導(dǎo)語：如何才能寫好一篇指數(shù)與指數(shù)冪的運算，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

初中一年級有關(guān)同底數(shù)冪的運算通常包括:冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法與同底同指數(shù)的冪的加法(合并同類項)。

各運算單獨出現(xiàn)時,學(xué)生計算起來還是能夠準(zhǔn)確的。但是,當(dāng)它們出現(xiàn)混合運算時,有兩處處理的時候有可能出現(xiàn)錯誤。一是底數(shù)有的運算中出現(xiàn)相反數(shù)時對符號的處理時有難易之分。二是學(xué)生對指數(shù)的運算容易出現(xiàn)混淆情況。那么就需要一種方法去分清它們之間的區(qū)別,記住計算方法。

一、在出現(xiàn)底數(shù)是相反數(shù)處理符號,把它化為同底數(shù)的方法

依據(jù)是:多個數(shù)相乘時,積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定.當(dāng)負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時,積為負;當(dāng)負因數(shù)個數(shù)為偶數(shù)個時,積為正。具體處理方法有兩種:

1.先把每個冪的符號確定為正或負,在根據(jù)乘法的符號確定方法來確定,最后在根據(jù)公式計算。例如

(-a)33?(a2)2?(-a)5?a3

=(-a9)?a4?(-a)5?a3

=+(a9?a4?a5?a3)

=a21

底數(shù)分別是-a和a,不是同底,解決方法――化為同底數(shù)。

兩個負因數(shù),積為正。

2.可以一次性確定符號,轉(zhuǎn)化為同底數(shù)問題.還是剛才的例題。

(-a)33?(a2)2?(-a)5?a3

=(-a)9?a4?(-a)5?a3

=+(a9?a4?a5?a3)

=a21

負因數(shù)個數(shù)9+5=14是偶數(shù),積為正。

再例如:

(-a)33?(a2)2?(-a)6?a3

=(-a)9?a4?(-a)6?a3

=-a10

負因數(shù)個數(shù)9-6=3是奇數(shù),積為負。

二、冪的運算法則實例

它們的運算法則是:冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相加;同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加;同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減;合并同類項,合并它們的系數(shù),字母和指數(shù)均不變。它們有兩個共同特點:1.底數(shù)不變。2.指數(shù)在進行相應(yīng)的運算。問題就出現(xiàn)指數(shù)運算上,但指數(shù)運算也有規(guī)律的:冪的乘方指數(shù)是乘法,同底數(shù)冪相乘指數(shù)相加,同底數(shù)冪相除指數(shù)相減.我們可以把運算分為三級:乘方、乘除、加減.那么技巧就是:指數(shù)運算比相應(yīng)冪的運算“降一級”――冪的乘方指數(shù)對應(yīng)運算降為乘法,同底數(shù)冪相乘指數(shù)對應(yīng)運算降為加,同底數(shù)冪相除指數(shù)對應(yīng)運算將為減,同底同指數(shù)冪加減指數(shù)不變。這樣在混合運算中按冪的運算來確定指數(shù)運算就不容易出現(xiàn)問題了。下面舉幾個例子來說明:

例:1.乘方與乘方

(a2)3?(a3)4

=a6?a12

=a18

指數(shù)運算為加

2.乘除

a10÷a7?a2

=a10-7+2

=a5

指數(shù)運算分別為加減

3.乘與加減

a?a7+a4?a4-a2?a3

=a8+a8-a5

=2a8-a5

指數(shù)運算為加

指數(shù)不變

4.乘方、乘、加減

(a4)2+a3?a5-a9?a2

=a8+a8-a7

=2a8-a7

指數(shù)運算分別為乘、加

指數(shù)不變

三、冪的運算公式的逆運用

在整式乘除運算中,有的運用冪的運算性質(zhì)運算,有的運用乘法公式運算,大量習(xí)題都是直接套用公式運算,但有一部分如果直接運用公式不僅計算很繁,而且很難計算準(zhǔn)確。如果把公式反過來使用,就會化繁為簡,化難為易。

1.同底數(shù)冪乘法公式的逆用

例1.已知3m=4,3n=5求3m+n

分析:本題如果想先求出m,n的值,再代入3m+n中求值,是很難辦到的,但若將同底數(shù)冪乘法性質(zhì)反過來用,就可得到aman=am+n,這樣問題就迎刃而解了.

解:3m+n=3m?3n=4×5=20.

2.積的乘方性質(zhì)的逆用

例2.計算(a-1)2(a+1)2

分析:這個題若按一般運算順序,先算乘方,后算乘法,就會很繁雜,但若仔細觀察,不難發(fā)現(xiàn),作為兩個因式的冪的指數(shù)都是2,如果將積的乘方性質(zhì)反過來運用就會簡捷很多.

解:(a-1)2(a+1)2

=(a-1)(a+1)2

因此,記住冪的運算中指數(shù)運算比相應(yīng)冪的運算“降一級”就能準(zhǔn)確分清指數(shù)運算,提高運算的正確率,避免失誤.

篇2

學(xué)得越多，懂得越多，想得越多，領(lǐng)悟得就越多，就像滴水一樣，一滴水或許很快就會被太陽蒸發(fā)，但如果滴水不停的滴，就會變成一個水溝，越來越多，越來越多，下面給大家分享一些關(guān)于初一數(shù)學(xué)知識點歸納，希望對大家有所幫助。

初一數(shù)學(xué)知識點歸納1多項式除以單項式

一、單項式

1、都是數(shù)字與字母的乘積的代數(shù)式叫做單項式。

2、單項式的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)。

3、單項式中所有字母的指數(shù)和叫做單項式的次數(shù)。

4、單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式。

5、只含有字母因式的單項式的系數(shù)是1或―1。

6、單獨的一個數(shù)字是單項式，它的系數(shù)是它本身。

7、單獨的一個非零常數(shù)的次數(shù)是0。

8、單項式中只能含有乘法或乘方運算，而不能含有加、減等其他運算。

9、單項式的系數(shù)包括它前面的符號。

10、單項式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時，應(yīng)化成假分?jǐn)?shù)。

11、單項式的系數(shù)是1或―1時，通常省略數(shù)字“1”。

12、單項式的次數(shù)僅與字母有關(guān)，與單項式的系數(shù)無關(guān)。

二、多項式

1、幾個單項式的和叫做多項式。

2、多項式中的每一個單項式叫做多項式的項。

3、多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項。

4、一個多項式有幾項，就叫做幾項式。

5、多項式的每一項都包括項前面的符號。

6、多項式?jīng)]有系數(shù)的概念，但有次數(shù)的概念。

7、多項式中次數(shù)的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。

三、整式

1、單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。

2、單項式或多項式都是整式。

3、整式不一定是單項式。

4、整式不一定是多項式。

5、分母中含有字母的代數(shù)式不是整式;

而是今后將要學(xué)習(xí)的分式。

四、整式的加減

1、整式加減的理論根據(jù)是：去括號法則，合并同類項法則，以及乘法分配率。

2、幾個整式相加減，關(guān)鍵是正確地運用去括號法則，然后準(zhǔn)確合并同類項。

3、幾個整式相加減的一般步驟：

(1)列出代數(shù)式：用括號把每個整式括起來，再用加減號連接。

(2)按去括號法則去括號。

(3)合并同類項。

4、代數(shù)式求值的一般步驟：

(1)代數(shù)式化簡。

(2)代入計算

(3)對于某些特殊的代數(shù)式，可采用“整體代入”進行計算。

五、同底數(shù)冪的乘法

1、n個相同因式(或因數(shù))a相乘，記作an，讀作a的n次方(冪)，其中a為底數(shù)，n為指數(shù)，an的結(jié)果叫做冪。

2、底數(shù)相同的冪叫做同底數(shù)冪。

3、同底數(shù)冪乘法的運算法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

即：am﹒an=am+n。

4、此法則也可以逆用，即：am+n=am﹒an。

5、開始底數(shù)不相同的冪的乘法，如果可以化成底數(shù)相同的冪的乘法，先化成同底數(shù)冪再運用法則。

六、冪的乘方

1、冪的乘方是指幾個相同的冪相乘。

(am)n表示n個am相乘。

2、冪的乘方運算法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

(am)n=amn。

3、此法則也可以逆用，即：amn=(am)n=(an)m。

七、積的乘方

1、積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方。

2、積的乘方運算法則：積的乘方，等于把積中的每個因式分別乘方，然后把所得的冪相乘。

即(ab)n=anbn。

3、此法則也可以逆用，即：anbn=(ab)n。

八、三種“冪的運算法則”異同點

1、共同點：

(1)法則中的底數(shù)不變，只對指數(shù)做運算。

(2)法則中的底數(shù)(不為零)和指數(shù)具有普遍性，即可以是數(shù)，也可以是式(單項式或多項式)。

(3)對于含有3個或3個以上的運算，法則仍然成立。

2、不同點：

(1)同底數(shù)冪相乘是指數(shù)相加。

(2)冪的乘方是指數(shù)相乘。

(3)積的乘方是每個因式分別乘方，再將結(jié)果相乘。

九、同底數(shù)冪的除法

1、同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即：am÷an=am-n(a≠0)。

2、此法則也可以逆用，即：am-n=am÷an(a≠0)。

十、零指數(shù)冪

1、零指數(shù)冪的意義：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1，即：a0=1(a≠0)。

