導(dǎo)語：大學(xué)物理學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接研究一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：大學(xué)物理學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間有著十分密切的內(nèi)在聯(lián)系，一定基礎(chǔ)的高等數(shù)學(xué)知識是學(xué)好大學(xué)物理學(xué)的關(guān)鍵。然而，對于大一新生，高等數(shù)學(xué)基本知識的欠缺已成為學(xué)生理解知識及提高教學(xué)效果的主要障礙。論文探究了高等數(shù)學(xué)中的微積分、矢量等知識如何與大學(xué)物理課程的銜接，并結(jié)合一些具體的案例進行了說明，以求提高教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：大學(xué)物理；高等數(shù)學(xué)；銜接；案例

一引言

大學(xué)物理學(xué)是理工類專業(yè)必修的基礎(chǔ)課程，而這門課程是用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)來描述的。物理學(xué)的每一次進步都離不開數(shù)學(xué)的運用[1]。故好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是學(xué)好物理的關(guān)鍵。然而，大學(xué)物理和高等數(shù)學(xué)這兩門課程是各自單獨授課，對于大一新生而言，在講大學(xué)物理中的力學(xué)部分時，高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)、微分、積分、矢量還未來得及學(xué)。高等數(shù)學(xué)知識的欠缺已成為學(xué)生理解知識及提高教學(xué)效果的重大障礙[2]。因此，如何將大學(xué)物理與高等數(shù)學(xué)相銜接，如何在實際的大學(xué)物理教學(xué)中盡量做到具體的物理問題滲透高等數(shù)學(xué)的思想，彌補新生對高等數(shù)學(xué)理解的不很透徹，做到高數(shù)與物理這兩門課的融會貫通是每一位教大學(xué)物理教師值得思考的問題[3，4]。

