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1952年馬克威茲發(fā)表了一篇題為《投資組合選擇》的論文，成為現(xiàn)資組合理論的開山之作。該理論框架主要思想是將方差用于量化風(fēng)險，并以此為基礎(chǔ)建立風(fēng)險—收益分析框架。根據(jù)問題的特殊性，我們試圖找到一種解決途徑——貝葉斯分析方法。在該方法下，收益率的均值和方差等參數(shù)設(shè)置為隨機變量而非某個固定取值。投資者在做出投資決策時所使用的收益率的預(yù)測分布，也相應(yīng)地做出調(diào)整。因此，均值—方差模型的高敏感性，可以通過貝葉斯分析方法解決。在貝葉斯方法下，收益率的預(yù)測分布只依賴于歷史樣本數(shù)據(jù)，這使得模型的穩(wěn)健性得到提高。

一、傳統(tǒng)均值—方差模型及其局限性

(一)馬克威茲模型理論假設(shè)

首先，投資者依據(jù)某一持倉時間內(nèi)的證券收益的概率分布考慮投資選擇；其次，投資者根據(jù)證券的期望收益率估計組合的收益風(fēng)險；再次，投資決定僅依據(jù)證券的風(fēng)險和收益；最后，投資者是理性經(jīng)濟人，追逐利益最大風(fēng)險最小化。根據(jù)以上假設(shè)，馬克威茲確立了證券組合預(yù)期收益、風(fēng)險的計算方法和有效邊界理論，建立了資產(chǎn)優(yōu)化配置的均值—方差模型。

(二)目標函數(shù)分析

其中為組合收益，為第只股票的收益，為證券的投資比例，為組合總風(fēng)險，為兩個證券之間的協(xié)方差。上式表明，在限制條件下求解證券收益率使組合風(fēng)險最小，可通過Lagrange目標函數(shù)求得。其經(jīng)濟意義是：投資者預(yù)先給定期望收益，通過上式確定總風(fēng)險最小情況下，每個項目的投資比例。不同期望收益對應(yīng)不同最小方差組合，最終構(gòu)成最小方差集合。

(三)結(jié)論

通過上面模型，我們可以清楚地找出組合資產(chǎn)風(fēng)險的影響因素。更重要的是，馬克威茲得出了“資產(chǎn)的期望收益由其自身風(fēng)險的大小來決定”這一結(jié)論。在馬克威茲創(chuàng)建的“均值—方差”或“均值—標準差”二維投資機會集的有效邊界上將該結(jié)論闡述得很清楚，圖形如下：圖1均值—標準差二維投資機會集的有效邊界上面的有效邊界圖形揭示出：單個資產(chǎn)或組合資產(chǎn)的期望收益率由風(fēng)險測度指標標準差來決定：收益率與風(fēng)險成正比；風(fēng)險對收益的決定是非線性(二次)的雙曲線(或拋物線)形式，這一結(jié)論是基于投資者為風(fēng)險規(guī)避型這一假定而得出的。具體的風(fēng)險定價模型為：且為常量；表示個證券收益率的均值(期望)列向量，為資產(chǎn)組合的協(xié)方差矩陣，1表示分量為1的維列向量，上標表示向量(矩陣)轉(zhuǎn)置。

(四)理論局限

馬克威茲組合理論是一個投資主體多元化的理論，也是一個能夠分析如何有效地分散投資的分析框架。但在實際使用中，馬克威茲模型有一定的局限性和困難：

1.馬克威茲模型所需要的基本輸入包括證券的期望收益率、方差和兩兩證券之間的協(xié)方差；2.數(shù)據(jù)誤差帶來的解的不可靠性。3.解的不穩(wěn)定性。

二、貝葉斯分析方法簡介及其運用

(一)貝葉斯分析方法簡介

貝葉斯分析方法是基于貝葉斯定理而發(fā)展起來用于系統(tǒng)地闡述和解決統(tǒng)計問題的方法。貝葉斯分析的基本方法是將關(guān)于未知參數(shù)的先驗信息與樣本信息綜合，再根據(jù)貝葉斯定理，得出后驗信息，然后根據(jù)后驗信息去推斷未知參數(shù)。由Bayesian公式得：對兩個隨機變量,條件概率密度:故，在主觀概率論中其中：是的先驗概率密度函數(shù)。是出現(xiàn)時，的條件概率密度,又稱似然函數(shù)。是的邊緣密度，或稱預(yù)測密度。是觀察值為的后驗概率密度。

