導語：如何才能寫好一篇歐姆定律極值問題，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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【關鍵詞】數(shù)學方法；高中物理；電磁學

1.引言

國家高考物理科考試大綱明確提出考生應具備的第四種能力“應用數(shù)學處理物理問題的能力：能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據(jù)結果得出物理結論，能運用幾何圖形、函數(shù)圖像進行表達、分析”，這里所要考查的就是要有靈活運用數(shù)學方法處理物理問題的能力。所謂數(shù)學方法，就是在科學技術工作中，把客觀事物的狀態(tài)關系和過程用數(shù)學語言表達出來，進行推導、演算和分析，以形成對問題的判斷、解釋和預言的方法。下面就以電磁學為例談談幾種數(shù)學方法在高中物理電磁學中的應用。

2.函數(shù)法

在電磁學問題中，經(jīng)常需要確定兩個物理量間的變化所對應關系（包括極值問題），這就需要利用函數(shù)思想來完成，同時函數(shù)也是進行物理推導判斷的重要數(shù)學工具。在高中物理電磁學中主要用到的是一次函數(shù)、一元二次函數(shù)和三角函數(shù)。

2.1一次函數(shù)的應用

在電磁學問題中用到的一次函數(shù)有形如y=ax或y=ax/（ax+b）a≠0，b≠0形式。一次函數(shù)y=ax描述的是y與x之間呈線性關系，比如在靜電場中討論F與E、U與d、Q與U等兩個量間的關系用的就是這種函數(shù)。

觀察函數(shù)y=ax/（ax+b（a≠0，b≠0））不難發(fā)現(xiàn)，分子分母都有未知量x（自變量），如果x增加（減?。?，則分子、分母都同時增加（減小），這樣無法確定因變量y的變化情況。但是如果把分子、分母都同時除以x，函數(shù)就變?yōu)閥=a/（a+b/x）關系就非常明朗了，y隨x的增大而增大，y隨x的減小而減小。這種一次函數(shù)在討論閉合電路中路端電壓隨外電阻變化等類似問題中經(jīng)常有用到。

例1：設一個閉合電路中，電源電動勢為E，內(nèi)阻為r，外電路為純電阻電路電阻為R，路端電壓為U外，試討論當R發(fā)生變化時，U外如何變化？

分析與解：這類問題既可用閉合電路歐姆定律E=U外+Ir（間接法，較易，本文不做討論）求解，也可用部分電路歐姆定律（直接法）求解。如果用直接法如何討論呢？根據(jù)部分電路歐姆定律有U外=IR①，又由閉合電路歐姆定律有I=E/（R+r）②，把②代入①有U外=ER/（R+r），這就轉(zhuǎn)化成了形如一次函數(shù)y=ax/（ax+b），故U外=ER/（r+R）=E/（1+r/R）可見U外隨R的增大而增大，隨R的減小而減小。因此當外電路斷開即R∞時，有U外=E，此為直接測量法測電源電動勢的依據(jù)；當外電路短路時即R0，故。U外=0。

2.2一元二次函數(shù)的應用

在處理外電路為純電阻電路中電源輸出功率隨外電路電阻變化規(guī)律以及討論滑動變阻器分壓接法電路中■或■示數(shù)變化情況等類似問題，可以把電阻這個動態(tài)變化物理量轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)y=ax2+bx+c形式，將這個函數(shù)進行配方整理有：y=a（x+b/2a）2-（4ac-b2）/4a，可見當x=-b/2a時，y有最值（4ac-b2）/4a。當a>0時，y有最小值，當a

例2：如圖1所示，電源電動勢E=6V，內(nèi)阻為r=1？萃，滑動變阻器R的總阻值為11？萃，固定電阻R0=3？萃，求當滑動變阻器從a到b過程中，■的讀數(shù)范圍。

分析與解：令■讀數(shù)I，并設ap部分電阻為x，則pb部分電阻為11-x，根據(jù)閉合電路歐姆定律及并聯(lián)電路的電流分配關系：I=6/（R并+11-x+r）×3/（x+3）=18/（-（x-6）2+72）

可見當x=0時，Imax=0.5A，x=6？萃時，Imax=0.25A，故■示數(shù)范圍為從0.25A到0.5A連續(xù)變化

3.不等式法

不等式可用在半定量討論、推斷及求解極值問題，如在討論等量同種電荷中垂線上場強大小變化、某些并聯(lián)電路中■或■示數(shù)變化以及在兩大小材料均相同的同種電荷接觸后放回原處過程中庫侖力大小變化問題中，如果條件滿足均可以運用重要不等式a+b≥2■（a、b均為正數(shù)）或a+b+c≥33■討論最值：當和有定值，則積有最大值；反之當積有定值，則和有最小值。

