逐漸淘汰的趨勢，而屋面的防水材料大多數(shù)采用的卻是卷材防水。然而當遭遇到里外露鋼筋頭的陡坡屋面或造型怪異的屋面時，上述無論哪種做法均有很大的弊端，因為塊體和卷材受本身形態(tài)限制無法有效貼合需做防水保溫的鋼筋頭、造型基面，影響防水保溫質(zhì)量，若發(fā)生穿刺性破壞還將影響材料的使用年限，而硬泡聚氨酯噴涂克服了上述難點，其成型后穩(wěn)定的化學(xué)性能可保證長久的使用年限。

2. 硬泡聚氨酯防水保溫一體化材料

作為防水的保溫一體化專用材料，噴涂硬泡聚氨酯體現(xiàn)了其自身一定的價值，在現(xiàn)場噴涂硬泡聚氨酯不僅要克服傳統(tǒng)材料防水的不保溫方面、保溫的不防水方面、并且防水層一旦滲漏將會造成保溫層失效等一系列弊病。況且在與其他的單一防水或保溫材料的比拼中，其他材料相比硬泡聚氨酯材料具有比較明顯的優(yōu)勢：但是硬泡聚氨酯材料具有一材多用的功能，不僅同時具備防水保溫、隔音等諸多功能之外，況且保溫性能優(yōu)良的優(yōu)勢，在國內(nèi)具有良好的聲譽，其也是國內(nèi)建材材料中導(dǎo)熱系數(shù)最低小、熱阻值最高的保溫材料之一，更何況具有理想的不透水的效果。因而我國居民在家具生活中大部分將會采用這種的硬泡聚苯板來代替以往的傳統(tǒng)材料，如果建筑商采用在現(xiàn)場噴涂以達到防水保溫層的連續(xù)無接縫，防水抗?jié)B性能優(yōu)異，可有效節(jié)約材料、工期。

3.硬泡聚氨酯防水保溫一體化材料介紹

硬泡聚氨酯的發(fā)展歷史：建筑行業(yè)所用到的硬泡聚氨酯體保溫材料是屬于聚氨酯工業(yè)場中的一個重要分支，因為其具有一材多用的特點，并且同時具備保溫、防水等功能。本類產(chǎn)品在20世紀60年代以來已經(jīng)在歐洲建筑行業(yè)應(yīng)用已超過40多年的歷史，由于其生產(chǎn)工藝比較嫻熟和成熟、混合密度高、耐用年限竟然長達30余年。在西歐的一些國家還專門通過立法把硬泡聚氨酯作為建筑行業(yè)的指定保溫防水用材。并且在近10年來，由于我國在建筑行業(yè)的回暖，伴隨著國內(nèi)的大好發(fā)展前景，我國建筑行業(yè)的節(jié)能市場的迅速響應(yīng)其發(fā)展，硬泡聚氨酯一體化保溫產(chǎn)品在建筑行業(yè)的保溫防水領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，并且已經(jīng)成為了主導(dǎo)市場的保溫節(jié)能主流產(chǎn)品。 在我國的發(fā)展開始之初,硬泡聚氨酯在防水保溫一體化材料方面可以說是情景很不明朗，在國內(nèi)建筑業(yè)的應(yīng)用也是尚處于初始階段的試驗過程。然而可喜的是，我國為了加快建筑保溫材料的革新工程，國家開展了一系列的座談會，只為促進硬泡聚氨酯在建筑節(jié)能領(lǐng)域的廣泛的推廣應(yīng)用，因此國家司法部的建設(shè)部科學(xué)司專門成立了“硬泡聚氨酯建筑節(jié)能應(yīng)用方面的推廣工作小組”,以推進硬泡聚氨酯在保溫防水材料方面從而國內(nèi)建筑節(jié)能行業(yè)的應(yīng)用。下面來介紹一下：

3.1 硬泡聚氨酯的保溫、防火性能好

概念：硬泡聚氨酯是由聚醚多元醇（簡稱A料）和異氰酸酯（簡稱B料）中加入適量的發(fā)泡體和固化劑等添加劑之后，經(jīng)化學(xué)反應(yīng)之后產(chǎn)生了閉孔率不超過95%的聚氨酯硬泡體聚合物，因為其導(dǎo)熱系數(shù)＜=0.024W/（m?K），而此僅僅為EPS發(fā)泡聚苯板導(dǎo)熱系數(shù)的一半，節(jié)能效果非常好。又由于其噴涂厚度在40mm就能達到國家規(guī)定節(jié)能65%的要求。因而在材料密度≥55Kg/m3,壓縮性能≥300kPa，尺寸穩(wěn)定性（70℃，48h）≤1%，吸水率≤1%，不透水。摻加一定比例阻燃劑后硬泡聚氨酯材料的防火性能良好，自身燃燒性能可達到B1級，屬于熱固性保溫材料，遇火不熔化，表面形成致密碳化層，無燃燒滴落物，具有較好的阻火性能。

3.2 硬泡聚氨酯的防水性能優(yōu)良

聚氨酯硬泡體連續(xù)致密的表皮和95%的高強度互聯(lián)壁閉孔，具有理想的不透水性。采用現(xiàn)場噴涂法施工達到防水保溫層連續(xù)無接縫，形成無縫屋蓋保溫殼體，防水抗?jié)B性能優(yōu)異。根據(jù)《硬泡聚氨酯保溫防水工程技術(shù)規(guī)范》GB50404-2007附錄A 硬泡聚氨酯不透水性試驗方法，0.2MPa,30min不透水。硬泡聚氨酯在低溫-50℃情況下不脆裂，在高溫+150℃情況下不流淌，不粘接，可正常使用，抗老化強度的溫度范圍大，優(yōu)于一般卷材防水。根據(jù)圖集08BJ1-1，P366第11行，噴涂厚度不小于40mm可以作為兩道防水層。

硬泡聚氨酯在防水保溫一體化材料方面不僅使施工成本降低了，加快了施工進度，其應(yīng)用的效果帶來的是節(jié)能型經(jīng)濟在社會節(jié)約資源方面產(chǎn)生的效益巨大。據(jù)有關(guān)行業(yè)專家評估分析，到本世紀2020年，如果城鎮(zhèn)居民建筑要求全部達到節(jié)能標準，每年則可節(jié)省3.35Et標準煤；空調(diào)在高峰負荷運行則可減少8000萬kW的電力，這相當于我國電力從1988年到2002年這5年新增電力容量的總和，其也是相當于4.5個三峽大壩的年發(fā)電量，或相當于每年國家可以節(jié)省電力建設(shè)投資1萬億元。

4.應(yīng)用

作為建筑材料的應(yīng)用，我們需要了解建筑材料的優(yōu)缺點，并且要知道產(chǎn)品的好次，結(jié)合我們在實際工程中的應(yīng)用，現(xiàn)需要介紹一個硬泡聚氨酯防水保溫一體化材料在坡屋面防水保溫設(shè)計過程中的應(yīng)用情況。 應(yīng)用背景：中國科學(xué)院坐落于北京，然而中國科學(xué)院西苑區(qū)的醫(yī)院在擴建一期工程中成為醫(yī)院綜合樓的主樓，并且工程位于北京市海淀區(qū)的西苑操場醫(yī)院院內(nèi)，綜合樓的主樓為框架桿式鏈條剪力墻結(jié)構(gòu)，主要分為地下2層，地上3層，且檐口高度14m，建筑面積28866。由于其地理位置緊貼著圓明園和頤和園，因此工程要求在設(shè)計仿古屋方面破費周折，南北坡屋面上預(yù)留Φ10多個鋼筋頭以用來掛著小青瓦和琉璃瓦，并且直接噴涂硬泡聚氨酯，而后再繼續(xù)鋪掛琉璃瓦。

5.結(jié)語

由于西方國家在建筑行業(yè)防水保溫方面方面相對起步較早，而我國應(yīng)用硬泡聚氨酯防水保溫一體化材料起步較晚，自1997年才從德國引進有關(guān)硬泡聚氨酯的技術(shù)和設(shè)備，在1998年我國才正式推廣使用。經(jīng)過近幾年國家加大了對硬泡聚氨酯的研究和推廣應(yīng)用，修訂《硬泡聚氨酯保溫防水工程技術(shù)規(guī)范》，扶持此領(lǐng)域企業(yè)發(fā)展等措。硬泡聚氨酯防水保溫一體化材料已經(jīng)實現(xiàn)國產(chǎn)化，并且已經(jīng)達到了國外先進技術(shù)水平，在我國生產(chǎn)的聚氨酯已經(jīng)在世界其他國家暢銷，我國勞動力較低，降低了生產(chǎn)成本。我國技術(shù)綜合了自身的特點，技術(shù)的程度大部分提高，并且成本的降低已為國內(nèi)大面積的推廣應(yīng)用硬泡聚氨酯防水保溫一體化材料奠定了基礎(chǔ)。硬泡聚氨酯不僅僅僅應(yīng)用在立體面，也可以應(yīng)用于平屋面，但是對平面的要求是平屋面在Ⅰ級防水處需要再增加一道防水購，并需要處理好女兒墻、管根等節(jié)點的做法。在坡屋面上處理外露鋼筋頭部位的防水和保溫，硬泡聚氨酯的應(yīng)用更有優(yōu)勢，其效果是其它材料所不能達到的。

參考文獻：

[1]GB8624-2006 建筑材料燃燒性能分級方法[S].北京： 中國標準出版社，2006

[2]GB50404-2007 硬泡聚氨酯保溫防水工程技術(shù)規(guī)范[S].北京：中國計劃出版社，2007.

