導語：如何才能寫好一篇數(shù)學的邏輯推理，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

1、合情推理與邏輯推理之間的關系

合情推理是一項找到新結論的重要手段，有益于提升學生的創(chuàng)新意識和思維，對學生的成長和學習成績的提升有著重要的幫助意義[1]。在合情推理當中發(fā)現(xiàn)的新結論，可能是錯誤的，也可能是錯誤的，需要使用邏輯推理進行驗證。因為合情推理為或然性推理，邏輯推理為必然性推理。

數(shù)學知識的慢慢累積，依靠的是邏輯推理，是學習數(shù)學的不二法則。在學習數(shù)學學科當中，應用到的全部知識結論都必須使用邏輯推理進行證明，就算是對角相等這種非常直觀和簡單的命題，也需要進行證明[2]。正是因為推理當中有著非常強的嚴謹性，得出的數(shù)學結論采更加有效，被重視。但是，在進行邏輯推理之前，經(jīng)常會使用根據(jù)條件預測結果或者結合成果分析成因，這便是合情推理，可為邏輯推理提供證明的有效途徑和方向。

因此，邏輯推理與合情推理是緊密聯(lián)系的，當前在初中數(shù)學的授課中所應用的探究式教學，前半段便是合情推理，后面便是邏輯推理。此外，在教學中，還要考慮初中學生的心理、年齡和特征，起初會多應用一些合情推理，并逐步向邏輯推理邁進。

2、合情推理與邏輯推理的教學要點

（1）在初中數(shù)學的日常授課中，要注重推理在數(shù)學當中的地位，強調其對學生學習產(chǎn)生的作用，合理應用邏輯推理和合情推理，但要使學生理解，?笛У難?習，最后應用的為邏輯推理。

（2）在教學中，如果應用的是合情推理，教師需要為預留出一些時間，并給學生足夠的空間進行探究。所謂的空間便是，教師在授課的過程中，不能將知識全部灌輸給學生，要留出一部分知識和問題讓學生探究，引起其發(fā)現(xiàn)和分析等。此外，還要給學生一定的時間進行探究，讓學生感受探索、分析、領悟、總結的過程等。當學生將這些探索的過程進行轉化，成為學生自己的知識時，學生才真正或得了數(shù)學活動經(jīng)驗。

（3）在因果關系的授課中，是引導學生提升邏輯推理能力的初級階段，其中需要使學生明白因果關系為普遍存在的，并訓練學生對因果關系之間的表述能力，之后在強調學生思維當中存在的完整性和條理性、規(guī)范性和嚴謹性等，最后學生會慢慢形成邏輯思維。

（4）邏輯推理教學。在教學中，要注重對學生推理思維的提升，不能只訓練學生的書寫形式。要在表述上要求學生有完整的步驟和充足的理由，并且使用非常簡單的三段論形式。這些全部都是授課的過程，需要學生反復進行體會和感悟[3]。

（5）如果學生在學習的過程中產(chǎn)生了邏輯錯誤，教師要及時給予引導并進行糾正，強調推理當中的嚴謹性。這樣，學生可以慢慢養(yǎng)成嚴謹?shù)耐评砹晳T和能力，為之后的數(shù)學學習打下良好的基礎。

（6）為了使學生能夠經(jīng)一步明確兩項推理之間的關系，要使學生明確合情推理可對新的結論進行發(fā)現(xiàn)，還可以為邏輯推理提供重要的思考方向，但是邏輯推理可對合情推理的結論進行證明或者證否，要求學生在學習的過程中，對于兩項推理能力的掌握要同樣重視。

3、實例分析

在初中數(shù)學《與三角形有關的角》學習中，需要學生學習三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°并學會其中的證明方法，延伸知識如：因為三角形內角和為180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定關系如：①一個三角形中最多只有一個鈍角或直角；②一個三角形中最少有一個角不小于60°；③直角三角形兩銳角互余；④等邊三角形每個角都是60°等。在之前階段的學習中，學生使用的方法為量角器度量等，之后概括總結出三角形的內角和等于180°。為了防止學生產(chǎn)生這些合情推理已經(jīng)足夠證明命題的思想，在初中數(shù)學的日常授課中，在給出命題之前和給出命題之后，要先引導學生回憶之前學習的過程。因為這一定理對學生的學習非常重要，并且小學階段到初中階段，學生學習這一命題的時間比較長，在初中課程中出現(xiàn)的又比較早，教師可應用合情推理和邏輯推理相互結合的教學方式。如：在對命題進行證明之后，可提示學生，測量是會產(chǎn)生誤差的，拼剪的過程也會產(chǎn)生誤差，所以沒有邏輯推理具有嚴謹性，并不能讓所有人都信服；即使測量非常準確，但是三角形有無窮個，而在初中階段研究的三角形只有幾個，所以不能就此下結論。為了證明全部的三角形內角和都是180°，一定要利用邏輯推理證明，這是由于邏輯推理是包括所有的三角形來進行推理的；命題是不是正確的，并不是通過量就能得出結論的，更不能通過看得出結論，要利用完整的推理步驟，并且有充足的理由得出結論。

4、結束語

篇2

關鍵詞：邏輯推理演繹歸納類比教學策略

邏輯推理是由一個或多個判斷推出一個新判斷的思維過程，作為人的一種重要認知方式，一直受到心理學和教育學的關注。邏輯推理的心理機制、發(fā)展時期、影響因素等是心理學研究的熱點課題，而培養(yǎng)學生的邏輯推理能力是教育的重要目標。本文對邏輯推理的相關心理學研究做一些簡介，并由此得出對中學數(shù)學教學的幾點啟示。

一、心理學對邏輯推理的一些研究

邏輯推理包括三種形式：演繹推理、歸納推理和類比推理。對邏輯推理的研究主要圍繞這三種形式展開。

（一）學生邏輯推理的發(fā)展研究

有研究表明，學生的邏輯推理能力隨年齡增長而持續(xù)發(fā)展，在小學階段有初步表現(xiàn)，在初中和高中階段達到成熟。

李丹等人對兒童假言推理（一般有兩種形式：一是充分條件的假言推理，它是一個充分條件的假言判斷，即“如果……則……”；二是必要條件的假言推理，它是一個必要條件的假言判斷，即“只有……才……”）能力的發(fā)展特點進行了研究。研究顯示，兒童假言推理能力從小學三年級到初中三年級隨年級的升高而增長，小學三年級開始已有初步表現(xiàn)，在小學六年級到初中一年級期間有一個加速階段。其增長速度和水平，一方面受年齡階段和推理格式的影響，另一方面也因對不同命題具體內容的熟悉程度而有所差異。這是由于假言推理中事物的因果關系具有復雜性，而兒童的辯證思維尚未成熟所致。總體上看，假言推理能力的發(fā)展時間要比直言三段論推理能力推遲一年左右。

李國榕和胡竹菁對中學生直言三段論推理能力的現(xiàn)狀進行了調查。結果發(fā)現(xiàn)，學生的直言三段論推理能力在初中階段發(fā)展較快，且每升高一個年級，其推理能力都有明顯的提高；高中各年級之間，學生的推理能力雖有差異，但不顯著；而由初中升入高中，學生的推理能力會有一個飛躍。而且，男、女學生之間的推理能力無顯著差異，但理科學生的推理能力高于文科學生。此外，中學生在進行直言三段論推理時，對不同格式推理能力的發(fā)展水平并不完全一致。

全國青少年心理研究協(xié)作組于1985年對全國23個省、市初一、初三和高二學生的邏輯推理能力做了測試，內容包括歸納推理和演繹推理（又分為直言推理、假言推理、選言推理、復合推理和連鎖推理）兩類，同時還測試了辯證推理能力。結果表明，初一學生就已具備各種推理能力；三個年級之間，推理能力發(fā)展水平和運用水平都存在顯著差異。此外，凡是需要調動感性知識的試題，學生解答起來就容易；反之，則感到困難；其中，歸納推理依賴學生感性知識的程度比演繹推理更高。

黃煜烽等人在全國19個省、市不同類型的學校隨機抽取初一、初三、高二學生17098名，開展歸納推理和演繹推理的測試。結果顯示，進入中學以后，學生基本上掌握了邏輯推理的常用規(guī)律，其思維水平開始進入抽象邏輯思維占主導的階段；在整個中學階段，學生的推理能力隨著年級的升高都在持續(xù)地發(fā)展，在初二階段尤其迅速；在整個中學階段，歸納推理能力的發(fā)展水平要高于演繹推理能力；在演繹推理能力中，學生的直言推理能力發(fā)展較好，而連鎖推理能力發(fā)展較差。

方富熹等人采用口頭測試的方式，考查9—15歲兒童充分條件的假言推理能力的發(fā)展。結果表明，大部分9歲（小學三年級）兒童的有關推理能力已經(jīng)開始發(fā)展，但水平較低；大部分12歲（小學六年級）兒童的假言推理能力處于過渡階段；大部分15歲（初中三年級）兒童的假言推理能力達到成熟水平。在之后的進一步研究中，他們又發(fā)現(xiàn)，12歲兒童對充分條件假言推理有關規(guī)則的掌握，取決于他們形式運演思維的發(fā)展水平。

林崇德教授將中學生的論證推理能力分為四級水平（也可以看作四個發(fā)展階段）：直接推理、間接推理、迂回推理、綜合性推理。研究發(fā)現(xiàn)，在正常的教育教學情況下，中學生的數(shù)學推理能力隨年級升高而提升；初二和高二是推理能力發(fā)展的轉折點，初二學生普遍能按照公式進行推理，高二學生的抽象綜合推理能力則得到顯著的發(fā)展。

（二）影響邏輯推理的因素研究

1.關于演繹推理。

張慶林等人的研究表明，在條件推理（利用條件性命題——通常為假言判斷——進行的推理）中，推理的內容會影推理形式規(guī)則的運用，進而影響推理的過程和結果。這主要是由于日常生活經(jīng)驗會影響人們對具有實際生活意義的大前提的語義加工或心理表征，具體表現(xiàn)為對問題空間的影響；人們在不同的問題空間中進行分析和判斷，就會得到不同的推理結論。這是一種直覺的推理形式。因此，人們在進行涉及日常生活的推理時往往會受到經(jīng)驗的影響。