例3.如圖3所示，已知R1=2？萃，R2=3？萃，滑動變阻器的最大值R3=5？萃，則當滑動片P從a滑到b過程中，電流表示數(shù)的最小值為多少？

分析與解：由閉合電路歐姆定律可知電流表示數(shù)有最小值時，外電路電阻有最大值，設ap部分電阻為x，則bp部分為5-x，1/R并=1/（2+x）+1/（3+（5-x）），化簡可得R并=（2+x）（8-x）10，令a=2+x，b=8-x，而a+b=10，故當且僅當a=b即2+x=8-x亦即x=3？萃時ab≤（a+b）/4，故有（2+x）（8-x）≤（102/4）？萃=25？萃，所以■示數(shù)最小值Imin.=2A。

4.幾何法

在處理靜電場中某帶電體受到庫侖力、重力、拉力等三個共點力的動態(tài)平衡問題時，如果直接運用平衡條件結合力的分解（正交分解）處理該類問題，過程非常繁瑣，這里可充分運用帶電體（質(zhì)點）所受力的矢量三角形與對應另一個由長度組成的純標量三角形相似，這就是應用了平衡條件中相似三角形法，然后根據(jù)題目條件可在短時間內(nèi)快速準確解決要討論的問題。

例5：一根絕緣細線下拴一帶電小球A，細線上的上端固定在天花板上，在懸點正下方某適當位置，固定另一帶同種電荷小球B，A靜止時，懸線與豎直方向成θ角，如圖6所示?，F(xiàn)緩慢增加B的帶電量使θ角逐漸增大，則有關A球所受力的變化，下列說法正確的是（ ）

A.懸線的拉力大小不變 B.懸線拉力逐漸增大

C.庫侖力逐漸增大 D.庫侖力大小可能不變

分析與解：設懸線長為L，如圖7所示，掛在細線下端的小球在重力、細線拉力和電荷之間的庫侖斥力這三個力的作用下處于平衡狀態(tài)。由平衡條件的相似三角形可知：OAB～ACD，即L/G=L/F=AB/F，可見細線的拉力T=G不變，而庫侖力隨著AB的增大而增大。故本題正確答案為AC。

6.結論

數(shù)學方法在高中物理電磁學中應用廣泛而且巧妙，本文主要描述了函數(shù)法、不等式法、圖象法及幾何法，但有時在解決某些復雜電磁學問題時可能要用到上述這些方法中的兩種或兩種以上，甚至還可能用到其它方法如極限法。因此，在解題時可通過聯(lián)想、數(shù)理結合、數(shù)形結合來靈活地選擇合適的數(shù)學方法來解決電磁學問題，這將對提高解決電磁學問題的能力大有裨益。

【參考文獻】

[1]鄭表岳.《中學物理解題方法》.上?？萍冀逃霭嫔?，1992年9月

[2]薛金星.《中學教材全解―高二物理（上）》.陜西人民教育出版社，2003年5月第4版

篇2

兩電源電動勢分別為E1，E2（E1>E2），內(nèi)阻分別為r1，r2.當這兩個電源分別和一個阻值為R的電阻連接時，電源輸出功率相等.若將R增大到R′，電源輸出功率為P1，P2則

A.r1

C.r1>r2，P1r2，P1>P2

分析 由題目已知條件可得

I0=E1R+r1=E2R+r2 （1）

即E1E2=R+r1R+r2>1r1>r2， 所以答案在C，D中選擇，當R增大到R′時，

I1=E1R′+r1，I2=E2R′+r2.因此，不能直接判斷出I1與I2的大小關系，所以不好選擇了.

解 比值比較法

令P1=（E1R′+r1）2×R′，P2=（E2R′+r2）2×R′ （2）

則P1P2=（E1E2）2（R′+r2R′+r1）2=（E1E2）2（1+r2-r1R′+r1）2，

令y=1+r2-r1x+r1，當x=R時，y=1；r2-r1

此函數(shù)為增函數(shù)（由y=kx，k>0減函數(shù)，k

所以，當R′>R時，P1P2>1，即P1>P2，答案選擇D， 同理可以推出R′

點評 此方法是根據(jù)題目中的問題是比較功率大小，所以回憶起數(shù)學中常用的比較方法有比值比較法，此方法利用了數(shù)學中函數(shù)的函數(shù)知識（增函數(shù)與減函數(shù)），根據(jù)初始時P1=P2時的結論進行演算推理，其中判斷函數(shù)的增減性是關鍵性步驟.

解2 差值比較法

P1-P2=（E1R′+r1）2×R′-（E2R′+r2）2×R′ （4）

由（1）、（2）、（4）式可得

P1-P2=E21R′（RR′+r1R′+r2R+r1r2）2-E21R′（RR′+r2R′+r1R+r1r2）2[（R′+r1）（R′+r2）（R+r1）]

（5）

r1>r2，R′>R

由（r1-r2）R′>（r1-r2）R，

即RR′+r1R′+r2R+r1r2>RR′+r2R′+r1R+r1r2 （6）

由（5）、（6）式可得P1-P2>0P1>P2， 結論同上.

