導語：如何才能寫好一篇數(shù)列考試總結(jié)，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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關(guān)鍵詞：高中數(shù)學 數(shù)列 函數(shù)

在高中數(shù)學教學中，數(shù)列和函數(shù)是其中的兩個主要部分。在很多的高考數(shù)學題中都常常把數(shù)列和函數(shù)兩者相結(jié)合起來，作為一個考察的重點。很多的學生在這方面就感到很大的困難。在高考中也常常容易出現(xiàn)失分的情況，進而影響到整個數(shù)學科目的分數(shù)。為了能夠適應(yīng)數(shù)學教學的發(fā)展，很多老師也開始加強對數(shù)列和函數(shù)結(jié)合點的數(shù)學知識的教學，幫助學生全面提高數(shù)學能力。這也是符合了高考數(shù)學學科中關(guān)注學生對知識點的有機結(jié)合的一個改革要求的。在高中數(shù)學中數(shù)列和函數(shù)知識的結(jié)合主要是數(shù)列中的等差數(shù)列與函數(shù)知識相結(jié)合，等比數(shù)列和函數(shù)知識相結(jié)合以及等差、等比和函數(shù)的綜合運用。教師在教學中不斷地總結(jié)這類題目的解答規(guī)律，把握這類題目的本質(zhì)。下面從一些具體的數(shù)學例題來把握數(shù)列和函數(shù)這兩者間的聯(lián)系。

一、等差數(shù)列的知識和函數(shù)的聯(lián)系

這一類題目的解答的方法都是差不多的，教師在進行這一類題目的詳細解答之后，要幫助學生進行必要的總結(jié)，讓學生在面對這一類題目時，不再茫然無措，而是能夠比較熟練地完成題目的要求。

二、等比數(shù)列和函數(shù)之間的綜合運用問題

基本上，等比數(shù)列和函數(shù)之間的綜合運用都是按照數(shù)列的解題思路來進行的。但是，具體上來說，他們都各自結(jié)合了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本特征。一般來說，教師會采用下面的方式來解答此類題目?；旧狭私饬诉@一點，整個等比數(shù)列和函數(shù)之間的數(shù)學問題的解決就是從這個關(guān)系出發(fā)的。

三、等比、等差數(shù)列和函數(shù)的綜合關(guān)系

只要掌握了它們之間的關(guān)系，問題就很容易解決了。因為等差數(shù)列、等比數(shù)列都是可以看作是函數(shù)中的特殊函數(shù)。在很多的函數(shù)問題的解決中常常要求它們引入到數(shù)列的方程中。我們可以從函數(shù)的另外一個性質(zhì)來看，數(shù)列其實是可以被看成是一個定義域為正整數(shù)的集合。這樣就很容易構(gòu)建起了數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系。下面以一道等差、等比數(shù)列和函數(shù)綜合的題目來分析這個知識點的結(jié)合。

四、結(jié)語

在高中數(shù)學的教學過程中，綜合題目中的數(shù)列和函數(shù)有時候還會和其他的方程、向量等問題相結(jié)合。但是重要的是教會學生把握這些知識點的內(nèi)容和他們結(jié)合點的知識的聯(lián)系，這樣就能夠培養(yǎng)學生的數(shù)學聯(lián)系思維能力，提升學生的數(shù)學思維能力。

參考文獻：

[1]杜洪明.數(shù)列與函數(shù)綜合的問題分類解析[J].數(shù)理化學習（高中版），2009，（7）：2.

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【關(guān)鍵詞】遞推數(shù)列;通項公式

數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，雖然在教學大綱中只有12個課時，但是在高考試題卷面中約占總分的8%~11%.由于數(shù)列問題最終歸結(jié)為對通項公式的研究，故數(shù)列通項公式的求解是數(shù)列中最基本和最重要的問題，也是高考對數(shù)列問題考查的熱點之一.近年的出題形式為先給定數(shù)列的初始項和數(shù)列通項的遞推關(guān)系式，要求解出通項公式.由于求解方法需要靈活的變形技巧，學生遇到此類問題常常感到困難而無從下手.筆者根據(jù)自己的教學實踐，以數(shù)學高考試題中涉及的數(shù)列和平時教學中所遇到的典型的數(shù)列為例，總結(jié)介紹幾種常見的通項公式的類型和解法，供讀者參考.

類型一 等差型數(shù)列:已知a1和an+1-an=f(n)，求an.

解法 使用累加法（即逐項相加法），再使用相關(guān)公式進行求解.即an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a1(n≥2).

讀者可嘗試求解以下三道難度不大的試題：

①（2008天津）已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=1[]3n+1(n≥1),則lim[]n+∞an=.

②在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+2n-1(n≥1),求an.

③（2008江西）在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1+1[]n ,則an=.

類型二 等比型數(shù)列:已知a1和an+1[]an=f(n)，求an.

解法 使用累乘法（即逐項相乘法）求解，即an=an[]an-1?an-1[]an-2?…?a3[]a2?a2[]a1?a1(n≥2).

例1 已知a1=1，an+1=2n-1[]2n+1an(n≥1).求an.

解 由an+1=2n-1[]2n+1an(n≥1)知an+1[]an=2n-1[]2n+1(n≥1)，故an=2(n-1)-1[]2(n-1)+1?2(n-2)-1[]2(n-2)+1?…?2×2-1[]2×2+1?2×1-1[]2×1+1a1=2n-3[]2n-1?2n-5[]2n-3?…?3[]5?1[]3?1=1[]2n-1(n≥1).

類型三 線性遞推數(shù)列：已知a1和an+1=pan+q(其中p,q為常數(shù)，且pq≠0,p≠1),求an.

解法 使用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為p的等比數(shù)列后再求an，即把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an+1-k=p(an-k)，可求得k=q[]1-p，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.

例2 （2006重慶）在數(shù)列{an}中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1)，求an.

解 由an+1=2an+3(n≥1),設(shè)an+1-k=2(an-k)，變形得an+1=2an-k，與原式an+1=2an+3對比系數(shù)可知k=-3，故an+1+3=2(an+3)(n≥1)，變形為an+1+3[]an+3=2(n≥1)，即數(shù)列{an+3}是首項為a1+3，公比為2的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式可知an+3=(a1+3)?2n-1=2n+1(n≥1)，故an=2n+1-3(n≥1) .

類型四 指數(shù)遞推數(shù)列：已知a1和an+1=paqn(p,q為常數(shù)且p>0,an>0)，求an.

解法 對遞推等式左右兩邊同時取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為類型三，再進行求解.

例3 已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)且滿足,a1=1,an+1=4a3n(n≥1),求an.

解 由an+1=4a3n對等式左右兩邊同時取常用對數(shù)得lgan+1=lg(4a3n)=3lgan+2lg2,令bn=lgan,則bn+1=3bn+2lg2(n≥1)，再使用類型三中的待定系數(shù)解法，即可解得bn=(3n-1-1)lg2，即lgan=(3n-1-1)lg2，故an=3n-1-1(n≥1).

類型五 分數(shù)遞推數(shù)列：已知a1和an+1=pan+r[]an+q(p,q,r為常數(shù)且pq≠0)，求an.

