導(dǎo)語：如何才能寫好一篇線上教學(xué)的定義，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

問題究竟出在何處？當(dāng)我置身于高效課堂這個(gè)改革環(huán)境之中時(shí)，先前的疑慮便豁然開朗了?！安粚W(xué)不教，先學(xué)后教，以學(xué)定教”，這種顛覆性的教學(xué)思想讓我看到了傳統(tǒng)課堂中存在的痼疾：以教師為主體，以講授為中心，很難讓學(xué)生在課堂中真正找到自我，認(rèn)清自我，展示自我，無法脫離被動(dòng)學(xué)習(xí)的痛苦。難怪在熱烈的掌聲中，仍然有人漠不關(guān)心，仍然有人半夢(mèng)半醒。是時(shí)候擺脫這種尷尬的局面了！于是，我踐行了高效課堂教學(xué)模式，希冀在課改的引領(lǐng)下找到新的方向。

在踐行課改的半年時(shí)間里，我驚喜地發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣悄然發(fā)生了變化：課堂秩序井然有序，越來越多的學(xué)生能夠從容地進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，樂于小組討論探究，而且合作意識(shí)越來越強(qiáng)，課堂上經(jīng)常會(huì)聽到讓人耳目一新的觀點(diǎn)，學(xué)習(xí)報(bào)告是學(xué)生自覺地知識(shí)點(diǎn)的整理和查漏補(bǔ)缺，等等，這些都是我當(dāng)初始料未及的。

一、擺脫固執(zhí)，做課堂中的“定心丸”

任何一種理念，執(zhí)行之初，都會(huì)面臨挑戰(zhàn)，而最大的挑戰(zhàn)莫過于“內(nèi)心”的固執(zhí)。對(duì)于習(xí)慣了傳統(tǒng)教法的我而言，突然要從“師”主體的位置退下來，總有些猶豫和疑慮。這個(gè)時(shí)候，決心非常重要。盡管對(duì)理念的認(rèn)識(shí)還不成熟，盡管課堂上呈現(xiàn)了諸多的不盡如人意之處，但是，老師一旦著手進(jìn)行，就要拿出大膽嘗試的勇氣，鎮(zhèn)定自若地按照既定的方案進(jìn)行，不可三心二意。在新的模式中搖擺不定的學(xué)生，看到老師的果決，自會(huì)慢慢放下心中的抵觸情緒，逐漸適應(yīng)新的課堂節(jié)奏。習(xí)慣成自然，老師這顆“定心丸”，會(huì)讓課堂教學(xué)很快渡過課改的“磨合期”，走入新的境界。

二、全力以赴上好自主課

“不學(xué)不教，先學(xué)后教，以學(xué)定教”突出的是學(xué)生的主體地位，讓他們通過獨(dú)立自主地學(xué)習(xí)，解決問題，提升探究能力，培養(yǎng)思維品質(zhì)。而這種理念能夠落實(shí)的關(guān)鍵就是讓學(xué)生獲得自主學(xué)習(xí)的空間，這就是“自主課”的重要性?？梢哉f，自主課是學(xué)生靜心思考，發(fā)現(xiàn)問題，樹立信心，走向精彩展示的關(guān)鍵性一步。實(shí)踐證明，上好自主課，以下兩個(gè)環(huán)節(jié)必不可少。

1.科學(xué)合理的導(dǎo)學(xué)案

學(xué)生在自主課上“學(xué)”什么？個(gè)人以為，我們必須將課改環(huán)境下的“自主”與傳統(tǒng)的“預(yù)習(xí)”區(qū)分開來。簡(jiǎn)言之，“預(yù)習(xí)”更多的是學(xué)生在課前對(duì)知識(shí)的預(yù)先了解，很難落到實(shí)處，甚至漫無邊際；而“自主課”中，學(xué)生要通過自己主動(dòng)有目的、有條理的學(xué)習(xí)，自行解決課題中的大部分問題，如此，“課堂任務(wù)”的確定就至關(guān)重要了。老師課前三言兩語的布置過于籠統(tǒng)，必須有一套重點(diǎn)突出、難易結(jié)合的隨堂任務(wù)作指導(dǎo)，這就是導(dǎo)學(xué)案的魅力。

在課堂實(shí)踐中，我越來越感覺到，導(dǎo)學(xué)案是否合理，將會(huì)直接影響學(xué)生對(duì)課題的研究興趣，影響學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的整合速度、質(zhì)量，以及德育思想的滲透，所以，每次自主課前，我們都會(huì)集中精力，進(jìn)行集體備課，對(duì)導(dǎo)學(xué)案的各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行分析研究，盡最大努力，讓它貼近學(xué)情，切中重難點(diǎn)，便于引導(dǎo)學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，開拓思維。我們現(xiàn)在的語文導(dǎo)學(xué)案是經(jīng)過不斷地修改后確定的模式，包括“學(xué)習(xí)情境”“知識(shí)導(dǎo)學(xué)”“自主預(yù)習(xí)”“問題探究”“課后鞏固”和“美文欣賞”六大部分，從課堂實(shí)踐來開，比較符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也注重了語文課程中的德育思想的滲透，使用起來效果還不錯(cuò)。

2.耐住性子，等待花開

耐得住性子，才能真正撞開學(xué)生的思維之花。于是，現(xiàn)在的自主課上，除非必要，我都會(huì)沉下心來，等待學(xué)生完成自主任務(wù)。我的注意力，從急于給學(xué)生講，變成了在小組間流動(dòng)，及時(shí)糾正學(xué)生自主時(shí)的學(xué)習(xí)狀態(tài)，默默觀察審視學(xué)生的答題思路，根據(jù)學(xué)生探究時(shí)出現(xiàn)的實(shí)際問題，在腦子里快速整合下節(jié)課的展示重點(diǎn)。偶爾因?yàn)閭€(gè)性化的問題，我也會(huì)跟某個(gè)學(xué)生小聲討論幾句，多是會(huì)心一笑之后，師生便各司其責(zé)了。老師耐下心來，學(xué)生學(xué)下去，才會(huì)真正地發(fā)現(xiàn)問題，快速完成課堂任務(wù)。

三、展示課的前奏――小組討論，查漏補(bǔ)缺

理想情況下，我的自主課會(huì)分為兩部分，一是個(gè)人完全獨(dú)立的自主時(shí)間（約30分鐘左右），二是小組成員間針對(duì)導(dǎo)學(xué)案的集中討論（約15分鐘左右）。但有時(shí)因?yàn)闀r(shí)間不夠，我也會(huì)將第二部分放在展示課的開始部分。有些問題，學(xué)生個(gè)人通過獨(dú)立預(yù)習(xí)思考就能夠解決，但是，也會(huì)有一些知識(shí)的盲點(diǎn)，是個(gè)人無法解決的，這時(shí)候，就要發(fā)揮集體的力量了。因?yàn)橛辛饲懊鎮(zhèn)€人的獨(dú)立完成，所以，小組間的討論會(huì)更有針對(duì)性，小組成員總是會(huì)全神貫注，提出不同的見解，導(dǎo)學(xué)案上的探究題，經(jīng)過小組成員的相互質(zhì)疑討論，就會(huì)變得充實(shí)精彩起來。這一階段，老師仍然要在小組間流動(dòng)，細(xì)心聽取不同組中的討論意見，以便最終確定展示任務(wù)，因?yàn)橛辛思?xì)心地調(diào)查，往往老師設(shè)計(jì)的問題會(huì)更加有的放矢。隨著討論的深入，學(xué)生會(huì)的越來越多，自信心也會(huì)膨脹起來，待到討論真正結(jié)束，老師選取重要的探究問題分配任務(wù)，要求各組展示，便是順理成章的事情了。

四、評(píng)價(jià)機(jī)制不可少

篇2

“曲線與方程”這節(jié)課是一節(jié)承上啟下的內(nèi)容，既對(duì)必修2中解析幾何初步學(xué)習(xí)進(jìn)行了延伸，又為后面學(xué)習(xí)圓錐曲線做好了鋪墊。

二、學(xué)情分析

學(xué)生在必修2中已經(jīng)學(xué)過直線和圓的方程，體會(huì)到了解析幾何的基本方法――坐標(biāo)法的好處。但沒有從理論的角度探索曲線與方程的關(guān)系，表現(xiàn)在求解一些軌跡問題或曲線方程的時(shí)候常常出現(xiàn)范圍錯(cuò)誤的現(xiàn)象。