十一、負指數(shù)冪

1、任何不等于零的數(shù)的―p次冪，等于這個數(shù)的p次冪的倒數(shù)，即：

注：在同底數(shù)冪的除法、零指數(shù)冪、負指數(shù)冪中底數(shù)不為0。

十二、整式的乘法

(一)單項式與單項式相乘

1、單項式乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。

2、系數(shù)相乘時，注意符號。

3、相同字母的冪相乘時，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

4、對于只在一個單項式中含有的字母，連同它的指數(shù)一起寫在積里，作為積的因式。

5、單項式乘以單項式的結(jié)果仍是單項式。

6、單項式的乘法法則對于三個或三個以上的單項式相乘同樣適用。

(二)單項式與多項式相乘

1、單項式與多項式乘法法則：單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配率用單項式去乘多項式中的每一項，再把所得的積相加。

即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。

2、運算時注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。

3、積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同。

4、混合運算中，注意運算順序，結(jié)果有同類項時要合并同類項，從而得到最簡結(jié)果。

(三)多項式與多項式相乘

1、多項式與多項式乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

2、多項式與多項式相乘，必須做到不重不漏。

相乘時，要按一定的順序進行，即一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項。在未合并同類項之前，積的項數(shù)等于兩個多項式項數(shù)的積。

3、多項式的每一項都包含它前面的符號，確定積中每一項的符號時應(yīng)用“同號得正，異號得負”。

4、運算結(jié)果中有同類項的要合并同類項。

5、對于含有同一個字母的一次項系數(shù)是1的兩個一次二項式相乘時，可以運用下面的公式簡化運算：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。

十三、平方差公式

1、(a+b)(a-b)=a2-b2，即：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方之差。

2、平方差公式中的a、b可以是單項式，也可以是多項式。

3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=(a+b)(a-b)。

4、平方差公式還能簡化兩數(shù)之積的運算，解這類題，首先看兩個數(shù)能否轉(zhuǎn)化成

(a+b)?(a-b)的形式，然后看a2與b2是否容易計算。

初一數(shù)學(xué)知識點歸納2一、同底數(shù)冪的乘法

(m，n都是整數(shù))是冪的運算中最基本的法則，在應(yīng)用法則運算時，要注意以下幾點：

a)法則使用的前提條件是：冪的底數(shù)相同而且是相乘時，底數(shù)a可以是一個具體的數(shù)字式字母，也可以是一個單項或多項式;

b)指數(shù)是1時，不要誤以為沒有指數(shù);

c)不要將同底數(shù)冪的乘法與整式的加法相混淆，對乘法，只要底數(shù)相同指數(shù)就可以相加;而對于加法，不僅底數(shù)相同，還要求指數(shù)相同才能相加;

二、冪的乘方與積的乘方

三、同底數(shù)冪的除法

(1)運用法則的前提是底數(shù)相同，只有底數(shù)相同，才能用此法則

(2)底數(shù)可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式

(3)指數(shù)相減指的是被除式的指數(shù)減去除式的指數(shù)，要求差不為負

四、整式的乘法

1、單項式的概念：由數(shù)與字母的乘積構(gòu)成的代數(shù)式叫做單項式。

單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式。單項式的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，所有字母指數(shù)和叫單項式的次數(shù)。

如：bca22-的系數(shù)為2-，次數(shù)為4，單獨的一個非零數(shù)的次數(shù)是0。

2、多項式：幾個單項式的和叫做多項式。

多項式中每個單項式叫多項式的項，次數(shù)項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)。

五、平方差公式

表達式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2,兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)差的積,等于這兩個數(shù)的平方差,這個公式就叫做乘法的平方差公式

公式運用

可用于某些分母含有根號的分式:

1/(3-4倍根號2)化簡:

六、完全平方公式

完全平方公式中常見錯誤有：

①漏下了一次項

②混淆公式

③運算結(jié)果中符號錯誤

④變式應(yīng)用難于掌握。

七、整式的除法

1、單項式的除法法則

單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

注意：首先確定結(jié)果的系數(shù)(即系數(shù)相除)，然后同底數(shù)冪相除，如果只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

初一數(shù)學(xué)知識點歸納31.1正數(shù)與負數(shù)

在以前學(xué)過的0以外的數(shù)前面加上負號“-”的數(shù)叫負數(shù)(negativenumber)。

與負數(shù)具有相反意義，即以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)(positivenumber)(根據(jù)需要，有時在正數(shù)前面也加上“+”)。

1.2有理數(shù)

正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)(integer)，正分?jǐn)?shù)和負分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)(fraction)。

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)(rationalnumber)。

通常用一條直線上的點表示數(shù)，這條直線叫數(shù)軸(numberaxis)。

數(shù)軸三要素:原點、正方向、單位長度。

在直線上任取一個點表示數(shù)0，這個點叫做原點(origin)。

只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)(oppositenumber)。(例:2的相反數(shù)是-2;0的相反數(shù)是0)

數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值(absolutevalue),記作|a|。

一個正數(shù)的絕對值是它本身;一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0。兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。

1.3有理數(shù)的加減法

有理數(shù)加法法則:

1.同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

2.絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0。

3.一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。

有理數(shù)減法法則:減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)。

1.4有理數(shù)的乘除法

有理數(shù)乘法法則:兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數(shù)同0相乘，都得0。

乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

有理數(shù)除法法則:除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。

兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。mì

求n個相同因數(shù)的積的運算，叫乘方，乘方的結(jié)果叫冪(power)。在a的n次方中，a叫做底數(shù)(basenumber)，n叫做指數(shù)(exponent)。

負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何次冪都是0。

把一個大于10的數(shù)表示成a×10的n次方的形式，使用的就是科學(xué)計數(shù)法。

篇3

例1 計算：a3?a4.

【錯解】原式=a3×4=a12.

【點撥】錯解混淆了冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法法則，把“指數(shù)相加”與“指數(shù)相乘”混為一談.

【正解】原式=a3+4=a7.

練習(xí)1：計算：n7?n3.

例2 計算：（-y）?（-y）2?（-y）4.

【錯解】原式=（-y）1+2+4=（-y）7.

【點撥】錯解中沒有將括號去掉，應(yīng)該寫成-y7. 除了多項式以外，一般情況下都要將括號去掉.底數(shù)是正號，直接去括號；底數(shù)是負號，看指數(shù)：指數(shù)為偶數(shù)，去掉負號；指數(shù)為奇數(shù)，保留負號.

練習(xí)2：

①計算：（-m）2?（-m）2；

②計算：-m2?（-m）2.

例3 計算：（-2x2y）4=_______.

【錯解】-2x8y4.

【點撥】對于既含有積的乘方又含有冪的乘方的運算，同學(xué)們要注意不能漏掉系數(shù)的乘方運算.

【正解】16x8y4 .

練習(xí)3：計算：（-3x4y2）2.

例4 若2n=5，求82n的值.

【錯解】82n=（23）2n=26n=（2n）6=5×6=30.

【點撥】錯解中逆用冪的乘方公式時出現(xiàn)公式混淆. 應(yīng)該寫成82n=（23）2n=26n=（2n）6=56.

練習(xí)4：若x2n=6，則x6n=_______.