解法 （1）當r=0時,兩邊取倒數(shù)可求出通項.

例4 （2008陜西）已知數(shù)列{an}的首項a1=3[]5,an+1=3an[]2an+1(n≥1),求{an}的通項公式.

解 由an+1=3an[]2an+1,兩邊取倒數(shù)，得

1[]an+1=1[]3?1[]an+2[]3.使用待定系數(shù)法，得1[]an+1-1=1[]31[]an-1.

故數(shù)列1[]an-1是以1[]a1-1為首項,1[]3為公比的等比數(shù)列,

1[]an-1=1[]a1-1?1[]3n-1=2?1[]3n,

故an=3n[]3n+2(n≥1).

（2）當r≠0時,可先轉(zhuǎn)換為上一種問題,即消去分子中的r,再構(gòu)造成等差或等比數(shù)列求解.

例5 在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an+1[]an+2,求an.

解 用待定系數(shù)法,令an+1+α=p(an+α)[]an+2,對比系數(shù)法則有p-α=2,pα-2α=1α=1,p=3或α=-1,p=1.當α=-1,p=1時,an+1-1=an-1[]an+2 ,令an-1=b,則有bn+1=bn[]bn+3變成了上一種形式,兩邊取倒數(shù)即可求得an+1=2[]3n-2+1(n≥1).

同樣α=1,p=3也可以求出,結(jié)果一樣.

類型六 二階遞推數(shù)列：已知a1,a2和an+2=pan+1+qan(p,q為常數(shù)且pq≠0)，求an.

解法 常用待定系數(shù)法將原遞推式化為an+2-αan+1=β(an+1-san)，其中α+β=p,αβ=-q，從而轉(zhuǎn)化為新數(shù)列{an+1-αan}求解.

例6 已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=5an+1-6an,求an.

解 可設(shè)an+2+α?an+1=β(an+1+α?an)，移項與原遞推關(guān)系式對比系數(shù)β-α=5,

α?β=-6α=-2,

β=3或α=-3,

β=2.

即an+2-2an+1=3(an+1-2an).……(1)

或an+2-3an+1=2(an+1-3an).…………(2)

由(1)知,數(shù)列{an+1-2an}是首項為3,公比為3的等比數(shù)列,則an+1-2an=3n.………(3)

由(2)知,數(shù)列{an+1-3an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,則an+1-3an=2n.………(4)

由(3)-(4)，得,an=3n-2n.

類型七 混式遞推數(shù)列：已知a1和an+1=pan+f(n)(p為常數(shù)且p(p-1)≠0）,求an.

解法 常常是兩邊同除以pn+1轉(zhuǎn)化為等差型數(shù)列.

例7 （2008全國改編）在數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=2an+2n(n≥1),求{an}的通項公式.

解 由an+1=2an+2n兩邊同除以2n+1，得

an+1[]2n+1=an[]2n+1[]2，

故數(shù)列an[]2n是以a1[]21即是1[]2為首項,1[]2為公差的等差數(shù)列,

an[]2n=1[]2+(n-1)?1=2n-1[]2,故an=n?2n-1(n≥1).

例8 （2007天津改編）在數(shù)列{an}中，a1=2,an+1=4an-3n+1(n≥1),求{an}的通項公式.

解 由an+1=4an-3n+1兩邊同除以4n+1，得

an+1[]4n+1=an[]4n+1-3n[]4n+1，令bn=an[]4n ，

則bn+1=bn+1-3n[]4n+1，

移項可得bn+1-bn=1-3n[]4n+1，由此想到等式

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關(guān)鍵詞：高等數(shù)學（一） 極限 歷年考卷

自學考試在我國的高等教育中居于十分重要的地位。由于我國普通高等教育資源短缺，導致相當多的人不能接受普通高等教育。自學考試以其“開放、靈活、適應(yīng)性強、投資少、效益高、工學矛盾小”等特點受到人們的歡迎，在我國得到快速發(fā)展，為我國的經(jīng)濟建設(shè)培養(yǎng)了大批有專業(yè)知識和技能的人才。在今后相當長的一段時間里，我國普通高等教育資源短缺的情況仍將存在，因而自學考試還會繼續(xù)發(fā)展。

很多自考專業(yè)的考試科目中要求考高等數(shù)學（一）（以下簡稱高數(shù)），這門課的教材由章學誠主編，全國統(tǒng)一考試。高數(shù)對考生來說無疑是最難學的課程之一，在每次組織的考試中，高數(shù)的及格率都很低，相當多的考生不能通過高數(shù)考試，影響到畢業(yè)證的獲取，導致很多考生放棄了自考。本文主要針對高數(shù)中極限部分的內(nèi)容進行分析。極限內(nèi)容對自學者來說有一定的難度，考生對此往往無所適從。極限是高數(shù)考試的必考部分，考生如果放棄極限的學習，會對能否通過考試產(chǎn)生影響。針對這一情況，本文試圖通過對歷年考題的分析，總結(jié)考試經(jīng)驗，以期對考生自學和應(yīng)考提供一定的幫助。

一、高數(shù)自考考試大綱關(guān)于極限部分的考試要求

自考生的自學應(yīng)該按照考試大綱的要求進行。高數(shù)考試大綱中極限的考試內(nèi)容包括數(shù)列極限、數(shù)項級數(shù)的基本概念、函數(shù)極限、極限的運算法則、無窮小(量)和無窮大(量)、兩個重要極限等。其中極限包括數(shù)列概念、數(shù)列極限的定義和收斂數(shù)列的基本性質(zhì)；函數(shù)極數(shù)包括函數(shù)在有限點處的極限、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限和有極限的函數(shù)的基本性質(zhì)；無窮小(量)和無窮大(量)包括無窮小(量)、無窮大(量)、無窮大量與無窮小量的關(guān)系和無窮小量的比較。

與此相對應(yīng)，考試大綱中極限的考試要求包括：①理解極限的概念，會求函數(shù)在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件；②了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運算法則；③理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系，會進行無窮小量階的比較(高階、低階、同階和等價)，會運用等價無窮小量代換求極限；④熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

就高數(shù)中極數(shù)部分的考試范圍來說，考試內(nèi)容是比較多的，這給考生的學習及應(yīng)考產(chǎn)生了一定的思想負擔；而考試大綱的要求包括了解、理解、熟練掌握、運用等諸多方面，要求掌握的內(nèi)容不少。由于考試大綱中極限在總分中所占比重并非很大，且極限部分非常抽象，尤其是極限的概念部分難以學懂，一部分考生忽略它是可以理解

