導(dǎo)語(yǔ)：如何才能寫好一篇?jiǎng)恿渴睾愣?，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

（1）定義：物體的質(zhì)量與速度的乘積。

（2）表達(dá)式：p=mv，單位：kg?m/s.

（3）動(dòng)量的性質(zhì)。

矢量性：方向與瞬時(shí)速度方向相同。

瞬時(shí)性：動(dòng)量是描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量，是針對(duì)某一時(shí)刻而言的。

相對(duì)性：大小與參考系的選取有關(guān)，通常情況是指相對(duì)地面的動(dòng)量。

（4）動(dòng)量、動(dòng)能、動(dòng)量的變化量的關(guān)系

動(dòng)量的變化量：Δp=p′-p.

動(dòng)能和動(dòng)量的關(guān)系：Ek=.

二、動(dòng)量守恒定律

（1）守恒條件。

理想守恒：系統(tǒng)不受外力或所受外力的合力為零，則系統(tǒng)動(dòng)量守恒.

近似守恒：系統(tǒng)受到的合力不為零，但當(dāng)內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量可近似看成守恒.

分方向守恒：系統(tǒng)在某個(gè)方向上所受合力為零時(shí)，系統(tǒng)在該方向上動(dòng)量守恒.

（2）動(dòng)量守恒定律的表達(dá)式

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′

或Δp1=-Δp2.

三、動(dòng)量守恒的判斷

（1）動(dòng)量守恒定律的研究對(duì)象都是相互作用的物體組成的系統(tǒng). 系統(tǒng)的動(dòng)量是否守恒，與選擇哪幾個(gè)物體作為系統(tǒng)和分析哪一段運(yùn)動(dòng)過程有直接關(guān)系.

（2）分析系統(tǒng)內(nèi)物體受力時(shí)，要弄清哪些是系統(tǒng)的內(nèi)力，哪些是系統(tǒng)外的物體對(duì)系統(tǒng)的作用力.

四、動(dòng)量守恒定律的理解與應(yīng)用

1. 動(dòng)量守恒定律的不同表達(dá)形式。

（1）p=p′，系統(tǒng)相互作用前的總動(dòng)量p等于相互作用后的總動(dòng)量p′.

（2）m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′，相互作用的兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)，作用前的動(dòng)量和等于作用后的動(dòng)量和.

（3）Δp1=-Δp2，相互作用的兩個(gè)物體動(dòng)量的增量等大反向.

（4）Δp=0，系統(tǒng)總動(dòng)量的增量為零.

2. 應(yīng)用動(dòng)量守恒定律解題的步驟。

（1）明確研究對(duì)象，確定系統(tǒng)的組成（系統(tǒng)包括哪幾個(gè)物體及研究的過程）；

（2）進(jìn)行受力分析，判斷系統(tǒng)動(dòng)量是否守恒（或某一方向上動(dòng)量是否守恒）；

（3）規(guī)定正方向，確定初、末狀態(tài)動(dòng)量；

（4）由動(dòng)量守恒定律列出方程；

（5）代入數(shù)據(jù)，求出結(jié)果，必要時(shí)討論說明.

五、例題分析

1. 如圖所示，豎直平面內(nèi)的四分之一圓弧軌道下端與水平桌面相切，小滑塊A和B分別靜止在圓弧軌道的最高點(diǎn)和最低點(diǎn). 現(xiàn)將A無(wú)初速釋放，A與B碰撞后結(jié)合為一個(gè)整體，并沿桌面滑動(dòng). 已知圓弧軌道光滑，半徑R=0.2m；A和B的質(zhì)量相等；A和B整體與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2.重力加速度g取10m/s2.求：

（1）碰撞前瞬間A的速率v；

（2）碰撞后瞬間A和B整體的速率v′；

（3）A和B整體在桌面上滑動(dòng)的距離l.

[解析]設(shè)滑塊的質(zhì)量為m.

（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

mgR=mv2

解得碰撞前瞬間A的速率有

v=gR=2m/s.

（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律有

mv=2mv′

解得碰撞后瞬間A和B整體的速率

v′=v=1m/s.

（3）根據(jù)動(dòng)能定理有

（2m）v′2=μ（2m）gl

解得A和B整體沿水平桌面滑動(dòng)的距離

l==0.25m.

2. [2014?天津卷]如圖所示，水平地面上靜止放置一輛小車A，質(zhì)量mA=4kg，上表面光滑，小車與地面間的摩擦力極小，可以忽略不計(jì). 可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊B置于A的最右端，B的質(zhì)量mB=2kg.現(xiàn)對(duì)A施加一個(gè)水平向右的恒力F=10N，A運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，小車左端固定的擋板與B發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)間極短，碰后A、B粘合在一起，共同在F的作用下繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，碰撞后經(jīng)時(shí)間t=0.6s，二者的速度達(dá)到vt=2m/s.求：

（1）A開始運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度a的大??；

（2）A、B碰撞后瞬間的共同速度v的大小；

（3）A的上表面長(zhǎng)度l.

[解析]（1）以A為研究對(duì)象，由牛頓第二定律有

F=mAa ①

代入數(shù)據(jù)解得

a=2.5m/s2 ②

（2）對(duì)A、B碰撞后共同運(yùn)動(dòng)t=0.6s的過程，由動(dòng)量定理得

Ft=（mA+mB）vt-（mA+mB）v ③

代入數(shù)據(jù)解得

v=1m/s ④

（3）設(shè)A、B發(fā)生碰撞前，A的速度為vA，對(duì)A、B發(fā)生碰撞的過程，由動(dòng)量守恒定律有

mAvA=（mA+mB）v ⑤

A從開始運(yùn)動(dòng)到與B發(fā)生碰撞前，由動(dòng)能定理有

Fl=mAvA2 ⑥

篇2

關(guān)鍵詞：角動(dòng)量；守恒；應(yīng)用

在研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常用動(dòng)量描述物體的運(yùn)動(dòng)，而人們經(jīng)常遇到質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系繞某一定點(diǎn)或定軸運(yùn)動(dòng)的情況。例如，太陽(yáng)系中行星繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)、月球繞地球的轉(zhuǎn)動(dòng)、物體繞某一定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)等，運(yùn)動(dòng)的物體速度的大小和方向都在不斷變化，因而其動(dòng)量也在不斷變化，人們很難用動(dòng)量和動(dòng)量守恒定律解釋這類運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。但是引入角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律后，則可較為簡(jiǎn)單地描述轉(zhuǎn)動(dòng)的物體。

角動(dòng)量是大學(xué)物理中的重要物理量，它是描述物體轉(zhuǎn)動(dòng)特征的物理量，在經(jīng)典物理、航空技術(shù)、近代物理理論中都扮演著極為重要的角色，是物理學(xué)中重要的力學(xué)概念之一。角動(dòng)量守恒定律是自然界中基本的守恒定律之一，在航天航空領(lǐng)域、體育賽事、日常生活中有著廣泛的應(yīng)用。

一、角動(dòng)量守恒定律

若繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所受到的合外力矩為零，則剛體對(duì)軸的角動(dòng)量是恒量的。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律，實(shí)際上是對(duì)軸上任一定點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律在定軸方向的分量形式。無(wú)論是對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，或是對(duì)幾個(gè)共軸剛體組成的系統(tǒng)，甚至是有形變的物體以及任意質(zhì)點(diǎn)系，對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒定律都成立。