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：曲線的方程和方程的曲線的定義。

難點(diǎn)：運(yùn)用定義驗(yàn)證曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程。

四、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：知道曲線的方程和方程的曲線的定義。給出一些熟悉的曲線的部分圖象后能確定變量的取值范圍。能夠根據(jù)所給的方程畫出相應(yīng)的圖形。

2.過程與方法：讓學(xué)生參與教學(xué)的全過程，通過對(duì)定義的總結(jié)與應(yīng)用，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，讓學(xué)生在民主、和諧的課堂氛圍中，感受學(xué)習(xí)的樂趣，提高學(xué)生的興趣，增強(qiáng)學(xué)生的信心。

五、教學(xué)方法

課堂教學(xué)中堅(jiān)持以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，思維訓(xùn)練為主線，能力培養(yǎng)為主攻的原則。我采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、問題引領(lǐng)等方法。

六、媒體資源選用

采用多媒體輔助教學(xué)，PPT制作課件，利用天宮一號(hào)的視頻來讓學(xué)生初步體會(huì)曲線與方程的關(guān)系。

七、教學(xué)流程

為突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，完成教學(xué)目標(biāo)，我設(shè)計(jì)的教學(xué)流程如下：

首先利用天宮一號(hào)的目標(biāo)飛行器成功發(fā)射的模擬動(dòng)畫，使學(xué)生初步體會(huì)曲線上的點(diǎn)與方程的解是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，同時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

我引導(dǎo)學(xué)生嘗試用自己的語言歸納什么叫曲線的方程，什么叫方程的曲線，在學(xué)生自我歸納的基礎(chǔ)上，教師給出標(biāo)準(zhǔn)的定義將其感性認(rèn)識(shí)理性化。

為了幫助學(xué)生理解定義，我又從集合、充要條件兩個(gè)不同角度進(jìn)行剖析，也為后面解決問題做好了鋪墊。

為了檢測(cè)學(xué)生對(duì)定義的理解和應(yīng)用，在習(xí)題配備上，我采用了二、二、三的結(jié)構(gòu)。

首先給出兩組練習(xí)，并設(shè)置問題。接著設(shè)置兩道例題，讓學(xué)生掌握利用定義判斷及證明方程為曲線的方程。通過師生互動(dòng)完成例題的證明過程，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)定義的理解，培養(yǎng)學(xué)生書面表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)和簡(jiǎn)潔。

最后，讓學(xué)生歸納、總結(jié)出本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，老師作適當(dāng)點(diǎn)撥引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力、表達(dá)能力和自我獲取知識(shí)的能力，并布置課后作業(yè)。

篇3

在初中數(shù)學(xué)中，幾何知識(shí)是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，很多學(xué)生對(duì)幾何內(nèi)容敬而遠(yuǎn)之。筆者分享兩個(gè)幾何問題設(shè)計(jì)的案例。

案例1：已知如圖1，線段AB、CD相交于O，連接AD、CB，請(qǐng)寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

解答：解：在AOD中，∠AOD=180°-∠A-∠D，

在BOC中，∠BOC=180°-∠B -∠C，

∠AOD=∠BOC（對(duì)頂角相等），

180°-∠A -∠D=180°-∠B -∠C，

∠A+∠D=∠B+∠C；

如果把形如圖1的圖形稱之為“對(duì)頂三角形”。那么在這一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形中，筆者循序漸進(jìn)的設(shè)計(jì)了九個(gè)問題，現(xiàn)分享如下：

（1）仔細(xì)觀察，在圖2中“對(duì)頂三角形”有幾個(gè)？

（2）在圖2中，若∠D=46°，∠B=30°，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N，利用原題中的結(jié)論，試求∠P的度數(shù)。

（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（4）如圖3所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=？

（5）如圖4，若∠B=50°，∠D=32°，∠BAM=∠BAD，∠BCM=∠BCD，求∠M的度數(shù)。

（6）如圖5，設(shè)∠B=x°，∠D=y°，∠BAM=∠BAD，∠BCM=∠BCD，用含n、x、y的代數(shù)式表示∠M的度數(shù)。

（7）如圖6，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，∠DAE的平分線和∠BCD的平分線交于點(diǎn)N，求∠ANC度數(shù)。

（8）如圖7，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，∠DAE的平分線和∠DCF的平分線交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫出∠APC 的度數(shù)。

案例2：如圖1，O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB。

（1）若∠ABC=80°，∠ACB=60°，求∠BOC的度數(shù)。

（2）若∠A=40°，求∠BOC的度數(shù)。

（3）若∠A=α，用含α的代數(shù)式表示∠BOC。

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOC的值；

（2）根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù)；

（3）根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出

。

為拓寬、拓深學(xué)生的思維，鞏固所學(xué)知識(shí)，此題可以有如下幾種變式：

變式1：如圖2，若BO，CO分別平分ABC的兩個(gè)外角，試探索∠BOC與∠ABC的數(shù)量關(guān)系。

分析：分別作∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)G，這樣就可以應(yīng)用原題中第三問的結(jié)論了。證明如下：

BG、CG分別平分∠ABC、∠DBC

∠ABC+∠DBC=180°

∠GBO=90°

同理可得∠GCO=90°

∠GBO+∠GCO+∠G+∠O=360°

∠G+∠O=180°

由第三問結(jié)論可知：∠G=90°+（∠A/2）

∠O=180°-（90°+（∠A/2））

=90°-（∠A/2）

變式2：如圖3，若BO，CO分別平分ABC一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角，交于點(diǎn)O，你能探索出∠O與∠A之間的數(shù)量關(guān)系嗎？試試看。

分析：和變式1一樣，可以作∠ACB的平分線與∠ABC的平分線交于點(diǎn)H，也可以利用原題中的結(jié)論了。

將圖1、2、3糅合到一個(gè)圖上，此類題型就得到一個(gè)升華，可以找出∠1、∠2、∠3、∠4之間的相互關(guān)系等題型。

篇4

關(guān)鍵詞：距離空間;不動(dòng)點(diǎn);共軛空間;內(nèi)積空間;弱收斂

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）18-0177-02

泛函分析課程是高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的專業(yè)課程.它內(nèi)容抽象，理論深刻，應(yīng)用廣泛，它的思想、觀念及處理問題的方式也同時(shí)滲透到數(shù)學(xué)科學(xué)的方方面面，對(duì)于提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)，開展理論和應(yīng)用研究有不可替代的作用.本課程由于理論性強(qiáng)，內(nèi)容較抽象，需要的前期準(zhǔn)備知識(shí)較多，在學(xué)生學(xué)習(xí)和老師授課方面都有一定的難度.在教學(xué)過程中，除了注重應(yīng)用，我們也重視了加強(qiáng)基本概念的教學(xué).下面是我們多年教學(xué)的點(diǎn)滴體會(huì).

一、距離空間的有關(guān)概念

數(shù)學(xué)分析的基本概念之一是序列收斂的概念，而收斂又是與距離有關(guān)的.

在距離的定義中，d（x，y）≥0可用三角不等式推出.另外，定義中非負(fù)性、對(duì)稱性、三角不等式等三個(gè)條件等價(jià)于下面兩條：

（1）d（x，y）≥0，d（x，y）=0？圳x=y;

（2）d（x，y）≤d（x，z）+d（y，z）.

在同一個(gè)集合上，可以定義多個(gè)距離，就得到不同的距離空間.例如在R 中，設(shè)p>1是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，可以定義距離d（x，y）= |ζ -η | .由于p的不同值，就有無限多個(gè)不同的距離空間.

應(yīng)用較多的是C[a，b]中的距離：

d（x，y）= |x（t）-y（t）|.

對(duì)于C[a，b]的這個(gè)距離，如果x是所要求的某個(gè)函數(shù)，y是它的一個(gè)近似表達(dá)式，要求d（x，y）<10 ，則是指給出近似表達(dá)式y(tǒng)的數(shù)值與真值x的偏離在任何地方都不超過10 .逼近論中的許多問題都能用這個(gè)距離表示.維爾斯特拉斯證明了閉區(qū)間C[a，b]上的任意連續(xù)函數(shù)都能用多項(xiàng)式作任意逼近，這里的逼近就是用上面定義的距離來度量的.

