導(dǎo)語(yǔ)：如何才能寫(xiě)好一篇不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

關(guān)鍵詞：不等式；數(shù)學(xué)；教學(xué)應(yīng)用

一、不等式證明的三種基本方法

（1）比較法：主要有兩種作差比較和作商比較，做差主要是用兩個(gè)數(shù)相減和0作比較大小。即：[a-b>0?a>b]，如[a>b]則[a-b>0]；當(dāng)[b>0]時(shí)，[a>b?ab>1]。比證明的方法中比較法是最常用的方法，同樣也是最重要的一種方法，一般根據(jù)一些題設(shè)最終會(huì)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的比較法。

（2）分析法：一些求證的不等式，往往看似無(wú)從下手，思路不顯而易見(jiàn)，這種情況選擇分析法探究證明途徑，尋找可以使不等式成立的條件。

（3）綜合法：從已知的不等式及題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用不等式性質(zhì)及適當(dāng)變形（恒等變形或不等變形）推導(dǎo)出要求證明的不等式。

二、思想方法

1.不等式中常見(jiàn)的基本思想方法

（1）等價(jià)轉(zhuǎn)化。比如說(shuō)，高次冪函數(shù)除以高次冪函數(shù)時(shí)，同時(shí)除以同類(lèi)項(xiàng)，將高次等價(jià)轉(zhuǎn)化為低次等。

（2）分類(lèi)討論。當(dāng)在解決問(wèn)題的過(guò)程中遇到棘手的問(wèn)題時(shí)，分類(lèi)討論是首先的方案，但是沒(méi)有遇到需要分類(lèi)討論的問(wèn)題是，一般不提前采用。

（3）數(shù)形結(jié)合。有些不等式的解決可化為兩個(gè)函數(shù)圖像間的位置關(guān)系的討論等幾何問(wèn)題。

（4）函數(shù)方程思想。根據(jù)題意判斷所求解的區(qū)間。如“標(biāo)根法”實(shí)際上是一種函數(shù)方程思想。

2.證明不等式的常用方法

課本上介紹了一些常用方法，還有下列幾種解法：

（1）放縮法

[若證明A≥B，我們先證明A≥C，然后再證明C≥B，則A≥B。]

（2）反證法

[反證法是通過(guò)否定結(jié)論導(dǎo)致矛盾，從而肯定原結(jié)論的一種方法。]

（3）數(shù)學(xué)歸納法

證明與自然數(shù)n有關(guān)的不等式時(shí)，常用數(shù)學(xué)歸納法。此法高考中已多次考查。

（4）變量代換法

變量代換是數(shù)學(xué)中的一種常用的解題方法。在解題過(guò)程中往往會(huì)一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜，變化多并且關(guān)系很不清楚的不等式，這個(gè)時(shí)候就需要引進(jìn)一些新的變量進(jìn)行替代，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程。具體技巧有局部代換、整體代換、增量代換等。

（5）函數(shù)方法

[通過(guò)利用函數(shù)的性質(zhì)]，如[單調(diào)性、凹凸性、有界性、實(shí)根存在]的條件等證明不等式的方法稱(chēng)為函數(shù)方法。

（6）構(gòu)造方法

不等式證明中的構(gòu)造方法，主要是指通過(guò)引進(jìn)合適的恒等式、數(shù)列、函數(shù)圖形及變量等輔助手段，從而使命題轉(zhuǎn)化，進(jìn)而不等式得到證明。

總結(jié)：不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：其中一類(lèi)是不等式穿插在其它的數(shù)學(xué)問(wèn)題中的一起考查，形式體現(xiàn)在求未知數(shù)的取值范圍，要想解決這類(lèi)問(wèn)題就必須進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.值得注意的是必須要考慮到各考點(diǎn)之間的相互聯(lián)系，靈活的應(yīng)用不等式的各種方法.另一類(lèi)不等式問(wèn)題就是利用不等式來(lái)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題的做題方法是應(yīng)認(rèn)真審題，挖掘題中的內(nèi)在聯(lián)系，找出題中的隱含條件，然后根據(jù)具體的實(shí)際問(wèn)題設(shè)想成為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再運(yùn)用已學(xué)的有關(guān)知識(shí)對(duì)已經(jīng)建立起來(lái)的不等式的解決.總之，不等式既是一類(lèi)高中數(shù)學(xué)題型，又是一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種方法。學(xué)好不等式就成為高考成功的必經(jīng)之路。

參考文獻(xiàn)：

[1]宋慶.一類(lèi)三元分式不等式及其證明[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究. 2008（10）

[2] 康曉蓉.一個(gè)不等式的推廣及其證明[J]. 西南科技大學(xué)高教研究. 2009（04）[3] 李云杰.基于選拔的不等式考查研究[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué). 2011（02）

[4] 李軍莊，喬希民，劉曉民.Cauchy不等式的教育價(jià)值[J]. 商洛學(xué)院學(xué)報(bào). 2010（04）

[5] 李錦昱.從一道模擬試題談《不等式選講》的考查變化[J]. 廣東教育（高中版）. 2010（Z1）

[6] 周順鈿.模式?放縮?探索――IB模塊《不等式選講》的教學(xué)策略[J]. 教學(xué)月刊（中學(xué)版）. 2010（05）

[7] 寧連華.對(duì)高中選修課程《不等式選講》的認(rèn)識(shí)與思考[J]. 數(shù)學(xué)通訊. 2009（22）

篇2

數(shù)列與不等式的鏈接是考試中的熱點(diǎn)話題，這類(lèi)問(wèn)題不僅能考查多方面的知識(shí)和技能、技巧，而且對(duì)于思維能力也提出了較高的要求，常成為試卷中的“制高點(diǎn)”。值得重視的有以下幾種類(lèi)型：證明不等式；比較大?。谎芯繂握{(diào)性；求最值；求取值范圍等。證明不等式，分析法是證明不等式的一種重要方法，其作用不可小視。下面我們看一道例題。