例5 如果正方體的棱長是（2a+1）2，則它的體積為_______.

【錯解】64a6+1.

【點撥】冪的乘方的法則中的底數(shù)可以是單個的數(shù)或字母，也可以是單項式或多項式.

【正解】（2a+1）6.

練習(xí)5：計算（m-n）2?（n-m）5.

例6 已知10m=2，10n=3，則103m+2n=_____.

【錯解】原式=103m+102n=（10m）3+（10n）2=

23+32=17.

【點撥】錯解中逆用同底數(shù)冪的乘法公式時出現(xiàn)錯誤.

【正解】原式=103m?102n=（10m）3?（10n）2=

23×32=72.

練習(xí)6：若xa=3，xb=5，則xa+b=________.

例7 計算：（-a2）3+（-a3）2=________.

【錯解】-2a6.

【點撥】符號問題，審題不仔細.

【正解】原式=-a6+a6=0.

練習(xí)7：計算（-x2y3）2?（-x2y2）3.

例8 計算：a5÷a.

【錯解】原式=a5÷1=a5.

【點撥】對同底數(shù)冪的除法法則掌握不牢.

【正解】a4.

練習(xí)8：（mn）8÷（mn）2.

例9 計算：（4×105）×（5×104）.

【錯解】20×109.

【點撥】沒有寫成科學(xué)記數(shù)法的形式，應(yīng)寫成a×10n（1≤a

【正解】2×1010.

練習(xí)9：計算：（-3.6×104）×（4.5×103）.

例10 已知（x+1）0=1，則x的取值范圍是________.

【錯解】x≠0.

【點撥】對于a0=1（a≠0），要把底數(shù)當(dāng)作一個整體來解題.

【正解】x≠-1.

練習(xí)10：如果（x-2）0無意義，則x的取值范圍是________.

例11 計算：

-3.

【錯解】或-.

【點撥】負整數(shù)指數(shù)冪的法則：“底數(shù)變倒數(shù)，指數(shù)變相反數(shù)”.

【正解】x3.

練習(xí)11：計算：（a2）-2.

例12 計算：

a-3.

【錯解】.

【點撥】錯解只關(guān)注字母，沒考慮系數(shù).

【正解】.

練習(xí)12：計算：（2x）-3.

例13 計算：（2.4×10-7）×（5×103）.

【錯解】12×10-4或1.2×10-5.

【點撥】解答涉及科學(xué)記數(shù)法時須注意標(biāo)準(zhǔn)形式和指數(shù).

【正解】1.2×10-3.

練習(xí)13：計算：15×（6×10-4）.

處理冪的運算問題時一定要細心，看清每道題目的符號、數(shù)字、字母、指數(shù)，正確運用公式和法則.

練習(xí)答案

練習(xí)1. n10

練習(xí)2. ①m4 ②-m4

練習(xí)3. 9x8y4

練習(xí)4. 216

練習(xí)5. -（m-n）7或（n-m）7

練習(xí)6. 15

練習(xí)7. -x10y12

練習(xí)8. m6n6

練習(xí)9. -1.62×108

練習(xí)10. x=2

練習(xí)11.

練習(xí)12.

篇4

【關(guān)鍵詞】冪的運算；教學(xué)設(shè)計；控制變量；生長數(shù)學(xué)

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）11-0029-04

【作者簡介】卜以樓，南京市寧海中學(xué)分校（南京，210036）教師，正高級教師，江蘇省特級教師。

在2016年江蘇省“教海探航”征文競賽頒獎活動中，筆者執(zhí)教了一節(jié)“再探冪的運算”的展示課，以下是對這一教學(xué)內(nèi)容的價值判斷、行為改進及活動設(shè)計的探索和思考。

一、基于教學(xué)內(nèi)容的價值分析

冪的運算性質(zhì)包括：同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、積的乘方、冪的乘方等學(xué)習(xí)內(nèi)容。它通常被安排在整式乘法的前面，但不同版本的教材會依據(jù)其教材的編寫體系被安排在不同的章節(jié)之中。例如，人教版教材，將之安排在八年級上冊“第十四章整式的乘法與因式分解”這一章中；北師大版教材，將它安排在七年級下冊“第一章整式的乘除”這一章中；浙教版教材，將它安排在七年級下冊“第三章整式的乘除”這一章中；上科版教材，將之安排在七年級下冊“第三章整式的乘法與因式分解”一章中；而蘇科版教材，則將這一教學(xué)內(nèi)容單獨成章，安排在七年級下冊“第八章冪的運算”中。將它與整式的乘除以及因式分解混排，是想突出其內(nèi)容的基礎(chǔ)性和工具性；將之單獨成章，則是體現(xiàn)其在運算中的重要性和自洽性。這種各具特色的編排價值已被教師開發(fā)得淋漓盡致。那么，“冪的運算”這一教學(xué)內(nèi)容，它還具有怎樣的教學(xué)價值呢？

1.讓冪的運算性質(zhì)在運算結(jié)構(gòu)中必然生長。

各個教材中只安排了am?an=am+n、am÷an=am-n、（ab）n=anbn、（am）n=amn這四種冪的運算性質(zhì)，而這四種運算性質(zhì)還不足以說明對“冪”這種特殊的對象作了運算，至少說還沒有對冪作全面的運算。至于為什么只研究這四種運算，學(xué)生更是霧里看花，懵懵懂懂，知其然而不知其所以然。這個問題的形成，是由冪的運算在整個運算體系中的地位和作用所決定的。因為有了這四種冪的運算性質(zhì)，在“數(shù)與式的運算”這個大結(jié)構(gòu)中就夠用了，不需要再研究冪的其他運算了。

如果我們不囿于上述實用性的限制，從“冪的運算”這個角度上去看待問題、研究問題、解決問題，那么在七年級下學(xué)期時，就要研究冪的加法、減法、乘法、除法和乘方這五種運算，在八年級上學(xué)期時，如果學(xué)過開方運算，除了要研究上述五種運算外，還要研究冪的第六種運算――開方運算。至于到九年級，就更有必要研究冪的加、減、乘、除、乘方、開方運算了。為此，在這次展示活動，筆者選擇了“再探冪的運算”這一教學(xué)內(nèi)容，就是基于“運算”這個大系統(tǒng)對冪的運算作一個全面的研究，讓冪的運算在數(shù)與式的運算結(jié)構(gòu)下自然地生長并和數(shù)與式的運算自洽。

2.讓學(xué)生的真實思維在探究活動中自然發(fā)展。

數(shù)學(xué)教學(xué)的價值在于發(fā)展學(xué)生的思維。學(xué)生的思維是指學(xué)生的真實思維，不是教師強加給學(xué)生的思維。學(xué)生的真實思維在探究活動中發(fā)展了，學(xué)生的學(xué)習(xí)才算是真正發(fā)生，否則訓(xùn)練與發(fā)展學(xué)生的思維能力將成為一句空話。當(dāng)然，學(xué)生的思維需要教師的引領(lǐng)和激發(fā)，這種引領(lǐng)和激發(fā)，不是教師告訴學(xué)生應(yīng)該做什么、怎樣做，而是教師要營造一種“思維場”，讓學(xué)生在這種“思維場”中，自主地、自發(fā)地形成“思維流”。這種“思維流”不是盲目的、漫無邊際的，而是明確的、有具體指向的，能夠直面問題、自發(fā)地產(chǎn)生解決問題策略或方法。這種策略方法是基于過去學(xué)習(xí)過程中的經(jīng)驗，又不完全是以往經(jīng)驗的簡單提取，而是在傳承中有那么一些創(chuàng)新和發(fā)展，學(xué)生在這種探究活動中，有那么一點沖動產(chǎn)生的愉悅與。在這種“思維場”中產(chǎn)生“思維流”，學(xué)生的思維才算是自然地發(fā)展、真正地生長，這就是數(shù)學(xué)教學(xué)給予學(xué)生生命成長的正能量，也是數(shù)學(xué)教育人應(yīng)該追求的教育情懷。