篇4

［關(guān)鍵詞］應(yīng)用題 列表法 分析 分式方程

［中圖分類號］G42 ［文獻標識碼］A ［文章編號］1009-5349（2012）01－0177－01

列方程解應(yīng)用題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重難點之一，怎樣使學(xué)生快速分析題意，準確列出方程，解決實際問題？“等量關(guān)系”是列方程的依據(jù)，又與問題中所有的基本量密切相關(guān)，用列表法來分析，將題目給出的條件和要求反映的基本量在一個表格中顯示出來，使那些較為復(fù)雜的關(guān)系條理清楚、明朗，能較快發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系，準確快速列出方程，大大降低解題難度。

如北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊中分式方程的應(yīng)用題，一般都涉及三個基本量，根據(jù)三者的關(guān)系可用其中的兩個量表示出第三個量，又有兩種情況之分，均可列成3×4表格來分析。

例1：有兩塊面積相同的小麥試驗田，第一塊使用原品種，第二塊使用新品種，分別收獲小麥9000kg和15000kg。已知第一塊試驗田每公頃的產(chǎn)量比第二塊少3000kg，分別求這兩塊試驗田每公頃的產(chǎn)量。

分析：此題中有三個基本量：面積、單位產(chǎn)量、總產(chǎn)量（三者關(guān)系為：總產(chǎn)量=單位產(chǎn)量×面積），又有第一塊、第二塊之分?？闪斜砀駷椋?/p>

由面積相同易得方程 = 。

例2：從甲地到乙地有兩條公路：一條是全長600km的普通公路，另一條是全長480km的高速公路。某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路從甲地到乙地所需的時間是由普通公路從甲地到乙地所需時間的一半。求該客車由高速公路從甲地到乙地所需的時間。

分析：此題中有三個基本量：路程、速度、時間（三者關(guān)系為：路程=速度×?xí)r間），又有普通、高速之分?？闪杏筛咚俾匪俣缺绕胀房?5km/h易得方程 -

例3：為了幫助遭受自然災(zāi)害的地區(qū)重建家園，某學(xué)校號召同學(xué)們自愿捐款。已知第一次捐款總額4800元，第二次捐款總額5000元，第二次捐款人數(shù)比第一次多20人，而且兩次人均捐款額恰好相等。如果設(shè)第一次捐款人數(shù)為x人。那么x滿足怎樣的方程?

分析：此題中有三個基本量：人數(shù)、人均捐款、總捐款（三者關(guān)系為：總捐款=人均捐款×人數(shù)），又有第一次、第二次之分?？闪斜砀駷椋?第一次 第二次

由兩次人均捐款恰好相等易得方程 = 。

例4：某市為治理污水，需要鋪設(shè)一段全長為3000m的污水排放管道。為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的功效比原計劃增加25%，結(jié)果提前30天完成這一任務(wù)。實際每天鋪設(shè)多長管道？

分析：此題中有三個基本量：工作量、功效、時間（三者關(guān)系為：工作量=功效×?xí)r間），又有原計劃、實際之分?？闪斜砀駷椋?原計劃 實際

由提前30天完成易的方程 - =30。

例5：某質(zhì)檢部門抽取甲、乙兩廠相同數(shù)量的產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測，結(jié)果甲廠有48件合格產(chǎn)品，乙廠有45件合格產(chǎn)品，甲廠的合格率比乙廠高5%，求甲廠的合格率。

篇5

專題1 一元一次方程（組）

考點解讀：單獨求一元一次方程（組）的解和字母系數(shù)的值的題很少見，即使有也很簡單，只要掌握基本概念就可解答，命題的主要方向是一元一次方程（組）的簡單應(yīng)用?郾

考點1 列一元一次方程

例1 （2011年湘潭卷）湘潭歷史悠久，因盛產(chǎn)湘蓮，被譽為“蓮城”?郾 李紅買了8個蓮蓬，付50元，找回38元，設(shè)每個蓮蓬的價格為x元，根據(jù)題意，列出方程為 ?搖?郾

解：50-8x=38?郾

溫馨小提示：這是一元一次方程命題的重點?郾 解題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系?郾

考點2 二元一次方程解的識別

例2 （2011年益陽卷）二元一次方程x-2y=1有無數(shù)多個解，下列四組值中不是該方程的解的是（ ）

A?郾x=0，y=-■.?搖?搖 B?郾x=1，y=1.?搖?搖 C?郾x=1，y=0.?搖?搖 D?郾x=-1，y=-1.

分析：將所有選項逐一代入驗證，即可得到答案?郾

當x=1，y=1時，x-2y=1-2×1=-1≠1?郾 選B?郾

溫馨小提示：將x與y的值代入方程，若使方程成立，則是方程的解，否則就不是方程的解?郾

考點3 求字母系數(shù)的值

例3 （2011年棗莊卷）已知x=2，y=1是二元一次方程組ax+by=7，ax-by=1的解，則a-b的值為（ ）?郾

A?郾 -1?搖?搖 B?郾 1?搖?搖 C?郾 2?搖?搖 D?郾 3

解：因為x=2，y=1是二元一次方程組ax+by=7，ax-by=1的解，

所以有2a+b=7，2a-b=1.解得a=2，b=3.所以a-b=-1?郾 選A?郾

溫馨小提示：根據(jù)二元一次方程組解的定義，把解代入方程組，即可求a-b的值?郾

專題2 分式方程

考點解讀：解分式方程和分式方程的應(yīng)用是命題的重點?郾 解分式方程要注意驗根，在實際應(yīng)用中，自變量還受實際問題的限制?郾

考點1 解分式方程

例4 （2011年鄂州卷）解方程：■+■=1?郾

解：方程兩邊同乘以x（x+3）得2（x+3）+x2=x（x+3），

解得x=6?郾

經(jīng)檢驗，x=6是原分式方程的解?郾

溫馨小提示：解分式方程的基本思路是“轉(zhuǎn)化”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解?郾 另外，解分式方程一定要驗根?郾

考點2 增根問題

例5 （2011年雞西卷）分式方程■-1=■有增根，則m的值為（ ）?郾

A?郾 0和3?搖?搖 B?郾 1?搖?搖 C?郾 1和-2?搖?搖 D?郾 3

解：去分母，得x（x+2）-（x-1）（x+2）=m，即x=m-2.

因為原分式方程有增根，增根只能是x=1或者x=-2，

當x=1時，得m=3；當x=-2時，得m=0?郾

而當m=0時，分式方程變?yōu)椤?1=0，此方程不成立?郾

所以m的值為3?郾 選D?郾

溫馨小提示：當x滿足最簡公分母等于0時，它就是分式方程的增根，再代入原方程檢驗?郾 本題中容易出現(xiàn)選A的錯誤，原因是沒有再代入原方程檢驗?郾

考點4 分式方程無解

例6 （2011年龍東卷）已知關(guān)于x的方程■-■=0無解，則a的值為?搖 ?郾

解：原方程兩邊同時乘以x（x+1），得ax-（2a-x-1）=0，

即（a+1）x=2a-1?郾

一方面，當a+1=0，即a=-1時，2a-1≠0，方程無解?郾

另一方面，原分式方程無解，即x（x+1）=0，解得x=0或x=-1?郾

當x=0時，代入（a+1）x=2a-1，得2a-1=0，解得a=■；

當x=-1時，代入（a+1）x=2a-1，得-a-1=2a-1，解得a=0?郾

綜上所述，a的值為-1，0，■?郾

溫馨小提示：分式方程無解，說明分母為0，由此可求出方程的增根，再將增根回代，即可求得a值?郾 本題中容易忽視由分式方程轉(zhuǎn)化的整式方程無解的情況?郾

考點5 列分式方程解應(yīng)用題

例7 （2011年畢節(jié)卷）小明到一家批發(fā)兼零售的文具店給九年級學(xué)生購買考試用2B鉛筆，請根據(jù)下列情景解決問題?郾

（1） 這個學(xué)校九年級學(xué)生總數(shù)在什么范圍內(nèi)？

（2）若按批發(fā)價購買6支與按零售價購買5支的所付款相同，那么這個學(xué)校九年級學(xué)生有多少人？

分析：由已知得總?cè)藬?shù)不多于300人，若多購買60支，則可按批發(fā)價付款，說明總?cè)藬?shù)大于240人?郾

解：（1）依題意，得 240＜學(xué)校九年級學(xué)生總數(shù)≤300?郾

（2）設(shè)九年級學(xué)生總數(shù)為x，根據(jù)題意，得

■×5=■×6?郾 解得x=300?郾

經(jīng)檢驗x=300是原方程的解?郾

答：這個學(xué)校九年級學(xué)生有300人?郾

溫馨小提示：本題以人物的情景對話為背景，考查我們解決實際問題的能力. 在閱讀對話中，發(fā)現(xiàn)解決問題的條件，建立數(shù)學(xué)模型求解?郾

專題3 一元一次不等式（組）

考點解讀：會用數(shù)軸表示不等式（組）的解集，理解不等式的基本性質(zhì)，構(gòu)建一元一次不等式（組）解決實際問題是考試的重點.