胡竹菁和胡笑羽認為，推理行為是推理者在現(xiàn)有推理知識結構的基礎上解決具有一定結構的推理題的心理加工結果。而演繹推理問題和推理者所掌握的有關推理的知識結構都由推理形式、推理內容兩方面構成，進而基于形式和內容兩種判定標準，提出了“推理題與推理知識雙重結構模型”：推理行為會受到四個方面的影響，用公式表示為BR=f[IS（form），IS（content），KS（form），KS（content）]，其中BR代表推理行為，IS（form）代表試題形式結構，IS（content）代表試題內容結構，KS（form）代表推理者所掌握的形式知識結構，KS（content）代表推理者所掌握的內容知識結構。

Senk研究了中學生在幾何證明中的演繹推理表現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)如果學生證明過程的書寫能力比較薄弱，會影響學生的推理能力。

Jansson通過訪談，研究了初中生在假言命題、選言命題、聯(lián)言命題、否命題等不同邏輯形式任務上的發(fā)展及先后層次結構。研究顯示，學生缺乏處理那些正式、真實、有趣的“暗示”的能力，且同一邏輯運算的不同語言形式會對邏輯推理產(chǎn)生影響。

Hoyles和Kuchemann考察了學生假言推理能力的發(fā)展，指出在特定的數(shù)學情境中，對“暗示”的理解是否到位和演繹推理能否成功之間存在某種聯(lián)系。

根據(jù)演繹推理相關的認知與腦機制研究，左、右腦在演繹推理中的功能差異主要表現(xiàn)為言語系統(tǒng)和視空系統(tǒng)在演繹推理中的不同作用，而且這兩種系統(tǒng)對幾種演繹推理類型的影響可能是不同的。不同性質的內容在影響被試推理過程時，所激活的腦區(qū)域是有差異的，如推理內容具體或抽象、推理材料包含更多具有顯著情緒特征或社會規(guī)則的內容、形式邏輯規(guī)則是否與個體信念沖突等。因此，個體的知識經(jīng)驗、信念偏向等對演繹推理也有一定的影響。

2.關于歸納推理。

多數(shù)研究證明，歸納推理受到前提項目多樣性的強烈影響，材料類別與概念范疇、屬性特征及其呈現(xiàn)方式、推理形式、知識經(jīng)驗等因素都會對歸納推理產(chǎn)生不同程度的影響。而近年來，許多研究開始關注歸納推理的心理效應。根據(jù)歸納論斷中不同因素對個體做出歸納結論時把握性大小的影響，歸納推理的心理效應主要分為三種：類別效應、屬性效應、交互效應。當前，關于類別效應中多樣性效應的研究較為集中，即人們意識到前提更加多樣的論斷具有更大的歸納推理力度，從而在歸納推理過程中傾向于尋找差異更大的證據(jù)來支持將要得出的結論。有研究結果表明，在適合的條件下，兒童在歸納推理中能夠表現(xiàn)出多樣性效應。

根據(jù)一些前提類別具有某一特征而推測結論類別也具有這一特征時，要推測的特征叫作歸納特征，結論類別具有這一特征的可能性程度叫作歸納強度。目前，對基于類別的特征歸納的解釋主要有相似性解釋和知識解釋兩類。相似性解釋認為，人們的歸納推理能力基于前提類別與結論類別的相似性，并隨著這種相似性的增加而增強。

王墨耘和莫雷提出關聯(lián)相似性模型，即描述人們根據(jù)歸納特征關聯(lián)項的相似性來做歸納推理的抽象模型。這一模型將特征關聯(lián)知識與相似性整合到一起，認為基于關聯(lián)相似性的歸納推理包含三個環(huán)節(jié)：首先尋找與歸納特征相關聯(lián)的特征（即關聯(lián)特征），然后比較評估結論類別與前提類別在關聯(lián)特征上的相似性（即關聯(lián)相似性），最后根據(jù)這種關聯(lián)相似性程度得出結論類別是否具有歸納特征和在多大程度上具有歸納特征。這一模型還認為歸納強度的大小可用公式來預測：歸納強度=關聯(lián)特征與歸納特征的關聯(lián)強度×關聯(lián)特征的相似性程度（即關聯(lián)相似性程度）。

王墨耘和高坡通過實驗驗證了，歸納強度與關聯(lián)相似性、關聯(lián)相似性變化的影響效果與關聯(lián)強度、歸納信心與關聯(lián)強度之間均為正相關。

3.關于類比推理。

類比推理與類比遷移有關。已有研究表明，12歲以下兒童的類比推理能力不足，是由于他們所掌握的概念知識有限（特別是相對于類比推理任務的難度），缺乏類比遷移的動機。

除了自身年齡特征、知識經(jīng)驗、信念之外，工作記憶也是類比推理的重要影響因素。工作記憶是一種對信息進行暫時性加工和儲存的能量有限的記憶系統(tǒng)，由語音回路、視空間模板和中央執(zhí)行器三個部分組成。其中，語音回路負責以語音為基礎的信息的儲存和控制，它分為語音儲存系統(tǒng)和發(fā)音復述系統(tǒng)兩個部分；視空間模板主要負責處理視覺空間信息，它包含視覺元素（與顏色、形狀有關）和空間元素（與位置有關）；中央執(zhí)行器負責各個子系統(tǒng)之間以及它們與長時記憶之間的聯(lián)系，也負責主要資源的協(xié)調和策略的選擇與計劃。

唐慧琳和劉昌采用雙因素實驗設計，發(fā)現(xiàn)工作記憶是影響類比推理的重要因素：在圖形類比推理中，主要有視空間模板中的空間成分、語音回路中的發(fā)音成分以及中央執(zhí)行器的參與；而在言語類比推理中，則是視空間模板中的空間成分起主要作用。

此外，王亞南和劉昌通過數(shù)字推理測驗，探討了數(shù)字推理能力發(fā)展的心理機制，發(fā)現(xiàn)加工速度和工作記憶在數(shù)字推理能力的發(fā)展過程中都發(fā)揮著重要的作用，且工作記憶的作用大于加工速度；推測加工速度可能是年齡與工作記憶的中介，僅對工作記憶的發(fā)展起一種直接調節(jié)作用，而工作記憶可能對數(shù)字推理能力的發(fā)展起直接調節(jié)作用。

問題之間的相似性能夠影響類比檢索的過程，因而對類比推理也有重要影響：相似度越高，越能促進類比遷移。問題之間的相似性包括抽象原則、問題內容、實驗環(huán)境三個方面。其中，抽象原則在正規(guī)問題中指公式，在無法定義的問題中指圖式和深層結構；問題內容主要包括語義領域和表面元素兩個方面；實驗環(huán)境則包括實驗過程中的背景、實驗者和實驗程序等。

二、對中學數(shù)學教學的啟示

（一）關注發(fā)展關鍵時期，加強邏輯推理訓練

邏輯推理的相關研究表明，中學生的數(shù)學推理能力隨年級升高而提升；初二和高二是推理能力發(fā)展的轉折點（關鍵期）；假言推理能力在小學三年級到初中三年級之間隨年級的增長而增長，在小學三年級已有初步表現(xiàn)，在小學六年級到初中一年級之間有一個加速階段，在初中二年級普遍接近成熟水平；總體歸納推理能力的迅速發(fā)展在初一到初三階段，演繹推理能力的迅速發(fā)展在初三到高二階段。這些研究結論對數(shù)學教學的直接啟示是，要關注學生邏輯推理能力發(fā)展的關鍵期，在關鍵期內加強對學生的邏輯推理訓練。因為，如果錯過了關鍵期，再要培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，可能會事倍功半。

在小學階段，數(shù)學學習的主要內容是理解運算法則，依據(jù)法則進行運算。這是典型的演繹推理，但是，依據(jù)的法則往往是單一的，而且推理的步驟很少。這符合小學生的認知規(guī)律。到了初中階段，平面幾何的證明成為數(shù)學學習的重要內容。雖然也是演繹推理，但與小學階段有了明顯的不同：依據(jù)的法則、定理較多，選用難度較大，同時，推理的步驟明顯增多。如果初中生不能適應這種變化，也就是邏輯推理能力的增長沒有與學習內容復雜程度的增加同步，就會造成學習困難——實踐表明，初中往往是學生數(shù)學成績分化的起始時期。因此，在這一邏輯推理能力發(fā)展的關鍵期開展有針對性的訓練十分必要。

第一，保證一定量的推理練習。量變引起質變，這是一個簡單的哲學原理。沒有量的積累，何來質的改變？學習數(shù)學必須做一定量的題，這是一個硬道理。當然，一定量的推理練習并不意味著“題海訓練”，可以理解為“題海訓練”量的下限。也就是說，如果一個學生的推理訓練達到了一定的量，那么他的邏輯推理能力就能實現(xiàn)質的提升。對“一定量的推理練習”的理解，還要注意這樣兩個問題。其一，量（的下限）不是一個統(tǒng)一的標準。不同學習能力的學生需要的訓練量是有差異的：學習能力強的學生訓練量可能小一些，學習能力弱的學生訓練量可能大一些。其二，量與質是相關的。一個基本的觀點是，一道高質量題目的訓練功能強于幾道低質量題目的訓練功能。例如，讓學生做一道有理數(shù)的四則混合運算題目，其邏輯推理訓練功能明顯強于讓學生反復做幾道同一類型的有理數(shù)加法運算題目。這兩個問題正是教師在教學實踐中需要研究的：如何針對不同學生的實際水平確定訓練量的標準？如何編制高質量的邏輯推理訓練題？

第二，協(xié)調發(fā)展多種推理形式。演繹推理、歸納推理、類比推理之間有一定的相關性，但更具有相對獨立的特質。也就是說，不能指望通過一種推理能力的訓練來帶動其他推理能力的發(fā)展，專門的訓練是必要的。

例1老師在黑板上寫出了三個算式：52-32=8×2、92-72=8×4、152-32=8×27。王華接著寫出了兩個具有同樣規(guī)律的算式：112-52=8×12、152-72=8×22。

（1）請你再寫出兩個（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的算式；

（2）用文字寫出上述算式反映的規(guī)律；

（3）證明這個規(guī)律的正確性。

本題題干分兩次給出5個算式，啟發(fā)學生在觀察、認識的基礎上，初步猜想。第（1）問引導學生舉出一些例子（如112-92=8×5、132-112=8×6等），從而驗證猜想。第（2）問引導學生將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律做一般化描述：任意兩個奇數(shù)的平方差等于8的倍數(shù)。第（3）問則要求學生給出形式化的數(shù)學證明。前兩問都屬于合情推理，最后一問則屬于演繹推理。本題的解答過程中，既包含了對已知條件的觀察、分析和類比，又包含了對規(guī)律的探索、歸納及證明，為學生進行合情推理和演繹推理提供了可能，能較為全面地培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。

