導(dǎo)語(yǔ)：邏輯代數(shù)研究論文一文來(lái)源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

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現(xiàn)代邏輯常被人們追溯到她的奠基人Frege(Lebniz是先驅(qū)者的地位)；接著談現(xiàn)代邏輯，人們會(huì)自然地找到其身后的Peano、Russell、Whitehead、Wittgenstein、Carnap(維也納學(xué)派時(shí)期)、Quine等人，如此就認(rèn)為是勾勒出了現(xiàn)代邏輯的脈絡(luò)。這一看法多年來(lái)幾乎是毫無(wú)異議的。但隨著邏輯科學(xué)尤其是現(xiàn)代邏輯的不斷發(fā)展，有潛心思考的研究者（Fisch、Zeman、Hinttika等）發(fā)現(xiàn)了那多年來(lái)一直被忽視但卻蘊(yùn)藏在現(xiàn)代邏輯誕生之初的分歧，認(rèn)為分歧之中與權(quán)威相對(duì)的另一面應(yīng)該值得重新或深入的研究，這另一面就是由Boole開始經(jīng)由Peirce、Schröder直至后期Carnap、Tarski、Skolem等人維持的一條路線，它可看作是對(duì)邏輯基礎(chǔ)研究的另一途徑或方法（approach）。著名Peirce研究學(xué)者M(jìn).H.Fisch一語(yǔ)道出這一分歧的實(shí)際情形：“但Boole-Peirce-Schröder(在下文中我們簡(jiǎn)寫為BPS)路線不是被Frege-Peano-Russell-Whitehead(在下文我們簡(jiǎn)寫為FPR)路線取代了嗎？不；它只是被掩蓋了?！?/p>

在BPS傳統(tǒng)中，Peirce（1839---1914）是位極其重要的人物，這倒不僅是因?yàn)樗觳虐愕乃季S和對(duì)哲學(xué)和邏輯史上后來(lái)工作者的實(shí)際影響（美國(guó)本土哲學(xué)家James、Dewey、Mead、Lewis等無(wú)不受其影響，甚至歐洲大陸的K.O.Apel等人的思想也多直接源于Peirce），也不僅是因?yàn)樗孀泐I(lǐng)域的廣泛（除哲學(xué)和邏輯學(xué)之外，還有數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、化學(xué)、大地測(cè)量、心理學(xué)、現(xiàn)象學(xué)等等）；而主要是因?yàn)樗诂F(xiàn)代邏輯理論史上的諸多實(shí)質(zhì)性的貢獻(xiàn)。我們已經(jīng)很難統(tǒng)計(jì)他敏銳的洞察力到底涉及到多少邏輯貢獻(xiàn)，但根據(jù)迄今為止Peirce學(xué)者的研究成果，以下的領(lǐng)域是當(dāng)然的和主要的：形式邏輯（主要是對(duì)傳統(tǒng)邏輯的改進(jìn)）、邏輯代數(shù)、關(guān)系邏輯、命題邏輯、謂詞邏輯、三值邏輯、模態(tài)邏輯、語(yǔ)言邏輯、邏輯哲學(xué)、歸納邏輯以及邏輯史研究。

Peirce早期的邏輯研究（從1865年到約1885年）主要集中于邏輯代數(shù)。在當(dāng)時(shí)，布爾邏輯剛創(chuàng)立不久，布爾的追隨者很多，著名的有Venn、Schröder、DeMorgon等人，他們之間的研究有相互啟發(fā)與借鑒之處（有關(guān)貢獻(xiàn)的紛爭(zhēng)，可參看Kneale的《邏輯學(xué)的發(fā)展》），但主要還是相互獨(dú)立的。Peirce就是其中一位極具獨(dú)立性又最有創(chuàng)新的突出人物。身為著名數(shù)學(xué)家BenjaminPeirce（美國(guó)當(dāng)時(shí)科學(xué)界的一權(quán)威）的兒子，Peirce本人也是一數(shù)學(xué)家，他對(duì)于代數(shù)在邏輯中的應(yīng)用，得心應(yīng)手，他甚至曾把“三段論”作為“聯(lián)結(jié)詞的代數(shù)”來(lái)研究。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)的符號(hào)邏輯就是邏輯代數(shù)（algebraoflogic）。

