導(dǎo)語(yǔ)：唯物主義思想分析論文一文來(lái)源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀(guān)點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢(xún)客服老師，歡迎參考。

【摘要】本文宗旨在于使“四色問(wèn)題”的證明更公理化、系統(tǒng)化、嚴(yán)密化和科學(xué)化。并把證明上升到辯論唯物主義即馬克思主義的辯證法哲學(xué)的高度，因?yàn)槲ㄎ镛q證法是辯證法思想發(fā)展的高級(jí)形態(tài)。(我們?cè)谧C明時(shí)用到了，對(duì)立統(tǒng)一即矛盾規(guī)律，量變到質(zhì)變的規(guī)律和否定之否定規(guī)律)同時(shí)為了說(shuō)明問(wèn)題也深入到現(xiàn)象與本質(zhì)的關(guān)系，因果關(guān)系，必然與偶然的關(guān)系以及時(shí)空觀(guān)等一系列的基本范疇。

我們更要指出在研究“四色問(wèn)題”的界的探討時(shí)的一個(gè)逼近序列就是以我們中華民族的漢字“田”字為基本單位而加倍展開(kāi)的沒(méi)有哪個(gè)國(guó)家或民族的文字中有“田”字。這就說(shuō)明中華民族的文明中早就蘊(yùn)藏著“四色問(wèn)題”的基本原理，只不過(guò)也吸收了別個(gè)國(guó)家的文明發(fā)揚(yáng)而光大之。

【關(guān)健詞】“四色問(wèn)題”“五色問(wèn)題”，貫穿曲線(xiàn)，歐拉(Euler)公式

Four-colorsolvetheproblem-thetextofdialecticalthinking

HuHanlin

【Abstract】Thisarticleaimstomake“four-colorproblem”provedtobemoreaxiomatic,systematic,rigorousandscientific.AndrosetothedebateprovedthattheMarxistmaterialistdialecticsofphilosophyandthehigh,becausethedevelopmentofdialecticalmaterialismisadialecticsofseniorformofthinking.(Weusecertificates,andtheunityofoppositesorcontradictionsinthelawofquantitativechangetoqualitativechangeinthelawandthelawofnegationofnegation)Toillustratetheproblematthesametimeintotherelationshipbetweenthephenomenonandessence,acausalrelationship,therelationshipbetweentheinevitableandaccidental,aswellasSpaceandTimeaseriesofbasicareassuchas.

Wealsowanttopointoutthatin“four-colorproblem”ofthecommunityanapproximationsequenceatthetimeoftheChinesenationisthecharacters“Tian”andthewordforthebasicunitofthevotetoredoubleWhichcountryornationintheText“field”word.ThisshowsthatthecivilizationoftheChinesenationhaslongbeenhiddenina“four-colorproblem”ofthebasicprinciples,butalsoabsorbedinothercivilizedcountrieshavemadeYangoftheChinaEverbright.

【Keywords】“four-colorproblem”;“coloredproblem”;throughoutthecurve;Euler(Euler)equation多元一次不定方程，多元一次齊次不定方程，非負(fù)整數(shù)解，容斥原理、匹配原理，藕合問(wèn)題、錯(cuò)位問(wèn)題。

我們這里研究的“四色問(wèn)題”是屬于數(shù)學(xué)科學(xué)，和其它自然科學(xué)一樣，從問(wèn)題的提出到問(wèn)題的解決恰恰是一個(gè)在人類(lèi)認(rèn)識(shí)論中的一個(gè)飛躍，使人類(lèi)的智慧又上一新臺(tái)階，解決一個(gè)世界性難題(或猜測(cè))當(dāng)然更是如此。談到人類(lèi)的智慧，笛卡爾認(rèn)為哲學(xué)一詞就是關(guān)于人類(lèi)智慧的研究。而辯證法是關(guān)于普遍聯(lián)系和發(fā)展的哲學(xué)學(xué)說(shuō)(源出希臘語(yǔ)dialego意為談話(huà)，論戰(zhàn)的技巧)，后指和形而上學(xué)相對(duì)立的世界觀(guān)和方法論。為了使我們對(duì)“四色問(wèn)題”的研究更公理化、系統(tǒng)化、嚴(yán)密化和科學(xué)化。我們?cè)僖M(jìn)一個(gè)馬克思主義基礎(chǔ)理論中的什么是“客觀(guān)真理”，客觀(guān)真理是人的認(rèn)識(shí)所正確反映的不依賴(lài)人們意志為轉(zhuǎn)移的客觀(guān)內(nèi)容。再我們講：唯物辯證法即“馬克思主義辯證法”是以自然界，人類(lèi)社會(huì)和思維發(fā)展最一般規(guī)律的研究對(duì)象。是辯證法思想發(fā)展的高級(jí)形態(tài)。