(二)編程改進

針對馬克威茲模型的局限性，我們利用R軟件進行編程，讓計算機代替人工手算。這可以大大減少工作量，且能降低錯誤率。

1.極大似然估計程序圖2極大似然估計算法程序展示

2.改進后的貝葉斯方法程序圖4貝葉斯算法程序展示在極大似然估計下所得出的結(jié)果要承擔(dān)估計風(fēng)險所引起的解的不可靠及不確定性。估計風(fēng)險來源于投資者在不知道確切的參數(shù)值時，為做出投資決策對非確切參數(shù)進行了估計，而估計誤差將會對投資組合帶來估計風(fēng)險。而在貝葉斯方法下，參數(shù)的取值并不是某一固定值，而是被看作隨機變量。收益率的預(yù)測分布只依賴于歷史樣本數(shù)據(jù)，大大降低了進行參數(shù)估計所帶來的估計誤差及風(fēng)險。當投資者關(guān)于風(fēng)險和收益具有先驗分布時，在觀察到歷史股票收益率之后，可以通過貝葉斯公式得到風(fēng)險和收益的后驗分布，然后計算出下一時刻股票收益率的權(quán)重。

三、數(shù)據(jù)統(tǒng)計及優(yōu)勢分析

(一)數(shù)據(jù)統(tǒng)計

為證明將貝葉斯分析方法與馬克威茲模型相結(jié)合后，所得結(jié)果將改善傳統(tǒng)模型解的不穩(wěn)定性，我們將用同一組數(shù)據(jù)分別用傳統(tǒng)算法程序、貝葉斯算法程序運行。

1.極大似然法程序分析結(jié)果圖5極大似然估計算法結(jié)果展示

2.貝葉斯方法程序分析結(jié)果圖6貝葉斯算法結(jié)果展示

(二)優(yōu)勢分析

1.計算機編程很好地解決了基本輸入量過大問題無論普通算法程序還是貝葉斯算法程序，都為我們節(jié)省了大量的運算時間，并提高了計算結(jié)果的準確性。兩個程序適合大量數(shù)據(jù)的運算。例如將上證十支股票2007-2010四年約10000個數(shù)據(jù)的收益率導(dǎo)入傳統(tǒng)均值—方差模型程序，運行時間為10小時，平均一分鐘運行循環(huán)語句三次。如果采用人工計算這10000個數(shù)據(jù)，再對所得的20000個結(jié)果進行加工，時間成本難以計算，且容易產(chǎn)生計算錯誤。由此可見，計算機程序確實有效地解決了基本輸入量過大的問題。

2.貝葉斯方法很好地改進了解的不可靠性馬克威茲模型解的不可靠性來源于投資者將未知的證券期望收益率、標準差及期望相關(guān)系數(shù)利用最大似然估計進行統(tǒng)計估計后作為已知數(shù)據(jù)代入模型，卻忽略由此所產(chǎn)生的估計誤差風(fēng)險。而貝葉斯方法并不依賴于以上數(shù)據(jù)，僅與歷史數(shù)據(jù)相關(guān)，且歷史數(shù)據(jù)恒定，故降低了估計誤差風(fēng)險，使得模型的解的可靠性得以提高。

3.貝葉斯方法有效地解決了解的不穩(wěn)定性在圖5、圖6兩組數(shù)據(jù)中，第1行數(shù)據(jù)表示10支股票的權(quán)重，其他行表示運用滑動平均計算所得結(jié)果。比較圖5與圖6的數(shù)據(jù)，我們不難發(fā)現(xiàn)，圖6的數(shù)據(jù)變化幅度小，基本處于恒定狀態(tài)，而圖5的數(shù)據(jù)經(jīng)常有跳躍性變化。例如用V9的第一行與第二行數(shù)據(jù)進行對比，圖6中，二者之差為0.3，圖5中，二者之差僅為0.05。這樣，我們可以得到結(jié)論：傳統(tǒng)均值—方差模型在實際應(yīng)用中對于資產(chǎn)收益率的期望和方差取值十分敏感，并且直接使用參數(shù)的估計值作為真實取值會產(chǎn)生估計風(fēng)險，使得投資決策處于非最優(yōu)狀態(tài)。我們提出的基于貝葉斯分析方法的均值—方差投資組合選擇方式，在進行投資決策時使用資產(chǎn)收益率的預(yù)測分布取代參數(shù)固定取值的概率分布，從而構(gòu)建了可以綜合考慮參數(shù)不確定性和估計風(fēng)險的分析框架。

我國股票市場的投資者(包括機構(gòu)投資者)在投資決策中主要應(yīng)用技術(shù)分析面和基本面進行分析，而這兩種分析方法都是注重單只證券，基本上忽略了證券收益的相關(guān)性。通過以上分析論述，貝葉斯方法有效地改善了馬克威茲模型的解的不可靠性及解的穩(wěn)定性，借助計算機軟件，我們找到了克服歷史樣本數(shù)據(jù)輸入量過大的解決方法。改進了以上三點馬克威茲模型的缺陷，使得該模型能夠順利地應(yīng)用于金融領(lǐng)域，切實有效地為投資者處理金融投資問題。