易錯點：在不等式兩邊同乘以（或除以）一個負數(shù)，忘記改變不等號的方向.

考點1 不等式的基本性質(zhì)

例8 （2011年深圳市）已知a、b、c均為實數(shù)，若a＞b，c≠0，下列結(jié)論不一定正確的是（ ）?郾

A?郾 a+c＞b+c?搖?搖 B?郾 c-a＜c-b C?郾■＞■?搖?搖 D?郾 a2＞ab＞b2

分析：根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐一驗證即可得出結(jié)果?郾

解：因為a＞b，所以-a＜-b，而c≠0，所以a+c＞b+c、c-a＜c-b、■＞■均正確，只有a2＞ab＞b2不一定正確. 選D?郾

溫馨小提示：在運用不等式的基本性質(zhì)3時，要明確不等號的方向是變還是不變?郾

考點2 解一元一次不等式（組）

例9 （2011年佛山卷）解不等式組：■-1＜x，x-（3x-1）≥-5?郾

解：解不等式■-1＜x，得x＞-2；

解不等式x-（3x-1）≥-5，得x≤3.

因此原不等式組的解集是-2＜x≤3?郾

溫馨小提示：不等式組的解集可以通過“數(shù)軸法”確定，也可以通過“口訣法”確定?郾

考點3 確定一元一次不等式（組）的整數(shù)解

例10 （2011年煙臺卷）不等式4-3x≥2x-6的非負整數(shù)解有（ ）.

A?郾 1個?搖?搖 B?郾 2個?搖?搖 C?郾 3個?搖?搖 D?郾 4個

解：解不等式，得x≤2，因為x是非負整數(shù)，所以x=0，1，2，共有3個. 選C?郾

溫馨小提示：求不等式（組）的整數(shù)解是比較簡單的基礎(chǔ)題，考查的頻率卻較高.

考點4 確定一元一次不等式組中的字母系數(shù)的范圍

例11 （2011年安順卷）若不等式組5-3x≥0，x-m≥0有實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）.

A?郾 m≤■?搖?搖 B?郾 m＜■?搖?搖 C?郾 m＞■?搖?搖 D?郾 m≥■

解：解不等式5-3x≥0，得x≤■，解不等式x-m≥0，得x≥m，

不等式組有實數(shù)解，所以m≤x≤■，m必須滿足m≤■?郾 選A?郾

溫馨小提示：解本題時，要理解“有實數(shù)解”的意義，同時不要遺漏等于■的情況?郾

考點5 一元一次不等式的應(yīng)用

例12 （2011年廣州卷）某商店5月1日舉行促銷優(yōu)惠活動，當天到該商店購買商品有兩種方案. 方案一：用168元購買會員卡成為會員后，憑會員卡購買商店內(nèi)任何商品，一律按商品價格的8折優(yōu)惠；方案二：若不購買會員卡，則購買商店內(nèi)任何商品，一律按商品價格的9?郾5折優(yōu)惠?郾 已知小敏5月1日前不是該商店的會員?郾

（1）若小敏不購買會員卡，所購買商品的價格為120元時，實際應(yīng)支付多少元？

（2）請幫小敏算一算，所購買商品的價格在什么范圍內(nèi)時，采用方案一更合算？

解：（1）120×0?郾95=114（元），所以實際應(yīng)支付114元?郾

（2）設(shè)購買商品的價格為x元. 根據(jù)題意，得0?郾8x+168＜0?郾95x，

解得x＞1 120.

當購買商品的價格超過1 120元時，采用方案一更合算?郾

溫馨小提示：解決這類問題，認真審題，讀懂方案是解題的關(guān)鍵?郾

例13 （2011年桂林卷）某校志愿者團隊在重陽節(jié)購買了一批牛奶到“夕陽紅”敬老院慰問孤寡老人，如果給每個老人分5盒，則剩下38盒，如果給每個老人分6盒，則最后一個老人不足5盒，但至少分得一盒?郾

（1）設(shè)敬老院有x名老人，則這批牛奶共有多少盒？（用含x的代數(shù)式表示）

（2）該敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？

分析：（1）根據(jù)“給每個老人分5盒，則剩下38盒”可求牛奶共有（5x+38）盒數(shù)?郾 （2）根據(jù)“每個老人分6盒，則最后一個老人不足5盒，但至少分得一盒”可知：1≤最后一個老人的牛奶盒數(shù)＜5，由于前面的（x-1）個老人每人6盒，總共（5x+38）盒，最后一個老人分得的牛奶盒數(shù)為（5x+38）-6（x-1），因此有1≤（5x+38）-6（x-1）＜5?郾

解：（1）依題意，得牛奶盒數(shù)為（5x+38）盒?郾

（2）根據(jù)題意，得5x+38-6（x-1）＜5，5x+38-6（x-1）≥1?郾 解得39＜x≤43?郾

因為x為整數(shù)，所以x=40，41，42，43?郾

答：該敬老院至少有40名老人，最多有43名老人?郾

溫馨小提示：利用不等式及不等式組解決實際問題時，都要先確定一個取值范圍，再根據(jù)實際情況來做出判斷?郾 如本題老人的數(shù)目必須是整數(shù)，故最小值為40?郾 另外，要注意根據(jù)“不足”、“至少”等詞的含義列不等式?郾

專題4 一元二次方程

專題解讀：一元二次方程是中考的重點. 解一元二次方程一般不難，根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系的簡單應(yīng)用、列一元二次方程解實際問題是命題的重中之重，在本刊第6期作專題講解.

考點1 一元二次方程的解法

例14 （2011年聊城卷）解方程：x（x-2）+x-2=0?郾

分析：可以先通過整理，使得原方程轉(zhuǎn)化一元二次方程的一般式，進而利用求根公式或因式分解或通過配方求解，考慮方程的結(jié)構(gòu)，不如視（x-2）為一個整體，通過因式分解求解?郾

解：因式分解，得（x-2）（x+1）=0，解得x=2或x=-1?郾

溫馨小提示：解一元二次方程，因式分解是首選方法?郾

考點2 用一元二次方程解決生活中圖形類問題

例15 （2011年六盤水卷）小明家有一塊長8m、寬6m的矩形空地，媽媽準備在該空地上建造一個花園，并使花園面積為空地面積的一半，小明設(shè)計了如下的四種方案供媽媽挑選，請你選擇其中的一種方案幫小明求出圖中x的值?郾

分析：分別從各種方案的圖形中獲取信息，尋求等量關(guān)系，利用面積關(guān)系構(gòu)建一元二次方程求解?郾 這是一道開放性題，可任選一種方案計算.

方案一：（8-x）（6-x）=■×8×6，解得x1=12，x2=2?郾

而x1=12不合題意，舍去?郾 所以x=2?郾

方案二：（8-2x）（6-2x）=■×8×6，解得x1=6，x2=1?郾

而x1=6不合題意，舍去?郾 所以x=1?郾

方案三：■×（8-x）（6-x）×2=■×8×6，解得x1=12，x2=2?郾

而x1=12不合題意，舍去?郾 所以x=2?郾

方案四：■×（8-2x+8）（6-x）=■×8×6，解得x1=12，x2=2?郾

篇6

1．數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)和式是問題的抽象和概括，圖形和圖像是問題的具體和直觀的反映。華羅庚先生說得好：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好?！边@句話闡明了數(shù)形結(jié)合思想的重要意義。學(xué)生掌握了這一思想要比掌握一個公式或一種具體方法更有價值，對解決問題更具有指導(dǎo)意義。比如在講“圓與圓的位置關(guān)系”時，我讓學(xué)生自制圓形紙板，進行運動實驗，讓學(xué)生首先從形的角度認識圓與圓的位置關(guān)系，然后可激發(fā)學(xué)生積極主動探索兩圓的位置關(guān)系反映到數(shù)上有何特征。這種借助于形通過數(shù)的運算推理研究問題的數(shù)形結(jié)合思想，在教學(xué)中要不失時機地滲透。這樣不僅可提高學(xué)生的遷移思維能力，還可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力和多角度思考問題的習(xí)慣。

