導(dǎo)語：如何才能寫好一篇藝術(shù)學(xué)概念，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 概念教學(xué) 變式 課堂練習(xí) 概括能力

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強概念教學(xué)是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是理解數(shù)學(xué)知識的前提，是學(xué)好定理、公式、法則和數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)，同時也是提高解題能力的關(guān)鍵。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是非常重要的一個內(nèi)容，教會學(xué)生正確地理解、判斷概念就顯得非常重要。

一、創(chuàng)設(shè)情境，注意概念的引入

要成功地上好一堂新概念課，教師的注意力應(yīng)集中到創(chuàng)設(shè)情景、設(shè)計問題上，讓學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的問題情景中，學(xué)會觀察、分析、揭示和概括，教師要則為學(xué)生思考、探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新提供盡可能大的自由空間，幫助學(xué)生去體會概念的形成、發(fā)展和概括的過程。此外，概念的引入也是非常重要的內(nèi)容。從平常的教學(xué)實際來看，對概念課的教學(xué)產(chǎn)生干擾的一個不可忽視的因素是心理抑制。教師方面，會因為概念單調(diào)枯燥而教得死板乏味；而學(xué)生方面，又因為不了解概念產(chǎn)生的背景及作用，缺乏接受新概念的心理準(zhǔn)備而產(chǎn)生對新概念的心理抑制。要解決師生對概念課的心理抑制問題，可加強概念的引入，幫助學(xué)生弄清概念產(chǎn)生的背景及解決的方法。由于形成準(zhǔn)確概念的先決條件是使學(xué)生獲得十分豐富和符合實際的感性材料，通過對感性材料的抽象、概括，來揭示概念所反映的本質(zhì)屬性。因此在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生密切聯(lián)系數(shù)學(xué)概念在現(xiàn)實世界中的實際模型，通過對實物、模型的觀察，對圖形的大小關(guān)系、位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的比較分析，在具有充分感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上引入概念。

二、重點培養(yǎng)學(xué)生的概括能力

在學(xué)生的概念學(xué)習(xí)中，要重點培養(yǎng)學(xué)生的概括能力。概括是形成和掌握概念的直接前提。學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用知識的過程就是一個概括過程，遷移的實質(zhì)就是概括。概括又是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)，因為如果沒有概括，學(xué)生就不可能掌握概念，從而由概念所引申的定義、定理、法則、公式等就無法被學(xué)生掌握；沒有概括，就無法進(jìn)行邏輯推理，思維的深刻性和批評性也就無從談起；沒有概括，就不可能產(chǎn)生靈活的遷移，思維的靈活性與創(chuàng)造性也就無從談起；沒有概括，就不能實現(xiàn)思維的“縮減”或“濃縮”，思維的敏捷性也就無從體現(xiàn)。學(xué)生掌握概念，只接受他們的概括水平的制約，要實現(xiàn)概括，學(xué)生必須能對相應(yīng)的一類具體事例的各種屬性進(jìn)行分化，再經(jīng)過分析、綜合、比較而抽象出共同的、本質(zhì)的屬性或特征，然后再概括起來；在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)行類化，即把概括而得到的本質(zhì)屬性推廣到同類事物中去，這既是一個概念的運用過程，又是一個在更高層次上的抽象概括過程；然后，還要把新獲得的概念納入到概念系統(tǒng)中去，即要建立起新概念與已掌握的相關(guān)概念之間的聯(lián)系，這是概括的高級階段。從上所述可知，對概念的具體例證進(jìn)行分化是概括的前提，而把概念類化，使新概念納入到概念系統(tǒng)中去，又成為概念學(xué)習(xí)深化的重要步驟，因此，教師應(yīng)該把教會學(xué)生對具體例證進(jìn)行分化和類化當(dāng)成概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，使學(xué)生掌握分化和類化的技能技巧，從而逐漸學(xué)會自己分析材料、比較屬性，并概括出本質(zhì)屬性，以逐步培養(yǎng)起概括能力。另外，數(shù)學(xué)概括能力中，很重要的是發(fā)現(xiàn)關(guān)系的能力，即發(fā)現(xiàn)概念的具體事例中各種屬性之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)概念之間關(guān)系的能力。

三、運用變式，尋求概念的本質(zhì)

變式是變更對象的非本質(zhì)屬性的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質(zhì)屬性，突出那些隱蔽的本質(zhì)要素，一句話，變式是指事物的肯定例證在無關(guān)特征方面的變化，讓學(xué)生在變式中思維，可以使學(xué)生更好地掌握事物的本質(zhì)和規(guī)律。

變式是概念由具體向抽象過渡的過程中，為排除一些由具體對象本身的非本質(zhì)屬性帶來的干擾而提出來的。一旦變更具體對象，那么與具體對象緊密相聯(lián)的那些非本質(zhì)屬性就消失了，而本質(zhì)屬性就顯露出來。數(shù)學(xué)概念就是通過對變式進(jìn)行比較，舍棄非本質(zhì)屬性并抽象出本質(zhì)屬性而建立起來的。值得注意的是，變式不僅可以在概念形成過程中使用，也可以在概念的應(yīng)用中使用。因此，我們既可以變更概念的非本質(zhì)屬性，也可以變換問題的條件和結(jié)論；既可以轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容，也可以配置實際應(yīng)用的各種環(huán)境?？傊褪且谧兓星蟛蛔?，萬變不離其宗。這里，變的是事物的物理性質(zhì)、空間表現(xiàn)形式，不變的是事物在數(shù)或形方面的本質(zhì)屬性。變化的目的是為了使學(xué)生有機會親自經(jīng)歷概念的概括過程，使學(xué)生所掌握的概念更加精確、穩(wěn)定和易于遷移，避免把非本質(zhì)屬性當(dāng)成本質(zhì)屬性。

變式的運用要注意為教學(xué)目的服務(wù)。數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系性是變式的依據(jù)，即利用知識的相互聯(lián)系，可以有系統(tǒng)地獲得概念的各種變式。另外，變式的運用要掌握好時機，只有在學(xué)生對概念有了初步理解，而這種理解又需要進(jìn)一步深化的時候運用變式，才能收到好的效果；否則，如果在學(xué)生沒有對概念建立初步理解時就運用變式，將會使學(xué)生不能理解變式的目的，變式的復(fù)雜性會干擾學(xué)生的概念理解思路，先入為主而導(dǎo)致理解上的混亂。

四、精心設(shè)置課堂練習(xí)，通過反復(fù)練習(xí)掌握概念

精心設(shè)計課堂練習(xí)，再次給學(xué)生提供探究的機會。學(xué)生對新概念的掌握不是一次能完成的，需要由“具體抽象具體抽象”的多次實踐。因此，在教學(xué)中，教師要針對概念的學(xué)習(xí)，設(shè)計有助于學(xué)生更好地理解、運用概念的題目，讓學(xué)生在多次的課堂、課外實踐的基礎(chǔ)上理解和掌握有關(guān)概念。

篇2

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué) 概念教學(xué) 引入教學(xué) 理解與記憶 鞏固與運用

1.新概念的引入教學(xué)

學(xué)生接受新概念有一個循序漸進(jìn)的過程，要具有形象直觀的感受。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引入新概念的途徑是：第一，用實際事例或?qū)嵨?、模型進(jìn)行介紹，使學(xué)生對研究對象的認(rèn)識由感性到理性，逐步認(rèn)識它的本質(zhì)屬性，建立起新的概念。例如在教學(xué)“棱柱、棱錐、圓柱、圓錐”的概念時，先讓學(xué)生觀察有關(guān)的實物、圖示、模型，在具有充分的感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上再引入概念。第二，從數(shù)學(xué)內(nèi)在需要引入概念是一種有效方法。例如一個數(shù)的平方為負(fù)數(shù)，從而引入了虛數(shù)，然后對虛數(shù)單位進(jìn)行性質(zhì)的研究，進(jìn)行簡單的運算，由此引入復(fù)數(shù)。第三，由舊概念的引申或變形引導(dǎo)出新概念。如向量的模、復(fù)數(shù)的模與兩點間的距離公式、向量的方向、復(fù)數(shù)的幅角與直線的傾斜角等一些列關(guān)聯(lián)概念。

2.新概念的理解與記憶

數(shù)學(xué)中的新概念教學(xué)必須對概念進(jìn)行仔細(xì)分析，講清數(shù)學(xué)概念之內(nèi)涵和外延，溝通知識的內(nèi)在聯(lián)系。在講解新概念前，先給出預(yù)習(xí)題，使學(xué)生了解以下幾個方面的問題：這個概念討論的對象是什么？概念中有哪些規(guī)定和條件？與其他概念比較有無容易混淆的地方？它們與過去學(xué)過的知識有什么聯(lián)系？這些規(guī)定和條件的確切含義是什么？應(yīng)當(dāng)如何理解這些區(qū)別？根據(jù)概念中的條件和規(guī)定，能否歸納出哪些基本性質(zhì)？各個性質(zhì)又分別由概念中的哪些因素決定？這些性質(zhì)在應(yīng)用中有什么作用？能否派生出一些重要的數(shù)學(xué)思想方法？例如，關(guān)于“角”的概念的深化與系統(tǒng)化，首先羅列出“平面角”、“異面直線所成的角”、“直線與平面所成的角”、“二面角”、“二面角的平面角”各種定義，進(jìn)行對比。然后對“角”的概念形成一個良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步認(rèn)識到空間“異面直線所成的角”、“直線與平面所成的角”、“二面角”都是在“平面角”概念的基礎(chǔ)上發(fā)展和推廣的；反之，這些空間的角都又是轉(zhuǎn)化為“平面角”來表示的，只有“二面角”是通過“二面角的平面角”來表示。概念講完后，教師要及時地運用各種手段使學(xué)生加深對概念的理解。例如，可以讓學(xué)生復(fù)述定義；也可以舉一些相關(guān)的例子使學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵和外延；還可以同一些相關(guān)概念進(jìn)行比較，以找出它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了一定數(shù)量的概念后應(yīng)幫助他們溝通概念間的內(nèi)在聯(lián)系，充分揭示知識發(fā)展的脈絡(luò)，把所學(xué)的知識加深鞏固，并能從數(shù)學(xué)思想方法的深度去認(rèn)識它。可用一些三字訣、四字訣等習(xí)慣術(shù)語幫助記憶，如三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，“奇變偶不變，符號看象限”，使學(xué)生正確理解并能正確運用數(shù)學(xué)概念的名稱和符號，從而啟發(fā)學(xué)生理解和掌握所學(xué)概念。