有了以上馬克思主義的基本常識(shí)才開(kāi)始研究“四色問(wèn)題”。

我們研究“四色問(wèn)題”是從引進(jìn)“貫穿曲線(xiàn)”后的“基本思想”開(kāi)始的，而開(kāi)頭引出三個(gè)客觀(guān)真理：Ⅰ．Ⅱ．Ⅲ．(即公理Ⅰ．Ⅱ．Ⅲ)

客觀(guān)真理是人的認(rèn)識(shí)所正確反映的不依賴(lài)人們意志為轉(zhuǎn)移的客觀(guān)內(nèi)容：正如恩格斯說(shuō)：“拿破侖死于1821年5月5日”就是客觀(guān)真理。

則預(yù)備知識(shí)1、只需要對(duì)在任一頂點(diǎn)相交的國(guó)家都不多余三個(gè)的地圖作證明。因?yàn)槿粼谀骋粋€(gè)點(diǎn)相交的國(guó)家超過(guò)三個(gè)如下圖1、那么我們就可以別作一新地圖除了圍繞頂點(diǎn)的小國(guó)家外和原圖一樣，這點(diǎn)對(duì)于任何地圖都可以這樣處理，(所以是正確反映不依賴(lài)于人們意志為轉(zhuǎn)移的客觀(guān)內(nèi)容。)那這個(gè)新地圖比原圖多一個(gè)國(guó)家的若干個(gè)頂點(diǎn)。但在頂點(diǎn)只有三個(gè)國(guó)家，相交的多余三個(gè)國(guó)家相交的點(diǎn)都被除掉了。如果對(duì)于每一個(gè)相交的多余三個(gè)國(guó)家的頂點(diǎn)都這樣做，那么最后就有一張沒(méi)有任何這種點(diǎn)新圖。現(xiàn)在，如果我們注明了四色對(duì)于這種圖就是足夠了。(以后我們把國(guó)家改稱(chēng)為某區(qū)域)這就是我們的客觀(guān)真理I(公理Ⅰ)（圖1）

圖1再在“四色”的地圖(這里可染色的意思，是指沒(méi)有2個(gè)有共同邊界的國(guó)家是同一種顏色，但是只在角頂點(diǎn)相交的國(guó)家可以有同一種顏色，而且作為國(guó)家，我們是指連成一片的陸地，而不是由幾個(gè)分離部分組成的政治單位。

貫穿曲線(xiàn)的定義：一次(或二次)性通過(guò)區(qū)域的兩個(gè)邊界的封閉曲線(xiàn)“貫穿曲線(xiàn)”可色含于一個(gè)或多個(gè)區(qū)域的子域內(nèi)構(gòu)成一個(gè)環(huán)(貫穿曲線(xiàn)用虛線(xiàn)表示)直到目前為此還沒(méi)有人能舉出一反例這種曲線(xiàn)作不出。所以是能正確反映不依賴(lài)于人的意志的轉(zhuǎn)發(fā)轉(zhuǎn)移的客觀(guān)內(nèi)容。這就是我們的客觀(guān)真理Ⅱ（公理Ⅱ)。

我們?cè)賮?lái)談一下“四色問(wèn)題”證明的“基本思想”，首先談“思想”?！耙环N思想”在馬克思看來(lái)“即使是黑暗地獄中囚徒的思想比天堂的奇跡還更崇高?！边@里講到的囚徒不外乎是奴隸和無(wú)產(chǎn)階級(jí)即是一無(wú)所有的勞動(dòng)者吧，又…在馬克思看來(lái)科學(xué)是一種在歷史上起推動(dòng)作用的革命力量。任何一門(mén)理論科學(xué)中的每一個(gè)新的發(fā)現(xiàn)(即新的思想)——它的實(shí)際應(yīng)用圖2也許還根本無(wú)法預(yù)見(jiàn)，都使馬克思感到衷心喜悅。(怡然心悅)