此外，本題條件還可以進一步簡化，即不給出算式的結果，而讓學生先自行計算52-32、92-72、152-32，再嘗試尋找規(guī)律，從而給學生更大的探索空間。

第三，協(xié)調運用演繹推理方法。在演繹推理中，綜合法和分析法是兩種常用的證明方法。分析以綜合為目的，綜合又以分析為基礎，二者互相滲透、互相依存。訓練中，應當注意兼顧兩種方法。

例2已知ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，求證：BC=1/2AB。

本題需要證明的結論是，一條線段的長度等于另一條線段長度的一半。教師可適當提示學生有兩種證明思路：第一種是延長BC至原來長度的兩倍，再證明其等于AB；第二種是縮短AB至原來長度的一半，再證明其等于BC。

針對第一種證明思路，可延長BC到點D，使得CD=BC（見圖1），此時只需要證明BD=AB。教師可進一步提問學生如何證明，啟發(fā)學生尋找BD與AB之間的關系，作出輔助線AD，使得問題進一步轉化為證明ABD為等腰三角形。針對這一命題，學生很容易判斷出可利用三角形全等來證明。至此，教師帶領學生通過分析法得到了證明思路，學生也能較為順利地寫出證明過程。

針對第二種證明思路，可取AB的中點D（見圖2），此時只需要證明AD=BC或BD=BC。教師可讓學生自己嘗試采用綜合法證明：連接CD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出CD=AD=BD，再由∠B=60°，得到BDC是等邊三角形，進而得出結論。

（二）適當揭示邏輯規(guī)則，固化演繹推理思維

形式邏輯有專門的知識。在中學數(shù)學教學中，這些知識通常不是系統(tǒng)地講授給學生的，而是學生通過數(shù)學知識的學習潛移默化地掌握的。但是，對有些邏輯知識，有必要做適當?shù)慕榻B，以幫助學生形成清晰的思路，固化“言必有據(jù)”的演繹推理思維。

例如，判斷的四種形式是全稱肯定、全稱否定、特稱肯定、特稱否定。學生必須理解它們之間的關系，否則，在推理時容易出現(xiàn)錯誤。

再如，直言三段論由大前提、小前提和結論組成，有四“格”，其中，第一格如下頁圖3所示（大前提必須是全稱的，小前提必須是肯定的），第二、三、四格稍微復雜一些。中學數(shù)學中的演繹推理幾乎都采用直言三段論的第一格。因此，學生必須理解清楚這個規(guī)則，方能正確進行演繹推理。

在學習演繹推理的初級階段，有必要對學生進行推理過程的補充理由訓練。一種方式是寫出全部推理過程，讓學生填寫每一步推理的依據(jù)；另一種方式是給出有一些空缺步驟的推理過程，讓學生補全推理過程，并寫明理由。許多研究表明，這是行之有效的推理訓練方式。

例3如圖4，點E在四邊形ABCD內部，AF∥BE，DF∥CE，求證：BCE≌ADF。

本題是一道常見的初中幾何證明題，涉及平行線、平行四邊形及全等三角形的有關知識，難度適中。教師可以讓學生獨立思考并給出證明，同時在每個步驟之后寫清理由，如使用的定理、性質等，從而幫助學生理解其中的邏輯關系。在這一過程中，教師還要關注數(shù)學語言表述的準確性、嚴謹性、規(guī)范性，及時糾正學生出現(xiàn)的錯誤。

（三）設置合情推理情境，培養(yǎng)歸納類比能力

合情推理的實質是“發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”。教學中，教師應根據(jù)學生的特點，充分挖掘教學資源，靈活創(chuàng)設合情推理情境，充分展現(xiàn)推理思維過程，培養(yǎng)學生的歸納和類比能力。

第一，情境要具有探究性。歸納和類比是探究中常用的推理；反過來說，只有通過探究活動，才能培養(yǎng)學生的歸納和類比能力。探究活動中，要完成的目標（要證明的結論）應該是不明確的，需要通過合情推理來發(fā)現(xiàn)。教師可以通過提問，啟發(fā)學生思考，引導學生探究；通過設計問題鏈，引導學生逐步深入，完成目標。

例如，“余弦定理”的教學大多采用演繹推理的方式，利用向量法或幾何法推導出余弦定理，但這種做法容易造成合情推理能力培養(yǎng)的缺失。對此，可采用“先猜后證”的方式，讓學生先利用合情推理進行探究，再利用演繹推理加以證明，從而體現(xiàn)合情推理能力和演繹推理能力的共同發(fā)展。

具體地，可以從類比推理的角度設計。通過勾股定理的復習引入，然后提出下列問題：（1）勾股定理揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關系，那么一般三角形的三邊是否有類似的關系呢？（2）勾股定理中的三邊關系有何特點？直角三角形和任意三角形有何關系？（3）請同學們觀察等式中的“abcosC”，我們以前似乎研究過這個量，它還可以怎樣表示？（4）如果把這個式子中的量都用向量表示，應該是什么形式？（5）你能證明這個式子嗎？（6）還有其他證明方法嗎？從而引導學生類比、分析勾股定理的形式，猜想、證明余弦定理的形式。

也可以從歸納推理的角度設計。引導學生先研究幾種特殊三角形的情形，再利用歸納推理的方法探究余弦定理。在這一過程中，將∠C為0°和180°的情況看作特例，更容易發(fā)現(xiàn)邊長c與∠C的余弦函數(shù)之間存在一定的聯(lián)系。

第二，情境要具有實驗性。利用數(shù)學實驗作為教學情境，能激發(fā)學生的學習興趣，引導學生從中歸納出抽象的數(shù)學原理，培養(yǎng)歸納和類比能力。教師可以設計與教學內容有關的富有趣味性、啟發(fā)性的數(shù)學實驗，讓學生在實驗情境中探索規(guī)律，通過觀察和操作提出猜想，再通過邏輯論證得到結論。

篇3

關鍵詞：常用邏輯用語；邏輯推理；數(shù)學思維

邏輯在數(shù)學領域扮演著重要的角色.它是在形象思維和直覺頓悟思維基礎上對客觀世界的進一步的抽象.五十年代的數(shù)學教學大綱中邏輯思維能力涵蓋了概念、原理、性質等邏輯知識，并要求學生必須具備邏輯思維能力，指出了其重要性.隨著邏輯涉及的知識內容不斷豐富，使用范疇逐漸擴大，其在數(shù)學大綱中的地位及重要性日益凸顯.到2003年國家頒布的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）》，邏輯的基礎知識、常用邏輯用語及推理與證明就已作為獨立章節(jié)被選入高中數(shù)學必修及選修教材中.

邏輯用語融入日常生活的方方面面，《數(shù)學課程標準》中提出正確地使用邏輯用語是現(xiàn)代社會公民應該具備的基本素質，因此，如何正確地使用邏輯用語表達我們的思考顯得非常重要.高中階段邏輯教學課時少，不足十課時，但是所涉及的邏輯思維、邏輯推理、邏輯知識卻貫穿于高中教學的全過程.可以看到高中所學的邏輯知識不但在數(shù)學領域而且在其他諸多領域都有極其重要的價值.下面根據(jù)個人教學經(jīng)驗， 談談有關邏輯教學的看法.

數(shù)學學科的一個重要目標就是培養(yǎng)學生抽象的邏輯思維能力.邏輯是一個基本的工具，因而邏輯在教學上的定位及落腳點應是著重于闡述數(shù)學思維的方法.心理學家認為，高中階段學生的思維方式是從形象思維向抽象思維過渡的階段，在整個高中時期學生的思維應是以邏輯思維為主導，如果此時抓住契機加強邏輯知識的學習，訓練學生的抽象思維，就能最大限度促進學生邏輯思維能力的培養(yǎng).

我們知道數(shù)學思想方法蘊含在數(shù)學知識之中，它是數(shù)學的精髓和靈魂.數(shù)學教學的核心是在教會學生掌握數(shù)學知識的同時，更重要的是讓學生學會運用數(shù)學思想方法解決數(shù)學問題.邏輯推理便好比是適當?shù)剡B接那些數(shù)學知識的螺絲釘，將知識融為一體.比如幾何學中的公理化方法，就是指從公理、公設出發(fā)根據(jù)一定的演繹規(guī)則得到其他命題，從而建立一套邏輯體系的方法.而且在邏輯推理過程中不斷地研究還會不斷地發(fā)現(xiàn)新的性質， 假如我們不設法加以整理，只是把空間的無數(shù)性質雜亂地收集著， 最后無法成為體系，所以我們必須要把幾何的種種性質加以整理，而邏輯推理就是我們的工具， 我們的不二法門.可見邏輯這種素材在數(shù)學上是絕對必要的.具體地說，常用邏輯用語和邏輯推理是高中數(shù)學邏輯學的主體，其中常用邏輯用語包括量詞、四種命題、充要條件等，邏輯推理包括三段論、合情推理等.對于邏輯的最簡易部分弄清楚之后，在今后的教與學進程中如何不斷地適時適地滲透它們，才能使學生逐漸熟悉它的用法，也就是說邏輯在教學中不能把它當成只是一個獨立的知識教過就算，因為它是普遍出現(xiàn)在數(shù)學的各個領域及問題之中，因此我們在教學上務必掌握它的這個特性，適時適地的突出它的作用，邏輯的教學才可能落實.

下面舉一些例子來說明上述的觀點.

例1. 設橢圓的兩焦點是F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），而橢圓上的點到這兩焦點的距離和是 2a（a > c > 0）， 則橢圓方程是+=1（a>b>0）.（注： 本問題及下面的證明出自人教A版選修2-1中2.2.1橢圓及其標準方程）

證明： 點M（x，y）在橢圓上的充分必要條件是MF1 +MF2=2a，因為MF1=，MF2=，所以+=2a.〔1〕

為化簡這個方程，將左邊的一個根式移到右邊，得=2a-，〔2〕將這個方程兩邊平方，得（x+c）2+y2=4a2-4a+（x-c）2+y2，〔3〕整理的a2-cx=a，〔4〕上式兩邊再平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得（x2-c2）x2+a2y2= a2（a2-c2），〔5〕兩邊同除以a2（a2-c2），得+=1.

由橢圓的定義可知，2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令b2=a2-c2得橢圓方程為+=1.