二、角動(dòng)量守恒應(yīng)注意的問題

若合外力矩為零時(shí)，則系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒；若系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變，則系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度也不變；若系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變，則系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度也會(huì)改變，但角動(dòng)量保持不變。若系統(tǒng)由幾部分構(gòu)成，總角動(dòng)量是指各部分相對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量代數(shù)和。內(nèi)力矩可影響系統(tǒng)中某個(gè)剛體的角動(dòng)量，但對(duì)系統(tǒng)的總角動(dòng)量無(wú)影響。在沖擊等問題中，當(dāng)內(nèi)力矩遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力矩時(shí)，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。

三、角動(dòng)量守恒在航天航空中的應(yīng)用

1.常平架陀螺儀

常平架陀螺儀在支架上面裝著可以轉(zhuǎn)動(dòng)的外平衡環(huán)，外平衡環(huán)里面裝著可以相對(duì)于外平衡環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)平衡環(huán)，內(nèi)平衡環(huán)中心有一個(gè)質(zhì)量較大的轉(zhuǎn)子。轉(zhuǎn)子精確地對(duì)稱于其轉(zhuǎn)軸的圓柱，各軸承均高度，三根轉(zhuǎn)動(dòng)的軸線相互垂直并且相交于轉(zhuǎn)子的質(zhì)心。這樣的設(shè)計(jì)能夠保證實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子在三個(gè)維度上自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)子繞中心轉(zhuǎn)軸高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，角動(dòng)量的方向不變，無(wú)論如何改變框架的方位，其中心軸的空間取向都始終保持不變。由于常平架陀螺儀轉(zhuǎn)軸的方向不變，將常平架陀螺儀裝在導(dǎo)彈、飛機(jī)、坦克和艦船中，以轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)軸線為標(biāo)準(zhǔn)，可隨時(shí)指出方位，以便自動(dòng)調(diào)整。例如，導(dǎo)彈偏離正常的飛行方向和姿態(tài)，可以用三個(gè)角度來(lái)說明：導(dǎo)彈頭部的上下擺動(dòng)，即導(dǎo)彈繞垂直行方向的水平軸的旋轉(zhuǎn)，可用俯仰角說明；導(dǎo)彈頭部左右擺動(dòng)，即繞鉛直軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)，可用偏航角說明；導(dǎo)彈繞縱向軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)，可用側(cè)滾角說明。測(cè)出這三個(gè)角度，至少要用兩個(gè)陀螺儀，其中一個(gè)陀螺儀繞鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，因?yàn)闊o(wú)論導(dǎo)彈怎樣運(yùn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)軸方向不變，故可利用鉛直基準(zhǔn)線，導(dǎo)彈的側(cè)滾角和俯仰角都可以根據(jù)鉛直基準(zhǔn)線測(cè)出來(lái)；另外一個(gè)陀螺儀繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，利用其轉(zhuǎn)動(dòng)軸線可規(guī)定水平基準(zhǔn)線，用它測(cè)出偏航角，將測(cè)出的信號(hào)傳送給計(jì)算系統(tǒng)，就能夠發(fā)出信號(hào)，隨時(shí)糾正導(dǎo)彈飛行的方向和姿態(tài)，因而這種陀螺儀廣泛用于航海、航空和航天等領(lǐng)域。

2.在直升機(jī)上的應(yīng)用

一般直升機(jī)尾部都會(huì)有個(gè)螺旋槳。筆者用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子進(jìn)行定性分析。例如，轉(zhuǎn)臺(tái)和輪子通過一個(gè)轉(zhuǎn)軸相連接，二者可繞著轉(zhuǎn)軸無(wú)摩擦地自由轉(zhuǎn)動(dòng)，人靜止站在轉(zhuǎn)臺(tái)上，初始時(shí)刻人和轉(zhuǎn)臺(tái)輪子組成的系統(tǒng)是靜止的，人沿順時(shí)針方向撥動(dòng)輪子。人撥動(dòng)轉(zhuǎn)輪的力是系統(tǒng)的內(nèi)力，內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)不產(chǎn)生力矩作用，所以不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量，此外系統(tǒng)還受到的外力是重力和地面對(duì)其的支持力，這兩個(gè)力平行于轉(zhuǎn)軸，故此對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩的作用，即系統(tǒng)受到的合外力矩為零，故此系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。此時(shí)輪子沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，為了防止反轉(zhuǎn)，保持系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，人和轉(zhuǎn)臺(tái)的方向必定與輪子的方向相反，即逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)上述結(jié)論，可以知道轉(zhuǎn)動(dòng)的物體由兩部分組成，原來(lái)是靜止的，總角動(dòng)量為零。當(dāng)內(nèi)部的相互作用使一部分轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，則另一部分必向反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)直升機(jī)的主螺旋槳轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，機(jī)身就會(huì)向反方向轉(zhuǎn)動(dòng)，以維持角動(dòng)量守恒。為了避免機(jī)身轉(zhuǎn)動(dòng)，通常在直升機(jī)的尾部安裝一個(gè)輔助的螺旋槳，它提供一個(gè)附加水平力，其力矩可與主螺旋槳給機(jī)身的反作用力矩相抵消。

四、角動(dòng)量守恒在體育賽事中的應(yīng)用

1.花樣滑冰

花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員在比賽中經(jīng)常要做一些原地旋轉(zhuǎn)的動(dòng)作，運(yùn)動(dòng)員可以通過改變肢體的動(dòng)作達(dá)到改變角速度的目的，這種現(xiàn)象可用角動(dòng)量守恒定律解釋。運(yùn)動(dòng)員可近似看成是一個(gè)剛體系，冰的摩擦力很小可以忽略不計(jì)，運(yùn)動(dòng)員受到重力和支持力的作用，重力和支持力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，因此運(yùn)動(dòng)員對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒。當(dāng)運(yùn)動(dòng)員伸開手臂時(shí)，質(zhì)量遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸分布，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變大，故角速度變??；而收攏雙臂時(shí)，質(zhì)量靠近轉(zhuǎn)軸分布，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變小，故角動(dòng)量變大。因此運(yùn)動(dòng)員可以通過改變肢體的動(dòng)作，達(dá)到改變轉(zhuǎn)速的目的。

2.高臺(tái)跳水

在跳水運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中，運(yùn)動(dòng)員在空中做各種旋轉(zhuǎn)或翻騰動(dòng)作時(shí)，都會(huì)盡量把身體抱在一起，入水時(shí)又會(huì)把手臂和雙腿伸直，這也是角動(dòng)量守恒定律的一種應(yīng)用。把運(yùn)動(dòng)員近似看成是一個(gè)剛體系，在運(yùn)動(dòng)員騰空過程中，空氣的阻力忽略不計(jì)，運(yùn)動(dòng)員只受到自身重力的作用。因而對(duì)于通過質(zhì)心的任一軸線而言，重力力矩為零，故人體所受的合外力矩為零，運(yùn)動(dòng)員對(duì)通過質(zhì)心的任一軸線的角動(dòng)量守恒。運(yùn)動(dòng)員在上升時(shí)四肢伸展，處在遠(yuǎn)離質(zhì)心的位置，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑增大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大，角速度較小，空翻轉(zhuǎn)動(dòng)不明顯；到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)員盡量收攏四肢，處在靠近質(zhì)心的位置，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑減小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小，從而轉(zhuǎn)動(dòng)角速度增大，此時(shí)空翻轉(zhuǎn)動(dòng)非常明顯；將近完成翻轉(zhuǎn)時(shí)，再次充分伸展四肢到遠(yuǎn)離質(zhì)心的位置，以增大轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大，使角速度減小，從而達(dá)到平穩(wěn)入水的目的。