也應(yīng)該注意到在C[a，b]中，依距離d（x，y）= |x（t）-y（t）|是完備的距離空間，但把它看作L [a，b]的子空間，依距離

d（x，y）= |x（t）-y（t）| dx 卻是不完備的.

二、注意巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理的條件

設(shè)X是完備距離空，T：XX，d（Tx，Ty）≤αd（x，y）（0≤α<1）是壓縮映射，則T在X中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)x ，x =Tx .這就是巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)理.

對(duì)于不動(dòng)點(diǎn)定理，有幾點(diǎn)需要說明：（1）壓縮映射使得X中的任意兩點(diǎn)x，y的像比該兩點(diǎn)自身更接近.此外，壓縮映射是連續(xù)的.（2）X的完備性保證了不動(dòng)點(diǎn)是存在的，至于不動(dòng)點(diǎn)的唯一性是直接從映射的壓縮性來的，并不要假設(shè)空間是完備的.定理中完備性與壓縮性兩個(gè)條件缺一不可.例如考察（0，+∞）到它自身的映射Tx=αx，這里α是小于1的一個(gè)正數(shù)，它顯然是壓縮映射，但是它在（0，+∞）中沒有不動(dòng)點(diǎn).原因就是空間（0，+∞）不完備.（3）條件α不能等于1.例如，設(shè)X={x|1≤x<+∞}，取實(shí)軸上的通常距離，定義映射T：XX為xx+1/x，當(dāng)x≠y時(shí)，|Tx-Ty|<|x-y|，但映射T沒有不動(dòng)點(diǎn)，就是因?yàn)棣恋扔?.

三、理解共軛空間

X上的全體有界線性泛函記為X ，稱X 為X的共軛空間.

有很多物理現(xiàn)象具有這樣的特點(diǎn)，當(dāng)用函數(shù)來描述它們時(shí)，其自變量在極小的范圍內(nèi)取值很大，而在其他范圍內(nèi)取值為零.例如，力學(xué)中瞬間發(fā)生作用力的沖擊力，數(shù)字信號(hào)處理中的抽樣脈沖，直線上的質(zhì)量集中在一點(diǎn)附近時(shí)的密度，電學(xué)中點(diǎn)電荷的密度等.為了刻畫這種物理現(xiàn)象，需要一種抽象的數(shù)學(xué)模型，即需要一種“函數(shù)”，除某點(diǎn)（如原點(diǎn)）外處處為零，在這一點(diǎn)其值等于無窮，而在整個(gè)直線上的積分值為1，這種“函數(shù)”后來被稱為δ函數(shù)，它是由物理學(xué)家狄拉克（Dirac）最先引進(jìn)的，其表示式為：

δ（x）=0，x≠0，∞，x=0，？搖 δ（x）dx=1.

這樣表示的函數(shù)與數(shù)學(xué)命題：若f=0 a.e.，則 f=0矛盾，因此δ函數(shù)的上述表示一直不能被數(shù)學(xué)家接受.數(shù)學(xué)家經(jīng)過長(zhǎng)期的努力，在共軛空間中找到了δ函數(shù)的位置和理論依據(jù).

我們來看一下δ函數(shù)的數(shù)學(xué)定義.

對(duì)C[-1，1]中任意一個(gè)連續(xù)函數(shù)f（t），對(duì)應(yīng)一個(gè)C[-1，1]R的泛函：

f（x）= f（t）x（t）dt.

線性泛函是顯然的，現(xiàn)證其連續(xù)性.

對(duì)任意的x ∈C[-1，1]，有

|f（x）-f（x ）|= f（t）[x（t）-x （t）]dt

≤ |x（t）-x （t）| |f（t）|dt=||x-x || |f（t）|dt.

當(dāng)xx ，即||x-x ||0時(shí)，f（x）f（x ），故f在x 點(diǎn)連續(xù).由x 的任意性得，f在C[-1，1]上連續(xù).考察C[-1，1]中的如下函數(shù)列f ：

f （t）=n-|t|n ， |t|≤1/n，0， |t|>1/n.

當(dāng)t≠0時(shí)， f （t）=0，且 f （t）dt=1.設(shè)想f （t）的極限應(yīng)當(dāng)就是有廣泛應(yīng)用的δ函數(shù)，所以稱f （t）為δ函數(shù)序列.但由于在t=0時(shí)， f （t）不收斂，故不能采用 f （t）來作為δ函數(shù)的數(shù)學(xué)定義.

在C[-1，1]的共軛空間來考察.δ函數(shù)序列f （t）對(duì)應(yīng)于f （x）= f （t）x（t）dt= f （t）x（t）dt

=x（ζ ） （n-|t|n ）dt=x（ζ ），|ζ |<1/n.

當(dāng)n∞時(shí)， f （x）= x（ζ ）=x（0），

即在C[-1，1]的共軛空間中，f （x）的極限函數(shù)（記為δ（x））應(yīng)是C[-1，1]的如下泛函：

δ（x）=x（0），？坌x∈C[-1，1].

這就是δ函數(shù)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義.因此有些事情借助共軛空間可以辦到，而在原空間卻是不可能做到的.

四、內(nèi)積空間的新定義

我們從另一個(gè)角度看內(nèi)積的定義.先看下面的例題.

例 設(shè)x=（ζ ）∈l ，x=（η ）∈l ，則

||x+y|| = ζ +η |

= ζ | + ζ + η + η | ，||x-y|| = ζ -η | = ζ | - ζ - η + η | .

上面兩式相加得到所謂的平行四邊形法則：

||x+y|| +||x-y|| =2||x|| +2||y|| .

五、理解點(diǎn)列的弱收斂

點(diǎn)列的弱收斂是一個(gè)比較難理解的概念.先看一下什么是弱收斂.

設(shè)X是賦范線性空間，x ，x∈X.如果對(duì)任一x ∈X，都有 x （x ）=x （x），則稱x 弱收斂于x，記作x x.

要理解弱收斂的原始意義，我們看Riemann-Lebesgue引理：設(shè)f∈L [0，2π]，則

f（x）cos（nx）dx= f（x）sin（nx）dx=0.

篇5

例1（習(xí)題2．2A組第7題）如圖1，圓Ο的半徑為定長(zhǎng)r，Α是圓Ο內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，Ρ是圓上任意一點(diǎn)。線段ΑΡ的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Ρ在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

例2（習(xí)題2．3A組第5題）如圖2，圓Ο的半徑為定長(zhǎng)r，Α是圓Ο外一個(gè)定點(diǎn)，Ρ是圓上任意一點(diǎn)。線段ΑΡ的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Ρ在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

可以發(fā)現(xiàn)這兩道題目只是一字之差，前一題點(diǎn)Α是圓Ο內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，后一題點(diǎn)Α是圓Ο外一個(gè)定點(diǎn)，解決的方法是連結(jié)點(diǎn)Q和點(diǎn)A，由線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，前一題可以得到|QO|＋|QA|=|OP|(定值)，且大于|OA|。根據(jù)橢圓的定義，可得到點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)以點(diǎn)Ο和點(diǎn)Α為焦點(diǎn)的橢圓。后一題可以得到|QO|－|QA|=|OP|(定值)，且小于|OA|。根據(jù)雙曲線的定義，可得到點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)以點(diǎn)Ο和點(diǎn)Α為焦點(diǎn)的雙曲線。通過教材中這兩道只有一字之差的習(xí)題，筆者有以下兩點(diǎn)思考。

一、重視定義教學(xué)

對(duì)于上面一字之差的兩道習(xí)題，主要考查的是橢圓和雙曲線的定義，但是筆者在教學(xué)和練習(xí)的過程中感覺部分學(xué)生解決起來有一定的難度，這與學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義的理解和掌握方面不夠到位有關(guān)，如何才能抓好圓錐曲線定義的教學(xué)呢？

在定義教學(xué)的過程中，首先，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。要讓學(xué)生從整體上認(rèn)識(shí)三種圓錐曲線的內(nèi)在聯(lián)系，通過與科研、生產(chǎn)以及日常生活的密切關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在學(xué)習(xí)圓錐曲線之前和學(xué)習(xí)的過程中，教師要多講一些相關(guān)的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化,也可以讓學(xué)生自己去搜集相關(guān)資料講給周圍的同學(xué)們聽。

