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篇1

關鍵詞：外匯期權 偏微分方程法 非參數法

自1973年Black-Scholes及Merton期權定價模型（BS-M模型）出現以來，期權市場得到了空前的發(fā)展。目前外匯期權的主要方法有：偏微分方程定價法、數值定價法和非參數定價法。偏微分方程定價法是在連續(xù)時間框架中進行定價的，基于無風險套期保值定價原理。樹圖定價法和模擬定價法是在離散時間框架中進行定價的，都基于風險中性定價原理。然而，如果樹圖定價法所設置的時間間隔足夠小，如果模擬定價法所設置的時間間隔足夠小而且模擬次數足夠多，那么樹圖定價法和模擬定價法的定價結果將收斂于偏微分方程定價法。對BS-M模型的改進主要在參數方法和非參數方法兩個方面，其中又以參數方法居多。

一、偏微分方程法

（ 一 ）Garman-Kohlhagen模型及其擴展 自此1973年Black和Scholes在期權定價上取得重大突破后，帶來了一場金融革命。后來的學者對期權定價的研究基本是運用Black和Scholes推導的微分方程，對Black-Scholes模型上的修正和擴展。由BS模型發(fā)展而來的Garman-Kohlhagen模型是專門對外匯期權的定價。早期很多外匯期權的研究工作都以Garman-Kohlhagen模型為基礎展開。Adams和Wyat（1987）運用修正的Garman-Kohlhagen模型和Grabbe（1983），對利率風險調整后發(fā)現利率差額風險顯示在外匯期權定價上的重要作用。Black-Scholes模型引入多個無風險利率，與假設條件不符合。并且利用Black-Scholes模型計算外匯期權的價值與實際價值差距大。但是與Black-Scholes模型類似，Garman-Kohlhagen模型約束條件過多，與市場的情況有差距。事實上，Garman-Kohlhagen模型導致價外期權的定價偏低。Telmer（2002）研究了基于Garman-Kohlhagen模型假設條件下的歐式外匯期權定價，發(fā)現模型所得的理論價值與實際價格之間的存在差異。近年來國內外學者都著力于改進Garman-Kohlhagen模型。