評注：我們在講授這個證明的同時，就應該引導學生思考并回答下面問題：由〔2〕推 〔3〕及由〔4〕推〔5〕，因為使用平方操作， 會不會因此產(chǎn)生增根？ 也就是〔2〕與 〔3〕，及〔4〕與〔5〕，它們是彼此互為充要嗎？ 或者說它們在邏輯上是等值嗎？

例2. 已知f（x）=為R上的奇函數(shù)，求實數(shù)a的值.

解： f（x）是R上的奇函數(shù)， f（0）=0，解得a=1.

評注：上述解題過程只能說明結果a=1是題設的必要條件，結論雖正確，但目標是不是題設的充分條件呢？如果將 f（x）改為 f（x）=x3+ax2+a2-a，按上述邏輯推理應解答為： f（x）是R上的奇函數(shù) f（0）=0 a=1或a=0.可是當a=1時 f（x）并不是奇函數(shù)，故a=1是增解應舍去.有些學生利用原問題的一個較弱的必要條件或者充分條件，即利用非等價轉化來進行解題.但是最后缺乏進行等價性檢驗或證明，從而喪失了糾錯的機會.

例3. （2012年高考全國大綱卷2O題第2問）設函數(shù)f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]， f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍.

解：由 f（x）≤1+sinx在[0，π]上恒成立，則其必要條件為 即a≤.

g（x）在x=0或x=π處取得最小值.又g（0）=0，g（π）=2-πa≥0，所以a≤.

綜上可知：a的取值范圍為（-∞，].

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關鍵詞：能力；邏輯推理能力；定量思維；提煉數(shù)學模型；數(shù)學解的分析

數(shù)學是一門重要的基礎課，在大學理、工、文經(jīng)的許多課程內容都直接或間接地涉及到數(shù)學知識。提到數(shù)學教學，人們往往把眼光盯在數(shù)學概念、公式等數(shù)學知識和計算能力方面，其實這是不夠的或者是片面的。實際上，數(shù)學能力的培養(yǎng)是數(shù)學教學的一項重要任務，這也正是現(xiàn)代化社會發(fā)展所迫切需要的。正確迅速的運算能力，邏輯思維能力，空間想象能力是學生必須具備的數(shù)學能力。本文主要談談學生邏輯思維能力的培養(yǎng)。

邏輯思維能力是學生數(shù)學能力的一個重要內容，這是由數(shù)學的極度抽象性決定的。邏輯思維能力的培養(yǎng)，主要通過學習數(shù)學知識本身得到，而且這是最重要的途徑，在數(shù)學教學中，學生的邏輯思維能力主要表現(xiàn)為：判斷能力；邏輯推理能力；定量思維、提煉數(shù)學模型的能力和對數(shù)學解的分析能力。

一、判斷能力

判斷是對客觀事物情況有所斷定的思維。數(shù)學判斷則主要是對事物的空間形狀及數(shù)量關系有所肯定或否定的思維，具體說是對命題的判斷。恰當?shù)呐袛嗄芰粗改苷_地、恰如其分地反映事物的真實情況。提高判斷能力主要是提高分析能力和理解能力?？陀^世界中事物總是相互聯(lián)系、相互制約的，這些聯(lián)系與制約，有的是必然的，有的是或然的，這些不同的情況反映了它們之間的聯(lián)系程度，因而就產(chǎn)生了不同的判斷和利用不同的抽象形式去研究和表述這些關系的數(shù)學方法，所以對于某一個具體的問題，要用數(shù)學方法去解決它，首先必須能夠判斷事物與其屬性的聯(lián)系情況，哪些是必然屬性，哪些是在某些條件之下可能出現(xiàn)的屬性，從而進一步研究這些條件與可能，以便提煉合適的數(shù)學模型。對于復雜的命題，必須運用分析與綜合相結合的方法，一面分析一面綜合，分析與綜合互相結合推導，就能比較迅速地找出證題與解題的途徑。要保證證題或解題的正確性，還必須遵守邏輯思維規(guī)律，即同一律、無矛盾律、排中律和充足理由律。這四條規(guī)律反映了人們思維的根本特點：確定性、無矛盾性、一貫性和充分根據(jù)性。如果違背了其中任何一條規(guī)則，都可能導出證明或解題的錯誤。所以掌握邏輯思維的規(guī)則是具有判斷能力的一個重要因素。辯證思維是具有判斷能力的又一個重要因素。特別在高等數(shù)學中，對一些數(shù)學概念的辯證關系的掌握尤為重要。如無限與有限、連續(xù)與間斷等。掌握了這種辯證思維的方法，就能提高判斷一個命題是否正確的能力。判斷是貫穿于科學理論數(shù)學化的全過程之中的，判斷力是解決數(shù)學問題的基礎能力。判斷和推理又是緊密聯(lián)系在一起的。

二、邏輯推理能力

數(shù)學中嚴謹?shù)耐评砗鸵唤z不茍的計算，使得每一數(shù)學結論不可動搖。這種思想方法不僅培養(yǎng)了數(shù)學家，也有助于提高全民族的科學文化素質，它是人類巨大的精神財富。邏輯推理主要有演繹和歸納法。數(shù)學按其本性是一門演繹科學。因為在它由現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系提煉出概念之后，在一定階段上就要發(fā)展成為有相對獨立性的體系，即要用獨特的符合語言從初始概念和公理出發(fā)進行邏輯推理，以此來建立和證明自己的定理、結論，這實際就是用演繹法建立的體系。演繹法中最有代表性的是公理法，以此法建立起來的數(shù)學體系就是公理化體系，象歐氏幾何、群論、概率論、數(shù)理邏輯等都屬此類。實踐證明，公理化體系對于培養(yǎng)人們邏輯推理能力是非常有力的。公理方法是在公元前三世紀由希臘數(shù)學家歐幾里得首創(chuàng)的。他的巨著《幾何原本》就是從少數(shù)的幾個定義和公理出發(fā)，推導出整個幾何的一個嚴密的幾何學體系。愛因斯坦關于歐氏幾何曾說：“世界第一次目睹了一個邏輯體系的奇跡，這個邏輯體系如此精密地一步一步推進，以致它每一個命題都是絕對不容置疑的--我這里說的是歐幾里得幾何”。推理的這種可贊嘆的勝利，使人類的理智獲得了為取得以后成就所必需的信心。1899年德國數(shù)學家希爾伯特又出版了《幾何基礎》，在這本書中他設計的幾何公理法獲得成功。歐氏及希氏公理化體系采用的邏輯推理方法，可以揭示出數(shù)學知識的內部聯(lián)系以及數(shù)學的概念與概念之間，命題與命題之間，同一個命題的前提與結論之間的本質的聯(lián)系，從而能使人們更加深入地認識事物的聯(lián)系和規(guī)律。而且這種邏輯推理條理清楚，簡明扼要，可以保證數(shù)學中結論的充分確定性，也是判定數(shù)學命題真?zhèn)蔚挠行Х椒?。所以公理方法不但對于建立科學理論體系，系統(tǒng)傳授科學知識以及推廣科學理論的應用等方面有至關重要的作用，而且對于培養(yǎng)人們的邏輯推理能力也是一個極有效的方法，在數(shù)學的教學中應給以極大的重視。歸納推理是邏輯推理中又一種非常主要的推理方法。歸納法通常就是從觀察和實驗開始的，例如數(shù)學中的猜想：費爾瑪猜想、哥德巴赫猜想等等，都是通過具體的數(shù)先引出“猜想”，然后通過更多的具體的數(shù)增強這個“猜想”，從而歸納出猜想，這里用了不完全歸納法，但是猜想還不是定理，還需經(jīng)過數(shù)學理論的嚴格說明。就連公理化體系的建立，也是先收集了相當豐富的資料之后，人們需要對這些材料加以概括和整理，只有在這時，人們才能在許許多多的命題中經(jīng)過分析和綜合，經(jīng)過比較和選擇來確定一些命題作為公理，其余命題就作為以公理為依據(jù)的邏輯推理的結果。猜想和公理都是對感性材料進行比較、分析、綜合、抽象概括等一系列邏輯加工之后歸納出來的，然后再用演繹法去證明。歸納推理能力的培養(yǎng)是一種綜合的邏輯思維能力的培養(yǎng)。類比推理也是數(shù)學中常用的一種邏輯推理方法。

類比推理是根據(jù)兩個對象有一部分屬性相類似，推出這兩個對象的其他屬性相類似的一種推理方法。在初等數(shù)學、高等教學、集合論中都要用到類比推理。

三、定量思維、提煉數(shù)學模型的能力

定量思維是指人們從實際中提煉數(shù)學問題，抽象化為數(shù)學模型，用數(shù)學計算求出此模型的解或近似解，然后回到現(xiàn)實中進行檢驗，必要時修改模型使之更切合實際，最后編制解題的軟件，以便得到更廣泛的方便應用。數(shù)學模型就是用數(shù)學式子表示假定。它是用來揭示客觀自然界的本質、規(guī)律及解決現(xiàn)實世界中各種問題的最重要的方式。應用數(shù)學理論和方法來解決實際問題，本質上就是把這個問題概念化和公式化，即提出數(shù)學模型。模型提煉得正確，就等于這個問題解決一大半。提煉數(shù)學模型的能力，是數(shù)學水平高低的重要標志之一。任何的現(xiàn)象都是復雜的，所以一般說來一個數(shù)學模型的建立不可能一次完成。對于一個現(xiàn)象，首先應該進行分析，努力抓住事物現(xiàn)象的特征，然后選擇與現(xiàn)象的本質有關的、對于結果有重要影響的因素，建立起一個簡單的數(shù)學模型，并將這個模型的解與現(xiàn)象進行比較，并考慮進其他的因素，進行多次反復的修正，以逐步逼近現(xiàn)象，達到提煉出該現(xiàn)象的完整的、正確的數(shù)學模型。同一個現(xiàn)象，由于研究的角度和見解的不同可表示為不同的數(shù)學模型。提煉數(shù)學模型的能力是在大量地研究、解決問題的過程中不斷培養(yǎng)的。

四、對數(shù)學解的分析能力

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【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）07B-0076-02

學生剛從小學升入中學時，心理和生理都發(fā)生著巨大的變化，而數(shù)學教學也發(fā)生著重大的轉變，初中數(shù)學在小學數(shù)學的基礎上增加了復雜的平面幾何、代數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、一次函數(shù)與二次函數(shù)等，內容多，難度大，學生感到吃不消，因此對數(shù)學產(chǎn)生畏懼感。以下針對七年級學生學習初中數(shù)學時出現(xiàn)的問題，談談具體的解決方法。