點評 此方法也是比較法中常用的差值比較法，此方法中進行的推理計算過程比較復雜，然后根據(jù)已知條件聯(lián)系到比較的表達式進行變化是此方法的難點，此方法思路簡單清晰計算復雜.

解3 導數(shù)的幾何意義法

函數(shù)的一階導數(shù)表示函數(shù)在這點切線的斜率，因此如果函數(shù)f（x）的一階導數(shù)大于零，則f（x）為增函數(shù)，如果函數(shù)f（x）的一階導數(shù)小于零，則f（x）為減函數(shù)，如果函數(shù)f（x）的一階導數(shù)等于零，則f（x）有極值.

令R=x，由（1）、（2）式子得

f（x）=p1P2=（E1E2）2（x+r2x+r1）2 （7）

對（7）式自變量x求一階導數(shù)得

f ′（x）=p1P2=（E1E2）2（r1-r2）（x=r1）2 （8）

因為r1-r2>0，所以f ′（x）>0，函數(shù)為增函數(shù).

當x=R時（7）式等于1，所以x=R′>R時（7）式p1P2>1P1>P2，結論同上.

點評 利用此方法需要兩個數(shù)學基礎，一是要知道函數(shù)某一點導數(shù)的幾何意義即表示某一點切線的斜率；二是要熟練掌握求導函數(shù)的相應數(shù)學公式和求導法則.此方法比較巧妙的將數(shù)學的導數(shù)與增減函數(shù)應用到解決物理實際問題當中，是應用數(shù)學知識解決物理問題的典范.

解4 畫曲為直法

由閉合電路歐姆定律I=ER+r可知I與R非線性變化，兩側同時取倒數(shù)有

1I=RE+rE （9）

由（9）式可得當R′=R+ΔR（ΔR>0）時，對兩個電源分別應用（9）式有

1I1=R+ΔRE1+r1E1=ΔRE1+R+r1E1

1I2=R+ΔRE2+r2E2=ΔRE2+R+r1E2 （10）

由（1）、（10）和E1>E2可以推出I1>I2， 此時P1=I21× R′>P2=I22×R′.

即P1>P2，結論同上.

點評 此方法十分巧妙的利用了題目中的初始條件，將本來無法直接判斷的曲線問題轉(zhuǎn)化為直線問題來解決，畫曲線為直線的方法是解決物理問題中經(jīng)常使用的方法.特別是設后來的電阻R′+R+ΔR（Δ>0） 將本來無法比較的問題變得十分容易比較.

解5 U-I圖象法

根據(jù)閉合電路歐姆定律E=U+Ir變形可以得

U=-rI+E （15）

將U看成I的函數(shù)可知是線性變化關系，圖象的斜率的絕對值代表內(nèi)阻，圖象的截距代表電源電動勢.而外電阻滿足U=IR在同一個坐標系中將兩個函數(shù)同時畫出來，由（15）式可知得U=-r1I+E1，U=-r2I+E2，U=IR，滿足P1=P2初始條件點就是兩個函數(shù)的交點狀態(tài)，外電阻的大小由U=RI直線的斜率來表示，根據(jù)題意后來電阻R′>R與兩個電源的交點就分別代表了此時的狀態(tài)，由圖1直接可以看出后來電流關系為I1>I2，路端電壓關系為U1>U2，則關系P1=U1I1>P2=U2I2，即當R′>R時，有P1>P2，結論同上.

點評 此方法是將教材中熟悉的知識（測電源電動勢與內(nèi)阻試驗數(shù)據(jù)處理知識）遷移到具體的情景之中，用此方法需要對U=-rI+E對應的U-I圖象的物理意義掌握的十分清楚，對于圖象中的外電阻U=RI 在同一圖象中構建出來是解決問題的關鍵步驟.同時對于圖象中的電源內(nèi)阻是斜率的絕對值要掌握，外電阻消耗的功率就是矩形的面積.

解6 功率圖象法

由P=（ER+r）2R=E2R+r2/R+2r

（11）

是高中常見的電源輸出功率公式對應函數(shù)關系為

f（x）=E2x+r2/x+2r

當x=r時，電源輸出電功率最大為P=E2/4r，對應的函數(shù)圖象為圖2所示.要滿足初始條件功率相等也就是函數(shù)

P1=E21R+r21/R+2r1P2=E22R+r22/R+2r2 （12）

對應兩個函數(shù)有交點，同時由于r1>r2所限制，所以兩條曲線相交的交點只能存在三種可能就是如圖3所示A，B，C三個點，無論哪種情況，在取R'>R時總有P1>P2結論同上.