2.均值不等式與函數(shù)結(jié)合

第一：函數(shù)與方程思想

（1）函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象，概括與提煉，在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其他內(nèi)容時(shí)，起著重要作用。

（2）方程思想是解決各類(lèi)計(jì)算問(wèn)題的基本思想，是運(yùn)算能力的基礎(chǔ)。

高考把函數(shù)與方程思想作為七種重要思想方法重點(diǎn)來(lái)考查。

第二：數(shù)形結(jié)合思想：

（1）數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即數(shù)與形兩個(gè)方面。

（2）在一維空間，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

在二維空間，實(shí)數(shù)對(duì)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

數(shù)形結(jié)合中，選擇、填空側(cè)重突出考查數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，在解答題中，考慮推理論證嚴(yán)密性，突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化。

第三：分類(lèi)與整合思想

（1）分類(lèi)是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究中的基本邏輯方法。

（2）從具體出發(fā)，選取適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)。

（3）劃分只是手段，分類(lèi)研究才是目的。

（4） 有分有合，先分后合，是分類(lèi)整合思想的本質(zhì)屬性。

（5） 含字母參數(shù)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)與整合的研究，重點(diǎn)考查學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性與周密性。

第四：化歸與轉(zhuǎn)化思想

（1）將復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將較難問(wèn)題化為較易問(wèn)題，將未解決問(wèn)題化歸為已解決問(wèn)題。

（2）靈活性、多樣性，無(wú)統(tǒng)一模式，利用動(dòng)態(tài)思維，去尋找有利于問(wèn)題解決的變換途徑與方法。

（3）高考重視常用變換方法：一般與特殊的轉(zhuǎn)化、繁與簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化。

第五： 特殊與一般思想

（1）通過(guò)對(duì)個(gè)例認(rèn)識(shí)與研究，形成對(duì)事物的認(rèn)識(shí)。

（2）由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)、由局部到整體、由實(shí)踐到理論。

（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反復(fù)認(rèn)識(shí)過(guò)程。

（4） 構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點(diǎn)、確立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。

（5） 高考以新增內(nèi)容為素材，突出考查特殊與一般思想必成為命題改革方向。

第六：有限與無(wú)限的思想：

（1）把對(duì)無(wú)限的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)有限的研究，是解決無(wú)限問(wèn)題的必經(jīng)之路。

（2）積累的解決無(wú)限問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，將有限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)限問(wèn)題來(lái)解決是解決的方向。

（3）立體幾何中求球的表面積與體積，采用分割的方法來(lái)解決，實(shí)際上是先進(jìn)行有限次分割，再求和求極限，是典型的有限與無(wú)限數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。

（4）隨著高中課程改革，對(duì)新增內(nèi)容考查深入，必將加強(qiáng)對(duì)有限與無(wú)限的考查。

在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，隨著計(jì)算機(jī)的誕生和日益普及，教育教學(xué)也在不斷發(fā)展，因此教育技術(shù)也有了翻天覆地的變化。計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)把教學(xué)媒體與傳統(tǒng)教育相結(jié)合，不但深化教學(xué)，加大信息容量，也提高課堂的教學(xué)效率。利用軟件資源，融合聲音、圖形、動(dòng)畫(huà)、視頻等多種媒體信息傳授知識(shí)，使師生交流更方便、更快捷，使教育的目的更突出。

計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)最大特點(diǎn)就是利用計(jì)算機(jī)技術(shù)的交互性有效地輔助教學(xué)，提高教學(xué)效率。人機(jī)交互是其他媒體所沒(méi)有的，在交互式教學(xué)環(huán)境中能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)欲望，從而有利于發(fā)揮學(xué)生的主體作用。數(shù)學(xué)作為一個(gè)傳統(tǒng)的科目，課堂教學(xué)則要求學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)環(huán)境中通過(guò)積極的思考，不斷深入理解這門(mén)科學(xué)。如何合理地將計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合已成為我們不斷探討和實(shí)踐的問(wèn)題。

一、 運(yùn)用計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)，輔助數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，突出輔

在傳統(tǒng)的教學(xué)過(guò)程中，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)總結(jié)、教學(xué)練習(xí)都事先安排的，學(xué)生只能被動(dòng)地參與這個(gè)過(guò)程。而利用計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的交互性中學(xué)生則可以按照自己的基礎(chǔ)、興趣來(lái)選擇適合自己的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生在探索數(shù)學(xué)問(wèn)題中計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)只是的一種手段和工具，起到輔助作用。比如說(shuō)，數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling）整個(gè)過(guò)程中模型求解，模型分析，模型檢驗(yàn)這三部分都需要應(yīng)用到計(jì)算機(jī)科學(xué)知識(shí)。利用計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)解決科學(xué)計(jì)算，就是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換為程序，經(jīng)過(guò)對(duì)問(wèn)題抽象的過(guò)程，建立起完善的數(shù)學(xué)模型，我們才能設(shè)計(jì)良好的程序解決問(wèn)題，從中不難看出計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)中在數(shù)學(xué)建模中的重要性及密不可分的關(guān)系。但是在影響教學(xué)效果的多種因素中，計(jì)算機(jī)對(duì)于教學(xué)的僅僅只是一種“輔助”手段，而教師的責(zé)任感、良好的師生關(guān)系是任何計(jì)算機(jī)都無(wú)法替代的。

二、在計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)境下，要正確處理好教師、學(xué)生、計(jì)算機(jī)三者的關(guān)系