的。

二、歷年高數(shù)考試中極限部分考題分析

本文選擇最近的5次高數(shù)考卷進行分析，這5次分別是2007年4次以及2008年1月的考試。做出這種選擇的依據(jù)是：第一，它是與現(xiàn)在相距最近的5次考試，試題的分析具有實際意義，對未來的考試具有實際指導作用；第二，試題分析應(yīng)該建立在一定數(shù)量試卷的基礎(chǔ)上，試卷太少則代表性較差；第三，需要說明的是，這5次考卷的題型及題型分值完全一樣，屬于同一次命題的范疇。這5次考卷的題型包括選擇、填空、計算、應(yīng)用和證明等5種類型，試題總數(shù)25個。其中選擇題5個，共10分；填空題10個，共30分；計算題分為計算題（一）和計算題（二）兩類，計算題（一）5個，共25分，計算題（二）3個，共21分；應(yīng)用題1個，9分；證明題1個，5分。試題難易比例：容易題約20%；中等偏易約40%；中等偏難約30%；難題約10%。

在這5次考試中，均有極限方面的考題出現(xiàn)。從考卷統(tǒng)計的情況來看，每套試卷出現(xiàn)3個左右的極限題目，其中一個以計算題（一）的形式出現(xiàn)，另兩個出現(xiàn)在選擇題或填空題中，屬于小題；極限部分合計分值在10分左右；就極限的考試內(nèi)容來說，以計算題（一）形式出現(xiàn)的題目偏向于兩個重要的極限，以選擇題或填空題出現(xiàn)的兩個小題偏向于考核數(shù)列的極限、兩個重要的極限等。由此，我們可以得出，極限部分的考試重點是數(shù)列的極限及兩個重要的極限，考卷中出現(xiàn)的極限部分與考試大綱的考試要求保持一致。

極限部分考題在近幾年高數(shù)的考試中出現(xiàn)得不多，且重點突出，對高數(shù)的考生來說，把握這一情況無疑是重要的，考生可以有重點地展開極限部分的學習，復習中集中精力關(guān)注重點內(nèi)容。

三、關(guān)于極限的自學建議

事實上，極限在高數(shù)的學習中是重要的基礎(chǔ)。我們知道，數(shù)學知識的聯(lián)系很密切，極限部分對于后續(xù)內(nèi)容的學習有重要影響。自考生在自學中應(yīng)該以長遠的觀點來對待，不能因為考卷中極限部分的考題不多、分值較少且難以自學就放棄對它的學習。關(guān)于極限的自學，我們認為只要掌握好學習方法，通過一定的努力，一定可以取得滿意的效果。在自學中，以下三點應(yīng)引起自考生的關(guān)注。

1. 掌握基本概念、基本方法和基本原理

每門學科最重要的內(nèi)容就是基本知識，包括基本概念、基本方法和基本原理等。要順利通過高數(shù)考試，就要明確高數(shù)要考些什么。高數(shù)主要是考基礎(chǔ)，包括基本概念、基本理論、基本運算。高數(shù)是一門基礎(chǔ)學科，如果基礎(chǔ)、概念、基本運算不太清楚，運算不太熟練，肯定就考不好，所以基礎(chǔ)一定要打扎實。就最近幾年的數(shù)學試題來看，主要也是以考查數(shù)學的基本概念、基本方法和基本原理為主。由于極限較為抽象，自學起來會有難度。我們認為要學好這部分內(nèi)容就要牢牢把握基礎(chǔ)，極限部分的基礎(chǔ)內(nèi)容是數(shù)列極限的定義以及函數(shù)在有限點處的極限定義。學習極限時頭腦中始終要有一個動態(tài)變化趨勢的概念。

2. 把握學習重點

要明確考試重點，充分把握重點。重點學習內(nèi)容的重要性表現(xiàn)在它是學科的主要部分，它對于相關(guān)內(nèi)容的學習有重要的影響，它往往也是考試的主要部分。把握重點其實很容易，考試大綱指明了每一章節(jié)的重要內(nèi)容，只要認真地閱讀便會知曉。通過考卷的分析，可以得出極限的考試重點就是數(shù)列的極限和函數(shù)在有限點的極限的定義，以及兩個重要的極限。為了充分把握好重點，平時應(yīng)該多研究歷年真題，更好地了解命題思路和難易度。

3. 要大量做基礎(chǔ)練習題

做數(shù)學練習是為了更好地理解基本概念，是掌握數(shù)學基本知識的需要。由于歷年的數(shù)學考卷中都是以基礎(chǔ)題目為主，日常的數(shù)學練習顯得尤為重要。我們認為數(shù)學練習應(yīng)以基礎(chǔ)練習為主，要多做練習。在此基礎(chǔ)上，重視總結(jié)歸納解題思路、套路和經(jīng)驗。數(shù)學試題千變?nèi)f化，其知識結(jié)構(gòu)卻基本相同，題型也相對固定，往往存在明顯的解題套路，熟練掌握后既能提高正確率，又能提高解題速度。

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【關(guān)鍵詞】蘇教版；高中數(shù)學；數(shù)列概念；認識

一、對教材的整體把握

整個教材的編寫是有一定的知識框架與結(jié)構(gòu)，是為實現(xiàn)一定的教學目標的。章節(jié)與章節(jié)之間、課時與課時之間都有著緊湊的呼應(yīng)關(guān)系，是循序漸進，缺一不可的。蘇教版教材“入口淺、寓意深”，通過大量的事例來引入數(shù)學課題，這大大加深了學生對于知識的理解，也激勵他們解決實際問題，實現(xiàn)了知識“從生活中來，到生活中去”的原則。如果在“數(shù)列的概念”這章的教學活動中沒有投入激情，則會讓學生在接下來的學習中喪失了應(yīng)該具有的熱情，可以說是原動力不足。更何況，對于數(shù)列的定義沒有掌握透徹，則會對整個知識框架缺乏整體的把握，這也會對接下來的學習產(chǎn)生阻礙，沒有實現(xiàn)教學的連貫性和預(yù)期的教學效果。我們應(yīng)該從整體著眼，仔細鉆研教材，吃透每一章節(jié)。

二、教學過程的別出心裁

（一）從生活實例引入課題

“數(shù)列的概念”這一章節(jié)是從列舉多個生活事例來引導學生思考，激發(fā)學生已有的知識體系或生活體驗，來促使他們自己來歸納數(shù)列的定義。如先通過一個故事來計算出棋盤上應(yīng)該放置的麥粒數(shù)，然后把它們按照放置的先后排成一列數(shù)：1，2，22，23，…，263，……；接下來引入細胞分裂的問題，細胞由一個分裂成兩個，再由兩個分裂成四個……以此類推23；再通過我們的無限小數(shù)π約到兩小數(shù)、三位小數(shù)、四位小數(shù)……然后將它們的近似值排成一列數(shù)：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592，……；接著提出由于人們在1740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出它每隔83年出現(xiàn)一次，如果從出現(xiàn)那次算起，那么這顆彗星出現(xiàn)的年份分別是什么？通過計算可算出依次為1740，1823，1906，1989，…；然后再由計算劇場如果第一排20個座位、后一排比前一排多兩個，以此類推各排的座位數(shù)分別是：20，22，24，26，…，38；最后列舉的事例則是說出從1984年到近年，我國運動健兒共參加六次奧運會，獲得金牌依次排列是：15，5，16，16，28，32。組織學生觀察這組數(shù)據(jù)后，啟發(fā)學生概括其特點，最后由老師進行總結(jié)出數(shù)列的定義。