2．化歸思想

化歸思想是數(shù)學(xué)思想方法體系主梁之一。在實數(shù)的運算、解方程(組)、多邊形的內(nèi)角和、幾何證明等的教學(xué)中都有讓學(xué)生對化歸思想方法的認識，學(xué)生有意無意接受到了化歸思想。如已知(x+y)2＝11，xy＝1求x2+y2的值，顯然直接代入無法求解，若先把所求的式子化歸到有已知形式的式子(x+y)2－2xy，則易得：原式＝9；又如“多邊形的內(nèi)角和”問題通過分解多邊形為三角形來解決，這都是化歸思想在實際問題中的具體體現(xiàn)?；瘹w思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法?；瘹w的手段是多種多樣的，其最終目的是將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知問題來解。實現(xiàn)新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化、未知問題向已知問題轉(zhuǎn)化、抽象問題向具體問題轉(zhuǎn)化等。

3．方程思想

眾所周知，方程思想是初等代數(shù)思想方法的主體，應(yīng)用十分廣泛，可謂數(shù)學(xué)大廈基石之一，在眾多的數(shù)學(xué)思想中顯得十分重要。所謂方程思想，主要是指建立方程(組)解決實際問題的思想方法。教材中大量出現(xiàn)這種思想方法。如列方程解應(yīng)用題，求函數(shù)解析式，利用根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系求字母系數(shù)的值等。教學(xué)時，可有意識的引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系從而建立方程。如我講“利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式”時，就啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)確定解析式的關(guān)鍵是求出各項系數(shù)，可把他們看成三個“未知量”，告訴學(xué)生利用方程思想來解決，那學(xué)生就會自覺的去找三個等量關(guān)系建立方程組。在這里如果單講解題步驟，就會顯得呆板、僵硬，學(xué)生只知其然，不知其所以然。與此同時，還要注意滲透其他與方程思想有密切關(guān)系的數(shù)學(xué)思想，諸如換元，消元、降次、函數(shù)、化歸、整體、分類等思想，這樣可起到“撥亮一盞燈，照亮一大片”的作用。

4．整體思想

整體思想在初中教材中體現(xiàn)突出，如在實數(shù)運算中，常把數(shù)字與前面的“+，－”符號看成一個整體進行處理；又如用字母表示數(shù)就充分體現(xiàn)了整體思想，即一個字母不僅代表一個數(shù)，而且能代表一系列的數(shù)或由許多字母構(gòu)成的式子等；再如整式運算中往往可以把某一個式子看作一個整體來處理，如：(a+b+c)2＝[(a+b)+c] 2視(a+b)為一個整體展開等等，這些對培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提高解題效率是一個極好的機會。

5．分類討論思想

分類討論即根據(jù)教學(xué)對象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類。分類是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段。在教學(xué)中，如果對學(xué)過的知識恰當?shù)剡M行分類，就可以使大量紛繁的知識具有條理性。例如，對三角形全等判別方法的探索，教材中的思考題：如果兩個三角形有三個部分(邊或角)分別對應(yīng)相等，那么有哪幾種可能的情況？同時，教材中對處理幾種識別方法時也采用分類討論，由簡到繁，一步步得出，教學(xué)時要讓學(xué)生體驗這種思想方法。

6．變換思想

變換思想是由一種形式轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N形式的思想。解方程中的同解變換，定律、公式中的命題等價變換，幾何圖形中的等積變換等等都包含了變換思想。具有優(yōu)秀思維品質(zhì)的一個重要特征，就是善于變換，從正反、互逆等進行變換考慮問題，但很多學(xué)生又恰恰常忽略從這方面考慮問題，因此變換思想是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的一個重要武器。例：四邊形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，E、F是AC上的兩點，且AE＝CF。求證：DE＝BF。這道題若是由已知向后推理較難把握方向，但用變換方法尋找證法比較容易：要證DE＝BF，只要證ADE≌CBF(證ABF≌CDE也可)；要證ADE≌CBF，因題目已知BC＝DA，AE＝CF，只要證∠DAE＝∠BCF；要證∠DAE＝∠BCF，可由ABC≌CDA得到，而由已知條件AB＝CD，BC＝DA，AE＝CF不難得到ABC≌CDA。這樣問題就解決了。

7．辯證思想

篇7

一、要關(guān)愛學(xué)生，注重情感教學(xué)

關(guān)愛學(xué)生本是教師的天職，作為一名教師，首先對學(xué)生要關(guān)愛，對教學(xué)要負責. 尤其對后進生，他們大多數(shù)不知自己為何而學(xué)，學(xué)什么，怎么學(xué)，學(xué)有何用. 所以，教師對后進生的數(shù)學(xué)教學(xué)轉(zhuǎn)化，就要讓學(xué)生明白自己為什么學(xué)，怎樣才能喜歡數(shù)學(xué). 這不是一句話就能解決的問題，首先要告訴學(xué)生，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為了用數(shù)學(xué)知識來解決我們生活中的問題，要在教學(xué)中設(shè)置一些與生活密切相關(guān)的問題，將數(shù)學(xué)知識技能訓(xùn)練“生活化”，訓(xùn)練著眼于學(xué)以致用，訓(xùn)練材料應(yīng)盡可能來自生活，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激起學(xué)生解決問題的欲望. 這樣一來，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會逐步產(chǎn)生興趣，再加上教師關(guān)愛學(xué)生，耐心教學(xué)，就會讓“愛”在其中，讓學(xué)生喜歡“你”，跟“你”走，最終達成互動教學(xué).

二、語言要和藹，情趣教學(xué)很重要

教學(xué)時，要想讓“后進生”靜下來聽課，不是件容易的事，讓學(xué)生靜下來又要讓學(xué)生集中注意力，更難. 但有一種教學(xué)可以消除這兩個障礙――幽默教學(xué). 數(shù)學(xué)后進生，大多數(shù)也是玩出頭的學(xué)生，他們對教師的語言態(tài)勢教學(xué)特別敏感，對態(tài)度和藹、語言幽默的教師特別喜歡. 態(tài)度和藹，語言幽默可以集中學(xué)生的注意力，消除學(xué)生的畏懼感，積極調(diào)動學(xué)生的聽課興趣. 如在公理“兩點間，線段最短”教學(xué)時，先講述“愚公移山”的故事，再提問“愚公移山”在開路之中用到了什么數(shù)學(xué)知識. 在故事中教學(xué)，這樣就會讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中感受興趣，學(xué)而不倦.

三、創(chuàng)設(shè)問題，激發(fā)思維

課堂提問是組織課堂教學(xué)的重要手段，是實施啟發(fā)式教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié). 一個好的提問，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能迅速集中學(xué)生的注意力，啟迪思維，開發(fā)智力. 著名數(shù)學(xué)家波利亞指出：“盡量通過問題的選擇、提法和安排激發(fā)讀者，喚起他處理各種各樣的研究對象.”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些學(xué)生接受快，有些接受慢，因此，對于不同層次的學(xué)生，要選擇深淺不同的問題，這樣可以較好地發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，調(diào)動學(xué)生參與課堂教學(xué)的積極性，提高教學(xué)效果. 現(xiàn)在的初中數(shù)學(xué)教材添加了一些趣味內(nèi)容“想一想”與“談一談”等欄目，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容改革之一，這是有意加強了數(shù)學(xué)知識和趣味數(shù)學(xué). 它對求知欲旺盛的學(xué)生具有較強的誘惑力，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的聯(lián)系，也培養(yǎng)了學(xué)生閱讀、動腦、觀察、想象的思維能力. 事實證明，穿插于課堂的趣味教學(xué)，不僅能滿足學(xué)生的求知欲，還能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性.

四、要大膽鼓勵學(xué)生，讓每一個人都有成功的一刻

每個后進生的智力、身心發(fā)展，每一個人對知識的需求都有所不同，這就需要教師“因材施教”. 教師要尊重每個“后進生”的不同知識需求，無論是堂上提問，還是巡堂輔導(dǎo)，都要在培“優(yōu)”轉(zhuǎn)“差”上下工夫，要充分引導(dǎo)學(xué)生，使差的學(xué)生向好的方向靠攏，好的學(xué)生向更高的層次發(fā)展，鼓勵個性發(fā)展，力求使每名學(xué)生的素質(zhì)在課堂上都得到應(yīng)有的提高，要大膽鼓勵學(xué)生，讓每一個人都有成功的一刻，讓他們都能夠看到自己的進步，增強自己的信心，這樣就有了提高成績的希望，轉(zhuǎn)差的課題也就有了良好的開端.