（ 二 ）跳躍擴散模型 Garman-Kohlhagen模型不能解釋市場崩潰或大量投資者狂熱買入時候，隨機波動與標的資產的擴散過程的連續(xù)屬性相矛盾。Bodurtha和 Courtadon （1987）， Tucker（1991）實證發(fā)現Merton（1976）的跳躍擴散模型能夠消除Garman-Kohlhagen模型產生的偏差。當標的資產帶跳，評估定價方程的傳統(tǒng)套期保值方法無法應用。不確定跳數量的跳躍禁止套期保值構建無風險的套期保值組合，即使是連續(xù)交易規(guī)則。為避免這個問題，Merton（1976）提出混合跳躍擴散過程。他假設股票價格服從一個幾何布郎運動再加上一個價格的跳躍過程，這個跳躍過程服從泊松分布。意為市場信息流主要由一個布朗運動掌握，但偶爾出現極端跳躍，模型假定跳躍部分屬于非系統(tǒng)風險。但對外匯期權而言，Merton對多樣跳躍風險的假設是不能成立的。Trautmann 和Beinert（1995）利用ML技術估計泊松跳躍擴散模型，描述活躍交易股票的收益情況，發(fā)現跳躍風險的顯著性和系統(tǒng)性。Akgiray和Booth （1989）證明了最適合解釋匯率變化的隨機過程是跳躍擴散過程。McCulloch （1985，1987）提出的模型都帶有匯率的獨立厚尾震蕩特征。為解決BlackScholes模型的隱含波動率里的波動微笑問題，Bates（1991）提出跳躍的匯率風險系統(tǒng)性下美式外匯期貨期權的定價模型。Mo（1996）也推導出匯率風險系統(tǒng)性下外匯期權的定價。他用一個簡單的均衡國際資產定價模型，該模型是在連續(xù)交易和無沖突國際資本市場條件下。國內外價格水平作為狀態(tài)變量引入，包含由貨幣流通紊亂或災難性時間的跳躍。在模型中國內外利率是隨機和內生決定的，受到匯率跳躍風險的影響。Beta（l996）認為用擴散過程模型化隨機波動率是不夠的，還應結合跳躍過程解釋過度峰值。他假設匯率的動態(tài)過程遵循平方根過程的條件下，考慮了匯率呈現跳躍-擴散過程時的外匯期權定價模型。這個模型描述了波動率微笑、波動率群聚現象、波動率的時變性以及收益分布的厚尾多種現象。時間變化levy過程能夠解決三個問題：資產價格跳躍導致非正態(tài)收益率創(chuàng)新；收益率的波動率的隨機性；收益率與波動率相關。Carr和Wu（2007）系統(tǒng)研究了匯率價格服從時變Levy過程時外匯期權的定價問題。levy過程是一個連續(xù)時間隨機過程，levy過程的框架包括了期權定價文獻的所有模型，可以直接的用特征函數選擇和測試特別的期權定價模型。Madan（1991）提出可選隨機過程，即所有信息都帶跳。與跳躍擴散的相關低頻跳不同，除了低頻大跳，還用大量小跳的高活躍過程，即用增量服從方差Gamma分布的levy 過程描述股票收益率。就是一個Gamma過程控制的任意時間變化的偏移的布朗運動的評估。這個VG定價過程的特點有，在VG過程里，資產價格高度離散，交易不完全，VG過程除了波動率參數，只有兩個參數，布朗運動的漂移參數和gamma過程的方差率； VG過程是一個高活躍的離散過程，承認任何時間間隔的大量離散運動。Elton和Dilip（2005）用方差Gamma期權定價模型對外匯期權做定價。實證表明VG模型要優(yōu)于改進的BS模型和跳躍擴散模型。除了匯率服從跳躍擴散條件外，一些學者同時放松了利率的約束。在國內外利率隨機，匯率服從一個可能的非對稱、隨機跳躍擴散過程的假設條件下，Doffou和Hilliard（2001）提出一個理論外匯期貨和期權框架。該定價模型采用Bates（1991，1996）的跳躍擴散模型，但國內外利率采用Vasicek期限結構框架，國內外利率服從無套利擴散過程。研究發(fā)現外匯遠期依賴于國外利率參數，外匯期貨價格依賴于國內外利率的參數，但都不受匯率跳躍的假設的影響。匯率的跳躍過程對外匯期權的定價影響很大。由此可以看出，外匯遠期和期貨的價格由標的資產的完全分布的預期得到，期權價格由標的資產部分分布的預期得到，因此標的資產收益率的非正態(tài)偏度和峰度影響期權價格，但不影響期貨和遠期價格。Guo（2008）用HeathJarrowMorton （HJM）框架獲得隨機波動率和雙跳下的美式外匯期權的近似價值。這種跳躍對提前執(zhí)行價值有重要影響。

