導(dǎo)語：如何才能寫好一篇勾股定理的研究，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

關(guān)鍵詞：框剪結(jié)構(gòu)；抗震鑒定；加固

中圖分類號： TU398文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

框架剪力墻結(jié)構(gòu)的概述

所謂的框架剪力墻結(jié)構(gòu)也稱框剪結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)是在框架結(jié)構(gòu)中布置一定數(shù)量的剪力墻，構(gòu)成靈活自由的使用空間，滿足不同建筑功能的要求，同樣又有足夠的剪力墻，有相當(dāng)大的側(cè)向剛度。對于框剪結(jié)構(gòu)的受力特點，是由框架和剪力墻結(jié)構(gòu)兩種不同的抗側(cè)力結(jié)構(gòu)組成的新的受力形式，所以它的框架不同于純框架結(jié)構(gòu)中的框架，剪力墻在框剪結(jié)構(gòu)中也不同于剪力墻結(jié)構(gòu)中的剪力墻。而剪力墻結(jié)構(gòu)是用鋼筋混凝土墻板來代替框架結(jié)構(gòu)中的梁柱，能承擔(dān)各類荷載引起的內(nèi)力，并能有效控制結(jié)構(gòu)的水平力。鋼筋混凝土墻板能承受豎向和水平力，它的剛度很大，空間整體性好，房間內(nèi)不外露梁、柱棱角，便于室內(nèi)布置，方便使用。剪力墻結(jié)構(gòu)形式是高層住宅采用最為廣泛的一種結(jié)構(gòu)形式。

某工程概況

某辦公樓建筑面積為2800m2，地下一層，地上二十七層，裙房2層，屋面標(biāo)高87.900m各層樓板均采用鋼筋混凝土現(xiàn)澆板，抗震設(shè)防烈度為7度，剪力墻抗震等級二級，框架抗震等級二級，場地類別Ⅱ類。底層為框架結(jié)構(gòu)，柱截面尺寸為800mm ×800mm，框架梁截面為350mm x1000mm，地下一層抗震墻厚320mm，一~二層抗震墻厚300mm，三~四層抗震墻厚度為250mm,五層以上抗震墻厚度為200mm.屋面為上人屋面，柔性防水做法，有組織排水?；A(chǔ)形式為平板式筏形基礎(chǔ)。因種種原因，現(xiàn)需要對結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震鑒定與加固設(shè)計。

結(jié)構(gòu)抗震鑒定

3.1、抗震鑒定主要流程，見圖1：

3.2、抗震鑒定方法。根據(jù)框架剪力墻結(jié)構(gòu)的特點、結(jié)構(gòu)布置、構(gòu)造和抗震承載能力等因素，采用相應(yīng)的逐級鑒定方法?？拐痂b定的方法分為兩級，是篩選法的具體應(yīng)用。第一是以宏觀控制和構(gòu)造鑒定為主進(jìn)行綜合評價。第一級鑒定的內(nèi)容較少，容易掌握又確保安全；第二是在第一級鑒定的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，以抗震驗算為主，結(jié)合構(gòu)造影響進(jìn)行綜合評價。當(dāng)結(jié)構(gòu)的承載力較高時，可適當(dāng)放寬某些構(gòu)造要求;或者，當(dāng)抗震構(gòu)造良好時，承載力的要求可酌情降低。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)未給出具體鑒定標(biāo)準(zhǔn)時，可采用抗震設(shè)計規(guī)范規(guī)定的方法，按下式進(jìn)行結(jié)構(gòu)構(gòu)件抗震驗算:

≦（式 1）

式1中，S—結(jié)構(gòu)構(gòu)件內(nèi)力組合的設(shè)計值；R—結(jié)構(gòu)構(gòu)件承載力設(shè)計值；—抗震鑒定的承載力調(diào)整系數(shù)。這種鑒定方法，將抗震構(gòu)造要求和抗震承載力驗算要求更緊密得聯(lián)合在一起，具體體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)抗震能力是承載能力和變形能力兩個因素的有機(jī)結(jié)合。

3.3、抗震鑒定在本工程中的應(yīng)用

首先對砌筑用磚和混凝土強(qiáng)度采用回彈法、對砂漿采用回彈法和貫人法進(jìn)行檢測。檢測結(jié)果表明:結(jié)構(gòu) 1~3 層混凝土強(qiáng)度為 47MPa，結(jié)構(gòu)四層至頂層混凝土強(qiáng)度實測為 43MPa，均略高于平均值29.5MPa，綜合評定其抗壓強(qiáng)度符合規(guī)范要求；其次采用采用經(jīng)緯儀棱線投射法對房屋外墻棱線傾斜進(jìn)行測量，測定建筑物外墻頂點相對底部的偏移值，結(jié)果顯示，該房屋最大傾斜率為 1.1‰，在規(guī)范限值范圍內(nèi)；第三是抗震承載力分析。第四是抗震驗算。在鑒定驗算的過程中，結(jié)構(gòu)按丙類建筑考慮，屬于A 級高度的框架剪力墻結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)防列度為七度，Ⅱ類場地，設(shè)計地震分組為第一組，多遇地震時場地設(shè)計特征周期取為 0.35s，設(shè)計基本加速度取為 0.10g。該房屋的框架抗震等級為二級，剪力墻抗震等級為二級。對該結(jié)構(gòu)按現(xiàn)行規(guī)范進(jìn)行抗震驗算，計算軟件采用 10 版 SATWE 軟件和 ETABS，將兩款計算軟件的計算結(jié)果進(jìn)行相互校核，以保證計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，建立結(jié)構(gòu)的整體模型。結(jié)構(gòu)整體計算采用振型分解反應(yīng)譜分析法，計算振型個數(shù)取 21，考慮扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)，振型組合采用 CQC 振型組合方法。如果按7度抗震設(shè)防進(jìn)行了多遇地震作用下的彈性分析。結(jié)構(gòu)的動力特性見表1：

通過計算，SATWE 與 ETABS 計算得到的結(jié)構(gòu)位移信息相差較小，說明計算結(jié)果比較可信。SATWE 的計算結(jié)果如下：結(jié)構(gòu) X、Y 方向最大層間位移角分別為 1/1024 和 1/838，X、Y 方向最大層間位移與層間平均層間位移的比值分別為 1.22 和 1.27，滿足規(guī)范相關(guān)限值的要求。

4、抗震加固方案

4.1、房屋的抗震承載力加固措施。為增強(qiáng)房屋底層的抗震承載力，提高房屋的整體剛度，采用鋼筋網(wǎng)水泥砂漿對底層磚墻雙面加固。材料選用水泥砂漿，砂漿強(qiáng)度等級為M10，厚度為40mm。

4.2、局部構(gòu)件承載力加固措施。首先采用單榀框架計算，縱向連接依據(jù)構(gòu)造措施設(shè)計。計算發(fā)現(xiàn)，底層軸、橫向連系梁截面、配筋均不足，采用擴(kuò)大截面加固法；其次是框架梁梁底配筋不足的問題，可采用碳纖維加固法，有效提高框架梁強(qiáng)度且不影響使用空間；第三是針對2,3層部分墻體被拆除，可采用雙拼槽鋼加固，為防止局部墻肢破壞、使結(jié)構(gòu)受力傳播合理，對剩余磚墻及槽鋼梁進(jìn)行擴(kuò)大截面加固，磚墻采用截面擴(kuò)大加固，應(yīng)延伸至1層。

4.3、構(gòu)造柱設(shè)計加固措施。 如果是房屋由于抗震性能和整體性不足，可以采用增加構(gòu)造柱的加固方法。構(gòu)造柱按照規(guī)范要求整體布置，根據(jù)布置位置的不同，采用不同的做法。同時，新增構(gòu)造柱應(yīng)同原有墻體及圈梁可靠連接。

4.4、新增隔墻的加固措施。新增隔墻有利于結(jié)構(gòu)傳力，采用承重墻的做法。在一般情況下，可以采用兩根8沿墻體全長拉通，間隔500mm設(shè)置，與框架柱可靠連接。

4.5、抗震加固在本工程中的方案應(yīng)用

由上文的抗震鑒定驗算可知，對于計算結(jié)果中配筋不足的梁、柱，本工程采用粘貼碳纖維的方案對本工程進(jìn)行加固。對于七層的超筋柱采用增大截面法進(jìn)行加固，新增混凝土的厚度不小于 60mm，考慮到施工的可行性，將原截面直徑為 800mm 的混凝土柱加大截面至 1000mm，新增混凝土采用細(xì)石混凝土，強(qiáng)度不低于 C40，新老混凝土交界面需鑿毛處理，并在增大的混凝土中配一定量的受力鋼筋與箍筋，并與原結(jié)構(gòu)構(gòu)件間用植筋的方法增加拉結(jié)筋進(jìn)行連接。該房屋三層高為 6.4m，在三層 3.2m 高度處增設(shè)隔墻。隔墻采用鋼梁，帶肋花紋鋼板作樓面。夾層樓面梁布置與原結(jié)構(gòu)三層樓面梁布置類似。鋼梁為焊接工字形截面梁，鋼梁通過焊接型環(huán)形箍板固定于原混凝土柱。環(huán)形箍板由化學(xué)錨栓固定于原混凝土柱。花紋鋼板及加勁肋厚度均取為 8mm。采用以上措施加固后，按砌體結(jié)構(gòu)再次進(jìn)行抗震驗算。

本次采用 SATWE 軟件對增加隔墻后的整體結(jié)構(gòu)重新分析，其中隔墻部分主梁與柱之間連接為剛接，主梁與剪力墻之間連接為鉸接，次梁與主梁之間連接為鉸接；由于花紋鋼板樓面的剛度較弱，分析時將此層樓板設(shè)為彈性膜；結(jié)構(gòu)七層計算超筋柱按增大截面后的截面輸入。計算結(jié)果見表 2 所示：

結(jié)構(gòu) X、Y 方向最大層間位移角分別為 1/998 和 1/815，X、Y 方向最大層間位移與層間平均層間位移的比值分別為 1.24 和 1.30，滿足規(guī)范要求；原七層超筋柱經(jīng)加固后的計算配筋率為 3.6%，能滿足抗震規(guī)范中規(guī)定的柱縱筋配筋率的要求，證明采用增大截面法對于加固結(jié)構(gòu)超筋構(gòu)件的有效性。

結(jié)束語

總之，加固設(shè)計應(yīng)根據(jù)結(jié)構(gòu)的布置情況，合理的布置剪力墻、鋼支撐的位置、數(shù)量，保證加固后結(jié)構(gòu)體形、平、立面剛度的均勻性，避免出現(xiàn)加固后出現(xiàn)新的薄弱環(huán)節(jié)，同時在進(jìn)行加固設(shè)施工時，應(yīng)采用有效的施工措施，保證新增構(gòu)件與原構(gòu)件應(yīng)有可靠錨固與連接，同時避免對原結(jié)構(gòu)構(gòu)件造成損傷。使新舊構(gòu)件協(xié)同工作，達(dá)到預(yù)期的加固效果。并且由于地震作用的復(fù)雜性，如何選用更加合理的方法對鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震反應(yīng)分析，以達(dá)到較為精確的計算結(jié)構(gòu)彈塑性變形，依然需要做進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)：

[1]任鳳鳴.鋼管混凝土框架—核心筒減震結(jié)構(gòu)的抗震性能研究[D].廣州大學(xué),2012.

