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一、引言

傳聞能通過協(xié)調(diào)和影響成員的利益來形成公眾的社會意愿。傳聞也是社會交流的重要形式，并且其傳播在各種各樣的事物中起到重要的作用。例如，傳聞的擴散能夠形成一個國家的公眾輿論(Newman，2003)、對金融市場的較大影響(Albert＆Barabási，2002)、在戰(zhàn)爭和疾病爆發(fā)時引起社會的恐慌。就傳聞的內(nèi)容來說，其信息內(nèi)容能夠覆蓋從簡單的閑談到高級的宣傳和市場資料。市場傳聞對于證券市場的波動影響尤為突出，已經(jīng)受到眾多學者、政府和業(yè)界的高度關注。傳聞一經(jīng)產(chǎn)生，就會在交易者之間傳播、擴散，影響交易者對于傳聞的狀態(tài):知情與不知情，進而影響交易者的交易行為。證券市場中的交易者通過各種聯(lián)系(如朋友關系、工作關系等)形成一個網(wǎng)絡，它是社會網(wǎng)絡的一種。已有的研究表明，交易者之間形成的社會網(wǎng)絡是一種復雜網(wǎng)絡，具有無標度特性和小世界特性(Albert＆Barabási，2002;Newman，2003)。因此，交易者網(wǎng)絡將影響市場傳聞的擴散。一個完整的網(wǎng)絡擴散過程至少應該包括兩個方面:一是網(wǎng)絡拓撲結構的選擇;二是擴散規(guī)則的制定。網(wǎng)絡拓撲結構決定著傳聞擴散的路徑、方式等;擴散的規(guī)則可由市場傳聞的擴散博弈所決定(李守偉等，2007)。在交易者網(wǎng)絡中，交易者只能與局部有限個交易者相關聯(lián)，從而使得傳聞的擴散不是同時波及到網(wǎng)絡中的所有交易者，而是最先擴散到傳聞交易者的“鄰接”交易者，并進一步向外擴散。在擴散過程中，交易者網(wǎng)絡上的相鄰交易者對技術擴散采取不同的態(tài)度，即是擴散還是封鎖，是接受還是拒絕，從而在市場傳聞擴散的交易者之間表現(xiàn)出了對市場傳聞擴散的博弈。顯然，交易者網(wǎng)絡上的市場傳聞擴散博弈過程不是簡單、經(jīng)典的一對一的博弈，而是一對多的博弈過程。如何構建這個一對多博弈，并且其納什均衡解是怎樣的?更進一步地思考，博弈擴散如何影響市場波動?本文基于一對多博弈的實際情況，給出了博弈雙方的假設，創(chuàng)新性地從策略組合的角度提出了一對多博弈的理論模型，并給出了納什均衡解及其分析。對于交易者網(wǎng)絡的拓撲結構，類似于深度遍歷，市場傳聞在交易者網(wǎng)絡上擴散的步數(shù)滿足什么規(guī)律?本文將回答這些問題，并通過實際的交易者網(wǎng)絡給出實證分析。理論模型的建立以及傳聞擴散步數(shù)的分析，都將有利于指導投資者正確對待證券市場的各種傳聞，同時也有利于證券市場的穩(wěn)定。