五、以舊帶新，化新為舊，喚起學(xué)困生學(xué)習(xí)欲望

在講授新內(nèi)容時，既要考慮數(shù)學(xué)知識本身的聯(lián)系，又要符合學(xué)生學(xué)習(xí)新內(nèi)容時的認知特點. 我們知道，數(shù)學(xué)知識邏輯性很強，課堂上教師適時鞏固舊知識，以舊帶新，化新為舊，做到新舊知識的連接，可讓學(xué)生對新知識的學(xué)習(xí)有個知識基礎(chǔ)，吸引學(xué)生的注意力，也給那些在課下沒有完成復(fù)習(xí)的學(xué)生一個復(fù)習(xí)的時間，不至于使一些后進生新舊知識連接不上，前后脫節(jié)，形成不了知識體系. 同時，學(xué)生的學(xué)是建立在原有基礎(chǔ)知識之上的. 因此，課前的小測、提問盡量用一些簡單而又有說明性的小題. 知識點復(fù)習(xí)到了，就排除了后進生的一些障礙，增強其學(xué)會新知識的信心.

有的老師在課上總強調(diào)“把新知識、新問題轉(zhuǎn)移到舊知識、舊問題當中去”. 這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時就不用死記硬背，容易消化. 例如講“分式方程”，先通過去分母轉(zhuǎn)化成帶括號方程，再去括號轉(zhuǎn)化成一般方程，再通過移項、合并同類項轉(zhuǎn)化成標準方程. 這樣學(xué)生就覺得和以前一樣，不感到陌生了. 但教師需要強調(diào)其與解一般方程之間的區(qū)別，如在去分母時，把不帶分母的項乘以公分母，去分母加小括號，驗根等. 初三的應(yīng)用題是學(xué)生頭疼的問題，一些學(xué)生對應(yīng)用題看都不看，若要告知他們初三應(yīng)用題和初二的解方程幾乎相同，有一部分人就來了興趣，就愿意看一看、想一想，結(jié)果就又多了一部分人參與答題，通常是在教師的點撥下，問題就解決了. 我在教學(xué)中就曾經(jīng)遇到過這樣的問題：

某校組織學(xué)生去距學(xué)校10 千米遠的烈士陵園掃墓，初中學(xué)生步行出發(fā)1小時后，高中學(xué)生騎車出發(fā)，反而比初中學(xué)生早到半個小時，騎車比步行每小時多走6千米，若騎車的速度是步行的2．5倍，求初中學(xué)生步行的速度.

篇8

【摘要】數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，在教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，能提高教學(xué)效果，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。初中數(shù)學(xué)思想和方法主要有：數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想、整體思想、化歸的思想、轉(zhuǎn)化思想、歸納思想、類比的思想、函數(shù)的思想、辯證思想、、方程與函數(shù)的思想方法。

一、   了解《數(shù)學(xué)新課標》要求，把握教學(xué)方法

1．新課標要求，滲透“層次”教學(xué)?！稊?shù)學(xué)新課標》對初中數(shù)學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想、方法劃分為三個層次，即“了解”、“理解”和“會應(yīng)用”。

2．從“方法”了解“思想”，用“思想”指導(dǎo)“方法”。 在初中數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)思想和方法，兩者之間很難分割，它們既相輔相成，又相互蘊含。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過對具體數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生逐步領(lǐng)略內(nèi)含于方法的數(shù)學(xué)思想；同時，數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)，又深化了數(shù)學(xué)方法的運用。

二、遵循認識規(guī)律，把握教學(xué)原則，實施創(chuàng)新教育

1．滲透“方法”，了解“思想”；2、訓(xùn)練“方法”，理解“思想”；3、掌握“方法”，運用“思想”；4、提煉“方法”，完善“思想”。

三、初中階段常見的幾種數(shù)學(xué)思想方法舉例說明

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)方法

【正文】

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，又是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。目前初中階段，主要數(shù)學(xué)思想方法有：數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想、整體思想、化歸的思想、轉(zhuǎn)化思想、歸納思想、類比的思想、函數(shù)的思想、辯證思想、、方程與函數(shù)的思想方法等。提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法，必須指導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住掌握數(shù)學(xué)思想方法，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)中的最重要的一環(huán)。在初中數(shù)學(xué)教材中集中了大量的優(yōu)秀例題和習(xí)題，它們所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法固然重要，但其蘊涵的數(shù)學(xué)思想?yún)s更顯重要，作為一線教師，要善于挖掘例題、習(xí)題的潛在功能。

九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)《新課程標準》中指出：教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。

新課程把數(shù)學(xué)思想、方法作為基礎(chǔ)知識的重要組成部分，在數(shù)學(xué)《新課程標準》中明確提出來，這不僅是課標體現(xiàn)義務(wù)教育性質(zhì)的重要表現(xiàn)，也是對學(xué)生實施創(chuàng)新教育、培訓(xùn)創(chuàng)新思維的重要保證。

一、 了解《數(shù)學(xué)新課標》要求，把握教學(xué)方法

所謂數(shù)學(xué)思想，就是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)認識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認識。所謂數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問題的根本程序，是數(shù)學(xué)思想的具體反映。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的行為。運用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種量的積累達到一定程序時就產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想。若把數(shù)學(xué)知識看作一幅構(gòu)思巧妙的藍圖而建筑起來的一座宏偉大廈，那么數(shù)學(xué)方法相當于建筑施工的手段，而這張藍圖就相當于數(shù)學(xué)思想。

1．新課標要求，滲透“層次”教學(xué)?！稊?shù)學(xué)新課標》對初中數(shù)學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想、方法劃分為三個層次，即“了解”、“理解”和“會應(yīng)用”。在教學(xué)中，要求學(xué)生“了解”數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數(shù)的思想等。這里需要說明的是，有些數(shù)學(xué)思想在《數(shù)學(xué)新課標》中并沒有明確提出來，比如：化歸思想是滲透在學(xué)習(xí)新知識和運用新知識解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉(zhuǎn)化的思想方法。

教師在整個教學(xué)過程中，不僅應(yīng)該使學(xué)生能夠領(lǐng)悟到這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，而且要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷追求新知，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題。在《數(shù)學(xué)新課標》中要求“了解”的方法有：分類法、類比法、反證法等。要求“理解”的或“會應(yīng)用”的方法有：待定系數(shù)法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等。在教學(xué)中，要認真把握好“了解”、“理解”、“會應(yīng)用”這三個層次。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會應(yīng)用”的層次，不然的話，學(xué)生初次接觸就會感到數(shù)學(xué)思想、方法抽象難懂，高深莫測，從而導(dǎo)致他們失去信心。如初中數(shù)學(xué)三年級上冊中明確提出“反證法”的教學(xué)思想，且揭示了運用“反證法”的一般步驟，但《數(shù)學(xué)新課標》只是把“反證法”定位在通過實例，“體會”反證法的含義的層次上，我們在教學(xué)中，應(yīng)牢牢地把握住這個“度”，千萬不能隨意拔高、加深。否則，教學(xué)效果將是得不償失。

2．從“方法”了解“思想”，用“思想”指導(dǎo)“方法”。關(guān)于初中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想和方法內(nèi)涵與外延，目前尚無公認的定義。其實，在初中數(shù)學(xué)中，許多數(shù)學(xué)思想和方法是一致的，兩者之間很難分割。它們既相輔相成，又相互蘊含。只是方法較具體，是實施有關(guān)思想的技術(shù)手段，而思想是屬于數(shù)學(xué)觀念一類的東西，比較抽象。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的理解和應(yīng)用，以達到對數(shù)學(xué)思想的了解，使數(shù)學(xué)思想與方法得到交融的有效方法。比如化歸思想，可以說是貫穿于整個初中階段的教學(xué)，具體表現(xiàn)為從未知到已知的轉(zhuǎn)化、一般到特殊的轉(zhuǎn)化、局部與整體的轉(zhuǎn)化，課本引入了許多數(shù)學(xué)方法，比如換元法，消元降次法、圖象法、待定系數(shù)法、配方法等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過對具體數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生逐步領(lǐng)略內(nèi)含于方法的數(shù)學(xué)思想；同時，數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)，又深化了數(shù)學(xué)方法的運用。這樣處置，使“方法”與“思想”珠聯(lián)璧合，將創(chuàng)新思維和創(chuàng)新精神寓于教學(xué)之中，教學(xué)才能卓有成效。

二、遵循認識規(guī)律，把握教學(xué)原則，實施創(chuàng)新教育

要達到《數(shù)學(xué)新課標》的基本要求，教學(xué)中應(yīng)遵循以下幾項原則：

1．滲透“方法”，了解“思想”。由于初中學(xué)生數(shù)學(xué)知識比較貧乏，抽象思維能力也較為薄弱，把數(shù)學(xué)思想、方法作為一門獨立的課程還缺乏應(yīng)有的基礎(chǔ)。因而只能將數(shù)學(xué)知識作為載體，把數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)滲透到數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中。教師要把握好滲透的契機，重視數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發(fā)展過程，解決問題和規(guī)律的概括過程，使學(xué)生在這些過程中展開思維，從而發(fā)展他們的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，形成獲取、發(fā)展新知識，運用新知識解決問題。忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識的結(jié)論，就必然失去滲透數(shù)學(xué)思想、方法的一次次良機。如北師大版初中數(shù)學(xué)七年級上冊課本《有理數(shù)》這一章，與原來部編教材相比，它少了一節(jié)──“有理數(shù)大小的比較”，而它的要求則貫穿在整章之中。在數(shù)軸教學(xué)之后，就引出了“在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，“正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)”。而兩個負數(shù)比較大小的全過程單獨地放在絕對值教學(xué)之后解決。教師在教學(xué)中應(yīng)把握住這個逐級滲透的原則，既使這一章節(jié)的重點突出，難點分散；又向?qū)W生滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)生易于接受。

