導語：淺析數(shù)學思維培訓的幾種方法一文來源于網友上傳，不代表本站觀點，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：學習數(shù)學,最重要的是學習數(shù)學的思維方法,這是人人皆知的命題,然而又是一個世界難題,在數(shù)學教學中對學生的要求不僅僅只滿足于求得問題的正確答案，還應注意在教學過程中教會學生領悟知識的來龍去脈，有意識地訓練學生的思維，并通過遷移變通，引導學生大膽設疑，拓寬思維空間，尋找多種解題方法，從中發(fā)現(xiàn)最佳解法，本文將結合筆者的教學經驗就數(shù)學課堂教學中，教師如何培養(yǎng)學生有序性和合理性的數(shù)學思維能力，嚴謹?shù)臄?shù)學思維能力，創(chuàng)造性思維能力以及概括能力，進行力所能及的探討和總結，讓學生智慧的火花在課堂中頻頻綻放。

關鍵詞：數(shù)學思維；能力；培養(yǎng)

古人說：“學貴知疑，小疑小進，大疑大進”，有疑問才有學習的內動力。人類的思維活動往往是由于要解決當前的問題而引發(fā)的。課堂上要讓學生思，必先教有疑。現(xiàn)代教育觀點認為，數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，即思維活動的教學。如何在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的思維能力，是教學改革的一個重要課題。下面就數(shù)學教學中，數(shù)學思維能力的培養(yǎng)，談談自己的看法。

一分層教學，設置階梯，激發(fā)興趣，培養(yǎng)學生有序性，合理性的數(shù)學思維能力。

培養(yǎng)興趣，促進思維。興趣是最好的老師，也是每個學生自覺求知的內動力。教師要精心設計每節(jié)課，要使每節(jié)課形象、生動，有意創(chuàng)造動人的情境，設置誘人的懸念，激發(fā)學生思維的火花和求知的欲望。為了讓每個層次的學生在課堂教學都能聽懂，有興趣去學，能運用所掌握的數(shù)學知識，積極思考、積極參與。

例1：在輔導學生用十字相乘法把多項式分解因式這節(jié)課時，我設計了下列題目：

（1）2x2–7xy+3y2（2）2(x+1)2–7(x+1)+3

（3）2(x+y)2–7(x+y)+3（4）2(x+y)2–7(x+y)(x–y)+3(x-y)2

依據(jù)學生的實際情況，我把學生分成四組，分組練習。學生看到題目馬上發(fā)現(xiàn)各項的系數(shù)都一樣，有了興趣，通過以上練習，學生始終處于積極探討狀態(tài)之中，通過他們的積極參與，對“十字相乘法分解因式”的方法理解快、記得牢、用得活，從而培養(yǎng)學生有序性和合理性的數(shù)學思維能力。

適當分段，分散難點，創(chuàng)造條件讓學生樂于思維。如列方程解應用題是學生普遍感到困難的內容之一，主要困難在于掌握不好用代數(shù)方法分析問題的思路，習慣用小學的算術解法，找不出等量關系，列不出方程。因此，我在教列代數(shù)式時有意識地為列方程的教學作一些準備工作，啟發(fā)同學從錯綜復雜的數(shù)量關系中去尋找已知與未知之間的內在聯(lián)系。通過畫草圖列表，配以一定數(shù)量的例題和習題，使同學們能逐步尋找出等量關系，列出方程。并在此基礎進行提高，指出同一題目由于思路不一樣，可列出不同的方程。這樣大部分同學都能較順利地列出方程，碰到難題也會進行積極的分析思維。

例2：要用20張白紙做包裝盒，每張白紙可以做盒身2個，或者做盒底蓋3個。如果1個盒身和2個底蓋可以做成一個包裝盒，那么能否把這些白紙分成兩部分，一部分做盒身，一部分做盒底蓋，使做成的盒身和盒底蓋正好配套?

請你設計一種分法，如果不允許剪開白紙，能不能找到符合題意的分法？如果允許剪開一張白紙，怎樣才能即符合題意又充分地利用白紙？

分析：看到這道題目，有的同學不知道如何去解,其實只要找出等量關系即一個盒身配2個盒底蓋,從這個方面去考慮就對了.