一、提升學生的數(shù)學學習能力

初中數(shù)學較之小學數(shù)學更為復雜、抽象，特別是數(shù)字到字母的轉變、具象到抽象的轉變等，一些邏輯推理能力稍差的學生學習起來感到十分吃力，學生在七年級階段學不好，會影響到今后對數(shù)學的深入學習。因此，提升學生的數(shù)學學習能力尤為重要。邏輯推理能力是學生學習初中數(shù)學的首要必備能力，在具體教學中，教師要注重對學生邏輯推理能力的培養(yǎng)。

例如，在幾何教學中，培養(yǎng)學生將文字語言轉化為數(shù)學語言的邏輯思維。

師：已知：HC是∠ACB的角平分線，同學們從已知條件可以知道什么？

生：因為HC是角平分線，所以∠HCA和∠HCB兩個角相等。

師：沒錯，不僅∠HCA=∠HCB，而且別忘記∠HCA=∠HCB=∠ACB。

師：已知AB//CD，直線EF分別與直線AB和CD交于點G和H，請同學把圖畫出來。

學生根據(jù)對條件的理解畫出圖形，如圖1。

師：∠AGH和∠GHD是內錯角，所以∠AGH=∠GHD，同學們根據(jù)老師的思路，還能推理出什么？

生：因為AB//CD，所以∠FHD=∠FGB，并且∠AGH+∠CHG=180°。

教師先舉例說明，再讓學生自己進行觀察推理，使學生不至于因為知識點理解有困難而走偏路。通過步步引導，逐漸提高學生的理解能力和邏輯推理能力。

二、把握教學內容的銜接

與小學數(shù)學相比，初中數(shù)學的內容更加系統(tǒng)豐富，如果教師處理不好中小學數(shù)學教學內容銜接的問題，會直接導致學生在初中數(shù)學的學習中脫軌。因此，在教學過程中，教師必須注意初中數(shù)學和小學數(shù)學的銜接，在接觸一個新的知識點時，先分析小學數(shù)學與初中數(shù)學的差異，讓學生意識到數(shù)學在初中階段的系統(tǒng)化，同時，又要給予學生充分的信心，使學生不會因為初中數(shù)學與小學數(shù)學的巨大差異而產(chǎn)生恐懼心理。

例如，在“有理數(shù)”的教學中，我的教學過程如下：

師：小學數(shù)學是在算術數(shù)中研究問題的，我們現(xiàn)在開始學習一個新的知識――有理數(shù)。

學生從書上找到有理數(shù)的概念，師引入負數(shù)，并舉例說明其用法。

師：同學們，我們怎樣區(qū)別山峰的海拔高度與盆地的海拔高度這兩個具有相反意義的量呢？

生：用負數(shù)，就像零上幾度和零下幾度一樣。

師：沒錯。事實上，有理數(shù)與算術數(shù)的根本區(qū)別在于有理數(shù)由兩部分組成：符號部分和數(shù)字部分，數(shù)字部分也就是算術數(shù)。

生：也就是說，有理數(shù)相比小學的算術數(shù)只是多了符號的變化。

師：對，例如：（-5）+（-3），同學們可以先確定符號是“-”，再把數(shù)字的部分相加。

生：答案是（-5）+（-3）=-（5+3）=-8。

在算術數(shù)到有理數(shù)這一重大轉變中，教師明確了切入的方向和步驟，使教學內容與小學數(shù)學的內容很好地銜接，同時，又能幫助學生在小學的基礎上理解有理數(shù)，使學生感受到初中數(shù)學與小學數(shù)學內容上的一脈相承，從而適應初中數(shù)學的學習。教師在教學中要注意由小學數(shù)學內容或生活中的實例引入教學，拉近學生與新知識的距離，加深對知識的理解，再實戰(zhàn)練習，讓學生不再對初中數(shù)學望而生畏。

三、培養(yǎng)學生良好的學習習慣

良好的學習習慣對于初中階段的數(shù)學學習極其重要，在小學階段，學生大多沒有形成特定的學習習慣，往往以完成教師布置的作業(yè)為主要目標，臨近考試才看書“臨時抱佛腳”。大多數(shù)學生在進入初中后，面對快節(jié)奏的學習顯得十分不適應。因此，教師要致力于培養(yǎng)學生良好的學習習慣，讓學生面對高強度的學習任務也能游刃有余。在初中數(shù)學的學習習慣中，預習和復習尤顯重要。

1.重視預習

進入初中階段，數(shù)學教學進度陡然加快，學習難度也逐步加深，學生一時難以適應，在聽課過程中，學生由于沒有預覽新知識，對教師所講內容十分茫然，從而產(chǎn)生焦慮急躁的情緒，影響繼續(xù)聽講。久而久之，不僅聽課效率下降，更打擊了學生學習初中數(shù)學的信心和興趣。因此，教師應在布置當天學習內容的作業(yè)時，將預習次日學習內容作為一項作業(yè)布置給學生，并提出預習的具體要求，指導學生預習的方法，讓學生逐漸養(yǎng)成預習的習慣。

2.正確把握復習的節(jié)奏和掌握復習的方法

復習也是一個極其重要的學習習慣。根據(jù)艾賓浩斯遺忘規(guī)律曲線，在識記的最初階段遺忘速度很快，以后逐步減緩。因此，在學習新知后若不及時加以鞏固復習，學習效果將大打折扣。教師應向學生強調復習的重要性，明確要求學生在做作業(yè)之前先復習當天所學內容，并階段性回顧單元章節(jié)知識，以強化學習效果。

復習主要包括兩部分，一部分是新授課后對已學知識點的回顧和鞏固，另一部分是考試前對知識的回憶和溫習。首先是新授課后對已學知識點的回顧和鞏固，在這一環(huán)節(jié)，學生總感覺學習時間不夠，光是完成教師布置的作業(yè)就已經(jīng)很吃力了，更別說復習，這就要求學生學會把握復習的節(jié)奏。教師應該適時在課堂上復習已學知識或點評新舊知識點的聯(lián)系，用課堂講習題的方式間接提醒學生復習的重要性，使學生在潛移默化中適應教師的復習節(jié)奏和方法，最終化為自己的習慣和方法。其次是考試前對知識的回憶和溫習。教師應提醒學生，復習要以教材為本，深入理解知識點，把握重點內容。另外，考過的測試卷也是復習的好資料，考試中暴露的問題正是學生應該重視的復習內容，尤其是七年級新生，不知復習從哪兒下手時，更應該珍惜每一份試卷，認真分析，找出自身知識點的薄弱環(huán)節(jié)，總結失敗的教訓，從中得到成長與進步。

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隨著知識經(jīng)濟時代的到來及科技的發(fā)展，離散數(shù)學的思想逐漸對計算機學科中的影響越來越突出，并且離散數(shù)學作為計算機學科研究應用的有效工具，對于計算機學科的持續(xù)發(fā)展產(chǎn)生了重要影響，本文就離散數(shù)學在計算機學科中的應用現(xiàn)狀進行分析，針對離散數(shù)學應用中存在的問題提出相應的解決措施，為相關研究人員和工作人員提供一定的借鑒意義。

【關鍵詞】離散數(shù)學 計算機學科 應用探究

在離散數(shù)學的應用中，離散對象是離散數(shù)學中常見的內容，離散是指元素不能有效連接的元素，由于計算機學科的發(fā)展以及離散數(shù)學的獨特性，離散學科的可行性研究是一個重要的研究領域，在離散數(shù)學的的研究中，需要進一步找出離散變量的存在性，并根據(jù)該變量的存在特點，找出該問題有規(guī)則的計算步驟，由于計算機屬于一個離散結構，其研究對象均為離散式，因此，需要離散數(shù)學知識的支持，以便促進計算機學科的發(fā)展。

1 離散數(shù)學應用于計算機學科中的必要性

離散數(shù)學作為計算機學科應用數(shù)學的一種有效工具，對于整個計算機學科的發(fā)展研究起著重要的推動作用，在計算機學科的形式語言中，可以通過離散數(shù)學的自動機理論來研究整個形式語言的發(fā)展，并且可以對計算機學科中的程序進行適當?shù)奶剿鳟a(chǎn)生靈感，在離散數(shù)學中的謂詞演算、代數(shù)結構等理論，都可以為計算機學科的進一步發(fā)展提供相關的理論依據(jù)，促進計算機學科的研究進程，但是，如果對離散數(shù)學的內容沒有清楚的理解，在計算機的學科研究中，可能會失去這一靈感來源。因此要重視離散數(shù)學對于計算機學科應用的重大意義。

2 離散數(shù)學在計算機學科的內部具體應用

2.1 在數(shù)據(jù)結構中的應用

在計算機的數(shù)據(jù)結構中，計算機內部操作對象之間的關系可以分為集合、樹形結構、線性結構、圖狀結構、網(wǎng)狀結構等，由于計算機學科中，需要利用這些計算機數(shù)據(jù)結構進行問題研究和決策，以解決數(shù)據(jù)結構中出現(xiàn)的具體問題，在離散數(shù)學具體問題中逐漸歸納演繹出一個合適的計算機數(shù)據(jù)操作模型，然后根據(jù)這個操作模型運行的規(guī)則，設計、編出相應的程序，并對先行程序進行測試和調整，形成完善的數(shù)據(jù)結構模型，然后，對數(shù)學模型實質進行分析，并提取出操作的對象，了解之間的關系，使用數(shù)學的語言對其進行描述。數(shù)據(jù)結構操作模型根據(jù)邏輯結構、基本運算規(guī)則、物理存儲等內容，建立比較完善的數(shù)據(jù)結構運行規(guī)則。而離散數(shù)學中的離散結構深刻影響了這一系列的邏輯結構和運行操作規(guī)則，因此可以說，離散數(shù)學中的集合論、關系、樹以及圖論等知識內容充分反映出數(shù)據(jù)結構的結構知識。

2.2 在數(shù)據(jù)庫中的應用

計算機學科中的數(shù)據(jù)庫是應用離散數(shù)學最明顯的地方，在計算機學科的數(shù)據(jù)庫建立中，關系數(shù)據(jù)庫是最流行的關系模式，比如，離散數(shù)學中的笛卡爾數(shù)學理論，對計算機學科中的關系數(shù)據(jù)庫形成具有關鍵作用，并且在相關離散數(shù)學理論的應用中，不僅促進了關系數(shù)據(jù)庫的不斷完善和發(fā)展，同時也有利于促進計算機學科理論的完善。再比如，集合代數(shù)可以為關系數(shù)據(jù)模型的建立提供基礎條件，其數(shù)據(jù)的邏輯結構需要以行與列組成的二維方式來描述。并且通過相關的二元關系理論幫助計算機學科中建立查詢、維護功能。