（ 三 ）隨機波動率模型 Black-Scholes模型假設波動率為常數與現實市場有一定的偏差，期權市場數據中隱含波動率關于敲定價格曲線的“微笑”和“偏斜”效應證明了這一點。Carr和Wu（2007）實證證明匯率市場隱含波動率是錢性的U形函數，即有名的波動率微笑。這表明匯率收益率的風險中性條件分布是厚尾的。固定錢性和到期時間隱含波動率在樣本時間內的實質性的時間變化，意味著匯率收益率的波動率是隨機時間變化。波動率不是常數而是隨機的，這啟發(fā)提出隨機波動率模型。Hull和White（1987），Stein和Stein（1991）以及Heston（1993）提出連續(xù)時間隨機波動模型。Stein和Stein（1991）隨機波動率服從算術OU過程和幾何布朗運動。Hull和White（1987）等人將波動率定義為由第二個布朗運動驅動的擴散過程，并討論了在這種隨機波動率模型下，基礎股票無分紅的歐式期權定價問題。他們的模型都假設波動率和資產價格的隨機信息源互不相關。Heston（1993）假定波動率和資產價格的隨機信息源存在負相關的隨機波動率模。Heston（l993）導出了隨機波動率下的外匯期權顯式解。Heston的模型在期權定價中受到廣泛關注，因為他提出了期權定價的閉區(qū)間表達。Bodurtha和Courtadon （1987）提出用時變的隱含波動率替代BS-M模型中的常數波動率為外匯期權定價。由于匯率的均值回復特性，用均值回復描述匯率隨機波動的模型較多。Sweeney （2006）用G-10 nominal匯率實證均值回復特征。Ekvall（1995）提出匯率服從如OU過程的均值回歸過程下的外匯期權定價模型。Ekvall（1995）解釋了匯率服從均值回歸的幾個原因。原因之一就是匯率的均值回歸是中央銀行保持匯率接近預期目標值的干預手段，因此均值回歸的速度可以作為中央銀行干預的測量。通過國內外無風險利率符合無拋補利率平價理論，而與均值回歸下的匯率相聯(lián)系，用均衡模型推導出外匯歐式期權的封閉解。Hui（2006）采用Ekvall的模型建立路徑依賴外匯期權的定價應用，Hui（2007）建立香港港元與美元的外匯期權定價模型。模型假定遠期匯率服從均值回歸過程。該模型用遠期匯率做隨機變量考慮了兩個的隨機利率。在匯率盯住制度下，兩個利率必然與匯率相關。香港實行聯(lián)動匯率制度。中央銀行一般會干預穩(wěn)定匯率價格在區(qū)間，但沒有固定的邊界。均值回歸過程剛好能夠描述這種匯率制度特點，在區(qū)間內而沒有固定的邊界。匯率時間序列的波動通常具有以下典型特征：厚尾，波動聚集性，杠桿效應，長記憶性和持續(xù)性等。對匯率波動的以上特征進行建模的模型可分為兩大類：一類是自回歸條件異方差模型（ARCH）；另一類是隨機波動模型（Stochastic Volatility Model，SV）。Duan （1995）對GARCH模型在期權定價方法做了系列研究。他認為GARCH模型可以解釋大部分期權定價的偏差。GARCH模型表明，BS-M模型低估了價外期權，對低波動率的基礎資產和期限較短的期權也存在低估的現象，而GARCH模型在這些期權的定價中表現明顯優(yōu)于BS-M模型。Chaudhury和Wei （1996）對Duan（1995）的GARCH 期權定價模型與其他模型比較，發(fā)現GARCH 期權定價模型對到期時間短和價外期權定價很有效。Hoque（2008）的實證證明總的來說實際波動模型（Realized Volatility Model，RVM）優(yōu)于隱含波動模型和GARCH波動模型。樣本內GARCH波動模型優(yōu)于樣本外的隱含波動模型。因此可以用RVM模型處理高頻當天數據來獲得定價隔天交易的期權的有效信息。Duan（2001）系統(tǒng)地提出在一般均衡及局部風險中性（locally risk-neutral valuation relationship）的框架下使用GARCH模型為外匯期權定價。研究了兩個國家情況下的GARCH的期權定價方法，假定匯率的雙變量非線性非對稱的GARCH模型。首先定義一個均衡定價方法，推導出匯率風險中立GARCH過程，然后再用蒙特卡羅模擬評估。Taylor（1986）提出隨機波動模型（SV）。SV模型具有數理金融學和金融計量經濟學的雙重根源，非常貼近金融理論，作為ARCH類模型的替代，SV模型近些年來引起了國內外學術界的廣泛興趣。Yu（2006）在基本SV模型的基礎上提出了一組非線性的SV模型（N-SV ）對外匯期權定價，所謂的N-SV模型包含了對數SV模型以及其他一般的參數SV模型，能夠方便地進行檢驗。模型診斷顯示，當市場波動較小時，使用非線性的模型可以更好地擬合歷史數據。