概念課教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)概念數(shù)學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實際，提供機會，創(chuàng)造情景，善于提出問題，啟發(fā)學(xué)生積極、主動思考，逐步培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、自主學(xué)習(xí)的能力，引導(dǎo)學(xué)法、培養(yǎng)習(xí)慣。正像波利亞所說：教師講了什么并非不重要，但更重要千萬倍的是學(xué)生想了些什么，學(xué)生的思路應(yīng)該在學(xué)生自己的頭腦中產(chǎn)生，教師的作用在于“系統(tǒng)地給學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物的機會”。如，學(xué)習(xí)等比數(shù)列時，可設(shè)計啟發(fā)性思考題，啟動學(xué)生自主的觀察、歸納、概括出等比數(shù)列的概念，并把類比的數(shù)學(xué)思想落到實處，一一引導(dǎo)學(xué)生對等差數(shù)列、等比數(shù)列進(jìn)行概念類比、內(nèi)涵對比、外延類比、函數(shù)公式的結(jié)構(gòu)類比、概念應(yīng)用中的解法類比等，使學(xué)生在類比和自主探索中學(xué)習(xí)、理解、掌握等比數(shù)列及相關(guān)概念。所以在概念教學(xué)中，可以引用各種數(shù)學(xué)思維方式來理解數(shù)學(xué)概念，這樣不僅能提高對數(shù)學(xué)概念的記憶，而且能強化數(shù)學(xué)思維模式，使學(xué)生真正從數(shù)學(xué)的角度來理解數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)的整個體系來記憶數(shù)學(xué)概念。

教師要突出要素記憶，如“數(shù)軸”的三要素：原點、正方向、單位長度。又如函數(shù)概念的二要素：定義域與對應(yīng)法則，最簡根式的三要素：根指數(shù)與被開方式乘方指數(shù)互質(zhì)、根指數(shù)小于被開方式中每一個因式的次數(shù)、被開方式不含分母（或分母為1）；同類根式的二要素：根指數(shù)相同，被開方式相同等等。突出概念的要素，即突出了概念的本質(zhì)特征，為應(yīng)有概念創(chuàng)造了條件。如判斷兩個不同解析式表達(dá)的函數(shù)是否為同一個函數(shù)，學(xué)生就可以先比較定義域，若定義域不同，肯定不是同一個函數(shù)，若定義域相同，再進(jìn)一步查對應(yīng)法則，只有對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)。數(shù)形結(jié)合法對理解、掌握及運用這一抽象概念至關(guān)重要。如實數(shù)絕對值與復(fù)數(shù)絕對值概念的教學(xué)，除講清定義本身，還一定要把各自的幾何意義結(jié)合起來學(xué)習(xí)，如此學(xué)生方能更好地把握這兩個概念的本質(zhì)特性，同時，如果能將二者的幾何意義一般化，就能為應(yīng)用絕對值概念解題創(chuàng)造條件。對于易混淆或相關(guān)的概念用對比法能更好地揭示概念的特性。如排列與組合、指數(shù)與對數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)等概念教學(xué)時，用對比法可收到好的效果。排列與組合是兩個完全不同的概念。前者與元素順序有關(guān)，而后者則無關(guān)，因此，應(yīng)用場合也就不同了。

3.新概念的鞏固與運用

篇3

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)重視和加強數(shù)學(xué)概念的教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的過程,獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念,體驗成功的喜悅,從而真正達(dá)到理解并融會貫通的目的,以切實提高教與學(xué)的效率。

一、生動恰當(dāng)?shù)囊敫拍?/p>

每當(dāng)學(xué)生用一個新的概念時,教師都應(yīng)讓其感到有必要學(xué)習(xí)這個概念,從而使他全身心地投入到下面的學(xué)習(xí)中去。要做到這一點有時并非輕而易舉,而是要費一番周折的。因此,合理地“引入”就顯得尤為重要。

1.以史為引。

在講授新概念時,教師結(jié)合課題內(nèi)容,適當(dāng)引入數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)典故或數(shù)學(xué)家的故事,往往能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、熱情。如講“無理數(shù)”時,教師可由無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)者希伯索斯捍衛(wèi)真理的英勇故事引入等。

2.以舊帶新。

在數(shù)學(xué)中有很多概念和以往學(xué)習(xí)的舊概念有密切的聯(lián)系。因此,在學(xué)習(xí)這些概念時,教師可在復(fù)習(xí)舊概念的基礎(chǔ)上類比引入新概念。如在講“一元二次方程”概念時,教師可先復(fù)習(xí)一元一次方程的概念,讓學(xué)生理解什么是“元”和“次”,接著寫出一個一元二次方程如x2+2x-1=0,讓學(xué)生將其與一元一次方程進(jìn)行比較,找出異同,從而得出一元二次方程的概念。這樣既自然,又利于學(xué)生理解、記憶。再如不等式可類比方程引入,分式可類比分?jǐn)?shù)引入,等等。

3.猜想導(dǎo)入。

“數(shù)學(xué)的發(fā)展并非是無可懷疑的真理在數(shù)學(xué)上的單純積累,而是一個充滿了猜想與反駁的過程”。因此,在概念引入時,教師應(yīng)讓學(xué)生依據(jù)已有的材料和知識作出符合一定經(jīng)驗與事實的推測性想像,讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段,以培養(yǎng)學(xué)生敢于猜想的習(xí)慣,形成數(shù)學(xué)直覺,發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

4.從“需要”入手。

有的概念可以從解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要來引入,如“負(fù)數(shù)”概念的教學(xué),教師可以從溫度計上的零下溫度入手,引導(dǎo)學(xué)生感知現(xiàn)實生活中存在比零更小的數(shù),但用以前學(xué)過的數(shù)無法表示出來,產(chǎn)生了思維沖突,從而有必要引入“負(fù)數(shù)”這一比零更小的數(shù)來表示這一部分?jǐn)?shù),導(dǎo)入自然,恰到好處。

5.直觀操作導(dǎo)入。

實踐出真知。手是腦的老師,學(xué)生通過動手操作、實踐,往往可以理解一些難以理解的概念。因此在教學(xué)中,教師可密切聯(lián)系數(shù)學(xué)概念在現(xiàn)實世界中的實際模型,通過對事物、模型的觀察、操作、比較、分析,進(jìn)而自然地引入概念。

二、自主合理地形成概念

從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的心理過程來看,概念的形成大致有概念同化和概念形成兩類。其中概念同化是指學(xué)生以原有知識為基礎(chǔ),教師以定義的方式直接向?qū)W生揭示概念的方式;概念形成是指從大量的具體例子出發(fā),從學(xué)生肯定經(jīng)驗的例證中,以歸納的方式概括出事物的本質(zhì)屬性。

但是,初中生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)還不夠充分,知識經(jīng)驗還很貧乏。顯然,概念同化的方式對其是不適的。所以,初中生掌握概念的典型方式還是概念形成。因此,在具體的教學(xué)中,教師應(yīng)重視概念的形成過程。此環(huán)節(jié)教師絕不能包辦代替,應(yīng)讓學(xué)生積極、主動地參與概念的形成過程。

三、準(zhǔn)確、無誤地理解概念

1.語言表述要準(zhǔn)確。

概念形成之后,教師應(yīng)及時讓學(xué)生用語言表述出來,以加深對概念的印象。語言作為思維的物質(zhì)外殼,教師可從學(xué)生的表述中得到反饋信息,了解、評價學(xué)生的思維結(jié)果。如概括圓的定義時,有的學(xué)生會漏掉“在同一平面內(nèi)”這個條件;講分式的基本性質(zhì)時,有的學(xué)生會了“零除外”這一條件等。教師讓學(xué)生自己把這些概念表述出來,及時發(fā)現(xiàn)問題,并加以糾正,給學(xué)生一個準(zhǔn)確的表象,這樣既能培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力,又能發(fā)展他們的思維能力。

2.揭示概念的外延與內(nèi)涵。

數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是指概念所反映的數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性,反映的是“質(zhì)”的方面,如“由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形”、“兩邊之和大于第三邊”、“內(nèi)角和為180?”等都是“三角形”這一概念的內(nèi)涵。數(shù)學(xué)概念的外延是指數(shù)學(xué)概念所反映的對象的數(shù)量或范圍,反映的是“量”的方面。如銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形是“三角形”這個概念的外延。充分揭示概念的內(nèi)涵和外延有助于學(xué)生加深對概念的理解。

3.加深對表示數(shù)學(xué)概念的符號理解。

數(shù)學(xué)概念本身就較為抽象,加上符號表示,從而更加抽象化,因此教師必須使學(xué)生真正理解符號的含義。如有學(xué)生會將sin(-θ)中的記號sin與(-θ)認(rèn)為是相乘而錯誤地理解為sin(-θ)=-sinθ中左邊的符號是提出來的,所以教師要一開始就幫助學(xué)生正確地理解這些符號的意義,盡量克服學(xué)生發(fā)生類似的錯誤。

四、在靈活運用中鞏固概念

鞏固是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。心理學(xué)原理告訴我們:概念一旦獲得,如不及時鞏固,便會被遺忘。除了正確復(fù)述之外,教師還要引導(dǎo)學(xué)生在靈活運用中發(fā)展鞏固相應(yīng)的概念。