點評 此方法是從我們熟悉的電源輸出功率問題進行討論，要知道電源輸出功率最大時，就是當外電阻（外電路是純電阻）等于電源內(nèi)阻時，同時要知道函數(shù)圖象的變化趨勢，從極限分析可以知當R=0時，電源電路輸出功率等于零（相當于短路），R=+∞時，輸出功率也是零（相當于斷路），當外電阻等于電源內(nèi)阻時，有最大值.這樣變化趨勢圖自然就畫出來了，同時兩曲線有一個交點（R>0時），結論就一目了然了.

解7 電流圖象法

由（1）式可得當功率相等時外電阻的阻值為

R=E2r1-E1r2E1-E2 （13）

令E1=4V，E2=3V，r1=2Ω，r2=1Ω，

代入（13）式可以得到 R=2Ω

由閉合電路歐姆定律 I=ER+r （14）

可知I與R非線性關系，代入以上數(shù)據(jù)可以得到 i1=E1R+r1=1A

同理 I2=E2R+r2=1 A

當R=1Ω和R=3Ω分別代入（14）式計算得到對應的電流值分別為I1′=0.8A，I1″=1.33A，

I2′=0.75A， I2″=1.5A.

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關鍵詞：初中生；高中生；物理知識銜接

作者簡介：邊桂萍（1974-），女，吉林省柳河縣人，大學本科，中學高級教師.吉林省骨干教師，吉林省第十二批有突出貢獻的中青年專業(yè)技術人才，吉林省教書育人楷模，吉林省第五批創(chuàng)新拔尖人才.大多數(shù)初中學生剛升入高中時普遍反映物理學科存在著銜接不暢的問題，在高中的學習過程中，對物理的具體學習方法和內(nèi)容模糊不清，一臉茫然不知所措.筆者在近幾年的學習和探索過程中，覺得在以下幾個方面需要同行們在教學過程別注意.

一、初中和高中的不同

1.教材方面

（1）初中教材：a要求學生了解、知道的內(nèi)容多，要求學生掌握的少；b定性的多，定量的少；c教材難度低，趣味濃，一般由實驗或生活實際引入課題，通過現(xiàn)象總結規(guī)律，形象具體，易于接受.

（2）高中教材：a重視理論上的分析指導；b定量研究多，計算量加大；c數(shù)學工具的應用明顯加強與提高，不僅運算量加大，且常要運用函數(shù)、圖象和極值等數(shù)學方法來研究物理現(xiàn)象和過程.

2.教法與學法方面

（1）初中狀態(tài)主要表現(xiàn)在以下幾個方面：a教學內(nèi)容要求相對低，教師課堂更注重教學的趣味性，課堂容量少，進度慢；b對重點概念及規(guī)律反復討論達成學生對重點知識的掌握；c習題類型少，變化也不多，且多數(shù)與教師課上講的內(nèi)容、例題對得上，造成考試時往往只要記住分式，做好筆記，就有可能取得很好的成績.

（2）高中狀態(tài)則主要表現(xiàn)在以下幾個方面：a教學進度明顯加快，課堂容量大；b知識要求大大提高，需要學生自己多分析、思考、練習才能真正掌握，習題類型更是復雜多變，單靠對概念、規(guī)律和公式的死記硬背，解決不了問題.

二、剛步入高中后學生的困惑與問題

1.教材方面：a大量的數(shù)學與物理結合，大量的物理過程推導，學生感到物理抽象難學，甚至望而生畏；b學生知識儲備不夠.數(shù)學教學進度跟不上物理教學需要，學科間的不銜接給學生數(shù)學工具的運用帶來了困難，加大了物理學習的難度.

2.教法與學法方面：a很多學生養(yǎng)成了死記硬背的壞習慣；b很多學生養(yǎng)成只想硬套公式，而沒有主動分析、思考問題的能力；c很多初中學生的學法是：跟著教師轉(zhuǎn)，死記硬背教師布置的內(nèi)容.

三、對初中和高中教學的改進建議

1.教材方面：

a強化初中學生運算能力的提升，特別是解方程組能力的要求；

b弱化初中學生對計算器的依賴；

c要求學生提升初中簡單三角函數(shù)的運用能力，熟練掌握正弦、余弦、正切的計算及一些特殊角的三角函數(shù)值，要求學生熟練掌握二次函數(shù)極值運算與一次函數(shù)，反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的平移、截距、斜率、圖形所圍面積等知識.