3.角動(dòng)量守恒定律在日常生活中的應(yīng)用

為什么同手同足走路會(huì)感覺特別別扭呢？這是因?yàn)槿嗽谧呗愤^程中，左腳向前跨出時(shí)，右臂必須同時(shí)向前擺出，才不至于使整個(gè)軀干向右旋轉(zhuǎn)。隨著閉合腿的運(yùn)動(dòng)，軀干的上端（肩）和下端（髖）彼此向相反方向扭轉(zhuǎn)，而軀干的中端和頭部則大體保持在原來(lái)位置上，這樣可以使整個(gè)身體相對(duì)于豎直軸的角動(dòng)量為零。所以，同手同足走路會(huì)讓人覺得比較別扭。

五、結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)角動(dòng)量守恒定律及其應(yīng)用進(jìn)行了簡(jiǎn)單的介紹。角動(dòng)量守恒定律是自然界中最基本的守恒定律之一，在各個(gè)領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛。加強(qiáng)角動(dòng)量守恒及其應(yīng)用的研究將為人們的生產(chǎn)、生活帶來(lái)極大的便利。

參考文獻(xiàn)：

[1]王志剛，張立換，徐建軍.角動(dòng)量理論在現(xiàn)代技術(shù)中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代物理知識(shí)，2007（1）：10-13.

[2]曾吉星.淺談角動(dòng)量守恒定律之應(yīng)用[J].無(wú)線互聯(lián)科技，2012（8）：167.

[3]馮建武，韓運(yùn)俠.角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用[J].物理與工程，2007，17（3）：61-62.

篇3

一、注意公式的“系統(tǒng)性”

動(dòng)量定恒定律成立的條件是系統(tǒng)不受外力或所受外力之和為零，因此，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律解決問題時(shí)，要注意分析系統(tǒng)受到哪些外力，是否滿足動(dòng)量守恒的條件。

系統(tǒng)的動(dòng)量守恒時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)某一物體的動(dòng)量可以不守恒，系統(tǒng)內(nèi)所有物體動(dòng)量的絕對(duì)值之和也可以不守恒，所說“動(dòng)量守恒”是指系統(tǒng)內(nèi)所有物體動(dòng)量的矢量和是守恒的。

二、注意公式的“矢量性”

動(dòng)量p=mυ，其中質(zhì)量m是標(biāo)量，速度υ是矢量，故動(dòng)量p是矢量。所以m υ +m υ =m υ ′+m υ ′是一個(gè)矢量式，式中p =m υ +m υ 是作用前系統(tǒng)動(dòng)量的矢量和，p =m υ ′+m υ ′是作用后系統(tǒng)動(dòng)量的矢量和。因此應(yīng)用動(dòng)量守恒定律列方程時(shí)，要求用矢量求和的方法分別求出p 和p 。

在一維情形下，必須規(guī)定一個(gè)方向?yàn)樗俣圈缘恼较蚝?，然后將式中的?、υ 、υ ′、υ ′的實(shí)際方向與規(guī)定的正方向比較，得出動(dòng)量的“正”或“負(fù)”后，再用代數(shù)方法求p 和p ，所以動(dòng)量的“正”或“負(fù)”就是動(dòng)量的矢量性。特別注意：動(dòng)量的矢量性是正確運(yùn)用動(dòng)量守恒定律的一個(gè)重要關(guān)健。

［例1］質(zhì)量為m =1kg的滑塊靜止于光滑的水平而上，一質(zhì)量為m =50g的小球，以100m/s的速度碰到滑塊后又以80m/s的速率被彈回。求滑塊獲得的速度是多少？

解：以小球和滑塊為系統(tǒng)，總動(dòng)量守恒。以小球碰撞前的速度為正，則υ =100m/s小球碰撞后的速度應(yīng)為υ ′=-80m/s，由動(dòng)量守恒定律以m υ +m υ =m υ ′+m υ ′代入數(shù)據(jù)可求得滑塊獲得的速度υ ′=9m/s，υ ′為正，說明滑塊的速度方向與小球原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向相同。

三、注意公式的“同一性”

動(dòng)量p=mυ，其中速度υ的大小相對(duì)不同的參照系，它的數(shù)值是不同的，于是動(dòng)量的數(shù)值也就不同。因此應(yīng)用動(dòng)量守恒定律m υ +m υ =m υ ′+m υ ′時(shí)，式中的四個(gè)速度υ 、υ 、υ ′和υ ′的大小一定要相對(duì)同一參照系。也就是說要注意公式的“同一性”，至于以什么為參照系，則沒有嚴(yán)格的規(guī)定，須視具體情況而定（一般是對(duì)地）。

［例2］一門舊式大炮，炮身的質(zhì)量M=1000kg，水平發(fā)射一枚質(zhì)量m=2.5kg的炮彈，如果炮彈從炮筒飛出的速度υ=600m/s，求炮身后退的速度υ′。

學(xué)生解法如下：由動(dòng)量守恒定律，有mυ+Mυ′=0，υ′=- υ=

- ×600m/s=-1.5m/s

這里的υ′是炮身相對(duì)于地面的速度，υ是炮彈從炮筒飛出的速度，應(yīng)當(dāng)理解為相對(duì)于炮筒的速度，因?yàn)榕谕埠团谧B在一起，因此也就是相對(duì)于炮身的速度，而不是相對(duì)于地面的速度。由于炮彈速度和炮身速度的參照物不統(tǒng)一，因此，以上解法是錯(cuò)誤的。

運(yùn)用動(dòng)量守恒定律解題時(shí)，如果系統(tǒng)中各物體速度的參照物不是同一個(gè)慣性系，就要根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成原理進(jìn)行變換。炮彈相對(duì)于地面的速度，應(yīng)當(dāng)是它相對(duì)于炮身的速度υ和炮身相對(duì)于地面的速度的矢量和，即υ+υ′。因此，這題的正確解法是：m（υ+υ′）+Mυ′=0，υ′=- ≈-1.5m/s

盡管兩種解法所得的結(jié)果近似相同，并不表明前種解法也正確，完全是由于M＞m的緣故。

四、注意公式的“同時(shí)性”

動(dòng)量是狀態(tài)量，動(dòng)量守恒定律是指系統(tǒng)任意時(shí)刻總動(dòng)量保持不變，因此系統(tǒng)內(nèi)物體相互作用前的總動(dòng)量m υ +m υ 中的υ 和υ 必須是相互作用前同一時(shí)刻的瞬時(shí)速度；相互作用后的總動(dòng)量m υ ′+m υ ′中的υ ′、υ ′必須是相互作用后同一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。

［例3］在水平光滑軌道上以速度υ =5m/s行駛的平板車，車與貨物的總質(zhì)量M=2000kg，把質(zhì)量m=20kg的貨物以相對(duì)于車為υ=5m/s的水平速度向車前拋出，求平板車的末速度υ 。

解：根據(jù)動(dòng)量守恒定律Mυ =（M-m）υ +m（υ+υ ）

得υ = =4.44m/s。

這個(gè)解把貨對(duì)車的速度υ與拋貨前的車速υ （而不是拋貨后的車速υ ）的矢量和看成是貨對(duì)地的速度，是錯(cuò)誤的。

貨是從車?yán)飹伋龅?。在投拋貨之前，貨、車?duì)地的速度都是υ ，貨對(duì)車的速度為零，拋擲貨物，人有個(gè)動(dòng)作過程，在這個(gè)短暫過程中，貨與車通過人體存在大小相等、方向相反的力的作用，因而貨與車獲得方向相反的加速度，使貨相對(duì)于車的速度由零逐漸增大到υ，而車對(duì)地的速度也由υ 不斷變化為υ ，這就是說υ與車的后速υ 是同一時(shí)刻的，而與車的前速υ 是不同時(shí)刻的（υ和υ 都是拋貨動(dòng)作完成時(shí)的速度）。