（ 四 ）其他偏微分方程定價模型 隨機利率模型是利率期限結構中的關鍵研究方向，由于外匯期權定價模型牽涉到兩國的無風險利率，放松利率的約束條件也是外匯期權定價模型的發(fā)展方向之一。Merton（1970）最早用隨機微分方程描述利率運動的變化。Jarrow（1991）和Hilliard（1991）的隨機利率模型放松了國內外利率是常數的這一假設條件。但是大部分假定利率服從對數正態(tài)分布，因此這些模型不能解釋很多來自觀察數據的系統(tǒng)偏差。Hilliard（1991）假定國內外債券價格具有只依賴時間的局部方差的條件下，建立一個外匯期權定價模型。隨機利率模型通常分均衡模型和無套利模型。隨機利率模型的單因素均衡模型中，假設只由一個不確定因素影響短期利率。短期利率的變化可以分解成兩個部分漂移項和擴散項，均與當前的利率水平有關，獨立于時間。不同的單因素均衡模型對短期利率的漂移項和擴散項上限制不同。隨著經濟政治環(huán)境改變，相關的金融變量也產生變化。匯率的變化在正常穩(wěn)定的經濟中保持穩(wěn)定的波動，但在偶爾出現極高的波動轉換，主要是體制轉換。另外戰(zhàn)爭 OPEC石油危機/金融危機等宏觀經濟和政治因素將導致匯率或短期利率在高低波動體制變化。Hamilton （1989，1994）首先提出體制轉換的外匯期權定價模型。模型模擬了兩個或多個隨機數據過程，每個隨機過程有明顯的結構和不同的參數值，代表不同的體制，每個制度變量遵循馬爾可夫鏈運動。Dumas（l993a，1993b）應用匯率目標區(qū)模型對外匯期權定價，他用一個泊松過程描述在匯率目標區(qū)中心平價的跳躍過程。Siu（2006）研究了雙因子馬爾可夫調制隨機波動模型下的匯率動態(tài)過程的期權定價。第一個隨機波動部分由對數正態(tài)分布過程驅動，第二個獨立隨機波動部分由連續(xù)有限狀態(tài)馬爾可夫鏈模型驅動。馬爾可夫鏈的狀態(tài)可以解釋為一個經濟狀態(tài)。對不完全市場環(huán)境的外匯期權定價用體制轉換決定鞅定價方法。Bollen（2003）比較了外匯期權定價的體制轉換模型、GARCH模型和跳躍擴散模型三個模型，發(fā)現在樣本內外比固定微笑模型有顯著提高，跳躍擴散模型最緊密，時間變化微笑模型的套期保值效果并不差于其他模型。

二、基于數值法和非參數定價方法

（ 一 ）數值法 Bolye（1977）最先將蒙特卡羅模擬方法引入到期權定價中以來。此后，許多學者提出了復雜期權相應的蒙特卡羅解決方法。Grant和Vora等人（1994）提出蒙特卡羅法求解路徑依賴期權價值，Longstaff和Schwartz（2001）用最小二乘法估計期權的條件預期收益，然后再用蒙特卡羅模擬方法可以直接對期權定價，這種方法又稱為最小平方蒙特卡羅模擬方法（簡記為LSM）。Chaudhary（2005）將擬隨機序列和布朗橋公式應用到LSM方法，形成最小平方擬蒙特卡羅模擬方法。但蒙特卡羅模擬方法也存在許多不足，如收斂速度比較慢，需要進行很多的模擬次數；對具有后向迭代搜索特征的美式衍生產品的價值估計存在著一定的困難。目前蒙特卡羅技術的研究圍繞完善與發(fā)展模擬估計誤差減少技術和擴大蒙特卡羅模擬的應用范圍兩個方向改進。蒙特卡羅模擬方法廣泛應用于復雜的衍生品證券定價問題。期權定價通常采用二叉樹法和三叉樹的樹圖方法。二叉樹法在高級宏、微觀經濟學中也被稱為隨機游走模型，是股票價格漂移方程的分析基礎和背景，而Black-Scholes定價模型又以股票價格漂移方程為數學基礎。二叉樹模型、隨機游走模型和股票價格漂移方程三者之間有著緊密聯(lián)系，表面上表達形式有所不同，本質沒區(qū)別。