回歸到冪的運算這一教學(xué)內(nèi)容，筆者選擇了九年級學(xué)生作為探究活動的主體，一是讓冪這個特殊對象能夠在實數(shù)系中全面實施加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算；二是此時的九年級學(xué)生具備了探究冪的六種運算的基礎(chǔ)知識與基本的活動經(jīng)驗；三是此時讓冪的開方運算與其他已研究過的五種運算同時登臺，不僅可以開闊學(xué)生的運算視野，而且可以使教學(xué)效率最大化，因為它符合最近發(fā)展區(qū)原理，學(xué)生還能在此探究過程中體會前后一致、邏輯連貫、一以貫之的生長方略。正因為此，筆者把本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容定位為“再探冪的運算”，以表示與以往學(xué)習(xí)的冪的運算的區(qū)別?！霸偬健钡暮x，就是讓學(xué)生用結(jié)構(gòu)的觀點，讓課本中的四個運算性質(zhì)，上通冪的加減法，下達開方運算，讓學(xué)生在一個適宜的結(jié)構(gòu)中生長、在一個完整的體系中成長。

所要注意的是，冪的開方運算，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》沒作要求，所以對于學(xué)生來說，這是一個全新的認(rèn)知過程。因此，探究活動要放慢節(jié)奏，靜待花開。

3.讓控制變量法在策略把握中應(yīng)然產(chǎn)生。

通過上述的價值判斷，我們基本上確定了冪的運算的生長空間。生長空間確定以后，選擇什么樣的方法來探究冪的運算就成了關(guān)鍵的要素。由于任何一個冪am，要受底數(shù)a與指數(shù)m這兩個變量的影響，所以，冪的運算勢必也要受到這兩個因素的影響。如何研究受多因素影響的問題，控制變量法就自然成了本探究活動的應(yīng)然選擇。

控制變量法，學(xué)生在初二物理、生物及初三物理、化學(xué)中都有過接觸，但那僅限于這三門學(xué)科。把這種方法運用到數(shù)學(xué)探究中，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》沒有要求，各種版本的教材中也沒有體現(xiàn)，各種資料及網(wǎng)絡(luò)資源也不多見?？梢哉J(rèn)為，把它運用在數(shù)學(xué)上解決問題，對于大部分學(xué)生還是第一次。筆者在這里將之用來探究冪的運算主要是基于下面三個方面的思考。

一是控制變量法既是一種方法，也是一種方法論。它是研究受多因素影響問題的通性通法，并在其他學(xué)科中顯示出強大的生命力，已成為研究該類問題的一般科學(xué)素養(yǎng)。從這個意義上說，數(shù)學(xué)學(xué)科也沒必要受課程標(biāo)準(zhǔn)、教材的約束，而要從學(xué)生終身素養(yǎng)的角度上去提高認(rèn)識，以發(fā)揮控制變量法的正能量。

二是將控制變量遷移到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，可提高學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)方法的興趣，也能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。當(dāng)學(xué)生認(rèn)識到這種方法在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上會產(chǎn)生與其他學(xué)科一樣的特效時，體會到數(shù)學(xué)在某種程度上與物理、化學(xué)、生物等學(xué)科是“一伙的”時，頓失對數(shù)學(xué)的畏懼，轉(zhuǎn)之會對數(shù)學(xué)產(chǎn)生一種親近感。

三是將控制變量法運用進來，又不僅僅局限于這一個探究活動中，還有很多的數(shù)學(xué)探究活動會用到。這樣，這種方法就會在數(shù)學(xué)學(xué)科中播下種子，扎下根，發(fā)生芽，長成樹，結(jié)出果，并將形成一種素養(yǎng)，伴隨學(xué)生終生。

二、基于價值分析的行為改進

基于上述的價值分析，結(jié)合筆者生長數(shù)學(xué)的教學(xué)主張，教師的教學(xué)行為要作以下三個方面的改進。

1.在結(jié)構(gòu)上做文章，以實施整體地教。

價值分析告訴我們，這是個高水平下的結(jié)構(gòu)教學(xué)。本節(jié)課的教學(xué)要促進學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)知識、方法和觀念，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的整體意識和結(jié)構(gòu)意識。只有這樣，才能使學(xué)生把已掌握的知識和經(jīng)驗提高到簡潔的原理性結(jié)構(gòu)上去，從而有效抵制碎片化知識的不良傾向。為此，教師要在問題的方向性上多做文章，教學(xué)中要先提大問題，再提小問題，讓學(xué)生從運算的結(jié)構(gòu)上把握探究的方法。

2.在探究上下功夫，以實施有序地教。

價值分析還告訴我們，這是個高立意下的探究教學(xué)。探究性教學(xué)就是要讓學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容進行自主學(xué)習(xí)、深入探究，并進行小組合作交流，從而激發(fā)學(xué)生探究欲望，培養(yǎng)學(xué)生的探究素養(yǎng)。探究貴在讓學(xué)生自主，輔之以必要的幫與扶。為此，教師要理解學(xué)生思維的方向與層次，把握學(xué)生思維的困難與疑惑。在探究過程中，真正做到既不錯位，也不失位，讓幫扶有序、有度、有效。

3.在生長上花氣力，以實施本真地教。

價值分析又告訴我們，這是個高觀點下的過程教學(xué)?！霸偬絻绲倪\算”過程是一個建立在逐級運算基礎(chǔ)上自然生長的過程，它與學(xué)生成長的過程相似，是一個由內(nèi)向外生命迸發(fā)數(shù)學(xué)力量的過程。它也是學(xué)生逐步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、體驗控制變量魅力、感受數(shù)學(xué)思維的美妙、養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣、培養(yǎng)創(chuàng)新實踐能力的過程。在這一過程中，教師要有靜氣，要讓本真的氣息自然地潤澤到探究過程之中、思維過程之中、感悟過程之中，以此讓學(xué)生體悟數(shù)學(xué)生長的意義，感悟生命成長的境界。

三、基于行為改進的教學(xué)活動

基于上述教學(xué)價值的分析和教學(xué)行為的定位，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容內(nèi)在意蘊的特質(zhì)，可建構(gòu)如下教學(xué)活動來再探冪的運算。

活動1：同學(xué)們，我們在八年級上冊學(xué)習(xí)了“冪的運算”（教師板書：冪的運算），從“冪的運算”這個課題上看，要研究什么問題？研究的對象是什么？研究的內(nèi)容又是什么？

【設(shè)計意圖】從人教版八年級學(xué)過的“冪的運算”這個熟悉的內(nèi)容引入課題，并通過問題追問的形式，引發(fā)學(xué)生從運算結(jié)構(gòu)上作新的思考，而不僅是重復(fù)以前學(xué)習(xí)過的幾個冪的運算性質(zhì)。

【生成效果】學(xué)生通過審題都能明白，冪的運算就是要研究冪的加法、減法、乘法、除法、乘方、開方這六種運算。

活動2：怎樣進行冪的加法運算？

【設(shè)計意圖】一是讓學(xué)生將冪的加法形式化為am+bn=？便于研究；二是如何研究am+bn=？，這需要一定的研究智慧。由于任何一個冪都受底數(shù)與指數(shù)這兩個變量影響，所以它是一個多變量問題，因此可用控制變量的方法來研究。

【生成效果】學(xué)生此時都可以認(rèn)識到：可以控制am與bn這兩個冪的底數(shù)一樣，那么am+bn=？就變成了am+an=？的問題，這個問題還是不能直接計算；再控制am與bn這兩個冪的指數(shù)一樣，那么am+bn=？就變成了am+bm=？的問題，這個問題也不能直接計算；最后控制am與bn這兩個冪的底數(shù)、指數(shù)都一樣，那么am+bn=？就變成了am+am=？的問題，這個問題也就是一個合并同類項的問題，至此結(jié)束冪的加法研究。

活動3：怎樣進行冪的減法運算？

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生根據(jù)減法是加法的逆運算來研究冪的減法。

【生成效果】在實際教學(xué)中，上述設(shè)計意圖學(xué)生不能領(lǐng)會。他們還是用控制變量的方法將減法重新研究一遍。此時，可追問學(xué)生：用這種方法研究冪的減法還有創(chuàng)新的成分嗎？如果沒有，你還有其他的方法來研究它嗎？引導(dǎo)學(xué)生用逆運算來解決問題。

活動4：怎樣進行冪的乘法運算？

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生仍用控制變量的方法來研究。

【生成效果】如果控制am與bn這兩個冪的底數(shù)一樣，那么am?bn=？就變成了am?an=？的問題，這個問題就是過去研究過的同底數(shù)冪相乘的性質(zhì)，即am?am=am+m。