篇2

    一、注意分清直角邊和斜邊

    例1 在Rt 中,a=8㎝,b=10㎝, ,求第三邊長c.

    錯解:由勾股定理,得 ,  .所以第三邊長為 ㎝.

    分析:本題解法中錯在沒有正確運用題中所給的條件,忽視了 ,由于 ,所以b應(yīng)為斜邊,而不是c.

    正解:因為 , , ,

    ,故第三邊長為 6㎝.

    二、注意定理的應(yīng)用條件

    例2 已知 中,三邊長a、b、c為整數(shù),其中a=3㎝,b=4㎝,求第三邊c的長.

    錯解: 由勾股定理,得 ,  , (㎝).

    分析: 勾股定理使的條件必須是在直角三角形中,本題解法是受"勾3股4弦5 "的影響,錯把 當(dāng)成直角三角形,導(dǎo)致錯誤的使用勾股定理.

    正解: 由三角形三邊關(guān)系可得 , ,又c為整數(shù), C的長應(yīng)為2㎝、3㎝、4㎝、5㎝或6㎝.

    三、注意定理和逆定理的區(qū)別

    例3 判斷下列三條線斷能否構(gòu)成直角三角形:a=3、b=4、c=5.

    錯解: ,即 ,所以根據(jù)勾股定理可知,a、b、c能構(gòu)成直角三角形.

    分析: 本題錯在在解題依據(jù)上混淆了定理和逆定理的條件結(jié)論,勾股定理是由"形"推得"數(shù)",而逆定理則是由"數(shù)"推得"形".因此不可混用.

    正解:  ,即 ,由勾股定理逆定理可知,三條線段能構(gòu)成直角三角形.

    四、注意解題語言敘述

    例4 已知三角形的三邊長為5、12、13,試說明三角形是直角三角形.

    錯解:因為直角邊是5和12,斜邊是13 ,所以 ,故三角形是直角三角形.

    分析:解法中錯在一開始就明示了"直角邊"和"斜邊",事實上只有在三角形是直角三角形的條件下才能稱其為"直角邊"、"斜邊".

    正解: ,滿足 ,由由勾股定理逆定理可知, 三角形是直角三角形.

    五、注意分類討論

    例5  在Rt 中,已知兩邊長為3、4,求第三邊的長.

    錯解: 因為 是直角三角形,  的第三邊長為 .

    分析: 本題錯在只考慮3、4為直角邊的可能,而忽視了4也可以作為斜邊的情況,因此須分類討論.

    正解:(1)若4為直角邊,則第三邊的長為 ;(2) 若4為斜邊, 則第三邊的長為 .故第三邊長為5或 .

    例6已知在 中,AB=4,AC=3,BC邊上的高等于2.4,求 的周長.

    錯解:如圖1所示,

    由勾股定理,得 ,

    , .

    的周長為 .

    分析:上面解法中,只考慮了三角形的高在三角形內(nèi)部的情況,忽視了高在形外的情況,即當(dāng) 是鈍角三角形時.因此須分類討論.

    正解: 由勾股定理,得 , .

    (1)若 是銳角(如圖1),則 ,這時 的周長為

    ;

    (2) 若 是鈍角(如圖2),

    則 ,這時 的周長為 .所以 的周長為12或 .

    例7已知在Rt 中,兩直角邊的長為20和15, ,求BD的長.

    錯解: 如圖3所示,

    由題意根據(jù)勾股定理,得 ,又由面積法可得

    , ,在Rt 中,由勾股定理得BD= .

    分析:本題錯在只考慮了AB的長是20的可能,忽視了AC的長也可能為20的情況.因此須分兩種情況求解.

    正解: 由題意根據(jù)勾股定理,得 ,又由面積法可得 , .

    (1)當(dāng)AB=20時,如圖3,BD= .

    (2) 當(dāng)AC=20時,如圖4,

    BD= .

篇3

關(guān)鍵詞：勾股定理；歷史；證明

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）10-0106-02

在我國最古老的數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開頭，記載著一段周公（西周著名的政治家，公元前1100年左右）向商高（周時的賢大夫）請教數(shù)學(xué)知識的對話，昔者周公問商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？”商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，……以為勾廣三，股修四，徑偶五。既方之……”譯文：從前周公問商高：“我私下聽說你善于演算，請問遠(yuǎn)古者包犧氏（傳說中的人物）對整個天空逐于量度之事是如何完成的，那天不能由臺階而上，地不能用尺寸來量，請問相關(guān)的數(shù)據(jù)是怎樣產(chǎn)生的？”商高說：“……在對矩形（長方形）沿對角線對折時，會產(chǎn)生短邊（勾）長為3，長邊（股）長為4，斜長（弦）為5的直角三角形的比率。”故有人稱之為“商高定理”。

篇4

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；《探索勾股定理》；拓展性課程

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）02-0087

眾所周知，勾股定理的內(nèi)容非常豐富，但現(xiàn)行的教材（以浙教版為例）只安排兩個課時，教學(xué)受課時的限制，不能充分利用勾股定理發(fā)展學(xué)生的問題解決、人文積淀、理性思維等核心素養(yǎng)。本文以開發(fā)《探索勾股定理》的拓展性課程為例，展示以學(xué)校教研組為團(tuán)隊如何依托數(shù)學(xué)課本開發(fā)拓展性課程，以期拋磚引玉。中國學(xué)生發(fā)展六大核心素養(yǎng)中有十八個基本要點，其中三個是問題解決、人文積淀、理性思維，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的前言中也有類似的表述。對應(yīng)三個基本要點確定三個課時的拓展性課程，在上完基礎(chǔ)性課程的兩個課時后進(jìn)行。因篇幅所限，只展示每個課時的教學(xué)目標(biāo)、學(xué)習(xí)內(nèi)容及要求、課外作業(yè)。

第一課時：勾股定理在生活中的應(yīng)用

設(shè)置緣由：數(shù)學(xué)課最缺的是實踐課，學(xué)生非常喜歡實踐課，開發(fā)團(tuán)隊成員一致同意每學(xué)期開發(fā)一節(jié)實踐課。

教學(xué)目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生觀察生活，體驗生活中的數(shù)學(xué)，體驗用數(shù)學(xué)模型刻畫現(xiàn)實世界。

活動內(nèi)容及要求：（1）帶學(xué)生參觀有人字梁結(jié)構(gòu)的農(nóng)村老宅，請當(dāng)?shù)厥炙嚤容^好的手藝人，一個木匠，一個泥水匠當(dāng)講解員。（2）泥水匠展示方地基的方法。造房子時要先奠基，在一百多平方米的地上要設(shè)置很多個直角，選好位置打下木樁，固定好線，沿線做墻腳。怎樣使墻角正好是直角呢？先沿房子的朝向打下兩個木樁，兩個木樁之間的距離為三尺，調(diào)整第三個木樁的位置，使它與前兩個木樁的距離分別為四尺與五尺。拉上線，再微調(diào)。泥水匠師傅說，這種方地基的方法是師傅們口耳相傳的好方法，若是正式造房子開工方地基的日子，儀式很隆重。（3）木匠師傅主要舉了兩個例子。一個例子是如何預(yù)算建造斜屋頂結(jié)構(gòu)的房子用到的木料，特別是人字梁結(jié)構(gòu)中斜線部分的木料長度的計算方法。第二個例子是如何在大塊的板材中確定直角。（4）教師作為主持人、主持師傅與學(xué)生的互動，讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)模型解釋實際應(yīng)用問題。

課外作業(yè)：找一個生活中實際用到勾股定理的例子，寫心得體會交流。

第二課時：勾股定理的歷史文化

收集方法：這部分內(nèi)容多而雜。動員團(tuán)隊所有成員參與，從網(wǎng)上和書本中搜集并整理。

教學(xué)目標(biāo)：在對勾股定理歷史了解的過程中，感受數(shù)學(xué)文化，感受歷代世界人民的智慧和探索精神，感受數(shù)學(xué)知識源遠(yuǎn)流長和數(shù)學(xué)價值的偉大。

學(xué)習(xí)內(nèi)容及要求：

（1）勾股定理的發(fā)現(xiàn)：公元前1100多年的《周髀算經(jīng)》中，就有勾股定理的記載，相傳是商代商高發(fā)現(xiàn)的。三國時的趙爽給出了證明，2002年北京國際數(shù)學(xué)大會的徽標(biāo)就是趙爽證明勾股定理用的弦圖。勾股定理被西方人稱為畢達(dá)哥拉斯定理，是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年發(fā)現(xiàn)的。相傳畢達(dá)哥拉斯花了很多的精力才證明了這個定理，他很高興，于是宰了百頭牛慶賀一番，不過畢達(dá)哥拉斯對勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。這個定理有流傳很廣，印度、希臘、巴比倫、中國、埃及等文明古國對此定理都有所研究。要求學(xué)生課前和課后整理出趙爽和畢達(dá)哥拉斯的相關(guān)成果，了解《周髀算經(jīng)》等中國古代經(jīng)典數(shù)學(xué)著作。