這種引入能激發(fā)學生的興趣，讓學生在貼近實際生活中探求新知，體會到數(shù)學是生動的，是來源于生活的。

（二）通過圖像和實際操作加深理解

在了解數(shù)列的定義之后，為了更全面的了解數(shù)列，需要將概念從直觀到形式化。因此，課本中將“Excle”“幾何畫板”等信息技術(shù)工具展現(xiàn)給學生。這與傳統(tǒng)單一的教學手段有極大不同，能將整個課堂氛圍變得活躍起來。比如利用坐標軸讓學生充分感受到數(shù)列中數(shù)的急劇變化。

（三）習題加以鞏固

在教材中的習題設(shè)置了“練習”“感受?理解”“思考?運用”“探究?拓展”等欄目，這些欄目設(shè)計是層層遞進、循序漸進的，因此這些題目是由基礎(chǔ)到拔高的飛躍。

比如第33頁“練習”欄目的第二、三題是已知數(shù)列的通項公式，求數(shù)列特殊項的值；第五題是已知數(shù)列的一些特殊項，求數(shù)列的通項公式，這些都是較為基礎(chǔ)的題目，提高學生的觀察、歸納、概括能力。

“感受?理解”欄目的習題出題方式會更加靈活一些，需要學生能夠進行思考，更能激發(fā)學生的探知欲。比如說：“156是不是數(shù){n（n+2）}中的項？如果是，那它是數(shù)列的第幾項？”它就極大刺激學生的學習積極性。

“思考?運用”欄和“探究.拓展”欄對于學生的要求會更高一些，要求學生從本質(zhì)上去理解知識，掌握它的精髓，而不只是停留在概念性的理解上面，而是能靈活多變、多角度與多層次的去鉆研。

三、教學理念的深化

《普通高中數(shù)學課程標準》指出：“高中數(shù)學課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示教學概念的發(fā)展過程和本質(zhì)，使學生理解數(shù)學概念逐步形成的過程，體會蘊含其中的思想方法?！绷私庑抡n標，認真鉆研教材，仔細揣摩教材在內(nèi)容上分層次進行編排的特點，設(shè)計出合理的教學目標。其實無論是后面章節(jié)中求數(shù)列的通項公式還是遞推公式，都是基于對數(shù)列概念的理解，只是側(cè)重點不同而已。因此，要引起該有的重視。首先要吃透教材，確定出教學過程之中的教學重難點；其次教師也應(yīng)該充分考慮到學生的知識層次與接受能力，設(shè)置出具有啟發(fā)性又易于讓學生接受的問題鏈，引導學生積極主動思考；然后，在教學過程中能隨機應(yīng)變，引導學生建構(gòu)完整的知識結(jié)構(gòu)；最后，豐富教學活動的形式，采取多用的教學方式，調(diào)動學生的積極性，使其在輕松活躍的氛圍之下，掌握知識，達到預(yù)期的教學目的。

總結(jié)

概念教學沒有引起廣大教師的重視這個局面亟需轉(zhuǎn)變，教師要有全局觀，宏觀上，對于教材的整個脈絡(luò)結(jié)構(gòu)、知識框架有清醒的認識；微觀上，對于每個章節(jié)都仔細的鉆研，體會編者的設(shè)計理念與用意?！皵?shù)列的概念”這一小節(jié)是基石，后面的知識內(nèi)容都與它緊密相關(guān)。蘇教版的編纂者也是別出心裁，能夠從生活實例中上升到數(shù)學理論知識，并且這章節(jié)的欄目設(shè)計既新穎又符合學生的知識接受層次，能“深入淺出”，促使學生主動學習與探究。

【參考文獻】

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[2]廖碧.數(shù)列的概念與簡單表示法[J].少兒科學周刊（教育版），2014，（2）：12-12

篇5

一、觀察法

觀察法就是從橫向和縱向兩方面來觀察數(shù)列特征，橫向看各項之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，縱向看各項與項數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，而后將橫向和縱向的規(guī)律加以整合得到數(shù)列通項的方法。觀察法在國家公務(wù)員考試的數(shù)字推理題中尤為適用，出題者的意圖在于考察人分析問題的能力、邏輯推理能力、以及變通思維能力，因此探究數(shù)列通項有助于培養(yǎng)學生邏輯推理、變通思維等能力。請看下面例題：

例：寫出下列數(shù)列的一個通項公式

分析：1.觀察分母是22，23，24，25，……

分子比分母少1，再考慮與項數(shù)n的關(guān)系，于是易得其通項為 （n為正整數(shù)）。

2.觀察奇數(shù)項特征及偶數(shù)項特征易得

觀察法是求數(shù)列通項公式的一種常用方法，熟悉觀察法從而靈活運用觀察法也為求解數(shù)列通項問題提供了一條便捷之路。

二、逐差求和法

單獨看數(shù)列的各項之間似乎不存在明顯的關(guān)系，但是它們連續(xù)兩項之間的差有著明顯的規(guī)律，此時通過求它們差的和來推導數(shù)列通項的方法就是逐差求和法。

例：求數(shù)列1，3，7，13，21……的一個通項公式。

分析：a2-a1=3-1=2

a3-a2=7-3=4

a4-a3=13-7=6

……

an-an-1=2（n-1）

an-a1=2[1+2+3+……+（n-1）]=n2-n，

an=n2-n+1（n為正整數(shù)）。

此題單叢各項之間關(guān)系看，似乎不存在明顯的關(guān)系，但是連續(xù)兩項之間的差卻是一個簡單的等差數(shù)列，這種問題我們可以運用逐差求和的方法來輕易求解。注意：最后一個式子出現(xiàn)an-1，必須驗證n=1。此時a1=1，適合上式，故an=n2-n+1（n為正整數(shù)）。

三、歸納法

運用歸納思想方法，即“由特殊到一般”。這種方法經(jīng)常幫助我們探索、發(fā)現(xiàn)并解決一些數(shù)學問題，甚至得出很重要的數(shù)學結(jié)論，應(yīng)用這個方法可以通過“有限”來解決“無限”的問題。我們在求數(shù)列的通項公式時，也可用歸納猜想思想方法。一般地有模式：“特例+猜想+數(shù)學歸納法證明”。研究數(shù)列時經(jīng)常用此模式解決一些與自然數(shù)有關(guān)的問題。下面以一個競賽試題為例來解釋和熟悉這種方法。

例：數(shù)列{un}定義為：u0=2，u1= ，un+1=un（un-12-2）-u1（n≥1）。

求證：對于任意自然數(shù)n，[un]=2

（[x]表示不超過x的最大整數(shù)）。

分析：此題的遞推關(guān)系比較復雜，看上去無從下手，并且未給出un的表達式，所以我必須先求出un表達式，在求un的表達式時它的遞推關(guān)系相當復雜此時該怎么辦？我們先試著求的前幾項看看：

那么問題轉(zhuǎn)化為用數(shù)學歸納法證明這一猜想，而后再證明2n-（-1）n可被3整除，為方便起見令 f（n）= ；當n=0，n=1時，un=2f （n）+2-f （n）成立；假設(shè)當n=k-1，n=k時上式也成立；那么n=k+1時，由遞推關(guān)系以及f（k）+2f（k）+2f（k-1）= f（k+1），2f（k-1）-f（k）=（-1）k，可得uk+1=2f （k+1）+2-f （k+1）。另一方面，

