導(dǎo)語：柔性機(jī)械臂逆動(dòng)力學(xué)探究論文一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

1動(dòng)力學(xué)和逆動(dòng)力學(xué)模型

一般情況下，柔性機(jī)械臂的兩根連桿橫向彈性變形(彎曲)較小，則忽略機(jī)械臂的徑向變形；假定關(guān)節(jié)及臂端負(fù)載均為集中質(zhì)量，則忽略其大小。同時(shí)，暫不考慮電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和電機(jī)的阻尼。

圖1是一雙連桿柔性機(jī)械臂，兩臂間關(guān)節(jié)電機(jī)質(zhì)量為，上臂端部集中質(zhì)量為，兩連桿質(zhì)量和抗彎剛度分別為和，和，兩連桿的長度分別為和，和為兩關(guān)節(jié)電機(jī)提供的力矩。

連桿變形很小，對每根連桿建立一個(gè)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，使得連桿在其中的相對運(yùn)動(dòng)很小。機(jī)械臂的整體運(yùn)動(dòng)則可由這兩個(gè)動(dòng)坐標(biāo)系的方位角來描述。于是，在動(dòng)力學(xué)模型中將有兩類變量，一類是幅值很小但變化迅速的彈性坐標(biāo)，另一類是變化范圍較大的方位角。本文采用端點(diǎn)連線坐標(biāo)系，即將連桿兩端點(diǎn)的連線作為動(dòng)坐標(biāo)系的x軸（見圖1）。描述整體運(yùn)動(dòng)的是兩個(gè)角度和，而連桿相對于動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)則可視為簡支梁的振動(dòng)。這樣，動(dòng)力學(xué)模型剛度陣的彈性坐標(biāo)互相不耦合，臂端的位置可由和確定，其期望運(yùn)動(dòng)形式（或數(shù)值解）：

(1)

如采用其他形式的動(dòng)坐標(biāo)系，兩桿的彈性坐標(biāo)將耦合在一起，而且在逆動(dòng)力學(xué)求解時(shí)，將不得不處理微分方程與代數(shù)方程組合的方程組。

對每個(gè)機(jī)械臂取兩階模態(tài)坐標(biāo)來描述，應(yīng)用拉格朗日方法得到動(dòng)力學(xué)方程：

(2)

式中。為6×6質(zhì)量陣；為速度的二次項(xiàng)；為6×6剛度陣；為重力的廣義力向量；為驅(qū)動(dòng)力矩的廣義力向量；，其中和、和分別是兩個(gè)機(jī)械臂的一階和二階彈性坐標(biāo)。

柔性臂系統(tǒng)的逆動(dòng)力學(xué)問題，是指在已知期望末端操作器運(yùn)動(dòng)軌跡的情況下，結(jié)合逆運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)方程對關(guān)節(jié)力矩進(jìn)行求解。如果直接進(jìn)行逆動(dòng)力學(xué)求解，即把式(1)代入動(dòng)力學(xué)方程式(2)中，對方程中的彈性坐標(biāo)和力矩進(jìn)行求解，一般情況下，其數(shù)值解將很快發(fā)散。

表達(dá)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的坐標(biāo)可以看成有兩部分組成：大范圍的相對緩慢的運(yùn)動(dòng)（慢變）部分和小范圍的振動(dòng)（快變）部分。本文試圖將這兩部分分離，分別討論它們的逆動(dòng)力學(xué)特性，并以此來分析整體系統(tǒng)的逆動(dòng)力學(xué)問題。

2快變部分的逆動(dòng)力學(xué)問題

首先，尋求兩個(gè)關(guān)節(jié)力矩使端點(diǎn)保持不動(dòng)，先不考慮大范圍的運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，重力只起了一個(gè)改變平衡點(diǎn)的作用，在方程中把與它相關(guān)的部分略去，在動(dòng)力學(xué)方程(2)中令，得：

(3)

式中

在方程(3)中消去和得：

(4)

式中：

，,

,,,

,,,

,,,

,

對式(4)降階：

(5)

式中

其中，

I是四階單位陣。方程(5)可化為下列形式：

(6)

式中。求出的特征值分別為

式中。

因的特征值存在正實(shí)部，則方程(3)所表示的系統(tǒng)不穩(wěn)定，其解發(fā)散，即雙連桿柔性臂在這種情況下，其振動(dòng)問題的精確逆動(dòng)力學(xué)解是發(fā)散的。

的各特征值在復(fù)空間分布關(guān)于虛軸對稱，必然會出現(xiàn)正實(shí)部，如選取更多階模態(tài)函數(shù)離散時(shí)，會出現(xiàn)同樣的情況。因此，選取更多階模態(tài)函數(shù)離散時(shí)，其振動(dòng)問題的逆動(dòng)力學(xué)解是發(fā)散的。