在滲透數(shù)學(xué)思想、方法的過程中，教師要精心設(shè)計、有機結(jié)合，要有意識地潛移默化地啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊含于數(shù)學(xué)之中的種種數(shù)學(xué)思想方法，切忌生搬硬套，和盤托出，脫離實際等錯誤做法。比如，教學(xué)二次不等式解集時結(jié)合二次函數(shù)圖象來理解和記憶，總結(jié)歸納出解集在“兩根之間”、“兩根之外”，利用數(shù)形結(jié)合方法，從而比較順利地完成新舊知識的過渡。

2、訓(xùn)練“方法”，理解“思想”。數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容是相當豐富的，方法也有難有易。因此，必須分層次地進行滲透和教學(xué)。這就需要教師全面地熟悉初中三個年級的教材，鉆研教材，努力挖掘教材中進行數(shù)學(xué)思想、方法滲透的各種因素，對這些知識從思想方法的角度作認真分析，按照初中三個年級不同的年齡特征、知識掌握的程度、認知能力、理解能力和可接受性能力由淺入深，由易到難分層次地貫徹數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)。如在教學(xué)同底數(shù)冪的乘法時，引導(dǎo)學(xué)生先研究底數(shù)、指數(shù)為具體數(shù)的同底數(shù)冪的運算方法和運算結(jié)果，從而歸納出一般方法，在得出用a表示底數(shù)，用m、n表示指數(shù)的一般法則以后，再要求學(xué)生應(yīng)用一般法則來指導(dǎo)具體的運算。在整個教學(xué)中，教師分層次地滲透了歸納和演繹的數(shù)學(xué)方法，對學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣起重要作用。

3、掌握“方法”，運用“思想”。數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)要經(jīng)過聽講、復(fù)習(xí)、做習(xí)題等才能掌握和鞏固。數(shù)學(xué)思想、方法的形成同樣有一個循序漸進的過程。只有經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練才能使學(xué)生真正領(lǐng)會。另外，使學(xué)生形成自覺運用數(shù)學(xué)思想方法的意識，必須建立起學(xué)生自我的“數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)”，這更需要一個反復(fù)訓(xùn)練、不斷完善的過程。比如，運用類比的數(shù)學(xué)方法，在新概念提出、新知識點的講授過程中，可以使學(xué)生易于理解和掌握。學(xué)習(xí)一次函數(shù)的時候，我們可以用乘法公式類比；在學(xué)次函數(shù)有關(guān)性質(zhì)時，我們可以和一元二次方程的根與系數(shù)性質(zhì)類比。通過多次重復(fù)性的演示，使學(xué)生真正理解、掌握類比的數(shù)學(xué)方法。

4、提煉“方法”，完善“思想”。教學(xué)中要適時恰當?shù)貙?shù)學(xué)方法給予提煉和概括，讓學(xué)生有明確的印象。由于數(shù)學(xué)思想、方法分散在各個不同部分，而同一問題又可以用不同的數(shù)學(xué)思想、方法來解決。因此，教師的概括、分析是十分重要的。教師還要有意識地培養(yǎng)學(xué)生自我提煉、揣摩概括數(shù)學(xué)思想方法的能力，這樣才能把數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)落在實處。

三、初中階段常見的幾種數(shù)學(xué)思想方法舉例說明。

如數(shù)形結(jié)合思想：數(shù)和式是問題的抽象和概括、圖形和圖像是問題的具體和直觀的反映。初中代數(shù)教材列方程解應(yīng)用題所選很多是采用了圖示法的例題，所以，教學(xué)過程中要充分利用圖形的直觀性和具體性，引導(dǎo)學(xué)生從圖形上發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系找出解決問題的突破口。學(xué)生掌握了這一思想要比掌握一個公式或一種具體方法更有價值，對解決問題更具有指導(dǎo)意義。

再如在講“圓與圓的位置關(guān)系”時，可自制圓形紙板，進行運動實驗，讓學(xué)生首先從形的角度認識圓與圓的位置關(guān)系，然后可激發(fā)學(xué)生積極主動探索兩圓的位置關(guān)系反映到數(shù)上有何特征。這種借助于形通過數(shù)的運算推理研究問題的數(shù)形結(jié)合思想，在教學(xué)中要不失時機地滲透；這樣不僅可提高學(xué)生的遷移思維能力，還可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力和多角度思考問題的習(xí)慣。

方程思想： 眾所周知，方程思想是初等代數(shù)思想方法的主體，應(yīng)用十分廣泛，可謂數(shù)學(xué)大廈基石之一，在眾多的數(shù)學(xué)思想中顯得十分重要。

所謂方程思想，主要是指建立方程(組)解決實際問題的思想方法。教材中大量出現(xiàn)這種思想方法，如列方程解應(yīng)用題，求函數(shù)解析式，利用根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系求字母系數(shù)的值等。

教學(xué)時，可有意識的引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系從而建立方程。如講“利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式”時，可啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)確定解析式的關(guān)鍵是求出各項系數(shù)，可把他們看成三個“未知量”告訴學(xué)生利用方程思想來解決，那學(xué)生就會自覺的去找三個等量關(guān)系建立方程組。在這里如果單講解題步驟，就會顯得呆板、僵硬，學(xué)生只知其然，不知其所以然。與此同時，還要注意滲透其他與方程思想有密切關(guān)系的數(shù)學(xué)思想，諸如換元，消元，降次，函數(shù)，化歸，整體，分類等思想，這樣可起到撥亮一盞燈，照亮一大片的作用。

篇9

關(guān)鍵詞：問題情境；教學(xué)時機；數(shù)學(xué)疑難問題；教學(xué)高效作用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）11-008-01

人類的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是人類思維的基礎(chǔ)。中學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科的教學(xué)均有基本，明確的教學(xué)要求，初中數(shù)學(xué)的學(xué)科教學(xué)性質(zhì)尤為明顯。義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點是促進學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地心智發(fā)展。它不僅要考慮初中數(shù)學(xué)自身的特點，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，重視從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中親身經(jīng)歷把實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，使學(xué)生在獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進步和發(fā)展。因此，初中數(shù)學(xué)教學(xué)就是幫助學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗去理解知識，解除疑惑，形成三維目標的思維過程，初中數(shù)學(xué)教師要懂得創(chuàng)造使數(shù)學(xué)問題解決得到積極高效進行的課堂環(huán)境，做到充分尊重學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生積極主動地去獲取掌握數(shù)學(xué)知識的解疑方法和進行教學(xué)解疑實踐。在師生共同探尋初中數(shù)學(xué)教學(xué)解疑的高效作用中以積極探索的態(tài)度，綜合應(yīng)用那些已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能，創(chuàng)造性地解決來自課堂或?qū)嶋H學(xué)習(xí)生活中的新問題，以期實現(xiàn)獲得自覺養(yǎng)成的數(shù)學(xué)解疑能力，創(chuàng)新能力和參與活動能力。

在新課程改革趨勢的大力推動下，初中數(shù)學(xué)教師的傳統(tǒng)教學(xué)觀念現(xiàn)已有明顯轉(zhuǎn)變，自覺地由題型教學(xué)逐漸轉(zhuǎn)向?qū)栴}情境的創(chuàng)建，學(xué)習(xí)情感的培養(yǎng)，學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)和學(xué)習(xí)策略的關(guān)注，把單純的培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的刺激反應(yīng)轉(zhuǎn)向?qū)W生積極思考、主動解疑的道路上來。如果說過去的教學(xué)行為是循規(guī)蹈矩，相應(yīng)的教師與學(xué)生課堂行為上的變化是不明顯，那么現(xiàn)在有了多樣化的教學(xué)活動的認知和評價，就能夠使教學(xué)行為向更理性和更高的水平上發(fā)展，實現(xiàn)高效作用。筆者在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中探索思考，認為教會學(xué)生解疑是學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)的核心價值所在，需要明確和運用以下這些教學(xué)問題與策略。

一、明確“教什么”，用好教材，創(chuàng)建問題情境，著眼于學(xué)生的知識框架和思維規(guī)律，把握好數(shù)學(xué)問題，把數(shù)學(xué)問題作為教學(xué)指揮中心。我們知道，初中數(shù)學(xué)教學(xué)要解決的不是那些尚未解決的難度大的數(shù)學(xué)問題，而是根據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識去再發(fā)現(xiàn)。透過從學(xué)生實際數(shù)學(xué)知識出發(fā)提出問題，根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)心理，思維障礙的顯現(xiàn)與成因的考慮，結(jié)合學(xué)生數(shù)學(xué)思考的即時狀態(tài)，讓學(xué)生明確產(chǎn)生問題的情境去引導(dǎo)學(xué)生走入研究存疑問題的氣氛之中，積極調(diào)動其知識儲備，思維特征，遷移能力和學(xué)習(xí)態(tài)度及方式，產(chǎn)生探求解疑的欲望和動機，進行有思維目的地思考活動。由此，學(xué)生把特定的數(shù)學(xué)問題確定為自己努力思考并攻克的方向，實現(xiàn)教學(xué)活動以一定的方法，在一定的解疑情境中進行，從而激發(fā)學(xué)生的解疑和創(chuàng)造熱情。不斷沖擊往常中已有認知結(jié)構(gòu)，不斷構(gòu)建出新的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)。

例：1、怎樣將一張三角形紙片剪成兩部分，使分成的兩部分能拼成一個平行四邊形？

解析：（1）剪一個三角形，記為ABC

（2）分別取AB、AC中點D、E，連接DE

（3）沿DE將ABC剪成兩部分，并將ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180°，得四邊形BCFD.