2.教法與學法方面：

a中考命題要與高考命題的導向接軌；

b初中教學，必須改變死記硬背的習慣，要注重培養(yǎng)學生主動分析問題、解決問題的習慣；

c加強培養(yǎng)學生課前自主學習能力；

篇4

在中職電子類專業(yè)教學內(nèi)容中，數(shù)學應用的范圍很廣，幾乎涉及傳統(tǒng)中等數(shù)學的所有分支。梳理這些內(nèi)容、探討相應的教學策略，對于提高電子專業(yè)的教學質(zhì)量有著重要的意義。中職專業(yè)課數(shù)學應用教學質(zhì)量在中職電子類專業(yè)教學內(nèi)容中，數(shù)學應用的范圍很廣，幾乎涉及傳統(tǒng)中等數(shù)學的所有分支。此外，涉及現(xiàn)代數(shù)學基礎部分的一些內(nèi)容。梳理這些內(nèi)容、探討相應的教學策略，對于提高電子專業(yè)的教學質(zhì)量有著重要的意義。一、梳理好傳統(tǒng)中等數(shù)學內(nèi)容在電子類課程中的應用，構建基本數(shù)學應用意識與能力1.集合論與邏輯運算在數(shù)字電路中運用“集合”的概念及公理化的現(xiàn)代集合理論體系構成現(xiàn)代數(shù)學的支柱。在中職電子類專業(yè)教學內(nèi)容中中，經(jīng)典集合論的運用主要體現(xiàn)在數(shù)字電路的邏輯運算特征上：“和”運算對應于集合的“并”，“且”運算對應于集合的“交”，而電位高低則對應于二進制下的“0”“1”，電路的不同狀態(tài)對應于一系列“0”“1”的不同排列組合，進而完成許多運算功能。但，它們的數(shù)學基礎是集合的幾種基本運算：集合的包含、交、并、補關系，特別是在此基礎上拓展出的摩根律，這是中職數(shù)學教學必須重視的基本計算規(guī)律。2.函數(shù)的基本性質(zhì)的應用與電子類課程教學緊密結合函數(shù)（尤其是幾類常見初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、多項式函數(shù)與分式線性函數(shù)）的基本性質(zhì)，其范疇至少包括函數(shù)的定義、定義域、值域、增減性（單調(diào)性）、極值與拐點。

例如，如圖所示的電子電路中，電源E的內(nèi)電阻為r，問：揚聲器R的電阻多大時，揚聲器獲得的功率較大？電子電路中把這類問題稱為“功率匹配問題”這兒的“電源”其實可以是一個電池，也可以是電池組或?qū)τ诒炯夒娐份敵龅那凹夒娐?，而“揚聲器”其實就是一個用電器，在電子電路中稱之為負載。因此，本題其實在電子類課程中經(jīng)常遇到的負載與輸出電路之間的功率匹配問題。如圖（簡單起見，設電流與電壓總是同相），由閉合電路的歐姆定律可知，R獲得的功率P應該由R的電流I與電壓U之積得到：E，r是定值，P視為R的函數(shù)。這是一個分式函數(shù)，對于中職學生而言，求其極值有一定難度。而這個問題是電子類課程中的基本問題。這就要求中職數(shù)學教學必須針對中職教學對象進行適當?shù)尼槍π越虒W。事實上，對于分子分母均為多項式的分式函數(shù)，中等數(shù)學里最常見的處理方法就是“歸一化”思想。即將多處出現(xiàn)的變量最終控制為單一變量在一處變化。就拿此處的問題來說，常見的處理方法是： 的極值顯然為0，條件是R=r，這種策略，在電路物理量的分析計算中是常用的。3.三角函數(shù)與復數(shù)在交流電路計算中的運用首先，在模擬電路中，電壓、電流隨著時間變化，其函數(shù)關系常?？梢砸暈槿呛瘮?shù)。三角函數(shù)的基礎知識和基本運算在電路相關量的求解中用途很多。比如，那么線路上的有用功率其進一步的計算其實就是兩個三角函數(shù)之積。其次，在模擬電路與數(shù)字電路中都會涉及交流電路的頻譜分析。其實，在高等數(shù)學中其實就是一個三角級數(shù)表示的傅里葉分析，但在中職階段，限于數(shù)學知識范圍與能力要求的限制，不必講解過深，但可以講將一個正弦波函數(shù)轉(zhuǎn)化為為兩個正弦波函數(shù)之積。二、針對電子專業(yè)的特色，精選現(xiàn)代數(shù)學中的淺近內(nèi)容，讓學生領悟運用數(shù)學思維的方法這方面是傳統(tǒng)教材薄弱的地方，其實也是本課題應該大力突破之處。1.函數(shù)的增減性與函數(shù)“迭代”的思想在討論電路穩(wěn)定性中的運用