速度和動(dòng)量都是狀態(tài)量，不是過程量。一個(gè)物體在不同時(shí)刻的速度或動(dòng)量一般是不同的，同一物體在同一時(shí)刻的各個(gè)分速度或分動(dòng)量也可以迭加，不同時(shí)刻的速度或動(dòng)量是不能合成的（只能求所歷時(shí)間內(nèi)的增量），可見，方程“Mυ =（M-m）υ +m（υ+υ ）”中的“υ+υ ”不能正確描述貨物的速度，“υ+υ ”才是貨物對(duì)地的速度。因此，這道題的正確解法是：Mυ =（M-m）υ +m（υ+υ ），υ = =4.5m/s。

五、注意公式適用條件的“拓展性”

1.近似性。若系統(tǒng)所受合外力不為零，但內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力時(shí)，則系統(tǒng)的動(dòng)量近似守恒。譬如碰撞或爆炸過程，由于碰撞或爆炸均是在極短的時(shí)間內(nèi)相互作用的物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生了顯著的變化，相互作用力先急劇增大后急劇減小，平均作用很大，外力通常遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的內(nèi)力，可以忽略不計(jì)，所以，認(rèn)為磁撞或爆炸過程中動(dòng)量是守恒的。新教材選修3―5第十一頁(yè)的例題就是一例。

2.獨(dú)立性。若系統(tǒng)所受合外力不為零，但在某一方向上的合力為零，則在這個(gè)方向上動(dòng)量守恒。譬如，人跳到光滑水平面上的車上時(shí)，由于人和車之間垂直方向的沖擊作用，此時(shí)地面對(duì)車的支持力大于人和車的重力，對(duì)人、車系統(tǒng)合外力不為零，總動(dòng)量不守恒，但此系統(tǒng)水平不受外力作用，故滿足水平方向上動(dòng)量守恒。

篇4

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)組受到合外力為零時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒，系統(tǒng)質(zhì)心的速度保持不變。若系統(tǒng)在某一方向上受到的合外力為零，則系統(tǒng)在該方向上的動(dòng)量守恒，系統(tǒng)質(zhì)心在這一方向上的速度保持不變。這是動(dòng)量守恒定律的一個(gè)重要結(jié)論。用這一結(jié)論去解決某些問題，會(huì)變得十分簡(jiǎn)便。

例1 如圖1所示靜止于靜水中的小船，質(zhì)量為M=100kg，長(zhǎng)L=6m，船尾站有一人，質(zhì)量為m=50kg,不計(jì)水的阻力。當(dāng)人從船尾向左走到船頭時(shí)，小船后退的距離為多少？

解析 設(shè)船的質(zhì)心在A線上，人的質(zhì)心在B線上，人船系統(tǒng)的質(zhì)心在C線上，A、C間的距離為a，則有，Ma=m(L2-a)

所以a=m2(M+m)L

因?yàn)橄到y(tǒng)原來(lái)靜止，受到的合外力零，則系統(tǒng)質(zhì)心的速度為零，質(zhì)心的位置沒有移動(dòng)，人走到船的左端時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，船的質(zhì)心將向右移動(dòng)到A′處，移動(dòng)距離為

s=2a=mM+mL=50100+50×6m=2m

若例1中小船在初始時(shí)刻已有向左勻速移動(dòng)的速度v=2m/s，則人用10s的時(shí)間由船尾向左走到船頭的過程中船相對(duì)地移動(dòng)的距離為多少？

解析 不管人是否走動(dòng)，人與船的總動(dòng)量始終不會(huì)改變，系統(tǒng)合質(zhì)心移動(dòng)的速度始終為v。由于人相對(duì)船的位置前移，此因素會(huì)使船的位置后移。船真實(shí)移動(dòng)距離為二距離合成的結(jié)果。

s′=vt-s=vt-mM+mL=2×10-50100+50×6m=18m

例2 如圖2所示，光滑的木板AB水平放置，左端用一光滑鉸鏈固定在墻上，右端用一輕繩掛在天花板上，板上放著木塊M和m，M和 m之間用輕彈簧相連接。開始，彈簧被壓縮，M和m之間用細(xì)繩拉住，并處于靜止?fàn)顟B(tài)。線剪斷后，M和m在板上來(lái)回振動(dòng)。問細(xì)線OB的拉力將如何變化？

解析 M和m組成的系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒條件，因?yàn)橄到y(tǒng)原來(lái)處于靜止?fàn)顟B(tài)，質(zhì)心速度為零，雖然后來(lái)M和m都來(lái)回振動(dòng)，但系統(tǒng)的質(zhì)心速度仍然為零，質(zhì)心位置不變，故M和m對(duì)木板的作用力所產(chǎn)生的對(duì)A點(diǎn)的總力矩不變，所以細(xì)線OB的拉力也不會(huì)變化。

例3 如圖3所示，一艘小船靜止在平靜的水面上，船前艙有一抽水機(jī)。抽水機(jī)把前艙的水均勻抽往后艙。不計(jì)水的阻力，在船前后艙隔開與不隔開兩種情況下，船的運(yùn)動(dòng)情況分別是（ ）

A.不動(dòng)，向前勻速。

B.向前勻速，不動(dòng)。

C.不動(dòng)，向后勻速。

D.向后勻速，不動(dòng)。

解析 以船、水和抽水機(jī)為系統(tǒng)，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒。抽水機(jī)把前艙的水勻速抽往后艙時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量始終守恒，系統(tǒng)合質(zhì)心的速度始終為零，即系統(tǒng)合質(zhì)心的位置保持不變。船前后艙隔開時(shí)，水的質(zhì)心往后勻速移動(dòng)，為保持系統(tǒng)合質(zhì)心的位置不變，船、抽水機(jī)的質(zhì)心必向前移動(dòng)，即抽水機(jī)隨船向前勻速運(yùn)動(dòng)。前后艙不隔開時(shí)，抽水機(jī)勻速往后抽水時(shí)，水的質(zhì)心位置不變。因此，船保持靜止?fàn)顟B(tài)不變，即船不動(dòng)。答案應(yīng)選B項(xiàng)。

由上面的討論可知：在不受外力作用的條件下，質(zhì)點(diǎn)體系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)總是圍繞質(zhì)心平衡。

篇5

例1 如圖1示，質(zhì)量為m的鋼板與直立彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地上。鋼板處于平衡狀態(tài)。一質(zhì)量也為m的物塊從鋼板正上方距離為h的A處自由下落，打在鋼板上并立即與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)二者一起運(yùn)動(dòng)的速度。

本題一般的解法是先根據(jù)自由落體規(guī)律或機(jī)械能守恒定律求出A自由下落h時(shí)的速度v：

v=2gh

再將A、B看成一個(gè)系統(tǒng)，由于A與B碰撞時(shí)間極短，A、B相互作用力很大，認(rèn)為A、B在作用前后動(dòng)量守恒。

這樣，對(duì)A、B組成的系統(tǒng)用動(dòng)量守恒定律，得mv=2mv′

v′=12v=122gh。

我們也可對(duì)A、B組成的系統(tǒng)用動(dòng)量定理。將A開始下落直至粘合在一起以v′共同運(yùn)動(dòng)視為一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，B在A下落過程中合力的沖量為零，A下落時(shí)外力的沖量?jī)H有重力的沖量，這也是系統(tǒng)在A下落時(shí)受的沖量，用動(dòng)量定理對(duì)該系統(tǒng)有：