（2）勾股定理巨大輻射能力：①勾股定理是數(shù)與形結(jié)合的典范，啟發(fā)后人對函數(shù)的研究；②畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯利用勾股定理導(dǎo)發(fā)現(xiàn)了根號2，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)展到實數(shù)；③勾股定理使數(shù)學(xué)在追求邏輯體系和數(shù)學(xué)美的過程中發(fā)展了現(xiàn)代數(shù)學(xué)；④勾股定理中的公式是一個最早的不定方程，引發(fā)了包括著名的費馬大定理。⑤勾股樹的拓展，勾股樹中的正方形可以變換為正三角形、半圓、月亮形等許多圖形。要求學(xué)生例舉數(shù)形結(jié)合的例子；能描述三次數(shù)學(xué)危機(jī)；能舉例一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)；了解費馬大定理的內(nèi)容及費馬的成就。

（3）勾股定理的證明方法多樣化。由于勾股定理的證明起點很低，所以千百年來下至業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者、普通的老百姓，上至著名的數(shù)學(xué)家、國家總統(tǒng)都參與了勾股定理的證明。勾股定理有四百多種證明方法，目前還找不到一個定理的證明方法之多能超過勾股定理。

“總統(tǒng)”證法的故事：1876年一天的傍晚，美國的議員伽菲爾德由于受到了兩個小孩的追問，開始對勾股定理證明進(jìn)行思考……后來他在繼承的基礎(chǔ)上反復(fù)思考終于找到了獨特的證法。1876年，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他的證法。由于在1881年伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)，人們就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。要求學(xué)生課前和課后搜集有趣的勾股定理證明故事并交流。

第三課時：勾股定理的證明方法

證明方法選擇的標(biāo)準(zhǔn)：證法有四百多種，但不能窮盡，要選擇重要的、典型的、適合初中學(xué)生的證法。

教學(xué)目標(biāo)：在勾股定理的探索過程中培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和創(chuàng)新能力，體會深層次的數(shù)形結(jié)合；發(fā)展形象思維，體驗解決問題方法的多樣性，培養(yǎng)探索精神。

學(xué)習(xí)內(nèi)容及要求：

（1）趙爽證法。最早對勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽。如圖1，就是趙爽創(chuàng)造的弦圖。以a、b（b>a）為直角邊，c為斜邊作四個全等的直角三角形拼成所示形狀，4×（1/2）ab+（b-a）2=c2，a2+b2=c2這是課本上的證法，不必細(xì)講。應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識到本題的證法并非嚴(yán)密的演繹推理，如圖形中的內(nèi)外兩個正方形就沒有證明。

（2）鄒元治證法。如圖2，也是用面積法，證明方法略。

（3）總統(tǒng)證法。如圖 3， 這個證明方法是趙爽證明方法的變形，也是用面積法，證明方法略。

（4）歐幾里德證法。如圖4，以a、b、c分別為直角邊斜邊RtABC，再分別以a、b、c為邊，在直角三角形外部作正方形ABED、CBKG、ACHF，連結(jié)BF、CD，過C作CLDE，交AB于點M，交DE于點L.AF=AC，∠FAB=∠CAD，AB=AD，F(xiàn)AB≌CAD.SFAB=（1/2）a2，而SCAD等=（1/2）S矩形ADLM，S矩形ADLM=a2。同理可證，S矩形MLEB=b2.S正方形ADEB=S矩形ADLM+S矩形MLEB，c2=a2+b2，即a2+b2=c2。應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識到本題的證法是典型演繹推理，是歐氏幾何，后面兩種證法也是如此。

（5）相似三角形性質(zhì)證法。如圖5，RtABC中，a、b、c分別為直角邊斜邊，過點C作CD AB，垂足為D.可證得CAD∽BAC， AD/AC=AC/AB，AC2=AD× AB.同理BC2=BD× AB，AC2 +BC2=AB（AD+ BD）= AB2，即a2+b2=c2。

（6）切割定理證法。如圖6，RtABC中，a、b、c分別為直角邊斜邊，以B為圓心、a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD=BE=BC=a，因為∠BCA=90°，點C在B上，所以AC是B的切線。由切割線定理得AC2=AD×AE=（AB-BD）（AB+ BE） =（c-a）（c+a）=c2-a2， 即b2=c2-a2，所以a2+b2=c2。

（7）證法評析。中國證法的獨到之處是善用面積法，巧妙地避開了角的性質(zhì)及平行線性質(zhì)的繁瑣理論，簡潔明了，吳文俊、張景中等發(fā)展的數(shù)學(xué)機(jī)械化方法深受中國古代數(shù)學(xué)思想的影響。后三個證法追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，對提升人們的理性精神，注重演繹推理的科學(xué)精神具有不可替代的地位。

篇5

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；勾股定理；人教版教材；編排；商榷

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-010X（2015）06-0071-03

一、人教版教材勾股定理內(nèi)容編排

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的一座橋梁，是人類早期發(fā)現(xiàn)、證明、運用的重要數(shù)學(xué)定理之一，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展也產(chǎn)生了重要而深遠(yuǎn)的影響。為了使學(xué)生較好地掌握這一定理，人教版數(shù)學(xué)教材在八年級（初二）下冊安排了這一內(nèi)容。教材通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想、計算、證明等活動學(xué)習(xí)并掌握勾股定理，還介紹了中國古代對勾股定理的研究成果，旨在培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感。這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，是很用心的編排?？晌覀儚膶W(xué)生學(xué)習(xí)效果的反饋中發(fā)現(xiàn)：學(xué)生離課標(biāo)的要求有較大差距，原因何在呢？為此，我們用問卷和訪談兩種方式進(jìn)行了調(diào)查。問卷結(jié)果顯示：有81%的同學(xué)認(rèn)為勾股定理很重要。有49%的同學(xué)認(rèn)為勾股定理很難學(xué)。在調(diào)查勾股定理的證法時，發(fā)現(xiàn)有58%的同學(xué)能畫出證法的圖，其中34%的同學(xué)畫出的是趙爽弦圖，8%的同學(xué)畫出的是加菲爾德圖，2%的同學(xué)畫出的是“傳說中的畢達(dá)哥拉斯圖”。 但只有27%的同學(xué)正確寫出了證法，只有1%的同學(xué)用的是趙爽的出入相補(bǔ)法。訪談中我們還發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生認(rèn)為畢達(dá)哥拉斯對勾股定理的貢獻(xiàn)比趙爽大。大部分學(xué)生不清楚中國是什么時候開始使用勾股定理的。

這種狀況的出現(xiàn)顯然不能排除教師的教和學(xué)生的學(xué)這兩方面造成的原因。但通過進(jìn)一步的分析，我們發(fā)現(xiàn)教材在編排方面有值得商榷的地方。

（一）內(nèi)容呈現(xiàn)的邏輯順序易誤導(dǎo)學(xué)生

教材在這一章引言介紹了我國古代對勾股定理的研究成果，而正文卻從畢達(dá)哥拉斯觀察地板格子發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系引入，再引申到一般直角三角形，然后是趙爽的證明。旁邊又注明“在西方，人們稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理”。在后面的閱讀思考中又有“傳說中的畢達(dá)哥拉斯的”證法。引言部分容易被學(xué)生忽視掉，而從第一節(jié)讀起來讓人感覺勾股定理的發(fā)現(xiàn)到證明都是畢達(dá)哥拉斯，趙爽只是給出了一種證法而已。學(xué)生的這種印象先入為主，會成為最深刻的印記――提起勾股定理就會想到畢達(dá)哥拉斯。而中國人對勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明都比畢達(dá)哥拉斯早很多。這種誤導(dǎo)對中國學(xué)生尤其不公平。

（二）難度較大的地方有兩處

1.探究活動中給出的提示忽視了學(xué)生原有知識基礎(chǔ)，超出了學(xué)生能力。解決等腰直角三角形三邊關(guān)系的問題時，教材引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)格子的方法通過計算面積相等，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形三邊的關(guān)系。而在解決一般直角三角形三邊關(guān)系的問題時，教材給出了一個提示：以斜邊為邊長的正方形面積等于某個正方形面積減去4個直角三角形的面積。應(yīng)該說這種方法和中國流傳最廣的那張弦圖的證法如出一轍，是很經(jīng)典的一種證法?？伤诖藭r出現(xiàn)，卻給絕大多數(shù)的學(xué)生搭建了一個無法爬上的梯子。教材的提示直接給了方法，而這種方法需要的能力，學(xué)生并不具備，于是學(xué)生就不會做。即使在老師的引導(dǎo)下做了也很難留下深刻的記憶。這個地方卡住了，下面就很難學(xué)會了。怎樣讓學(xué)生比較容易地學(xué)會呢？學(xué)生們此時仍需用數(shù)格子的方法解決這一問題。而新的問題是出現(xiàn)了形狀不統(tǒng)一、面積不相等的不完整的格子，把這些格子數(shù)清成為關(guān)鍵！不論大小，不管形狀，每一個不滿的格子都按半格數(shù)是一種簡便的方法。學(xué)生會做，但不知為什么要這樣做。而給出下圖的提示有助于學(xué)生數(shù)清這些格子，并從原理上弄明白三角形與矩形的面積關(guān)系，從而弄明白教材提示的“某個正方形”是個在什么位置的正方形。學(xué)生弄懂了這些，下文趙爽的證法就不顯得那么難懂了。

2.教材為了弘揚我國古代成就介紹了趙爽的證法，包括趙爽弦圖和利用弦圖證明勾股定理的基本思路。把兩個靠在一起的正方形拼成一個大正方形是一個圖形變化過程，它是動態(tài)的?？繒蠋追o止的圖和一段邏輯嚴(yán)密的文字來表述，不容易讓學(xué)生看懂。好多學(xué)生費了半天勁兒看懂了，也無法像其他證明題一樣用“因為、所以”把證明過程清晰地寫出來。這就讓原本簡單明了的證法變得繁雜難懂了。而趙爽弦圖下的知識鏈接――“趙爽指出：按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四。以勾股之差自相乘為中黃實。加差實，亦成弦實?！焙苊黠@也是勾股定理的證法，而且是學(xué)生可以用代數(shù)式寫出來的證法。相比之下，這一證法反而顯得簡單且易被學(xué)生接受。但是只引用了古文，沒有把古文翻譯成現(xiàn)代漢語。以初二學(xué)生應(yīng)有的水平去讀，學(xué)生看不懂。