1.嘗試錯誤,鞏固概念。

每一個數(shù)學(xué)概念都有這樣或那樣的限制條件,如果忽略了這些條件就可能導(dǎo)致解題的失誤。因此,學(xué)生鞏固概念時可以允許適當(dāng)“示錯”,以加深印象,從而真正認(rèn)識概念的本質(zhì)。

2.利用變式,鞏固概念。

所謂變式,就是教師使提供給學(xué)生的各種感性材料不斷變換其表現(xiàn)形式,使非本質(zhì)屬性時有時無,而本質(zhì)屬性保持恒在。在幾何教學(xué)中教師常常采用“標(biāo)準(zhǔn)圖形”,學(xué)生就有可能把非本質(zhì)的屬性如圖形的位置、大小等當(dāng)作本質(zhì)屬性,而造成錯誤。恰當(dāng)運用變式,能使學(xué)生的思維不受消極定勢的束縛,實現(xiàn)思維方向的靈活轉(zhuǎn)換。

五、在概念系統(tǒng)中深化概念

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性很強的科學(xué)。布魯納說:“獲得的知識,如果沒有圓滿的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起,那是一種多半會被遺忘的知識。一連串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促得可憐的壽命?！币虼?在每一教學(xué)單元結(jié)束后,教師要及時進(jìn)行概念總結(jié),在總結(jié)時要特別重視同類概念的區(qū)別和聯(lián)系,從不同角度出發(fā),制作較合理的概念系統(tǒng)歸類表。這樣不但可使學(xué)生的知識、概念網(wǎng)絡(luò)化,而且可培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力。

總之,概念教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié),教師在平時的教學(xué)中要加以足夠的重視,并遵循一定的教與學(xué)的規(guī)律,不斷探索、不斷創(chuàng)新,這樣一定能收到意想不到的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn):

[1]全日制九年義務(wù)教育中學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(試驗稿).

篇4

關(guān)鍵詞：思辨數(shù)學(xué)；算法；概率統(tǒng)計；直覺思維

1思辨數(shù)學(xué)詞源詮釋

思辨數(shù)學(xué)一詞是荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（Freudenthal，1905—1990）首先提出的。他在名著《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中舉例詮釋了思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)別：設(shè)有相同數(shù)量的白酒與紅酒各一杯，取一匙白酒倒入紅酒內(nèi)，使之混合，再取同量的一匙混合酒倒入白酒內(nèi)。試問，白酒杯中所含的紅酒比紅酒杯中所含的白酒多，還是正好相反？答案是：兩種含量一樣多。然而解題方法有兩種，一種是根據(jù)其取法操作，列出算式計算...另一種是這樣思考的：設(shè)想每個杯子中的白酒和紅酒是分開的，那么白酒杯中的紅酒正是紅酒杯中所缺少的部分，而它的空缺現(xiàn)在正好被白酒所填補。前一種解法是算法求解，后一種解法是思辨求解]。

顯然，這是兩種思維風(fēng)格迥然不同的解法，解法一是邏輯性的算法求解，屬于算法數(shù)學(xué)；解法二主要是直覺性的思辨求解，屬于思辨數(shù)學(xué)。這里舉例僅僅是為了詮釋概率論中思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)別。我們認(rèn)為，思辨數(shù)學(xué)就是動態(tài)地辯證地把握概念和體味推據(jù)（這里把思辨推理的理論依據(jù)簡稱推據(jù)），憑借對概念的直覺和數(shù)學(xué)美的啟迪（而非邏輯性的推理），產(chǎn)生直觀的解題思路方法或做出合情推理決策。換言之，在直覺領(lǐng)引下，圍繞推據(jù)，換位思考，思維在運動中覓到解題方法的一套數(shù)學(xué)知識體系。

德國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家克萊因（KleinF，1849—1925）指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列的技巧，這些技巧只不過是它微不足道的方面，它們遠(yuǎn)不能代表數(shù)學(xué)，就如同調(diào)配顏色遠(yuǎn)不能當(dāng)作繪畫一樣，技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物?！盵4]克萊因這一論斷，對概率統(tǒng)計教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義，把握思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)分，它能為教學(xué)提供重心，對于貫徹概率統(tǒng)計思想方法為主線的教學(xué)大有裨益。

2概率統(tǒng)計課程中的思辨數(shù)學(xué)內(nèi)涵透析

從思維的邏輯層面透析，概率統(tǒng)計知識內(nèi)容可以分為兩類，大部分是程序性的，有一些則是思辨性的。算法是程序性的，概率統(tǒng)計的演算中充斥著算法；然而，在概率演算題中也會遇到思辨求解問題，雖然這類題數(shù)量不多，但解題思維中頗富有理性精神，有著方法論的教育意義。特別值得一提的是，就產(chǎn)生數(shù)理統(tǒng)計一些重要方法的思想而言，思辨因素起著關(guān)鍵性的作用，從本質(zhì)上講，作為數(shù)理統(tǒng)計核心內(nèi)容的統(tǒng)計推斷也隸屬于思辨數(shù)學(xué)的范疇，即思辨數(shù)學(xué)至少包含思辨求解和思辨推斷兩大模塊?，F(xiàn)分述如下：

2.1思辨求解問題

若對某些概率問題的題設(shè)條件進(jìn)行分析，抓住題目中的關(guān)鍵概念，由對這些概念的直覺和思辨，就能引發(fā)解題的思AXB路和方法。具體說來，吃透問題的條件和結(jié)論，抓住起決定性作用的思辨因素，運用發(fā)散思維或逆向思維，進(jìn)行類比聯(lián)想或換位思考推理，進(jìn)而恰當(dāng)?shù)匾胼o助事件或輔助隨機變量，就會建構(gòu)和洞察到所研究的數(shù)學(xué)對象中蘊涵著的事件之間或隨機變量之間的某種對稱性、對等性或等可能性的關(guān)系。那么，這些事件、事件關(guān)系所遵從的一般的概率法則、統(tǒng)計規(guī)律或一些概率原理等就構(gòu)成解題思維的支點，即推據(jù)；思維一旦受到這些推據(jù)以及數(shù)學(xué)中對稱美的直覺啟發(fā)，就會迅速地做出判斷，尋到簡便的解法，或直接給出答案。

2.2.1最大似然法（以離散型隨機變量為例）

2.2.2最小二乘估計

回歸分析的基本思想是首先根據(jù)樣本組的分布特征以及對問題的思辨認(rèn)識而先驗地選定一個模型類型，然后求出（估計出）模型中相應(yīng)參數(shù)。至于對參數(shù)的估計，一般采用最大似然估計法，具體到回歸分析上叫做最小二乘法。所謂最小二乘法系利用拉格朗日條件極值原理，對所選模型在所給樣本下，保證誤差最小時，求得參數(shù)估計值[6]。說到底它也是一種思辨推斷模式。

2.2.3假設(shè)檢驗

先根據(jù)統(tǒng)計目的對總體提出一個統(tǒng)計假設(shè)0H（也叫原假設(shè)），然后再由一次抽樣的結(jié)果來檢驗這個假設(shè)是否可信，從而做出決策：拒絕還是接受這個假設(shè)。一方面，我們先假定0H是正確的，在此假定下，某事件A出現(xiàn)的概率很小，比如p(A)=0.05；另一方面，進(jìn)行一次試驗，如果事件A出現(xiàn)了，就是說在一次試驗中就居然發(fā)生了小概率事件，那么根據(jù)直覺：“概率很小的事件在一次試驗中一般認(rèn)為是不會發(fā)生的?！保ㄐ「怕适录?，即推據(jù)）我們不能不懷疑作為小概率事件的前提假設(shè)0H的正確性，因而做出拒絕0H的決策；如果進(jìn)行一次試驗，小概率事件沒有出現(xiàn)，則試驗結(jié)果與假設(shè)相符，沒有理由拒絕0H，因而只好接受0H。進(jìn)一步歸結(jié)出假設(shè)檢驗的一般步驟（略），即是算法程序，使概念的直觀具體性有了一個邏輯思維的圖式，如果沒有這些邏輯模式，推理將變得沒有質(zhì)量。從根本上看，假設(shè)檢驗法是以小概率事件原理為推據(jù)的思辨推斷模式。概言之，最大似然估計、最小二乘估計和假設(shè)檢驗本質(zhì)上都是思辨的產(chǎn)物；從思維方法上講，它們是思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)有機的統(tǒng)一體；“思辨”當(dāng)頭，“算法”自然就在其中了。

2.3概率統(tǒng)計中的思辨數(shù)學(xué)之特征分析

2.3.1思辨求解問題與思辨推斷的異同

思辨求解問題的推據(jù)具有確定性和真理性。。然而，思辨推斷的推據(jù)則具有“或然性”，比如最大似然原理中的用詞：“應(yīng)該是”，并非“一定是”；小概率事件原理中的用詞“一般認(rèn)為是不會發(fā)生”，但并非“絕對不會發(fā)生”，可見思辨推斷的結(jié)論則是概率邏輯意義下的必然。比如假設(shè)檢驗就是概率性質(zhì)的反證法。故思辨推斷理屬合情推理。

思辨求解與思辨推斷的共同之處，都是主體基于對概率統(tǒng)計領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識及其結(jié)構(gòu)的透徹了解，基于對整個問題的理解把握以及已有的知識背景，使主體能跨越邏輯的思考而進(jìn)入直念（即數(shù)學(xué)直觀，形象觀念）[3]，想象和直覺判斷，以推據(jù)為準(zhǔn)繩，迅速解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題。

2.3.2思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的比較

由于思辨數(shù)學(xué)一詞是相對于與算法數(shù)學(xué)的概念提出的，下面我們就其兩者進(jìn)行對比分析：

算法數(shù)學(xué)有具體化、程序化和機械化特點，又有抽象性、概括性和精確性；思辨數(shù)學(xué)有抽象化、模式化和直念化特點，又帶有假定性、哲理性和啟示性。