其次，在定義教學(xué)的時(shí)候，始終要抓住動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件，要搞清楚動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何關(guān)系式。一定要讓學(xué)生自己動(dòng)手作圖才行，比如說,通過拉鏈實(shí)驗(yàn)、折紙實(shí)驗(yàn)、借助幾何畫板工具作圖等，讓學(xué)生親歷軌跡的形成過程，這樣有助于對(duì)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)，對(duì)定義的印象會(huì)更深刻更牢固。同時(shí)，對(duì)于動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和（差）是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)大于、等于、小于兩定點(diǎn)間距離時(shí)候，軌跡分別是什么圖形？在拋物線的定義中，若定點(diǎn)F在定直線l上，動(dòng)點(diǎn)的軌跡又是什么圖形？這些問題都要對(duì)學(xué)生作適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，要讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)結(jié)論。

再次，就是正確地使用定義解決問題，比如，教材上就有這樣的習(xí)題：

例3（習(xí)題2．2A組第1題）如果點(diǎn)M(x,y)在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式x2+(y+3)2+x2+(y－3)2=10，點(diǎn)M的軌跡是什么曲線？為什么？寫出它的方程。

例4（習(xí)題2．2B組第2題）一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時(shí)與圓x2+y2－6x－91=0內(nèi)切,，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么曲線。

最后，對(duì)于圓錐曲線的第二定義，是作為發(fā)展要求的（發(fā)展要求是了解橢圓和雙曲線的第二定義），筆者認(rèn)為，可以結(jié)合教材中兩道例題進(jìn)行教學(xué)。

例5（P47例6）點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(4,0)的距離和它到定直線l:x=254的距離的比是常數(shù)45，求點(diǎn)M的軌跡。

例6（P59例5）點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(5,0)的距離和它到定直線l:x=165的距離的比是常數(shù)54，求點(diǎn)M的軌跡。

然后借助信息技術(shù)作圖，去探討教材76頁的圓錐曲線的離心率與統(tǒng)一方程。從特殊到一般，去了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義，進(jìn)一步了解三種曲線的內(nèi)在聯(lián)系，這樣的話，圓錐曲線的第二定義教學(xué)就會(huì)比較到位了。

二、重視教材習(xí)題的教學(xué)

作為教材上的練習(xí)和習(xí)題，是為了鞏固本章節(jié)的定義、概念、公式、性質(zhì)等，幫助學(xué)生理解并掌握相關(guān)內(nèi)容而設(shè)置的。高考題目是“萬變不離其宗”，相當(dāng)比例的題目都是來自對(duì)教材上例題和習(xí)題的改編，進(jìn)行變式引申和拓展而來的。這就要求我們的教師在平時(shí)的教學(xué)中一定要切實(shí)而有效地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好教材上的例題和習(xí)題，使學(xué)生在解題時(shí)知常達(dá)變，舉一反三，真正提高解題能力。

作為教師，我們要對(duì)需要對(duì)教材中的習(xí)題進(jìn)行鉆研，練習(xí)題、習(xí)題和復(fù)習(xí)參考題是如何搭配的？他們之間有何關(guān)系？編者的意圖何在？突出什么？強(qiáng)調(diào)什么？哪些習(xí)題是鞏固知識(shí)形成技能;哪些習(xí)題是教材知識(shí)的補(bǔ)充與深化；哪些習(xí)題是為后面學(xué)習(xí)做好鋪墊；哪些習(xí)題是培養(yǎng)學(xué)生某種能力等。然后才能進(jìn)行更加有效的教學(xué)與指導(dǎo)。

在圓錐曲線與方程這章，教材中有不少題目“長(zhǎng)得很像”，比如P41例3：設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(－5,0),(5,0)，直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是－49,求點(diǎn)M的軌跡方程。

篇6

由于近年來高校擴(kuò)張，學(xué)生人數(shù)劇增，高校大學(xué)英語師資匱乏，語言類教學(xué)所需的小班制教學(xué)無法實(shí)現(xiàn)。再加上四六級(jí)證書與畢業(yè)、就業(yè)掛鉤，導(dǎo)致很多大學(xué)的英語教學(xué)就是應(yīng)試教育，延續(xù)了教師講、學(xué)生聽的傳統(tǒng)教學(xué)方式，教師講語法句法，講知識(shí)點(diǎn)，講四六級(jí)作文的典型模塊，割裂了英語與實(shí)際生活的聯(lián)系，忽略了其工具性，學(xué)生很少有機(jī)會(huì)用英語來表達(dá)自己，故無法在大學(xué)課堂上提高英語的聽說能力。大多數(shù)大學(xué)畢業(yè)生有很高的英語寫作、閱讀水平的同時(shí)，卻無法甚至不敢與外國(guó)人交流。

該文針對(duì)傳統(tǒng)大學(xué)英語教學(xué)中存在的上述弊端，結(jié)合大學(xué)英語教學(xué)發(fā)展的未來走向[1]以及如今網(wǎng)絡(luò)對(duì)教育的影響[2]，提出依托網(wǎng)絡(luò)教學(xué)綜合平臺(tái)，開展混合式教學(xué)。

1 混合式教學(xué)

1.1 混合式教學(xué)定義

所謂混合式教學(xué)，就是要把傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式的優(yōu)勢(shì)和網(wǎng)絡(luò)在線學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì)結(jié)合起來。其中，在線學(xué)習(xí)部分占整個(gè)教學(xué)活動(dòng)的30%～79%。在混合式教學(xué)過程中，既要發(fā)揮教師引導(dǎo)、啟發(fā)、監(jiān)控教學(xué)過程的主導(dǎo)作用，又要充分體現(xiàn)學(xué)生作為學(xué)習(xí)過程主體的主動(dòng)性、積極性與創(chuàng)造性[3]。

1.2 混合式教學(xué)的意義及優(yōu)勢(shì)

在混合式教學(xué)過程中，更強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生作為學(xué)習(xí)過程主體的主動(dòng)性、積極性與創(chuàng)造性，將傳統(tǒng)的傳授知識(shí)的過程轉(zhuǎn)化為師生共同探討研究問題的過程。

另一方面，知識(shí)的學(xué)習(xí)過程主要在線上完成，學(xué)生線上沒有聽明白的視頻內(nèi)容可以根據(jù)需要反復(fù)重播，沒有看明白的課件可以慢慢揣摩，而課堂上的時(shí)間主要用來進(jìn)行師生交流。

簡(jiǎn)而言之，混合式教學(xué)有以下一系列優(yōu)勢(shì)。

發(fā)揮和利用了課堂教學(xué)與在線自主學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì)，形成以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)和以教師為主導(dǎo)的教學(xué)形式。學(xué)生的自主性將得到充分的發(fā)揮，學(xué)生的主體地位也得到進(jìn)一步的加強(qiáng)。

很好地彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)模式在時(shí)間、空間上的限制，充分提高教學(xué)效率，解決多校區(qū)辦學(xué)師資匱乏、師生交流不充分的問題。

利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)綜合平臺(tái)的大數(shù)據(jù)[4]統(tǒng)計(jì)、分析功能，及時(shí)發(fā)現(xiàn)網(wǎng)上教學(xué)過程中有待改進(jìn)的地方，迅速更新、完善本課程的網(wǎng)上教學(xué)資料；及時(shí)查看學(xué)生學(xué)習(xí)過程中遇到的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)或調(diào)整課堂上的教學(xué)互動(dòng)環(huán)節(jié)。

2 大學(xué)英語混合式教師策略

首先，假設(shè)大學(xué)英語為32學(xué)時(shí)，那么，可以安排平臺(tái)上教學(xué)16學(xué)時(shí)，課堂上16學(xué)時(shí)，但是教務(wù)處仍然按照32學(xué)時(shí)給教師計(jì)算課時(shí)。

然后，外語系選派幾名教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富、講課水平較高的教師組成課件制作小組，根據(jù)教學(xué)大綱和教學(xué)材料，制作教學(xué)資源，包括參考課件、電子教案、教學(xué)課件、錄制講課視頻以及查找相關(guān)的擴(kuò)展閱讀或推薦視頻資料等等。每個(gè)代課英語教師在各自的課程平臺(tái)上這些教學(xué)資源，同時(shí)，還要在平臺(tái)上與課程相關(guān)的討論，給學(xué)生答疑，布置及批改作業(yè)等。