所以f（n）為正整數(shù)，于是：2f （n）為正整數(shù)，而2-f （n）是（0，1）內(nèi)的小數(shù)，故：對于任意自然數(shù)n，[un] =2 。

數(shù)列綜合問題以其難度設(shè)計的跳躍性，應(yīng)用的廣泛性，方法的靈活性和技巧性而成為數(shù)學競賽的重點，其基礎(chǔ)是等差數(shù)列和等比數(shù)列，熱點是遞推數(shù)列，遞推數(shù)列就是滿足遞推關(guān)系的數(shù)列，設(shè){an}是一數(shù)列，通項an與其前面若干項的關(guān)系式稱為該數(shù)列通項的一個遞推關(guān)系。問題的形式也是多種多樣的，有求通項、求和等等。

四、公式法

等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩種最基本、最常見的數(shù)列，常常是設(shè)計數(shù)列問題的“中途點”是解決問題的“突破點”其基礎(chǔ)知識必須牢固掌握。在學習等差數(shù)列和等比數(shù)列的有關(guān)知識時，除了現(xiàn)行教材上介紹的一些基礎(chǔ)知識之外，還要注意它們之間的聯(lián)系，例如，將等差數(shù)列定義中的減號換成除號，通項中的加號換成乘號，倍乘換成乘方，就可得到等比數(shù)列的定義及其通項公式，這使我們可以從等差數(shù)列的一些性質(zhì)類比到等比數(shù)列的一些性質(zhì)。比如{an}為等差數(shù)列，且am=a，an=b（m≠n）則。我們可以類比猜想：若{an}為等比數(shù)列，且am=a，an=b（m≠n），則 。

再對猜想的結(jié)論進行證明、可見，運用類比方法來研究等差數(shù)列和等比數(shù)列的關(guān)系，可實現(xiàn)知識的轉(zhuǎn)移，有利于系統(tǒng)地去把握知識。

篇6

【關(guān)鍵詞】 高中；數(shù)列；求和；有效方法

數(shù)列求和在高考和各種數(shù)學競賽中都占有重要的地位.除了等差數(shù)列和等比數(shù)列可以直接用公式求和外，大部分數(shù)列的求和都需要一定的技巧，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的靈活運用.教師要引導學生掌握方法，形成規(guī)律性的認識，從而掌握通性通法，構(gòu)建知識框架，提高學習能力.學生通過對數(shù)列知識的探究和歸納理解其中蘊含的思想和方法，更好地應(yīng)用函數(shù)思想、方程思想，并且靈活地理解基本概念和公式，在應(yīng)用中能夠達到得心應(yīng)手、舉一反三的程度.通過對方法的探究，學生會發(fā)現(xiàn)問題，有針對性地分析和思考問題，進而解決問題，達到對知識的掌握.下面介紹四種數(shù)列求和的基本方法和技巧.

一、公式求和法，掌握基本求和方法

公式求和法是解決數(shù)列求和最為基本的方法，是其他求和方法的基礎(chǔ).在進行數(shù)列求和的教學過程中，首先，教師需要給學生介紹的就是公式求和法.讓學生能運用等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項和公式求和，教師還要引導學生通過自主探究推導公式，通過合作交流深刻理解公式，從而可以在運用中游刃有余.公式法是一種非常直觀的方法，學生只需要把公式掌握好，在題目中找到相應(yīng)的量進行套用即可，是一種簡單易行的方法.

典例賞析 已知等比數(shù)列{an}的所有項均為正數(shù)，首項a1=1，且a4，3a3，a5成等差數(shù)列.求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

分析 由數(shù)列{an}是等比數(shù)列可得a4=q3，a3=q2，a5=q4，根據(jù)a4，3a3，a5成等差數(shù)列可以求出q，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式即可求解.

解 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，

由條件可知a4，3a3，a5成等差數(shù)列，6q2=q3+q4.

解得q=-3或q=2，

q>0，q=2，Sn= 1-2n 1-2 =2n-1.

在審題的過程中，學生要準確把握首項、末項、公差、公比、第n項和前n項和等信息，還要注意是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，這樣才可以靈活地通過已知的信息最終求出首項和公差（或公比），從而完成公式求和的解題過程.

二、分組求和法，分別解答各個擊破

分組求和法是解決數(shù)列求和的常用方法.此類題型的顯著特點是：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列和等比數(shù)列組成，則求和時可以用分組求和法，把具有相同性質(zhì)的數(shù)列分別求和后相加減.這種方法使學生可以通過各個擊破的方式來解決問題，降低解題難度，從而逐步有效地解決問題.

典例賞析 已知數(shù)列{an}的通項公式an=n+1，若bn=2 an+ 1 2an ，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

分析 根據(jù)已知條件先求得數(shù)列{bn}的通項公式bn=2 an+ 1 2an =2 n+1+ 1 2n+1 =2n+ 1 2n +2，通過觀察發(fā)現(xiàn)，此數(shù)列可分為三個數(shù)列{2n}， 1 2n ，{2}，因此，可以采用先分別求出這三個滿足條件的和，再合并即可解決.

在解題的過程中，要學會找到具有共性的各個數(shù)列，進而根據(jù)每一個數(shù)列來一一進行計算，實現(xiàn)對問題的解決.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型有兩類：（1）若an=bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，求{an}的前n項和；（2）通項公式為an= bn，n∈奇數(shù)，cn，n∈偶數(shù) 的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和.

三、錯位相減法，靈活應(yīng)用解決問題

錯位相減法是解決數(shù)列求和的一種重要方法.必須熟練掌握，高中教材中等比數(shù)列的前n和公式推導用的就是這種方法.它主要適用于一個數(shù)列的每一項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，在解決這類數(shù)列求和問題的時候就可以用錯位相減法.即數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an?bn}的前n項和，就采用錯位相減法，這種方法的關(guān)鍵是錯位后找到對應(yīng)項，然后，進行求和處理即可.

學生在解題時通過認真閱讀，仔細思考，可以看出此題在求和時適合采用的方法就是錯位相減法.解決這類問題時，學生需要注意前n項和兩邊同時乘等比數(shù)列{bn}的公比，然后，“錯位”作差求解.利用錯位相減法求和還要注意，首先，要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；其次，在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式.

四、裂項相消法，分析歸納總結(jié)規(guī)律

裂項相消法是解決數(shù)列求和的一種行之有效的方法.在求和過程中，學生需要把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，在消去了一些不必要的項后，簡化了計算，從而可以快速求和.使用裂項相消法求和時，一定要注意消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，需要注意未被消去的項有前后對稱的特點.

典例p析 已知數(shù)列{an}的通項公式an=2-n.數(shù)列{bn}滿足bn= 1 a2n-1?a2n+1 ，求{bn}的前n項和Tn.