二大學(xué)物理與高等數(shù)學(xué)相銜接的探究

（一）課前高數(shù)知識的補充。筆者經(jīng)過多年的教學(xué)實踐，認(rèn)為十分有必要在講完緒論之后,拿出大約四個學(xué)時,來給學(xué)生補充微積分和矢量運算等內(nèi)容。起到磨刀不誤砍柴工的效果。在補充高等數(shù)學(xué)知識的課堂教學(xué)過程中,主要是講解高等數(shù)學(xué)中微積分的思想，明白導(dǎo)數(shù)、微分、積分、矢量的定義及本質(zhì)。實際上大多數(shù)數(shù)學(xué)問題的提出都與物理息息相關(guān)，在講解微積分和矢量運算的思想時要結(jié)合物理中的實際應(yīng)用來講解、結(jié)合具體的公式來應(yīng)用。例如：導(dǎo)數(shù)是反映函數(shù)因變量相對于自變量變化的快慢程度，即：函數(shù)的變化率。強調(diào)的是這個變化率是極限條件下的變化率。在講解導(dǎo)數(shù)定義時可假設(shè)在二維直角坐標(biāo)系中有一條任意的曲線，曲線上有A、B兩點，坐標(biāo)分別為11A(x，y)，22B(x，y)。假設(shè)自變量變化了21∆x(∆x=x−x)，因變量隨之變化了21∆y(∆y=y−y)false，其變化率k=∆y∆x?？山Y(jié)合圖形講解，當(dāng)自變量的變化∆x→0時，即：2x無限靠近1x，在此極限情況下∆x可表示為dx，因變量的變化∆yfalse可表示為dy。教師要強調(diào)的是1x處的導(dǎo)數(shù)，強調(diào)∆x與dx的區(qū)別與聯(lián)系，即：dx是∆x的極限形式。在講解的過程中沒有必要過多地說明域和極限的存在的概念等。在此極限情況下x1處的導(dǎo)數(shù)可表示為：10limxxxyyx=∆→∆′=∆，導(dǎo)數(shù)也稱之為微商。既要強調(diào)商，也要強調(diào)微。這樣就很容易引出導(dǎo)數(shù)的定義和思想。在講完導(dǎo)數(shù)的定義和思想之后，馬上結(jié)合曲線的切線問題，結(jié)合變速直線運動的平均速度和某一時刻的瞬時速度問題進行實際的應(yīng)用。沒必要過多地糾纏極限的實際求法，但要強調(diào)極限的思想。結(jié)合導(dǎo)數(shù)的常用公式，強調(diào)這些公式只是一種工具。沒必要過多去推導(dǎo)這些常用公式的由來。多年的教學(xué)實踐證明，學(xué)生很快能接受導(dǎo)數(shù)知識。有了導(dǎo)數(shù)的知識，再來講解微分的概念。微分的思想是在某一點，自變量有微小變化時，函數(shù)大體上改變了多少。例如在x1點，當(dāng)自變量有微小的∆x變化時，函數(shù)大體上改變了∆y，當(dāng)自變量的變化∆x→0時，即可表示為dx，函數(shù)在1x點的變化∆y可以表示為dy，導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系是dy=f′(x)dx。強調(diào)f′(x)是導(dǎo)數(shù)，反映的是在點1x附近的變化率。同樣，結(jié)合在講導(dǎo)數(shù)時的二維曲線來說明。在講完微分的定義和思想之后，馬上結(jié)合正方形金屬薄片受熱后面積的改變量，從而具體說明微分的思想。假設(shè)正方形金屬薄片初始邊長為x0，受熱膨脹后的邊長由0x變?yōu)?x+∆x，邊長增加了∆x，那么薄片的面積增加了多少呢？結(jié)合圖形，薄片的面積增加量為222000∆A=(x+∆x)−x=2x⋅∆x+(∆x)，學(xué)生對這個問題很容易解答。當(dāng)∆x為dx時，即：∆x→0，由于2(∆x)為二階小量，可以忽略不計，因此，薄片的面積增加量可表示為0dA=2x⋅dx，很自然的理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系dy=f′(x)dx。有了微分的知識接著講積分的概念。此知識點中強調(diào)的是微元的思想。可結(jié)合曲邊梯形面積來講解積分的思想。計算曲邊梯形的面積，一個簡單的法子就是用矩形面積近似取代曲邊梯形面積。矩形的數(shù)目越多，越接近于曲邊梯形面積。教師要具體講解好微元的概念。結(jié)合圖形，第i個矩形的寬度為+1-iiii∆x（）∆x=xx，高度近似為()ifζ，其中iii+1x≤ζ≤x，則第i個矩形的面積為()iii∆A=fζ⋅∆x。至此，學(xué)生理解沒有問題。當(dāng)0i∆x→時，高度近似用()ifx代替，因此第i個矩形的面積為用微分來表示為()iidA=fx⋅dx，在此要讓學(xué)生建立起微元idA的概念。曲邊梯形總的面積即為這些微元的和1()niiiAfζx==∑⋅∆。當(dāng)0i∆x→時，曲邊梯形總的面積即為()baA=∫fxdx。體現(xiàn)了積分就是求和的思想，體現(xiàn)了微元疊加的思想。