如果控制am與bn這兩個冪的指數(shù)一樣，那么可得“an?bn=（ab）n”，即得（ab）n=anbn，這就是積的乘方的性質(zhì)。

如果控制am與bn這兩個冪的底數(shù)、指數(shù)都一樣，那么am?bn=？就變成了am?am=am+m=a2m，或變成了am?am=（am）2=a2m的問題，這就是冪的乘方的特殊情況了。

讓學(xué)生在此與am?an=am+n、（ab）n=anbn相逢，學(xué)生的思維體驗必有另一番滋味！

活5：怎樣進行冪的除法運算？

【設(shè)計意圖】同問題3的設(shè)計意圖，主要從逆運算中去研究問題。

【生成效果】由于在問題3中矯正了研究減法的思路，所以，這時學(xué)生都能用逆運算來研究冪的除法了。

當(dāng)控制底數(shù)相同時，即am÷an=？，就是要使得（？）?an=am，顯然am÷an=am-n，這就可得同底數(shù)除法的性質(zhì)。

當(dāng)控制指數(shù)相同時，am÷bm=

m，這與積的乘方性質(zhì)一脈相承。

至于控制底數(shù)、指數(shù)都相同時，就是一個最簡單的除法運算，在這里就沒有什么特別研究的價值了。

活動6：怎樣進行冪的乘方運算？

【設(shè)計意圖】主要解決（am）n=？的問題，即研究（am）n=amn。

【生成效果】上課時這個問題對學(xué)生已毫無障礙了。

活動7：怎樣進行冪的開方運算？

【設(shè)計意圖】傳承用逆運算研究的經(jīng)驗來解決一個全新的問題，發(fā)展遷移能力。主要解決=？的問題。

【生成效果】解決=？的問題，就是要解決（？）2?=am，則有=a；同理=a；……=a。

活動8：今天我們用什么方法進行了“再探冪的運算”之旅的？（板書：在“冪的運算”前面加上“再探”二字，以揭示本課的“再探索冪的運算”這個核心課題）你有什么收獲？

【設(shè)計意圖】回顧探究之旅，體會控制變量之妙。

【生成效果】學(xué)生都能感悟到控制變量在數(shù)學(xué)上的絕妙之筆，既為控制變量法打開了另一條通道，也為研究一個課題提供了范式。

活動9：例題選講。

例1.如果a3a-1=1，求a的值。

例2.如果2m=n2（m、n為正整數(shù)）。

（1）請找出一對滿足條件的m、n的值；

（2）滿足條件的m、n的值有多少對？為什么？

例3.如果2m=8m-6，求m的值。

【設(shè)計意圖】將控制變量法遷移到具體數(shù)學(xué)題的解題上來，讓學(xué)生有較強的獲得感。

【生成效果】學(xué)生已能大膽嘗試控制變量的方法，為解數(shù)學(xué)題又打開了一條通道。

注：本課例設(shè)計得到南京市雨花區(qū)教師進修學(xué)校劉春書老師的幫助，特表鳴謝。

篇5

技巧一：變底數(shù)

例1 若2x+5y=3，求4x?32y的值.

解：4x?32y=22x?25y=22x+5y=23=8.

例2 設(shè)x=3m，y=27m+2，用含x的代數(shù)式表示y，則y=________.

解：y=（33）m+2=33m+6=33m?36=（3m）3?36=x3?729=729x3.

【點評】例1將底數(shù)4和32換成2為底，再利用冪的乘方和同底數(shù)冪乘法法則得到22x+5y，利用整體代換的方法求出結(jié)果為8.例2將27換成33，將冪的乘方法則和同底數(shù)冪乘法法則順向和逆向使用，從而得到y(tǒng)=729x3.

技巧二：變指數(shù)

例3 若a=2555，b=3444，c=6222，請比較a，b，c的大小，用“>”連接.

解：a=2555=25×111=（25）111=32111，

b=3444=34×111=（34）111=81111，

c=6222=62×111=（62）111=36111.

因為81>36>32，所以b>c>a.

例4 3-108與2-144的大小關(guān)系是_______.

解：3-108=（3-3）36=■36，2-144=（2-4）36=■36，

因為■

【點評】例3，例4都是先將指數(shù)化為相同的數(shù)，再比較底數(shù)的大小，找到指數(shù)的最大公約數(shù)，熟練地正向和反向使用冪的乘方法則是關(guān)鍵.

技巧三：湊出“1”

例5 計算■2012×（1.5）2013×（-1）2013.

解：原式=■2012×■2013×（-1）=-■×■2012×■=-■.

例6 計算-■2011×2■2012的值.

解：原式=-■2011×■2011×■

=-■×■2011×■=-■.

【點評】例5逆用積的乘方法則以及冪的乘方公式湊出“1”，例6先定積的符號為負，再用例5的方法湊出“1”使運算變得簡便.

技巧四：湊整體

例7 已知10m=20，10n=■，求9m÷32n的值.

解：因為9m÷32n=32m÷32n=32m-2n=32（m-n），

而10m=20，10n=■，所以10m÷10n=20×5=100，

所以10m-n=102，所以m-n=2，所以9m÷32n=32（m-n）=32×2=34=81.

例8 已知a2+a=1，求2 013a3+4 025a2-a的值.

解：原式=2 013a3+2 013a2+2 012a2-a

=2 013a（a2+a）+2 012a2-a

=2 013a+2 012a2-a

=2 012a2+2 012a

=2 012（a2+a）

篇6

知識結(jié)構(gòu)

重難點分析

本節(jié)的重點是單項式除以單項式的法則與應(yīng)用.本章的重點是整式的乘除，作為整式除法內(nèi)容中不可或缺重要組成部分，單項式除以單項式起著承上啟下的作用，它既是同底數(shù)冪除法性質(zhì)的延伸，又是多項式除以單項式的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，因此本節(jié)的重點是單項式除以單項式的法則與應(yīng)用.

單項式除以單項式的運算是本節(jié)的難點.在單項式除以單項式的計算過程中，既要對兩個單項式的系數(shù)進行運算，又要對兩個單項式中同字母進行指數(shù)運算，同時對只在一個單項式中出現(xiàn)的字母及其指數(shù)加以注意，這對于剛剛接觸整式除法的初一學(xué)生來講，難免會出現(xiàn)照看不全的情況，以至于出現(xiàn)計算錯誤或漏算等問題.

教法建議

（1）單項式除以單項式運算的實質(zhì)是把單項式除以單項式的運算轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪除法運算，因此建議在學(xué)習(xí)本課知識之前對同底數(shù)冪除法運算進行復(fù)習(xí)鞏固.

（2）要熟練地進行單項式除以單項式的運算，必須掌握它的基本運算，冪的運算性質(zhì)是整式乘除法的基礎(chǔ)，只要抓住這關(guān)鍵的一步，才能準(zhǔn)確地進行單項式除以單項式的運算.

（3）符號仍是運算中的重要問題，用單項式以單項式時，要注意單項式的符號和只在被除式中出現(xiàn)的字母及其指數(shù).

教學(xué)設(shè)計示例

一、教學(xué)目標(biāo)

1．理解和掌握單項式除以單項式的運算法則．

2．運用單項式除以單項式的運算法則，熟練、準(zhǔn)確地進行計算．

3．通過總結(jié)法則，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力．

4．通過法則的應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生的綜合解題能力和計算能力．

二、教法引導(dǎo)

嘗試指導(dǎo)法、觀察法、練習(xí)法．

三、重點難點

重點準(zhǔn)確、熟練地運用法則進行計算．

難點根據(jù)乘、除的運算關(guān)系得出法則．

四、課時安排

1課時.

五、教具

投影儀或電腦、自制膠片.