(摘自：“恩格斯在馬克思墓前演說(shuō)”)而我創(chuàng)立的“貫穿曲線(xiàn)”的概念和方法就是在“拓?fù)鋵W(xué)”“圖論”和“組合數(shù)學(xué)”等中的新思想和新發(fā)現(xiàn)的方法，現(xiàn)在就談?wù)劇八纳珕?wèn)題徹底解決”的新思想和新方法，理論的基本思想：我們先假定a、b、c、d、e為五種不同的顏色。如圖2、一“貫穿曲線(xiàn)”它穿過(guò)的一串與周邊相鄰的是封閉環(huán)狀區(qū)域，這些區(qū)域圍繞著一個(gè)或多個(gè)區(qū)域?yàn)橹行?，環(huán)繞著它們的區(qū)域的顏色為底色，中心區(qū)域中總有一個(gè)子區(qū)域的顏色與底色b同色。因?yàn)橛梦迳梢宰饔蟹直婺芰Φ牡貓D見(jiàn)(4)，若假定底色是b，則“貫穿曲線(xiàn)”穿過(guò)的封閉環(huán)狀區(qū)域的每個(gè)相鄰的區(qū)域不同色(否則難以作出五色圖，我們?cè)谶@里所說(shuō)難以作出有五色圖是指我們作出了五色圖之后因上面若假設(shè)中心區(qū)域不含底色b的五色圖，我們只要將底色b置換中心區(qū)域中的e色的子區(qū)域很快地得到四色圖。因?yàn)樵摰貓D中沒(méi)有e色)故在被上述的封閉環(huán)狀區(qū)域間開(kāi)。而這些區(qū)域只須a、c兩色，至多用a、c或d三色染色。＊1這里邊有一個(gè)說(shuō)明，(作“貫穿曲線(xiàn)”后)的封閉環(huán)狀區(qū)域的的子域個(gè)數(shù)為N，則1、N三0(mod2)才可能用a、c兩色，這時(shí)因?yàn)橹挥胊、c兩色，故a、c兩色在封閉環(huán)狀區(qū)域中出現(xiàn)概率密度太大。我對(duì)許多地圖進(jìn)行了這樣的染色很難作出四色圖！2、N三1(mod2)則一是要用a、c、d三色染色，3、N三0(mod6)也應(yīng)該用a、c、d三色染色，參見(jiàn)五色作圖的證明中最關(guān)鍵的一個(gè)圖(e)。

圖3(e)圖4它有二層封閉環(huán)狀子域，外層的五個(gè)子域5三1(mod2)是用a、c、d三色染色而在內(nèi)一層封閉環(huán)狀子域的也是五個(gè)子域，5三1(mod2)是用b、c、d三色染色故我們?cè)谧x書(shū)時(shí)在這點(diǎn)問(wèn)題上要仔細(xì)和慎之又慎啊!我們?cè)俜秩N情況加以說(shuō)明(討論)一、中心區(qū)域中至少有一色為b，而不含e，這樣就把五色問(wèn)題改為了四色(見(jiàn)圖2)。二、如果中心部分包含e、而不含b(見(jiàn)上＊1的一個(gè)說(shuō)明)則中心區(qū)域的第五色e改為b(見(jiàn)圖4)則完成四色作圖。三、如果中心部分色含b又包含e，則若e不與b相鄰改b，若e與b相鄰e改為a或c或d(圖3)，一、二兩種情況顯然可證明，“四色問(wèn)題”的結(jié)論。下面三(情況)為什么可經(jīng)過(guò)上面的置換可得“四色問(wèn)題”徹底(證明)解決呢?這也是問(wèn)題的癥結(jié)所在。即矛盾所在。根據(jù)馬克思主義的

唯物辯證法事物的內(nèi)在矛盾是事物發(fā)展的動(dòng)力?，F(xiàn)在來(lái)看我們創(chuàng)立的“貫穿曲線(xiàn)”的理論是怎樣解決這一矛盾的。

首先我們應(yīng)該指出證明用的是形式邏輯學(xué)中的簡(jiǎn)接證法(簡(jiǎn)接證法分兩種方法:①是反證法;②是同一法)。我們的證明是用反證法。何為反證法，是證明命題的等效命題是正確的(即逆否命題是正確的)指戰(zhàn)略上的方法：因?yàn)樽C明“四色問(wèn)題”與證明“五色定理”不但方法相似，而且要用到“五色定理”所以用現(xiàn)有的基本定理和公理先證明一下“五色定理”。與之對(duì)應(yīng)的，在戰(zhàn)術(shù)上有五種具體的方法：由否定結(jié)論ABC而C不合理，或與本科公理抵觸；或與前此定理不相容；或與本題己知條件沖突；或與臨時(shí)性假設(shè)違背；或自相矛盾。我們選擇即與前此定理不相容(即與五色定理矛盾)