學(xué)生每周自己安排時(shí)間上網(wǎng)學(xué)習(xí)教師上傳的各類學(xué)習(xí)材料，積極參與課程討論，完成教師線上的作業(yè)。而大數(shù)據(jù)技術(shù)則會(huì)記錄每個(gè)學(xué)生在平臺(tái)上的學(xué)習(xí)情況。教師通過查閱這些記錄就可以了解每一個(gè)學(xué)生的線上學(xué)習(xí)情況，進(jìn)而針對(duì)有特殊需要的學(xué)生進(jìn)行線上一對(duì)一的聯(lián)系、輔導(dǎo)等。

每周一次的課堂學(xué)習(xí)不再是傳統(tǒng)的填鴨式教學(xué)，這些內(nèi)容已經(jīng)放到了平臺(tái)上由學(xué)生們自主學(xué)習(xí)。代課英語教師圍繞本周的教學(xué)重點(diǎn)，開展課堂專題討論、英語辯論或者演講等各種形式的互動(dòng)，激勵(lì)學(xué)生在課堂上大膽表達(dá)自己，鍛煉口語，改善英語思維能力。同時(shí)，教師根據(jù)學(xué)生的課堂表現(xiàn)給每位學(xué)生記錄平時(shí)課堂成績(jī)。

最后的課程成績(jī)以平時(shí)成績(jī)?yōu)橹?，占總成?jī)的60%。其中線上作業(yè)情況、參與討論情況、閱讀教學(xué)資源情況各占10%，課堂上的表現(xiàn)情況占30%，期末考試占總成績(jī)的40%。

通過這樣的改革，把書本知識(shí)的整個(gè)學(xué)習(xí)過程放到網(wǎng)絡(luò)教學(xué)綜合平臺(tái)上，而把寶貴的課堂時(shí)間用來提高學(xué)生的英語聽、說能力。只要教學(xué)大綱、教學(xué)材料不變，那么平臺(tái)上的各類教學(xué)資源就不需要大幅度變化，所有的教師都可以把教學(xué)精力轉(zhuǎn)移到及時(shí)在線上給學(xué)生答疑、參與課程討論，以及設(shè)計(jì)合理的課堂互動(dòng)環(huán)節(jié)，從而提高學(xué)生的英語表達(dá)能力、提升英語思維上，而不是放在每年重復(fù)性的課堂講課上。

篇7

數(shù)學(xué)概念是反映一類對(duì)象本質(zhì)屬性的思維形式，它具有相對(duì)獨(dú)立性。概念反映的這一類對(duì)象本質(zhì)屬性，即這類對(duì)象的內(nèi)在的，固有的屬性，而不是表面的屬性，而這類對(duì)象時(shí)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，它們已被舍去了具體物質(zhì)屬性和具體的關(guān)系，僅被抽取出量的關(guān)系和形式結(jié)構(gòu)，在某種程度上表現(xiàn)為對(duì)原始對(duì)象具有內(nèi)容的相對(duì)獨(dú)立性。

數(shù)學(xué)概念具有抽象與具體的雙重性，數(shù)學(xué)概念既然代表了一類對(duì)象的本質(zhì)屬性，那么它是抽象的，以“矩形”概念為例，現(xiàn)實(shí)世界沒有見過抽象的矩形，而只能見到形形的具體的矩形，叢這個(gè)意義上來說，數(shù)學(xué)概念“脫離”了現(xiàn)實(shí)。由于數(shù)學(xué)中使用了形式化，符號(hào)化得語言，是數(shù)學(xué)概念離現(xiàn)實(shí)更遠(yuǎn)，即抽象程度更高，但同時(shí)，正因?yàn)槌橄蟪潭扔鷣碛?，與現(xiàn)實(shí)的原始對(duì)象聯(lián)系愈弱，才使得數(shù)學(xué)概念應(yīng)用愈廣泛。但不管怎樣的抽象，高層次的概念總是以低層次的概念為具體內(nèi)容。且數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)命題，數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)部分，就整個(gè)數(shù)學(xué)體系而言，概念是一個(gè)實(shí)在的東西。所以它即抽象又具體。

數(shù)學(xué)概念還具有邏輯關(guān)聯(lián)性。數(shù)學(xué)中打多數(shù)概念都是在原始概念（原名）基礎(chǔ)上形成的，并采用邏輯定義的方法，以語言或符號(hào)的形式使之固定。其他學(xué)科均沒有教學(xué)中諸如概念那樣具有如此精準(zhǔn)的內(nèi)涵和如此豐富，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬯P(guān)系。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是中學(xué)教學(xué)中至關(guān)重要的一項(xiàng)內(nèi)容，是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的核心，正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)好概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要一環(huán)。一些學(xué)生數(shù)學(xué)之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特別是像我校這樣普通中學(xué)的學(xué)生，數(shù)學(xué)素養(yǎng)差的關(guān)鍵是在對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，應(yīng)用和轉(zhuǎn)化等方面的差異。因此抓好概念教學(xué)時(shí)提高中學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的帶有根本意義的一環(huán)。教學(xué)過程中如果能夠充分考慮到這一因素，抓住有限的概念教學(xué)的契機(jī)，以提高大多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是完全可以做到的，同時(shí)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高也為學(xué)生的各項(xiàng)能力和素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了有利條件以及必要的保障。

從平常數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實(shí)際來看，學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)兩種傾向，其一是有的學(xué)生認(rèn)為基本概念單調(diào)乏味，不去重視它，不求甚解，導(dǎo)致概念認(rèn)識(shí)和理解模糊：其二是有的學(xué)生對(duì)基本概念雖然重視但只是死記硬背，而不去真正透徹理解，只有機(jī)械的，零碎的認(rèn)識(shí)。這樣久而久之，從而嚴(yán)重影響對(duì)教學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握和運(yùn)用。比如有的同學(xué)在解題中得到異面直線的夾角為鈍角，有的同學(xué)認(rèn)為函數(shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，這些錯(cuò)誤都是由于學(xué)生對(duì)概念認(rèn)識(shí)模糊造成的。從一定意義上來說，數(shù)學(xué)水平的高低，取決于對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握的程度。

二、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)形式

1.重視概念的本源，概念產(chǎn)生的基礎(chǔ)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念形成過程。

學(xué)生如能在教師創(chuàng)設(shè)的情景中像數(shù)學(xué)家那樣去“想數(shù)學(xué)”，“經(jīng)歷”一遍發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)新的過程，那么在獲得概念的同時(shí)還能培養(yǎng)他們的創(chuàng)造精神。由于概念教學(xué)在整個(gè)教學(xué)中起著舉足輕重的作用，我們應(yīng)重視在教學(xué)概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。引入時(shí)概念教學(xué)的第一步，也是形成概念的基礎(chǔ)。概念引入時(shí)教師要鼓勵(lì)學(xué)生猜想，即讓學(xué)生依據(jù)已有的材料和知識(shí)作出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象，讓學(xué)生經(jīng)歷教學(xué)家發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段，猜想作為數(shù)學(xué)想象表現(xiàn)形式的最高層次，屬于創(chuàng)造性想象，是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力。

比如，在立體幾何中異面直線距離與概念，傳統(tǒng)的方法是給出異面直線公垂線的概念，然后指出兩垂足間的線段長(zhǎng)就叫做兩條異面直線的距離。教學(xué)可以先讓學(xué)生回顧一下過去學(xué)過的有關(guān)距離的概念，如兩點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，兩平行線之間的距離，引導(dǎo)學(xué)生思考這些距離有什么特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)共同的特點(diǎn)是最短與垂線。然后，啟發(fā)學(xué)生思索在兩條異面直線上是否存在這樣的兩點(diǎn)，它們間的距離是最短的？如果存在，應(yīng)當(dāng)有什么特征？于是經(jīng)過共同探索，得出如果這兩點(diǎn)的連線段和兩條異面直線都垂直，則其長(zhǎng)時(shí)最短的，并通過實(shí)物模型演示確認(rèn)這樣的線段是否存在，在此基礎(chǔ)上，自然地給出異面直線距離和概念。

2.挖掘概念的內(nèi)涵與外延，理解概念。

新概念的引入，是對(duì)已有概念的繼承，發(fā)展和完善。有些概念由于其內(nèi)涵豐富，外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個(gè)層次，逐步加深提高。如三角函數(shù)的定義，經(jīng)歷了以下三個(gè)循環(huán)漸進(jìn)，不斷深化的過程：