數(shù)學(xué)知識(shí)是從生活實(shí)踐中提煉出來(lái)的，來(lái)源于生活，但比現(xiàn)實(shí)生活更嚴(yán)密、更精確，更抽象、更具有創(chuàng)造性。因此在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)應(yīng)盡可能地考慮學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，把數(shù)學(xué)課堂與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，才能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握，計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的這種過(guò)程，需要教師和學(xué)生與計(jì)算機(jī)之間相互學(xué)習(xí)，相互適應(yīng)時(shí)才可能發(fā)揮最佳的效果。

1.教學(xué)手段的改革性讓數(shù)學(xué)教學(xué)手段靈活起來(lái)。傳統(tǒng)的教學(xué)是由教師、學(xué)生和教材這三個(gè)要素構(gòu)成的，在現(xiàn)代化教學(xué)環(huán)境下還增加一個(gè)要素，這就是教學(xué)媒體。教育改革的理念是終身學(xué)習(xí)，教師要努力培養(yǎng)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)，還應(yīng)積極參加計(jì)算機(jī)方面的學(xué)習(xí)和培訓(xùn)，學(xué)習(xí)一些與數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)的軟件和先進(jìn)的教育技術(shù)，并應(yīng)用到教學(xué)實(shí)踐中來(lái)，達(dá)到好的教學(xué)效果。例如：“幾何畫(huà)板”、“幾何專(zhuān)家”和“Frontpage”、“ Excel”、“ Powerpoint”這一類(lèi)軟件通過(guò)計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)引入數(shù)學(xué)課堂，使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)圖文并茂、增大信息量、動(dòng)靜結(jié)合，有著傳統(tǒng)教學(xué)手段無(wú)法比擬的優(yōu)越性，使之能提高數(shù)學(xué)課堂的效率，突破教學(xué)難點(diǎn)。

篇3

關(guān)鍵詞：構(gòu)造 構(gòu)造法 模型 不等式

1. 引言

近年來(lái)，有關(guān)不等式證明的題目愈來(lái)愈多地出現(xiàn)在各級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽、高考中，是競(jìng)賽、高考中熱門(mén)話題之一。不等式證明的方法很多，從化簡(jiǎn)特征上看可分為兩大類(lèi)：一是利用不等式的性質(zhì)及重要不等式；二是輔助方法，通過(guò)變量代換，構(gòu)造輔助元素（如圖形、函數(shù)、方程、代數(shù)式、反例等）來(lái)達(dá)到證明的目的。

構(gòu)造性解題方法（簡(jiǎn)稱(chēng)構(gòu)造法）是一個(gè)古老而又嶄新的科學(xué)方法，歷史上許多著名的數(shù)學(xué)家，如歐幾里得、高斯、歐拉、拉格朗日、康托等，都曾運(yùn)用這一方法解決過(guò)數(shù)學(xué)難題。構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中一種極富技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題需要解決時(shí)，常常通過(guò)深入分析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征和內(nèi)在規(guī)律，要么把題設(shè)條件中的關(guān)系構(gòu)造出來(lái)，要么將關(guān)系設(shè)想在某個(gè)模型上得到實(shí)現(xiàn)，要么將已知條件經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)倪壿嫿M合而構(gòu)造出一種新的形式，從而使問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的函數(shù)、方程和圖形等，再進(jìn)行求解。構(gòu)造法本質(zhì)上屬于轉(zhuǎn)化思想的范疇，但它常常表現(xiàn)出簡(jiǎn)捷、明快、精巧、新穎等特點(diǎn)，使數(shù)學(xué)解題突破常規(guī)，具有很強(qiáng)的創(chuàng)造性。運(yùn)用構(gòu)造法證明不等式，重在“構(gòu)造”根據(jù)由已知條件與要證的結(jié)論所提供的信息進(jìn)行聯(lián)想、類(lèi)比，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)模型的研究去實(shí)現(xiàn)原問(wèn)題的解決。本文歸納總結(jié)了構(gòu)造法在證明不等式中的應(yīng)用，并就構(gòu)造函數(shù)模型、幾何圖形模型、數(shù)列模型、方程模型、代數(shù)式模型和向量模型五個(gè)方面進(jìn)行了初步的探討。

2. 主要內(nèi)容

2.1構(gòu)造函數(shù)模型

我們常常利用一次函數(shù)的線性性質(zhì)、二次函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)證明某些不等式問(wèn)題。在證明不等式時(shí)，抓住不等式與函數(shù)的密切關(guān)系，以問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征為起點(diǎn)，構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，從函數(shù)的思想和方法來(lái)解決問(wèn)題。

2.2 構(gòu)造方程模型

解不等式的實(shí)踐告訴我們，不等式的解區(qū)間的端點(diǎn)就是它相應(yīng)方程的解，正是利用它們之間的這種內(nèi)在聯(lián)系，可設(shè)法構(gòu)造方程來(lái)證明不等式。

例2若{a }是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S 是它的前n項(xiàng)的和，證明：S ?S ＜S。

分析：聯(lián)想到二次方程的=6 -4ac，因此可以試用構(gòu)造二次方程的辦法解決問(wèn)題。

解：構(gòu)造一元二次方程S x +2S x+S =0?搖?搖?搖 ①

S 是正項(xiàng)數(shù)列前n項(xiàng)的和

說(shuō)明：這里為解決有關(guān)數(shù)列差的問(wèn)題，由聯(lián)想構(gòu)造出了一個(gè)一元二次方程，由于易于判斷它的根的性質(zhì)，從而達(dá)到了證明Δ＞0的目的，轉(zhuǎn)而證明了數(shù)列問(wèn)題，這里就是典型的構(gòu)造法。

2.3 構(gòu)造幾何模型

把已知條件或要證不等式中的代數(shù)量直觀化為某個(gè)圖形中的幾何量，即構(gòu)造出一個(gè)符合條件的幾何圖形，便可應(yīng)用該圖形的性質(zhì)及相應(yīng)的幾何知識(shí)證明不等式。