再看在引進(jìn)“貫穿曲線(xiàn)”后在復(fù)原圖形的過(guò)程中后來(lái)的圖形與原來(lái)的圖形在四色的性質(zhì)保持不變，因?yàn)?i)將“貫穿曲線(xiàn)”向四方擴(kuò)張，直到圖形邊界為止，其實(shí)這就是拓?fù)鋵W(xué)中的同胚變換（homeomorphism)即拓?fù)渥儞Q。(ii)經(jīng)過(guò)區(qū)域的顏色與“貫穿曲線(xiàn)”每段的內(nèi)側(cè)顏色相同。故這樣一來(lái)貫穿曲線(xiàn)的內(nèi)側(cè)的顏色，①使相鄰的兩子域不同色，②又是構(gòu)成一個(gè)封閉的環(huán)狀圖這樣一來(lái)復(fù)原圖形后和原圖形一樣，不但沒(méi)有增加任何顏色，而且保持仍是四色(即只要四種顏色就可以作出可分辨的地圖就與以上圖(e)一樣)迄今為止還沒(méi)有一個(gè)人，對(duì)圖(e)作出“貫穿曲線(xiàn)”后再用上法復(fù)原圖形會(huì)得不出原地圖和四色圖來(lái)。所以是不能正確反映不依賴(lài)于人們意志為轉(zhuǎn)移的客觀(guān)(內(nèi)容)即方法!這就是我們的客觀(guān)真理III(公理III)有了上面所述的內(nèi)容我們羅列一下公理和引進(jìn)“貫穿曲線(xiàn)”后的“基本思想”和有關(guān)定理。

三個(gè)客觀(guān)真理Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，即公理(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)。

定理1，歐拉(Euler)公式[4]V+F-E=2(1)且注意V、F、E均為非負(fù)整數(shù)。

定理2，[2]關(guān)于多元一次，不定方程

a1x1+a2x2+……+anxn=N(2)

其中a1，a2，……，an，N均都是整數(shù)，n≥2并且不失一般性我們可以假定a1，a2，……，an均不為零，則(2)式有整數(shù)解的充分與必要條件是(a1，a2，……，an)=d｜N，即(a1，a2，……，an)｜N系1、若在(2)中含a1=n，a2=n-1，……，an=1N≥0(且n≥2)

則(2)1nx1+(n-1)x2+……2xn-1+xn=N

因d=(n、n-1……1)=1符合有解充要條件

所以d｜N故(2)是有非負(fù)整數(shù)解

系2、若N=0(2)’變?yōu)橐淮锡R次不定方程n≥2

nx1+(n-1)x2+……2xn-1xn=0故只有零解，x1=0，x2=0，x3=0……xn=0

回顧一下“五色”和“四色”的證明(這里a1>0，a2>0，……ai>0，i=4，N=12>0)

“五色”證明：由3V=2e和2e=2f2+3f3+4f4+5f5+6f6+……

很容易得出4f2+3f3+2f4+f5=12+f7+2f8+…(3)

參見(jiàn)[4]M且4f2+3f3+4f4+f5=12(3)’

若f6≠0f2=3,f3=0,f4=0,f5=0

f2=0,f3=4,f4=0,f5=0

f2=0,f3=0,f4=6,f5=0

f2=3,f3=0,f4=0,f5=12

四個(gè)數(shù)組均不為，多元一次不定方程(3)’的非負(fù)整數(shù)解且12>0但據(jù)定理2的系1d=(4、3、2、1)=1所以，d｜12，則(1)’一定有解、矛盾!這是第一次否定，至少肯定得出有一個(gè)地圖的邊界的頂點(diǎn)數(shù)少于6。

“四色”證明由3V+4V＝2（e+3V）=2E

和2e=2f2+3f3+4f4+5f5+6f6+……

及F=f2+f3+(f4+V)+f5+f6+……

很容易得出

4V+4f2+3f3+2f4+f5=12+f7+2f8+……(4)

且4V+4f2+3f3+2f4+f5=12(4)

則(4）”是多元一次不定方程1<V≤3

若令V＝3（4）”變成了4f2+3f3+2f4+f5=0即變成了多元一次齊次不定方程

根據(jù)定理2的系2則d=(4、3、2、1）＝1所以d｜0一定有解（非負(fù)整數(shù)解)且N＝0只有零解則f2=0,f3=0,f4=0,f5=0

作貫穿曲線(xiàn)后仍是一個(gè)地圖f5≠0但若故0＋0＋0＋f5≠0矛盾！

這是第二次否定！至少得到肯定得出有一個(gè)地圖的邊界上的頂點(diǎn)數(shù)少于5。

這第二次否定：①我們否定f6≠0,所以解f6=0；②我們又否定f≠0,這二次否定即辯證唯物主義的第三個(gè)規(guī)律：否定之否定定律，是不是終而復(fù)始呢！恰恰相反是螺旋上升，由只要5色，減少到只要四色，觀(guān)點(diǎn)更高了，達(dá)到肯定四色結(jié)論的正確，便能使客觀(guān)自然的地圖染色規(guī)律與我們主觀(guān)認(rèn)識(shí)由基本(近似)符合到完全符合。簡(jiǎn)言之我們?nèi)祟?lèi)的認(rèn)識(shí)由必然王國(guó)到自由王國(guó)至少是在地圖染色問(wèn)題上是這樣。

