導(dǎo)語：數(shù)學(xué)概念形成探究論文一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般都要經(jīng)歷概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的應(yīng)用（包括概念所涉及的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用）等階段。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，很多教師往往不注重概念的形成過程，只重視概念的運(yùn)用，忽視數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與形成的重要階段，強(qiáng)行地將一些新的數(shù)學(xué)概念灌輸給學(xué)生，無從體現(xiàn)學(xué)生的主體性，將嚴(yán)重影響學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀，阻礙學(xué)生的能力發(fā)展。造成這種現(xiàn)象的原因，一方面是由于教師的教學(xué)觀念比較陳舊，在教學(xué)中不重視學(xué)生的思維活動(dòng),不能使學(xué)生的認(rèn)知過程成為一個(gè)再創(chuàng)造的過程,實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)、理解、創(chuàng)造與應(yīng)用；另一方面是許多教師不知如何創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生開展探索活動(dòng)。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，如何設(shè)計(jì)有效的問題情景，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、類比、猜想、歸納、抽象、概括、推廣等思維活動(dòng)，探究規(guī)律，得出新的數(shù)學(xué)概念。從而使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程，提高他們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)水平，掌握數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，這是數(shù)學(xué)概念教學(xué)要研究的首要問題。

一、創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景的途徑

數(shù)學(xué)概念有些是由生產(chǎn)、生活實(shí)際問題中抽象出來的，有些是由數(shù)學(xué)自身的發(fā)展而產(chǎn)生的，許多數(shù)學(xué)概念源于生活實(shí)際，但又依賴已有的數(shù)學(xué)概念而產(chǎn)生。根據(jù)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的方式及數(shù)學(xué)思維的一般方法，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，可以用下列幾種方法來創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景。

（一）回顧已有相似概念，創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景

中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多概念具有相似的屬性，對(duì)于這些概念的教學(xué)，教師可先引導(dǎo)學(xué)生研究已學(xué)過的概念屬性，然后創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，嘗試給新概念下定義，這樣新的概念容易在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中得以同化與構(gòu)建。

例1異面直線的距離的教學(xué)

（1）展示概念背景：向?qū)W生指出：刻劃兩條異面直線的相對(duì)位置的一個(gè)幾何量——異面直線所成的角，這只能反映兩異面直線的傾斜程度，若要刻劃其遠(yuǎn)近程度，需要用另一個(gè)量——異面直線之間的距離。

（2）創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景：先引導(dǎo)學(xué)生回顧一下過去學(xué)過的有關(guān)距離的概念（點(diǎn)與點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、平行線之間的距離），并概括出它們的共同點(diǎn)：各種距離概念都?xì)w結(jié)為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離；每種距離都是確定的而且是最小的。

（3）啟迪發(fā)現(xiàn)階段：指出定義兩異面直線的距離也必須遵循上述原則，然后引導(dǎo)學(xué)生討論：異面直線a、b上哪兩點(diǎn)之間的距離最小？為什么？

進(jìn)一步誘導(dǎo)：如右圖，過直線a上一點(diǎn)B作

AB⊥直線b，垂足為點(diǎn)A，則線段AB的長為異面直線a,b間的距離,對(duì)嗎?因?yàn)檫^A作AC⊥直線a，垂足為C，在RTΔABC中有AB>AC,即AB不具有最小性。再過C作CD⊥直線b，如此下去…，線段只垂直于a、b中的一條時(shí),總是某直角三角形的斜邊,不可能是a、b上任兩點(diǎn)間距離的最小者，那么，異面直線a、b上任兩點(diǎn)間距離的最小者到底應(yīng)該是哪條線段的長呢？學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：可能是與異面直線a、b都垂直相交的線段。

（4）表述論證階段：最后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：異面直線a、b的公垂線段MN的長度具有最小性,又公垂線是唯一的，所以，可以把線段MN定義為異面直線a,b之間的距離。

以上通過引導(dǎo)學(xué)生研究已有“距離”概念的本質(zhì)特點(diǎn)，即產(chǎn)生新的概念的“生長點(diǎn)”，以類比方法獲得異面直線距離的概念，學(xué)生覺得這一概念是已有距離概念的一種自然發(fā)展，不感到別扭。這樣的概念還有很多，如復(fù)數(shù)的模與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值類比、二次方程與一次方程的類比、空間的二面角與平面的角類比等等。

這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)一定要抓住新舊概念的相似點(diǎn)，為新的數(shù)學(xué)概念的形成提供必要的“認(rèn)知基礎(chǔ)”，通過與熟悉的概念類比（類比的形式多樣，如平面與空間的類比、高維與低維的類比、有限與無限的類比，還有方法類比、結(jié)構(gòu)類比、形式類比等等），可使學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)、理解、掌握新的數(shù)學(xué)概念。當(dāng)然要注意類比得出的結(jié)論不一定正確，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生修正錯(cuò)誤的類比設(shè)想，直到得出正確結(jié)果。