趙爽的證法夠簡單，但不是最簡單的。學(xué)生更容易看懂教材30頁上標(biāo)注的“傳說中的畢達(dá)哥拉斯的”證法。在兩張全等的正方形紙上用八個全等的直角三角形拼出下面的圖形。學(xué)生很容易就弄懂了左圖的以斜邊為邊長的正方形的面積等于右圖的兩個小正方形的面積的和。計算面積就證出了勾股定理。學(xué)生說這種證明小學(xué)生也能看懂。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人。我們的教材不應(yīng)該只是寫給老師看的，更應(yīng)該是寫給學(xué)生看的。學(xué)生看得懂的教材才是最好的教材。

（三）教材在史料表述上有不嚴(yán)謹(jǐn)之處

1.有關(guān)畢達(dá)哥拉斯的部分相傳、傳說各出現(xiàn)一次。“相傳、傳說”這一類詞似不宜在數(shù)學(xué)書中出現(xiàn)，因為缺乏充分證據(jù)。中國流傳最廣的證法是在有格子的圖上進(jìn)行的。而畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的歐幾里德通過證明三角形全等來證明面積相等進(jìn)而證明直角三角形三邊關(guān)系，與格子無關(guān)。

2.趙爽的生存年代在教材上注為漢代，在教師用書上又多次注為三國。雖然漢代和三國時間緊連，但還是統(tǒng)一說法為好。

3.中國人在公元前1100年發(fā)現(xiàn)勾股定理，畢達(dá)哥拉斯在2500多年前發(fā)現(xiàn)。乍一看好像畢達(dá)哥拉斯比中國人早，而實際上2500多年前是公元前500年前，比公元前1100年晚了600年。這兩個數(shù)據(jù)應(yīng)該使用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。

4.公元前1100年這一數(shù)據(jù)是采用了周公的年代。周公是周武王的弟弟，是商末周初杰出的政治家和軍事家，被尊為儒學(xué)奠基人，也是孔子一生最崇敬的古代圣人之一?！吨荀滤憬?jīng)》的第一部分就是周公與商高的對話。而根據(jù)《周髀算經(jīng)》的記載大禹時期已開始使用勾股定理了。大禹在他的兒子啟建立夏朝之前，即大約公元前2070年之前。所以英國皇家學(xué)會會員、劍橋大學(xué)岡維爾和凱厄斯學(xué)院院長李約瑟認(rèn)為“我們現(xiàn)在不能像畢甌那樣肯定地說它比畢達(dá)哥拉斯（公元前530年著稱）早五、六個世紀(jì)，但也沒有很多理由把它推遲，而且它也很可能還要更早的?！?/p>

5.教材上把那個小學(xué)生都能看得懂的證明歸在了畢達(dá)哥拉斯的名下。而美國的謝爾曼?克?斯坦因在《數(shù)字的力量》一書中注明這種證法是中國人的。同一種證法總得有足夠的證據(jù)才能定下歸屬。中國古書留傳不多，畢達(dá)哥拉斯也沒有著作流傳下來。歐幾里德《幾何原本》的證法和上面的證法沒有關(guān)聯(lián)。趙爽的證法和上面的證法也聯(lián)系不大。那么商高的證法呢？商高的那段話“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。故折矩以為勾廣三、股修四、徑隅五。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤。得成三四五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也?！笔遣皇枪垂啥ɡ淼淖C法？我們一般人確實很難懂。好在中國有人讀懂了，并復(fù)原了證法的圖。

從這些圖中我們挑出中間的和右側(cè)的兩幅，把中間的那幅補(bǔ)成正方形――這不就是那種最簡單的證法嘛！或者說商高的證法和這種證法有明顯的傳承關(guān)系――那種最簡單的證法脫胎于商高的證法。商高的年代比畢達(dá)哥拉斯早很多，即使畢達(dá)哥拉斯也有同樣的證法，我們也可以理直氣壯地說這種證法是中國人先發(fā)現(xiàn)的。我們的教材可以把這種證法放在最顯著的位置上，明確地標(biāo)注這種證法起源于中國。國際上對勾股定理的命名我們可能改不了，可我們有義務(wù)讓學(xué)生知道中國古代的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)先其他國家很多年，屬于中國的知識產(chǎn)權(quán)我們不能拱手讓人。

二、對內(nèi)容編排的建議

篇6

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)史；勾股定理；教育價值

數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教育的價值已不僅僅停留在理論層面的討論. 翻閱近兩年的數(shù)學(xué)教育類雜志可以發(fā)現(xiàn)，越來越多的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師也在撰文闡述自己在教學(xué)中使用數(shù)學(xué)史的一些體會和教學(xué)案例. 在課程改革不斷深入的當(dāng)下，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)對于踐行課改的理念，培養(yǎng)全面發(fā)展有理想、有道德的高素質(zhì)數(shù)學(xué)人才等方面確實有著積極的推進(jìn)作用. 本文將給出一個基于數(shù)學(xué)史的勾股定理教學(xué)設(shè)計思路，旨在拋磚引玉，期待一線教師在不斷加強(qiáng)自身數(shù)學(xué)史修養(yǎng)的同時，開發(fā)出更多基于數(shù)學(xué)史的優(yōu)秀教學(xué)案例.

提出問題

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 此定理在西方叫做畢達(dá)哥拉斯定理，相傳，這是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其徒眾發(fā)現(xiàn)的，后人更渲染其事，說畢達(dá)哥拉斯諸人十分重視這項發(fā)現(xiàn)，特地宰了一百頭牛向天神奉獻(xiàn)答謝，所以中世紀(jì)時這條定理被稱作“百牛定理”. 在歷史上，這條定理的名稱特別多，在不同時代、不同地區(qū)都有不同的名稱，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在公元前300年左右編寫了著名的經(jīng)典之作《幾何原本》，其中一個定理就是畢達(dá)哥拉斯定理：

“在直角三角形中，直角所對的邊上的正方形等于夾直角兩邊上正方形的和.”

接下來的這個定理是畢達(dá)哥拉斯定理的逆定理：

“如果在一個三角形中，一邊上的正方形等于這個三角形另外兩邊上正方形的和，則夾在后兩邊之間的角是直角.”

這兩個定理合起來說明了直角三角形a，b，c三邊的平方和關(guān)系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.

我國是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國家，據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，我國數(shù)學(xué)家早在公元前1120年就對勾股定理有了明確認(rèn)識. 勾股定理從發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史，在西方，它被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，但它的發(fā)現(xiàn)時間卻比中國人晚了幾百年. 勾股定理是把直角三角形與三邊長的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

定理的證明

在新課程人教版教材（八年級下冊）中，先是引用畢達(dá)哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證明了勾股定理. “弦圖”是以弦為邊長的正方形，在“弦圖”內(nèi)作四個相等的勾股形，各以正方形的邊長為弦. “弦圖證法”是依據(jù)“出入相補(bǔ)原理”，根據(jù)“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理的. 趙爽的“弦圖證法”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，正因如此，這個圖案被選為2002年北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽.

[圖1]

引導(dǎo)學(xué)生探索其他解法

上述是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證法，即利用“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理. 這一方法給我們一定的啟示，即圍繞面積相等這一條，把原圖形拆成幾部分，然后根據(jù)面積相等實現(xiàn)定理的證明. 教師可以提示學(xué)生圍繞這一觀點，探索其他證明方法，學(xué)生提供的證法有可能和歷史上大數(shù)學(xué)家的證法一致.

歷史上的經(jīng)典證明方法展示

發(fā)現(xiàn)勾股定理迄今已有五千年，五千多年來，世界上幾個文明古國都相繼發(fā)現(xiàn)和研究過這個定理，幾千年來，人們給出了勾股定理的許多證法，有人統(tǒng)計，現(xiàn)在世界上已找到四百多種證法，下面列舉其中具有數(shù)學(xué)思想的一些代表性證明方法. 如（1）歐幾里得《幾何原本》的證法；（2）比例證法；（3）另一種弦圖證法；（4）總統(tǒng)證法；（5）帕斯卡拉二世的證明；（6）畢達(dá)哥拉斯的證法；（7）旋轉(zhuǎn)證法. 限于篇幅，這些證明方法的證明過程在本文中省略不寫.

基于上述分析，不難發(fā)現(xiàn)，歷史上的勾股定理證明方法很多，據(jù)統(tǒng)計，有400多種，向?qū)W生展示不同的證明方法有很多益處，具體表現(xiàn)在：首先，給出勾股定理的多種證法，并非是比較證法之優(yōu)劣，而是為了豐富教與學(xué)的內(nèi)容知識，這也是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)重要的功能之一. 其次，通過比較、分析各種證法的特色，可以讓教師和學(xué)生在教與學(xué)上有所比較，以達(dá)到取長補(bǔ)短. 通過分析各種證法之不同，可以發(fā)現(xiàn)他們各自對于圖形的依賴程度也不相同. 當(dāng)我們試圖理解某個版本的證法時，就好比與這位數(shù)學(xué)家進(jìn)行對話，從而產(chǎn)生自我“歷史詮釋”. 再次，歷史上的勾股定理證法還使我們認(rèn)識到該如何呈現(xiàn)定理及其證明，以便可以兼顧到各個面向. 在教學(xué)中，若以歷史文本為師，適時引入古人的原始想法，擷取前人的智慧，乃至前人所犯的錯誤，相信對于數(shù)學(xué)思想的發(fā)展與學(xué)生的學(xué)習(xí)過程能有更貼近的牟合，也能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)有更全面的觀照. 最后，基于數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的目標(biāo)之一，正是讓學(xué)生在通過歷史文本解決問題的過程中獲得學(xué)習(xí)的樂趣，因此，數(shù)學(xué)歷史文本中的任何地方可能都有意想不到的金礦等待挖掘，唯有辛勤發(fā)掘才可能使我們滿載而歸.

問題的推廣

下面我們換個角度看勾股定理，定理會變成什么樣呢？

推廣一：勾股定理的不同表述方式

（1）直角三角形斜邊長度的平方等于兩個直角邊長度的平方之和.

（2）直角三角形斜邊上的正方形等于直角邊上的兩個正方形.

（3）直角三角形直角邊上兩個正方形的面積之和等于斜邊上正方形的面積.