例3正數(shù)a、b、c、A、B、C滿足條件a+A=b+B=c+C=k，求證：aB+bC+cA＜k 。

用構(gòu)造法，數(shù)形結(jié)合，得出此不等式的巧妙證法。

證明一：由求證的不等式聯(lián)想到面積關(guān)系，有所設(shè)條件聯(lián)想到構(gòu)造以邊長(zhǎng)為k的三角形，如下圖所示：

證明二：由求證的不等式聯(lián)想到面積關(guān)系，由題設(shè)條件式聯(lián)想到以邊長(zhǎng)為k的正方形。如下圖所示：

上面從代數(shù)和三角各舉了一例。從上面兩道例題足以說(shuō)明：利用幾何圖形來(lái)證明不等式，不僅能使有關(guān)問(wèn)題簡(jiǎn)捷獲解，更重要的是能提供有效的幾何直觀，以加深對(duì)不等式實(shí)質(zhì)的理解。但在用這種方法時(shí)應(yīng)注意：

（1） 構(gòu)造幾何圖形不能盲目亂湊，要有正確的思考方法。從上面例子可得出總的思考原則：先尋找題目條件與所求問(wèn)題中給出的各種式子的幾何含義，然后考慮可借用哪些有關(guān)的幾何概念和性質(zhì)，在這些基礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)計(jì)，構(gòu)造出合適的幾何圖形。

（2） 此法不是對(duì)所有的代數(shù)或三角題都適用。因此，這種方法既要用得當(dāng)，又要解法比較簡(jiǎn)便。這就要求我們所構(gòu)造出的幾何圖形比較簡(jiǎn)單，切不要故弄玄虛，生硬拼湊出復(fù)雜的幾何圖形來(lái)解題。

2.4 構(gòu)造向量模型

例4設(shè)a、b為不相等的正數(shù)，求證：（a +b ）(a +b )＞(a +b ) 。

分析：利用向量的數(shù)量積不等式

|m|?|n|≥|m?n|。

證明：設(shè)m=(a，b)，n=(a ，b )，利用向量的數(shù)量積不等式有|m|?|n|≥|m?n|。由于a≠b，故ab -a b≠0，也即向量m與n不是平行向量，故|m|?|n|＞|m?n|，|m| ?|n| ＞|m?n| ，即（a +b ）(a +b )＞(a +b ) 成立。

2.5 構(gòu)造數(shù)列模型

例5求證：C+C+…+C＞n?2 。

分析：不等式左邊即為2 -1= ，從而聯(lián)想到等比數(shù)列的求和公式，于是

將上述三式相加并整理，即得x +y +z ≥ 。

3. 總結(jié)

構(gòu)造法證明不等式涉及的內(nèi)容很廣，綜合應(yīng)用了轉(zhuǎn)化函數(shù)、方程、數(shù)形結(jié)合等多種思想方法。其構(gòu)造的形式也很多樣，例如構(gòu)造復(fù)數(shù)、構(gòu)造向量、構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造反例等也是常遇到的。這也充分體現(xiàn)了構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的教學(xué)價(jià)值：提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的敏感性和數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力和審美能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］王延文.構(gòu)造法證明不等式［J］.中等數(shù)學(xué).1997，(2)：16.

［2］楊世海.淺析構(gòu)造法極其教學(xué)價(jià)值［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2004，(7)：29.

［3］王延文，王瑞.構(gòu)造函數(shù)證明不等式［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2002，(2)：18.

［4］趙春祥，趙文濤.構(gòu)造函數(shù)解（證）不等式［J］.數(shù)學(xué)通訊，2000，(17)：17.

［5］張君達(dá).高中數(shù)學(xué)奧林匹克專(zhuān)題講座［M］.北京：光明日?qǐng)?bào)出版社，1993：295.

［6］劉樺.精心聯(lián)想，巧妙構(gòu)造［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，1988，(1)：14.

篇4

【關(guān)鍵詞】均值不等式 幾何解題 應(yīng)用

【中圖分類(lèi)號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）10-0164-01

1.均值不等式的基本知識(shí)

均值不等式應(yīng)用的先決條件是對(duì)己知條件或目標(biāo)不等式的相關(guān)項(xiàng)或因式進(jìn)行分拆分組，使之符合均值不等式的結(jié)構(gòu)，而待定系數(shù)法則是幫助我們進(jìn)行合理配湊的技巧之一，待定系數(shù)由配湊的目標(biāo)確定，它常依賴(lài)于等號(hào)成立的條件、與相關(guān)常數(shù)的吻合以及分組后的局部不等式的構(gòu)造[2]。也就是說(shuō)，求待定系數(shù)的過(guò)程與應(yīng)用均值不等式的過(guò)程自然地統(tǒng)一起來(lái)了。

常見(jiàn)的不等式公式，如a2+b≥2等等，其中不定值在什么情況下，以什么數(shù)值出現(xiàn)時(shí)，其公式會(huì)產(chǎn)生什么變化，這些都需要謹(jǐn)記。

應(yīng)用最值定理必須注意：一正二頂三相等。“一正”即各項(xiàng)或各因式必須為正數(shù)；“二定”即必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結(jié)構(gòu)，如果找不出“定值”的條件用這個(gè)定理，求最值就會(huì)出錯(cuò)；“三相”等要保證等號(hào)確能成立，如果等號(hào)不能成立，那么求出的仍不是最值。

2.均值不等式具體應(yīng)用

2.1用于平面幾何

各省市的高考試題中對(duì)均值不等式的考查，均以最值問(wèn)題為背景，利用均值不等式求最值問(wèn)題是考生必須掌握的基本技能和重要的解題方法。

例1：設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且acosB-bcosA=c。其中不等式成立的前提條件a，b為正數(shù)。