六、教學(xué)步驟

（一）教學(xué)過程（

1．創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)導(dǎo)入

前面我們學(xué)習(xí)了同底數(shù)冪的除法，請同學(xué)們回答如下問題，看哪位同學(xué)回答很快而且準(zhǔn)確．

（l）敘述同底數(shù)冪的除法性質(zhì)．

（2）計算：（1）（2）（3）（4）

學(xué)生活動：學(xué)生回答上述問題．

（，m，n都是正整數(shù)，且m＞n）

【教法說明】通過復(fù)習(xí)引起學(xué)生回憶，且鞏固同底數(shù)冪的除法性質(zhì)．同時為本節(jié)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，注意要指出零指數(shù)冪的意義．

2．指出問題，引出新知

思考問題：（）（學(xué)生回答結(jié)果）

這個問題就是讓我們?nèi)デ笠粋€單項式，使它與相乘，積為，這個過程能列出一個算式嗎？

由一個學(xué)生回答，教師板書．

這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的單項式除以單項式運算．

師生活動：因為

所以（在上述板書過程中填上所缺的項）

由得到，系數(shù)4和3同底數(shù)冪、a及、分別是怎樣計算的？（一個學(xué)生回答）那么由得到又是怎樣計算的呢？

結(jié)合引例，教師引導(dǎo)學(xué)生回答，并對學(xué)生的回答進行肯定、否定、糾正，同時板書．

一般地，單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．

如何運用呢？比如計算：

學(xué)生活動：在教師引導(dǎo)下，根據(jù)法則回答問題．（教師板書）

【教法說明】教師根據(jù)乘、除法的運算關(guān)系，步步深入，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)得出單項式除以單項式的運算法則，教師給出，緊扣計算法則，在師生互動活動中，要充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，調(diào)動學(xué)生的思維．

3．嘗試計算，熟悉法則

計算：（1）（2）

（3）（4）

學(xué)生活動：學(xué)生自己嘗試完成計算題，同桌互相幫助，然后與課本146頁例題解答過程相對照，看自己的解答有無問題，若有問題進行改正．

【教法說明】教師結(jié)合的演算，使學(xué)生對法則的運用有了初步認(rèn)識；例題由學(xué)生嘗試完成，可以訓(xùn)練學(xué)生運用知識的能力，在解題的過程中，讓學(xué)生自己去體會法則、掌握法則、印象更為深刻；也讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)解題中存在的問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和主動參與學(xué)習(xí)的習(xí)慣．

4．強化學(xué)習(xí)，掌握法則

練習(xí)一

下列計算是否正確？如果不正確，指出錯誤原因并加以改正

（1）（2）

（3）（4）

學(xué)生活動：學(xué)生細心觀察思考后，分別找4個學(xué)生回答，其他學(xué)生對他們的回答進行肯定、否定或糾正．

【教法說明】（1）、（2）、（3）小題中的錯誤，均是學(xué)生在計算時常出現(xiàn)的錯誤，通過這組題的練習(xí)，可以使學(xué)生進一步鞏固、理解法則對可能出現(xiàn)的計算錯誤引起注意，從而培養(yǎng)學(xué)生解題細心的習(xí)慣；除此之外，還可以培養(yǎng)學(xué)生辨別是非的能力．

練

計算，全國公務(wù)員共同天地

（1）（2）（3）

（4）（5）

學(xué)生活動：5個學(xué)生板演，其他學(xué)生在練習(xí)本上完成，然后講評．

【教法說明】此題目的是使學(xué)生熟練運用法則進行計算，要求寫清計算步驟，講評時重復(fù)法則，并糾正學(xué)生計算中出現(xiàn)的錯誤，教師提醒學(xué)生計算時要耐心細致．

練習(xí)三

計算：

（1）（2）（3）

（4）（5）

學(xué)生活動：學(xué)生在練習(xí)本上完成，5名學(xué)生板演，然后學(xué)生自評．

【教法說明】通過練，學(xué)生對法則已基本能夠熟練運用，對一些容易出現(xiàn)的錯誤，也得到了糾正．適時給出練習(xí)三，可以使學(xué)生對知識的掌握得到強化，學(xué)生自評可以調(diào)動學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)他們的主人翁意識．

練習(xí)四

把圖中左圈里的每一個代數(shù)式分別除以，然后把商式寫在右圖里．

學(xué)生活動：學(xué)生理解題意后，分別由3個學(xué)生說出答案，其他學(xué)生給予判斷．

【教法說明】此題目的是使學(xué)生在進一步運用法則進行熟練計算的同時，滲透集合與對應(yīng)的思想，但教師不必說明．

（二）小結(jié)

由學(xué)生完成本節(jié)課的歸納與總結(jié)，教師給予引導(dǎo)或補充．

【教法說明】課堂小結(jié)由學(xué)生來，全國公務(wù)員共同天地完成，這樣既可以訓(xùn)練學(xué)生的歸納總結(jié)能力及口頭表達能力，又可使學(xué)生對本節(jié)課的內(nèi)容留下深刻的印象．

篇7

（1）掌握復(fù)數(shù)乘法與除法的運算法則，并能熟練地進行乘、除法的運算；

（2）能應(yīng)用i和的周期性、共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)、模的性質(zhì)熟練地進行解題；

（3）讓學(xué)生領(lǐng)悟到“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學(xué)思想方法；

（4）通過學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)乘法與除法的運算法則，培養(yǎng)學(xué)生探索問題、分析問題、解決問題的能力。

教學(xué)建議

一、知識結(jié)構(gòu)

二、重點、難點分析

本節(jié)的重點和難點是復(fù)數(shù)乘除法運算法則及復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式相乘，與加減法一樣，可以按多項式的乘法進行，但必須在所得的結(jié)果中把換成－1，并且把實部與虛部分合并．很明顯，兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)，即在復(fù)數(shù)集內(nèi)，乘法是永遠可以實施的，同時它滿足并換律、結(jié)合律及乘法對加法的分配律．規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運算，它同多項式除法類似，當(dāng)兩個多項式相除，可以寫成分式，若分母含有理式時，要進行分母有理化，而兩個復(fù)數(shù)相除時，要使分母實數(shù)化，即分式的分子和分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母變成實數(shù)．

三、教學(xué)建議

1．在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式相乘時，復(fù)數(shù)的乘法法則規(guī)定按照如下法則進行．設(shè)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積：

也就是說．復(fù)數(shù)的乘法與多項式乘法是類似的，注意有一點不同即必須在所得結(jié)果中把換成一1，再把實部，虛部分別合并，而不必去記公式．

2．復(fù)數(shù)的乘法不僅滿換律與結(jié)合律，實數(shù)集R中整數(shù)指數(shù)冪的運算律，在復(fù)數(shù)集C中仍然成立，即對任何，，及，有：

，，；

對于復(fù)數(shù)只有在整數(shù)指數(shù)冪的范圍內(nèi)才能成立．由于我們尚未對復(fù)數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進行定義，因此如果把上述法則擴展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪內(nèi)運用，就會得到荒謬的結(jié)果。如，若由，就會得到的錯誤結(jié)論，對此一定要重視。

3．講解復(fù)數(shù)的除法，可以按照教材規(guī)定它是乘法的逆運算，即求一個復(fù)數(shù)，使它滿足（這里，是已知的復(fù)數(shù)）．列出上式后，由乘法法則及兩個復(fù)數(shù)相等的條件得：

，

由此

，

于是

得出商以后，還應(yīng)當(dāng)著重向?qū)W生指出：如果根據(jù)除法的定義，每次都按上述做來法逆運算的辦法來求商，這將是很麻煩的．分析一下商的結(jié)構(gòu)，從形式上可以得出兩個復(fù)數(shù)相除的較為簡捷的求商方法，就是先把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡即可．

4．這道例題的目的之一是訓(xùn)練我們對于復(fù)數(shù)乘法運算、乘方運算及乘法公式的操作，要求我們做到熟練和準(zhǔn)確。從這道例題的運算結(jié)果，我們應(yīng)該看出，也是-1的一個立方根。因此，我們應(yīng)該修正過去關(guān)于“-1的立方根是-1”的認(rèn)識，想到-1至少還有一個虛數(shù)根。然后再回顧例2的解題過程，發(fā)現(xiàn)其中所有的“-”號都可以改成“±”。這樣就能找出-1的另一個虛數(shù)根。所以-1在復(fù)數(shù)集C內(nèi)至少有三個根：-1，，。以上對于一道例題或練習(xí)題的反思過程，看起來并不難，但對我們學(xué)習(xí)知識和提高能力卻十分重要。它可以有效地鍛煉我們的逆向思維，拓寬和加深我們的知識，使我們對一個問題的認(rèn)識更加全面。