通過對題目的閱讀和思考，學生要有一定的判斷能力，能夠看出這一類題是否適合采用裂項相消法求和.把數(shù)列的每一項分裂成兩項，使得相加后項與項之間能夠抵消，但在抵消的過程中，有的是依次相消，有的是間隔相消.利用裂項相消法要注意，列項相消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項.將通項裂項后，有時需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相等.如，若{an}是等差數(shù)列，則 1 anan+1 = 1 d 1 an - 1 an+1 ， 1 anan+2 = 1 2d 1 an - 1 an+2 .

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關(guān)鍵詞：數(shù)列；新定義；解決策略

中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）23-227-03

一、數(shù)列在高考數(shù)學中的地位

觀察近10年全國各地的高考數(shù)學試題，越來越多將“新”溶于命題之中，比如數(shù)列。數(shù)列是每年高考中考查的重點內(nèi)容，就廣東高考試卷來說，2012，2013年關(guān)于數(shù)列的內(nèi)容均占了19分，約占總分的13%。數(shù)列是高中數(shù)學的一個重要知識，也是高等數(shù)學如常微分方程、組合數(shù)學的基礎(chǔ)，既是特殊的函數(shù)，也能構(gòu)成各種各樣的遞推關(guān)系。因此是高考數(shù)學中必考查的內(nèi)容之一，題型也不再只是單一的考查基本知識，而是轉(zhuǎn)化為與實際生活模型、新定義、高等數(shù)學等相交匯的題型。

通過定義一個新概念來創(chuàng)設(shè)問題情境，要求考生在閱讀理解題意的基礎(chǔ)上，善于觀察問題的結(jié)構(gòu)特征和本質(zhì)，依據(jù)題中提供的信息，聯(lián)系所學過的數(shù)學知識和方法，將新定義的數(shù)列題遷移到等差、等比或遞推數(shù)列的知識上來，從而解決問題。

二、學生的困惑

從表面上看，題目比較生疏，復習時沒見過，考試沒做過，考生的思維障礙往往在于閱讀能力的欠缺，以及轉(zhuǎn)譯成數(shù)學語言的過程中發(fā)生差錯。但只要考生基礎(chǔ)知識扎實，注重數(shù)學思辨，“生題”可以轉(zhuǎn)化“熟題”，“無從下手”可以變?yōu)椤坝稳杏杏唷?，讓“難題不怪、新題不難”，解決的途徑本質(zhì)上主要是要求考生不僅能理解概念、定義，掌握定理、公式，更重要的是能夠應(yīng)用所學的知識和方法解決數(shù)學新定義的題型。

三、各省市高考中的新定義題

近10年各省市的高考試題中，一些新穎構(gòu)思的新定義題數(shù)列經(jīng)常出現(xiàn)，如“等和數(shù)列（2004北京卷）、”絕對差數(shù)列“（2006北京卷）、“等比方數(shù)列”（2007湖北卷）、“對稱數(shù)列”（2007上海卷）、“*數(shù)列”（2010湖南卷）、“ 數(shù)列”（2011北京卷）、“保等比數(shù)列函數(shù)”（2012湖北卷）、“面積數(shù)列”（2013新課標全國卷）。

【例1】（2004北京，理14）定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.

已知數(shù)列 是等和數(shù)列，且 ，公和為5，那么 的值為___________，這個數(shù)列的前 項和 的計算公式為________________.

舉一反三：定義“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的積都為同一個不為0的常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公積。

已知數(shù)列 是等積數(shù)列，且 ，公積為6，那么 的值為______________，這個數(shù)列的前 項和 的計算公式為________________。

點評：新定義型試題主要目的是考查學生在短時間內(nèi)以最快速度理解、接受并運用新知識解決數(shù)學問題能力，解決這道題，關(guān)鍵是理解新概念“等和”、“等積”，掌握其本質(zhì)――和、積為同一個常數(shù)。雖然簡單，考查的是學生繼續(xù)學習新知識的能力，也是培養(yǎng)創(chuàng)新意識的一種方式。

【例2】（2006北京，理20）在數(shù)列 中，若 是正整數(shù)，且 ， 則稱 為“絕對差數(shù)列”。

（Ⅰ）舉出一個前五項不為零的“絕對差數(shù)列”（只要求寫出前五項）；

（Ⅱ）若“絕對差數(shù)列” 中， ，數(shù)列 滿足 ， ，分別判斷當 時， 與 的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；

（Ⅲ）證明：任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項。

點評：這類問題要求考生在最快的速度使用有效的方法收集處理信息，讀懂并理解新定義的數(shù)列名稱，如本題的“絕對值數(shù)列”，除數(shù)列外，交匯了極限的知識，然后綜合、靈活地應(yīng)用所學的數(shù)學知識，利用獲取的有用信息進行獨立的思考、探索，并據(jù)此提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題。其中涉及到簡單的極限問題知識點有：擺動數(shù)列沒有極限，常值數(shù)列的極限是這個常值；（Ⅲ）用反證法證明“絕對值數(shù)列有零項”。

【例3】（2007湖北，理6）若數(shù)列 滿足 （ 為正常數(shù)， ），則稱 為“等方比數(shù)列”.

甲：數(shù)列 是等方比數(shù)列； 乙：數(shù)列 是等比數(shù)列，則（ ）。

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

回歸課本：蘇教版和人教A版等比數(shù)列課后練習：已知 是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列， 是等比數(shù)列嗎？為什么？例6的必要性與課本的習題在解題方法是完全一樣的，充分性不成立：如1，-1，1，1是等方比數(shù)列但不是等比數(shù)列。

【例4】（2007上海，理20）若有窮數(shù)列 （ 是正整數(shù)），滿足 即 （ 是正整數(shù)，且 ），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”。

（1）已知數(shù)列 是項數(shù)為7的對稱數(shù)列，且 成等差數(shù)列， ，試寫出 的每一項。

（2）已知 是項數(shù)為 的對稱數(shù)列，且 構(gòu)成首項為50，公差為 的等差數(shù)列，數(shù)列 的前 項和為 ，則當 為何值時， 取到最大值？最大值為多少？

（3）對于給定的正整數(shù) ，試寫出所有項數(shù)不超過 的對稱數(shù)列，使得 成為數(shù)列中的連續(xù)項；當 時，試求其中一個數(shù)列的前2008項和 。

點評：本題是由兩個等差數(shù)列或兩個等比數(shù)列按照對稱的方式“拼接”而成，形式新穎。它以聯(lián)合體為依托，考查等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)，對新定義的理解與掌握是解決一切問題的基礎(chǔ)，理解新定義的內(nèi)涵與外延，什么是對稱數(shù)列，對稱數(shù)列具有什么特點。

【例5】（2010湖南，理15）若數(shù)列 滿足：對任意的 ，只有有限個正整數(shù) 使得 成立，記這樣的 的個數(shù)為 ，則得到一個新數(shù) 列 .例如，若數(shù)列 是 ，則數(shù)列 是 .已知對任意的 ， ，則 ， .