因?yàn)橐唬也皇窍氪蹬踝约?，盡跟一些著名的科學(xué)家匹美二，我也不是穿鑿附會(huì)，恩格斯在“馬克思墓前演說(shuō)”中說(shuō)過(guò)……馬克思還發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代資本主義生產(chǎn)方式和它所產(chǎn)生的資產(chǎn)階級(jí)社會(huì)的特殊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。由于剩余價(jià)值的發(fā)現(xiàn)，使之就豁然開(kāi)朗了起來(lái)，而先前無(wú)論資產(chǎn)階級(jí)的資產(chǎn)經(jīng)濟(jì)學(xué)家或者社會(huì)主義批評(píng)家所做的一切研究都只是在黑暗中摸索。

我在研究“四色問(wèn)題”中引進(jìn)地圖的“貫穿曲線(xiàn)”的概念，也使之“四色問(wèn)題”的研究豁然開(kāi)朗起來(lái)。用與證明“五色問(wèn)題”極其相似的方法徹底證明了“四色問(wèn)題”。在這之前的理論數(shù)學(xué)家和計(jì)算數(shù)學(xué)家都是在黑暗中摸索而已。在1976年和1977年美國(guó)的兩位計(jì)算數(shù)學(xué)家阿佩爾和哈肯，用電子計(jì)算機(jī)對(duì)“四色問(wèn)題”進(jìn)行了證明，但受到世界上一些數(shù)學(xué)家這樣或那樣的非議，暫且不談，有一點(diǎn)是可以肯定的，是人類(lèi)開(kāi)始用電子計(jì)算機(jī)證明世界難題獲得了一定成就。但還有一點(diǎn)，早在中世紀(jì)的歐洲常將邏輯稱(chēng)為辯證法，經(jīng)院哲學(xué)將辯法變成環(huán)瑣的論證和詭辯。所以我們可以這樣說(shuō)(從哲學(xué)的角度)環(huán)瑣的論證，就可稱(chēng)為環(huán)瑣哲學(xué)或經(jīng)院哲學(xué)，這意味著人類(lèi)智慧的倒退。

牛頓說(shuō)過(guò)：“如果我所見(jiàn)的比笛卡爾遠(yuǎn)一點(diǎn)，那是因?yàn)槲艺驹诰奕藗兊募缟系木壒??！迸ｎD的這句話(huà)蘊(yùn)藏著很深刻的必然和偶然的關(guān)系，原因與結(jié)果的關(guān)系，再就是時(shí)間和空間(時(shí)空觀(guān))等一系列基本范疇。因?yàn)榕ｎD處在英國(guó)(伊麗紗白女皇)正是資本主義的上升時(shí)代，而英國(guó)當(dāng)時(shí)是最發(fā)達(dá)的資本主義國(guó)家。他站在那些巨人的肩上，無(wú)外乎指笛卡爾(descartes1596－1650)德國(guó)，費(fèi)爾馬(Fermat1601—1665)法國(guó)，萊布尼茲(Leibniz1646－1716)德國(guó)，歐拉(Euler1707－1783)瑞士等數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家和天文學(xué)家等科學(xué)家的基礎(chǔ)上。牛頓這樣偉大的科學(xué)家當(dāng)然有他獨(dú)特的發(fā)現(xiàn)，但有些發(fā)現(xiàn)卻都是在他前面所說(shuō)的科學(xué)家的巨人的基礎(chǔ)上，看起來(lái)是偶然的結(jié)果但都有他必然性的原因。

同樣我為什么比牟比烏斯看得遠(yuǎn)一些，也是因?yàn)槲艺驹谝恍?shù)學(xué)家(巨匠)的基礎(chǔ)上，如歐拉(Eulerl1701－1783)瑞士，牟比烏斯（Mobius1790－1868)德國(guó)，希伍德(Sherwood)德國(guó)，西爾維斯特（Syevester1814－1897)英國(guó)，蒙特莫特(Montmorh)的基礎(chǔ)上，而西爾維斯特在組合數(shù)合中創(chuàng)立了“容斥原理”，這是計(jì)數(shù)法中一個(gè)重要原理，有了這個(gè)原理，和蒙特莫特，在1708年首先提出并解決了藕合問(wèn)題。才把組合數(shù)學(xué)中的“匹配”概念，藕合(或相親)(problemeclesrencontres)重排(derangement)亦稱(chēng)“(或錯(cuò)位”。等“藕合”A知“錯(cuò)位”B有關(guān)系：