2mv′-0=mgt

根據(jù)自由落體規(guī)律有：t=2hg得：

2mv′=mg2hg

v′=122gh

結(jié)果與第一種方法一致。但無(wú)疑對(duì)動(dòng)量定理的理解更深刻了。

例2 如圖2，人和冰車的總質(zhì)量為M，另有一木球質(zhì)量為m，M：m=31：2。人坐在靜止于水平冰面的冰車上，以速度v（相對(duì)于地面）將原來(lái)靜止的木球沿冰面推向正前方的固定擋板。球與冰面、車與冰面的摩擦及空氣阻力均可忽略不計(jì)，設(shè)球與擋板碰撞后反彈速率與碰撞前速率相等，人接住球后再以同樣的速度（相對(duì)于地面）將球沿冰面向正前方向推向擋板，求人推多少次后才不再能接到球。

本題一般的解法是用動(dòng)量守恒定律。設(shè)人第一次、第二次……第n次推球后人車的速度為v1、v2……vn，按動(dòng)量守恒定律有：

第一次推：Mv1=mv,v1=mvM，

第二次推：Mv1+mv=Mv2-mv,v2=3mvM，

第三次推：v3=5mvM

……

第n次推：vn=(2n-1)mvM

當(dāng)vn≥v時(shí)接不到球：(2n-1)mv/M≥v

得n≥33/4，所以接9次后再拋就接不到球。

本題若用動(dòng)量定理，將人、車、球視為一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)的動(dòng)量變化是擋板對(duì)球作用力的沖量造成的。擋板每次對(duì)球的沖量大小為2mv，方向向右。設(shè)人推球的次數(shù)為n，按動(dòng)量定理有：

2nmv=(M+m)vn

人不能接到球的條件是vn≥v，得n≥33/4，所以接了9次后再拋出就不能接到球。

例3 在納米技術(shù)中需要移動(dòng)式修補(bǔ)原子，必須使在不停地做熱運(yùn)動(dòng)的原子幾乎靜止下來(lái)且能在一個(gè)小的空間區(qū)域內(nèi)停留一段時(shí)間。為此華裔諾貝爾物理獎(jiǎng)得主朱棣文發(fā)明了“激光致冷”技術(shù)。若把原子和入射光子看成兩個(gè)小球，則“激光致冷”與下述力學(xué)模型類似。一質(zhì)量為M的小球A以速度v0水平向右運(yùn)動(dòng)，如圖3所示。一個(gè)動(dòng)量大小為p的小球B水平向左射向小球A并與之發(fā)生碰撞。當(dāng)兩球形變量最大時(shí)，形變量突然被鎖定一段時(shí)間ΔT，然后突然解除鎖定使小球B以大小相同的動(dòng)量p水平向右彈出。緊接著小球B再次以大小為p的動(dòng)量水平向左射向小球A，如此不斷重復(fù)上述過程，小球B每次射入時(shí)動(dòng)量大小為p，彈出時(shí)動(dòng)量大小仍為p，最終小球A將停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)地面光滑，除鎖定時(shí)間ΔT外，其他時(shí)間均可不計(jì)，求從小球B第一次入射開始到小球A停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。

本題常用的方法是對(duì)每一次碰撞用動(dòng)量守恒定律。設(shè)每次小球B射入后再射出時(shí)，小球A的速度依次為v1、v2、v3……vn-1、0

由動(dòng)量守恒定理得：

Mv0-p=Mv1+p

Mv1-p=Mv2+p

Mv2-p=Mv3+p

……

Mvn-1-p=0+p

等式兩邊相加得：Mv0-np=np

則n=Mv02p

總時(shí)間Δt=nΔT=Mv02pΔT

上述方法顯得繁鎖。

若用動(dòng)量定理，可認(rèn)為A球的動(dòng)量變化是B球?qū)λ臎_量造成的。每一次碰撞，由于小球B的動(dòng)量變化大小為2p，故小球B對(duì)A的沖量大小也為2p，n次碰撞后B對(duì)A的沖量大小為2np，由動(dòng)量定理有：

2np=Mv0

得出n=Mv02p，同樣有總時(shí)間Δt=nΔT=Mv02pΔT

以上三例說明動(dòng)量定理不僅可以解決單個(gè)物體的動(dòng)量變化問題，也可應(yīng)用于相互作用的一個(gè)系統(tǒng)。在多次碰撞的情況下（如例2、例3），應(yīng)用動(dòng)量定理來(lái)解決問題更為方便簡(jiǎn)捷。

篇6

對(duì)一固定點(diǎn)o，一個(gè)系統(tǒng)所受的合外力矩為零，則此質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量矢量保持不變，即為一個(gè)系統(tǒng)角動(dòng)量守恒的條件。

動(dòng)量守恒，是最早發(fā)現(xiàn)的一條守恒定律。如果一個(gè)系統(tǒng)不受外力或所受外力的矢量和為零，那么這個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變，這個(gè)結(jié)論叫做動(dòng)量守恒定律。動(dòng)量守恒定律是自然界中最重要最普遍的守恒定律之一，既適用于宏觀物體，也適用于微觀粒子；既適用于低速運(yùn)動(dòng)物體，也適用于高速運(yùn)動(dòng)物體；既適用于保守系統(tǒng)，也適用于非保守系統(tǒng)。

（來(lái)源：文章屋網(wǎng) ）

篇7

一、三類基本問題

從力對(duì)物體的作用時(shí)間和空間關(guān)系看，動(dòng)力學(xué)問題可分為力對(duì)物體的瞬間作用，力對(duì)物體的時(shí)間積累作用和力對(duì)物體的空間積累作用三類基本問題，它們分別遵從牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律，動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律。因此，用牛頓第二定律解題要明確是對(duì)哪一時(shí)刻列式的；用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律要明確是對(duì)哪一段位移列式的。

二、三條基本途徑

解決動(dòng)力學(xué)問題的三條基本途徑，就是根據(jù)力對(duì)物體的作用特征，分別應(yīng)用上述三條規(guī)律。即：當(dāng)問題涉及恒力，加速度和時(shí)間的問題，首先考慮用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解決；涉及變力（大小和方向變化），速度和時(shí)間的問題，首先考慮用動(dòng)量定理或動(dòng)量守恒定律解決；涉及變力，速度和位移時(shí)，首先考慮用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律解決。特別要強(qiáng)調(diào)的，如果符合動(dòng)量守恒或機(jī)械能守恒的條件，就應(yīng)該首先考慮應(yīng)用守恒定律列式，這樣只須考慮初，末狀態(tài)的動(dòng)量或初，末狀態(tài)的機(jī)械能，使問題的計(jì)算得以簡(jiǎn)化。

三、三個(gè)基本要求

從基本概念，基礎(chǔ)知識(shí)和基本功的掌握看，解決動(dòng)力學(xué)問題必須做到三個(gè)基本要求：受力分析要清，矢量方向要明，物理量計(jì)算要準(zhǔn)。

正確分析物體的受力，應(yīng)從力的基本概念入手，明確力的相互作用性，搞清力學(xué)中常見的三種力的特性，注意不要漏掉“隱蔽的力”。受力分析正確了，也就為下一步分析物體的加速度或守恒條件鋪平了道路。