電路或某個元件的工作狀態(tài)是否穩(wěn)定，這是電子內(nèi)課程中常涉及的問題。在電子內(nèi)課程中，常常稱一個電學量自身增大（減小）時其引起的本量或相關量變化率為負（正），叫做負反饋，只有負反饋的電路才具有穩(wěn)定性。右圖，虛線框內(nèi)為某一電子電路，現(xiàn)在想通過實驗觀察它工作的穩(wěn)定性。采用數(shù)字取樣測量，以某時刻的電流為橫坐標，下一時刻的電流為縱坐標，發(fā)現(xiàn)畫出如圖所示的函數(shù)圖象，運用“函數(shù)迭代”的思想，從某一時刻的電流i1開始，作出一系列的輔助線，可見電流最終會穩(wěn)定在i=10mA，當然，從純粹數(shù)學角度求解，還有另一個穩(wěn)定點i=0，但結合電路的實際情況，此解應該舍去。由此可見，該電路在不遠超10mA的情況下，應該是能夠負反饋的，這個電路工作狀態(tài)是穩(wěn)定的。2.圖論與拓撲知識在網(wǎng)絡電路的化簡中的運用在電子內(nèi)課程中，還有一類問題是很常見的，那就是電路的簡化問題，（專業(yè)化的語言是畫出電路的等效電路圖），這是電子類學生必須的基本功，識圖、簡化圖，才有可能用好圖，進而改進電路設計或進行功能組合。電路簡化時，一般電路的串聯(lián)、并聯(lián)關系是不能隨便改變的。這種問題對于中職學生也是頗感頭疼的問題，專業(yè)課教師有時教學頗費周折。因此中職數(shù)學在此疑難點上應該突破傳統(tǒng)，適當在數(shù)學科目教學中介紹與之相關的數(shù)學知識與技巧。

電路的簡化問題，用現(xiàn)代數(shù)學的觀點來看，其實就是圖形的拓撲變形。右圖是一個網(wǎng)格電路，P、Q、R、S、T就是電路的分支點（拓撲學中叫做圖形的頂點），運用拓撲變形的技巧，可以變化為另一個學生很容易理解的電路圖，拓撲學中的許多概念就可以遷移到此問題中，比如，電學中的電路等效問題其實就是兩個抽象幾何圖像的拓撲同構問題。事實上，不僅存在平面上的（二維）電路，在現(xiàn)代晶體管電路設計中已經(jīng)出現(xiàn)空間的（三維）電路結構。那就是兩個空間幾何結構的拓撲同構問題。此外，在電子類課程中，大量的電學實驗，要想簡捷地通過數(shù)據(jù)歸納得出規(guī)律，最好的辦法就是繪制恰當?shù)膶嶒瀳D像。但是，圖像中縱軸與橫軸變量的選擇應該巧妙，應該讓圖像的截距、斜率、面積等具有一定的物理意義，便于尋求相關物理量的近似數(shù)值解，因為在電子電路中，許多問題的嚴格求解是要解常微分方程或者偏微分方程，中職數(shù)學是以中等數(shù)學的應用為主，不能過多涉及高等數(shù)學，所以，圖像法求近似解對于中職學生求解特殊方程這一重要技巧要強化訓練，形成技能。三、結語總之，不論傳統(tǒng)中職數(shù)學教學內(nèi)容，還是精選現(xiàn)代數(shù)學知識，都要遵循發(fā)展數(shù)學能力尤其是應用數(shù)學能力最為核心，“數(shù)形結合”“化歸”“分類”“動靜結合”“化多維為一維”等的思想尤其值得重視。