解：設應該用x張白紙做盒身，y張白紙做盒底蓋.則可做盒身2x個，盒底蓋3y個。

要做成一個包裝盒需要1個盒身2個盒底蓋，則為了配套，盒底蓋的個數(shù)應是盒身的2倍。

依題意得x+y=20x=60/7

解得

4x=3yy=80/7

由于解為分數(shù)，所以如果不允許剪開白紙，則只能用8張紙做盒身，共可做16個盒身;用11張白紙做盒底蓋，共可做33個盒底蓋，而16個盒身只需32個盒底蓋，所以只能做16個包裝盒，且剩余一張白紙和一個盒底蓋的材料，無法全部利用白紙；如果允許剪開一張白紙，可以將一張白紙分為3：4兩部分，用8張零一大半做盒身，11張零一小半做盒底蓋，可以做成盒身17個，盒底蓋34個，正好配成17個包裝盒，較充分地利用了材料。

像上面這道例題這種配套問題,往往給出的數(shù)據(jù)恰好使得到的解都是正整數(shù),求解之后也不需深人的思考,而本題所得到的解不是整數(shù),學生有可能懷疑是否解錯了,這樣可以引起學生的注意.另外有的學生可能采用四舍五入的辦法,這是錯的.在列方程組解決問題時,要勇于探索,大膽嘗試，與同學之間互相交流，逐步培養(yǎng)自己解決實際問題的能力，從而提高了自己合理性的數(shù)學思維能力。

二錯例剖析，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學思維能力。

思維的嚴謹性是指考慮問題的嚴密、有據(jù)。要提高學生思維的嚴謹性，必須嚴格要求，加強訓練。

首先要求學生要按步思維，思路清晰，就是要按照一定的邏輯順序進行思考問題。特別在學習新的知識與方法時，應從基本步驟開始，一步一步深入。

其次要求學生要全面、周密地思考問題，做到推理論證要有充分的理由作根據(jù)。運用直觀的力量，但不停留在直觀的認識上；運用類比，但不輕信類比的結果；審題時不但注意明顯的條件，而且留意發(fā)現(xiàn)那些隱蔽的條件；應用結論時注意結論成立的條件；仔細區(qū)分概念間的差別，弄清概念的內涵和外延，正確地使用概念；給出問題的全部解答，不使之遺漏。

隨著數(shù)學概念、定理、公式的增多，對一些概念，公式等容易混淆，因此做題時，往往丟三落四，缺乏嚴謹。

例3：我在教學二次函數(shù)時，出示了一道容易出錯的題目：已知函數(shù)

y=(m–1)x2–2mx+4,

求證：不論m為何值，此函數(shù)圖象總與x軸相交。

許多學生的解法為：∵△=（-2m）2-4(m-1)?4=4(m-2)2≥0

∴不論m為何值，此函數(shù)圖象總與x軸相交。

分析：造成錯誤的原因在于學生對函數(shù)y=(m-1)x2–2mx+4理解考慮不全面，覺得這是二次函數(shù)，從這方面去解題，沒考慮到其他的情形。事實上，當m=1時，原函數(shù)變?yōu)橐淮魏瘮?shù)，y=-2x+4。只把原函數(shù)作二次函數(shù)去解題是不全面的。

正確解法應為：1.當m=1時，原函數(shù)變成一次函數(shù)y=-2x+4,與x軸相交（2，0）點；2.當m≠1時，△=4(m-2)2≥0,∴二次函數(shù)y的圖象總與x軸相交。

教學中有意收集或編制一些學生易犯而又意識不到的錯誤方法和結論，使學生的思維產生錯與對之間的交叉沖突，進而引導學生找出致誤原因。在數(shù)學學習中要使學生思維活躍，就要教會學生分析問題的基本方法，這樣有利于培養(yǎng)學生的正確思維方式。要學生善于思維，必須重視基礎知識和基本技能的學習，沒有扎實的雙基，思維能力是得不到提高的。數(shù)學概念、定理是推理論證和運算的基礎，準確地理解概念、定理是學好數(shù)學的前提。在教學過程中要提高學生觀察分析、由表及里、由此及彼的認識能力。在例題課中要把解（證）題思路的發(fā)現(xiàn)過程作為重要的教學環(huán)節(jié)。不僅要學生知道該怎樣做，還要讓學生知道為什么要這樣做，是什么促使你這樣做，這樣想的。在數(shù)學練習中，要認真審題，細致觀察，對解題起關鍵作用的隱含條件要有挖掘的能力。學會從條件到結論或從結論到條件的正逆兩種分析方法。對一個數(shù)學題，首先要能判斷它是屬于哪個范圍的題目，涉及到哪些概念、定理、或計算公式。在解（證）題過程中盡量要學會數(shù)學語言、數(shù)學符號的運用等，有助于培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學思維能力