算法有算理，比如概率的公理、定理、性質(zhì)等構(gòu)成概率算法求解的基本算理。算理是算法的理論基礎(chǔ)，算法是算理的具體體現(xiàn)；思辨求解和思辨推斷有推據(jù)，比如對稱性、對等性、等可能性、最大似然原理、小概率事件原理等構(gòu)成概率思辨求解和思辨推斷的推據(jù)。推據(jù)是思辨的理論基礎(chǔ)，思辨求解和思辨推斷是推據(jù)的實際表達(dá)。

與算法相比較，算法求解依據(jù)邏輯思維、邏輯推理，思維是縱向的、條理化的；思辨數(shù)學(xué)則依據(jù)認(rèn)識之直覺，思維是跳躍性的、橫向的和發(fā)散的。思辨求解的推理是非邏輯的；思辨推斷是歸納性質(zhì)的合情推理。

3提出思辨數(shù)學(xué)概念對概率統(tǒng)計教學(xué)具有的要義

關(guān)于思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的這種區(qū)分，在教學(xué)法上具有重要意義。傳統(tǒng)的概率教學(xué)著眼于概率算法求解，重視運算規(guī)則和方法技巧，注重邏輯思維能力培養(yǎng)，忽視或根本不談概率思辨求解，因為許多概率教材的例題與習(xí)題都鮮見思辨求解類的素材；輕視概率統(tǒng)計課程的基本概念教學(xué)，因而造成了概率思想、統(tǒng)計認(rèn)識諸方面知識匱乏和直覺能力的缺失。比如統(tǒng)計推斷是數(shù)理統(tǒng)計的核心，統(tǒng)計推斷是對統(tǒng)計總體的未知數(shù)量特征做出概率形式表達(dá)的推理，鑒于思維上推與證的不同而分別提出了參數(shù)估計與假設(shè)檢驗，由此構(gòu)成統(tǒng)計推斷內(nèi)容的兩面。參數(shù)估計是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對總體參數(shù)所作的“猜想”，而前提是樣本與總體的同分布（即樣本與總體的同質(zhì)性）的假定；假設(shè)檢驗即對總體特征做出的一種假設(shè)，然后根據(jù)樣本信息對這一假設(shè)的支持程度做出描述。前提同樣都是樣本與總體的同分布的假定。從哲學(xué)層面講，它們探討的都是共性與個性的辯證關(guān)系。

從戰(zhàn)略上看，由樣本推斷總體具有歸納性質(zhì)，從戰(zhàn)術(shù)上看，最大似然估計法與假設(shè)檢驗的解題程式中的樣本值nx,x,,x12􀀢又非具體的數(shù)值，因而具有演繹性質(zhì)，所以最大似然估計法和假設(shè)檢驗是歸納與演繹的辯證統(tǒng)一。對于統(tǒng)計推斷內(nèi)容的教法，目前多數(shù)教學(xué)已落入算法化、程式化的俗套，把參數(shù)的最大似然估計和假設(shè)檢驗作為一套處理問題的規(guī)則或算法來教；2003年出版的《Mathematica基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)軟件》一書，把參數(shù)的最大似然估計和假設(shè)檢驗按算法編程由計算機來做[7]，毫無思想。誠然，數(shù)學(xué)教育不應(yīng)該拒絕計算機的滲透，特別是統(tǒng)計推斷問題常會涉及一些煩瑣的數(shù)據(jù)統(tǒng)計和計算，借助于計算機可節(jié)省大量的時間和精力。但是，數(shù)學(xué)方法的內(nèi)核是數(shù)學(xué)思想，由于意識不到統(tǒng)計推斷是思辨數(shù)學(xué)體系，所以容易忽視產(chǎn)生統(tǒng)計推斷方法所依賴的統(tǒng)計推斷思想、策略及其思維活動過程的教學(xué)，以致學(xué)生不能目睹數(shù)學(xué)過程的形象而生動的性質(zhì)，體悟不到統(tǒng)計推斷方法中蘊涵的概率思想，更達(dá)不到思維訓(xùn)練之效。誠然，給學(xué)生一個可仿效的范例，就足以教會一個算法，盡管這樣的教學(xué)，學(xué)生學(xué)會了套用統(tǒng)計推斷的解題步驟，可能會做對若干道數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題，但是對統(tǒng)計推斷的思想實質(zhì)和認(rèn)識機制理解不深。比如，有學(xué)生在用最大似然估計法解題時，先把具體的實測數(shù)據(jù)帶入似然函數(shù)的表達(dá)式，再作取對數(shù)、求導(dǎo)、求極值點的運算；有的學(xué)生在假設(shè)檢驗解題中，在寫到最后一步：“拒絕H0”或“接受H0”時就擱筆了，把“即認(rèn)為...”這句關(guān)鍵的陳述語省略了不寫。不難想到，他們對樣本的二重性以及最大似然法所使用的辯證邏輯思維領(lǐng)悟不透徹；對統(tǒng)計推斷所表達(dá)的非決定論的因果關(guān)系規(guī)律認(rèn)識不到位。一句話，對最大似然估計和假設(shè)檢驗方法的本質(zhì)思想，缺少深層的思考。傳統(tǒng)教學(xué)的結(jié)果只會給學(xué)生留下這樣的印象：數(shù)理統(tǒng)計是裝著一筐子的“算法”。這種只強調(diào)算法與規(guī)則的數(shù)學(xué)課程，正如只強調(diào)語法和拼寫的寫作課程一樣，都是一種本末倒置。

任何一門數(shù)學(xué)學(xué)科都是由概念和技巧支撐的；若能區(qū)別概率統(tǒng)計教材中思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)，區(qū)分或認(rèn)識思辨數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，這就意味著預(yù)先設(shè)定將它們作為思維訓(xùn)練來教，其意義在于強調(diào)思辨因素，強調(diào)概率統(tǒng)計思想方法形成的思維活動的過程，自然也是強調(diào)了以概念為本的課程教學(xué)模式。

3.1凸顯以概率論為基礎(chǔ)的統(tǒng)計思想以深化統(tǒng)計認(rèn)識

毫無疑問，概率論是統(tǒng)計的運載工具，統(tǒng)計思想是統(tǒng)計方法的靈魂。按照思辨數(shù)學(xué)模式講授統(tǒng)計推斷，能夠更好地揭示和表達(dá)統(tǒng)計思想，深化統(tǒng)計認(rèn)識。因為貫徹三段論即：“在某種假定（假設(shè)）...之下，一方面...另一方面...，依推據(jù)則有...”的思辨推斷模式，勢必強調(diào)深刻理解概念和推據(jù)，充分展示換位思考中的思辨原理與辯證思維方法，這就凸顯了以概率論為基礎(chǔ)的統(tǒng)計推斷思想。比如假設(shè)檢驗，如果統(tǒng)計假設(shè)被理解為構(gòu)成概率計算的基礎(chǔ)的話，那么，看來極不可能的某個事件發(fā)生了，那就有悖于常理，于是統(tǒng)計假設(shè)認(rèn)為是小概率的事件的發(fā)生，將是一個反對該假設(shè)的證據(jù)，并且這種概率越小，其證據(jù)越顯得強有力。又由于在統(tǒng)計檢驗的邏輯中，前提與結(jié)論之間的邏輯蘊涵不再是必然的，而是一種概率蘊涵。換句話說，概率解釋中的解釋前提是假說，所以得到的邏輯必然的推論是可能的概率解釋。而在概率解釋中，對個別事實解釋的概率性與統(tǒng)計規(guī)律在每一個別情況下無法實現(xiàn)這一規(guī)律聯(lián)系著，因為統(tǒng)計規(guī)律是大數(shù)定律，它僅在大量觀察或多次試驗中才能出現(xiàn)。因此在統(tǒng)計規(guī)律上所作的關(guān)于個別事實的結(jié)論，只能解釋這一事實的可能性，而不是它的必然性。因此，“接受”中的“納偽”和“拒絕”中的“棄真”這兩類錯誤不可避免的發(fā)生充分說明了這一點。

3.2強調(diào)數(shù)學(xué)思辨對培育直覺能力具有獨特功效

數(shù)學(xué)強調(diào)思辨性。弗賴登塔爾指出：“算法是好的，數(shù)學(xué)中的常規(guī)也是不可避免的?！盵1]誠然，對數(shù)學(xué)來說算法具有極大的重要性，代數(shù)、微積分、概率中都有算法。當(dāng)前教學(xué)的強烈趨勢就是盛行算法化[1]。將一個領(lǐng)域算法化是更容易超越該領(lǐng)域的一種方式[1]。然而，現(xiàn)代數(shù)學(xué)之不同于古老數(shù)學(xué)，在于它強調(diào)的是思辨的因素而不是算法[1]。最引人注目的新生事物，也就是引起現(xiàn)代化過程發(fā)生的事物——集合論、抽象代數(shù)、分析學(xué)、拓?fù)洹际撬急娴漠a(chǎn)物。它們是沖破算法的僵化的外殼噴射而出的[1]。同時弗賴登塔爾還指出：算法數(shù)學(xué)與思辨數(shù)學(xué)的關(guān)系是辯證的，不能把它們看作是新與舊、高與低的對立。從培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的層面看，算法數(shù)學(xué)與思辨數(shù)學(xué)好比“算術(shù)和幾何正是作為互相的直接對立面在智力上發(fā)展起來的，但這并不表明因為喜歡其中一個就應(yīng)該把另一個貶低。相反，教學(xué)應(yīng)該將這種發(fā)展繼續(xù)下去”[8]，教學(xué)應(yīng)該像重視算法數(shù)學(xué)一樣重視思辨數(shù)學(xué)，但問題在于目前的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀，人們有些重算法而輕思辨的傾向。概率統(tǒng)計的思辨求解和思辨推斷解決問題的重要策略和特點是：對具體問題作具體分析，以已有知識和經(jīng)驗為背景，在直覺領(lǐng)引下發(fā)掘問題中蘊含著的思辨因素，尋找到推據(jù)或生成推據(jù)，以推據(jù)為支點，憑借直覺展開思辨推算或推斷。其思維方式是直覺的。從心理學(xué)視角看，思辨數(shù)學(xué)是直覺思辨的產(chǎn)物，它是思維對那種隱藏于數(shù)學(xué)對象深層的數(shù)學(xué)事物關(guān)系間的和諧性與規(guī)律性的感受，正是這種感受把知識空間投影和凈化成那幅心智圖像。顯意識和潛意識溝通形成頓悟，進(jìn)而達(dá)到直覺思維的目標(biāo)。