篇5

1以實驗探究和描點法作圖為體驗方式的探究性教學

以如何設計測量電路，選擇什么樣的實驗器材，如何形成有效的實驗記錄，如何處理實驗數(shù)據(jù)形成直觀的函數(shù)圖象，這是實驗探究的關鍵．提高教學有效的方式體現(xiàn)為如何實施有效的任務驅(qū)動，如何引導學生連接電路、測量數(shù)據(jù)和描點法作圖，如何組織各學習小組展現(xiàn)學習成果，為此教學中我們應當抓住如下環(huán)節(jié):第一個環(huán)節(jié)是基于經(jīng)驗提出探究的問題．要從學生已有的認知出發(fā)，形成可引導學生思維向深度發(fā)展，經(jīng)過一般性邏輯推理形成可探究的問題，這是形成問題實施有效探究的前提．為此，提出如下問題來驅(qū)動學生思維的發(fā)展:當外電阻R變大時電源的輸出功率P出如何變化?請同學們猜猜看，并簡要談談你的猜想依據(jù)!學生經(jīng)過自我探究和小組合作流，必然會形成如下猜想:(1)外電阻增大時，電源輸出電流減小，所以輸出功率也要隨之減少;(2)外電阻增大時，電源輸出電壓升高，所以輸出功率要隨之增大;(3)外電阻增大時，電源輸出電壓升高，而輸出電流要減小，由公式P=UI可知，當外電阻為某一阻值時電源輸出功率應出現(xiàn)最大值．當上述問題一一呈現(xiàn)的時候，為了激發(fā)學生的認知沖突，我們不妨采取“極端法”來提出如下問題:當外電阻為零時(即短路)，電源輸出功率為零;當外電阻無窮大時(即斷路)，電源輸出功率也為零;當電源所接上的電阻既不是零又不是無窮大時，它輸出的功率均大于零，那么電源對外的輸出功率是否為“先增大后減小”呢?第二個環(huán)節(jié)是對猜想進行合理的評價．這種評價不是對猜想結果的評定，而是基于探究問題的求解，引導學生推演探究實驗的原理，這是形成實驗原理的前提．同時要在如何引導學生基于探究的目的設計實驗的要求，并根據(jù)原理合理地選擇實驗器材，進行有效和安全地安裝，這是實施實驗操作的前提．測量什么物理量，探究什么，這是基于實驗目的來設計表格，進而對實驗數(shù)據(jù)進行記錄、分析形成結論的前提．第三個環(huán)節(jié)是展示成果．教師的引導應體現(xiàn)在上述問題的設計和展現(xiàn)不同學習小組的研究成果上．包括展示實驗原理、電路設計、比賽各學習小組連接電路的快慢和優(yōu)劣，記錄數(shù)據(jù)表格的設計，如何采取描點法作圖獲得P－R的函數(shù)圖象，如何根據(jù)圖象獲得有效的結論．找四個小組利用實物投影儀投放記錄的數(shù)據(jù)及做出的P出－R圖象．下面是其中一個學習小組測量獲得的數(shù)據(jù)表格(表1)，其中r=5．4Ω:第四個環(huán)節(jié)是必要的補償性練習．由于所學初等代數(shù)的限制，我們總習慣于線性函數(shù)表征物理規(guī)律，而對于電源的輸出功率隨外電阻變化的函數(shù)關系是非線性的，為了降低描點法作圖如何繪制P出－R圖象這一難點，在描點法作圖之前我們復習回顧電源的路端電壓隨外電阻函數(shù)變化的規(guī)律就成為降低這一認知難點的前置性補償．為此我們應當復習和展示如下內(nèi)容:如圖2所示的電路，借助電壓－電流傳感器得出U－R圖象．電壓－電流傳感器相當于電壓表和電流表的作用，它們通過數(shù)據(jù)采集器和電腦相連，可實施以圖象的形式表現(xiàn)U－R的動態(tài)關系．從圖3可以看出:(1)當R增大時U也隨之非線性增加;(2)當外電路斷開R∞時，U=E;(3)當外電路短路時U=0，短路電流I=E/r(一般不允許外電路短路)．第四個環(huán)節(jié)是引導學生描點法作圖，獲得電源輸出功率隨外電阻變化的函數(shù)圖象．要引導學生學會“用平滑曲線連接”和函數(shù)變化關系非線性變化這兩點，從而獲得及與實驗數(shù)據(jù)真實可信的圖象．通過對坐標紙上若干點用平滑曲線連線，形成可直觀觀測的P出－R圖象．在描點法作圖時，為了節(jié)約坐標紙的使用空間，尊重實際測量選擇的外電路電阻與對應的路端電壓的數(shù)值，我們在建立坐標系的時候，往往是從某一個值開始，如圖4所示．第五個環(huán)節(jié)是基于描點法獲得的圖象如何進行有效地分析，這既是提高實驗素養(yǎng)的關鍵，更是深化理解電源輸出功率隨外電阻變化規(guī)律認知形成的關鍵．為此通過任務驅(qū)動的方式引導學生分組進行討論交流得出結論，這是增強感知獲得豐富表象形成認知的基礎．(1)根據(jù)計算和作圖分析，電源輸出功率與外電阻有什么變化規(guī)律?(2)當外電阻增大時，電源輸出功率是否一味地增大?(3)當電源的輸出功率為一定值時，是否對應外電路唯一的阻值?(4)當外電阻與等效內(nèi)阻相接近時，電源輸出功率為最大，是否電源的效率也為最大?(5)當外電阻從零開始變化，描繪得出的P出－R圖象如圖4所示，試分析描繪得到的函數(shù)圖象在同一個電源輸出功率時為什么會出現(xiàn)兩種可能的電阻值?(6)同一輸出功率對應的外電路電阻值R1，R2存在什么關系?(7)分析峰值所對應外電阻的物理意義?