點(diǎn)評(píng)：這道題從表面上看是簡(jiǎn)單的幾何模型問(wèn)題，但是在求解面積時(shí)涉及到面積的最大值，進(jìn)而將集合問(wèn)題轉(zhuǎn)換為均值不等式應(yīng)用問(wèn)題。只有將求解中t放入根號(hào)中變?yōu)閠2，出現(xiàn)均值不等式的定值才能順利實(shí)現(xiàn)解題的目標(biāo)。

均值不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)解題及生活實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用。但是在實(shí)際的解題過(guò)程中，很多學(xué)生在遇到看似復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)不能靈活的使用不等式來(lái)解決問(wèn)題。本文通過(guò)對(duì)均值不等式在幾何解題中的應(yīng)用研究，總結(jié)了均值不等式的基本知識(shí)，并在此基礎(chǔ)上分析均值不等式的具體應(yīng)用，希望以此對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中均值不等式的理解和應(yīng)用有所幫助。

篇5

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合 數(shù)與形 以形助數(shù)

以形助數(shù)就是把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)來(lái)確定，借助形的生動(dòng)直觀性來(lái)闡明數(shù)量之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的.實(shí)際上，在某些問(wèn)題上常用的方法就是數(shù)形結(jié)合，如有關(guān)集合問(wèn)題，在正確理解集合的概念及運(yùn)算意義的基礎(chǔ)上，合理運(yùn)用文氏圖和數(shù)軸；常結(jié)合圖像去研究函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、值域等；結(jié)合圖像研究一系列與二次方程的根的分布有關(guān)的結(jié)論；利用二次函數(shù)的圖像直觀地處理與二次方程、不等式有關(guān)的問(wèn)題；利用單位圓、三角函數(shù)的圖像研究三角函數(shù)問(wèn)題；向量的基本概念和基本運(yùn)算都可以與有向線段結(jié)合起來(lái)；在解線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)常把約束條件轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域（可行域）而用一族平行直線ax+by=z表示目標(biāo)函數(shù)z=ax+by……由此可見(jiàn)數(shù)形結(jié)合在各個(gè)知識(shí)點(diǎn)中都被廣泛地運(yùn)用著.靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要意義.下面從解題的對(duì)比說(shuō)明問(wèn)題.

1.與不等式有關(guān)的問(wèn)題

例1：若不等式|x-4|+|3-x|＜a的解集為空集，求a的取值范圍.

這道題目是已知不等式的解集求未知的參數(shù)，是考查不等式解法的逆向運(yùn)用，解這道題的一般思路是：先對(duì)a分類(lèi)討論：（1）a≤0時(shí)，不等式的解集為空集，符合題意；（2）a＞0時(shí)，先求不等式有解時(shí)a的取值范圍：a＞1，從而得當(dāng)0＜a≤1時(shí)，原不等式的解集為空集.然后求出（1）（2）兩種情況的并集：當(dāng)a≤1時(shí)，原不等式的解集為空集.整個(gè)解題過(guò)程涉及分類(lèi)討論，去絕對(duì)值，多次解不等式.按照這種方法去解題，易出錯(cuò)，花費(fèi)時(shí)間多.如果我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，顯然|x-4|+|3-x|=|x-4|+|x-3|表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到3和到4的距離之和（圖1），其最小值為1.即|x-4|+|x-3|≥1，若|x-4|+ |3-x|＜a的解集為空集，只需a≤1所以a的取值范圍是a≤1.后一種方法明顯比前一種方法簡(jiǎn)單、清楚，運(yùn)算量小，出錯(cuò)率低.

2.與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題

例2：求函數(shù)y=的最大值和最小值.

解：y=，令A(yù)（2，0）、B（cosx，-sinx），點(diǎn)B在單位圓x+y=1上，y=k.由圖2可知：當(dāng)直線AB與單位圓相切時(shí)，斜率有最大值及最小值，容易求出k的最大值為，最小值為-.

3.與軌跡有關(guān)的問(wèn)題

例3：設(shè)x，y∈R，i，j為直角坐標(biāo)系內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若向量=x+（y+2），=x+（y-2），且||+||=8，求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程.

分析：如果純粹從向量的模的代數(shù)意義上考慮，||+||=8，可化為+=8，再通過(guò)移項(xiàng)，平方等步驟得出軌跡方程，整個(gè)方程需要兩次平方去根號(hào)，從學(xué)生解答的情況看，很容易出錯(cuò).如果從向量的模的幾何意義上考慮，+=8指的是動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到兩定點(diǎn)F（0，-2）、F（0，2）的距離之和為8.由橢圓的第一定義可知，軌跡C就是以F，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，其方程是+=1.

這道題充分反映了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì).有些問(wèn)題比較特殊，采用常規(guī)方法來(lái)解，推理運(yùn)算過(guò)程復(fù)雜，如果利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解，就可以使推理運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)化.有意識(shí)地開(kāi)發(fā)并利用解析幾何中的“形”去思考、分析并解決問(wèn)題，可以拓寬思路，有利于提高綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

4.與最值有關(guān)的問(wèn)題

例4：若|z|=1，求|z+i|+|z-6|的最小值.

解：|z|=1，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在單位圓（如圖3），

|z+i|+|z-6|表示點(diǎn)P到A（0，-1），B（6，0）兩點(diǎn)之間距離的和，即：|z+i|+|z-6|=|AP|+|BP|≤|AB|=.

故|z+i|+|z-6|的最小值為.

數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，它可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化，生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).我們?cè)诮忸}中充分應(yīng)用這種思想方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的思維會(huì)有很大的幫助.