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在Peirce看來(lái)，現(xiàn)代邏輯的研究實(shí)質(zhì)上就是代數(shù)到邏輯的一場(chǎng)“類推(analogy)”，這種“類推”的前提，首先就是對(duì)代數(shù)中的符號(hào)的選擇。不同的邏輯代數(shù)研究者都有著自己的選擇，它們或者是從代數(shù)中原封不動(dòng)地引入，或者是對(duì)代數(shù)中的相關(guān)符號(hào)做出邏輯意義上的改進(jìn)。我們這里從Peirce邏輯代數(shù)研究中所運(yùn)用的諸多符號(hào)中選取以下主要的幾個(gè)，其中有的是Peirce本人獨(dú)創(chuàng)性地提出，有的是Peirce同其他人同時(shí)提出和使用，有的是BPS傳統(tǒng)所特有的：

一、包含于（inclusionin或is或assmallas）符號(hào)“—<”（它是“≤”的一種方便的寫法）的引入。這是最重要的一點(diǎn)，它被Peirce本人多次提到，也被后來(lái)的研究者所普遍注意。但Peirce本人稱，這一符號(hào)是由他和H.McColl同時(shí)引入的。Peirce這樣定義“—<”：

1、A—<A，無(wú)論A是什么；

2、若A—<B，且B—<C，則A—<C。

他說(shuō)，這樣的定義雖然未區(qū)分開包含關(guān)系和包含于關(guān)系，但為形式邏輯目的，卻是足夠的。Peirce看到包含于符號(hào)具有邏輯上的優(yōu)點(diǎn)：首先，原來(lái)布爾的符號(hào)只能表達(dá)，物的某種描述不存在，而不能說(shuō)某物不存在；而使用包含于和非包含于（—<（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)上方加一橫線）），“Griffin(一種怪獸)—<噴火”意思就是，“不存在不噴火的Griffin”；同樣“動(dòng)物—<（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)上方加一橫線）水生的”意思為，“存在不是水生的動(dòng)物”。Peirce這種特別的解釋很容易使我們想起前些年一直討論的傳統(tǒng)三段論中的主詞存在問(wèn)題；同時(shí)符號(hào)“—<”的解釋也使我們聯(lián)想到現(xiàn)在邏輯研究中廣泛運(yùn)用的實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵符號(hào)“→”（其實(shí)，關(guān)于實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵，Peirce有更清楚的表達(dá)：從“x—<y”推到“是y（超文本閱讀注釋：要在這一字母上方加一橫線）的x—<（不可能）”）。其次，在布爾的演算中經(jīng)常用到的相等號(hào)或等值號(hào)“=”是一種更加復(fù)雜，即有著更大內(nèi)涵（comprehension）或深度(depth)的關(guān)系，而相比之下，“—<”則更為簡(jiǎn)單方便，我們可以說(shuō)A=B蘊(yùn)涵A—

關(guān)于Peirce的“—<”符號(hào)，還有一點(diǎn)值得一提。在談到這一系詞的三個(gè)屬性時(shí)，Peirce做出了卓有見識(shí)的引申。他說(shuō)，對(duì)于包含（containing）關(guān)系，我們可有著不同于通?！啊?lt;”的理解，從而會(huì)得到與之平行的幾種邏輯學(xué)說(shuō)。若令a—<´b意為a同b一樣小，除了在a同某物一樣小時(shí)而b不能同這一物一樣小之外，a、b之間沒有什么不同；則我們可得到數(shù)學(xué)或量的邏輯學(xué)。若令a—<´´b意為所有b是a，除了有a能謂述的某物而b不能謂述之外，a、b之間沒有什么不同；這樣我們所得到的，在另一方面就僅僅是邏輯學(xué)。若令a—<´´´b表示b是a的后承，除了兩者導(dǎo)出的后承不同之外，a、b沒有什么不同；那么我們得到的將是條件句的邏輯學(xué)。這樣的一種解釋，一方面顯示了“—<”或蘊(yùn)涵在邏輯科學(xué)中的基礎(chǔ)性的重要作用，另一方面也從一極為特別的角度論證了邏輯的多類型。此外，其與后來(lái)模型論的思想也有著本質(zhì)上的吻合。

二、包含（inclusive）意義下的邏輯加（符號(hào)為“+（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)右下方加一逗號(hào)）”，有時(shí)直接用“+”）的使用。Peirce這樣定義邏輯加：