2.3 在編譯原理中的應用

計算機學科中的計算機的編譯程序是比較復雜的操作之一，這些編譯程序包括詞法、語句、語義、代碼優(yōu)化、錯誤信息檢查與處理等各個部分，而在離散數(shù)學的計算模型內容中，有關的有效狀態(tài)、文法、圖靈機等內容為這些程序的編譯提供了可靠的研究來源，這些內容的具體內涵包括語言與文法、有限狀態(tài)機、圖靈機與有限狀態(tài)等知識結構內容，采用這些離散數(shù)學知識可以有效的形成羅塑形術，運用此種方法，可以讓邏輯語文的內容更加詳實，從而架構起圖款存庫與語言演繹的關聯(lián)，最后，對所有具有關聯(lián)性的內容進行邏輯推理測試，核實編譯程序的正確性和操作的便利性。因此，在離散數(shù)學的框架內，逐漸形成了對問題進行自動分析、解決的計算機編譯程序。

3 離散數(shù)學在計算機學科的外延具體應用

3.1 在人工智能中的應用

在計算機學科的離散數(shù)學研究應用中，計算機外延的結構系統(tǒng)人工智能就是很好利用離散數(shù)學的例子，其邏輯推理同樣是人工智能利用的重點，首先是可以改善人工智能的實際作用。通過將微詞邏輯語言進行邏輯推理式的演繹過程，為接下來的程序構造做好的流程疏通的作用，而這些邏輯的規(guī)則賦予了數(shù)學語句更加精確的定義。其次是離散數(shù)學圖例對人工智能的影響，這些離散數(shù)學的圖例為早期的人工智能發(fā)展起了很大作用，促進整個早期人工智能研究方法和理論的成熟。最后是離散數(shù)學的布爾代數(shù)章節(jié)為人工智能的提供了方法管理的依據(jù)，同時也很好的奠定了護理基礎的研究。因此，可以說大多數(shù)離散數(shù)學的內容，可以很好的促進人工智能技術的改善和發(fā)展。這都要求有著更深刻的推理機制起著重要作用，起到了降低專家思維機制的錯誤率，提高分析問題的準確度，從而實現(xiàn)機器的智能化。

3.2 在計算機體系結構中的應用。

指令系統(tǒng)的設計與改進是計算機學科體系的重要內容，良好的指令系統(tǒng)設計與改進可以明顯提高整個計算機體系的性能，而指令系統(tǒng)的優(yōu)化和改進幾乎都是通過對離散數(shù)學某些概念、理論的應用才能實現(xiàn)的。比如，對指令格式的優(yōu)化，如果系統(tǒng)的指令在指令的操作碼和地址碼不能有效的運轉時，根據(jù)離散數(shù)學中哈弗曼壓縮的概念，將指令的平均字長進行無損壓縮，從而減少該問題出現(xiàn)的概率，因此，適當?shù)氖褂脙?yōu)化技術對發(fā)生概率最高的事件使用最短的時間來處理，達到了優(yōu)化指令格式的目的。此外，當對位數(shù)縮短時，同樣可以利用離散數(shù)學中的哈弗曼算法，將指令系統(tǒng)中的指令操作頻率進行結構優(yōu)化，構建出哈夫曼樹叉圖形，將這些分叉上的頻率分析歸類，應用到計算機體系結構中。

4 結束語

在計算機學科迅速發(fā)展的今天，對于離散數(shù)學的進一步研究分具有很深遠的意義，因為離散數(shù)學可以為計算機學科發(fā)展，提供有效的邏輯推理依據(jù)，幫助計算機學科學生發(fā)展邏輯推理能力，并將這些離散數(shù)學概念逐漸應用到計算機學科的方方面面，在提高學生邏輯思維能力的同時，強化了學生的創(chuàng)新思維，同時更好的掌握現(xiàn)代化計算機學科知識，需要對離散數(shù)學進行有效的掌握，以便促進計算機學科更好的發(fā)展。

參考文獻

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[2]陳敏，李澤軍.離散數(shù)學在計算機學科中的應用[J].信息技術與課程整合，2013，28（12）：893-894.

[3]杜林鈺.離散數(shù)學在計算機學科中的應用[J].科技教育，2015，（11）：464.

篇7

[關鍵詞] 數(shù)學方法 經(jīng)濟研究

1975年瑞典皇家科學院把諾貝爾經(jīng)濟學獎授予兩位學者，前蘇聯(lián)數(shù)學家康托羅維奇和美籍經(jīng)濟學家?guī)炱章员碚盟麄優(yōu)榻⒑桶l(fā)展線性規(guī)劃并把它應用到經(jīng)濟分析中所做出的貢獻。這一事實誘導人們不斷探求數(shù)學與經(jīng)濟學的共生現(xiàn)象，數(shù)學做為工具研究和分析經(jīng)濟活動中的各種宏觀、微觀的數(shù)量關系，現(xiàn)代數(shù)學方法引入到經(jīng)濟學領域，大大地推動了經(jīng)濟學的研究和發(fā)展。

一、數(shù)學方法在經(jīng)濟學研究中的作用和重要性，可以從經(jīng)濟學的最高獎項―――諾貝爾經(jīng)濟學獎的獲獎名單中得到證實

諾貝爾經(jīng)濟學獎從1969年開始頒獎，上世紀末共頒獎32屆，獲獎者達46人。從32屆頒獎的學者以及頒獎的內容來看，貫穿著一條很明顯的事實，那就是數(shù)學方法與經(jīng)濟學研究的巧妙結合。幾乎所有的(除了獲1974年諾貝爾獎的哈耶克)獲獎成果都用到了數(shù)學工具，有一半以上獲獎者都是有深厚數(shù)學功底的經(jīng)濟學家，還有少數(shù)獲獎者本身就是著名的數(shù)學家，特別像獲1975年諾貝爾獎的蘇聯(lián)數(shù)學家康托洛維奇，獲1983年諾貝爾獎的法籍美國數(shù)學家德布洛，獲1994年諾貝爾獎的美國數(shù)學家納什。

二、在經(jīng)濟學中應用數(shù)學方法是經(jīng)濟科學發(fā)展的內在要求和必然趨勢

薩繆爾森在其《經(jīng)濟分析基礎》中文版序言曾經(jīng)說，不使用數(shù)理經(jīng)濟學方法，是“不能使人超越經(jīng)濟科學的幼兒園的?！爆F(xiàn)代經(jīng)濟理論工作者們也越來越清晰地意識到，在經(jīng)濟理論研究中僅靠過去普遍采用的文字描述方法進行思辨式推理分析，很難保證所討論問題的規(guī)范性及推理邏輯的一致性和嚴密性，也就難以保證研究結論的準確性、易證實性和理論體系的精密性，這就極不利于經(jīng)濟學科知識準確地、低成本地積累、交流和傳播。而數(shù)學方法則能使經(jīng)濟學研究對象明確具體、經(jīng)濟變量之間的關系數(shù)量化以及保證邏輯推理過程的嚴密性，最終將保證在理論上得出的結論具體明確，使相應的經(jīng)濟理論建立在堅實的科學基礎上，從而減少或消除經(jīng)濟關系中的不確定因素，促進經(jīng)濟科學不斷發(fā)展。自從威廉?配第在《政治算術》中“用數(shù)字、重量和尺度的詞匯”來分析經(jīng)濟現(xiàn)象、并確定經(jīng)濟發(fā)展存在著客觀規(guī)律性以后的三百多年來，數(shù)學方法在經(jīng)濟學研究中得到了廣泛的應用和發(fā)展，而且對經(jīng)濟學的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，做出了巨大的貢獻。例如現(xiàn)正在使用的邊際分析、彈性分析、均衡分析、回歸分析、主成分分析、聚類分析、投入產(chǎn)出模型、經(jīng)濟增長模型、經(jīng)濟控制模型、博奕論模型等都是利用數(shù)學工具來解釋或解決實際經(jīng)濟問題的，它們對經(jīng)濟科學的發(fā)展也做出了巨大的貢獻。

三、數(shù)學使經(jīng)濟學研究方法更加清晰、精確，邏輯推理更加嚴密

回顧經(jīng)濟學的發(fā)展歷程，會清楚地發(fā)現(xiàn)，經(jīng)濟學的每一次重大突破，都與數(shù)學有著重大的關系。無論是從古典經(jīng)濟學到新古典經(jīng)濟學的轉變，還是從“邊際革命”到“凱恩斯革命”都得益于數(shù)學方法的應用。在經(jīng)濟學發(fā)展史上，最偉大的發(fā)現(xiàn)是亞當?斯密的“看不見的手”的經(jīng)濟思想。它揭示了市場經(jīng)濟最基本的內在規(guī)律:價格調節(jié)會自發(fā)地實現(xiàn)均衡。但這一經(jīng)濟思想最終是由迪布魯運用拓撲論、集合論等現(xiàn)代數(shù)學工具給出了最完備的證明。在由常量數(shù)學向變量數(shù)學的轉折中，微積分被應用于經(jīng)濟學引發(fā)了經(jīng)濟學的“邊際革命”，這就奠定了當代西方經(jīng)濟學的理論框架。而必然數(shù)學向隨機數(shù)學的轉折，促使人們以概率論的觀念取代了傳統(tǒng)的定數(shù)論的觀念，于是經(jīng)濟計量學就應運而生，從而溝通了經(jīng)濟理論與實踐的聯(lián)系，使經(jīng)濟學進一步實用化，隨著數(shù)學的不斷發(fā)展，人類經(jīng)濟行為中最難以把握的問題之一是不確定性與風險性，在運用了博弈論之后對不確定行為的分析也有了突破性的進展。這使得數(shù)學在不斷應用于經(jīng)濟學的過程中不斷強化著經(jīng)濟學與數(shù)學的關系，同時也在不斷改變著人們在經(jīng)濟研究中的思維方式和思維習慣，使人的思維和行為更具有了定量特性。這就是說大部分經(jīng)濟現(xiàn)象即使不用數(shù)學也能講清楚它的因果關系，但是數(shù)學有它的好處，因為數(shù)學是最嚴謹?shù)囊环N形式邏輯，尤其有不少人在運用語言時邏輯容易不嚴謹。這就要求在經(jīng)濟學的論述和交流中，從使用文字語言轉變?yōu)槭褂脭?shù)學語言。因為使用數(shù)學語言比較簡練，表述概念比較精確。而且數(shù)學語言是最嚴格的邏輯形式，尤其是數(shù)學表達的邏輯嚴謹、無歧義，并容易被證實或證偽。可以說科學史上的許多爭論，都源于未明確給定討論的前提條件或者潛在假設模糊，用文字語言表述卻難以發(fā)覺，造成了“公說公有理，婆說婆有理”的爭論局面。解決這些爭論的最好方法就是使用數(shù)學語言。這樣就可以避免一些無意義的爭吵，這無疑將提高學術交流的效率，提高經(jīng)濟學的科學性。