因此，強調(diào)思辨數(shù)學(xué)，必然注重培育直覺能力。思辨求解不僅能增加和豐富學(xué)生概率解題的方法策略，而且對其直覺思維乃至創(chuàng)新能力的培養(yǎng)大有裨益?？巳R因說過：“在某種意義上講，數(shù)學(xué)的進(jìn)展主要歸功于那些以直覺能力著稱的人多于那些以嚴(yán)謹(jǐn)證明著稱的人?！?/p>

3.3透過思辨求解法感悟數(shù)學(xué)方法的奇異美

思辨求解法的產(chǎn)生離不開直覺，數(shù)學(xué)直覺本質(zhì)上就是“美的意識或美感”。美的意識力或鑒賞能力越強，發(fā)現(xiàn)和辨認(rèn)隱蔽的和諧關(guān)系的直覺能力也就越強。數(shù)學(xué)審美意識是產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺、爆發(fā)數(shù)學(xué)靈感的“刺激素”。

思辨求解法的思想性強，其方法直觀，運算簡捷，甚至用不著計算就能直接獲得答案。從思辨求解法產(chǎn)生的心理機制來看，其思維空間是動態(tài)的；每一個具體的思辨性解法，無不聯(lián)系著主體解題的思維運作：數(shù)形結(jié)合，動靜聯(lián)想，等價語意轉(zhuǎn)換，整體性把握思考，以及受到數(shù)學(xué)美的啟迪等。它把數(shù)學(xué)表達(dá)式的對稱美、數(shù)學(xué)關(guān)系的和諧美、數(shù)學(xué)方法的簡潔美、數(shù)學(xué)思想的思辨美發(fā)揮的淋漓盡致。奇妙的解法閃爍著智慧之光，常給人以精神上的愉悅和滿足。

“奇異性與思辨性是密切相關(guān)的，奇異性的結(jié)果會導(dǎo)致數(shù)學(xué)的新進(jìn)展，而思辨能引起人們的思索，調(diào)動人們的想象，幫助人們對未知事物作深入地理解、把握和預(yù)見，促使人們?nèi)プ非髷?shù)學(xué)中內(nèi)在旋律?！奔醋非髷?shù)學(xué)美的旋律。

［參考文獻(xiàn)］

[1]弗賴登塔爾。作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M]。陳昌平，唐瑞芬譯。上海：上海教育出版社，1995。

[2]KennethHR。初等數(shù)論及其應(yīng)用[M]。夏鴻剛譯。北京：機械工業(yè)出版社，2009。

[3]張奠宙，戴再平，唐瑞芬，等。數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引[M]。南京：江蘇教育出版社，1998。

[4]劉培杰。數(shù)學(xué)奧林匹克與數(shù)學(xué)文化[M]。哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2008。

[5]藺云。用隨機方法證明一類組合恒等式[J]。高等數(shù)學(xué)研究，2003，（2）：32。

[6]高隆昌。數(shù)學(xué)及其應(yīng)用[M]。北京：高等教育出版社，2001。

[7]陽明盛，林建華。Mathematica基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)軟件[M]。大連：大連理工大學(xué)出版社，2003。

[8]弗賴登塔爾。數(shù)學(xué)教育再探：在中國的講學(xué)[M]。劉意竹，楊剛譯。上海：上海教育出版社，1999。

篇5

一、注重利用生活實例引入概念

概念屬于理性認(rèn)識，它的形成依賴于感性認(rèn)識，學(xué)生的心理特點是容易理解和接受具體的感性認(rèn)識。教學(xué)過程中，各種形式的直觀教學(xué)是提供豐富、正確的感性認(rèn)識的主要途徑。所以在講述新概念時，從引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析有關(guān)具體實物人手，比較容易揭示概念的本質(zhì)和特征。例如，在講解“梯形”的概念時，教師可結(jié)合學(xué)生的生活實際，引入梯形的典型實例（如梯子、堤壩的橫截面等），再畫出梯形的標(biāo)準(zhǔn)圖形，讓學(xué)生獲得梯形的感性知識。再如，講“數(shù)軸”的概念時，教師可模仿秤桿上用點表示物體的重量。秤桿具有三個要素：①度量的起點;②度量的單位;③明確的增減方向，這樣以實物啟發(fā)人們用直線上的點表示數(shù)，從而引出了數(shù)軸的概念。這種形象的講述符合認(rèn)識規(guī)律，學(xué)生容易理解，給學(xué)生留下的印象也比較深刻。

二、注重概念的形成過程

許多數(shù)學(xué)概念都是從現(xiàn)實生活中抽象出來的。講清它們的來源，既會讓學(xué)生感到不抽象，而且有利于形成生動活潑的學(xué)習(xí)氛圍。一般說來，概念的形成過程包括：引入概念的必要性，對一些感性材料的認(rèn)識、分析、抽象和概括，注重概念形成過程，符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律。在教學(xué)過程中，如果忽視概念的形成過程，把形成概念的生動過程變?yōu)楹唵蔚摹皸l文加例題”，就不利于學(xué)生對概念的理解。因此，注重概念的形成過程，可以完整地、本質(zhì)地、內(nèi)在地揭示概念的本質(zhì)屬性，使學(xué)生對理解概念具備思想基礎(chǔ)，同時也能培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的思維方法。例如，負(fù)數(shù)概念的建立，展現(xiàn)知識的形成過程如下：①讓學(xué)生總結(jié)小學(xué)學(xué)過的數(shù)，表示物體的個數(shù)用自然數(shù)1，2，3…表示;一個物體也沒有，就用自然數(shù)0表示：測量和計算有時不能得到整數(shù)的結(jié)果，這就用分?jǐn)?shù)。②觀察兩個溫度計，零上3度：記作+3°，零下3度：記作-3°，這里出現(xiàn)了一種新的數(shù)――負(fù)數(shù)。③讓學(xué)生說出所給問題的意義，讓學(xué)生觀察所給問題有何特征。④引導(dǎo)學(xué)生抽象概括正、負(fù)數(shù)的概念。

三、注重剖析，揭示概念的本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，要使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念有透徹清晰的理解，教師首先要深入剖析概念的實質(zhì)，幫助學(xué)生弄清一個概念的內(nèi)涵與外延。也就是從質(zhì)和量兩個方面來明確概念所反映的對象。如，掌握垂線的概念包括三個方面：①了解引進(jìn)垂線的背景：兩條相交直線構(gòu)成的四個角中，有一個是直角時，其余三個也是直角，這反映了概念的內(nèi)涵。②知道兩條直線互相垂直是兩條直線相交的一個重要的特殊情形，這反映了概念的外延。③會利用兩條直線互相垂直的定義進(jìn)行推理，知道定義具有判定和性質(zhì)兩方面的功能。

四、注重通過比較鞏固對概念的理解

鞏固是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。心理學(xué)原理認(rèn)為：概念一旦獲得，如不及時鞏固，就會被遺忘。鞏固概念，首先應(yīng)在初步形成概念后，引導(dǎo)學(xué)生正確復(fù)述。這里絕不是簡單地要求學(xué)生死記硬背，而是讓學(xué)生在復(fù)述過程中把握概念的重點、要點、本質(zhì)特征，同時，應(yīng)注重應(yīng)用概念的變式練習(xí)。恰當(dāng)運用變式，能使思維不受消極定勢的束縛，實現(xiàn)思維方向的靈活轉(zhuǎn)換，使思維呈發(fā)散狀態(tài)。如“有理數(shù)”與“無理數(shù)”的概念教學(xué)中，可舉出如“π與3.14159”為例，通過這樣的訓(xùn)練，能有效地排除外在形式的干擾，對“有理數(shù)”與“無理數(shù)”的理解更加深刻。最后，鞏固時還要通過適當(dāng)?shù)恼蠢颖容^，把所教概念同類似的、相關(guān)的概念比較，分清它們的異同點，并注意適用范圍，小心隱含“陷阱”，幫助學(xué)生從中反省，以激起對知識更為深刻的正面思考，使獲得的概念更加精確、穩(wěn)定和易于遷移。

五、注重應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力

對數(shù)學(xué)概念的深刻理解，是提高學(xué)生解題能力的基礎(chǔ);反之，也只有通過解題，學(xué)生才能加深對概念的認(rèn)識，才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的內(nèi)涵和外延。課本中直接運用概念解題的例子很多，教學(xué)中要充分利用。同時，對學(xué)生在理解方面易出錯誤的概念，要設(shè)計一些有針對性的題目，通過練習(xí)、講評，使學(xué)生對概念的理解更深刻、更透徹。

篇6

關(guān)鍵詞： 小學(xué)數(shù)學(xué) 概念教學(xué) 教學(xué)策略

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教材結(jié)構(gòu)與小學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中最基本的組成因素。在教學(xué)中，我們立足于現(xiàn)實生活的具體現(xiàn)象或事物，以學(xué)生的感性認(rèn)識為出發(fā)點，通過直觀的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生動腦、動口、動手，誘發(fā)學(xué)生敞開思維的“門扉”，使其積極主動地參與到概念的形成過程中，感知和認(rèn)識概念的內(nèi)涵和外延，從而深刻地理解、掌握概念。下面談?wù)勎业囊恍┳龇ā?/p>