5．教材194頁第6題這是關(guān)于復(fù)數(shù)模的一個重要不等式，在研究復(fù)數(shù)模的最值問題中有著廣泛的應(yīng)用。在應(yīng)用上述絕對值不等式過程中，要特別注意等號成立的條件。

教學(xué)設(shè)計示例

復(fù)數(shù)的乘法

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法運算法則，能熟練地進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算；

2．理解復(fù)數(shù)的乘法滿換律、結(jié)合律以及分配律；

3．知道復(fù)數(shù)的乘法是同復(fù)數(shù)的積，理解復(fù)數(shù)集C中正整數(shù)冪的運算律，掌握i的乘法運算性質(zhì)．

教學(xué)重點難點

復(fù)數(shù)乘法運算法則及復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．

難點是復(fù)數(shù)乘法運算律的理解．

教學(xué)過程設(shè)計

1．引入新課

前面學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加減法，其運算法則與兩個多項式相加減的辦法一致．那么兩個復(fù)數(shù)的乘法運算是否仍可與兩個多項式相乘類似的辦法進行呢？

教學(xué)中，可讓學(xué)生先按此辦法計算，然后將同學(xué)們運算所得結(jié)果與教科書的規(guī)定對照，從而引入新課．

2．提出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算法則：

．

指出這一法則也是一種規(guī)定，由于它與多項式乘法運算法則一致，因此，不需要記憶這個公式．

3．引導(dǎo)學(xué)生證明復(fù)數(shù)的乘法滿換律、結(jié)合律以及分配律．

4．講解例1、例2

例1求．

此例的解答可由學(xué)生自己完成．然后，組織討論，由學(xué)生自己歸納總結(jié)出共軛復(fù)數(shù)的一個重要性質(zhì)：．

教學(xué)過程中，也可以引導(dǎo)學(xué)生用以上公式來證明：

．

例2計算．

教學(xué)中，可將學(xué)生分成三組分別按不同的運算順序進行計算．比如說第一組按進行計算；第二組按進行計算．討論其計算結(jié)果一致說明了什么問題？

5．引導(dǎo)學(xué)生得出復(fù)數(shù)集中正整數(shù)冪的運算律以及i的乘方性質(zhì)

教學(xué)過程中，可根據(jù)學(xué)生的情況，考慮是否將這些結(jié)論推廣到自然數(shù)冪或整數(shù)冪．

6．講解例3

例3設(shè)，求證：（1）；（2）

講此例時，應(yīng)向?qū)W生指出：（1）實數(shù)集中的乘法公式在復(fù)數(shù)集中仍然成立；（2）復(fù)數(shù)的混合運算也是乘方，乘除，最后加減，有括號應(yīng)先處括號里面的．

此后引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）課本中關(guān)于（2）小題的注解；（2）如果，則與還成立嗎？

7．課堂練習(xí)

課本練習(xí)第1、2、3題．

8．歸納總結(jié)

（1）學(xué)生填空：

；＝＝．

設(shè)，則＝，＝，＝，＝．

設(shè)（或），則，．

（2）對復(fù)數(shù)乘法、乘方的有關(guān)運算進行小結(jié)．

篇8

考點1 冪的運算

例1 （江蘇泰州）下列運算正確的是（ ）.

A.a3?a2＝a6B.（－a2）3＝－a6

C.（ab）3＝ab3 D.a8÷a2＝a4

分析：根據(jù)冪的運算法則，逐一計算.由同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，得a3?a2＝a3＋2 ＝a5，選項A不正確；積的乘方，把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，得（ab）3＝a3?b3＝a3b3，選項C不正確；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，得a8÷a2＝a6，選項D也不正確.只有選項B正確.

解：（－a2）3＝（－1）3?（a2）3＝－a6.故選B.

點評：理解、熟記冪的運算法則是解題的關(guān)鍵.

考點2 整式的乘除

例2 （福建廈門）計算：[（x＋3）2＋（x＋3）?（x－3）]÷2x.

分析：先利用完全平方公式和平方差公式將式子展開，然后再根據(jù)多項式除以單項式法則進行計算.

解：[（x＋3）2＋（x＋3）（x－3）]÷2x

＝（x2＋6x＋9＋x2－9）÷2x＝（2x2＋6x）÷2x

＝x＋3.

點評：本題主要考查同學(xué)們對整式的乘除法則的掌握及乘法公式的運用情況，計算時要細心，以防出錯.

考點3因式分解

例3（安徽蕪湖）因式分解9x2－y2－4y－4＝ ．

分析：本題既沒有公因式可提，也不能直接套用公式，可采用分組分解法.把第1項作為一組，后3項作為一組，先運用完全平方公式，然后再運用平方差公式進行分解．

解：9x2－y2－4y－4＝9x2－（y2＋4y＋4）＝（3x＋y＋2）（3x－y－2）.

點評：因式分解是整式里的重要內(nèi)容，也是分式和二次根式運算的基礎(chǔ).因式分解的步驟是一提，即提公因式；二套，即套公式，主要是平方差公式和完全平方公式；三分組，即對于不能直接提公因式和套公式的題目，可先將多項式適當(dāng)分組，然后再提公因式或套用公式.

考點4 驗證公式

例4（四川達州）如圖1，在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），將余下部分拼成一個梯形，如圖2，根據(jù)兩個圖形陰影部分面積的關(guān)系，可以得到一個關(guān)于a、b的恒等式為（ ）.

A. （a－b）2＝a2－2ab＋b2

B. （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

篇9

關(guān)鍵詞 初中教學(xué)；口訣教學(xué)

數(shù)學(xué)口訣最早誕生于中國，是一種古老的算術(shù)方法，合理巧妙地運用它并給它注入新鮮血液，會為新時期的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來耳目一新、大有作為的效果?，F(xiàn)在有不少初中生學(xué)數(shù)學(xué)較吃力，公式、法則記不住，定理不會運用，甚至有部分學(xué)生覺得學(xué)數(shù)學(xué)枯燥無味，對數(shù)學(xué)有一定厭煩情緒，“興趣是最好的老師”，如果學(xué)生對所學(xué)課程能夠產(chǎn)生濃厚的興趣，那么他將會積極地主動地把學(xué)習(xí)熱情投入到學(xué)習(xí)過程中。而“口訣記憶教學(xué)”法就能產(chǎn)生這樣的效果。

“口訣”是人們從生活實踐中總結(jié)出來的簡單、生動、準(zhǔn)確、深刻、形象的語言編成的順口溜，有容易領(lǐng)會記憶和便于流傳的優(yōu)點。就像我們從小是背著加法、乘法口訣長大的一樣。因此我們在教學(xué)中應(yīng)較多的引入一些口訣，朗朗上口的語言讓學(xué)生既便于記憶，在應(yīng)用上更是靈活準(zhǔn)確，所以我認(rèn)為“口訣”作為記憶的便捷方式，應(yīng)該在教學(xué)過程中加以引入。

“數(shù)學(xué)口訣”的創(chuàng)編，不僅需要對數(shù)學(xué)內(nèi)容的深刻理解，而且還要有一定的文字駕馭能力，沒有一定的語言積累和機智是難以勝任的，在不“害意”的前提下，還是盡量做到押韻合轍，使它不僅具有實用價值，而且還是有吟誦與觀賞價值。下面本人就以北師大版本教材為例，結(jié)合各章節(jié)的重難點問題介紹一些“數(shù)學(xué)口訣”。

一、對于七年級的新生來說，由于所學(xué)數(shù)的范圍擴大了，而且又引入了用字母來表示數(shù)，所以“有理數(shù)的四則運算”及“整式的運算”便是一個教學(xué)重難點，在教學(xué)時我們可以結(jié)合一下口訣來加以記憶

（1）有理數(shù)的加法運算：同號兩數(shù)來相加，絕對值加不變號。異號相加大減小，大數(shù)決定和符號?；橄喾磾?shù)求和，結(jié)果是零須記好。注：“大”減“小”是指絕對值的大小。