四、結束語

我們看到，經(jīng)濟管理數(shù)學化已經(jīng)成為一種趨勢，經(jīng)濟管理已離不開數(shù)學這個支柱，而且隨著數(shù)學的進一步發(fā)展和計算機技術的普及，數(shù)學的作用顯然會向更多方面拓展。依據(jù)數(shù)學對現(xiàn)代社會發(fā)展的作用來進行數(shù)學教育改革，是時展的需要，一般說來，數(shù)學并不能直接處理經(jīng)濟領域的客觀情況。現(xiàn)代化進程所需要的數(shù)學起源于實踐，數(shù)學與實踐的聯(lián)系是通過數(shù)學建模來實現(xiàn)的，為了能用數(shù)學解決經(jīng)濟領域中的問題，就必須進行數(shù)學建模。因此在高校的數(shù)學課程中加開和重視數(shù)學建模課。

參考文獻:

篇8

【關鍵詞】數(shù)學 學生 意識 培養(yǎng)

我們要做好數(shù)學應用教育的研究，提高數(shù)學教育水平和效率，開創(chuàng)數(shù)學教育新局面。教師是課堂教學雙邊活動的“引導者”、“組織者”，哪些問題可以合作完成、哪些問題不需要合作完成，以及如何更好地處理學習過程中生成與預設的關系都對學生合作學習的過程起到?jīng)Q定性的作用。在學生合作學習的過程中，我始終參與其中，關注他們合作的進程和出現(xiàn)的問題，平等地和他們交流，給他們建議，給他們啟示，積極加以引導。教師作為一名特殊的學習伙伴，他應當是更優(yōu)秀的“學習性他者”，學生合作過程中，教師只有最大限度的收集信息、提供適時幫助和指導，才能更有效地關注學生合作學習后對問題的解決。

引起中學生數(shù)學應用意識和能力差的原因

1、對數(shù)學的價值認識不足。

“科學技術是第一生產(chǎn)力”，“科學技術的基礎是應用科學，而應用科學的基礎是數(shù)學”。這一論述揭示了數(shù)學在生產(chǎn)力中的巨大作用。數(shù)學作為從量的方面處理現(xiàn)實世界中各種關系的科學，當然也要處理有關生產(chǎn)關系的問題。這就是數(shù)學的價值。但由于歷史的影響，教師們在過去的教學中過份強調數(shù)學的邏輯性、嚴謹性、系統(tǒng)性和理論性，寧可一遍遍地去重復那些嚴謹?shù)臄?shù)學概念、講授那些主要為解題服務的技巧，卻很少去講數(shù)學的精神、數(shù)學的價值、數(shù)學結論的形成與發(fā)現(xiàn)過程、數(shù)學對科學進步所起的作用等等內容。這使學生對數(shù)學的認識片面化、狹隘化，比如許多學生就認為“數(shù)學不過是一些邏輯證明和計算，”甚至認為“數(shù)學只是一個考試科目。”

2、用數(shù)學的意識差

用數(shù)學的意識，簡言之就是用數(shù)學的眼光，從數(shù)學的角度觀察事物、闡釋現(xiàn)象、分析問題， 意識是一個思想認識問題，也是一種心理傾向，其重在自覺性、自主選擇性，它需要在較長時間中通過一定量的實踐才能形成。我國舊的數(shù)學教育內容的選擇，由于受蘇聯(lián)模式的影響，以在體系結構上追求嚴格的理論推導和論述為主的“理論型教材”占多數(shù)。課程內容的選擇在極大程度上反映了數(shù)學應用的程度和水平，理論型教材對實施數(shù)學應用教育是極其不利的，這是造成學生缺乏、甚至是逐漸喪失應用意識的主要原因。顯而易見，學生在學習與社會實踐中缺乏用數(shù)學的自覺自愿，又何從談起用數(shù)學解決問題。

篇9

隨著歷史的發(fā)展與進步，人們不斷探索、不斷進取，數(shù)學隨著時代的步伐，在人類的實踐中不斷進步，在進步中日趨完善。今天，在這個科技高度發(fā)展和非常需要人才的時代，數(shù)學教育越來越重視觀察和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)，在數(shù)學思維中被視為最可貴、層次最高的品質便是創(chuàng)造能力和發(fā)散性思維的開發(fā)。于是在經(jīng)過一個長期的發(fā)展過程中，人們逐漸的犯下了一個錯誤：認為學習數(shù)學不需要記憶，忽視了數(shù)學也要記憶的重要性。

數(shù)學要不要記憶，記憶對學習數(shù)學到底重不重要，我們暫且不說。眾所周知，數(shù)學是一門十分古老的科學，源遠流長；數(shù)學又是一門充滿青春活力的科學，正深入到生活和科學的各個領域。數(shù)學在歷史舞臺上的豐功偉績永遠也抹不掉。我們固然不能說培養(yǎng)數(shù)學的觀察和創(chuàng)造能力不重要，歷史在發(fā)展，時代在前進，開拓創(chuàng)新是歷史與時代的共同呼喚與心聲。如果說語文是各科的得力助手，那么數(shù)學便是各科的最佳工具，如何才能使這把工具為我所用，怎樣能為我服務。關鍵在于學好數(shù)學，懂得開啟這把工具。

這是一個讓人欣慰的共識，因為數(shù)學的魅力已深入人心。大家都在為學好數(shù)學而奮力攀登數(shù)學高峰，這樣一座雄奇險峻的高峰，有山有水，有草有木，有雪擁冰封之際，有花紅柳綠之時，怎能不讓人流連忘返！倘若不去記憶她，不去追憶她，豈不悲哉！數(shù)學是美，在數(shù)學的王國里，又何嘗只有這些美景呢？所以數(shù)學也需要記憶，因為記憶是保存回憶的最佳方式，甚至是唯一的。

數(shù)學是一門邏輯性頗強的學科。它要求我們對問題或資料進行觀察、比較、分析、融合、抽象與概括；會用演算、歸納與類比進行判斷與推理；能準確、清晰、有條理地進行表達和書寫。這樣一個過程，也就是數(shù)學的基本邏輯思維過程，換言之，就是運用數(shù)學思維和方法的能力。在這個過程中，能否提筆破題而不悖于常理，并最終達到目的，準確表述，讓人信服，關鍵在于你的邏輯推理是否嚴密，而這又反映你運用知識的能力。知識能力的運用必然要求你有知識可用，這就進一步要求你開啟大腦這個儲存庫，儲存庫是滿的還是空的，又反作用于你的運用能力。因此，記憶也就在無意中充當了主導。離開了記憶這輛運輸車，大腦儲存必然空虛，而空虛意味著知識量的缺乏，知識量的缺乏必然導致應用能力的降低和范圍的縮小，致使邏輯推理不嚴密，從而影響解題速度，有時甚至不知從何入手，所以，記憶對邏輯推理有著重要的意義。

不僅如此，運算能力的提高也需要記憶的幫助。運算能力作為一項基本能力，在高考中半數(shù)以上的題目都需要運算。運算能力的考查是多方面的，涉及實數(shù)、復數(shù)、分式、集合等內容，它要求學生會根據(jù)概念、公式和法則對數(shù)式、方程進行正確的運算和變形。能否分析條件，尋求與設計合理，簡捷的運算途徑；能否在做題時運算靈活自如，速度倍增，直接關系到你能否在高考中金榜題名。

或許因為你沒有記牢某個特殊技巧而使運算繁瑣，耗時甚多；或許因為你未能熟記某個公式而一步算錯，整題失分；更有甚者，因為你沒有記住某個法則而解題無策，影響心情。

這絕不是危言聳聽，萬事皆有可能?？梢?，運算能力至關重要，而適量的記住一些方法技巧、法則、公式則是提高運算能力的有效途徑之一。在學習數(shù)學時，若能熟記一些我們平時常用的數(shù)據(jù)。對我們分析問題，提高運算能力十分有利。

比如：以中學數(shù)學常用的數(shù)據(jù)為例，要熟記1～20的平方數(shù)；1～10的立方數(shù)；2n（n＝1、2、3、……10）；3n（n＝1、2、3、……10）的值；、、以及l(fā)g2、lg3、lg 5的精確值；勾股數(shù)值：3、4、5，5、12、13，7、24、25，8、15、17等，還有特殊三角函數(shù)值等。

總之，你記得越多，解題時你思路就越多、越廣、越巧，速度也就越快。這樣不但可以節(jié)約時間和精力，還可以避免繁瑣的運算，使運算合理化；不但下筆如有神，且準而快，甚至達到“直呼”的境界，一看便知其解。反之，則方法少，思路窄、速度慢、效率低，甚至不知所措而望題興嘆。

從上述看來，我們不難發(fā)現(xiàn)，記憶對學好數(shù)學非常重要。不但邏輯思維能力、運算能力與記憶不分家，空間想象能力、逆向思維能力以及猜想、創(chuàng)造、探索能力也與其息息相關。它們互相滲透、互相影響、互相聯(lián)系、互相協(xié)作，是通向數(shù)學王國不可缺少的最佳合作團體。既然記憶對學習數(shù)學如此重要，那么我們應該怎樣去記憶呢？

數(shù)學是一門理科，其概念、定理、公式、公理等，要記的甚多，我們自然要尋找一種合適的方法去記憶它。何為合適？我反對死記硬背，死記硬背只是讓知識在大腦中短暫逗留，但并不是不要記憶。數(shù)學知識的鎖鏈是環(huán)環(huán)相扣的，沒有對舊知識的記憶，就談不上對新知識的理解，沒有對已學過的若干概念、定理、公式的理解和記憶，對他們的運用也將化為泡影。當然，我也不贊同機械記憶，機械記憶的知識也不過是大腦中的匆匆過客。

顧名思義，數(shù)學記憶就是要用數(shù)學的方法去記憶數(shù)學的知識，培養(yǎng)有數(shù)學特色的記憶方法。

有人說：“記住了的東西不一定理解它，理解了的東西就能更好地記住它?！边@說明理解是記憶的前提。只理解不記憶不行，只記憶不理解也不行，不理解不記憶更不行。所以我們得明白“理”與“記”之間的相互聯(lián)系，這樣，記憶起數(shù)學知識就容易多了。如：三垂線定理、對數(shù)換底公式、和差化積公式等，理解公式的推導過程，就不易忘記了。再如，記憶定理，我們要從定理的敘述中分清什么是它的條件、結論、是否與圖有關，分析條件和結論之間的內在聯(lián)系，理解其證明思路和過程，逐步實現(xiàn)數(shù)學知識的“懂”、“記”、“用”的三步走戰(zhàn)略。

篇10

[關鍵詞] 小學數(shù)學；數(shù)學因子；發(fā)現(xiàn)；體驗

回顧我們自己小學階段的數(shù)學學習過程，看看現(xiàn)在的孩子學習數(shù)學的過程，我們有必要思考一個問題，那就是除了數(shù)學知識之外，我們還應該在數(shù)學課堂上讓孩子們學到什么. 這里我們固然可以通過《義務教育數(shù)學課程標準》（2011版）中新提出的“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗）作為標準答案，但也可以通過我們自己與學生互動過程中生成的、更為直接的認識作為回答. 在筆者看來，讓學生在數(shù)學學習的過程中發(fā)現(xiàn)具有數(shù)學味的“數(shù)學因子”，是師生可以在數(shù)學旅途上共享的風景.