三通過巧妙的質疑和引導，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力

猜想是由已知原理、事實，對未知現(xiàn)象及其規(guī)律所作出的一種假設性的命題。在我們的數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生進行猜想，是激發(fā)學生學習興趣，發(fā)展學生直覺思維，掌握探求知識方法的必要手段。啟發(fā)學生進行猜想，作為教師，首先要點燃學生主動探索之火，我們決不能急于把自己全部的秘密都吐露出來，而要“引在前”，“引”學生觀察分析；“引”學生大膽設問；“引”學生各抒己見；“引”學生充分活動。讓學生去猜，去想，猜想問題的結論，猜想解題的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知識間的有機聯(lián)系，讓學生把各種各樣的想法都講出來，讓學生成為學習的主人，推動其思維的主動性。為了啟發(fā)學生進行猜想，我們還可以創(chuàng)設使學生積極思維，引發(fā)猜想的意境，可以提出“怎么發(fā)現(xiàn)這一定理的？”“解這題的方法是如何想到的？”諸如此類的問題，組織學生進行猜想、探索，還可以編制一些變換結論，缺少條件的“藏頭露尾”的題目，引發(fā)學生猜想的愿望，猜想的積極性。在教學中，教師應及時捕捉和誘發(fā)學生中出現(xiàn)的靈感，對于學生在探究時“違反常識”的體溫，考慮問題時“標新立異”的構思，解題時別出心裁的想法，即使只有一點點新意，都應充分肯定其合理的，有價值的一面。并通過巧妙的提問和引導，讓學生嘗試，發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力。

例4：教學“和圓有關的比例線段”這節(jié)課時，我抓住四個結論之間的內在聯(lián)系，把兩個定理和兩個結論串聯(lián)起來，讓學生在學習過程中發(fā)揮思維器官的功能，自己去發(fā)現(xiàn)，猜測，論證，實現(xiàn)再創(chuàng)造，新課導入的設計如下：

（1）讓學生按下面要求作圖：

經過⊙O內或⊙O外一點P，作兩條相交直線，交⊙O于A、B、C、D四點，得線段PA、PB、PC、PD（教師巡視，并鼓勵學生盡可能畫出下面各種情況）。

（2）提出問題：你們知道這幾個圖形中的四條線段之間在數(shù)量上滿足什么關系嗎？（教師鼓勵學生大膽的猜想，可能有的學生由圖①和圖⑥想到PA、PB、PC、PD相等?？蓡l(fā)學生運用從特殊到一般的思想方法去猜想，也可讓學生用直尺測量去猜，最后得出結論PA?PB=PC?PD①

（3）進一步提出問題:上面的結論是猜想出來的，是否正確還需要論證。先看圖②的情況，怎么證呢?(啟發(fā)學生進行逆向探索,要證PA?PB=PC?PD,只要證PA:PD=PC:PB,要設法找到包含這四條線段的兩個近似三角形，進而啟發(fā)學生添加輔助線,證明結論成立)

（4）小結后再提出問題:我們在逆向探索中找到了解決問題的方法，用先猜后證的方法證明了”圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等。如果把弦AB、CD的位置變動一下，使AB經過點O，且弦CD與AB垂直于P，這就變成了圖③這種情況。這時①式怎樣表示?(引導學生把①式寫成PC2=PA?PB,并總結出相交弦定理的推論.)