S＝A∪B且A∩B中＝Φ所就有｜S｜=｜A｜+｜B｜。得

｜S｜－｜A｜=｜B｜＝n!-n!(1-11!+12!-……+(-1)n-11n！

故｜B｜=n!(12!-13!+……＋（－1）n1n!)=n1∑ni=0（-1）1i?。ê椭C地寫(xiě)為)

要知上面的公式怎樣得來(lái)的怎樣用在四色問(wèn)題上，下面作以下敘述：

問(wèn)題的提出?！八纳珕?wèn)題的徹底解決”一文，以后稱(chēng)文章[1]中得出的定理，在任意地圖都只須用四種顏色作圖的前提下，子區(qū)域?yàn)閚(即任意區(qū)域的子區(qū)域的個(gè)數(shù))的地圖必有一種四色的染圖1(1)色方法。

以我國(guó)2003年高考試題為例(理工醫(yī)農(nóng)類(lèi)(15)為例1，某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花園，花園分為6個(gè)部分(如圖1)，現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種且相鄰的部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有圖2120種(以數(shù)字作答)。

略解：P14P15P33=120即當(dāng)n=6時(shí)的條件下，有120種四色的染色方法。

例2，如圖2，下述的圖的染色方法有288種方法。

略解：P14P16P33P12=288

即n=7時(shí)的條件下有288種四色的染色方法等等。

也即是說(shuō)在子域個(gè)數(shù)為6或7…等等。有120種方法

、288種方法，…等等。也即有一百多種染包或二百多種染色的方法，…等等，而且都是有比較大數(shù)目的染色方法。

所以用四種顏色染色只須一種方法是一個(gè)必要條件，仿佛自然界有特大的浪費(fèi)，有幾百種，幾千種…甚至于更多的方法。都只要其中的一種就夠了。也就是說(shuō)，四色問(wèn)題是一個(gè)顯然可以也解決的問(wèn)題，而且須要方法對(duì)頭的話(huà)。

這里有一個(gè)聲明，即打招呼，也就是象計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)那樣，在圖論中我們往往把具有相同順序的排列視為一種排列(一種圖)，如作貫穿曲線(xiàn)形的環(huán)狀封閉區(qū)域尤其是這樣。但在四色問(wèn)題中，因?yàn)槭堑貓D，涉及到地翟的方位。故屬不同排列。如圖3

圖3不按環(huán)狀區(qū)域算，則有P44=24種，即在四色問(wèn)題中是這樣算的。

如果按環(huán)狀區(qū)域算，P44／4＝6種，而在圖論中是這樣算的。而我們以(3)，的方法為例，在解放前設(shè)a為紅色表解放區(qū)，b為綠色為國(guó)民黨統(tǒng)圖3（2）治下的白區(qū)，c為黃色(日寇占領(lǐng)區(qū))即淪陷區(qū)，d為白色東三省日偽區(qū)。

就只有這種地理位置的方位，任何一種環(huán)狀排列改變了它們的政治地理的位置而視為同一種圖實(shí)屬荒謬。

現(xiàn)在為了進(jìn)一步研究，在一個(gè)有n個(gè)子域的地圖，可用四種顏色染色的基礎(chǔ)上，到底有幾種染色的方法的界的問(wèn)題。我們引進(jìn)子域標(biāo)準(zhǔn)圖。為若干正方形方格。又設(shè)Cn＝B［4·2n-22］,如上6個(gè)區(qū)域和7個(gè)區(qū)域?yàn)?<6或7≤16，則B0（4）≤c′1或c′2≤B(16)c′1和c′2分別為6和7個(gè)子區(qū)域的用四色的染色方法數(shù))。即6個(gè)出區(qū)域和7全子區(qū)域時(shí)染色方法數(shù)的上、下界，當(dāng)然是4種顏色都出現(xiàn)的上下界問(wèn)題。引進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)趨近圖是一群若干個(gè)正方形方格。以“田”字為單位加倍展開(kāi)。

圖4……等等。C1=B0(4),C2=B(16),C3=B(64),C4=B(256),……,Ck=B[4·2k-2)2],…….