我們所理解的“數(shù)學因子”，就是在與生活關系密切的現(xiàn)象中，能夠提取出來用數(shù)學知識解釋的內容，包括數(shù)學學習中所創(chuàng)設的學習情境，所用到的各種思想方法，所涉及的數(shù)學學習過程中的各種思維等. 由于學生甚至是教師可以在數(shù)學知識生成的過程中感受到這些方法的魅力，因此將其稱為數(shù)學道路的“數(shù)學因子”是合適的. 從這個角度來看，我們的小學數(shù)學學習就可以看做是“數(shù)學因子”的發(fā)現(xiàn)與體驗之旅.

數(shù)學的基本因子：簡潔性

數(shù)學是公認的最簡潔的語言，如何將這種簡潔的認識種植到學生的心田里，對于小學數(shù)學教學而言是一個挑戰(zhàn). 因為根據(jù)我們的學習和教學經(jīng)驗，這樣的簡潔性給學生帶來的并不總是愉悅的享受，因為數(shù)學知識的學習往往會因為這樣的簡潔甚至是抽象，而生成理解上的困難. 因此我們要想讓學生領略這種“數(shù)學因子”的味道，就必須讓學生能夠走一條從復雜到簡潔的旅途，這樣才能親身體驗到數(shù)學的簡潔美.

以蘇教版數(shù)學教材三年級上冊的“平移與旋轉”的教學為例，要想讓學生掌握平移的規(guī)律（規(guī)律是數(shù)學中的簡潔語言），我們必須讓學生經(jīng)歷由形象到抽象、由復雜到簡單的過程. 筆者設計的過程是這樣的：首先，讓學生到生活中尋找平移與旋轉的例子；其次，讓學生在方格紙上體驗平移與旋轉，并且尋找其中的規(guī)律；最后，總結平移與旋轉的規(guī)律.

在具體的教學過程中，學生能夠想到的平移和旋轉的例子相當豐富，除了教材上的平移例子之外，學生還想到路上勻速行駛的汽車、超市門前的自動移門、天上飛行的飛機等；旋轉的例子學生想到的一般是汽車的車輪、電風扇等. 有了這些例子，我們可以讓學生總結平移物體和旋轉物體的特點. 這個總結可以是顯性的，即讓學生通過語言去描述兩種運動的特點，這對于表達能力強的學生比較適用；也可以采用隱性的方法，即學生雖然說不出來，但可讓他用手或者手邊的物品去比劃平移和旋轉，這對于表達能力不強的學生而言比較適用. 值得強調的是，隱性的描述方法往往更適用于小學三年級的大部分學生，因為從本知識學習的目的來看，當學生雖然不能用語言來描述，但能夠用手表示出平移的運動（如用手平著從一邊運動到另一邊），用手表示出旋轉的運動（如用手作扇狀運動）時，我們認為他們已經(jīng)比較好地理解了平移和旋轉.

有了這樣的體驗之后，再將具體的事物進行抽象，讓它們變成一個三角形或者長方形、正方形，再在方格紙上進行平移. 這個過程我們認為必須豐富，也就是說在將具體的實物變成簡單的圖形的過程中，不僅要向學生講清楚起點（實物）和終點（圖形），也要向學生講清楚這樣做的目的――通過抽象的方法使研究的問題變得更加簡單，也為了使規(guī)律更容易出現(xiàn)在我們面前. 在找出規(guī)律之后再與學生一同反思這一過程，就可以讓學生領略到數(shù)學的簡潔性，從而他們在后面數(shù)學素材的處理中，就能讓今天種下的簡潔意識開出美麗的簡潔之花.

數(shù)學的方法因子：邏輯性

數(shù)學有一個特點，叫嚴謹性！數(shù)學為什么會嚴謹呢？因為數(shù)學有著其內在的邏輯性. 這種邏輯性在小學階段的數(shù)學學習中往往隱含在數(shù)學知識背后. 在日常的教學中，為了幫學生打好基礎，我們所做的往往是知識的傳授，而不是強調數(shù)學存在的內在邏輯關系. 從現(xiàn)實情況來看，這樣的教學策略有其必然性，因為作為一門基礎學科，知識的積淀是不能忽略的，離開了知識的積累就談不上方法. 但我們也要看到，隨著今天小學生思維能力的日益發(fā)展，跟學生講清其中的邏輯性也是小學數(shù)學教學的一個發(fā)展方向. 因此，我們可以嘗試在教學過程中讓學生去領略數(shù)學的邏輯之美――邏輯性是數(shù)學的另一種價值因子. 那么，如何讓學生領略小學數(shù)學的邏輯性呢？筆者以另一個數(shù)學知識――“長方形和正方形的面積”為例，談談自己的思考與做法.

“長方形和正方形的面積”是幫助學生認識生活中的平面及其面積計算規(guī)律的重要組成部分，從生活經(jīng)驗到面積計算，都存在邏輯關系. 通過研究教材我們可以發(fā)現(xiàn)，這一知識點是從比較黑板的表面與課本封面大小關系引入的，根據(jù)生活經(jīng)驗，學生可以順利地說出誰大誰小――這其實是為后面利用生活經(jīng)驗以及邏輯關系進行判斷打下基礎；在得出“表面的大小是面的面積”這一認識之后，通過邏輯推理，研究的問題就由比較“面”的大小轉換成比較“面積”的大?。划攲W生熟悉了通過生活經(jīng)驗進行比較之后，教師提出了新的問題，即“如何比較兩個面的大小”（教材上的例子）. 面對這一新問題，學生通過目測、重疊，借助于第三張紙即可比較……當教學過渡到類似于“想想做做”中的第三題，即“比較四個圖形的面積大小”時，學生就需要借助邏輯關系去計算四個圖形所占正方形的個數(shù)進行判斷；而當學生在用課本和文具盒比較桌面大小時，其中蘊涵的自然也是數(shù)的邏輯關系――也就是說這里比較面積的大小實際上已經(jīng)通過邏輯轉換為書的本數(shù)與文具盒的個數(shù).

此外，本知識中還有一個更為重要的邏輯推理，那就是在得出長方形的面積公式“S=a×b”之后，可以讓學生自主推理正方形的面積公式，在學生的思維中有了長方形的面積公式，有了“正方形的長和寬相等”，就可以推理出正方形的面積公式為“S=a×a”. 當然，教材中也是如此安排的，問題在于當我們看到教材上空著的那根橫線時，我們想到的是答案，還是學生的邏輯推理過程呢？如果是后者，并且引導學生在反思的過程中體驗方法，那數(shù)學的邏輯因子便可以為學生所深深體會了.

數(shù)學的優(yōu)雅因子：廣泛性

數(shù)學既具有基礎性，又具有應用性，這是其他學科難以企及的. 我們說數(shù)學在生活中的每個領域均有應用，是因為我們看到了生活中的數(shù)據(jù)無處不在，而這些數(shù)據(jù)正是來自于數(shù)學思維，這種無處不在的性質我們可以稱之為廣泛性. 當我們透過學科教學的數(shù)學，看到經(jīng)濟領域的數(shù)據(jù)乃至諾貝爾經(jīng)濟學獎背后的數(shù)學時，當我們看到文化領域背后的數(shù)學支撐時，我們不得不感嘆數(shù)學的這一魅力，對于小學數(shù)學教學而言，我們的一個重要任務顯然是帶領學生感受數(shù)學的這種廣泛性――數(shù)學在生活中是如此優(yōu)雅地存在！

以“統(tǒng)計”知識的教學為例，筆者常常思考，在小學階段進行統(tǒng)計知識的啟蒙，其目的是什么？作為一個數(shù)學知識，顯然沒有必要在小學階段就實施教學，也就是說這有著超越知識層面的另一種目的. 除卻課程標準或其他參考資料上的介紹之外，我們認為還必須向學生傳遞數(shù)學的廣泛性，因為這是數(shù)學的一種優(yōu)雅因子――它在生活中如此廣泛地存在，但有時卻不以數(shù)學的面目出現(xiàn)，這難道不是一種優(yōu)雅嗎？

據(jù)此，在介紹教材中的“套圈”游戲時，產(chǎn)生了一定量的人套中的圈的個數(shù)，產(chǎn)生了表示套圈成績的統(tǒng)計圖. 于是過渡到生活中的每一種統(tǒng)計，如考試之后全班同學的數(shù)學成績，以及每個學生的平均成績；又如體檢之后全班學生的身高，以及班上同學的平均身高……進而過渡到教材上“賣出蘋果數(shù)量統(tǒng)計圖”――這是一個星期內每天賣出蘋果數(shù)量的統(tǒng)計圖，由其不僅能看出哪兩天賣的蘋果一樣多，還能知道平均每天賣了多少蘋果（如果呈現(xiàn)多個星期的統(tǒng)計圖，還可以看出不同星期賣出蘋果的數(shù)量），因而可以通過統(tǒng)計判斷、比較，以給賣蘋果的人提供影響因素的分析.