推廣二：“出入相補(bǔ)”原理的應(yīng)用

所謂“出入相補(bǔ)”原理，是指一個幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和保持不變. 綜觀歷史上有關(guān)勾股定理的證明方法，許多證法都是利用這一原理進(jìn)行的，只是圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已. “出入相補(bǔ)”原理是我國古代數(shù)學(xué)家發(fā)明的一個證明幾何圖形面積和體積的非常重要的方法，下面，我們通過比較兩個證明來說明某些問題.

趙爽和達(dá)?芬奇的證明方法（如圖2所示）：

[圖2：勾股定理的兩種幾何證明]

問題：這兩種方法的聯(lián)系是什么？

解答：如圖3所示.

[圖3：兩種證明的聯(lián)系]

可以看出，趙爽和達(dá)?芬奇對勾股定理的證明都使用了“出入相補(bǔ)”原理. 這兩種來自不同時期、不同地域的方法背后有著更本質(zhì)的聯(lián)系，正因為這種本質(zhì)聯(lián)系，讓我們找到了更多類似的證明方法. 它也展示了數(shù)學(xué)內(nèi)部的一種聯(lián)系. 正如韋爾斯在《數(shù)學(xué)與聯(lián)想》一書中所說的：“這就是為什么數(shù)學(xué)強(qiáng)有力的一個理由. 數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩個表面不同的問題實際上是相同的，因此他只要解決一個也就解決了另一個. 認(rèn)識到一百萬個問題‘實質(zhì)上’都是相同的，因此，你只要解決一個就解決了一百萬個. 事實上，這就是力量！”我們的數(shù)學(xué)讀本，應(yīng)該多多向?qū)W生介紹這方面的內(nèi)容，讓學(xué)生感受這種力量，去認(rèn)識事物之間的聯(lián)系.

推廣三：把直角三角形三邊上的正方形改為一般的直線形

若把以直角三角形為邊長的正方形改為一般的直線形，勾股定理就推廣為：直角三角形斜邊上的直線形（任何形狀）的面積，等于兩條直角邊上與它相對應(yīng)的兩個相似的直線形的面積之和（如圖4所示）.

[圖4]

推廣四：把直角三角形三邊上的直線形改為曲邊形

若把直角三角形三邊上的相似直線形改為三個半圓，勾股定理就推廣為：以斜邊為直徑的半圓，其面積等于分別以兩條直角邊為直徑所作半圓的面積和. 新課程（人教版八年級下冊）在習(xí)題中體現(xiàn)了這一推廣：（習(xí)題18.1“拓展探索”問題11）：如圖5所示，直角三角形三條邊上的三個半圓之間有什么關(guān)系？

[圖5][2][1]

若把上述斜邊上的半圓沿斜邊翻一個身，此時顯然有“1和2的面積之和等于直角三角形的面積”. 其實這個結(jié)論早在公元前479年就已經(jīng)由古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底得到，因1和2部分狀如弦月，故稱“希波克拉底月形”. 新課程（人教版八年級下冊）在習(xí)題中體現(xiàn)了這一推廣（習(xí)題18.1“拓展探索”問題12）：如圖5所示，直角三角形的面積是20，求圖中1和2的面積之和.

推廣五：勾股定理與費馬大定理

勾股定理是直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，寫出公式就是a2+b2=c2. 丟番圖的名作《算術(shù)》（第2卷問題8）中有一個與勾股定理類似的問題：將一個已知的平方數(shù)分為兩個平方數(shù). 丟番圖在《算術(shù)》中以實例形式給出了這一問題的解答. 之所以在此獨獨提到丟番圖的這一問題，是因為，大約16個世紀(jì)以后，正是在這一問題的啟發(fā)下，費馬在其旁白處寫下了一段邊注，從而誕生了一個讓整個數(shù)學(xué)界為之苦思冥想了三百多年的問題. 費馬在閱讀巴歇校訂的丟番圖《算術(shù)》時，做了如下批注：“不可能將一個立方數(shù)寫成兩個立方數(shù)之和；或者將一個四次冪寫成兩個四次冪之和；或者，一般地，不可能將一個高于2次的冪寫成兩個同樣次冪的和. 我已找到了一個奇妙的證明，但書邊太窄，寫不下. ”1670年，費馬之子薩謬爾連同其父的批注一起出版了巴歇校訂的書的第二版，遂使費馬這一猜想公之于世. 費馬究竟有沒有找到證明已成為數(shù)學(xué)史上的千古之謎. 從那時起，為了“補(bǔ)出”這條定理的證明，數(shù)學(xué)家們花費了三個多世紀(jì)的心血，直到1994年才由維爾斯給出證明.

推廣六：勾股數(shù)

不言而喻，所謂勾股數(shù)，是指能夠構(gòu)成直角三角形三條邊的三個正整數(shù)（a，b，c），它們滿足a2+b2=c2. 那么如何尋找更多的勾股數(shù)呢，方法如下.

1. 任取兩個正整數(shù)m，n（m>n），那么，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2構(gòu)成一組勾股數(shù).

2. 若勾股數(shù)組中的某一個數(shù)已經(jīng)確定，可用如下方法確定另兩個數(shù)：首先觀察已知數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù).

（1）若已知數(shù)是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個整數(shù)，那么奇數(shù)與這兩個整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù).

（2）若已知數(shù)是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后把這個平方數(shù)分別減1和加1所得的兩個整數(shù)與這個偶數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù).

練習(xí)題：限于篇幅，僅列一題.

練習(xí)題 今有立木，系索其末委地三尺，引索卻行去本八尺而索盡，問索長幾何？（該題出自南宋楊輝《詳解九章算法》，公元1261年）

現(xiàn)代文翻譯：有一根直立的木頭，一條繩索系在它的頂端. 已知這條繩索比木頭長3尺，現(xiàn)在向后緊拉繩索，使它的另一端著地，這時繩索與木的距離為8尺，問這條繩索的長為多少？

原書“術(shù)”曰：“以去本自乘，另如委數(shù)兒一，所得加委地數(shù)而半之，即索長.”

篇7

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，而是通過數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生渴望新知識，經(jīng)歷知識的形成過程，體驗應(yīng)用知識的快樂，從而使學(xué)生變被動接受為主動探究，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。為此，本節(jié)課主要設(shè)計了三個活動。活動一：喚起學(xué)生對新知識的渴望。學(xué)生為了解決現(xiàn)實生活中的一個樸實、可親、有趣的問題，不斷碰到困難，并不斷在發(fā)現(xiàn)中解決，思維探究活躍，好奇心和探索欲望被激起?；顒佣簩W(xué)生在探索中體驗快樂。探索“勾股定理”是本節(jié)課的重點和難點。在整個探索過程中教師只是一個引導(dǎo)者、啟發(fā)者，引導(dǎo)學(xué)生動手、觀察、思考、實驗、探索與交流；學(xué)生在整個活動中切身體驗到發(fā)現(xiàn)“勾股定理”的快樂。從而培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神和合作交流能力?；顒尤簩W(xué)生在問題設(shè)計中鞏固勾股定理。本節(jié)課是勾股定理的第一課，知識的應(yīng)用比較簡單，學(xué)生設(shè)計問題有一定的可行性。引導(dǎo)學(xué)生在掌握勾股定理的基礎(chǔ)上自己設(shè)計問題，完善問題，并從老師的高度進(jìn)行變題，學(xué)生的主體性得到了充分的體現(xiàn)。整個教學(xué)設(shè)計遵循“重視預(yù)設(shè)、期待生成”的原則。