1、A—<A+（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)右下方加一逗號(hào)）B；

2、B—

3、若A—

符號(hào)“+（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)右下方加一逗號(hào)）”是Peirce在1867年引入的，而（Peirce稱）Jevons在1864年，R.Grassmann在1872年，Schröder在1877年，McColl于1877年也相繼獨(dú)立地提出了這一用法，即不管相互間是否相斥，都使用“+（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)右下方加一逗號(hào)）”，把不同的項(xiàng)加在一起。這也就是我們常說(shuō)的區(qū)別于算術(shù)加的邏輯加，或者如現(xiàn)代邏輯中所說(shuō)的相容析取。譬如“歐洲人+（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)右下方加一逗號(hào)）共和黨人”就表示，把所有歐洲

人和共和黨人算在一起，而不用想盡辦法，像在算術(shù)中一樣，把共和黨人加上兩次。但若是Boole和Venn，他們就會(huì)寫成“歐洲人+（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)右下方加一逗號(hào)）非歐洲人的共和黨人”或“非共和黨人的歐洲人+（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)右下方加一逗號(hào)）共和黨人”，這對(duì)于邏輯來(lái)說(shuō)，顯然是種不必要的麻煩。

三、對(duì)“1”的理解。同布爾（而論域的概念最初是由DeMorgon引入的）一樣，Peirce在邏輯上把“1”看作有限論域（limiteduniverseofdiscourse），而不是無(wú)限的全體域（anunlimiteduniverse）。他認(rèn)為，無(wú)限域?qū)ㄟ壿嬌峡赡艿乃蓄I(lǐng)域。在這樣一個(gè)全域中，每一全稱命題，如果不是重言的，就是假的；每一特稱命題，如果不是荒謬的，就是真的。我們的談話很少涉及這種全域，我們倒是經(jīng)常想起物理上可能的，或歷史上存在的，或有某種虛構(gòu)的世界，或是其它的有限域。這樣的一種觀點(diǎn)可認(rèn)為是BPS路線的一特色之處，年僅23歲就去世的法國(guó)著名邏輯學(xué)家Herbrand正是在一方面接受并重視了這樣一種認(rèn)識(shí)，另一方面精心研究《數(shù)學(xué)原理》系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，在謂詞邏輯等現(xiàn)代邏輯理論上做出了突出貢獻(xiàn)。事實(shí)上，在邏輯史上這樣一種觀點(diǎn)支持了包括可能世界理論（模態(tài)邏輯）、模型論、邏輯語(yǔ)義學(xué)和元邏輯理論等在內(nèi)的一系列理論。然而，與以上有限域的認(rèn)識(shí)截然不同的觀點(diǎn)確實(shí)在過(guò)去以及現(xiàn)在的邏輯學(xué)家中存在，最為典型的是Wittgenstein，其名言“一切真命題都是重言式”和“邏輯命題描述世界的腳手架”的提出，正是基于一種無(wú)限域的認(rèn)識(shí)；他把現(xiàn)實(shí)世界與我們的語(yǔ)言（認(rèn)為，我們只有一種自然語(yǔ)言或人工語(yǔ)言）一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，認(rèn)為我們對(duì)任何系統(tǒng)都只有一種解釋，任何時(shí)候我們都不能跳出我們唯一的語(yǔ)言之外去言說(shuō)我們自己。

四、其它符號(hào)。以下我們將通過(guò)定義或描述的方法列出Peirce的另一些符號(hào)：邏輯等即等值“=（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)下方加一逗號(hào)）”，與算術(shù)上的等號(hào)相區(qū)別，但Peirce在很多時(shí)候，干脆把它寫為“=”，只是在邏輯上仍與符號(hào)“=（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)下方加一逗號(hào)）”含義一樣。邏輯乘（符號(hào)為“，”）定義為：

1、A，B—<A；

2、A，B—<B；

3、若C—

“有（whatitis）”定義為：x—<1，不論x是什么；而“無(wú)（nothing）”定義為：0—<x，不論x是什么。在“A（超文本閱讀注釋：要在這一字母上方加一口朝上的半圓?。?lt;B（打印注釋：要在這一字母上方加一橫線）”中，A（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)上方加一口朝上的半圓?。┍硎尽耙恍〢”，B（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)上方加一橫線）表示“非B”。量詞符號(hào)：Π和Σ分別代表“所有”和“一些”。還有，包含以上符號(hào)的公式x(1—y)=0;xy=0;xy≠0;x(1—y)≠0，它們或許是我們最為熟悉的。