（二）由已有相關(guān)概念的比較，創(chuàng)設(shè)歸納發(fā)現(xiàn)的問題情景

有些數(shù)學(xué)概念是已有概念的擴(kuò)充，若能揭示概念的擴(kuò)充規(guī)律，便可以水到渠成地引入新概念。

例2復(fù)數(shù)概念的教學(xué)

先回顧已經(jīng)歷過的幾次數(shù)集擴(kuò)充的事實(shí)：

正整數(shù)自然數(shù)非負(fù)有理數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)，然后教師提出以下問題:

（1）上述數(shù)集擴(kuò)充的原因及其規(guī)律如何？

實(shí)際問題的需要使得在已有的數(shù)集內(nèi)有些運(yùn)算無法進(jìn)行，數(shù)集的擴(kuò)充過程體現(xiàn)了如下規(guī)律：

①每次擴(kuò)充都增加規(guī)定了新元素；

②在原數(shù)集內(nèi)成立的運(yùn)算規(guī)律，在數(shù)集擴(kuò)充后的更大范圍內(nèi)仍然成立；

③擴(kuò)充后的新數(shù)集里能解決原數(shù)集不能解決的問題。

有了上述準(zhǔn)備后，教師提出問題：負(fù)數(shù)不能開平方的事實(shí)說明實(shí)數(shù)集不夠完善，因而提出將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充為一個(gè)更為完整的數(shù)集的必要性。那么，怎樣解決這個(gè)問題呢？

（2）借鑒上述規(guī)律，為了擴(kuò)充實(shí)數(shù)集，引入新元素i，并作出兩條規(guī)定。（略）

這樣學(xué)生對(duì)i的引入不會(huì)感到疑惑，對(duì)復(fù)數(shù)集概念的建立也不會(huì)覺得突然，使學(xué)生的思維很自然地步入知識(shí)發(fā)生和形成的軌道中，為概念的理解和進(jìn)一步研究奠定基礎(chǔ)。

這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)的關(guān)鍵是揭示出相關(guān)概念的擴(kuò)充發(fā)展的背景及其規(guī)律，從而引發(fā)新的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生。

（三）聯(lián)想相關(guān)數(shù)學(xué)概念，創(chuàng)設(shè)引發(fā)猜想的問題情景

許多數(shù)學(xué)概念間存在著一定的聯(lián)系，教師若能將新舊概念間的聯(lián)系點(diǎn)設(shè)計(jì)成問題情景，引導(dǎo)學(xué)生建立起新舊概念間的聯(lián)系，便可以使學(xué)生牢固地掌握新的概念。

例3異面直線所成角的概念教學(xué)

（1）展示概念背景：教師與學(xué)生一起以熟悉的正方體為例，請(qǐng)學(xué)生觀察圖中有幾對(duì)異面直線？接著提問：從位置關(guān)系看，同為異面直線，但它們的相對(duì)位置，是否就沒有區(qū)別？教師緊接著說：既然有區(qū)別，說明僅用“異面”來描述異面直線間的相對(duì)位置顯然是不夠的。在生產(chǎn)實(shí)際與數(shù)學(xué)問題中，有時(shí)還需要進(jìn)一步精確化，這就提出了一個(gè)新任務(wù)：怎樣刻劃異面直線間的這種相對(duì)位置，或者說，引進(jìn)一些什么數(shù)量來刻劃這種相對(duì)位置？

(2)情境設(shè)計(jì)階段：我們知道平面幾何中用“距離”來刻劃兩平行直線間的相對(duì)位置，用“角”來刻劃兩相交直線間的相對(duì)位置，那么用什么來刻劃兩異面直線的相對(duì)位置呢？我們還知道兩異面直線不相交，但它們又確實(shí)存在傾斜程度不同，這就需要我們找到一個(gè)角，用它的大小來度量異面直線的相對(duì)傾斜程度。為了解決這個(gè)問題，我們研究一道題：一張紙上畫有兩條能相交的直線a、b（但交點(diǎn)在紙外）．現(xiàn)給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長紙上的線段，問如何能量出a、b所成的角的大??？

(3)猜想發(fā)現(xiàn)階段：解決上述問題的方法是過一點(diǎn)分別作a,b的平行線，該方法能否遷移到兩異面直線的傾斜程度呢？經(jīng)學(xué)生研討后能粗略地得出異面直線的傾斜程度可轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩條相交直線的角（即過一點(diǎn)分別作a、b的平行線，這兩條平行線所成的角）