（2）合并同類項：說起合并同類項，法則千萬不能忘。只求系數(shù)代數(shù)和，字母指數(shù)留原樣。

（3）去、添括號法則：去括號或添括號，關(guān)鍵要看連接號。擴號前面是正號，去添括號不變號。括號前面是負號，去添括號都變號。

（4）整式的運算：單項式，多項式，二者統(tǒng)稱為整式；單項式，求幾次，字母指數(shù)和即是；多項式，是幾次，項中老大它就是；同底冪，做乘法，冪的指數(shù)要相加；同底冪，做除法，指數(shù)相減別忘啦；冪乘方，積乘方，牢記法則不要慌，前者指數(shù)要相乘，后者因數(shù)各得方，計算后，想一想，冪的底數(shù)不變樣；零指數(shù)，負指數(shù)，指數(shù)為零結(jié)果1，指數(shù)為負變倒數(shù)；性質(zhì)法則容易混，用心領(lǐng)會用心悟。巧運用，勤記勤練十日功。

（5）完全平方公式：二數(shù)和或差平方，展開式它共三項。首平方與末平方，首末二倍中間放。

二、學(xué)生進入八年級后，“因式分解”、“分式方程的解法”及“解一元一次不等式”又是一個難點，教學(xué)時我們可結(jié)合一下口訣進行記憶

（1）因式分解：一提二套三分組，十字相乘也上數(shù)。四種方法都不行，拆項添項去重組。重組無望試求根，換元或者算余數(shù)。多種方法靈活選，連乘結(jié)果是基礎(chǔ)。同式相乘若出現(xiàn)，乘方表示要記住。注：一提（提公因式）二套（套公式）

（2）解分式方程：先約后乘公分母，整式方程轉(zhuǎn)化出。特殊情況可換元，去掉分母是出路。求得解后要驗根，原留增舍別含糊。

（3）解一元一次不等式：先去分母再括號，移項合并同類項。系數(shù)化“1”有講究，同乘除負要變向。先去分母再括號，移項別忘要變號。同類各項去合并，系數(shù)化”1”注意了。同乘除正無防礙，同乘除負要變號。

三、學(xué)生進入九年級后，“一元二次方程的解法”及“圓”又是一個難點，我們可結(jié)合一下口訣進行記憶

（1）解一元二次方程：方程沒有一次項，直接開方最理想。如果缺少常數(shù)項，因式分解沒商量。b、c相等都為零，等根是零不要忘。b、c同時不為零，因式分解或配方，也可直接套公式，因題而異擇良方。

（2）圓中比例線段： 遇等積，改等比，橫找豎找定相似；不相似，別生氣，等線等比來代替，遇等比，改等積，引用射影和圓冪，平行線，轉(zhuǎn)比例，兩端各自找聯(lián)系。

另外，幾何題中的輔助線的作法以及函數(shù)問題是貫穿整個教材的難點，我們可以結(jié)合下面的口訣來記憶。

（3）添加輔助線：輔助線，怎么添？找出規(guī)律是關(guān)鍵，題中若有角（平）分線，可向兩邊作垂線；線段垂直平分線，引向兩端把線連，三角形邊兩中點，連接則成中位線；三角形中有中線，延長中線翻一番。

（4）一次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣：一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單，經(jīng)過原點一直線；兩個系數(shù)k與b，作用之大莫小看，k是斜率定夾角，b與y軸來相見，k為正來右上斜，x增減y增減；k為負來左下展，變化規(guī)律正相反；k的絕對值越大，線離橫軸就越遠。

（5）二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣：二次函數(shù)拋物線，圖象對稱是關(guān)鍵；開口、頂點和交點，它們確定圖象現(xiàn)；開口、大小由a斷，c與y軸來相見，b的符號較特別，符號與a相關(guān)聯(lián)；頂點位置先找見，y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點坐標(biāo)最重要，一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對稱軸，縱標(biāo)函數(shù)最值現(xiàn)。

篇10

教學(xué)目標(biāo)       

1．知道“乘法交換律、結(jié)合律、同底數(shù)冪的運算性質(zhì)”是進行單項式乘法的依據(jù)。

2．進行單項式乘法的運算。

3．經(jīng)歷探索單項式乘單項式運算法則的過程，發(fā)展有條理的思考及語言表達能力。

教學(xué)重點  會進行單項式乘法的運算。

教學(xué)難點  正確理解運算法則及其探索過程，并能用自己的語言進行描述法則。

 單項式乘單項式學(xué)案

 

1.預(yù)習(xí)課本56頁——57頁

2.計算2a×3a=        ,利用了乘法的        、      侓

3.某中學(xué)的校園有一塊長方形的花園，長為4a2bc，寬為2ab，則這個花園的面積是           。

4.用單項式乘單項式時，系數(shù)相乘可以使用什么法則？

  用單項式乘單項式時，同底數(shù)冪相乘可以使用什么法則？

用單項式乘單項式時，只在一個單項式中出現(xiàn)的字母怎么處理？

5.計算

 （1）3a×2a2            (2)(-2a3b2)(-3a)

  (3)(-5an+1b)(-2a)       (4)(-5x)(-10x4)2

  (5) ( ×102)3(-6×103)2  (6)(-3x)2(-3xy3)

 

單項式乘單項式教案

 

一．情境創(chuàng)設(shè)   

（1）同學(xué)們，現(xiàn)在我們家里都有電視機，大家都知道電視機的橫切面是個長方形，下面我們一起來研究這樣一個問題：將幾臺型號相同的電視機疊放在一起組成“電視墻” ，計算圖中這些電視墻的面積。

 

 

 

 

b                       （每一個小長方形的長為a，寬為b）

     a

（2）一個正方體的棱長是1.5×102.

        ①它的表面積是多少？

        ②它的體積是多少？

二．探索活動

1．提出問題：

(1)從整體看電視墻的面積可以怎么表示？

（2）從部分看電視墻的面積可以怎么表示？

（3）通過計算圖形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？（教師對不同的算式給予解釋，從而得到等式）

（4）你能解釋3a·9.1單項式乘單項式3b= 9ab嗎？

(5)如何計算6x3·(-2x2y)

(6)你能說出每一步計算的依據(jù)嗎？

2.做一做：P56。

3．你認(rèn)為“如何進行單項式與單項式的乘法運算？”

4．引導(dǎo)學(xué)生用語言描述法則。

單項式乘單項式法則： 單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式。

注意單項式的乘法法則包括了以下三部分：

（1）   積的系數(shù)------等于各因式系數(shù)的積。

（2）   相同的字母相乘-----底數(shù)不變，指數(shù)相加。

（3）   只在一個單項式中含有的字母------要連同它的指數(shù)寫在積里，注意不把這個因式漏掉。

三．精講點撥

例1．   計算：

（1）- a ·（-6a3b）；    

（2）（-2x） ·（－3xy ）.

2a-3b

5b

3b

 

 

 

例2．如圖，求梯形的面積。

例3.計算（-2ab2）×(-a2b3)× bc

思考如何計算：6×（1.5×102）2      （1.5×102）3

四．應(yīng)用與拓展

1．課本25頁練一練1  習(xí)題1

2．若n為正整數(shù)，且 ，求 的值

3.[3（x-y）2]×[-2(x-y)3]

五．課堂小結(jié)

（1）說說單項式乘單項式的運算法則；

（2）運用時應(yīng)注意什么？

（3）說出計算的每一步依據(jù)。

六．布置作業(yè)

第57頁，習(xí)題9.1第2題

 

鞏固案：

 

1.   填空題

（1）2a(-4ab2))=          (2) -6x3y2( xyz)=         

 (3)3x2y·       =-18x4y3  (4)       ·(-3ab2c3)=15a2b2c5

  2.下面的計算是否正確？如有錯誤請改正。

       (1)3x3.(-2x2)=5x5        (2)3a2.4a2=12a2

       (3)3b3.8b3 =24b9         (4)-3x.2xy=6x2y

  3.（1）若A.B=-12x3y4,其中A=2xy3,則B 等于               (         )

     A.-6xy                        B.-6x2y

      C.-6x3y                      D.6x3y

（2）若(ax3).(3xb)=12x6，則a和b的值分別為        (      )

   A.a=9,b=3                 B.a=4,b=2

   C.a=9,b=2                 D.a=4,b=3

 4.計算：

(1).2x2y.3xy2         (2) .4a2x5.(-3a3bx)

(3).5an+1b.(-2a)       (4).(a2c)2.6ab(c2)3    

(5).(a2c)2.6ab(c2)3     (6) a2b.(-3ab2)+(-2ab).(- a2b2).4abc