二、教學(xué)過程與反思

1.第一次試上，由我獨立備課，從開始備課到上課結(jié)束，始終有兩個疑問沒有得到很好解決。一是如何引出勾股定理。教學(xué)過程是讓學(xué)生在正方形網(wǎng)格上畫一個兩條直角邊a、b分別是3厘米和4厘米的直角三角形，量一下斜邊長c是多少?緊接著讓學(xué)生觀察直角三角形的三條邊在大小上有什么關(guān)系。事實上，由于缺乏足夠的材料，而且量得的結(jié)果可能不一定是整數(shù)，因此很難得出正確的結(jié)論。另外，也有學(xué)生在探究時，根據(jù)兩邊和大于第三邊得出a+b>c這個結(jié)論，認(rèn)為這也是直角三角形三條邊之間的關(guān)系，這便偏離了教師預(yù)先設(shè)定的學(xué)習(xí)目標(biāo)。二是勾股定理的證明。解決的方案:采用教材提供的方法，即教參上所說的數(shù)形結(jié)合的方法。通過恒等變形（a+b）2=4×12ab+c2，在教師的引導(dǎo)下作出聯(lián)想，將四個全等的直角三角形拼在邊長為（a+b）的正方形當(dāng)中，中間又是一個正方形，而它的面積正好是c2，從而得出a2+b2=c2。其中的難點在于，讓學(xué)生自己很自然地想到用拼圖證明，對于大多數(shù)學(xué)生來講，做到這一點幾乎是不可能的。教師只能帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行變形、聯(lián)想、拼圖等一系列的教學(xué)活動。教師的講授時間明顯多于學(xué)生的探究時間，盡管教師一直在講，但是其中的來龍去脈還是很難交代清楚。第一次反思：（1）教師的講授時間多于學(xué)生的探究時間原因在于：憑學(xué)生已有的知識尚無能力探究這個問題，學(xué)生“一路走來”只能回答“是”“對”，思維屢屢受阻，心智活動暴露在無所依托的危機(jī)之中。（2）備課時，教師就發(fā)現(xiàn)了難點所在，但直到具體實施時仍束手無策，心有余而力不足，無法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有意義的自主探究，這與教師自身的經(jīng)驗不足有很大關(guān)系。（3）教師不僅要抓住教學(xué)中的難點，更要找到化解難點的辦法。為學(xué)生向既定的探究目標(biāo)邁進(jìn)鋪設(shè)適當(dāng)?shù)闹R階梯，當(dāng)憑自己的能力無法做到時，應(yīng)向?qū)＜艺埥?，及時有效地解決教學(xué)中存在的問題，使自己在教法上能有所改進(jìn)。2.第二次上課通過集體備課，大家集思廣益，針對前面兩個難點重點設(shè)計，基本上解決了原有的問題。設(shè)計方案是:將整個教學(xué)過程分成八節(jié)，每一節(jié)都清晰地展現(xiàn)在學(xué)生面前。（1）創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)疑鋪墊。情景展示：小強(qiáng)家正在裝修新房，周日，小強(qiáng)家買了一批邊長為2.1米的正方形木板，想搬進(jìn)寬1.5米，高2米的大門，小強(qiáng)橫著放，豎著放都沒能將木板搬進(jìn)屋內(nèi)，你能幫他解決這個問題嗎？（2）以1955年發(fā)行的畢達(dá)哥拉斯紀(jì)念郵票為背景，觀察圖形，你發(fā)現(xiàn)了什么？并說說你的理由。圖一圖二（3）以小方格背景，任意畫一個頂點在格點上的直角三角形，并分別以這個直角三角形的各邊為一邊向外作正方形，剛才你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎？其中斜放的正方形面積如何求，由學(xué)生探討。（介紹割與補(bǔ)的方法）（圖一）（4）如圖二，任意直角三角形ABC為邊向外作正方形，上面的猜想仍成立嗎？用四個全等的直角三角形拼圖驗證。（5）介紹一些有關(guān)勾股定理的史料（趙爽的弦圖、世界數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)、華羅庚建議用“勾股定理”的圖作為與外星人聯(lián)系的信號等），讓學(xué)生感受到勾股定理的歷史之悠久，激起學(xué)生的民族自豪感。（6）應(yīng)用新知，解決問題。①解決剛才“門”的問題，前后呼應(yīng)；②直角三角形兩邊為3和4，則第三邊長是%%。例：一塊長約120步，寬約50步的長方形草地，被不自覺的學(xué)生沿對角線踏出了一條斜路，類似的現(xiàn)象時有發(fā)生，請問同學(xué)們回答：①走“斜路”的客觀原因是什么？為什么？②“斜路”比正路近多少？這么幾步近路，值得用我們的聲譽(yù)作為代價換取嗎？（7）設(shè)計問題，揭示本質(zhì)。請學(xué)生概括用上述勾股定理解決問題的實質(zhì)：已知兩邊求第三邊長，并請學(xué)生設(shè)計能用勾股定理解決的簡單問題。（8）感情收獲，鞏固拓展。①本節(jié)課你有哪些收獲？②本節(jié)課你最感興趣的是什么地方？③你還想進(jìn)一步研究什么問題？說明:（1）通過具體的生活情景，激起了學(xué)生對本節(jié)課的學(xué)習(xí)興趣，使他們急于想知道直角三角形的三邊到底存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系，激發(fā)了他們的好奇心和求知欲。（2）學(xué)會了在小方格的背景下，用割補(bǔ)法求出郵票中斜放的正方形R的面積，同時為勾股定理的引出做好了充分的準(zhǔn)備，為學(xué)生進(jìn)行有意義的探究做好了鋪墊。（3）證明方法可以說已經(jīng)擺在這里，但由于前面的教學(xué)中計算強(qiáng)調(diào)過多，而忽略了計算原理，致使撤去小方格背景時，學(xué)生在證明時出現(xiàn)障礙，想不到補(bǔ)4個直角三角形，或割成四個直角三角形和一個正方形計算斜放的正方形面積。為了解決這個問題，本節(jié)課在定理證明時有意用拼圖的方法再次驗證勾股定理。（4）由于是勾股定理的第一課，應(yīng)用較簡單，學(xué)生設(shè)計具有一定的可行。引導(dǎo)學(xué)生在掌握定理的基礎(chǔ)上自己設(shè)計問題，完善問題，并從老師的高度變題，學(xué)生的主體性得到了最好的發(fā)揮。第二次反思：（1）當(dāng)猜想出直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系時，是不足以讓學(xué)生信服的，因為猜想時直角三角形的三邊均為整數(shù)，學(xué)生可能還存在疑慮：當(dāng)直角邊的長不是整數(shù)時，情況又如何呢？所以讓學(xué)生從理性上確信這個猜想是必不可少的環(huán)節(jié)。為此，設(shè)計了任意三邊的直角三角形是否存在這個問題。（2）去掉背景和具體數(shù)值，在證明字母為邊的直角三角形的勾股定理時，主要是沒有了正方形網(wǎng)格作背景，學(xué)生不能快速產(chǎn)生正確的思維遷移，不易想到用割補(bǔ)法證勾股定理。但是前面有了郵票問題做鋪墊，學(xué)生很自然地會聯(lián)想到用割或補(bǔ)的方法計算以斜邊為邊長的正方形的面積，從而得出了一般的直角三角形的情況，獲得了勾股定理。如此設(shè)計，對于執(zhí)教者來講，最大的好處在于可以使學(xué)生的思維過程顯性化，有利于教師對學(xué)生進(jìn)行過程性評價，有利于及時指導(dǎo)學(xué)生在思維過程中存在的細(xì)節(jié)問題，還有利于教師進(jìn)行教學(xué)過程的改進(jìn)。（3）在做勾股定理練習(xí)時，采用開放式教學(xué)法，由學(xué)生自己出題自己解決，既鞏固新知識，又提高他們的學(xué)習(xí)興趣。但由于學(xué)生在已知直角三角形的任意兩邊，求第三邊時，不知道一個數(shù)開平方這一知識，會出現(xiàn)第三邊不會算的情況。關(guān)于這點，我課前早有預(yù)料：如果有這種情況出現(xiàn)，就為下堂課做好鋪墊；如果沒出現(xiàn)這種情況，老師上課時也不提。（4）在課堂小結(jié)時一改先前一貫做法，三個問題結(jié)束本節(jié)課。特別是后兩個問題，當(dāng)時學(xué)生是這么回答的：我最感興趣的地方是割補(bǔ)法證明勾股定理；畢達(dá)哥拉斯怎么會從地磚上發(fā)現(xiàn)勾股定理的，我們平時也要多觀察生活；我想知道勾股定理還有哪些證明方法；我想知道我的這副三角板中，如果已知一條邊，能不能求出另外兩條邊。聽課的老師們深深地被學(xué)生的這些問題感染了，情不自禁地給予了贊揚。這樣的總結(jié)設(shè)計，把所學(xué)的知識形成了一個知識鏈，為每位學(xué)生都創(chuàng)造了獲得成功體驗的機(jī)會，并為不同程度的學(xué)生提供了充分展示自己的機(jī)會，尊重了學(xué)生的個體差異，滿足了學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需要。特別是最后一個問題，把本課知識從課內(nèi)延伸到了課外，真正使不同的人得到了不同的發(fā)展。（5）學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中舊問題解決，而新問題產(chǎn)生，使我真正認(rèn)識到上好勾股定理這一堂課是不容易的。課改幾年來雖然理念上有所轉(zhuǎn)變，但要真正在課堂上能運用自如，還需要不斷實踐。幾個問題間的過渡語言，也是不斷地修改，甚至一個問題要怎么問，問了后學(xué)生可能會出現(xiàn)哪些想法都做好了預(yù)設(shè)準(zhǔn)備，更制定了應(yīng)急方案。

三、教學(xué)理念的升華

篇8

一、隱性分層教學(xué)法的案例

1.教學(xué)案例1對蘇教版初中二年級（八年級）上學(xué)期第二章第一節(jié)：勾股定理的課程進(jìn)行案例分析.教學(xué)目標(biāo)：了解勾股定理的內(nèi)容，掌握勾股定理的來源和應(yīng)用，學(xué)會利用勾股定理進(jìn)行計算與證明.教學(xué)難點：運用多種方法證明勾股定理.教學(xué)步驟如下所示.（1）設(shè)立情景，導(dǎo)入知識.利用多媒體課件，播放我國從東漢開始的勾股定理研究成果，對我國古代數(shù)學(xué)家趙君卿進(jìn)行介紹，對古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對勾股定理的運用進(jìn)行介紹，引導(dǎo)學(xué)生在畢達(dá)哥拉斯對地磚的思考中進(jìn)行思考，提問學(xué)生三角形三邊的關(guān)系，再引導(dǎo)學(xué)生通過三角形三邊的關(guān)系思考直角三角形三邊的關(guān)系，建立起勾股定理的概念，即：在直角三角形中，兩條直角邊的長度的平方和等于斜邊長度的平方，并強(qiáng)調(diào)“勾”和“股”的概念.案例分析：在隱性分層教學(xué)模式中，利用多媒體吸引學(xué)生，將知識與生動的故事或者圖片聯(lián)系起來，能夠充分調(diào)動起學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性.案例中利用故事或者圖片的形式制造了一個積極向上的學(xué)習(xí)引子，幫助學(xué)生進(jìn)行知識的引導(dǎo)，建立引起學(xué)生興趣的問題，把學(xué)生引入一種與勾股定理有關(guān)的氛圍當(dāng)中.（2）不同學(xué)生，不同學(xué)習(xí)方法.對勾股定理進(jìn)行初步掌握之后，教師引導(dǎo)學(xué)生對勾股定理的證明進(jìn)行思考，試著讓學(xué)生自己來對勾股定理進(jìn)行提問，教師選擇中等生與差等生問問題，根據(jù)教學(xué)進(jìn)度，可由優(yōu)等生或者教師自己進(jìn)行講解.在趙君卿的證明方法中，教師利用多媒體進(jìn)行習(xí)題的證明訓(xùn)練，如圖1所示，在圖1中，將a、b作為直角邊，c為斜邊，且b＞a，作出四個全等的直角三角形，每個三角形的面積等于ab的一半，這四個直角三角形就如圖1所示.教師此時對優(yōu)等生進(jìn)行點撥，同時引導(dǎo)中等生進(jìn)行勾股定理的證明，并啟發(fā)差等生對圖形的觀察，建立勾股定理的概念.在中等生對勾股定理進(jìn)行證明之后，教師對優(yōu)等生和中等生進(jìn)行提問，啟發(fā)學(xué)生運用更多的證明方法進(jìn)行證明.案例分析：在本案例中，教師采取了圖形的形式來幫助學(xué)生理解勾股定理，學(xué)生在圖形的拼接之中親自證明勾股定理，有助于學(xué)生加深對勾股定理的認(rèn)識，而在一開始選擇中等生與差等生問問題，更有普遍意義，不僅使中等生與差等生了解了其不明白的地方，更鞏固了優(yōu)等生的知識，其實讓差等生提問，提高了其學(xué)習(xí)的主動性，使其更好地融入課堂，教師可根據(jù)差等生的提問控制講課節(jié)奏，不至于講課難度過高，而使差等生與中等生跟不上知識點的講解，自我放棄學(xué)習(xí).本案例中教師通過重視中等生與差等生的提問，讓學(xué)生真正地成為教學(xué)的主體.教學(xué)的目標(biāo)是為了增進(jìn)學(xué)生的主體性，教學(xué)過程隨學(xué)習(xí)內(nèi)部矛盾而展開，是學(xué)生的自我教育、自我活動和自我拓潛的過程.（3）定理運用，夯實知識.教師利用多媒體進(jìn)行習(xí)題播放，從難度較為簡單的習(xí)題開始練習(xí)，教師提問差等生回答較為基礎(chǔ)的勾股定理知識，并對其進(jìn)行鼓勵與肯定.在習(xí)題的解答中演示習(xí)題解答的正確書寫方式，糾正學(xué)生的錯誤，肯定學(xué)生的表現(xiàn).隨著習(xí)題難度的加大，提問中等生，并鼓勵優(yōu)等生說出自己的看法和理解，形成整個課堂對習(xí)題的研究氛圍.教師在課后對學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行分析，對于差等生的學(xué)習(xí)狀態(tài)更要重視，以鼓勵和激發(fā)興趣為主，對于中等生，要以激勵學(xué)習(xí)熱情、指導(dǎo)學(xué)習(xí)重點和技巧為主，對于優(yōu)等生，要進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容拔高，提升其知識掌握水平.案例分析：教師在課堂上對知識進(jìn)行鞏固訓(xùn)練，對差等生提問，更能知曉全班學(xué)生的知識掌握基礎(chǔ)水平，了解差等生的學(xué)習(xí)困難所在.中等生、差等生、優(yōu)等生對課堂知識的總結(jié)與討論顯示出了隱性分層教學(xué)離不開團(tuán)隊的合作，在學(xué)習(xí)知識中自由地結(jié)合成小組進(jìn)行個人想法的匯總與分析，使學(xué)生在相互交流分析的基礎(chǔ)上，掌握和了解知識的內(nèi)涵，或者找到解決問題的方法和途徑.在交流和協(xié)作的過程中，不僅將問題解決了，也得到了團(tuán)隊合作的方式，對別人的發(fā)言學(xué)會了理解和尊重，學(xué)會了合作的意義.