二、相關研究綜述

傳聞擴散的研究最早可追溯到20世紀初由Schumpeter所創(chuàng)立的傳聞理論，然而對傳聞擴散的系統(tǒng)研究卻是由EverettM.Rogers于20世紀60年代開始的(Rogers，1995)。綜觀國內(nèi)外研究，傳聞擴散模型主要分為兩類:一類是基于潛在競爭者總體統(tǒng)計行為的宏觀層面(AggregateLevel)的數(shù)學模型;另一類是基于潛在競爭者個人采納決策行為的微觀層面(IndividualLevel)的仿真模型(張廷等，2006)。宏觀層面的數(shù)學模型主要分別由Bass、Fourt、Mansfield提出(Bass，1969;Fourt，1960;Mansfield，1961)。其中，經(jīng)典的擴散模型是EdwinMansfield提出的農(nóng)場主推廣革新模型。假設在t=0時，一項新的革新被介紹到一個確定的擁有N個農(nóng)場主的社會里，假定在時間Δt內(nèi)采用這項革新的農(nóng)場主數(shù)ΔP與在此之前已采納了這項革新的農(nóng)場主數(shù)P及還不知道這項革新的農(nóng)場主數(shù)N－P成正比，即ΔP=CP(N－P)Δt，其中C為擴散系數(shù)。令Δt→0，得微分方程dPdt=CP(N－P)。許多實證研究表明這個模型是成功的，眾多學者的技術擴散模型研究也基本上是基于這個控制方程或其變化形式。然而，上述常微分方程有一個與客觀事實不符的前提假設:新技術采用的群體的增長是確定性的，即P(t)是t的函數(shù)。事實上，它忽視了傳聞出現(xiàn)的不確定性，以及擴散的隨機性。盡管有的學者考慮了擴散的隨機性(段茂盛，2001)，也有的學者提出了基于馬爾科夫鏈的改進模型(陳旭，2005)，但是他們大都基于交易者均勻分布的假設。沒有考慮到交易者群體的結構、交易者對新技術采用的客觀性(成本)和主觀性(風險)。微觀層面的仿真研究主要是由計算機技術和模擬仿真思想的發(fā)展推動的。這類仿真模型主要有Agent模型(Garcia，2005)、元胞自動機(Golden-berg＆Efroni，2001)、滲流模型(Percolation)(Gold-enberg＆Libai，2000)、臨界值模型(Granovetter，1978)等，其中以元胞自動機模型的應用最為廣泛。微觀仿真模擬的基本思想認為個體狀態(tài)取決于其鄰居的狀態(tài)，少數(shù)個體的狀態(tài)逐步影響周圍個體，以此引起了該狀態(tài)的傳播與擴散(宣慧玉，高寶俊，2002)。這些微觀仿真模型都注意到了個體與群體的網(wǎng)絡結構關系以及擴散的規(guī)則，但是在結構關系上還大都處于對規(guī)則網(wǎng)絡上擴散的仿真模擬，還有部分研究是基于隨機網(wǎng)絡做出的，然而對復雜網(wǎng)絡上的擴散過程模擬較少。由于復雜網(wǎng)絡(ComplexNetwork)能較好地模擬客觀世界，所以非常有必要對復雜網(wǎng)絡上的傳聞擴散過程進行研究。對復雜網(wǎng)絡上的擴散過程的研究主要是基于著名的傳染病模型SIS和SIR，但這些結論同樣適用于市場傳聞在交易者網(wǎng)絡上的擴散(Pastor-Sator-ras＆Vespignani，2001)。研究結論主要有:在規(guī)則網(wǎng)絡中擴散閾值是一個不算很小的值;在小世界網(wǎng)絡中，擴散閾值明顯地比規(guī)則網(wǎng)絡中小;在同樣的擴散強度下，擴散在小世界網(wǎng)絡中所波及的范圍明顯大于其在規(guī)則網(wǎng)絡中所波及的范圍(Moore＆Newman，2000)。如果說，從規(guī)則網(wǎng)絡到小世界網(wǎng)絡，擴散行為還只是量上的不同，那么，無標度網(wǎng)絡上的擴散行為則表現(xiàn)出了和前兩者迥異的性質(zhì)。在無標度網(wǎng)絡上，要么沒有正的擴散閾值，要么擴散閾值非常接近于零(Pastor-Satorras＆Vespignani，2001)。雖然SIS和SIR模型能從擴散閾值上表明網(wǎng)絡拓撲結構對擴散的影響，但是沒有考慮到網(wǎng)絡節(jié)點對待擴散所采取的策略或態(tài)度。而且，很少有學者從博弈的角度研究復雜網(wǎng)絡上的擴散過程。根據(jù)網(wǎng)絡節(jié)點之間的關聯(lián)性，復雜網(wǎng)絡上的博弈應該是可變的多主體博弈。