點評：與一般試題相比較，這道題給定一個新信息，*數(shù)列，要求考生通過認真閱讀理解、觀察分析，并與已有認知結(jié)構(gòu)中的知識進行同化，探索獲取有用的信息，從而創(chuàng)造性地解決問題。由于本題是一道客觀題，所以采用了歸納猜想的解題策略。這類題型估計會是今后高考命題的熱點?？疾榈炔顢?shù)列和等比數(shù)列的綜合和數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，關(guān)鍵是對題意的理解，在選擇題中合理地進行猜想，往往能有效地簡化運算。

【例6】（2011北京，理20）若數(shù)列 滿足 ，數(shù)列 為 數(shù)列，記 = 。

（Ⅰ）寫出一個滿足 ，且 的 數(shù)列 ；

（Ⅱ）若 ， ，證明： 數(shù)列 是遞增數(shù)列的充要條件是 ；

（Ⅲ）對任意給定的整數(shù) ，是否存在首項為0的 數(shù)列 ，使得 ？如果存在，寫出一個滿足條件的 數(shù)列 ；如果不存在，說明理由。

點評：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查學生探究問題能力、抽象概括能力以及推理論證能力，尤其是（Ⅲ）。解題過程中用到了累加法和拼湊法。命題者是將定義型的數(shù)列與整數(shù)性質(zhì)的知識交匯，這類試題較常見于競賽數(shù)學試題中，難度很大，學生需要適當掌握一些整數(shù)性質(zhì)方能成功解答。

【例7】（2012湖北，理7）定義在 上的函數(shù) ，如果對于任意給定的等比數(shù)列 ， 仍是等比數(shù)列，則稱 為“保等比數(shù)列函數(shù)”?，F(xiàn)有定義在 上的如下函數(shù)：

① ；② ；③ ；④ 。

則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的 的序號為（ ）。

A。①② B。③④ C。①③ D。②④

點評：這道題的“保等比數(shù)列”有高等數(shù)學的影子――保號性、保不等式性的性質(zhì)類似，在高中來說雖然是新的說法，但事實上這類題目很常見，說法也是異曲同工。換一種說法就是： 是等比數(shù)列，問 是否是等比數(shù)列？

回歸課本：設(shè) 是等比數(shù)列，有下列四個命題： 是等比數(shù)列； 是等比數(shù)列； 是等比數(shù)列； 是等比數(shù)列；④ 是等比數(shù)列。

其中正確命題的個數(shù)是（ ）

點評：定義幾何數(shù)列及其單調(diào)性問題判斷問題，其中結(jié)合海倫公式求三角形面積，作為全國卷選擇題的壓軸，難度很大。新定義數(shù)列的遞推關(guān)系較為復雜，面積數(shù)列的表達方式也是一個難點，這些問題均是考生思維延時的障礙知識點，綜合利用各個條件進行嚴密的邏輯推理方可解決此類問題。

回歸課本：“等比數(shù)列的通項公式”后練習6：一邊長為1的等邊三角形，連接各邊中點，如此繼續(xù)下去，證明依次得到的三角形面積為等比數(shù)列。同樣也是面積數(shù)列，很可能是題目的原型。

四、總結(jié)和啟示

作為高考數(shù)學的必考內(nèi)容――數(shù)列，不僅經(jīng)常被命制為高考的壓軸題，試題的內(nèi)容更是不斷地推陳出新。根據(jù)近10年來各省市的高考數(shù)學試題可以發(fā)現(xiàn)，新穎的數(shù)列題型既有中低難度的題目，又有中高難度的題目，而且多數(shù)年份屬于中高難度。近十年來，北京高考數(shù)學文理科試卷幾乎年年將新定義數(shù)列題型作為壓軸題。如例2，例6等等皆是如此。這類試題形式新穎、可變性高，我想這也是命題者命制此類題的原因，

這種題型給高考數(shù)列復習帶來一些新啟示，題目有針對性的設(shè)計，考查了學生的創(chuàng)新意識，加工提取信息及知識的遷移能力，分析問題的邏輯性，表達的條理性，可以說真正做到了以能力立意，以知識為載體。但是也對學生的能力，教師的教學提出了更高的要求，如果在平時的教學中不注重能力的培養(yǎng)，只一味的搞題海戰(zhàn)術(shù)是不可能把這種題做好的。立意或背景新穎的題目加大了一些對數(shù)學能力的考查，如同“水來土掩”一樣，探析如何解決便是首要的任務(wù)。

五、解決策略

掌握新定義的本質(zhì)，借助新定義的數(shù)列的特征，向已掌握的數(shù)列知識轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識。解題的關(guān)鍵是正確理解與運用新的概念、新的運算或新的關(guān)系的意義。考查考生對信息的接受理解和及時運用的能力。理解新符號，轉(zhuǎn)化為熟悉的內(nèi)容，利用相關(guān)知識進行解決，比如例1-例8均是對新知識、新概念的閱讀、理解、接受和應(yīng)用能力。可應(yīng)用類比、聯(lián)想、構(gòu)造等方法來解決。

解決的途徑不外乎是提高學生的閱讀、理解題意的能力，平時的教學中可以作為一個小專題作為訓練，專題內(nèi)容可以為數(shù)列應(yīng)用題、新定義、知識交匯的綜合題。對于高數(shù)淺化法，對學生也是屬于新定義型的題目，教師在平時的授課過程中適當?shù)臅r候可以進行高等數(shù)學延伸，注意要符合中學生的能力水平，在拓展學生的視野的同時也鍛煉了他們的閱讀能力。這就對教師提出了較高的要求。

有一種比較少見的題型便是幾個數(shù)學概念按照一定的方式“拼接”整合而成的聯(lián)合體，如例4，由等比數(shù)列和等差數(shù)列按照對稱的方式拼接而成，是近年高考熱點題型之一，其命題情景新穎、內(nèi)涵豐富，富有創(chuàng)意等特點為高考注入了新氣息。

解決“拼接”而成的聯(lián)合體問題的關(guān)鍵是以“降維”的思想為指導，根據(jù)聯(lián)合體“拼接”生成的方式，從整體著眼，細節(jié)入手，化整為零，逐個擊破。例4的（1）共7項的“對稱數(shù)列”，前4項是等差數(shù)列，便是逐個擊破，先由等差得出前4項，再由對稱得出后3項。它注重學生已學的知識背景，聯(lián)合體題目離不開知識點間的綜合交匯，這樣的題目設(shè)置可以突出對數(shù)學思想方法，思維能力、信息遷移的考查，符合大綱要求。另外，試題的不斷深化、創(chuàng)新，也體現(xiàn)出高考改革服務(wù)于新課改的指導思想。

回歸課本，夯實基礎(chǔ)。課本是學習的范本，我們常說“萬變不離其宗”，數(shù)學定義、定理、性質(zhì)、公式等幾乎都是學生從課本上得來的，特別是課本中的例題、練習、習題和復習參考題等都是教材研究者在眾多題目中精挑細選，而且經(jīng)過了全國許多老師和學生的精打細磨，可以說是能經(jīng)得住考驗的題目，這些題目不僅具有示范性、代表性和典型性，而且大多數(shù)還具有可拓展性、可探究性，所以課本內(nèi)容自然也就成了考試內(nèi)容的載體和來源，是高考命題的依據(jù)，是最具有價值的材料，因此也是高考數(shù)列題的命題來源。如文章介紹的新定義題型不管是人教A版還是蘇教版上的例題和課后練習都有跡可循，甚至有些高考題與課本習題、例題是十分神似，如例7湖北卷的“保等比數(shù)列”，不管是題意還是解題方法和課本習題簡直是“孿生兄弟”