力，速度，加速度以及動(dòng)量，沖量都是矢量，相互間的關(guān)系式又是矢量式，因此，必須做到方向明確，熟練掌握處理一條直線上的正方向選定，注意運(yùn)算符號(hào)和表示方向的正負(fù)號(hào)的區(qū)別以及有關(guān)量間的方向依存關(guān)系等，如沖量的方向和動(dòng)量變化量的方向一致，加速度的方向跟合外力的方向一致等。

動(dòng)量，動(dòng)能和功含有與參照物有關(guān)的物理量（速度，位移），計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以地面或相對(duì)于地面靜止的物體做參照物。重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能涉及到零勢(shì)能位置的選定，計(jì)算時(shí)以取最低點(diǎn)（如地面）為重力勢(shì)能零點(diǎn)和彈簧無(wú)形變時(shí)彈性勢(shì)能為零，則h就是物體離規(guī)定水平面的高度，x就是彈簧相對(duì)原長(zhǎng)的伸長(zhǎng)量，動(dòng)量守恒定律，機(jī)械能守恒定律等式左右應(yīng)分別表示相互作用前，后兩個(gè)時(shí)刻的系統(tǒng)總動(dòng)量或總機(jī)械能，決不能將不同時(shí)刻的動(dòng)量或機(jī)械能相互合成等。

篇8

“碰撞”問題在高中階段的要求僅限于一維正碰：即兩個(gè)物體碰撞前沿同一直線運(yùn)動(dòng)，碰撞后仍沿同一直線運(yùn)動(dòng).“碰撞”問題所依循的基本定律是系統(tǒng)動(dòng)量守恒定律，然后再根據(jù)碰撞的具體類型有選擇性地應(yīng)用機(jī)械能守恒定律.彈性形變是指撤去外力后能夠恢復(fù)原狀的形變，因此彈性碰撞是同時(shí)滿足動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒的碰撞.兩球一維彈性正碰是碰撞的基本題型，可以提煉出很多實(shí)用的二級(jí)結(jié)論，從各個(gè)角度“品味”兩球一維彈性正碰，對(duì)掌握其它類型的碰撞大有裨益.彈性碰撞問題及其變形是中學(xué)物理中的常見問題，在高中物理中占有重要位置，也是多年來(lái)高考的熱點(diǎn)；此類問題還可與很多其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，聯(lián)系廣泛，題目背景易推陳出新，掌握這一模型，舉一反三，能切實(shí)提高學(xué)生的推理能力和綜合分析解決問題的能力.所以，我們有必要研究這一類問題.

一、兩球一維彈性正碰的基本規(guī)律

圖1例1如圖1所示，設(shè)質(zhì)量為m1的彈性球，速度為v1與質(zhì)量為m2的彈性球，速度為v2發(fā)生碰撞，碰撞后兩球的速度分別為v1′、v2′，取向右為矢量的正方向.

解析：由系統(tǒng)的動(dòng)量守恒定律得

結(jié)論1：對(duì)于一維彈性碰撞，若以其中某物體為參考系，則另一物體碰撞前后速度大小不變，方向相反（即以原速率彈回）.

結(jié)論2：對(duì)于一維彈性碰撞，若兩個(gè)物體質(zhì)量相等，則碰撞后兩個(gè)物體互換速度（即碰后A的速度等于碰前B的速度，碰后B的速度等于碰前A的速度）.

結(jié)論3： 對(duì)于一維彈性碰撞，若其中某物體的質(zhì)量遠(yuǎn)大于另一物體的質(zhì)量，則質(zhì)量大的物體碰撞前后速度保持不變.

以上結(jié)論是關(guān)于一維彈性碰撞的三個(gè)普適性結(jié)論.可見，解決彈性碰撞的關(guān)鍵是要抓住“碰撞”前后瞬間動(dòng)量守恒、系統(tǒng)機(jī)械能守恒（總動(dòng)能不變）.習(xí)題中常見的彈性球、光滑的鋼球及分子、原子等微觀粒子的碰撞都屬于這一模型，要能夠從習(xí)題中識(shí)別出這一模型，問題就會(huì)迎刃而解.

二、典例分析

圖2例1（2012年理綜全國(guó)卷題21）如圖2，大小相同的擺球a和b的質(zhì)量分別為m和3m，擺長(zhǎng)相同，并排懸掛，平衡時(shí)兩球剛好接觸，現(xiàn)將擺球a向左邊拉開一小角度后釋放，若兩球的碰撞是彈性的，下列判斷正確的是（）

（A） 第一次碰撞后的瞬間，兩球的速度大小相等

（B） 第一次碰撞后的瞬間，兩球的動(dòng)量大小相等

（C） 第一次碰撞后，兩球的最大擺角不相同

（D） 發(fā)生第二次碰撞時(shí)，兩球在各自的平衡位置

解析：兩球在碰撞前后，水平方向不受外力，故水平兩球組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律有：mv0=mv1+3mv2；又兩球碰撞是彈性的，故機(jī)械能守恒，即：12mv20=12mv21+123mv22，解兩式得：v1=-v02，v2=v02，可見第一次碰撞后的瞬間，兩球的速度大小相等，選項(xiàng)（A）正確；因兩球質(zhì)量不相等，故兩球碰后的動(dòng)量大小不相等，選項(xiàng)（B）錯(cuò)；兩球碰后上擺過程，機(jī)械能守恒，故上升的最大高度相等，另擺長(zhǎng)相等，故兩球碰后的最大擺角相同，選項(xiàng)（C）錯(cuò)；由單擺的周期公式 ，可知，兩球擺動(dòng)周期相同，故經(jīng)半個(gè)周期后，兩球在平衡位置處發(fā)生第二次碰撞，選項(xiàng)（D）正確.

圖3 例2如圖3所示，在光滑的水平面上靜止著一個(gè)質(zhì)量為m2小球2，質(zhì)量為m1的小球1以一定的初速度v1朝著球2運(yùn)動(dòng)，如果兩球之間、球與墻之間發(fā)生的碰撞均無(wú)機(jī)械能損失，要使兩球還能再碰，則兩小球的質(zhì)量需滿足怎樣的關(guān)系？

解析：設(shè)兩球碰后的速度分別為v1′和v2′，由系統(tǒng)動(dòng)量守恒定律得：mv1v1=m1v1′+m2v2′ ①

篇9

中圖分類號(hào)：O4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Symmetry and Conservation Laws in Physics

GAO Peiyuan, YANG Gang, SHI Lin, AN Peng, MA Hao

(Department of Physics, Shaanxi University of Technology, Hanzhong, Shaanxi 723000)

AbstractThis article introduces the concept of symmetry, discusses the relationship of the mechanical energy, momentum, angular momentum and symmetry.