從博弈的主體來看，眾多研究者對“二人”博弈進行了研究分析，也有不少學者將博弈方的個數(shù)從2個擴展到多個或群體，研究了群體博弈行為。劉德海等(2004)分析個體與群體之間的博弈問題，構造了一對多的重復博弈模型。王桂強等(2006)基于群體博弈構造了空間網(wǎng)狀結構的“博弈網(wǎng)”，其實質(zhì)是一個完全規(guī)則網(wǎng)絡。然而，市場傳聞在交易者網(wǎng)絡上的博弈擴散過程并不是主體不變的重復博弈過程，也不是在完全網(wǎng)絡上擴散的，而是一個博弈主體不斷變化的一對多博弈，是一個在復雜交易者網(wǎng)絡上的擴散，并且這個復雜交易者網(wǎng)絡具有小世界特征和無標度特征。

三、市場傳聞擴散的博弈模型

博弈論是一種研究決策主體相互交往過程及其結果的工具，研究關于包含相互依存情況中理性行為，有兩個基本假設:每一個主題有一個明確的外生變量，每個主體的決策是基于決策者的知識及其對其他決策者的預期(盛昭瀚、蔣德鵬，2002)，即是基于各個博弈主體的收益(Payoff)。對于市場傳聞的擴散過程的每一步博弈，可以將交易者分為兩種類型:知情者和不知情者。顯然，市場中的交易者個體由不知情者變成知情者，傳聞被擴散出去。

1、博弈模型的基本假設已有的研究結果表明，交易者網(wǎng)絡是復雜網(wǎng)絡，具有無標度特性和小世界特性?；诮灰渍呔W(wǎng)絡的拓撲結構特點，本文給出博弈模型的基本假設:(1)交易者網(wǎng)絡中的所有個體都能夠感知相鄰個體所擴散來的市場傳聞，并能夠正確判斷市場傳聞帶來的收益;(2)面對市場傳聞的擴散，知情者的策略有擴散和封鎖，不知情者的策略有接受和拒絕;(3)不妨設市場傳聞的總收益為s=v，對于利好消息，v＞0;對于利空消息，v＜0;這個總收益s要在知情者之間均攤;(4)對于傳聞知情者，其擴散策略是不需要成本的，但是其封鎖策略是需要付出代價的。不妨設，傳聞知情者對市場傳聞進行封鎖的成本為c。顯然有0＜c＜(s/2)，否則，知情者因封鎖成本大于收益而放棄封鎖;(5)對于傳聞不知情者，接受策略需要投入一定的成本，而且，拒絕策略也因為其處于一定的劣勢而付出一定的代價。不妨設，傳聞不知情者對市場傳聞接受所投入的成本為m，且為拒絕市場傳聞而付出的代價為n。這里的m和n的值與總收益s被分攤的程度無關，因為市場傳聞獲取的難度不會因其擴散而降低(排除剽竊的行為)。顯然有s＞m＞n＞0，因為投入成本m能夠獲得收益，而付出代價n卻得不到該市場傳聞所帶來的收益。