（5）繼續(xù)引導學生在變化中探索創(chuàng)造。變動AB、CD位置，使它們相交于⊙O外一點P，所得的四條線段是否也是滿足①式？怎樣證明？（激發(fā)學生的探索熱情，讓學生證明并歸納得到割線定理）

（6）讓學生觀察圖⑤的情況，并指出這是由一般推得特殊，從而得到切割線定理。

（7）讓學生觀察圖2、圖3、圖4、圖5四個結論，用辨證的觀點，觀察知識的發(fā)生、發(fā)展、變化、發(fā)現(xiàn)、猜想、創(chuàng)造的全過程，并完成幾道練習題，進行強化記憶。

（8）最后再設計問題讓學生課后進行實驗探究：過⊙O外一定點P作直線交⊙O于A、B兩點，PA?PB的值是否為定值。

盡管這結論的得出不是新發(fā)明，但對于學生來說卻是新的，必須通過創(chuàng)造性思維，才能予以解決。學中教通過巧妙的質疑和引導，讓學生自己去想象、發(fā)現(xiàn)，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力。

四通過揭示題目間的內在規(guī)律，培養(yǎng)學生的概括能力

數(shù)學教學中，應當強調數(shù)學的“過程”與“結果”的平衡，要讓學生經歷數(shù)學結論的獲得過程，而不是只注意數(shù)學活動的結果。這里，“經歷數(shù)學結論的獲得過程”的含義是什么呢？我們認為，其實質是要讓學生有機會通過自己的概括活動，去探究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律。

概括是思維的基礎。學習和研究數(shù)學，能否獲得正確的抽象結論，完全取決于概括的過程和概括的水平。數(shù)學的概括是一個從具體向抽象、初級向高級發(fā)展的過程，概括是有層次的、逐步深入的。隨著概括水平的提高，學生的思維從具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展。數(shù)學教學中，教師應根據(jù)學生思維發(fā)展水平和概念的發(fā)展過程，及時向學生提出高一級的概括任務，以逐步發(fā)展學生的概括能力。

概括的過程具有螺旋上升、逐步抽象的特點。在學生通過概括獲得初步結論后，教師應當引導學生把概括的結論具體化。這是一個應用新獲得的知識去解決問題的過程，是對新知識進行正面強化的過程。在這個過程中，學生的認知結構與新結論之間的適應與不適應之間的矛盾最容易暴露，也最容易引起學生形成適應的刺激在概括過程中，要重視變式訓練的作用，通過變式，使學生達到對新知識認識的全面性；還要重視反思、系統(tǒng)化的作用，通過反思，引導學生回顧數(shù)學結論概括的整個思維過程，檢查得失，從而加深對數(shù)學原理、通性通法的認識；通過系統(tǒng)化，使新知識與已有認知結構中的相關知識建立橫向聯(lián)系，并概括出帶有普遍性的規(guī)律，從而推動同化、順應的深入。數(shù)學的表現(xiàn)方式是形式化的邏輯體系，數(shù)學理論的最后確立依賴于根據(jù)假定進行抽象概括的能力。因此，教師應當引導學生學會形式抽象，實際上這是一個高層次的概括過程，在這個過程中，學生的邏輯推理能力可以得到很好的培養(yǎng)。

另外，在教學過程中，教師特別重視了“化歸”這一重要的數(shù)學思想方法的滲透，充分利用知識之間的相互聯(lián)系性，通過分析、歸納、概括，將要解決的新問題轉化為已經解決的問題，這個過程的實質就是概括。我們相信，通過這樣的教學，長期堅持，潛移默化，學生的觀察、猜想、分析、歸納、概括以及邏輯論證等能力都會得到很好的培養(yǎng)和提高。我們看一下下面例題。

例5：用一根長60厘米的鐵絲圍成一個長方形。

（1）使長方形的寬是長的2／3，求這個長方形的長和寬；

（2）使長方形的寬比長少4厘米，求這個長方形的面積；

（3）比較（1），（2）所得兩個長方形面積的大小，還能圍出面積更大的長方形嗎？

（4）使長方形的寬比長少3厘米，2厘米，1厘米或長寬相等時，長方形的面積有什么變化？

分析：（1）因為長方形的周長一定，長，寬與周長的關系是2（a+b）=60,設出長，即能表示寬，代入上式可得關于的一元一次方程，即可求之。

（2）同樣給出了長和寬的關系，用（1）的辦法可求出長與寬，然后求長方形的面積，如此問題屬間接設元，如果直接設長方形的面積為x，則無法用x表示長與寬，況且長方形的面積的大小不取決于其周長的大小。

（3）通過（1）（2）兩個長方形面積的大小，觀察長與寬的大小的變化規(guī)律，作出猜想，進一步嘗試驗證你的猜想的結論。

（4）比較各種情況下求出的長方形的面積，進一步驗證（3）中的猜想，最后得出結論。

解：（1）略（2）略，長方形的面積為221。

（3）在(1)的情況下，長方形的面積為18×12=216.216<221,由此可見，（2）中的長方形面積大。觀察（1）（2）中兩個長方形的長，（1）中的長比（2）中的長要長，由于長寬和為30是一個定值，這樣（1）中是寬要比（2）的寬短，且（1）的長方形的面積小于（2）中的長方形的面積，由此可猜想長與寬的差越小，則面積越大。例如長為16，寬為14時，長方形的面積為16×14＞17×13＞18×12.