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以上所談Peirce的些許理論，當(dāng)然不能概括出他全部的理論精華；其研究廣度如上文所述，而且每一領(lǐng)域都有著獨(dú)創(chuàng)性或突破性的貢獻(xiàn)。但是，歷史，包括邏輯史，好象總愛玩弄一種“狡計(jì)”：天才總在歷史的車輪繼續(xù)開向前時(shí)才能被發(fā)現(xiàn)和認(rèn)同，如Frege的《概念文字》和《算術(shù)基礎(chǔ)》在發(fā)表數(shù)年之后，才被Russell和Carnap首先給予重視；Peirce的命運(yùn)比Frege來(lái)得更壞，倒是他哲學(xué)上的實(shí)用主義理論在提出數(shù)年之后也被James給予了贊譽(yù)，稱他為“實(shí)用主義的鼻祖”；但是，正如Russell所說(shuō)，“我們通常把Peirce看作是實(shí)用主義的創(chuàng)始人。但是這種看法需要認(rèn)真加以限制?，F(xiàn)代的實(shí)用主義不是出自Peirce，而是出自W.James以為Peirce說(shuō)過(guò)的話?！薄八膶?shí)效主義（pragmaticism）和James的實(shí)用主義（pragmatism）并沒有多大關(guān)系?！备螞rPeirce的邏輯貢獻(xiàn)只是在比James更晚的時(shí)間才尋到了“伯樂(lè)”。

Peirce的研究狀況在國(guó)內(nèi)尤為糟糕。哲學(xué)上，人們提到實(shí)用主義，首先會(huì)談到James，恐怕只有讀過(guò)James的人才會(huì)知道Peirce，而且多少年來(lái)，我們對(duì)Peirce的理解仍舊停留在James階段，即《通俗科學(xué)雜志》上的兩篇文章：《如何使我們的觀念清楚明白》和《信念的確定》。在邏輯上，也沒有更好，就是目前我們也很難在某一著作或雜志上找到一篇稍長(zhǎng)一點(diǎn)的簡(jiǎn)介；與Frege相比，我們言現(xiàn)代邏輯，必談Frege，卻總談不到Peirce。難道說(shuō)，Peirce真的不重要嗎？當(dāng)然不是！國(guó)外多年來(lái)的研究以及諸多哲學(xué)家和邏輯學(xué)家（Beth、Lewis、Tarski、Copi和Hintikka等等）受益于其理論的事實(shí)已經(jīng)表明了這一點(diǎn)。筆者認(rèn)為Peirce邏輯理論中至少以下的幾點(diǎn)應(yīng)該在目前國(guó)內(nèi)邏輯學(xué)界引起重視：

首先，應(yīng)明確Peirce所代表的BPS路線是屬于代數(shù)方法（algebraicapproach）的，完全不同于Frege所代表的公理化方法（axiomaticapproach）的路線。Peirce曾專門談到，“邏輯符號(hào)系統(tǒng)的目的”“僅僅且只是邏輯理論的研究（investigation），根本不是建構(gòu)一個(gè)輔助推理的演算”；“為邏輯理論設(shè)計(jì)的系統(tǒng)應(yīng)該是盡可能分析的（analytical），把推理分為盡可能多的步驟，把它們都展示于盡可能最一般的范疇之下?！币虼?，我們不能期望從Peirce那里找到優(yōu)于或并列于Frege、Peano、Russell等人的所謂標(biāo)準(zhǔn)公理系統(tǒng)的演算。評(píng)價(jià)Peirce我們決不能以FPR傳統(tǒng)的觀點(diǎn)和標(biāo)準(zhǔn)，而要以全面的現(xiàn)代邏輯觀點(diǎn)：包括各種標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)邏輯、邏輯哲學(xué)和哲學(xué)邏輯都在內(nèi)的正在發(fā)展著的現(xiàn)代邏輯思想，立足于邏輯的核心：推理，緊緊圍繞邏輯的目的：設(shè)法增進(jìn)我們推理的有效性，來(lái)進(jìn)行實(shí)事求是的、無(wú)偏見的重新認(rèn)識(shí)或者是第一次認(rèn)識(shí)。展開來(lái)說(shuō)，對(duì)Peirce的正確評(píng)價(jià)，其實(shí)涉及到我們邏輯研究視角的轉(zhuǎn)換和拓展；任何時(shí)候，我們都千萬(wàn)不要把邏輯形式系統(tǒng)的建構(gòu)與豐富而深刻的邏輯理論研究等同起來(lái)，對(duì)于真正的邏輯理論研究，我們既不能滿足于煩瑣概念的詭辯游戲，同樣也不能是僅僅的抽象符號(hào)的純演算，要記著，我們所采用的一切手段和工具都服務(wù)于我們心中永恒的邏輯目的：（邏輯）有效性的增進(jìn)，（邏輯）真的追求。