2、思考：四邊形BCFD是平行四邊形嗎？

3、探索新結(jié)論：若四邊形BCFD是平行四邊形，那么DE與BC有什么位置和數(shù)量關(guān)系呢？

通過一個有趣的動手操作問題入手，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，然后設(shè)置一連串的遞進問題，啟發(fā)學(xué)生逆向類比猜想：DE∥BC，DE= BC.引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識和生活經(jīng)驗出發(fā)，提出問題與學(xué)生共同探索、討論解決問題的方法，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用的過程，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識的意義。激發(fā)了學(xué)生的求知欲和好奇心，激起了學(xué)生探究活動的興趣。

此時，師生從共有的解疑體驗出發(fā)，聯(lián)系運用學(xué)生已有的認知水平，在闡述、解析數(shù)學(xué)知識過程中，通過精心的設(shè)計教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)策略，適時解疑，勾通學(xué)生的認知沖突，積極地引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)解疑的內(nèi)驅(qū)力，師生共同成為數(shù)學(xué)問題探究者 ，一起走入初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的高效活動中。這種解疑高效作用的第一步就是使學(xué)生有了數(shù)學(xué)解疑的極大熱情和對數(shù)學(xué)探索與導(dǎo)向作用，為他們備齊解疑的方向及數(shù)學(xué)知識遷移的方法，激發(fā)數(shù)學(xué)課堂的創(chuàng)造和進取精神。

二、選擇與找準合適的時機進行解疑活動，使數(shù)學(xué)解疑活動產(chǎn)生事半功倍的高效作用。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不可以一味地給學(xué)生制造疑難問題，教學(xué)過程中的數(shù)學(xué)疑難問題要能夠提供合適的時機給學(xué)生，嘗試建立數(shù)學(xué)解疑的機會，讓學(xué)生根據(jù)觀察和實驗的結(jié)果，嘗試運用合適地數(shù)學(xué)思想以及常見地歸納、類比的方法探尋解疑方向，再進行問題高效解決。在這樣數(shù)學(xué)的解疑過程中，學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)的積極性才能得到最大限度的激發(fā)和調(diào)動。在一堂精彩的初中數(shù)學(xué)課上，教師引導(dǎo)學(xué)生把知識和數(shù)學(xué)疑惑水到渠成地在合適的時機架起領(lǐng)悟的橋梁，僅靠例題解析是不夠的，要找準時機積極地拓展數(shù)學(xué)思維，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程充滿著觀察、實驗、推斷等探索性和挑戰(zhàn)性活動。教師要改變以例題、示范、講解為主的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生投入到探索與交流的學(xué)習(xí)活動中來。恰如珍珠落玉盤，玲瓏剔透，一目了然。正如《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》所述，尋找這種合適的時機關(guān)鍵在于全面了解，準確把握學(xué)生的理解范圍和能力范圍，要從學(xué)情出發(fā)，考慮教學(xué)的有效性、高效性。

例：解方程：

解析過程：

師：解這個方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一樣去分母？

師：同學(xué)們討論一下，能否通過類比的方法在方程兩邊同乘以什么樣的整式（或數(shù)），可以去掉分母？

生：乘以分式方程中所有分母的公分母。

師：這個分式方程的最簡公分母是什么？

生：

師生共析：方程兩邊同乘 得：

生：解方程得

師： 是上式整式方程的解嗎？是原分式方程的解嗎？為什么？

（同學(xué)們在小組內(nèi)討論，教師參與到學(xué)生的討論中，傾聽學(xué)生們的想法）

合作交流報告：在解分式方程時，我們在分式方程兩邊同乘以最簡公分母才得到整式方程，如果整式方程的根使最簡公分母的值為0，那么它就相當于分式方程的兩邊都乘以0，不符合等式變形的兩個基本性質(zhì)，得到整式方程的解，必然使分式方程中有的分母為0，也就不適應(yīng)原方程了，所以X=2不是原方程的根。

師生共析：產(chǎn)生增根的原因。

得出結(jié)論，為什么分式方程需要驗根。

本例是在學(xué)生學(xué)會解一元一次方程，并基本上了解分式方程的概念及解法的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過觀察、類比，在進行充分討論、交流，教師在結(jié)合學(xué)生的理解情況下給予指導(dǎo)補充，揭開解分式方程需要驗根的原因，使問題最終得到有效的解決。讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能力得到最大限度的提升。

因此，我們在解疑的活動中既要重視學(xué)生的參與程度，重視教學(xué)過程的情感化，又要考慮教學(xué)時機的產(chǎn)生，這樣不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，科學(xué)探索精神，而且可以使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗，建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信力，這對培養(yǎng)學(xué)生形成全面的獨立人格具有重要作用。教師在這個關(guān)鍵教學(xué)過程中應(yīng)該考慮以下幾個方面：

（1）明確樹立促進學(xué)生主動學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自覺習(xí)慣。只有充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，激發(fā)濃厚的學(xué)習(xí)興趣，才會形成積極的學(xué)習(xí)態(tài)度和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)出學(xué)生思維的靈活性長久性。如在教學(xué)“一元一次方程的應(yīng)用”時，我用了這樣一道情境題引入新課：（2009年山東濟寧中考題）請你閱讀下面的詩句“棲樹一群鴉，鴉樹不知數(shù)，三只棲一樹，五只沒去處，五只棲一樹，閑了一棵樹，請你仔細數(shù)，鴉樹各多少？”學(xué)生看到是一道詩句的應(yīng)用題，覺得很新穎一下子就來了興趣，這樣就可以牢牢吸引學(xué)生的注意力.在一個可以寬容的、民主的、支持性的數(shù)學(xué)課堂情境中，學(xué)生才會放飛思考、潛心思考、愉悅攻克困難。在這當中，教師要細致科學(xué)地鉆研把握教學(xué)內(nèi)容，研究學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律和知識水平，提出的數(shù)學(xué)問題要有一定的難度又是學(xué)生在其學(xué)習(xí)階段力所能及的，數(shù)學(xué)教師要學(xué)會把握時機走在學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的前面，注意適時、適度地創(chuàng)造問題情境，培養(yǎng)學(xué)生的解疑方向和能力。

（2）明確建立促進學(xué)生自主學(xué)習(xí)的尺度空間。數(shù)學(xué)教學(xué)過程因采用問題化的形式，教師要科學(xué)地根據(jù)學(xué)生的年齡特征，已有的認知結(jié)構(gòu)及學(xué)生的經(jīng)驗，生活出發(fā)，創(chuàng)建合適的問題情境，尋找合適的時機引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，分析、解決問題，使學(xué)生積極主動地去尋找解決數(shù)學(xué)問題的策略。為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)提供可持續(xù)的機會。在這尋找過程中，教師要多關(guān)注教學(xué)過程的漸近性和情境化，我們知道，人的認識過程是由淺入深、由易到難的漸近過程，因此學(xué)生在解決數(shù)學(xué)疑難時，以多形式多層次的課堂討論、問答、操作、演示等精彩的角色活動來夯實教學(xué)解疑過程。讓學(xué)生在自我實踐探索的過程中不斷地產(chǎn)生合適的解疑時機，培養(yǎng)出學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識和興趣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