2.教學(xué)案例2對蘇教版初中一年級（七年級）上學(xué)期第五章第二節(jié)：圖形的變化案例分析.教學(xué)目標(biāo)：了解平面圖形如何變化成為立體圖形，了解點線、線面的原理，了解簡單圖形如何拼成復(fù)雜的圖形.教學(xué)難點：培養(yǎng)學(xué)生對圖形空間的想象力.教學(xué)步驟如下所示.（1）真實實驗，導(dǎo)入知識.教師在講臺上做實驗，請學(xué)生安靜觀看，將教科書圍繞著其中的一條邊旋轉(zhuǎn)了一周，請學(xué)生回答形成了什么圖形.請中等生回答，答曰：圓柱形.接著教師用一枚硬幣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，提問學(xué)生形成了什么圖形.提問差等生，答曰：球形.教師接著開始宣講課本中“點動成線，線動成面”的原理，學(xué)生由于觀察了實驗，印象更加深刻，教師此時鼓勵學(xué)生對這種現(xiàn)象進(jìn)行討論，并鼓勵學(xué)生舉出更多的例子證明這個原理，有意識地將優(yōu)等生、中等生和差等生的問題集中回答，分組時注意每組都有優(yōu)、中、差等生.案例分析：教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計出不同的問題，以完成一個又一個具體的“問題”為教學(xué)線索，把教學(xué)的內(nèi)容巧妙地隱藏在每個“問題”之中，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下提出解決問題的具體思路和方法，然后進(jìn)行具體的操作，教師引導(dǎo)學(xué)生邊學(xué)邊完成相應(yīng)的任務(wù)，就是讓學(xué)生在一個個典型信息處理“問題”驅(qū)動下，開展協(xié)作學(xué)習(xí)活動，由教師引導(dǎo)并幫助學(xué)生由簡到繁、從易到難、循序漸進(jìn)地完成一系列教學(xué)任務(wù).（2）巧提問，多互動.教師拿出一張長方形的紙，提問學(xué)生：能不能只剪一條線就將長方形的紙變成兩部分，使這兩部分的圖形能拼接成梯形？鼓勵學(xué)生分小組討論，每個小組中都有優(yōu)、中、差三類學(xué)生.選擇其中一組的差等生上臺展示自己拼接的梯形，教師予以鼓勵肯定.接著教師再提問有人還能繼續(xù)拼接出三角形、平行四邊形嗎？教師鼓勵學(xué)生親自動手實驗，并選擇另外一組的中等生上臺回答.教師在學(xué)生回答之后，引入課題知識，學(xué)生加深理解，教師在學(xué)生高漲的熱情中肯定學(xué)生們的想象力，并設(shè)計更有難度的提問：如何在一張圓形的紙片上，只剪一次，剪出一個四邊形呢？在小組討論中，教師可以根據(jù)情況適當(dāng)提示，之后選擇一組中的優(yōu)等生回答問題.案例分析：有效性是問題設(shè)計的前提條件，因材施教，在設(shè)計的過程中既要著重基礎(chǔ)的教學(xué)應(yīng)用，對優(yōu)秀的學(xué)生應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)匕胃?，而對于中等生和差等生可以設(shè)置不一樣的問題.對于同一個班的不同的學(xué)生，同樣也可以根據(jù)知識接受能力的不同而設(shè)置不同層次的應(yīng)用，保證絕大部分學(xué)生能夠基本完成學(xué)習(xí)任務(wù)，而對于那些能力稍強(qiáng)的又可以從創(chuàng)新的角度給予其設(shè)計應(yīng)用，這種符合學(xué)生特點的應(yīng)用設(shè)計既保證了學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，又發(fā)展了學(xué)生的個性.

二、結(jié)語

篇9

一、數(shù)學(xué)文化的基本含義和基本特征

數(shù)學(xué)文化是一種基本的文化形態(tài)，屬于科學(xué)文化的范疇，而且在科學(xué)文化中占有極為重要的地位。數(shù)學(xué)文化作為人類基本的文化活動之一，與人類文化處于統(tǒng)一的整體之中。數(shù)學(xué)文化，廣義地講，可以表述為以數(shù)學(xué)科學(xué)為核心，以數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、內(nèi)容等所輻射的相關(guān)文化領(lǐng)域為有機(jī)組成部分的一個具有特定功能的動態(tài)系統(tǒng)。它的基本要素是數(shù)學(xué)，以及與數(shù)學(xué)有關(guān)的各種文化對象。其系統(tǒng)內(nèi)部相互作用的方式是多向的和交叉的，包括數(shù)學(xué)以其內(nèi)在力量推動文化的進(jìn)步和數(shù)學(xué)從相關(guān)文化中汲取動力和養(yǎng)分。數(shù)學(xué)文化具有很強(qiáng)的綜合性。數(shù)學(xué)文化涉及的基本文化領(lǐng)域包括哲學(xué)、藝術(shù)、各門自然科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、教育學(xué)、思維科學(xué)，等等。

數(shù)學(xué)文化除具有文化的普遍特征外，還有其獨有的特征，這些特征既是數(shù)學(xué)文化區(qū)別于其他文化形態(tài)的主要方面，又是對數(shù)學(xué)文化本質(zhì)的進(jìn)一步揭示。（1）數(shù)學(xué)文化是傳播人類思想的一種基本方式；（2）數(shù)學(xué)文化包含著人類所創(chuàng)造語言的高級形式；（3）數(shù)學(xué)文化是自然與社會相互聯(lián)系的一個尺度；（4）數(shù)學(xué)文化具有相對的穩(wěn)定性和連續(xù)性；（5）數(shù)學(xué)文化具有高度的滲透性和無限的發(fā)展可能性。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“數(shù)學(xué)文化”的幾種方法

1.教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史，感受數(shù)學(xué)的博大精深。

在數(shù)學(xué)課堂中適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)史，既可以增強(qiáng)趣味性，又能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

例如：在“勾股定理”的教學(xué)中可以介紹“勾股定理”的相關(guān)背景資料。教師問：勾股定理是“人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”，是初等幾何中的一個基本定理。那么大家知道多少勾股定理的別稱呢？學(xué)生回答：畢達(dá)哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驢橋定理和埃及三角形等。所謂勾股定理，就是指“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。”這個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。中國最早的一部數(shù)學(xué)著作――《周髀算經(jīng)》對“勾股定理”就有記載。這個原理是大禹在治水的時候就總結(jié)出來的，如果說大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無法確切考證的話，記載中周公與商高的對話則可以確定是在公元前1100年左右的西周時期，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為“勾股定理”是非常恰當(dāng)?shù)摹Ｍㄟ^以上知識的介紹，學(xué)生會對“勾股定理”產(chǎn)生濃厚的興趣，從而拉近學(xué)生和數(shù)學(xué)的距離。

2.介紹數(shù)學(xué)中的美學(xué)，以數(shù)學(xué)美激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

“哪里有數(shù)，哪里就有美”。數(shù)學(xué)中充滿著美的因素。數(shù)學(xué)中的美學(xué)包括以下幾方面：對稱性、簡單性、統(tǒng)一性和奇異性。利用數(shù)學(xué)美進(jìn)行教學(xué)，能促進(jìn)學(xué)生對知識的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣。例如楊輝三角便是一幅美麗的對稱圖案（教師可以展示證明圖形）。又如黃金分割比≈0.618被譽(yù)為“人間最巧的比例”，是對稱和諧美典型的例子，許多著名建筑廣泛采用黃金分割的比例。

數(shù)學(xué)家蒲豐用投針試驗求π的近似值是數(shù)學(xué)方法奇異性的一個典型例子。1777年某日，蒲豐做了個奇特的試驗，他事先在白紙上畫好了一條條有等距離的平行線，又拿出一些質(zhì)量均勻，長度為平行線距離之半的小針，請客人一根根把針順便仍到紙上結(jié)果共投2212次，其中與平行線相交的有704次，≈3.142，然后宣布這就是π的近似值。這一新穎的計算π的方法，充分顯示了數(shù)學(xué)的奇異美。