(4)表述論證階段：教師提問，這角（或平行線）一定可以作出來嗎？角的大小與作法有什么關(guān)系？（以上即是存在性和確定性問題）通過解決以上兩個(gè)問題得到：兩異面直線所成角的范圍規(guī)定在（0，內(nèi)，那么它的大小，由異面直線本身決定，而與點(diǎn)O（一線的平行線與另一線的平行線的交點(diǎn)）的選取無關(guān)，點(diǎn)O可任選．一般總是將點(diǎn)O選在特殊位置．至此，兩異面直線所成角的概念完全建立了，在這個(gè)過程中滲透了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題這一化歸的數(shù)學(xué)思想方法。

這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)一定要抓住新、舊數(shù)學(xué)概念間的本質(zhì)屬性，為新概念的產(chǎn)生創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)墓讨c(diǎn)，使其孕育新的數(shù)學(xué)概念的形成。（四）提供感性材料,創(chuàng)設(shè)抽象與概括的問題情景

有些數(shù)學(xué)概念源于現(xiàn)實(shí)生活，是從生產(chǎn)、生活實(shí)際問題中抽象出來的，對(duì)于這些概念的教學(xué)要通過一些感性材料，創(chuàng)設(shè)抽象與概括的情景，引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性。

例4數(shù)軸概念的教學(xué)

教師先出示下列問題：小張家向東走20米是書店，向西走30米是少年宮。若規(guī)定向東走為正，向西走為負(fù)，那么，小張從家出發(fā)，走到書店應(yīng)記作什么？走到少年宮記作什么？溫度計(jì)顯示零上20C，零下3C，你如何用有理數(shù)表示。

教師接著要求學(xué)生將上述兩個(gè)問題分別用簡(jiǎn)單形象的圖示方法來描述它們，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生提煉出它們的共同屬性：

（1）能用圖線表示事物的數(shù)量特征（可用同一直線上的線段來刻劃）（2）度量的起點(diǎn)（0C和小張家）（3）度量的單位（溫度計(jì)每格表示1C）（4）有表示相反意義的方向（向東為正，向西為負(fù)；零上為正，零下為負(fù)）

這樣就啟發(fā)學(xué)生用直線上的點(diǎn)表示數(shù)，對(duì)于“表示相反意義的方向”用箭頭“”表示正方向，從而引進(jìn)“數(shù)軸”的概念。這樣做符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，給學(xué)生留下深刻持久的印象，同時(shí)也有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使他們積極參與教學(xué)活動(dòng)，有利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和素質(zhì)的提高。

這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)一定要遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，從感性到理性，從具體到抽象，通過學(xué)生熟悉的實(shí)際例子，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)一些問題，讓學(xué)生經(jīng)過比較、分類、抽象等思維活動(dòng)，從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，最后通過概括得出新的數(shù)學(xué)概念。

（五）通過學(xué)生實(shí)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)觀察、發(fā)現(xiàn)的問題情景

有些數(shù)學(xué)概念可以通過引導(dǎo)學(xué)生從自己的親自實(shí)驗(yàn)或通過現(xiàn)代教育技術(shù)手段演示及自己操作（如幾何畫板提供了很好的工具）去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的形成，讓學(xué)生在動(dòng)手操作、探索反思中掌握數(shù)學(xué)概念。

例5橢圓概念的教學(xué)

可分下列幾個(gè)步驟進(jìn)行：（1）實(shí)驗(yàn)獲得感性認(rèn)識(shí)（要求學(xué)生用事先準(zhǔn)備的兩個(gè)小圖釘和一長度為定長的細(xì)線，將細(xì)線的兩端固定，用鉛筆把細(xì)線拉緊，使筆尖在紙上慢慢移動(dòng)，畫得圖形為橢圓）（2）提出問題，思考討論。橢圓上的點(diǎn)有何特征？當(dāng)細(xì)線的長等于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)，其軌跡是什么？當(dāng)細(xì)線的長小于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)，其軌跡是什么？你能給橢圓下一個(gè)定義嗎？（3）揭示本質(zhì)，給出定義。象這樣，學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)驗(yàn)、討論后，對(duì)橢圓的定義的實(shí)質(zhì)會(huì)掌握得很好，不會(huì)出現(xiàn)忽略橢圓定義中的定長應(yīng)大于兩定點(diǎn)之間的距離的錯(cuò)誤。