2以直觀性觀察為主的探究性實驗

測量數(shù)據(jù)，描點法作圖如圖5，分析圖象獲得結論這是常規(guī)實驗探究的基本做法，但由于本節(jié)課要解決電源的路端電壓隨外電阻變化的函數(shù)圖象，耗時較多，如果再通過實驗操作和數(shù)據(jù)處理的方式獲得電源輸出電功率隨外電阻變化的函數(shù)關系不太現(xiàn)實，因此利用電壓－電流傳感器輸入計算機，繪制形成P出－R圖象，在增強直觀性，提高可信度的前提下實施實驗探究比較可行．借助電流－電壓傳感器得出P出－R圖象如圖所描繪的所示．2理論探究形成電源輸出功率隨外電阻變化的規(guī)律2．1電源的輸出功率隨外電阻函數(shù)圖象如圖6所示，在不同的區(qū)間具有不同的單調(diào)性(1)當R=r時電源的輸出功率最大為Pmax=E2/4r，電源的效率最高也只是50%;(2)當R＜r時，函數(shù)圖象單調(diào)遞增，隨外電阻R的增大電源輸出功率越來越大，電源的效率也在增大;(3)當R＞r時，函數(shù)圖象單調(diào)遞減，隨外電阻R的增大電源輸出功率越來越小，電源的效率仍在增大;(5)從函數(shù)圖象形狀來看，單調(diào)遞增和單調(diào)遞減并非關于R=r對稱．通過上述分析可知，電源的輸出功率越大而其效率不一定越高．從能量利用的角度來看，我們希望電源的效率越高越好，但從理論上，這要求外電阻要增大，這意味電源的輸出功率在不斷減小，當電源外電阻趨向于無限大(外電路斷開)時，電源的輸出功率減小為零，在實際中沒有意義，故在實際中利用同一電源的能量時，既要考慮電源的輸出功率又要兼顧電源的供電效率．電路中涉及到電功、電功率的定性分析和定量計算時，基本思路是依據(jù)部分電路電阻的改變判斷總電阻的變化，根據(jù)閉合電路歐姆定律分析干路電流的變化，干路電流的改變引起電壓在電路里重新分配，從而使各用電器電功率尾隨變化，是“牽一發(fā)而動全身”相互關聯(lián)的動態(tài)變化問題．因此處理這類問題遵循的原則是不變優(yōu)先的原則，即先從不變的地方入手，從而分析研究對象電功率的變化．根據(jù)實際場景我們分為外電阻變化和恒定的兩類．(1)若用電器的阻值是變化的，通常采用等效電源的方法得出E'和r'，實將用電器獲得的最大電功率問題轉(zhuǎn)化成電源的最大輸出功率問題來處理，當且僅當R=r'時Pmax=E2/4r';(2)當用電器的電阻是固定不變的，我們通常用P=I2R或者P=U2/R來求解．2．2電源輸出功率隨外電阻變化，在不同區(qū)間內(nèi)單調(diào)性的應用求解電源的輸出功率時我們要判斷外電路的電阻在什么區(qū)間范圍內(nèi)，即判斷外電阻在0≤R≤r和r≤R≤Rmax那個區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性求其極值(不一定是最值)．也就是說，電源輸出功率由于隨外電阻的變化而發(fā)生改變，具有嚴格的單調(diào)性才存在極值問題;有嚴格的有界性才存在最值問題．(1)當RA≤r時，R1＜R2＜r，P1＜P2≤E24r，電源輸出功率隨外電阻的變化呈現(xiàn)單調(diào)遞增，P出≤E2/4r;(2)當R≥r時，r＜R3＜R4，E24r＞P3＞P4，電源輸出功率隨外電阻的變化單調(diào)遞減，P出≤E2/4r;因此分析電源的最大輸出功率必須明確外電阻的可能變化范圍，是在什么區(qū)間內(nèi)，存在最值?還是極值?要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來解決．運用函數(shù)解析式表達物理規(guī)律，輔助以函數(shù)圖象直觀呈現(xiàn)物理變化的規(guī)律，兩種方式并重才能形成“數(shù)”和“形”一一對應關系，我們借助于兩種方式才能有效地把握物理變化的規(guī)律．對于線性函數(shù)以外不太熟悉的，在深化理解變化規(guī)律的時候，我們不要急于直接給出學生不太熟悉的函數(shù)圖象，而是要遵循認知發(fā)展的規(guī)律，必須通過實驗探究獲得科學有效的數(shù)據(jù)，通過描點法作圖逐步得到函數(shù)圖象．這種方式雖然在學習的過程中有點慢，但它符合學習的認知規(guī)律，即能通過實驗探究獲得豐富的感知，形成有效的表象，基于此才能進行有效地抽象形成真實可信的規(guī)律．當我們獲得這一規(guī)律時，再通過必要的理論探究進行驗證，我們就形成了“數(shù)”與“形”對應，可直觀呈現(xiàn)的物理規(guī)律．再通過相近概念的區(qū)別和相關的應用，就能達到知識的深化理解，唯有如此我們的教學才能稱之為有效!

作者：邢洪明 高翔 單位：青島第二中學