（3）明確落實促進學(xué)生創(chuàng)新學(xué)習(xí)的能力發(fā)展。選擇合適的時機進行解疑其實質(zhì)是進行數(shù)學(xué)知識教學(xué)，在這過程中讓學(xué)生學(xué)會質(zhì)疑，善于發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和能力，使學(xué)生主動嘗試用數(shù)學(xué)知識和思想方法去尋求解決問題的途徑。比如，在講授“直角三角形”時，從折紙的過程中得到啟示，作了等腰三角形底邊上的中線或頂角的平分線，能夠證明出“等邊對等角”。個別學(xué)生提出是否也能通過作等腰三角形底邊上的高來證明？學(xué)生對這一問題產(chǎn)生了質(zhì)疑，質(zhì)疑點在于之前學(xué)習(xí)全等的時候知道沒有“SSA”這個定理。這時我鼓勵學(xué)生從不同的角度進行探索、分析，最終學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)“SSA”在一些特殊的情況下也是可能的，這為探究“HL”做鋪墊。這樣的探究、質(zhì)疑盡管不夠全面，甚至是錯誤的，但其中蘊含許多創(chuàng)新的火花。在數(shù)學(xué)疑難問題的設(shè)置和解決過程中，讓學(xué)生學(xué)會評價，敢于發(fā)表不同、獨特見解、方法；學(xué)會總結(jié)思考，敢于分析自身學(xué)習(xí)的不足、得失，探索出適合自己的學(xué)習(xí)規(guī)律。

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中有問題、有疑惑，這是師生共有的創(chuàng)造性活動。只有在師生共同的提出問題，解決問題過程中，以良好的問題情境尋找合適的解疑時機，養(yǎng)成數(shù)學(xué)的探索精神和創(chuàng)造品質(zhì)，感受數(shù)學(xué)美和快樂。讓學(xué)生有真正的數(shù)學(xué)眼光，引導(dǎo)學(xué)生從無到有，從少到多，從現(xiàn)象到本質(zhì)地發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，讓學(xué)生學(xué)會思考，不斷地提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

綜上所述，初中數(shù)學(xué)教學(xué)解疑活動是師生共有的創(chuàng)造性活動。講求教學(xué)內(nèi)容的選擇，需要對數(shù)學(xué)疑難問題做出分析：分析問題背景，找出問題與數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)；分析問題的步驟，需要師生共同的力量和智慧。學(xué)生自主分析疑難時，通過創(chuàng)設(shè)問題情境激發(fā)學(xué)生的求知欲望，使學(xué)生體驗和感受分析數(shù)學(xué)問題，教師在合適的時機給以必要的指導(dǎo)和點撥，用來控制初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難度和進度，提高解疑的效率，在數(shù)學(xué)教學(xué)解疑過程中，一定要強調(diào)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維與思想意識的培養(yǎng)和形成，把學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識和思想方法進行組合成思維橋梁。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)解疑過程中，是師生共同的一種高水平的思維活動，這一過程注重學(xué)生的主體過程，又重視教師的主導(dǎo)作用，二者相鋪相成。其高效作用就是使學(xué)生形成優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)思維與意識，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，合作意識和實際解決能力，通過解疑能使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識形成深入地，結(jié)構(gòu)化的理解，養(yǎng)成個人的、可以遷移的數(shù)學(xué)問題解決方法，進而產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成嚴謹、敏銳的科學(xué)精神和敢于拼搏的堅強信念。

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篇10

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué) 轉(zhuǎn)化思想 應(yīng)用

數(shù)學(xué)思想方法是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識,是素質(zhì)教育對初中數(shù)學(xué)教育的基本要求。初中數(shù)學(xué)的思想方法很多,如對應(yīng)思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等,但最活躍、最實用的是轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化就是把一個事物轉(zhuǎn)化為另一個事物或與之接近的、相關(guān)的事物。轉(zhuǎn)化的目的是分析問題和解決問題,轉(zhuǎn)化思想是辯證觀點的具體體現(xiàn),是數(shù)學(xué)解題的一種重要方法。

一、初中數(shù)學(xué)的思想轉(zhuǎn)化形式

1.語言轉(zhuǎn)化

語言轉(zhuǎn)化就是將語言的表達形式進行轉(zhuǎn)化。如將日常語言轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)語言;代數(shù)中應(yīng)用題文字等量關(guān)系和方程的轉(zhuǎn)化;基本規(guī)律(法則、公式、定律)與文字語言的轉(zhuǎn)化;幾何中圖形語言、符號語言和文字語言之間的相互轉(zhuǎn)化等。

2.類比轉(zhuǎn)化

類比轉(zhuǎn)化就是將對象轉(zhuǎn)為與之相似的對象。如分式的加、減、乘、除法則以及分式的通分、約分、基本性質(zhì),可類比轉(zhuǎn)化為分數(shù)的加、減、乘、除法則和分數(shù)的通分、約分、基本性質(zhì);整式因式分解概念類比轉(zhuǎn)化為無理式的因式分解概念;一元一次不等式的有關(guān)的概念和解法可轉(zhuǎn)化為一元一次方程的有關(guān)概念和解法,并強調(diào)異同點;有理數(shù)可轉(zhuǎn)化為算術(shù)數(shù),只注意符號和取絕對值等。

3.數(shù)形轉(zhuǎn)化

數(shù)形轉(zhuǎn)化就是在數(shù)字與圖形之間建立某種關(guān)系并相互轉(zhuǎn)化來解決問題。根據(jù)圖形可構(gòu)造方程;根據(jù)題意可構(gòu)造函數(shù);根據(jù)方程(或等式)可構(gòu)造圖形;函數(shù)圖象的平行移動與其解析式的變化;根據(jù)函數(shù)圖象研究其性質(zhì);一元二次方程、二次函數(shù)圖象、一元二次不等式之間的關(guān)系等。

4.分解轉(zhuǎn)化

分解轉(zhuǎn)化就是將綜合問題轉(zhuǎn)化成若干個相關(guān)的簡單的小問題。這樣的轉(zhuǎn)化一般在解決綜合性較強的問題時都會遇到。如分式運算轉(zhuǎn)化為因式分解,公因式,整式加、減、乘、除運算;因式分解的分組分解、拆項和補項;平面幾何解題中將一個復(fù)雜圖形分解為若干個基本圖形。

5.等價轉(zhuǎn)化

等價轉(zhuǎn)化就是將未知事物轉(zhuǎn)化為與之相當?shù)氖挛?。如除法轉(zhuǎn)化為乘法;減法轉(zhuǎn)化成加法開方轉(zhuǎn)化為乘方;多元方程轉(zhuǎn)化為一元方程;分式方程、無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程;平行線間的距離轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離代數(shù)、平面幾何、三角問題之間的轉(zhuǎn)化;圖形的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化等。

6.間接轉(zhuǎn)化

間接轉(zhuǎn)化就是通過間接方法解決問題。如列方程解應(yīng)用題的設(shè)間接未知數(shù);解方程中的換元法;平面幾何中的添加輔助線,逆推的萬法;從反面考慮問題的方法等。

二、思想轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1.已知與未知的轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)解題過程中,常量與變量、已知量與未知量不是絕對的,而是相對的。有時把數(shù)字看作未知、字母看作已知,能夠給解題帶來意想不到的效果。

2.特殊與一般的轉(zhuǎn)化

在解決帶有“任意”條件的數(shù)學(xué)問題時,采用特殊值法解題是非常準確而快速的。

3.多元與一元的轉(zhuǎn)化

解題時,恰當選定主元,可有效避開干擾因素,這是求多元代數(shù)式的值、分解多元高次多項式的常用方法。

轉(zhuǎn)化方法的種類繁多,方法多樣,具體解題時要由題目條件而定,因題而異,選擇最簡捷、最快速的轉(zhuǎn)化途徑。

4.相等與不等的轉(zhuǎn)化

三、思想轉(zhuǎn)化在教學(xué)中的滲透

1.注意轉(zhuǎn)化條件

思想轉(zhuǎn)化是有一定條件的,如除法轉(zhuǎn)化為乘法的條件是倒數(shù);減法轉(zhuǎn)化為加法的條件是相反數(shù);數(shù)形轉(zhuǎn)化的條件是直角坐標系等等。如果忽視了這些基本條件就會出問題。在教學(xué)中,教師首先要熟悉教材內(nèi)容,并做到心中有數(shù),明確轉(zhuǎn)化條件。其次讓學(xué)生明確和掌握“轉(zhuǎn)化是有條件的,條件是什么,應(yīng)該如何去創(chuàng)造條件”。

2.注意滲透,加強訓(xùn)練

在教學(xué)中,教師必須根據(jù)教學(xué)內(nèi)容,不斷地滲透轉(zhuǎn)化思想。滲透的原則是適時、適度、清晰、印象深刻。同時要注意將知識的學(xué)習(xí)和方法的運用結(jié)合起來,讓學(xué)生真正明確轉(zhuǎn)化是解決問題的有效方法。在解決具體問題時,要與已有的知識結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來。在日常的訓(xùn)練中要有針對性,要先易后難、先簡后繁,要把握轉(zhuǎn)化的不同形式,養(yǎng)成轉(zhuǎn)化的思維定勢,使學(xué)生在訓(xùn)練中體驗到通過思想轉(zhuǎn)化解題成功的喜悅,進而不斷體會和深化轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的作用和樂趣。

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