如應(yīng)用應(yīng)用文獻(xiàn)[10]中給出的迭代法進(jìn)行逆動(dòng)力學(xué)求解，當(dāng)積分步長很小時(shí)，其解是發(fā)散的；當(dāng)積分步長較大時(shí)，便可得到較好的結(jié)果。其原因是因?yàn)榭熳儾糠值哪鎰?dòng)力學(xué)解發(fā)散，當(dāng)步長較大時(shí)相當(dāng)濾掉了快變部分，便可得到較好的結(jié)果。

3慢變意義上的逆動(dòng)力學(xué)

在進(jìn)行慢變意義上的逆動(dòng)力學(xué)求解時(shí)，應(yīng)試圖將彈性坐標(biāo)中的振動(dòng)部分濾掉，彈性坐標(biāo)中不應(yīng)含有振動(dòng)部分，再結(jié)合期望的、求得力矩。

如圖1所示，機(jī)械臂的各參數(shù)：L1=0.87m,L2=0.77m,M1=1.9kg,M2=0.8kg,m1=12.75kg,m2=2.4kg,=602.5,=218。期望運(yùn)動(dòng)軌跡：機(jī)械臂端點(diǎn)繞以(0.8,0)為圓心，做半徑為0.5m,以每周1s作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

由機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果可以看到，彈性坐標(biāo)的一階、二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)振動(dòng)幅值很大，但它們都在零值附近振動(dòng)，即其慢變部分很小。因此，在式(2)中去掉彈性坐標(biāo)的一階、二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，相當(dāng)于濾掉了彈性坐標(biāo)中的振動(dòng)部分，經(jīng)過整理得到如下形式：

(7)

式中，、、中含、及其一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。

將式(1)代入式(7)中，再對方程求解，可以得到彈性坐標(biāo)和力矩，彈性坐標(biāo)見圖2（圖中不含振動(dòng)的曲線）。為了考察得到的力矩，將力矩代入動(dòng)力學(xué)方程式(2)中，得到的各彈性坐標(biāo)見圖2（圖中含振動(dòng)的曲線），軌跡跟蹤曲線、端點(diǎn)坐標(biāo)與期望運(yùn)動(dòng)相比較的誤差曲線分別見圖3和圖4。

Fig.4theerrorsofcoordinatesinxandyDirectionsfortheendmovement

由圖2中可以看出，由式(7)得到的彈性坐標(biāo)（不含振動(dòng)）與機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)仿真得到的彈性坐標(biāo)（含振動(dòng)）的慢變部分十分相似，所以在式(2)中去掉彈性坐標(biāo)的一階、二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)相當(dāng)于濾掉了彈性坐標(biāo)中的振動(dòng)部分，說明這種方法是合理的。

由圖3與圖4給出的仿真結(jié)果可以看出，軌跡跟蹤很好，由此可見，得到的力矩精度很高.

4結(jié)束語

由圖2可以看到，機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中，其彈性坐標(biāo)由兩方面組成，一方面是振動(dòng)部分（快變部分），另一方面是與載荷、慣性力有關(guān)的慢變部分。而彈性坐標(biāo)速度、加速度的慢變部分很小，在逆動(dòng)力學(xué)求解中將其略去是合理的，由式(7)得到了比較準(zhǔn)確的彈性坐標(biāo)慢變部分并非偶然。

由以上分析可以看出，對于柔性機(jī)械臂系統(tǒng)，振動(dòng)部分的精確逆動(dòng)力學(xué)解是發(fā)散的，進(jìn)行逆動(dòng)力學(xué)求解時(shí)，應(yīng)濾掉振動(dòng)部分，在慢變的意義上進(jìn)行，才能得到比較好的前饋力矩。

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摘要：采用割線坐標(biāo)系對機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了描述，并分快變（振動(dòng)）和慢變兩方面進(jìn)行逆動(dòng)力學(xué)問題的分析與求解。在對快變部分逆動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的分析中發(fā)現(xiàn)，快變部分精確的逆動(dòng)力學(xué)解是發(fā)散的。在進(jìn)行柔性機(jī)械臂逆動(dòng)力學(xué)求解時(shí)，應(yīng)在慢變的意義上進(jìn)行。文中給出了一種去掉系統(tǒng)快變部分的簡單方法，并進(jìn)行了逆動(dòng)力學(xué)求解。數(shù)值仿真結(jié)果表明，該處理方法是合理的。

關(guān)鍵詞：柔性機(jī)械臂；動(dòng)力學(xué)；逆動(dòng)力學(xué)；振動(dòng)；大范圍運(yùn)動(dòng)