（4）用（2）的方法可得，寬比長少3時，長方形的面積為16.5×13.5=222.75

寬比長少2時，長方形的面積為16×14=224

寬比長少1時，長方形的面積為15.5×14.5=224.75

寬與長相等時，長方形的面積為15×15=225

可以發(fā)現(xiàn)這些長方形的面積越來越大，也驗證了（3）中的猜想。

小結：要注意題中探索性的問題的思想與方法，不要單純地為了解題而解題，要善于聯(lián)想，我們能知道正方形是這些長方形中面積最大的。

例6初中《幾何》中有一道題

如圖，A、B、C、D四個點在一條直線上，圖中有幾條線段？是哪幾條？

思路：以A點為端點的線段，從A向右數(shù)，有AB、AC、AD共3條；以B為端點的線段。從B向右數(shù)，有BC、BD共2條；以C為端點的線段只有CD1條。因此圖中共有6條線段。

象這樣依次從左向右，而不往左看的方法，稱為“向右看齊”。這種方法簡單明了，不會重復，也不遺漏。如直線上有A1、A2、A3—An個點，以每個點為一個端點的線段的條數(shù)可以列表如下：

端點A1A2A3—An-2An-1An

條數(shù)n-1n-2n-3—210

總條數(shù)：C=1+2+3+……+（n–2）+(n–1)

象這樣引導學生發(fā)現(xiàn)題目間的內在規(guī)律，可以增強學生舉一反三，觸類旁通的能力，對培養(yǎng)學生的概括能力也很有益處。必須指出的是，概括能力的培養(yǎng)，不論采取何種教學方法（發(fā)現(xiàn)法或講授法），關鍵是要有正確的教學思想，使學生真正成為學習的主體，把教學真正建立在學生自己的獨立探索、思考、理解的基礎上，真正給學生以獨立探索的機會，使他們在學習過程中有充分的自由思想空間，使學生有機會經歷數(shù)學概括的全過程。但是，在教學實踐中，要做到這些并不容易，教師對學生的學習能力往往并不完全信任，他們總怕學生出錯，總怕學生會浪費時間，總想攙扶著學生，甚至不惜去代替學生思維。而這些做法與培養(yǎng)學生的數(shù)學概括能力的要求是背道而馳的，也是與數(shù)學學習的本來面目不相符合的。因此，在數(shù)學教學中，我們應當從數(shù)學概括的自身特點出發(fā)，在使用抽象的數(shù)學語言和符號表述數(shù)學定義、定理或原理之前，通過可觀察的（實物、圖形、圖表等等）、描述性的、可親身體驗的形式來傳播新的思想，從而引起學生的學習興趣，促使他們自己去試驗、構造，用他們自己的語言去闡述和解釋，通過自己的獨立思維活動來學習知識。要為學生創(chuàng)造一種環(huán)境，使他們在其中扮演自主活動的角色，有發(fā)揮自己的聰明才智進行創(chuàng)造性學習的機會，能自己去尋找需要的證據(jù)，獲得能夠反映自身特點的對數(shù)學原理的解釋，在他們自己的水平上完成對數(shù)學原理的概括過程。我們應當把數(shù)學當作一種科學探索的過程（當然，它是在教師的指導下進行的），而不要把它當成是一種語言、一種高度抽象的理論。應當努力促使學生形成自己對數(shù)學的理解，并能用自己的語言來表達這種理解，而不要只是追求所謂的精確性。因為在學生的數(shù)學學習中，精確而沒有理解，理解但不精確的現(xiàn)象都不少見。通過死記硬背而一字不差地重述一個定理，在任何時候都不能與理解一個定理劃上等號。

總之，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力是數(shù)學教學中的重要任務，而培養(yǎng)學生思維能力的方法是多種多樣的，我們只要根據(jù)學生實際情況，通過各種手段，堅持不懈，持之以恒，就必定會有所成效。

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