這類數(shù)學(xué)概念的形成一定要學(xué)生動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)，仔細(xì)觀察，并能根據(jù)需要適當(dāng)變換角度來抓住問題的特征以解決問題。培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力是解決這類問題的關(guān)鍵。除了真實(shí)的實(shí)驗(yàn)外，還可以充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)設(shè)計(jì)一些仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)不能只是作為教師來演示的一種工具，而是要能由學(xué)生可以根據(jù)自己的思路進(jìn)行動(dòng)手操作的學(xué)具，讓學(xué)生通過實(shí)際操作學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)！

以上列舉的幾種方法不是獨(dú)立的，而是相互聯(lián)系的，有些數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與形成過程需要綜合運(yùn)用多種方法才能創(chuàng)設(shè)出利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)的問題情景。

二、數(shù)學(xué)概念形成階段教學(xué)應(yīng)注意的問題

在創(chuàng)設(shè)問題情景時(shí)，還應(yīng)創(chuàng)設(shè)師生共同研究問題的良好氛圍。教師要積極鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立提出問題、獨(dú)立分析、解決問題，還要鼓勵(lì)學(xué)生之間互相研討問題，大膽向教師提問題或提出創(chuàng)見性的觀點(diǎn)，努力營造一種師生之間平等共同研討、分析解決問題的民主氣氛，形成師生間和諧良好的人際關(guān)系，使課堂教學(xué)充滿活力。在教學(xué)中要注意以下問題：

（一）注意問題的呈示方式

有了合適的問題情景，還必須注意問題的呈示方式。我們認(rèn)為：?jiǎn)栴}的呈示要以學(xué)生主體的充分發(fā)揮為前提，重視知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和探索過程，重視學(xué)生的內(nèi)心體驗(yàn)。通過問題的呈示能使學(xué)生充分地展開思維活動(dòng)（包括動(dòng)手、動(dòng)腦），教師應(yīng)留給學(xué)生一定的思考時(shí)間和空間，不要急于將答案告訴學(xué)生，應(yīng)把發(fā)現(xiàn)問題的機(jī)會(huì)，大智若愚地讓給學(xué)生，讓學(xué)生的思維得到充分的暴露，教師根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的一些問題，有針對(duì)性地組織討論、辨析，并在關(guān)鍵處予以點(diǎn)撥，真正使學(xué)生體驗(yàn)到新的數(shù)學(xué)概念的形成過程。

（二）教學(xué)形式要多樣化

課堂教學(xué)從本質(zhì)上說是一種“溝通”與“合作”的活動(dòng)，是教師主導(dǎo)與學(xué)生主體相互作用以實(shí)現(xiàn)學(xué)生有意義學(xué)習(xí)的過程，要使這個(gè)過程順利進(jìn)行，必須充分發(fā)揮師生雙方的積極性和主動(dòng)性。為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，教學(xué)形式應(yīng)盡可能多樣化。教學(xué)不能只是教師的講授，還應(yīng)包括學(xué)生的獨(dú)立自主探究，集體研究，小組討論或先學(xué)生獨(dú)立研究再相互交流，或帶著問題自學(xué)等多種方式。這樣有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。至于如何確定教學(xué)形式，這要考慮所研究問題的難易程度及學(xué)生的知識(shí)和思維水平。一般來說，要盡可能讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，只要學(xué)生有能力通過活動(dòng)解決的問題，就應(yīng)該讓學(xué)生獨(dú)立完成。對(duì)有一定難度的問題，可先讓學(xué)生獨(dú)立研究，再組織小組交流（教師參與小組研究，并在關(guān)鍵處作適當(dāng)點(diǎn)撥），最后師生一起探索得出結(jié)論。

（三）滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)概念是思維的細(xì)胞，是濃縮的知識(shí)點(diǎn)，是感性認(rèn)識(shí)飛躍到理性認(rèn)識(shí)的結(jié)果，而飛躍的實(shí)現(xiàn)要依據(jù)數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工而成。因此教師應(yīng)注意將在解決問題的過程中所涉及的數(shù)學(xué)思想方法顯化，對(duì)解決問題的思維策略進(jìn)行提煉，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思維，提高自我探索、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的能力。如例5中學(xué)生根據(jù)操作過程類比圓的概念產(chǎn)生這樣的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。怎樣使學(xué)生意識(shí)到這一定義不完備呢？如何讓學(xué)生完善這一定義呢？可讓學(xué)生將兩個(gè)定點(diǎn)由近到遠(yuǎn)地多畫些橢圓，當(dāng)學(xué)生將此操作進(jìn)行至極限（即細(xì)線的長等于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)）時(shí)發(fā)現(xiàn)畫出的是一條線段。這樣的過程能夠使學(xué)生獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)和完善橢圓的定義。這種不斷實(shí)驗(yàn)、觀察、進(jìn)而得到發(fā)現(xiàn)的“科研”方法要讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)逐步掌握。學(xué)生掌握這些方法將受益終身！