（ 二 ）非參數定價方法 參數模型只描述理論期權價格與輸入變量之間的靜態(tài)非線性關系，不能反映市場情況的快速變化，因此一些期權數據的定價結果并不理想。非參數方法由于其自適應性強和在數據生成過程中結構變換快速反應能力而得到發(fā)展。國內外學者開始關注和研究非參數定價模型如神經網絡的期權定價模型。神經網絡期權定價方法通過盡可能的假設消除模型風險，利用輸入變量之間的關系決定資產動態(tài)和定價過程，并且通過訓練能夠適應市場變化。Hutchison（1994）最早將神經網絡模型引入到歐式期權的定價模型中，使用了RBF和BP神經網絡。Andreou和Charalambous（2005）結合神經網絡和帶隱含參數的參數模型定價歐式期權。Tseng和Cheng（2005）的神經網絡模型結合了EGARCH波動。EGARCH方法是把GARCH模型和GM（1，1）結合預測波動率，作為神經網絡的一個輸入。該模型能夠捕獲條件股票收益波動率的重要的非對稱效應，降低誤差項隨機性和非線性。提升期權定價模型的預測能力。Yao和Li （2000），Lin（2005）實證表明用神經網絡模型化衍生證券定價效果好于傳統(tǒng)期權定價模型。Wang（2007）結合神經網絡和Fuzzy技術，對外匯期權定價。Zhang（2007）認為用期限結構方法定價利率衍生品存在系統(tǒng)偏差，提出基本函數方法結合經濟理論（無套利期限結構方法）和模型非參數回歸方法。該方法在實際價格和模型價格之間的殘差，增加一個偏差修正項提高定價。Vapnik（1995）在統(tǒng)計學習理論基礎上提出的支持向量機（SVM）是繼神經網絡之后機器學習理論研究的又一熱點。支持向量機分為支持向量分類和支持向量回歸（SVR）。支持向量回歸建立在嚴密的統(tǒng)計學習理論基礎上，較好的解決了以外許多學習方法中小樣本、非線性和高維數等實際難題，克服了神經網絡等學習方法中網絡結構難以確定、收斂速度慢、局部極小點等不足。Xun（2009）用支持向量回歸方法對期權進行估值，采用的是逐級法（Cascade Method）。這種方法有兩個步驟，先利用傳統(tǒng)方法初始化，該文采用蒙特卡羅方法、二叉樹方法和偏微分方程等傳統(tǒng)參數方法分別估計期權價值，全面吸取這種方法的估值能力。然后建立支持向量回歸模型，傳統(tǒng)方法的期權估值作為支持向量回歸模型的輸入值。傳統(tǒng)方法估計期權價值經過市場證明是有效的，通過逐級法，支持向量回歸方法可以主要用于修正傳統(tǒng)方法的估值效果。支持向量回歸后新的估值精確度明顯優(yōu)于前幾種期權定價方法。王平（2011）將參數方法與非參數方法相結合，基于支持向量回歸和跳躍擴散模型構建新的外匯期權定價模型。

三、結論與啟示

根據國內外的外匯期權及其結構性產品的衍生品資產定價模型綜述可知，定價方法可以分為參數方法、數值法和非參數方法。西方發(fā)達資本市場對期權定價的研究，經過四十多年的不斷完善，已經相當深入，無論在理論上，還是實證上，都取得了大量研究成果。我國學者在外匯期權定價問題上也展開了多方面研究，并取得一些進展。然而，現有研究并非已經完美，還存在著諸多不盡人意的地方?？偟目?，現有研究主要存在以下方面不足：（1）外匯期權定價的研究主要集中在參數方法上。近幾年來，現有研究基本上都是把所有約束條件放在一起同時考慮，然后給出一個最終定價結果。期權定價條件越來越多，使用的偏微分方法的越來越復雜，這些方法需要較為高級的數學知識，分析建模并不容易，顯然難以被中國投資者群體普遍接受。另一方面是應用各種數值法如有限差分法和有限元法等進行求解外匯期權，在信息瞬息萬變的當前時代，其計算效率尚需進一步提高。（2）非參數期權定價方法具有較強的自適應性，在數據處理過程中能快速對結構性轉變做出反應。非參數方法在定價衍生證券時非常靈活，計算簡單，估值精確度較高，近年來非參數法的期權定價方法在理論界備受青睞。但是很多非參數期權定價方法需要大量標的資產的歷史數據，忽略了資產價格里許多有價值的信息（Walker和Haley， 2009）。無論參數方法還是非參數方法，都存在著各自的優(yōu)勢與劣勢。如果將參數方法與非參數方法結合，不失為一種有效的途徑。Vapnik（1995）在統(tǒng)計學習理論基礎上提出的支持向量機（SVM）是繼神經網絡之后機器學習理論研究的又一熱點。由于匯率的跳躍擴散過程較為明顯，本文嘗試建立跳躍擴散下外匯期權定價的支持向量回歸模型，根據匯率波動特點，選擇合適的波動模型估計匯率波動率，結合參數方法與非參數方法各自優(yōu)勢，提高外匯期權估價的準確度。（3）蒙特卡羅模擬等數值方法廣泛應用于結構性產品的定價，但定價效率不高?，F有蒙特卡羅模擬方法圍繞完善與發(fā)展模擬估計誤差減少技術和擴大蒙特卡羅模擬的應用范圍兩個方向改進。實際上，蒙特卡羅模擬法的定價效率不高可能與資產未來價格模擬的趨勢與實際價格差別太大有關。如何資產未來價格模擬與現實資產價格波動更接近，定價準確度會有所提高。

*本文受上海高校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計劃資助項目（項目編號：1-11-36-shlx012-01）及上海市教委重點學科“會計學”（項目編號：J51701）資助

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