2、市場傳聞擴散的一對多博弈模型在交易者網(wǎng)絡上，一個市場傳聞知情者擁有K個鄰接交易者，K≥1，不妨設其中有k個不知情交易者，0≤k≤K;如果鄰接交易者是不知情者，則要與知情者進行博弈;如果鄰接交易者是知情者，則不進行博弈。這種博弈實質(zhì)上就是一對多的博弈。知情者分別以概率p選擇擴散策略，以概率(1－p)選擇封鎖策略;每個不知情者分別以概率q選擇接受策略，以概率(1－q)選擇拒絕策略，從而市場傳聞知情者的k個鄰接交易者接受者的策略組合共有k+1種。假設第r個策略組合中有r個交易者選擇接受策略，其余(k－r)個交易者選擇拒絕策略，則第r個策略組合出現(xiàn)的概率為Crkqr(1－q)k－r，其中，Crk是從k個數(shù)中任意選取r個的組合數(shù)，Crk=k!r!(k－r)!。通過以上的分析，基于博弈假設，可得一對多博弈的支付矩陣如表1所示。在這個博弈中，不存在純策略的納什均衡，只能尋找混合策略的納什均衡。如果市場傳聞知情者選擇擴散策略，其市場期望回報為:E(X1)=∑kr=0Crkqr(1－q)k－r?sr+1(1)如果市場傳聞知情者選擇封鎖策略，其市場期望回報為:E(X2)=∑kr=0Crkqr(1－q)k－r?(s－c)=s－c(2)從而，市場傳聞知情者的期望回報為:E(X)(=p∑kr=0Crkqr(1－q)k－r?sr+)1+(1－p)(s－c)=ps1－(1－q)k+1q(k+1)+(1－p)(s－c)(3)如果該知情者的個鄰接不知情者中r個選擇接受策略、(k－r)個選擇拒絕策略，那么此時不知情者的市場期望回報為:E(Yr)=prr+1s－rm－(k－r)()n+(1－p)(－rm－(k－r)n)=rr+1ps－rm－(k－r)n(4)從而，鄰接不知情者的總期望回報為:E(Y)=∑kr=0Crkqr(1－q)k－rrr+1ps－rm－(k－r)[]n=ps1－1－(1－q)k+1q(k+1[])－qmk－(1－q)nk(5)從(3)式、(5)式可以看出，知情者和不知情者的期望回報與不知情者的個數(shù)r無關。顯然，E(X)p=0和E(Y)q=0沒有解析解，因此，我們求取其近似解。取(1－q)k+1≈1－(k+1)q+(k+1)k2q2，則E(X)、E(Y)分別簡化為:E''''(X)=p1－k2()qs+(1－p)(s－c)(6)E''''(Y)=qk2ps－qmk－(1－q)nk(7)令E''''(X)p=0、E''''(Y)q=0，分別得到q*=2cks，p*=2(m－n)s(8)所以，在這個一對多的博弈中，混合策略的Nash均衡為2(m－n)s，s－2(m－n)()s、2cks，ks－2c()ks。從(8)式可以得到有趣的結論:在混合策略納什均衡的條件下，不知情者采取接受策略的概率q*與不知情者的個數(shù)k成反比，表現(xiàn)為不知情者排斥“人云亦云”的傳聞;而知情者采取擴散策略的概率卻與其鄰接不知情者數(shù)k無關。為了分析市場傳聞在交易者網(wǎng)絡上的擴散過程，分析基于混合策略Nash均衡的變化是必要的，進而分析博弈均衡中市場傳聞擴散過程的特點與規(guī)律。