（1）用直角三角形邊長(zhǎng)的比刻畫的銳角三角函數(shù)的定義，

（2）用點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)的定義，

（3）任意角的三角函數(shù)的定義。由此概念衍生出：三角函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號(hào)；三角函數(shù)線；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，三角函數(shù)點(diǎn)的圖像性質(zhì)；三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式等?？梢?，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學(xué)中可謂重中之重，它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵的作用。

3.尋找新概念之間的聯(lián)系，掌握概念。

數(shù)學(xué)中有許多概念都有著密切的聯(lián)系。如函數(shù)概念有兩種定義，一種是初中給出的定義，是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系式將自變量的每一個(gè)取值，與唯一確定的函數(shù)值對(duì)應(yīng)起來，另一種高中給出的定義，是從集合中的每一個(gè)元素與象集合中唯一確定的元素對(duì)應(yīng)起來。從歷史上看，初中給出的定義來源于物理公式，而函數(shù)可用圖像，表格，公式等表示，所以高中用集合與對(duì)應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，抓住了函數(shù)的本質(zhì)屬性，更具有一般性。認(rèn)真分析兩種函數(shù)定義，其定義域與值域的含義完全相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系本質(zhì)上也一樣，只不過在敘述的出發(fā)點(diǎn)不同，所以兩種函數(shù)的定義，本質(zhì)是一致的。

篇8

一、運(yùn)用公理定義“直線與平面垂直”概念的思考

對(duì)于直線與平面垂直定義的教學(xué)，大多教師會(huì)演示課本上的實(shí)例，旗桿與地面的位置關(guān)系，讓學(xué)生觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子。并指出旗桿所在的直線與地面內(nèi)任意一條過交點(diǎn)的直線垂直（和不過交點(diǎn)的直線也垂直）。

有些教師也會(huì)借助于使用多媒體CAI，展示在現(xiàn)實(shí)世界中大量存在的直線與平面位置關(guān)系中的這種很特殊的情形，對(duì)學(xué)生增強(qiáng)直觀的直線與平面垂直形象課堂容量進(jìn)行演示。

在教師的誘導(dǎo)下，學(xué)生會(huì)利用知識(shí)的遷移，自然而然聯(lián)想到平面內(nèi)兩條直線互相垂直和空間兩條直線相互垂直的知識(shí)，猜想總結(jié)出這種特殊位置關(guān)系應(yīng)該稱為“直線與平面垂直”關(guān)系。此時(shí)，有的教師認(rèn)為下定義的時(shí)機(jī)已經(jīng)成熟，或者引導(dǎo)學(xué)生自己去給出準(zhǔn)確的定義，或者直接給出教材中的概念：“一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個(gè)平面互相垂直”。我們研討認(rèn)為這種教學(xué)方法有值得思考的地方。

是不是我們一定要用“如果一條直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直則稱這條直線與平面垂直”來定義？當(dāng)然我們也可用“如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則稱這條線與平面垂直”來加以定義（如圖）。我們知道，這里的兩種不同的條件實(shí)際上是等價(jià)的，可以互相推出，所以本來這兩種選擇都可以作為定義的。

既然二種關(guān)系原來都可以定義概念，那我們?yōu)槭裁匆玫谝环N方法來定義？

在數(shù)學(xué)體系中，各個(gè)名詞是預(yù)先已經(jīng)用公理定義的概念，這樣的公理系統(tǒng)是一個(gè)實(shí)質(zhì)性公理系統(tǒng)。因?yàn)橐榷x概念，所以就要有一些原始的概念作為定義其他概念的出發(fā)點(diǎn)。一般來說當(dāng)幾種公理都可作為定義某一要領(lǐng)時(shí)，特別是有的概念在下定義時(shí)，本來就可以有多種選擇的情況下，數(shù)學(xué)體系中往往會(huì)把簡(jiǎn)單的公理留著作為判定定理。比如在初中教材中，平行線的定義與判定定理就是如此。在此，我們就容易理解了數(shù)學(xué)體系中用第一種方法來定義直線與平面垂直概念，而不是用第二種方法來定義直線與平面垂直概念的理由了。

通過我們以上的教學(xué)，讓我們的學(xué)生知道了“如果一條直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直則稱這條直線與平面垂直”與“如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則稱這條線與平面垂直”從本質(zhì)上來說是等價(jià)的道理，為后面的判定定理的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，埋下了伏筆。

二、從定義引入到判定定理教學(xué)的思考

接下來，我們?cè)偎伎剂硪粋€(gè)問題，就是在學(xué)了“直線與平面垂直定義”后，如何引入“直線與平面垂直的判定定理”的問題？大多教師會(huì)按照教材的思路進(jìn)行這樣的引入教學(xué)：“要證明一條直線和一個(gè)平面垂直，若每次都要證明這條直線和平面上每一條直線都垂直，顯然是很麻煩也不必要的”。

這樣的引入值得我們教師進(jìn)行認(rèn)真的思考了，注意這里教師的引導(dǎo)語“很麻煩也不必要”可能會(huì)給學(xué)生帶來二個(gè)誤處。

誤處一：“很麻煩”導(dǎo)致學(xué)生在不善于直接從定義去思考問題，

誤處二：“不必要”導(dǎo)致學(xué)生誤認(rèn)為遇到有關(guān)直線與平面垂直的判定問題時(shí)，根本不用去想用定義去證明。

這種誤處，學(xué)生一旦形成，對(duì)所有的定義的理解和運(yùn)用，特別是對(duì)學(xué)生的思維活動(dòng)是非常有害的制約。

實(shí)際上，有許許多多的題，完全可以應(yīng)用定義判定直線與平面垂直，例如：“如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)平面”，既可以用后面的判定定理證明，也可以用定義來證明。我們也可以運(yùn)用定義來發(fā)散思維證題，例如：根據(jù)直線與平面垂直的定義，如果平面內(nèi)存在一條直線與平面的一條交線b不垂直，則可以斷定此平面與直線b不垂直。

所以說，定義不是沒有用，而是看我們?cè)趺慈ビ?。有時(shí)用定義去判定比用判定定理更容易解決問題。但大多數(shù)情況下，用定義去判定直線與平面垂直確實(shí)非常困難，要告訴學(xué)生，因?yàn)槠矫鎯?nèi)直線的無限性，一條直線與平面內(nèi)的所有直線都要判定與此垂直，既不現(xiàn)實(shí)，也難以操作，所以必須去尋找一種能夠避免逐一確定無限條直線與此直線垂直的問題，從而引入到判定定理的教學(xué)中。

三、對(duì)教材中的判定定理的思考

對(duì)直線與平面垂直判定定理，過去大多教師會(huì)這樣引入：“讓我們先來看看木工師傅是如何判斷一根立柱是否和板面垂直的方法，用曲尺（注：曲尺，是指木工及鉗工常用的一邊長(zhǎng)一邊短的直角尺）檢查兩次，只要兩次，但曲尺靠板面的尺，兩次不能在同一條直線上，如果立柱、板面都和曲尺的兩條邊完全吻合，便可斷定立柱和板面垂直。從中你能得到判定直線和平面垂直的方法嗎？”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想推測(cè)，從而引入判定定理。

有的教師也會(huì)按照教材P65圖2.3-4探究的折紙方法引入直線與平面垂直判定定理。但教材也好，老師也好，不管怎么引入判定定理，最后都沒有給予確切的嚴(yán)格證明，教材中只提出了二個(gè)思考問題作為運(yùn)用時(shí)必須注意的問題——定理中兩條相交直線不可忽視（P65），就算把判定定理概念教學(xué)告一段落，接下去就直接進(jìn)行如何運(yùn)用判定定理了。

這種沒有嚴(yán)格證明的“判定定理”，我們認(rèn)為教材處理不妥會(huì)讓學(xué)生有些迷茫。迷茫有三：

1.我們說，數(shù)學(xué)中的命題，必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明是正確的，才能成為定理。如果象教材上的實(shí)例引入，確實(shí)是對(duì)的，那也只是是用實(shí)驗(yàn)的方法驗(yàn)證了這確實(shí)是“正確”的。這種沒有經(jīng)過嚴(yán)格證明的“判定定理”真的是正確的嗎？