參考文獻(xiàn)：

［1］蔡惠萍.數(shù)學(xué)通報(bào).幾何圖形在代數(shù)解題中的應(yīng)用，2004.3：20-21.

［2］周潤(rùn)玲.中學(xué)數(shù)學(xué)研究.解析幾何中“形”的開(kāi)發(fā)和利用，2004.1：21-22.

［3］吳翠紋.中學(xué)數(shù)學(xué)研究.例談數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用，2004.7：9-11.

［4］齊如意.中學(xué)數(shù)學(xué)研究.巧用數(shù)學(xué)思想解不等式，2005.1：41-43.

篇6

一、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位與應(yīng)用

美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以被轉(zhuǎn)化成一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法?！边@就表明解題時(shí)若能挖掘問(wèn)題的幾何意義配以適當(dāng)?shù)膱D形，就有利于分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，豐富想象，拓展思路，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，迅速找出解決問(wèn)題的方法，提高分析和解決問(wèn)題的能力。

二、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例

1數(shù)形結(jié)合思想與參數(shù)方程、不等式的關(guān)系問(wèn)題

例1：討論關(guān)于x的方程x2-2|x|-3=a（a∈R）的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。

解法一：（常規(guī)思路）因?yàn)榉匠讨泻薪^對(duì)值，所以分x≥0和x＜0來(lái)求解。方程比較復(fù)雜，對(duì)于大多數(shù)高中生而言是比較困難的。

解法二：（數(shù)形結(jié)合思想）把等號(hào)兩邊分別看成2個(gè)函數(shù)，即令f（x）= x2-2|x|-3 ，g（x）=a作出f（x）的圖象，函數(shù)g（x）是與y軸垂直的直線。觀察圖形可知：a＜-4時(shí)，兩圖形無(wú)交點(diǎn)，即原方程無(wú)解。a=-4時(shí)，兩圖形有兩個(gè)交點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)解。-4＜a＜-3時(shí)，兩圖形有四個(gè)交點(diǎn)，即原方程有四個(gè)解。a=-3 時(shí)，兩圖形有三個(gè)交點(diǎn)，即原方程有三個(gè)解。a＞-3時(shí)，兩圖形有兩個(gè)交點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)解。

結(jié)果表明：用常規(guī)的解題思想很難下手，可以說(shuō)根本就沒(méi)辦法做出，而用數(shù)形結(jié)合思想則可以很準(zhǔn)確地得出答案，思路明確。

在參數(shù)方程中，我們還會(huì)遇到已知參數(shù)方程的解求參數(shù)的問(wèn)題。我們同樣可以利用例1的方法，如例1就可以轉(zhuǎn)化為此類(lèi)題型，由參數(shù)方程解的個(gè)數(shù)即為函數(shù)f（x）和g（x）圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖形就可求出參數(shù)a的取值范圍。

結(jié)果表明：用解法一這種常規(guī)思路來(lái)解答此類(lèi)題比較復(fù)雜，容易出錯(cuò)。而用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)分析、解決此類(lèi)問(wèn)題是比較方便、簡(jiǎn)捷、一目了然的。

2數(shù)形結(jié)合與不等式的解

例2：設(shè)f（x）=|2x+1|-|x-4|，解不等式f（x）＞2。

解法：（數(shù)形結(jié)合思想）作出函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|的圖象如圖，它與y=2的交點(diǎn)為（-7，2），（5/3，2）所以它的解集為x＞5/3或x＜-7。

結(jié)果表明：數(shù)形結(jié)合思想可以較快地把題解出。

例3：不等式的證明：已知a,b,c,d∈R,m=a2+b2+c2+d2,n=(a－c)2+(b－d)2，求證：m≥n。

證明：m=a2+b2+c2+d2=(a－0)2+(b－0)2+(c－0)2+(d－0)2，n=(a－c)2+(b－d)2，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)P(a,b),C(c,d),O(0,0)，由下圖可知，m=PO+CO≥n=PC(三角形兩邊之和大于第三邊，當(dāng)O點(diǎn)在線段PC上取等號(hào))。

3數(shù)形結(jié)合思想與最值、值域問(wèn)題

例4：實(shí)數(shù)x，y滿足等式（x-3）2+y2=3，求y/x的最大值。

解法：（數(shù)形結(jié)合思想）可觀察y/x的結(jié)構(gòu)即為過(guò)點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)（0,0）的直線的斜率k，而過(guò)點(diǎn)（0，0）的直線與圓相切時(shí)k最大。如圖所示：

設(shè)直線方程為y=kx，則d=3k/k2+1=3，所以k=2/2（取k＞0），所以y/x的最大值為2/2。

篇7

一、柯西不等式的一般形式

二、柯西不等式與點(diǎn)到直線距離公式的聯(lián)系

筆者將通過(guò)對(duì)高中階段一道常見(jiàn)的最值題目進(jìn)行研究，得到兩種“形很遠(yuǎn)”而“神很近”的解法，進(jìn)而找到柯西不等式與幾何中距離問(wèn)題的聯(lián)系.

使用方法二處理時(shí)，若問(wèn)何時(shí)取得最小值，還可以運(yùn)用求兩垂直直線AB與OE交點(diǎn)的方法，得到最值在點(diǎn)E（15，25）處取得.

比較上面兩種方法，不難發(fā)現(xiàn)：兩種解法的解題思路相去甚遠(yuǎn)，一種是從代數(shù)的方向，使用柯西不等式；而另一種則是從幾何的方向，使用點(diǎn)到直線的距離公式.然而不論是最終的結(jié)論與還是中間的解題過(guò)程，兩種方法都是完全相似的.