四、證券市場傳聞擴散的馬爾科夫鏈分析

初始傳聞的知情者i要與其ki個鄰接不知情者進行博弈，如果鄰接不知情者j變成知情者，又要與其kj個鄰接不知情者進行博弈，如此反復，市場傳聞就慢慢地擴散出去，整個擴散過程形成了擴散樹，如圖1所示。類似深度遍歷，本文分析市場傳聞擴散的步數(shù)。圖1交易者網(wǎng)絡上的市場傳聞擴散1、市場傳聞擴散過程的Markov鏈考慮一個起點為知情者i、終點為不知情者j的擴散路徑，其路徑長度lij≥1。隨著擴散的進行，路徑上的不知情者依次變成知情者。(1)交易者狀態(tài)的有限性。路徑上的交易者節(jié)點雖然在交易者網(wǎng)絡上的位置不同，但它們都是獨立的個體，具有相對的獨立性。在市場傳聞擴散過程中，各自獨立地依據(jù)自身的知識水平和分析能力來確定所采取的策略(接受或拒絕、擴散或封鎖)，不同的策略使交易者處于不同的狀態(tài)，因此，節(jié)點交易者在市場傳聞擴散過程中只有有限個狀態(tài)(4個)。(2)博弈過程的無后效性。正是由于交易者節(jié)點的相對獨立性，在市場傳聞的擴散博弈中，博弈方交易者所采取的策略只與博弈參與者的策略有關，而與已經(jīng)發(fā)生了的博弈無關。因此，從i到j的擴散過程是一個具有無后效性的隨機過程。無后效性是指:當過程在tm時刻所處的狀態(tài)為已知時，過程在大于tm的時刻t所處的狀態(tài)的概率特性只與過程在tm時刻所處的狀態(tài)有關，而與過程在tm時刻以前的狀態(tài)無關。(3)狀態(tài)轉移概率與時間的無關性。作為市場傳聞的知情者，有兩種狀態(tài):擴散與封鎖;作為市場傳聞的不知情者，有兩種狀態(tài):接受與拒絕。因此，除初始傳聞節(jié)點外，擴散路徑上的交易者以不知情者和知情者兩種身份出現(xiàn)，其狀態(tài)也在接受與拒絕和擴散與封鎖之間相互轉換。在擴散路徑上市場傳聞首先從知情者通過博弈擴散到不知情者，不知情者再變成知情者。知情者的狀態(tài)(即其策略的概率分布)為a=p*1－p()*;由知情者向不知情者進行擴散的狀態(tài)轉移矩陣為Q=q11q12q21q[]22=q*01－q*[]1。不知情者的狀態(tài)(即其策略的概率分布)為b=q*1－q()*，由不知情者變?yōu)橹檎叩臓顟B(tài)轉移矩陣為P=p11p12p21p[]22=p*01－p*[]1。上述兩個狀態(tài)轉換過程不斷交替進行，市場傳聞被不斷地“一波一波”地擴散出去，直到狀態(tài)轉換的停止，也即是市場傳聞擴散過程的停止。顯然，狀態(tài)的轉換與時間無關。通過上面的分析，可以得到如下命題:命題1:交易者網(wǎng)絡的市場傳聞博弈擴散過程是馬爾科夫鏈。2、市場傳聞擴散步數(shù)分析轉移矩陣P、Q中的轉移概率p22、q22分別表示交易者的封鎖和拒絕狀態(tài)，由于p22=1，q22=1，則稱交易者的封鎖和拒絕狀態(tài)是該馬爾科夫鏈的吸收態(tài)。具有吸收態(tài)的馬爾科夫鏈又稱為吸收鏈。對于吸收鏈存在如下的結論:命題2:對于具有r個吸收態(tài)的Markov吸收鏈L的標準形式L=Ir×r0R[]U，(I－U)可逆，M=(I－U)－1，e=(1，1，…，1)－1，則Y=Me的第i分量是從第i個非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個吸收狀態(tài)吸收的平均轉移次數(shù)。在市場傳聞擴散停止時，我們關心的是其擴散過程所經(jīng)歷的步數(shù)，也即是馬爾科夫鏈的長度。由此，提出提下定理:定理1:市場傳聞在交易者網(wǎng)絡上的擴散步數(shù)與網(wǎng)絡的平均鄰接不知情者數(shù)k成反比。證明:首先證明市場傳聞擴散的Markov鏈是一個吸收鏈。假設擴散的步數(shù)為t，初始市場傳聞知情者的狀態(tài)為a(0)=p*1－p()*，擴散路徑的終點成為知情者的狀態(tài)為b(t)=QPQ…PQPQa(0)。將p*、q*分別代入上式，可得:b(t)=b1b[]2其中b1=4(m－n)cs[]2t－1?2cs(?∏tj=1k)j－1，b2=1－b1(9)對于給定的交易者網(wǎng)絡，因為0＜kj＜Kj，其中Kj表示交易者節(jié)點j的連通度，則kj是有界的，可以看作是定值，則當t→∞時，b1→0。也就是說，在某個擴散步之后，市場傳聞將不再被擴散。因此，市場傳聞擴散的Markov過程是吸收鏈。從實際情況來看，市場傳聞擴散停止的原因有兩個:一是由于市場傳聞擴散過程是呈發(fā)散狀的，在某個擴散步后，市場傳聞已經(jīng)遍歷了交易者網(wǎng)絡上的大部分交易者;二是由于新的市場傳聞的出現(xiàn)，原市場傳聞由于不知情者選擇拒絕策略而停止其擴散過程。其次，分析市場傳聞擴散的步數(shù)。由于PQ=Qp=p*q*01－p*q*[]1，通過交換行列，得到吸收鏈的標準形式:L=I0R[]U=101－p*q*p*q[]*由于擴散路徑上各個節(jié)點的度不盡相同，因此在統(tǒng)計意義下，取q*=2cks，其中k表示交易者網(wǎng)絡中不知情者的平均度數(shù)，也即是知情者所平均擁有的鄰接不知情者的數(shù)目。從上述命題2可知，市場傳聞擴散的平均轉移次數(shù)為y=11－p*q*=s2s2－4c(m－n)k(10)從(10)式可以看出，市場傳聞在交易者網(wǎng)絡上的擴散步數(shù)與網(wǎng)絡的平均鄰接不知情者的數(shù)目成反比。