其次，Peirce從對(duì)Aristotle邏輯的深入分析和對(duì)邏輯史的細(xì)致研究（Peirce曾建立有自己的邏輯圖書館）以及對(duì)Kant理論的批判性發(fā)展出發(fā)，來(lái)做出自己的邏輯研究，他對(duì)邏輯的態(tài)度始終是不帶偏激、不遺殘缺的。表現(xiàn)在邏輯與數(shù)學(xué)的關(guān)系上，他早就提出，邏輯不能歸結(jié)于數(shù)學(xué)，同樣數(shù)學(xué)也不可能歸結(jié)于邏輯；從而避免了走向Frege和Russell他們邏輯主義的死胡同。表現(xiàn)在對(duì)于一階邏輯的態(tài)度上，Peirce并不像Quine（在F

rege那里也隱含著）那樣宣稱，如果誰(shuí)不知道一階邏輯，誰(shuí)就對(duì)邏輯毫無(wú)理解，全部邏輯也就只是一階邏輯；在他看來(lái)自我同一的量化理論只是眾多邏輯系統(tǒng)中的一個(gè)，他常常設(shè)法給出一階邏輯的更為深刻的基礎(chǔ)并拓展這一范圍，他說(shuō)，說(shuō)數(shù)學(xué)演示方法是唯一普遍有效的，這正是邏輯學(xué)家們視之為謬誤而要避免的。

再次，Peirce對(duì)待形式化的思想無(wú)疑包含了模型論的全部要義。Peirce有著自己的邏輯代數(shù)等演算，但他更注重它們的解釋；他相信，真正重要的不是什么形式系統(tǒng)，而是潛在的所表達(dá)的實(shí)在（realities），我們可自由地根據(jù)不同場(chǎng)合選擇我們不同的系統(tǒng)。

最后，Peirce得益于早期在對(duì)邏輯代數(shù)研究中形成的符號(hào)邏輯系統(tǒng)目的即邏輯理論研究的思想，使他沒有局限于使用代數(shù)的符號(hào)，而又采取了圖表（graph）符號(hào)，進(jìn)而形成了他著名的存在判斷圖表系統(tǒng)α、β、γ，并最終達(dá)到了“大邏輯”（abroadsenseoflogic）--“符號(hào)（sign）”或“象標(biāo)（iconicity）”的理論的認(rèn)識(shí)。其存在判斷圖表（existentialgraphs）理論，在近年來(lái)基于計(jì)算機(jī)的圖表推理表示法發(fā)展之后，被應(yīng)用于人工智能領(lǐng)域，甚至IBM的一研究者JohnSowa，奠基于這一理論又發(fā)展出了一概念圖表（conceptualgraphs）。

上述Peirce的一系列觀點(diǎn)，在今天處于邏輯科學(xué)前沿的Hintikka、J.V.Heijenoort等人那里得到了熱烈呼應(yīng)，他們把Peirce稱為語(yǔ)言的模型論觀點(diǎn)的一標(biāo)準(zhǔn)成員（integralmember）來(lái)對(duì)待，并把他與Husserl并提，用來(lái)對(duì)抗由Frege到Heidegger的“作為語(yǔ)言的邏輯（logicaslanguage）”的傳統(tǒng)（其核心觀點(diǎn)是，現(xiàn)實(shí)世界是語(yǔ)言的唯一解釋，不存在多數(shù)可能的世界，從而否定模態(tài)邏輯的合法性，否認(rèn)真理的可判定性或主張“真”的無(wú)法言說(shuō)（ineffable））。

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