一、在操作中學(xué)習(xí)概念

著名心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為：“思維是從動作開始的，切斷了動作和思維之間的聯(lián)系，思維就不能得到發(fā)展?！笨梢妱幼髟谛W(xué)生的思維活動中起著舉足輕重的作用。概念是最基本的思維形式，被稱為思維的細(xì)胞，因此，讓學(xué)生在操作中學(xué)習(xí)概念是符合學(xué)生的認(rèn)知特點的。遵循兒童的這一思維特征，我在教學(xué)一些“起始概念”，以及易混、似是而非的概念時，加強了學(xué)生的操作活動。如：教學(xué)“平行與垂直”時，我讓學(xué)生進(jìn)行如下操作。

1.折一折

讓學(xué)生拿出課前已準(zhǔn)備好的兩張紙。

（1）把一張紙折2次，使折痕互相平行；

（2）把一張紙折2次，使折痕互相垂直。

2.畫一畫

讓學(xué)生拿出三角板和筆，在折好的紙上用三角板沿著折痕把四條線畫出來。

3.量一量

（1）用三角板量一量所畫的兩條平行線之間的寬度，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）用三角板的兩條直角邊分別靠在兩條互相垂直的直線上，頂點靠在交點上，你發(fā)現(xiàn)了什么？

4.說一說

通過剛才的觀察和操作，請同學(xué)們說一說：

（1）怎樣的兩條線是互相平行的直線？

（2）怎樣的兩條線是互相垂直的直線？

在學(xué)生“折一折、畫一畫、量一量、說一說”四位一體下，將“平行與垂直”的概念一氣呵成，相信學(xué)生一定能夠“形成概念”。

二、在實際運用中加深對概念的理解

要使學(xué)生真正理解概念，有效途徑之一就是強化概念的運用。因此，每教完一個新的概念，我都注意從不同的角度、不同的方面安排學(xué)生運用概念解決問題的練習(xí)。

1.“變式”練習(xí)

“變式”是指從不同角度、方面和方式變換事物呈現(xiàn)的形式，以便揭示其本質(zhì)屬性。如，在學(xué)習(xí)了三角形的“高”后，我讓學(xué)生依據(jù)高的定義畫銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的高。這三種不同三角形的“高”有的在三角形內(nèi)，有的卻在三角形外，有的就是三角形的兩條邊。盡管高的位置不同，但每條高都是從角的頂點向?qū)吽鞔咕€的長。學(xué)生在反復(fù)作高的過程中，明白了高的真正含義，提高了自己的作圖技能，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角形的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。

2.加強易混概念間的對比練習(xí)

如果說變式是從材料方面促進(jìn)理解的話，對比則是從方法上促進(jìn)理解。根據(jù)概念與概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，特別是針對學(xué)生對一些易混淆的概念所產(chǎn)生的錯誤，我加強了對比練習(xí)的訓(xùn)練。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了整數(shù)大小的比較之后，知道30>8，407>47，懂得兩個自然數(shù)相比，數(shù)位越多，這個數(shù)就越大。學(xué)生頭腦中形成的這個概念對以后學(xué)習(xí)小數(shù)大小比較產(chǎn)生了一定的副作用。如在比較兩個小數(shù)大小時，有的學(xué)生認(rèn)為0.407>0.47。為了防止錯誤的產(chǎn)生，我在教完小數(shù)大小的比較之后，設(shè)計了如下一組題，供學(xué)生進(jìn)行練習(xí)。

通過以上題組的練習(xí)，學(xué)生明白了比較兩個小數(shù)大小與比較兩個整數(shù)大小的相同之處和不同之處，從而正確掌握了比較任意兩個數(shù)的大小的方法。

3.利用概念進(jìn)行說理的練習(xí)

概念構(gòu)成判斷，判斷又構(gòu)成推理。判斷、推理的正確與否與學(xué)生是否掌握了概念的本質(zhì)屬性有關(guān)。為了使學(xué)生真正掌握每個概念的本質(zhì)屬性，我加強了讓學(xué)生運用概念進(jìn)行說理的練習(xí)。如，在引入方程概念之后，讓學(xué)生判斷下面哪些是方程，哪些不是方程？并說明理由。

通過讓學(xué)生回答，特別是說明理由，培養(yǎng)了學(xué)生運用概念做簡單判斷的能力，而每作一次判斷，概念的本質(zhì)屬性就在腦海里再現(xiàn)一次。這樣多次的說理練習(xí)，使學(xué)生牢牢掌握了概念的內(nèi)涵，為其進(jìn)行判斷和推理鋪好了基石。

三、不斷把新的概念納入原有的概念系統(tǒng)中

為了使所學(xué)過的概念不是單個的、孤立存在的，根據(jù)概念之間的聯(lián)系，每學(xué)完一個新概念，我都注意把新概念納入學(xué)生原有的概念系統(tǒng)中，這樣學(xué)生就能成塊地掌握所學(xué)過的概念，便于貯存、檢索和利用。例如，當(dāng)學(xué)完了梯形的概念以后，我引導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)過的四邊形進(jìn)行歸類，系統(tǒng)整理，使學(xué)過的有關(guān)四邊形形成一個四邊形的概念系統(tǒng)，如下圖：

這樣，學(xué)生就容易記住以上圖形的特征，以及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，對于形成良好的空間觀念是十分有益的。

總之，概念教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，正確理解和掌握數(shù)學(xué)概念是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基石，同時又是培養(yǎng)小學(xué)生基本數(shù)學(xué)能力的前提。數(shù)學(xué)概念往往是以簡練、概括的語句表述的。如果不設(shè)法使這種較抽象的表述，與一定的生動、具體的“模型”建立聯(lián)系，小學(xué)生就難以真正理解它。因此上好概念課尤為重要。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉品一.小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新學(xué)習(xí)探究.山東教育出版社，2000.

篇7

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)概念 教學(xué) 數(shù)學(xué)知識

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基本要素。雖然每一個概念都是從實踐中得到,但在數(shù)學(xué)體系中,概念是法則、性質(zhì)及實際應(yīng)用的根本。而小學(xué)數(shù)學(xué)的概念多是淡化的描述,是不準(zhǔn)確的、不嚴(yán)密的。這也許使教師在開展概念教學(xué)時,沒有足夠重視概念的教學(xué),只抓計算、實際應(yīng)用的教學(xué)。要使小學(xué)生掌握所學(xué)的基礎(chǔ)知識和計算技能,并且能夠?qū)嶋H應(yīng)用,首先要使得學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)概念。因此,概念的教學(xué)應(yīng)該是重中之重。

1.教師要充分分析各種概念

小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念,包括數(shù)的概念、運算的概念、量與計量的概念、幾何形體的概念、比和比例的概念、方程的概念,以及統(tǒng)計初步知識的有關(guān)概念等。這些概念是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要內(nèi)容,它們是互相聯(lián)系著的。如只有明確牢固地掌握數(shù)的概念,才能理解運算概念,而運算概念的掌握,又能促進(jìn)數(shù)的整除性概念的形成。

因此,教師在備課時,要采取多種方式表現(xiàn)各種概念的不同,不要一味地使用一個方法教授各種概念。

2.教師應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生對概念的抽象的感悟

教授數(shù)學(xué)概念時應(yīng)考慮學(xué)生的接受能力。小學(xué)生的思維特點是從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡。一般地說,數(shù)學(xué)概念具有不同程度的抽象水平。在確定教學(xué)某一概念的必要性的前提下還應(yīng)考慮其抽象水平是否適合學(xué)生的思維水平。為此,必須根據(jù)不同的情況采取不同的措施進(jìn)行教學(xué)。這是教學(xué)中時刻要注意的地方。

很多的時候,學(xué)生對某一概念的理解常常顯示出不同的水平,盡管他們都參加同樣的活動如操作、比較、抽象和概括等。有些學(xué)生甚至可能完全沒有理解概念的本質(zhì)特征。這就出現(xiàn)了把握數(shù)學(xué)知識程度不同的學(xué)生,學(xué)得好的學(xué)生,對數(shù)學(xué)概念有著抽象的理解。學(xué)得不好的學(xué)生,沒能對數(shù)學(xué)概念作出抽象的理解。這就要求教師在具體化、形象化概念的同時,時刻注意培養(yǎng)學(xué)生對概念的抽象的理解。讓學(xué)得好的學(xué)生,更好發(fā)揮自身的潛力;學(xué)得不好的學(xué)生,在逐步理解概念的本質(zhì)下,掌握數(shù)學(xué)知識。這就是,對數(shù)學(xué)概念有著抽象理解的學(xué)生,更具持久的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

3.教師應(yīng)在練習(xí)中注意學(xué)生對概念的理解

在學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)概念之后,教師往往會進(jìn)一步設(shè)計各種不同形式的概念練習(xí)題,讓學(xué)生綜合運用、靈活思考、達(dá)到鞏固概念的目的,這也是培養(yǎng)檢查學(xué)生判斷能力的一種良好的練習(xí)形式。這種題目靈活、靈巧,能考察多方面的數(shù)學(xué)知識,是近些年來鞏固數(shù)學(xué)概念的一種很好的練習(xí)內(nèi)容。