經(jīng)過多年的教學(xué)實踐證明，通過大約四個學(xué)時的高數(shù)知識補充，學(xué)生很快就能建立微積分、微元、矢量的思想，為開始講解大學(xué)物理中的力學(xué)打下了一定的基礎(chǔ)。（二）悟物窮理，突出高等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用滲透。在大約四個學(xué)時的高數(shù)知識補充中，強調(diào)的是微積分、矢量的基本思想。在實際的大學(xué)物理教學(xué)中盡量做到具體的物理問題滲透高等數(shù)的學(xué)思想，做到高數(shù)與物理這兩門課的融會貫通。在大學(xué)物理的具體問題中，微元的思想被廣泛運用。從力學(xué)中物體的變速運動，變力做功，剛體的轉(zhuǎn)動慣量到電磁學(xué)中的場強、電勢、能量的疊加等都是微元思想的體現(xiàn)。有位移元、時間元、質(zhì)量元、電荷元、電流元等等。微元的作用就是無限分割，取極限，分割成一個個無窮小的單位，即將物理量分解為單位元，即：高數(shù)中自變量的變化∆x→0時的微元dy，從而達到近似的、等效的“理想”狀態(tài)。微元近似為穩(wěn)恒量或離散量。物理的整個過程就是這些微元的疊加，疊加過程就是求和過程，也是積分過程。例如：求軸與盤平面垂直并通過盤心，質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。質(zhì)量離散物體的轉(zhuǎn)動慣量的定義為：2=iiJ∑rm，根據(jù)補充高數(shù)時所講的求和就是積分的思想，質(zhì)量連續(xù)物體的轉(zhuǎn)動慣量可表示為：2J=∫rdm。對于此題連續(xù)物體的轉(zhuǎn)動慣量，首先要求學(xué)生理解轉(zhuǎn)動慣量的微元dJ，而2dJ=rdm，這樣微元又變?yōu)閐m，dm=ρdV=ρldS。對于微元dS的求解，在此關(guān)鍵運用了極限的思想。在講解時結(jié)合圖形，取一個半徑為1r的內(nèi)圓，當(dāng)內(nèi)圓半徑1r增加一個微量∆r時，形成的外圓半徑為r+∆r，這樣形成一個內(nèi)半徑為1r，外半徑為1r+∆r的圓環(huán)。整個圓盤的面積就是這些無限多個圓環(huán)的疊加。最后，落腳點就是求這個圓環(huán)的面積1∆S。運用微分極限的思想，當(dāng)半徑增量∆r→0時，∆r可表示為dr。圓環(huán)的內(nèi)、外半徑都近似為1r。將這個圓環(huán)用剪刀剪斷，拉直，近似形成一個長度為12πr，寬度為dr的矩形。這些無窮小的圓環(huán)單位，等效于“理想”狀態(tài)的矩形。關(guān)鍵是要學(xué)生明白這個矩形是如何在極限情況下得到的。這個圓環(huán)對應(yīng)的近似矩形面積為：11dS=2πrdr。一般地，去掉角標(biāo)，任意內(nèi)半徑為r的圓環(huán)所對應(yīng)的面積微元為dS=2πrdr?？梢宰寣W(xué)生根據(jù)此面積微元公式計算整個圓盤的面積：202=RS=π∫rdrR。結(jié)果與以往的、求圓的面積公式獲得一致。學(xué)生對此非常驚訝！也更加明白微分的極限思想。將面積微元dS、質(zhì)量微元dm、轉(zhuǎn)動慣量的微元dJ代入公式2J=∫rdm中，同時根據(jù)密度公式：2mmVRlρ==π，即可得到圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為：320122RJ=∫ρπl(wèi)rdr=mR。還有，例如：速度、加速度等等，這些例子充分體現(xiàn)了高數(shù)中微元、極限、疊加的思想，是解決復(fù)雜物理問題的手段，做到了高數(shù)與物理這兩門課的融會貫通。教師要引導(dǎo)新生勤于思考，悟物窮理；在教學(xué)中要始終體現(xiàn)微元思想，時刻提醒學(xué)生注意微元思想。

三總結(jié)

總之，大學(xué)物理課需要用高等數(shù)學(xué)來描述，而通過對大學(xué)物理學(xué)的學(xué)習(xí)可以對高等數(shù)學(xué)知識的思想和方法會有著更深層次的理解，兩者相互促進，相互滲透。教師要做好大學(xué)物理學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接,以消除大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和大學(xué)物理時的障礙，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高教學(xué)效益。

參考文獻

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[4]楊海彬.淺談大學(xué)物理教學(xué)中數(shù)學(xué)知識的運用[J].安徽文學(xué)月刊,2007(5):101-102.

作者:鄧文武 單位:湖北科技學(xué)院