那么，柯西不等式和距離之間是否有某些聯(lián)系呢？能否用柯西不等式證明平面內(nèi)一般性的點(diǎn)到直線的距離公式？空間上有點(diǎn)到平面的距離公式嗎，如何定義？

在高中數(shù)學(xué)必修二中，課本采用平面解析幾何的方式，求出過(guò)已知點(diǎn)垂直于已知直線的新直線的方程，再運(yùn)用方程的思想，聯(lián)立方程組，求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，最終運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式得到點(diǎn)到直線的距離公式：平面上的點(diǎn)P（x0，y0）到直線ax+by+c=0（a，b不全為0）的距離為d=|ax0+by0+c|a2+b2.然而，此方法雖然思路簡(jiǎn)單，但證明過(guò)程卻非常繁瑣.下面筆者將運(yùn)用柯西不等式證明平面上點(diǎn)到直線的距離公式.

三、運(yùn)用柯西不等式類(lèi)比導(dǎo)出點(diǎn)到平面的距離公式

我們知道柯西不等式不僅僅適用于二維的情況，三維乃至n維它仍然適用.由于高中階段對(duì)三維空間上的立體幾何也有比較高的要求，因此下面重點(diǎn)應(yīng)用三維的柯西不等式，得到類(lèi)似于平面上點(diǎn)到直線距離公式的新的空間上點(diǎn)到平面的距離公式.

四、點(diǎn)到平面的距離公式在立體幾何中應(yīng)用

篇8

在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，對(duì)“數(shù)形結(jié)合”、“由形到數(shù)”，解題時(shí)可以觀察圖形的特征以及數(shù)量關(guān)系?！皵?shù)”“形”“數(shù)形結(jié)合”思想不僅對(duì)于學(xué)生掌握知識(shí)變得統(tǒng)一，更是一種思維的訓(xùn)練與提高的過(guò)程。函數(shù)的單調(diào)性解決不等式、函數(shù)與數(shù)列、函數(shù)的思想對(duì)于解決方程根的分布問(wèn)題。函數(shù)與解析幾何等等都會(huì)應(yīng)用到。但是傳統(tǒng)的教學(xué)中，重視表層知識(shí)的學(xué)習(xí)的現(xiàn)象弊端太多，數(shù)學(xué)學(xué)科是一種抽象思維的學(xué)習(xí)學(xué)科，不同于語(yǔ)言思維，過(guò)于感性化，不夠嚴(yán)謹(jǐn)與理性，而數(shù)學(xué)思維是抽象性、理性嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R(shí)體系學(xué)科，如果不注重思維學(xué)習(xí)的方法，是不能達(dá)成教學(xué)效果和目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)的，不利于對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí),難以提高。

2.“數(shù)形結(jié)合思想”在實(shí)際生活中的應(yīng)用

將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想去解決?！皵?shù)形結(jié)合”思想可以幫助理解抽象的問(wèn)題，會(huì)在實(shí)際生活中有很大的應(yīng)用。“數(shù)形結(jié)合”的思想不僅在教學(xué)中有用，利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題有很大的幫助。例如：對(duì)于在實(shí)際生活的中，需要地域500元購(gòu)入60元的單片軟件3片，需要購(gòu)入70元的磁帶2個(gè)，額選購(gòu)方式有幾種？其實(shí)這樣的題目就是對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想、排列以及數(shù)學(xué)中不等式的解法的考查，那么只要設(shè)需要軟件x片，需要磁帶y盒，然后列出不等式，相反，如果用列舉法一一列出，是可以解決的，但是過(guò)程就會(huì)變得麻煩。因此，掌握數(shù)形結(jié)合思想對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決作用是很大的。

3.“數(shù)形結(jié)合思想”在幾何當(dāng)中的應(yīng)用

中學(xué)數(shù)學(xué)中對(duì)于“數(shù)形結(jié)合”思想對(duì)于直線、四方形、圓以及圓錐曲線在直角坐標(biāo)系中的特點(diǎn)，都可以在圖形中尋找解題思路。不論是找對(duì)應(yīng)的圖像，以及求四邊形面積等的幾何問(wèn)題都有很大的應(yīng)用。例如：已知正方形ABCD的面積是30平方厘米，E，F(xiàn)是邊AB，BC上的兩點(diǎn)，AF，CE并且相交與G點(diǎn)，并且三角形ABC的面積是5平方厘米，三角形BCE的面積是14平方厘米，要求的是四邊形BEGF的面積。在求解過(guò)程中，結(jié)合圖形，連接AC\BG并設(shè)立方程可巧妙求解?？梢?jiàn)，在具體實(shí)際的幾何中的分析與思考，運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合思想就會(huì)將問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。

4.結(jié)語(yǔ)

篇9

優(yōu)良菌用樹(shù)種浙江潤(rùn)楠的育苗造林技術(shù)

一種超奇異橢圓曲線上的Tate對(duì)的JAVA實(shí)現(xiàn)

一類(lèi)三次系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與唯一性

Jordan不等式的進(jìn)一步改進(jìn)及證明

葛根多糖抑菌活性的測(cè)定

優(yōu)秀跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員助跑速度特性分析

普通高等學(xué)校信息化建設(shè)構(gòu)想

與時(shí)俱進(jìn)構(gòu)建高校內(nèi)部教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控體系

基于工作過(guò)程學(xué)習(xí)模式的技術(shù)實(shí)現(xiàn)分析

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篇10

一、引言

在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法遠(yuǎn)比掌握一般的數(shù)學(xué)知識(shí)要有用的多.轉(zhuǎn)化思想是我們解決問(wèn)題經(jīng)常采用的一種方法，它也是一種最基本最重要的思想方法.轉(zhuǎn)化思想又稱(chēng)轉(zhuǎn)換或化歸思想，是一種把待解決的問(wèn)題經(jīng)過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)到一類(lèi)已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題中去.能掌握并合理利用這種方法，將對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)、解題方法的灌輸?shù)犬a(chǎn)生重大而深遠(yuǎn)的影響.