有了這些預(yù)備知識(shí)，我們轉(zhuǎn)而來(lái)研究：

（i)“容斥原理”(principleofinclusionandexclusion).

引理1容斥原理：把集合A分為子集A1，A2，…An即

A=A1∪A2∪…∪An,則：

｜A｜=｜A1∪A2∪…∪An｜=∑1≤i≤n｜Ai｜-∑1≤i≤j≤n｜Ai∩Aj｜+∑1≤i≤j≤k≤n｜A1∩Aj∩Ak｜+……+(-1)n｜A1∩A2∩……An(1)

證明見(jiàn)[2]

(ii)“耦合問(wèn)題”和“錯(cuò)位問(wèn)題”，也即“相遇問(wèn)題”（problemedesrencontres)和“更列”或“重排”問(wèn)題(derangement).

引理2和引理3，即耦合問(wèn)題和錯(cuò)位問(wèn)題。

有甲乙兩副紙牌，各有n張編號(hào)，自1至n的牌，把牌洗過(guò)，然后配成n對(duì)，每對(duì)甲乙牌各1張，如果同一對(duì)的兩張同號(hào)，就說(shuō)有1個(gè)相合。

（1）至少有一個(gè)相配的配牌方法有多少種？

（2）沒(méi)有相合的配牌方法有多少種？

設(shè)所有配牌方法的全體記為S，滿(mǎn)足(1)，（2）的配牌方法全體，依次為A,B。則有S=A∪B,A∩B=Φ。則

引理2（即耦合問(wèn)題）problemedesrencontres

｜A｜=c1n(n-1)!-c2n(n-2)!+c3n(n-3)!+…+(-1)n-1cnn!0

=(n!)(11!-12!+13!-14!+…+(-1)-11n!(2)

引理3（即錯(cuò)位問(wèn)題）derangement

｜B｜=(n!)(12?。?3！＋14?。?5?。ǎ?）n1n!)

（和諧地寫(xiě)為)＝n!∑ni=0（-1）i1i！（3）

證明見(jiàn)［3］和［4］

例3在8×8格的國(guó)際象棋盤(pán)中，用8種顏色染色，要使具有公共鄰邊的格子染上不同的顏色，并且使水平順序的每一格八種顏色都出現(xiàn)。問(wèn)有多少種染色方法？

見(jiàn)圖(4)3略解與提示：

分任意染色的方法為八步：第一層橫格染上各種顏色，第二層橫格染上各種顏色，……，第八層染上各種顏色。在第一步顯有8！種可能性，而后下列每步里可能性的種數(shù)用前面引理3即錯(cuò)位原理中的公式：

B（n)=(n!)(12!-13!+14!-15!+…+(-1)n1n!)

B（8)=(8!)(12!-13!+14!-15!+…+(-1)818!)=14833

故答案方法有C8=8!×148337種。

看來(lái)染色問(wèn)題中每一格代表一個(gè)區(qū)域，有多少子區(qū)域，類(lèi)同。而8種顏色的錯(cuò)位，即射映著4種顏色的相鄰的兩個(gè)子區(qū)域的不同色。即文章［1］中的附注*即有分辦能力的圖，指相鄰邊界的圖象，或區(qū)域染不同的顏色。這樣才構(gòu)思出Cn=B[(4×2n-2)2]（4）

情況1：用a,b,c,d四種顏色染色的問(wèn)題（對(duì)“田”字正方格的染色。

見(jiàn)圖(4)1n=1時(shí)，C1＝B0（4）＝B［(4×20)2］＝B(16）的計(jì)算為

B（42）＝4！B30（4）＝4！（4！∑4i=0(-1)ii!=4!×93=17496

情況3：在8×8正方格紙上用四種顏色，使每格與相鄰的格圖5不同色，用上面情況2，如下圖5,這是第一步，在位于右上角的4×4的一個(gè)正方形的子域上。

第二步將4個(gè)4×4的正方形格子，同步旋轉(zhuǎn)4下得到的圖形仍為每格與相鄰格不同色的四色圖

C3＝B［（4×2）2］＝B(64)=4B(16)=424!B30（4）

C4＝B［（4×2）2］＝B(256)=4B(64)=434!B30（4）

Cn＝B［（4×22n）2］＝B(22n)=4n-14!B30（4）

∵B0(4)=4!(4!∑4i=0×(-1)ii!)3=4!×93=17496

∴CN=∑nk=1Ck=4!B30(4)(1+4+42+……+4n-1)=17496∑k-1i=04i

（順便檢查一下后得到）定理在有N個(gè)子區(qū)域的地圖上N即在(4×2k-2)2<N<(4×2k-1)2。它的四色染色的方法數(shù)的上、下界可能是17496∑ki=04i≤CN≤17496∑k+1i=04i。