Key wordssymmetry; mechanical energy; momentum; angular momentum; conservation law

自19世紀(jì)，邁耶、焦耳、亥姆霍茲發(fā)現(xiàn)了能量守恒定律以來(lái)，人們不僅為微分方程的降價(jià)而歡欣鼓舞，物理學(xué)家們更是由此有了許多新發(fā)現(xiàn)。1894年皮埃爾居里又因果律首先提出了對(duì)稱性原理，1981年德國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家尼約特（A,E,Noether;1882-1935）發(fā)表了著名的將對(duì)稱性和守恒律聯(lián)系在一起的定理。即從每一個(gè)自然界的對(duì)稱性可得到一種守恒律；反之，每一個(gè)守恒律均揭示蘊(yùn)含其中的一種對(duì)稱性，這就大大地激發(fā)人們?nèi)ふ遗c之相應(yīng)的守恒律了。牛頓、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、龐加萊、愛因斯坦、薛定諤等堪稱對(duì)稱性與力學(xué)理論的奠基大師，從他們那個(gè)時(shí)代起，對(duì)稱性和力學(xué)就是一對(duì)親密的伙伴。隨著歷史的發(fā)展，對(duì)稱性一直發(fā)揮著它強(qiáng)有力的作用。①

1 對(duì)稱性的有關(guān)概念

我們周圍的世界時(shí)豐富多彩、千變?nèi)f化。動(dòng)物、植物、街道、房屋等咋一看好像沒有什么共同點(diǎn)，然而，如果我們仔細(xì)觀察的話，仍然可以找出一些普遍存在的現(xiàn)象，那就是對(duì)稱性。無(wú)論對(duì)藝術(shù)還是自然科學(xué)，對(duì)稱性都是重要的研究對(duì)象，但是，對(duì)稱性的概念最初還是源于生活，在藝術(shù)、建筑等領(lǐng)域，所說的對(duì)稱一般是指左右對(duì)稱。首先用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍蠲枋鰧?duì)稱性的還是德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾，他對(duì)左右對(duì)稱的一幅圖做了如下表述：若某種圖形通過鏡面反射又回到自己，則該圖形對(duì)該鏡面式反射對(duì)稱或雙向?qū)ΨQ。他有談到，若某一圖形圍繞L軸作任何轉(zhuǎn)動(dòng)均能回到自身，則該圖形具有對(duì)L軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)稱性。②

將對(duì)稱性運(yùn)用到物理上，研究的對(duì)象不僅是圖形，還有物理學(xué)中的物理量或物理定律等，那么我們首先得搞懂以下幾個(gè)概念。第一個(gè)概念就是“系統(tǒng)”，系統(tǒng)就是我們要研究的對(duì)象；第二就是“狀態(tài)”，同一個(gè)系統(tǒng)可以處在不同的狀態(tài)，不同的狀態(tài)可以通過某種變換使他們“處在”相同的狀態(tài)；最后就是“變換”了，時(shí)空坐標(biāo)系的改變、尺度的放大縮小等都可以認(rèn)為是“變換”，也可以稱之為“操作”。一個(gè)操作可以對(duì)一個(gè)物理量或以一種守恒律產(chǎn)生“相同”或“等價(jià)”的效果，就是其不變性，比如，牛頓第二定律對(duì)于伽利略變換這一“操作”就具有對(duì)稱性，因?yàn)椋?jīng)過這一操作，牛頓第二定律是不變的。動(dòng)量作為物理量經(jīng)過伽利略變換后發(fā)生改變，因從不同的參考系下測(cè)出來(lái)的動(dòng)量是不同的，所以，動(dòng)量對(duì)于伽利略變換使不具有對(duì)稱性的，但是“在外力矢量和為零的質(zhì)點(diǎn)系系統(tǒng)動(dòng)量守恒”這條規(guī)則對(duì)于慣性系是成立的，因而動(dòng)量守恒定律對(duì)于伽利略變換具有對(duì)稱性。動(dòng)量、能量、動(dòng)量矩和一系列其他守恒定律，因其特有的普遍性和重要性而與其他物理規(guī)律迥然不同：他們既能適用于宏觀客體，又適用于微觀世界，起初這些定律都是作為大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)的推廣通過實(shí)驗(yàn)途徑確立起來(lái)的，后來(lái)人們才對(duì)他們與時(shí)間、空間對(duì)稱性原理的相互聯(lián)系有所進(jìn)一步的理解，不僅理解了他們的普遍性，而且還能預(yù)言某種守恒定律在什么條件下將遭到破壞，或者改變?cè)械男问健?/p>

2 對(duì)稱性與守恒量

2.1能量守恒與時(shí)間的均勻性（能量守恒與時(shí)間對(duì)稱性）

拉格朗日函數(shù)定義為。③拉格朗日函數(shù)中不顯含時(shí)間t，即，因此有：（1）

利用保守力系下拉格朗日方程有：，根據(jù)萊布尼茲法則等， 整理得：（2）

我們令，我們定義H為廣義能量，即廣義能量H為一個(gè)守恒量。設(shè)動(dòng)能的表示為T， 則

假如系統(tǒng)是定常的或是穩(wěn)定的，則上式中函數(shù)不含t，所以，所以a = a = 0，即動(dòng)能T成為的二次齊次函數(shù)，由齊次函數(shù)的歐拉定理可得在廣義坐標(biāo)下，勢(shì)能是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，則有：

（下轉(zhuǎn)第113頁(yè)）（上接第109頁(yè)）

整理得： = 2T - L = T + V = 常量，所以，H表示系統(tǒng)的機(jī)械能，由上式我們可以看出，機(jī)械能是一個(gè)守恒量。從另一個(gè)方面可以看到時(shí)間的對(duì)稱性。

2.2 動(dòng)量守恒與空間的均勻性（動(dòng)量守恒與空間均勻移動(dòng)）

在一個(gè)封閉的體系內(nèi)，各質(zhì)點(diǎn)間具有相互作用，由于空間的均勻性，當(dāng)體系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行同樣的位移時(shí)，不應(yīng)當(dāng)改變體系的力學(xué)性質(zhì)，從而使拉氏函數(shù)保持不變，那么，在速度不變的情況下，當(dāng)很小的時(shí)候，（3）求和對(duì)體系所有的質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行，因?yàn)榭臻g的均勻性要求使，而又是任意的，所以就相當(dāng)于，用拉氏方程即④，由得：若用pn表示體系中所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，則：，因此得： = 恒矢量。所以我們得到了體系中的動(dòng)量守恒定律，從這里我們看到了空間對(duì)稱性的一個(gè)側(cè)面。

2.3 角動(dòng)量守恒與空間的各向同性（角動(dòng)量守恒與空間均勻轉(zhuǎn)動(dòng)）

空間各向同性就意味著在封閉系統(tǒng)整體在空間任意轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，體系力學(xué)性質(zhì)不變，與此相應(yīng)，其拉氏函數(shù)也不應(yīng)改變，即。引入一個(gè)無(wú)窮轉(zhuǎn)動(dòng)矢量，我們可以得出：（4）當(dāng)體系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，不僅矢徑的方向改變，而且所有質(zhì)點(diǎn)的速度矢量也都按相同規(guī)律改變，這時(shí)，相對(duì)于靜止坐標(biāo)系中速度的增量由下式給出：（5） 則：，而且因?yàn)槭欠忾]系統(tǒng)，，所以，空間的無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)所引起的拉氏函數(shù)的改變?yōu)椋?，把?）（5）式代入上式可得：，由矢量代數(shù)可知，對(duì)三個(gè)矢量間的混合積運(yùn)算法則知：因?yàn)楦鶕?jù)保守力系下拉格朗日方程：， 所以：

因?yàn)槭侨我獾模?所以就相當(dāng)于：，即： = 橫矢量。 按拉氏函數(shù)的定義：，而就是體系中各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，所以，體系的角動(dòng)量守恒，從這里我們看到了空間對(duì)稱性的另一個(gè)側(cè)面。

3 結(jié)論

通過上面的討論可以看到：物理規(guī)律在一定的時(shí)間、空間變換下的不變性，即時(shí)間與空間的對(duì)稱性。從時(shí)間的均勻性、空間的均勻性及空間的各向同性這些對(duì)稱性原理出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)密的推理，又合乎邏輯地導(dǎo)出能量守恒定律、動(dòng)量守恒定律、動(dòng)量矩守恒定律，因此我們可以說這些守恒律緣起于時(shí)空的對(duì)稱性。

注釋

①Jerrold E.Marsden，Tudor S.Ratiu.力學(xué)和對(duì)稱性導(dǎo)論[M].王麗瑾,劉學(xué)深,等譯.北京:清華大學(xué)出版社.