二、轉(zhuǎn)化思想的概念

1.轉(zhuǎn)化思想的定義

從轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)上講，轉(zhuǎn)化思想可分為等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和非等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件，即舊問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化成新問(wèn)題的過(guò)程中不需要限制條件，新舊問(wèn)題完全等價(jià)，這種轉(zhuǎn)化思想就叫做等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。必要的驗(yàn)證，不等價(jià)轉(zhuǎn)化在明確附加限制條件后也有等價(jià)轉(zhuǎn)化同樣的意義和應(yīng)用.

2.轉(zhuǎn)化思想遵循的基本原則

（1）、熟悉化原則.就是將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，利于我們應(yīng)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題.

（2）、和諧化原則.指轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其成為有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合的思維規(guī)律.

（3）、簡(jiǎn)單化原則.就是將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的或獲得某種解題的啟示和依據(jù).

三、轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用的范圍

當(dāng)人們面臨一些新問(wèn)題，用正規(guī)的思維方法不能解答時(shí)，我們就需要轉(zhuǎn)化為我們熟知的已解決問(wèn)題中，從而使未解決的問(wèn)題變得熟悉和簡(jiǎn)單，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的熟悉化原則.

1.轉(zhuǎn)化思想在集合中的應(yīng)用

集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)和工具，可見(jiàn)其重要性.在解決一些集合問(wèn)題時(shí)從集合的表達(dá)形式不好入手，就需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化到我們所學(xué)過(guò)的知識(shí)上，這樣便能迅速的得到解決問(wèn)題的思路，如：是的子集可以轉(zhuǎn)化為、等.

說(shuō)明：點(diǎn)的交集問(wèn)題往往可轉(zhuǎn)化為曲線之間的公共點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程組求解的問(wèn)題，或者使用數(shù)形結(jié)合的思想將問(wèn)題的題設(shè)和結(jié)論轉(zhuǎn)化到圖形中，使問(wèn)題直觀形象化，從而有利于問(wèn)題的解決.

2.轉(zhuǎn)化思想在方程、不等式中的應(yīng)用

可以說(shuō)每個(gè)方程、不等式的解決都滲透了轉(zhuǎn)化思想，將方程和不等式中的未知數(shù)向已知數(shù)轉(zhuǎn)化就是一個(gè)典型的轉(zhuǎn)化，當(dāng)然在解題的過(guò)程中轉(zhuǎn)化思想也隨處體現(xiàn)，例如：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；將無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程；將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式等等.

說(shuō)明：在解分式方程或分式不等式時(shí)都要轉(zhuǎn)化為整式方程或整式不等式，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中注意原式分母的取值情況.

3.轉(zhuǎn)化思想在幾何中的應(yīng)用

在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)我們常用到數(shù)形結(jié)合的思想，即由代數(shù)式轉(zhuǎn)化為圖形，而在解決幾何問(wèn)題時(shí)，我們所用到是形與形之間的轉(zhuǎn)化，即在一個(gè)大圖形中實(shí)行局部圖形之間的轉(zhuǎn)化或是在多個(gè)圖形中根據(jù)相似、全等等特征實(shí)行線段與線段、圖形與圖形之間的轉(zhuǎn)化.

例3 如圖4-1所示，是半圓的直徑，過(guò)作的垂線，在這垂線上任取一點(diǎn)，過(guò)作半圓的切線，為切點(diǎn).作，連結(jié)交于，求證：.

分析：由題意，，，.則是的位似對(duì)應(yīng)線段（以為位似中心，以為位似比）.欲證點(diǎn)為的中點(diǎn)，只需證明點(diǎn)為的位似對(duì)應(yīng)線段的中點(diǎn)即可.連結(jié)并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于，連結(jié)， 為半圓直徑，，，為直角三角形，欲證，只需證即可.、同為切線，，只需要證明.即要證，又，，于是問(wèn)題解決.

證明（略）.

說(shuō)明：在上述解決幾何問(wèn)題的過(guò)程中，我們用到了線段與線段之間的轉(zhuǎn)化思想，這種轉(zhuǎn)化方式稱(chēng)為線段的位似轉(zhuǎn)化，通過(guò)線段之間的聯(lián)系將未知線段通過(guò)已知線段求解出來(lái).位似轉(zhuǎn)化思想在圖形與圖形的轉(zhuǎn)化中也是適用的.

例4 求證等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰距離之和等于腰上的高.

已知：在中，，是上任一點(diǎn)，交于，交于，交于.求證：.

說(shuō)明：利用面積法解決圖形中的線段關(guān)系，從已知條件出發(fā)，使未知條件與已知條件聯(lián)系在一起，找到解題的思路，從而解決未知問(wèn)題.

五、結(jié)論

1.意義

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問(wèn)題通過(guò)變換加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的思想. 轉(zhuǎn)化是將數(shù)學(xué)命題由一種形式向另一種形式的變換過(guò)程，是把待解決的問(wèn)題通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程歸結(jié)為一類(lèi)已經(jīng)解決或比較輕易解決的問(wèn)題，是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想方法，堪稱(chēng)數(shù)學(xué)思想的精髓，它滲透到了數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的各個(gè)領(lǐng)域和解題過(guò)程的各個(gè)環(huán)節(jié)中.

2.局限性

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用廣泛，無(wú)論是數(shù)與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化、形與形之間的轉(zhuǎn)化還是數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化都是轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn)，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用滲透于代數(shù)和幾何兩個(gè)學(xué)科的方方面面，本篇論文只是針對(duì)其中重要的幾個(gè)方面做論述，未涉及到數(shù)學(xué)的整個(gè)領(lǐng)域.