五、交易者網(wǎng)絡復雜性特征對傳聞擴散影響的分析

交易者網(wǎng)絡的復雜性結構特征對市場傳聞擴散具有一定的影響。交易者網(wǎng)絡所具有的無標度特性和小世界特性，影響著技術創(chuàng)新擴散的方式和路徑。(1)從交易者網(wǎng)絡的連接分布上看，擴散博弈并不局限于一對一博弈，更多的是一對多博弈，而且博弈參與者的數(shù)量(1+k)也在不斷變化。由于交易者節(jié)點度K服從冪律分布，p(K)～K－r，較少的“Hub”交易者節(jié)點(度K較大的節(jié)點)能夠在博弈中影響到大量的“葉”節(jié)點，從而使得市場傳聞易于擴散;但是，也正是由于大量“葉”節(jié)點的存在，它們的影響面窄，又在一定程度上阻礙了市場傳聞的擴散。大部分時間里，傳聞擴散的“波浪”式斷斷續(xù)續(xù)地爆發(fā)，間隔較長的靜止時間。也就是說，系統(tǒng)呈現(xiàn)短暫平衡的行為。(2)交易者網(wǎng)絡中知情交易者所連接的不知情交易者平均度k是其重要的參數(shù)。一方面，博弈擴散所經(jīng)歷的步數(shù)又與k成正比(定理1);另一方面，根據(jù)交易者網(wǎng)絡的拓撲結構，博弈擴散的步數(shù)應該與其平均最短路徑d成正比。(3)交易者網(wǎng)絡的平均集聚系數(shù)C也是其重要的參數(shù)。集聚系數(shù)C的大小用社會學的語言來描述就是“朋友的朋友還是朋友”的概率大小。交易者網(wǎng)絡的小世界特性表明C大于隨機網(wǎng)絡的C，說明交易者網(wǎng)絡中的不同大小的“團體”較多，從而使市場傳聞易于在小群體中擴散。

六、結論

傳聞的真正價值在于其在交易者網(wǎng)絡上的擴散，因此交易者網(wǎng)絡的復雜拓撲結構對市場傳聞的擴散具有重要的影響作用。從擴散博弈的Nash均衡來看，知情者采取擴散策略的概率與不知情者的接受成本和拒絕代價之差成正比;不知情者采取接受策略的概率不但與知情者的封鎖成本成正比，而且與網(wǎng)絡中不知情者的平均度成正比。從轉移矩陣可知，市場傳聞擴散的馬爾科夫鏈是一個吸收鏈，從而市場傳聞的擴散狀態(tài)將最終變?yōu)榉怄i或拒絕狀態(tài)，并且市場傳聞擴散的平均步數(shù)與網(wǎng)絡的平均鄰接不知情者的數(shù)目成正比。交易者網(wǎng)絡的無標度特性表明，博弈擴散具有既突然爆發(fā)又短暫平衡的“斷斷續(xù)續(xù)”的特點，交易者網(wǎng)絡的小世界特性表明了擴散過程是一個相對快速的過程(相對于同規(guī)模的規(guī)則網(wǎng)絡)。同時，交易者網(wǎng)絡的集聚系數(shù)表明傳聞分享的程度。