2.剛剛前面說過，用定義判定直線與平面垂直不現(xiàn)實(shí)也難操作，所以要引入容易判定的直線與平面垂直的判定定理，而現(xiàn)在引入了判定定理卻又不給證明，這“判定定理”到底是對(duì)還是錯(cuò)？

3.教師說，這定理以后可以借助空間向量等方法怎么怎么地來證明，如果以后確實(shí)可以證明了，那繞了一大圈，學(xué)生會(huì)不會(huì)說原來也可能是個(gè)數(shù)學(xué)怪圈？是否會(huì)產(chǎn)生循環(huán)論證之類的錯(cuò)誤呢？用今天尚未證明的“判定定理”A推出B，再用B去推出C……，C推出A。

篇9

一、

指導(dǎo)思想

結(jié)合此次線上空中課堂和科任教師直播教學(xué)內(nèi)容和以及本班學(xué)生掌握情況，致力于構(gòu)建開放而有活力的數(shù)學(xué)教學(xué)體系，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變，全面提高每一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為孩子的終身學(xué)習(xí)、生活和工作奠定監(jiān)事的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

二、

班級(jí)學(xué)生情況分析

（一）

通過一學(xué)期的教學(xué)，大多數(shù)學(xué)生基本上了解新教材的特點(diǎn)，適應(yīng)了新教材的學(xué)習(xí)，基本上能夠自覺的學(xué)習(xí)，也對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生了一定的興趣,大部分同學(xué)已經(jīng)形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，絕大多數(shù)學(xué)生順利的度過初、高中知識(shí)體系與思考方法等方面的銜接，但是還有一部分學(xué)生，存在薄弱環(huán)節(jié)，還沒有得到實(shí)質(zhì)性的改變

本班現(xiàn)有學(xué)生X人，其中男生X人，女生X人。經(jīng)過本學(xué)期為期幾周的線上“空中課堂”和科任教師線上直播教學(xué)，根據(jù)學(xué)生平時(shí)上交作業(yè)和家庭作業(yè)上交情況來看，有的同學(xué)對(duì)語文的興趣較濃，基礎(chǔ)知識(shí)和能力掌握較好，能主動(dòng)學(xué)習(xí)，但有個(gè)別學(xué)生自制力較差，無論是聽課還是作業(yè)都不夠認(rèn)真，甚至出現(xiàn)應(yīng)付的情況，由于線上教學(xué)老師不在身邊，家長(zhǎng)也有自己的工作要做，個(gè)別情況下不能及時(shí)陪同孩子觀看空中課堂，這就導(dǎo)致拉大了學(xué)生之間掌握知識(shí)情況的差異。

三、

本學(xué)期應(yīng)達(dá)到的教學(xué)目標(biāo)

本學(xué)期本著從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，認(rèn)真落實(shí)新課程的標(biāo)準(zhǔn)，認(rèn)真體會(huì)新教材的要求，使自己的教學(xué)水平有長(zhǎng)足的進(jìn)步。本學(xué)期努力提高期末考試的優(yōu)秀率和合格率，同時(shí)也重視培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)試能力和對(duì)學(xué)科的興趣，改善學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，全面落實(shí)基礎(chǔ)，使學(xué)生的能力有較大的提高。達(dá)到以下兩個(gè)目標(biāo)：

（一）情意目標(biāo)

1．

通過分析問題的方法的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣。

2．

提供生活背景，通過數(shù)學(xué)建模，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)就在身邊，培養(yǎng)學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

3．

在探究函數(shù)、等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，體驗(yàn)獲得數(shù)學(xué)規(guī)律的艱辛和樂趣，在分組

研究合作學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)交流、相互評(píng)價(jià)，提高學(xué)生的合作意識(shí)

4．

基于情意目標(biāo)，調(diào)控教學(xué)流程，堅(jiān)定學(xué)習(xí)信念和學(xué)習(xí)信心。

5．

還時(shí)空給學(xué)生、還課堂給學(xué)生、還探索和發(fā)現(xiàn)權(quán)給學(xué)生，給予學(xué)生自主探索與合作交流的機(jī)會(huì)，在發(fā)展他們思維能力的同時(shí)，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)情感、學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心和追求數(shù)學(xué)的科學(xué)精神。

（二）能力要求

1.培養(yǎng)學(xué)生記憶能力。

（1）通過定義、命題的總體結(jié)構(gòu)教學(xué)，揭示其本質(zhì)特點(diǎn)和相互關(guān)系，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)問題的背景事實(shí)及具體數(shù)據(jù)的記憶。

（3）通過揭示立體幾何、函數(shù)、數(shù)列有關(guān)概念、公式和圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系,培養(yǎng)記憶能力。

2、培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。

（1）通過數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。

（2）加強(qiáng)對(duì)概念、公式、法則的明確性和靈活性的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。

（3）通過函數(shù)、數(shù)列的教學(xué)，提高學(xué)生是運(yùn)算過程具有明晰性、合理性、簡(jiǎn)捷性能力。

（4）通過一題多解、一題多變培養(yǎng)正確、迅速與合理、靈活的運(yùn)算能力，促使知識(shí)間的滲透和遷移。

（5）利用數(shù)形結(jié)合，另辟蹊徑，提高學(xué)生運(yùn)算能力。

（6）通過立體幾何的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。四、開學(xué)安排

（一）

對(duì)“空中課堂”?講過的知識(shí)運(yùn)用課堂時(shí)間進(jìn)行回顧復(fù)習(xí)，不放過任何一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生對(duì)已經(jīng)掌握的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，還未掌握的知識(shí)達(dá)到掌握的狀態(tài)，縮小學(xué)生之間的差距，為后續(xù)教學(xué)工作的展開打好基礎(chǔ)。

（二）

根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)情況，利用一定的時(shí)間和精力，以測(cè)試的方式了解學(xué)生在線上教學(xué)階段對(duì)每一課每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加強(qiáng)指導(dǎo)，嚴(yán)格要求。

（三）

學(xué)習(xí)新知識(shí)的同時(shí)，堅(jiān)持不懈地抓好學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)。尤其是培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成樂于傾聽、勇于發(fā)言和認(rèn)真寫字的習(xí)慣。對(duì)學(xué)生多一些寬容，以欣賞的眼光看待他們，對(duì)學(xué)困生多鼓勵(lì)，提高他們的學(xué)習(xí)興趣，消除學(xué)生在“空中課堂”線上教學(xué)活動(dòng)中未掌握知識(shí)而產(chǎn)生的消極心理，增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)信心。

（四）

加強(qiáng)新教材的研修，努力提高教師本身對(duì)新教材的把握能力，使學(xué)生更加適應(yīng)新課程的要求。

（五）

關(guān)注學(xué)生思想，及時(shí)與家長(zhǎng)溝通學(xué)生狀況，確定解決措施。

（六）

提高課堂教學(xué)的利用率，在深入了解學(xué)情的基礎(chǔ)上，認(rèn)真?zhèn)湔n，從實(shí)際出發(fā)，努力提高課堂的效率，合理利用多媒體教學(xué)。加強(qiáng)課后作業(yè)的優(yōu)化，合理選擇題目，使學(xué)生不做無用功，突顯作業(yè)的檢驗(yàn)知識(shí)的功能，及時(shí)批改，及時(shí)評(píng)講，對(duì)個(gè)別學(xué)生面批。

篇10

【關(guān)鍵詞】工程數(shù)學(xué)；復(fù)變函數(shù)；積分變換；教學(xué)方法

工程數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程，是一門重要的工科專業(yè)必修課。它不僅在數(shù)學(xué)的其他分支，如常微分方程、積分方程，有著重要的應(yīng)用，還在其他科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如理論物理、流體力學(xué)等。

我校是醫(yī)學(xué)院校，針對(duì)我校生物醫(yī)學(xué)工程專業(yè)，我們?cè)趯W(xué)生大二第一學(xué)期開設(shè)了工程數(shù)學(xué)這門課程，是一門必不可少的專業(yè)基礎(chǔ)類必修課程。它為電工與電路分析、模擬電子技術(shù)、信號(hào)與系統(tǒng)等后續(xù)專業(yè)專業(yè)課學(xué)習(xí)提供了必要的數(shù)學(xué)工具，在整個(gè)課程體系中占有舉足輕重的地位和作用。因此，如何學(xué)好工程數(shù)學(xué)這門課程是非常重要的。我校工程數(shù)學(xué)計(jì)劃54學(xué)時(shí)，包括復(fù)變函數(shù)和積分變換，學(xué)時(shí)少，內(nèi)容多。在教學(xué)過程中，學(xué)生也時(shí)常反應(yīng)概念難懂、方法不易掌握、習(xí)題難做，容易與高等數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)混淆。對(duì)此，本文結(jié)合實(shí)際授課經(jīng)驗(yàn)和我校工程數(shù)學(xué)這門課程教學(xué)改革，淺談教學(xué)過程中遇到的一些問題和對(duì)一些知識(shí)點(diǎn)的處理建議。