然而“四色問(wèn)題”的徹底證明就此畫(huà)上了一個(gè)圓滿(mǎn)的句號(hào)！正像在物理、化學(xué)……等自然科學(xué)中的定律或公式除了在理論上證明是正確的之外還要用實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)和核對(duì)是正確的。從正面我的在理論上是正確的外，還要從計(jì)算中計(jì)算出“四色問(wèn)題”是正確的如B(42)===B(16)=4！1B30(4)=4！(4！∑4i=0（－1）i1i!)3=4！×93=17496(種)即16塊子域可能有17496種四色的染色的方法，數(shù)學(xué)上的計(jì)算便是實(shí)踐上的檢驗(yàn)。正如周興龍教授與我合寫(xiě)的“超越數(shù)的哲學(xué)史話(huà)”一文也是從兩方面證明超越數(shù)的存在的：一方面是柳威爾(Liouville)1844年代數(shù)無(wú)理與超越無(wú)理數(shù)存在著區(qū)別的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)了一種超越數(shù)a110+a2102!+a3103!+……，其中ai是0到9之間的任意整數(shù)。另一方面康托(cantor1845-1918)從集論中發(fā)現(xiàn)代數(shù)無(wú)理數(shù)是一個(gè)可列集，故給了超越無(wú)理數(shù)在數(shù)軸上占一個(gè)相關(guān)大的空間，才證明了超越數(shù)的存在?！瓟?shù)學(xué)中這些。“四色問(wèn)題”，π，e是超越這些真理，有什么意義呢?我們用中世紀(jì)阿拉伯的醫(yī)學(xué)家、哲學(xué)家、自然科學(xué)家的伊本·西拿(ibnsina，980-1037)拉丁名阿維森納(Avicenna)曾這樣說(shuō)過(guò)(大意是)“……那些帝王將相和救世主們，隨著時(shí)間的推移化作歷史的塵埃吹得無(wú)影無(wú)蹤。而只有那永恒的真理和勞動(dòng)人民創(chuàng)造的績(jī)卻永受烈日的曝曬和疾風(fēng)的狂飚?！?/p>

詩(shī)歌二首

(一)贈(zèng)中科院科技情報(bào)中心《中國(guó)數(shù)學(xué)文摘》編輯部主任馮玉明同志

詩(shī)一首(七律)

悲痛欲絕送母歸，百感俱淡萬(wàn)念灰。

不忍目睹妻兒淚，就此作罷調(diào)頭回。

黨的召喚似春雷，中華兒女哪能退。

“四色問(wèn)題”徹底解，神州大地盡朝暉。

(二)《攻破“四色難題”有感》(七律)

華人學(xué)子好風(fēng)采，太平盛世樹(shù)英才。

錦濤書(shū)記來(lái)關(guān)懷，艱難險(xiǎn)阻只等閑。

“四色問(wèn)題”徹底解，人類(lèi)智慧上臺(tái)階。

歷盡磨艱論文在，千古絕唱中華來(lái)。參考文獻(xiàn)

［1］胡含琳《四色問(wèn)題的徹底解決》文中內(nèi)容的進(jìn)一步充實(shí)中國(guó)科學(xué)院國(guó)家科學(xué)圖書(shū)館，中國(guó)數(shù)學(xué)文摘［J］，2007年12月5日

[2]胡含琳《關(guān)于多元一次不定方程的行列式解決》中國(guó)科學(xué)院科技情報(bào)中心的中國(guó)數(shù)學(xué)文摘[J].1993年7卷5期19～20頁(yè)

[3]胡含琳《四色問(wèn)題界的探討》——“四色問(wèn)題徹底解決”一文續(xù)中國(guó)科學(xué)院文獻(xiàn)情報(bào)中心的《中國(guó)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)數(shù)據(jù)庫(kù)》光盤(pán)(2004版)上[J].

[4][德]漢斯·拉德梅徹，奧托·托普利茨著·左平譯.數(shù)學(xué)欣賞[M].北京出版社，1981年

[5]胡作弦.數(shù)學(xué)在你身邊[M].中國(guó)華僑出版社，1995年

[6]谷超豪.數(shù)學(xué)詞典[M]，上海辭書(shū)出版社，1995年

[7]李蔚萱.圖論[M].湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1980年

[8]RoberAMelter．ProblemsinCombinatoricsandGrapheory[M]．Buchayest.RomaniaAwilgintersciencePublication,1985．