②漆安慎,杜嬋英.力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2005:173-174.

③王劍華,李康等.理論力學(xué)[M].陜西:陜西科學(xué)技術(shù)出版社,2009:186-187.

篇10

有關(guān)這部分內(nèi)容的高考命題，題目一般變化情況復(fù)雜，綜合性強(qiáng)，多以把場(chǎng)的性質(zhì)、運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、功能關(guān)系等知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起，對(duì)考生的空間想象能力、物理過程和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的綜合分析能力，以及用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力要求較高，在復(fù)習(xí)中要高度重視，強(qiáng)化訓(xùn)練.

解決電磁問題的基本思路往往是應(yīng)用力學(xué)知識(shí)解決電磁學(xué)問題，并沒有太多新的知識(shí)和方法，只是在處理此類問題時(shí)，物體的受力除受常規(guī)力（重力、彈力、摩擦力等）外，還受到場(chǎng)力.比如在電場(chǎng)中，帶電體（或點(diǎn)電荷）還受到電場(chǎng)力（或庫(kù)侖力）；在磁場(chǎng)中，通電導(dǎo)體還受到安培力，運(yùn)動(dòng)電荷還受到洛倫茲力.我們要告訴考生在遇到此類問題時(shí)，不必驚慌，應(yīng)該冷靜下來(lái)思考，此類問題往往就是應(yīng)用我們熟悉的力學(xué)知識(shí)進(jìn)行解題.

一、應(yīng)用動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)解決電磁學(xué)問題

問題的實(shí)質(zhì)是動(dòng)力學(xué)知識(shí)，即牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的應(yīng)用.動(dòng)力學(xué)兩大類問題：①已知物體受力情況，確定運(yùn)動(dòng)情況；②反過來(lái)已知物體運(yùn)動(dòng)情況，確定受力情況.

基本思路為：

物體的加速度a把物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況聯(lián)系起來(lái)，起到紐帶、橋梁的作用，所以求加速度是解決問題的關(guān)鍵.

例1：如圖所示，兩根相距L平行放置的光滑導(dǎo)電軌道，與水平面的夾角均為α，軌道間有電阻R，處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一根質(zhì)量為m、電阻為r的金屬桿ab，由靜止開始沿導(dǎo)電軌道下滑.設(shè)下滑過程中桿ab始終與軌道保持垂直，且接觸良好，導(dǎo)電軌道有足夠的長(zhǎng)度，且電阻不計(jì).（1）桿ab將做什么運(yùn)動(dòng)？（2）若開始時(shí)就給ab沿軌道向下的拉力F使其由靜止開始向下做加速度為a的勻加速運(yùn)動(dòng)（a>gsinα），求拉力F與時(shí)間t的關(guān)系式.

解析：（1）金屬桿受力如圖所示：當(dāng)桿向下滑動(dòng)時(shí)，速度越來(lái)越大，安培力F安變大，加速度變小.隨著速度的變大，加速度越來(lái)越小，ab做加速度越來(lái)越小的加速運(yùn)動(dòng)，最終加速度變?yōu)榱?，桿做勻速運(yùn)動(dòng).

（2）經(jīng)過時(shí)間t，ab桿的速度v=at

感應(yīng)電流

由牛頓第二定律得：F+mgsinα-BILcosα=ma

二、應(yīng)用動(dòng)量觀點(diǎn)解決電磁學(xué)問題

1. 應(yīng)用動(dòng)量定理解決電磁問題

通電直導(dǎo)線在磁場(chǎng)中要受到安培力的作用，速度發(fā)生變化，安培力隨之變化.通常直導(dǎo)線（或線框）的運(yùn)動(dòng)為非勻變速直線運(yùn)動(dòng)，不能用牛頓定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解題，而動(dòng)量定理適用于非勻變速直線運(yùn)動(dòng).在？駐t時(shí)間內(nèi)安培力的沖量F·？駐t=BLI？駐t=BLq，式中的q是通過導(dǎo)體截面的電量.

2. 在電磁場(chǎng)中，只要系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒條件，對(duì)系統(tǒng)也可以應(yīng)用動(dòng)量守恒定律解題

例2：如圖所示，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)與B垂直的平面中有兩根足夠長(zhǎng)的固定金屬平行導(dǎo)軌，在它們上面橫放兩根平行導(dǎo)體棒構(gòu)成矩形回路，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，質(zhì)量為m，電阻為R，回路部分導(dǎo)軌電阻可忽略，棒與導(dǎo)軌無(wú)摩擦，且接觸良好.開始時(shí)圖中左側(cè)導(dǎo)體棒靜止，右側(cè)導(dǎo)體棒具有向右的初速v0，試求兩棒之間距離增長(zhǎng)量x的上限.

分析：當(dāng)右側(cè)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，兩棒中有感應(yīng)電流通過，右側(cè)導(dǎo)體棒受到安培力作用而減速，左側(cè)導(dǎo)體棒受到安培力作用而加速.當(dāng)它們的速度相等時(shí)，它們之間的距離最大.設(shè)它們的共同速度為v，則據(jù)動(dòng)量守恒定律可得：

對(duì)于左側(cè)導(dǎo)體棒應(yīng)用動(dòng)量定理可得：

BLIt=mv

所以，通過導(dǎo)體棒的電量：

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合沖量公式F？駐t=BLI？駐t=BLq應(yīng)用動(dòng)量定理，使貌似復(fù)雜的電磁問題迅速得到解決.應(yīng)用動(dòng)量守恒定律和動(dòng)量定理知識(shí)解題，是我們熟悉的力學(xué)知識(shí).

三、應(yīng)用能量觀點(diǎn)解決電磁學(xué)問題

在解決電磁問題時(shí)，我們經(jīng)常應(yīng)用動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、功能關(guān)系或能量守恒定律，所以我們必須熟練掌握.

動(dòng)能定理：W總=？駐Ek

功能關(guān)系：W =？駐E

能量守恒：？駐E增=？駐E減

例3：如圖所示，在傾角為θ的光滑斜面上，存在著兩個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度相等的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向一個(gè)垂直斜面向上，另一個(gè)垂直斜面向下，寬度為L(zhǎng).一個(gè)質(zhì)量為m，邊長(zhǎng)也為L(zhǎng)的正方形金屬框以速度v進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng).若ab邊到達(dá)gg'與ff'中點(diǎn)位置時(shí)，線框又恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，且設(shè)金屬框電阻為R，則金屬框從開始進(jìn)入磁場(chǎng)到ab邊到達(dá)gg'與ff'中點(diǎn)位置的過程中產(chǎn)生的熱量是多少？

解析：設(shè)線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v，則回路感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流分別為：E1=BLv，I1=■.

線框ab邊越過ff'后做初速度為v、加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng).設(shè)當(dāng)ab邊到達(dá)gg'與ff'中點(diǎn)位置時(shí)速度為v2，則回路感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流

設(shè)線框從剛進(jìn)入磁場(chǎng)到邊ab到達(dá)gg'與ff'中點(diǎn)位置的過程中產(chǎn)生的熱量為Q，由能量轉(zhuǎn)化與守恒定律得

電磁感應(yīng)中的能量轉(zhuǎn)化特點(diǎn)：外力克服安培力做功，把機(jī)械能或其他能量轉(zhuǎn)化成電能；感應(yīng)電流通過電路做功又把電能轉(zhuǎn)化成其他形式的能（如內(nèi)能）.這一功能轉(zhuǎn)化途徑可表示為：