練習(xí)概念性的習(xí)題,目的在于讓學(xué)生綜合運用、區(qū)分比較,深化理解概念。所安排的練習(xí)題,有一定梯度和層次,按照概念的序,學(xué)生認(rèn)識的序去考慮習(xí)題的序。但在一般的練習(xí)中,教師還應(yīng)該時刻注意分析習(xí)題中所涉及到的概念。例如在學(xué)習(xí)圓的面積后,一位教師就設(shè)計了這樣的問題:“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓面積公式,誰能想辦法算一算,學(xué)校操場上荔枝樹樹干的橫截面面積?”同學(xué)們就討論開了,有的說,算圓面積一定要先知道半徑,只有把樹砍下來才能量出半徑;有的不贊成這樣做,認(rèn)為樹一砍下來就會死掉。這時教師進(jìn)一步引導(dǎo)說:“那么能不能想出不砍樹就能算出橫截面面積的辦法來呢?大家再討論一下?！睂W(xué)生們渴望得到正確的答案,通過積極思考和爭論,終于找到了好辦法,即先量出樹干的周長,再算出半徑,然后應(yīng)用面積公式算出大樹橫截面面積。課后許多學(xué)生還到操場上實際測量了樹干的周長,算出了橫截面面積。我們可以看到,解決問題的關(guān)鍵是兩個概念,一個是圓周長的概念,一個是圓面積的概念。

要想提高教學(xué)質(zhì)量,教師用心講好概念是非常重要的,既是落實雙基的前提,又是使學(xué)生發(fā)展智力、培養(yǎng)能力的關(guān)鍵。但這也僅僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個起步,更重要的是在學(xué)生形成概念之后,要善于為學(xué)生創(chuàng)造條件,使學(xué)生經(jīng)常地運用概念,才能有更大的飛躍。只有學(xué)生會運用所掌握的概念,才能更深刻地理解概念,從而更好地掌握新的數(shù)學(xué)知識。只有這樣,培養(yǎng)能力、發(fā)展智力才會有堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn):

1.趙國防.有效教學(xué)和諧課堂――小學(xué)數(shù)學(xué).光明日報出版社,2008

2.王巍,張玉艷.有效備課――小學(xué)數(shù)學(xué).光明日報出版社,2008

3.趙國防.有效上課――問題 探究 對策.光明日報出版社,2009

4.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論.湖南第一師范學(xué)院網(wǎng)

篇8

一、數(shù)和量

凡是可以測量、計數(shù)、計算的東西，都叫量。例如：一張桌子好看不好看，實用不實用，是不能量，不能數(shù)，也不能算出來的。但是桌子的長短和高低，是可以測量的。這是我們就說：美觀、實用不是量而長短和高底是量。同一類的量是可以比較的。為了準(zhǔn)確的比較，我們就從同類的量中，取定一個度量單位，來度量其他的量的大小，度量的結(jié)果就得到數(shù)。量和數(shù)的區(qū)別還在于對于同一個量，用不同的度量單位來度量時，可以得到不同的數(shù)。例如一張長90cm的桌子，用米兩度量是0.9m，用毫米來度量則是900mm.所以我們在解決實際問題時，必須注明單位才算完整。

0和沒有

無在數(shù)量上可以用0來表示，這源于數(shù)物體個數(shù)的的過程，自然數(shù)是“有”的符號，它是對數(shù)量的肯定；而在實踐中我們也經(jīng)常會遇到一個物體也沒有的情況，這是就用“0”來表示“沒有”，是對數(shù)量的否定。長久以來，人們經(jīng)常用0來表示“沒有”，于是就誤以為0只能用來表示沒有。其實這只是0的意義的一個方面，0還有豐富的內(nèi)容：

1、0是一個獨立的數(shù)字，它是整數(shù)，但不是自然數(shù)，它是唯一一個非負(fù)、非正的中性數(shù)。它小于一

切正數(shù)，大于一切負(fù)數(shù)，是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點。在數(shù)軸上原點“0”比任何正負(fù)數(shù)的點都更為重要，它對應(yīng)于數(shù)軸上的一點，便決定了其他各點的位置。

2、溫度是0℃表示一個特定的溫度，不能說沒有溫度。它表示了水的冰點這樣一個確定的量，就是在

一個大氣壓下，水在這個溫度開始結(jié)冰。

3、在近似計算中，0的作用也很重要。比如1.8和1.80的含義就不同：1.8表示精確到0.1位，而

1.80則是精確到0.01位，因而不能把1.80后面的0理解為可有可無，隨意化去。

4、0的了不起還在于：它在參與計算時，任何一個數(shù)與0相加仍得0；任何數(shù)減0，它的值不變；任

何數(shù)與0相乘，積得0；0除以一個非0的數(shù)，商等于0；此外，0是一個偶數(shù)，是任意自然數(shù)的倍數(shù)，0不能做除數(shù)，因為它作除數(shù)是無意義的或者說得不到確定的商；0的相反數(shù)是0，0的絕對值是0等隨著我們知識的擴充，對“0的認(rèn)識也將更加全面?！表槺阏f明一點：在足球比賽時記分牌上出現(xiàn)的3：0等等，同學(xué)們一定覺得很奇怪，后項是零的比，分母是零的分?jǐn)?shù)，除數(shù)是零的算式都是無意義的，其實它們只是借用數(shù)學(xué)符號的寫法，并列起來加以比較的意思，與數(shù)學(xué)無關(guān)。記分牌上出現(xiàn)的3：0是表示一方得3分，另一方?jīng)]得分，兩者之間相差3分。再如記分牌上8：2則表示一方得8分，另一方得2分.兩者之間相差6分。記分牌上的“幾比幾”不是數(shù)學(xué)中“比的含義，兩者不是倍數(shù)關(guān)系。”如果把記分牌上的8：2按數(shù)學(xué)中“比” 的含義化簡為“4：1”，比賽雙方原來比分相差6分，現(xiàn)在相差3分，贏的一方能同意嗎？ 正負(fù)號與加減號

符號是中學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)的區(qū)別之所在，學(xué)生計算時最容易出錯?！?”和“-”在表示數(shù)的性質(zhì)時叫做正號與負(fù)號，而在表示數(shù)的運算時則叫做加號與減號。舉個例子來說明：（-11）-（-7）+（-9）-（-6）在這個式子中在11，7，9，6前面的（+）和（-），是表示數(shù)的性質(zhì)的，叫性質(zhì)符號，又叫正負(fù)號。在括號之間的“+”和“-”號，是表示數(shù)的運算方法的，叫運算符號，分別叫加號和減號。根據(jù)減法法則可以統(tǒng)一成加法運算：（-11）+（+7）+（-9）+（+6）.這時省略所有的加號可得：-11+7-9+6，此時除第一個數(shù)是性質(zhì)符號外，都轉(zhuǎn)化為運算符號，這種寫法叫代數(shù)和，讀作“負(fù)11，加7，減9，加6，或讀作負(fù)11、+7、-9、+6的和。這個例子說明，在一定的條件下，性質(zhì)符號和運算符號是可以相互轉(zhuǎn)化的。在實際應(yīng)用時，一定注意他們的區(qū)別與聯(lián)系。

乘方和冪

在數(shù)學(xué)課上，老師有時把an讀作“a的n次方”；有時讀作“a的n次冪”。學(xué)生就會搞不明白，為什么同一個符號an會有兩種不同的讀法？

這是因為乘方和冪既是兩個不同的概念，又是兩個有關(guān)聯(lián)的概念。乘方是求相同的因數(shù)的積的運算，是乘法的一種特殊的運算，從運算來考慮，可以把an讀作“a的n次方”；而冪是乘方運算的結(jié)果，那就只能讀作“a的n次方”。這就好像我們學(xué)過的加法、減法、乘法、除法等運算，每一種運算結(jié)果都有一個專門的名稱。加法運算的結(jié)果叫做和，減法運算的結(jié)果叫做差，乘法運算的結(jié)果叫做積，除法運算的結(jié)果叫做商一樣，乘方運算的結(jié)果叫做冪。

篇9

讓我們來做一個游戲，這個游戲曾在中央電視臺演播過，不妨稱為“擺磚游戲”。我們把很多很多磚塊按照“前磚碰倒后磚”的規(guī)格來擺放，從教室擺到操場，再擺到公路上，再擺到香港，再擺到外國……，甚至可以沒完沒了的擺下去。那么，我們只要推倒第一塊磚，就能把所有的磚塊全部推倒。這個游戲有兩個條件：第一，要推倒第一塊磚；第二，磚塊必須按照“前磚碰倒后磚”的規(guī)格來擺放。顯然，這兩個條件缺一不可。如果缺少第一個條件，就會有磚沒有被推倒(至少第一塊磚沒有推倒)。如果缺少第二個條件，“碰倒過程”就會中斷，就會有很多很多磚塊沒有推倒。

從上面的“思維游戲”啟發(fā)我們得出一個處理與自然數(shù)有關(guān)問題的方法：(1)

處理第一個問題(相當(dāng)于推倒第一塊磚)；(2)驗證前一號問題與后一號問題有傳遞關(guān)系(相關(guān)于前磚碰倒后磚)，這時主角亮相了。數(shù)學(xué)歸納法是可靠正確的推理方法。介紹了數(shù)學(xué)歸納法之后，師生共同參與，按以下設(shè)問進(jìn)行教學(xué)：

1．第一步驟是遞推的基礎(chǔ)，第二步驟是遞推的依據(jù)。若二者缺一將會出現(xiàn)什么問題呢?能舉出實例來嗎?

2．完成第一步驟后，在第二步驟中，假設(shè)n=k時的結(jié)論正確，這樣的k值是否存在呢?證明N=K+1時結(jié)論也正確，是否起著“傳遞性”的作用?

3．第二步驟中，如果不使用N=K時結(jié)論正確這個條件，直接證明N=K+1時結(jié)論正確，是否還是數(shù)學(xué)歸納法呢?或者說比數(shù)學(xué)歸納法更好呢?

4．第一步驟中，證明N取第一個值結(jié)論正確，這第一個值從哪里取起呢?

5．第二步驟中，在使用N=K時結(jié)論正確的前提下，可以用哪些方法來突破N=K+I時結(jié)論正確這一關(guān)呢?(如：演繹法、分析法、反證法等)。

6．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是針對n∈N而言的．那么N取非自然數(shù)時，是否也可以呢?

