導(dǎo)語：馬克思擴(kuò)大再生產(chǎn)理論論文一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

【摘要】本文嘗試用數(shù)學(xué)方法來描述馬克思擴(kuò)大再生產(chǎn)規(guī)律。從擴(kuò)大再生產(chǎn)理論的一些假定出發(fā)，研究發(fā)現(xiàn)預(yù)付資本的增長率與利潤率、積累率成正比，兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)應(yīng)滿足增長速度相等的條件?？紤]到利潤率趨于下降的規(guī)律，建立資本增長存在著上限的logistic模型。最后證明了資本周轉(zhuǎn)與利潤率的關(guān)系。

【關(guān)鍵詞】擴(kuò)大再生產(chǎn)資本增長兩大部類

馬克思在《資本論》第一卷第七篇以及第二卷第三篇等篇章中，對剩余價值轉(zhuǎn)化為資本進(jìn)行擴(kuò)大再生產(chǎn)進(jìn)行了分析；在第三卷中對利潤率趨于下降的規(guī)律作出了分析。在此基礎(chǔ)上，本文試圖建立一個分析預(yù)付資本的增長方式的模型。

一、數(shù)學(xué)表述

馬克思在《資本論》中談到：“要積累，就必須要有一部分剩余產(chǎn)品轉(zhuǎn)化為資本?！奔僭O(shè)初始的情況是資本家先投入預(yù)付資本K，轉(zhuǎn)化為不變資本C和可變資本V，并得到剩余價值M。

設(shè)θ為資本家將一部分剩余價值M轉(zhuǎn)化為追加預(yù)付資本ΔK的積累率（剩余價值分為資本和收入的比例），即：

△K=θM（1）

又設(shè)資本價值構(gòu)成為λ=C/V，剩余價值率為m’，則：

K=C+V=（1+λ）V（2）

二、靜態(tài)分析

假設(shè)積累率?茲、資本構(gòu)成比率λ和剩余價值率m’是不變的，因而利潤率r也不變。則由（6）式，預(yù)付資本的增長率是不變的。

在離散變量的情況下，上述差分方程可以寫成：

Kn=（1+?茲r）Kn-1

它是一個等比數(shù)列，從而：Kn=K0（1+θr）n（7）

此處，n表示年份，取值為正整數(shù)。

則預(yù)付資本將以指數(shù)函數(shù)的形式增長：

K（t）=K0eθrt（8）

由以上公式，可以得到可變資本V、不變資本C及商品價值W的表達(dá)式：

Vn=V0（1+?茲r）n

Cn=C0（1+?茲r）n

Wn=W0（1+?茲r）n

或者

V（t）=V0eθrt

C（t）=C0eθrt

W（t）=W0eθrt

因此，預(yù)付資本K、可變資本V、不變資本C和產(chǎn)出W的增長率都等于?茲r。

《資本論》關(guān)于擴(kuò)大再生產(chǎn)分析給出了一個例子，其中第一部類有：

Ⅰ4000C+1000V+1000M=6000

有機(jī)構(gòu)成λ1=4，m’=100%，θ1=50%，可得r1=1/5，增長率為0.1。

三、兩大部類的積累和交換

在分析擴(kuò)大再生產(chǎn)時，馬克思提出了再生產(chǎn)的平衡條件和平衡公式：

I（V+M）=IIC+IΔC+IIΔC（9）

設(shè)第二部類的不變資本C2有如下函數(shù)：

C2=C02（1+θ2r2）n或C（t）=C02eθ2r2t（10）

根據(jù)（6）式和連續(xù)變量假設(shè)，條件（9）可改寫為：

（1+m1’-θ1r1λ1）V01eθ1r1t=C2+ΔC2（11）

因此，兩個部類的資本增長速度應(yīng)該是相等的，即：

θ1r1=θ2r2（12）

并且兩個部類的不變資本C、可變資本V和商品價值W等將保持固定比例：

四、動態(tài)分析

由（6）式可知，影響資本增長速度的因素主要是積累率和利潤率，而利潤率又是由剩余價值率和資本構(gòu)成決定的。在靜態(tài)分析中，假設(shè)資本構(gòu)成是不變的，從而資本的增長率固定。在動態(tài)分析中，資本構(gòu)成是變化的，因而利潤率以及資本增長率也是變化的。

“一旦資本主義制度的一般基礎(chǔ)奠定下來，在積累過程中就一定會出現(xiàn)一個時刻，那時社會勞動生產(chǎn)率的發(fā)展成為積累的最強(qiáng)有力的杠桿”?！吧鐣趧由a(chǎn)率的水平就表現(xiàn)在一個工人在一定時間內(nèi)，以同樣的勞動力強(qiáng)度使之轉(zhuǎn)化為產(chǎn)品的生產(chǎn)資料的相對量。工人用來進(jìn)行勞動的生產(chǎn)資料的量，隨著工人的勞動生產(chǎn)率的增長而增長”，即資本技術(shù)構(gòu)成的增加。

從上述分析中可知，隨著資本增長和資本構(gòu)成增加，根據(jù)第（5）式，利潤率將下降。

為此，假設(shè)利潤率與資本的數(shù)量負(fù)相關(guān)，用一階線性方程表示如下：

r=α-βK（13）

式中，α和β為常數(shù)，K為預(yù)付資本數(shù)量。

連續(xù)變量的情況下，根據(jù)第（6）式，并帶入第（13）式，可得資本增長率的方程：

五、周轉(zhuǎn)與利潤率

連續(xù)變量的情況下，預(yù)付資本將以指數(shù)函數(shù)的形式增長，如（8）式所示。其中，r為年利潤率，t為資本積累（或周轉(zhuǎn)）年數(shù)（t=0，1，2，…）。如果一年周轉(zhuǎn)一次的話（t=1），則一年之后預(yù)付資本為：K1=K0eθr。

如果預(yù)付資本在一年之中周轉(zhuǎn)n次（t=n），其利潤率為r’，則一年之后：K1=K0eθr’n。

因此，年利潤率r應(yīng)為利潤率r’的n倍，即：r=nr’。

六、結(jié)論

本文用數(shù)學(xué)方法來分析馬克思再生產(chǎn)理論，并建立了一個模型，該模型表明預(yù)付資本的增長率取決于積累率與利潤率之積。

在靜態(tài)條件下求解模型，得到資本增長的方式，并指出兩大部類在擴(kuò)大再生產(chǎn)過程中必須保持相同的增長率。因此利潤率高的部類其積累率應(yīng)低，而利潤率低的部類其積累率應(yīng)高。

考慮到利潤率隨資本數(shù)量增加而趨于下降的規(guī)律，通過負(fù)的線性方程的簡化假設(shè)，得出資本增長的Logistic模型。該模型表明，從長遠(yuǎn)來看，資本增長存在著某種極限。

最后，本文對資本周轉(zhuǎn)與利潤率的關(guān)系做了數(shù)學(xué)論證，一年周轉(zhuǎn)n次的資本，其年利潤率應(yīng)為利潤率的n倍。

（注：本文入選2007首屆中國政治經(jīng)濟(jì)學(xué)年會教師征文。）

【參考文獻(xiàn)】

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