3.各學(xué)科相互滲透，使教學(xué)內(nèi)容多元化。

高度抽象的數(shù)學(xué)只有與其他學(xué)科結(jié)合，才會顯得生動、具體、形象，學(xué)生才會樂學(xué)、愛學(xué)。數(shù)學(xué)文化可以通過與其他學(xué)科的結(jié)合得以應(yīng)用。例如在“概率”部分，我們可以選擇與生物學(xué)科有關(guān)聯(lián)的例子：“遺傳”方面如何求生兒生女的可能性的大小，子女的血型，等等。這樣既使學(xué)生豐富了知識，增長了見識，又極大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

4.聯(lián)系實際滲透數(shù)學(xué)文化，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。

數(shù)學(xué)源于生活，其理論核心都包含在人們的生產(chǎn)、生活之中。但是數(shù)學(xué)又高于生活，是對現(xiàn)象本質(zhì)規(guī)律的高度抽象概括。這一切都促使我們教師必須把先人們在數(shù)學(xué)探索歷程中有文化價值的思想方法加以濃縮和加工，并且在課堂中每個關(guān)鍵的環(huán)節(jié)上適時充分地利用直觀具體的實例，喚起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的激情，實現(xiàn)認(rèn)識上的飛躍。因此在應(yīng)用的切入點處滲透數(shù)學(xué)文化有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。

例如“一元一次方程”的應(yīng)用題，可選擇生活中熟悉的“換啤酒問題”：小明的父親從商店買回10瓶啤酒，商店規(guī)定3個空瓶可換回一瓶啤酒，若小明的父親不再給錢，他一共可喝上多少瓶啤酒？其解法是：10瓶喝完，可換回三瓶；再喝完，則剩余4個空瓶，又換回一瓶，喝后剩下2個空瓶，此時借進(jìn)1空瓶，則又可換回1瓶，喝完后歸還所借1空瓶，總計可喝15瓶。此過程中“一借”可謂巧，若我們采用代數(shù)法，設(shè)一共可喝x瓶，則空瓶又可換瓶，由題意得：10+=x，解得x=15。無需“借”，真是妙。其實這里僅采用了“一元一次方程”這一簡單的數(shù)學(xué)模型，就很方便地解決了我們身邊的現(xiàn)實問題，學(xué)生看了無不稱奇。通過文化層面來設(shè)計問題情境，將會使數(shù)學(xué)問題變得富有“人情味”，同時也激發(fā)學(xué)生探究的熱情，使數(shù)學(xué)課堂變得妙趣橫生。

以數(shù)學(xué)應(yīng)用為切入點的數(shù)學(xué)文化滲透，將數(shù)學(xué)問題賦予生活內(nèi)涵，一方面深化了學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，另一方面增強(qiáng)了學(xué)生關(guān)注社會和關(guān)注人類發(fā)展的意識。在問題解決中，學(xué)生能感到數(shù)學(xué)就在生活中。學(xué)生通過對一些既熟悉又陌生的問題的研究，感受到了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，進(jìn)而增強(qiáng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)意識。

總之，當(dāng)數(shù)學(xué)通過文化層面的滲透進(jìn)入教材、到達(dá)課堂、融入教學(xué)時，數(shù)學(xué)就會更加“平易近人”。當(dāng)學(xué)生不再為了考試而學(xué)習(xí)，才會真正理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)，并逐步形成良好的思維品質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

［1］張新建.新課程與數(shù)學(xué)老師.中國教育創(chuàng)新教師論壇，人民日報出報社.

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關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)開放題；實踐；評析

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-0568（2013）18-0121-02

適當(dāng)開展數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)不但是平常教學(xué)的有效補(bǔ)充，而且也是與當(dāng)前新課改的要求相適應(yīng)的，是培養(yǎng)學(xué)生實踐、探究與創(chuàng)新能力的重要方式方法，因而對初中數(shù)學(xué)開放題教學(xué)的研究是非常有意義的。

一、適當(dāng)進(jìn)行開放題的教學(xué)非常有必要

從新課標(biāo)的內(nèi)容和要求來看，它加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與學(xué)生平時生活的聯(lián)系。如：張師傅想造一張長200cm，寬40cm的桌面，但目前身邊的材料是長300cm，寬60cm的木板，問怎樣將木板裁剪，最后能制成長200cm，寬40cm的桌面，請設(shè)計出裁剪方案。就與學(xué)生平時的生活聯(lián)系得很緊密。新課標(biāo)的內(nèi)容和要求體現(xiàn)在數(shù)學(xué)問題中，就是內(nèi)容和形式逐步開放，不局限于書本，注重學(xué)科之間的聯(lián)系。筆者對七年級人教版的教材作了統(tǒng)計，其中開放題占了19.5%，其所占比例還是比較大的。這些都為教師開展開放題教學(xué)提供了很好的素材，也為培養(yǎng)學(xué)生主動參與、積極探究的習(xí)慣提供了有利條件。

二、數(shù)學(xué)開放題的案例剖析

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容中，不但有概念的教學(xué)，還有公式與定理的教學(xué)。因此，應(yīng)該想辦法將這兩方面的內(nèi)容與開放題進(jìn)行有機(jī)地融合。開放題的特點決定了其教學(xué)過程不可能事先完全清楚，因為學(xué)生的思維與創(chuàng)新能力非常強(qiáng)，教師不可能將各種情況都事先想到，而應(yīng)視具體情況具體分析。因此，為了更好地說明開放題的教學(xué)實踐，本文給出了教學(xué)案例。

案例：勾股定理的教學(xué)

1.教學(xué)目標(biāo)：在學(xué)生動手操作，自主探究的基礎(chǔ)上，掌握勾股定理的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐、合作交流以及數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力。

2.教學(xué)過程。

（1）教師提出問題：現(xiàn)在給你4個全等的直角三角形，你能不重疊、沒有縫隙地拼出一個正方形嗎？（開放題①）

（2）學(xué)生積極動手操作實踐，自主探究，合作交流，得出以下方法：①以直角三角形的斜邊為拼成的正方形的邊長，如圖1。②以直角三角形兩條直角邊的和為大正方形的邊長，如圖2。

（3）若圖中直角三角形的兩條直角邊為a與b，斜邊為c，可用哪些方式表達(dá)幾何圖形的面積：①直接用正方形的面積公式，在圖①中大正方形的面積為C2。在圖②中正方形的面積為（a+b）2。②也可用4個小直角三角形的面積與中間的一個小正方形求和來解。在圖①中大正方形的面積為：4×■ab+（b-a）2。在圖②中大正方形的面積為：4×■ab+c2。

（4）結(jié)合圖①與圖②以及剛才所得到關(guān)系式，你能發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系嗎？

（5）學(xué)生基于剛才的活動得出它們應(yīng)該相等，有如下等式：（a+b）2=4×■ab+c2或者c2=4×■ab+（b-a）2。

（6）教師：將以上式子進(jìn)行化簡，你能說出它們的特點嗎？（開放題②）

（7）學(xué)生在緊張的思考后得出：a2+b2=c2，它有如下特點：①左邊是兩邊的平方和，右邊是斜邊的平方。

②a、b、c是直角三角形的邊長。③它反映的是直角三角形中所特有的三邊關(guān)系。

（8）你能仿照這個等式，再舉出幾個例子，滿足以上關(guān)系嗎？（開放題③）

（9）學(xué)生很快找出常見勾股數(shù)：32+42=52，62+82=102，92+122=152，82+152=172，52+122=132，72+242=252，92+402=412，等等。

（10）教師：對于以上的等式a2+b2=c2（a、b、c為直角三角形的三邊長且C為斜邊），就是幾何中非常著名的定理――勾股定理，你還有別的方法證明它的正確性嗎？

（11）學(xué)生提出可用兩個全等的直角三角形拼成一個直角梯形來證明。

（12）教師拿出題板，給出鞏固提高題。

（13）學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，解完鞏固訓(xùn)練題后提問：勾股定理的使用條件是什么？（開放題④）

（14）學(xué)生回答如下：①只有在直角三角形中才成立；②兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；③對于三邊關(guān)系不能用錯。

（15）根據(jù)以上回答，教師進(jìn)一步提問：勾股定理中的a、b還可以表示什么？（開放題⑤）

（16）學(xué)生回答：可以代表數(shù)字、單個字母、單項式、多項式。

（17）教師提出問題：你能構(gòu)造出可用勾股定理解決的實際問題嗎？（開放題⑥）

學(xué)生各抒己見，發(fā)表自己的觀點。

3.教學(xué)評析：

（1）本課例用到的開放題有結(jié)論開放（開放題②③④⑤），策略開放（開放題①），綜合開放（開放題⑥）

（2）教學(xué)過程的（1）～（5）是勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，強(qiáng)調(diào)關(guān)注學(xué)生的思維。開放題①的作用是展示給學(xué)生耳目一新的問題情境，使其能夠體會到不同的方式方法帶來的不同解題效果，由此既讓學(xué)生對勾股定理的形式有所感知，又為下一步問題的深化作了鋪墊。

（3）環(huán)節(jié)⑥～⑩是對定理的進(jìn)一步升華，開放題①的作用是引導(dǎo)學(xué)生動手實踐，自主探究，從而使學(xué)生印象深刻。開放題②③的作用是培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)與概括能力，從而帶動學(xué)生積極思考，但此時學(xué)生的思考尚處于比較淺的層次，舉出的例子變化少。

（4）環(huán)節(jié)（11）是定理的再次探索，問題注重對學(xué)生舉一反三能力的訓(xùn)練，為下面的開放題④作準(zhǔn)備。

（5）環(huán)節(jié)（12）～（17）是定理的概括、延伸過程。開放題④⑤引導(dǎo)學(xué)生對勾股定理進(jìn)行回顧，反思定理的本質(zhì)，形成對勾股定理的完整認(rèn)識。開放題⑥實際是整節(jié)課的回顧與總結(jié)，同時避免了乏味的單調(diào)練習(xí)。

對于以上案例，筆者只是截取了教學(xué)實踐中的某個部分來說明概念及定理與公式這兩方面的教學(xué)是如何展開的。

三、結(jié)論

筆者的教學(xué)實踐表明：開放題教學(xué)能使學(xué)生在自己原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，實現(xiàn)對學(xué)習(xí)內(nèi)容的主動建構(gòu)，能促使學(xué)生獨立思考，大膽質(zhì)疑，勇于探索，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提高其學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉兼，孫曉天.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2002.