工程數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)既有區(qū)別又有聯(lián)系。它們的研究對(duì)象都是函數(shù)，研究主線都是通過變量研究函數(shù)，從而定義極限，利用極限去研究函數(shù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分。兩者的差異在于工程數(shù)學(xué)研究的函數(shù)是復(fù)變函數(shù)，高等數(shù)學(xué)研究的函數(shù)是實(shí)變函數(shù)。從實(shí)變函數(shù)到復(fù)變函數(shù)，函數(shù)的定義域與值域從實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。因此，復(fù)變函數(shù)是實(shí)變函數(shù)理論的延續(xù)和拓展，兩者的區(qū)別和聯(lián)系貫穿教學(xué)的始終，在教學(xué)過程中，通過類比的方式，利用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，理解復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的區(qū)別。例如，對(duì)許多基本概念及定義進(jìn)行理解時(shí)，使用類比法多做對(duì)比，找出相似點(diǎn)與不同點(diǎn)，加深對(duì)這些概念的理解。

1 復(fù)數(shù)的定義

一般稱（其中，x，y是實(shí)數(shù)）是一個(gè)復(fù)數(shù)。但這個(gè)概念的本質(zhì)是什么呢？類似實(shí)數(shù)可用直線上的點(diǎn)來表示，一個(gè)復(fù)數(shù)由一對(duì)有序?qū)崝?shù)（x，y）唯一確定，當(dāng)建立直角坐標(biāo)系后，平面xoy上的任意一點(diǎn)P（x，y）可以按照一定規(guī)則與一對(duì)有序?qū)崝?shù)（x，y）建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，也可以和起點(diǎn)為原點(diǎn)，終點(diǎn)為P的向量建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。因此，從幾何角度理解，復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)P或者向量來表示，也可以說復(fù)數(shù)是向量的另外一種表示方式。因此，復(fù)數(shù)的本質(zhì)應(yīng)該是向量，而不是“數(shù)”?！皵?shù)”的本質(zhì)特性是可以比較大小的，因此，可以從這個(gè)角度不難理解，復(fù)數(shù)為什么不能比較大小了。

2 復(fù)變函數(shù)的定義

復(fù)變函數(shù)是一元實(shí)變函數(shù)的直接推廣，它的定義與一元實(shí)函數(shù)的定義形式完全相同，但是復(fù)變函數(shù)的自變量和因變量都取自復(fù)數(shù)，其與兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)相對(duì)應(yīng)，因此，復(fù)變函數(shù)在幾何上就可以看成是z平面上的一個(gè)點(diǎn)集G到平面上一個(gè)點(diǎn)集的映射。因而，無法用直觀的圖形來表示函數(shù)關(guān)系，若要直角坐標(biāo)系畫出，需要四維空間，而一元實(shí)變函數(shù)在幾何上表示的是一條平面曲線。這是復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)定義上的一個(gè)不同。在向?qū)W生講解復(fù)變函數(shù)的幾何特性時(shí)，可以從簡(jiǎn)單的例子出發(fā)，例如，函數(shù)可以先介紹點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，然后是點(diǎn)集與點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)，如Z平面上的曲線在該函數(shù)作用下的圖像。復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)另外一個(gè)不同在于復(fù)變函數(shù)可以是多值函數(shù)，例如，開方函數(shù)可以將Z平面上的一點(diǎn)映射為平面上的兩個(gè)點(diǎn)。

3 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)

復(fù)變函數(shù)與一元實(shí)變函數(shù)的極限、連續(xù)在定義形式上相似，許多基本性質(zhì)與運(yùn)算法則也相同，但本質(zhì)上與二元實(shí)變函數(shù)一致。定理證明[1-2]，一個(gè)復(fù)變函數(shù)的極限存在充要條件是它的實(shí)部函數(shù)與虛部函數(shù)的極限都存在；一個(gè)復(fù)變函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)充要條件是它的實(shí)部函數(shù)與虛部函數(shù)在點(diǎn)是連續(xù)的。因此，研究復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)等問題可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的極限與連續(xù)問題。其次，復(fù)變函數(shù)中自變量的變化趨勢(shì)與實(shí)變函數(shù)的自變量的變化趨勢(shì)也有所不同，復(fù)變函數(shù)中自變量的變化趨勢(shì)指的是以任何方式任何路徑區(qū)域，不僅僅是左右兩個(gè)方向趨于，而實(shí)變函數(shù)的自變量的變化趨勢(shì)是指從左右兩個(gè)方向趨于。因此，復(fù)變函數(shù)的極限要求更高、更嚴(yán)格。而連續(xù)是基于極限這個(gè)基礎(chǔ)的，所以復(fù)變函數(shù)連續(xù)也要比實(shí)變函數(shù)連續(xù)要求更高。

4 解析函數(shù)

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)的一個(gè)重要研究對(duì)象。函數(shù)解析是比可導(dǎo)（可微）更強(qiáng)的一個(gè)概念，復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處解析，不僅要求在該點(diǎn)可導(dǎo)，還要求在該點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)。因此，復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)解析，一定是可導(dǎo)的，反之，不一定成立。在區(qū)域D內(nèi)每點(diǎn)都解析的函數(shù)稱為區(qū)域D上的解析函數(shù)。判斷復(fù)變函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件是它的實(shí)部函數(shù)和虛部函數(shù)在這一點(diǎn)可導(dǎo)，且滿足柯西-黎曼方程。要判斷函數(shù)在這一點(diǎn)的解析性，一般只能通過定義。其次，要判斷一個(gè)復(fù)變函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的充要條件是它的實(shí)部函數(shù)和虛部函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)且在區(qū)域D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程。這里主要利用了開區(qū)域的定義，因?yàn)殚_區(qū)域每個(gè)點(diǎn)都是其內(nèi)點(diǎn)，故若函數(shù)在開區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則在D內(nèi)處處滿足上述兩個(gè)條件。因此，對(duì)于D內(nèi)任意一點(diǎn)，必存在該點(diǎn)的一個(gè)鄰域，使得函數(shù)在該鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)。故由函數(shù)解析的定義可得，函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)處解析。

5 復(fù)變函數(shù)的積分

從形式上看，復(fù)變函數(shù)的積分是實(shí)變函數(shù)定積分的一種自然推廣。但其本質(zhì)上是復(fù)平面上的，它可以與二元實(shí)函數(shù)的線積分聯(lián)系在一起。相對(duì)應(yīng)就有了柯西-古薩基本定理，在此基礎(chǔ)上，得到了一系列推廣定理如：復(fù)合閉路定理、閉路變形原理等?？挛鞣e分公式的證明基于柯西-古薩定理。其重要性在于解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以通過其在邊界上的值通過積分得到。

綜上所述，工程數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)方法，特別是類比的數(shù)學(xué)方法。工程數(shù)學(xué)中很多問題可以通過一定的技巧轉(zhuǎn)化為高等數(shù)學(xué)的問題，很多的結(jié)論可以通過與高等數(shù)學(xué)的知識(shí)類比得到。但是，它們?cè)诟拍钌弦灿幸欢ǖ牟町悾虼?，在教學(xué)過程中，要注重與高等數(shù)學(xué)知識(shí)銜接，比較和探究它們的異同，概括它們的原理，使得學(xué)生在掌握新概念的同時(shí)，領(lǐng)悟概念間的內(nèi)在聯(lián)系，從而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高分析問題和解決問題的能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]王錦森.復(fù)變函數(shù)[M].1版.北京：高等教育出版社，2008.

[2]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)輪[M].3版.北京：高等教育出版社，2004.

[3]熊春連，陳翠玲，段華貴.工科復(fù)變函數(shù)中的遷移教學(xué)[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26（2）：203-206.