針對學(xué)生在概念的學(xué)習(xí)中容易出現(xiàn)的問題：錯誤理解、認(rèn)識膚淺、似是而非、掌握不牢等現(xiàn)象，教師要精心創(chuàng)設(shè)情景，優(yōu)化教學(xué)手段，以達(dá)到對概念的理解、認(rèn)識到位，對概念的掌握準(zhǔn)確、牢固、靈活之目的。同時，行之有效地培養(yǎng)了學(xué)生思維的批判性和深刻性。

篇10

關(guān)鍵詞：心理學(xué)；數(shù)學(xué)概念；記憶

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

數(shù)學(xué)是由數(shù)學(xué)概念、命題、數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)成的一個完整的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。數(shù)學(xué)概念是建構(gòu)數(shù)學(xué)這一完整結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的基石，也是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和前提。學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解掌握程度是其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容掌握好壞的重要標(biāo)志。如何進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，怎樣才能讓學(xué)生完成對數(shù)學(xué)概念的實質(zhì)性的掌握過程，就成為我們需要認(rèn)真思考的問題。

走進(jìn)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，大多數(shù)教師對數(shù)學(xué)概念的講授都是讓學(xué)生多讀幾遍、背下來，幾分鐘后檢查背誦結(jié)果，這樣的教學(xué)過程與數(shù)學(xué)課堂本身的特點背道而馳，同時也不符合新課程改革的教學(xué)理念。

一、對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識

在心理學(xué)層面上，概念被定義為一種反映事物一般的和本質(zhì)的屬性或聯(lián)系的思維方式，是用來對物體、事件和特性進(jìn)行分組的心理類別。數(shù)學(xué)概念作為數(shù)學(xué)學(xué)科中的特有概念，是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，也可以認(rèn)為數(shù)學(xué)概念其實就是一種數(shù)學(xué)思維方式。大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念是以屬概念加種差的方式定義的。屬概念就相當(dāng)于概念的外延，即對象的“質(zhì)”的特征，而種差則相當(dāng)于概念的內(nèi)涵，即對象的“量”的范圍。另外一少部分?jǐn)?shù)學(xué)概念屬于強制性定義，如整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)、π的值、e的值等。數(shù)學(xué)概念是具體性與抽象性的辯證統(tǒng)一，有些數(shù)學(xué)概念是對真實事物的直接抽象，具有直觀的特點，而有些數(shù)學(xué)概念則凌駕于已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之上，對已有概念進(jìn)行再抽象。

數(shù)學(xué)中有許多的概念是“思維的自由想象和創(chuàng)造的產(chǎn)物”，它們與真實世界的距離是非常遙遠(yuǎn)的。正由于數(shù)學(xué)概念高度抽象的特點，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中，總是忽略對數(shù)學(xué)概念的記憶，認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)科最重要的是邏輯思維，對數(shù)學(xué)概念理解了就行，不需要記憶，卻不知道記憶是最基本的認(rèn)知能力的層次，有記憶才會有思維，有思維才會有想象。如果在數(shù)學(xué)概念掌握不到位的情況下去解題，就如同“無源之水，無本之木”。數(shù)學(xué)概念作為建構(gòu)數(shù)學(xué)大廈的基石，記憶大量的概念是很有必要的，而記憶切忌“死記硬背”，因為即使把概念背下來了，也不可能對其有實質(zhì)性的理解，在實際應(yīng)用過程中也只能生搬硬套，不能靈活運用，所以對數(shù)學(xué)概念一定要在理解的基礎(chǔ)上記憶。

二、從心理學(xué)角度看數(shù)學(xué)概念的記憶

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一少部分強制性定義的數(shù)學(xué)概念是需要學(xué)生機械記憶的，但大部分的數(shù)學(xué)概念都是需要學(xué)生有意義識記的，也就是在理解的基礎(chǔ)上記憶。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為記憶是過去的經(jīng)驗在人腦中的反映――是人腦對感知過的事物、思考過的問題、體驗過的情緒和做過的動作的反映。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，對數(shù)學(xué)概念的記憶遵循編碼―存儲―提取的過程。這三個階段的任何一個階段出現(xiàn)問題都將影響記憶的效果。

記憶的第一階段――編碼，它是信息進(jìn)入記憶系統(tǒng)進(jìn)行存儲的過程。編碼過程中對信息的加工水平直接影響著記憶的程度，編碼是從表層到深層的連續(xù)統(tǒng)一體，加工水平越深，記憶越深刻，記憶效果越好。

以初中數(shù)學(xué)概念“數(shù)軸”為例，規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數(shù)軸。如果只對這個信息進(jìn)行表層加工，需要注意原點、正方向、單位長度和直線四個關(guān)鍵詞，對初中生而言，認(rèn)知負(fù)荷較大而且不易記住。如果對這個信息進(jìn)行中間加工，將數(shù)軸歸為已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的“直線”這一類概念之中，相對于表層加工階段而言，認(rèn)知負(fù)荷減少，記憶效果就會好一些。可如果對這個信息進(jìn)行深層加工，將四個關(guān)鍵詞以符號的形式直觀表現(xiàn)出來（畫一條直線，箭頭指向表示正方向，平分表示單位長度，位置為原點），認(rèn)知負(fù)荷最小且一目了然，數(shù)軸的概念也已了然于心。

記憶的第二階段――存儲，它是指如何保存信息以及在記憶中如何對信息進(jìn)行表征。文章以語義網(wǎng)絡(luò)理論對記憶的存儲進(jìn)行闡述，心理學(xué)家提出編碼后的信息可以被想象成一個代表不同分類或概念節(jié)點的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，新編碼的信息進(jìn)入記憶系統(tǒng)后被安放在這個復(fù)雜語義網(wǎng)絡(luò)中的適當(dāng)位置，新信息會繼續(xù)同周圍網(wǎng)絡(luò)中的相關(guān)節(jié)點逐漸產(chǎn)生聯(lián)系，從而使得網(wǎng)絡(luò)語義系統(tǒng)越來越龐大。

以初中數(shù)學(xué)概念“正比例函數(shù)”為例，在學(xué)習(xí)正比例函數(shù)之前，學(xué)生的記憶系統(tǒng)中已形成了由函數(shù)、一次函數(shù)構(gòu)成的語義網(wǎng)絡(luò)，在學(xué)習(xí)正比例函數(shù)的過程中，只需將正比例函數(shù)的概念放在該語義網(wǎng)絡(luò)中恰當(dāng)?shù)奈恢眉纯伞Ｕ壤瘮?shù)的概念不但被安置在已有語義網(wǎng)絡(luò)恰當(dāng)?shù)奈恢?，還將會與日后學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)、二次函數(shù)等概念產(chǎn)生新的聯(lián)系。這個理論可以很好地解釋死記硬背的缺陷，因為死記硬背下來的數(shù)學(xué)概念不能被很好地納入已有的語義網(wǎng)絡(luò)之中，通常只會是以表層加工而不是深層加工的方式形成短時記憶，不能得到有效的存儲。相反，經(jīng)過精細(xì)的信息加工，將新概念同已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念聯(lián)系起來，就很容易被記憶系統(tǒng)所認(rèn)可并得到存儲。

記憶的第三階段――提取，它是指在記憶系統(tǒng)中進(jìn)行搜索，并找出需要的信息。從記憶系統(tǒng)中提取數(shù)學(xué)概念則體現(xiàn)在解題過程中對數(shù)學(xué)概念的運用上，只有靈活地將數(shù)學(xué)概念運用于解題過程中，對數(shù)學(xué)概念的記憶才有意義。而記憶的提取失敗主要原因是遺忘。著名的心理學(xué)家艾賓浩斯提出記憶的遺忘曲線理論，他認(rèn)為，大部分遺忘發(fā)生在學(xué)習(xí)之后不久的時間里。繼艾賓浩斯之后，許多人用無意義材料和有意義材料以及不同的學(xué)習(xí)形式，對遺忘現(xiàn)象進(jìn)行研究，都證實了艾賓浩斯遺忘曲線的普遍性。因此，對新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念要進(jìn)行及時回顧并應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題過程中。

三、數(shù)學(xué)概念的記憶策略

根據(jù)對數(shù)學(xué)概念記憶的心理^程的探討，筆者提出了以下幾點記憶策略。

1.理解概念，拒絕死記硬背

對新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念要盡可能地進(jìn)行“深層次加工”，充分理解概念的含義并試著用自己理解的數(shù)學(xué)符號來形象地表示數(shù)學(xué)概念，用自己的語言準(zhǔn)確地表述，將新概念內(nèi)化為自己的東西。

2.積極構(gòu)建概念的語義網(wǎng)絡(luò)

盡可能多地將新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念與記憶系統(tǒng)中已有的概念建立聯(lián)系，形成更飽滿的語義網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，既有助于新概念的記憶，又可以在運用過程中很輕松地從記憶系統(tǒng)中提取出來。

3.對新概念進(jìn)行及時復(fù)習(xí)

根據(jù)艾賓浩斯的遺忘曲線可以知道，在學(xué)習(xí)后的短時間內(nèi)，學(xué)習(xí)者會遺忘掉大部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容，所以及時對新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行有效復(fù)習(xí)，將有助于記憶。

數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，在沒有足夠的數(shù)學(xué)概念記憶儲備的狀態(tài)下進(jìn)行數(shù)學(xué)解題，就像是建高樓大廈沒有磚，劃船比賽沒有水一樣無能為力。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，對數(shù)學(xué)概念的記憶是至關(guān)重要的一步。本文從記憶的“編碼”“存儲”和“提取”三個心理學(xué)過程對數(shù)學(xué)概念的記憶進(jìn)行了闡述，并提出了幾點記憶策略，希望對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)提供一定的幫助。

參考文獻(xiàn)：