解決策略是理解清楚課本上的例題、習題?；貧w課本，充分利用好課本中知識的形成過程和例題、習題的典型作用。對目前較常用的人教A版和蘇教版，使用人教A版教材的學校老師應(yīng)該多研究蘇教版教材上面的題目，使用蘇教版教材的學校老師應(yīng)該多研究人教A版教材上面的題目，尤其是人教A版中的B組題和蘇教版中的探究題，深入挖掘，揭示本質(zhì)，作為提供給學生學習的材料，讓學生從題目中反思數(shù)學知識點、數(shù)學思想方法等。

參考文獻：

[1] 人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修 5A 版[M].北京：人民教育出版社，2007：54

[2] 尹愛軍.以數(shù)列為背景的高考新穎試題賞析[J].思茅師范高等?？茖W校學報，2008（6）：94-97

[3] 蘇教版高中數(shù)學教材編寫組.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學5（必修）[M].南京：江蘇教育出版社，2012：67

篇8

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學 數(shù)列 分析

引言：數(shù)列，是一種典型的離散型函數(shù)，是高中重要的教學內(nèi)容之一，在生活中很多方面發(fā)揮著重要的作用。高中數(shù)學教師在具體的教學過程中，往往通過對數(shù)列知識的講解，具體例題的分析和課后練習題的鞏固，來培養(yǎng)和提高學生分析、思考、歸納數(shù)學知識和自主學習的能力。使學生在課后的練習過程中，在解決數(shù)列問題的時，可以對其他類似的數(shù)學題進行觸類旁通的解決。這就要求教師充分的重視數(shù)學數(shù)列的教學過程和方法[1]。對教學設(shè)計不斷的進行優(yōu)化創(chuàng)新，對數(shù)列的基本公式和概念進行有效的傳導，并要結(jié)合實際情況對數(shù)學數(shù)列方法進行深層次的探究，重視學生是教學活動中的主體，使學生們養(yǎng)成良好的學習習慣，形成系統(tǒng)性的創(chuàng)新思維模式。

一、高中數(shù)學數(shù)列的應(yīng)用簡析

作為高中數(shù)學教學內(nèi)容的重要組成部分，數(shù)列蘊含著靈活多樣的教學理念和方法。在人們的日常生活中也發(fā)揮著重大的作用，具有極高的運用價值。例如，結(jié)合現(xiàn)代人們的生活需要，數(shù)列知識可以解決很多實際問題：生物細胞分裂、中國人口增長及密度、產(chǎn)品規(guī)格的設(shè)計等都會涉及到數(shù)列的應(yīng)用。通過對數(shù)列的學習，有利于提高學生的運算速度和能力，有利于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。高中數(shù)學教學在具體的教學過程中，一定要足夠的重視數(shù)列教學方法，不斷的探究、創(chuàng)新數(shù)列教學方法，采用最有效最快捷的教學方式，使學生在熟練地掌握數(shù)列概念的同時，能夠充分、靈活的對其進行應(yīng)用。教師不僅要讓學生們在課堂的學習中有緊迫感，成就感，還要讓其在課下進行深刻的思考和分析。

二、高中數(shù)學數(shù)列教學的創(chuàng)新

（1）數(shù)列教學設(shè)計的優(yōu)化。數(shù)列、一般數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列是是高中數(shù)學數(shù)列教學的主要內(nèi)容。其中，等差數(shù)列和等比數(shù)列是數(shù)列教學內(nèi)容中的重點。主要包括對數(shù)列的定義、基本特點、通項公式、分類方法、具體應(yīng)用等知識點的學習。傳統(tǒng)的教學觀念中，教學設(shè)計作為一種系統(tǒng)化過程，是用系統(tǒng)的教學方法將數(shù)列教學理論，同學習理論原理進行轉(zhuǎn)換，使之成為教學活動和教學資料的具體計劃。創(chuàng)新理念的數(shù)列教學設(shè)計解決了"教學成果"；"教學方法"；"教學目的"等問題，通過教學設(shè)計來解決教學問題，探究總結(jié)問題的解決方法和步驟，形成新的教學方案。并在新的教學方案實施以后及時的對教學效果進行分析，規(guī)劃操作其過程程序，判斷其實施的價值。這一過程也是教學優(yōu)化的的過程，能夠提高教學成果，創(chuàng)造出更加合理高效的教學方案。比如在學習等比數(shù)列前n項和這節(jié)課時，首先設(shè)置一個具有趣味性的問題：有一個印度國王想要獎勵國際象棋的發(fā)明者，問其有什么要求，這個發(fā)明者說：請在棋盤上的64個格子中的第一個格子放入1粒麥粒，然后在第二個格子中放入2粒，第三格放入4粒，第四格放入8粒，以此類推，每一個格子都需要是前一個格子的2倍，國王聽了就答應(yīng)了，同學們你們知道國王應(yīng)該給這個發(fā)明者多少粒麥子嗎？然后帶著問題進行學習數(shù)學，不僅能夠激發(fā)學生學習的主動性和積極性，提高教學的有效性[2]。

（2）創(chuàng)新理念下的"數(shù)學概念"。對數(shù)學對象本質(zhì)屬性進行反映的思維方式，是數(shù)列的數(shù)學概念。它的定義方式有兩種，一種是指明外種延的，一種是描述性的。對一個數(shù)學概念的學習，應(yīng)記住其名稱、了解其涉及到的范圍、簡述其本質(zhì)屬性并運用其概念進行判斷。數(shù)學概念包括等差數(shù)列、等比數(shù)列、通項公式和數(shù)列。在對這些陳述性概念進行設(shè)計時，設(shè)計者應(yīng)對上述概念體現(xiàn)的概念特點進行表明。并且在高中數(shù)學數(shù)列學習中，為了能夠激發(fā)學生對數(shù)列學習的興趣，體會數(shù)列實際應(yīng)用的價值，則可以通過將生活中實際的問題引入到課程教學匯總，從而將抽象的數(shù)學知識轉(zhuǎn)變?yōu)閷嶋H需要解決的問題，使學生學生對所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)。并且在數(shù)列學習中可以結(jié)合其他知識點進行學習，比如數(shù)列中蘊含的函數(shù)思想是研究數(shù)列的指導思想，應(yīng)及早引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.在教學中強調(diào)數(shù)列的項是按一定順序排列的，"次序"便是函數(shù)的自變量，相同的數(shù)組成的數(shù)列，這樣不僅能夠引導學生通過多方面解決問題，而且對提高學生運用知識的能力也具有重要的意義[3]。

（3）創(chuàng)新理念下的教學設(shè)計是以關(guān)注學生的需要為基礎(chǔ)的。為學生服務(wù)是教學設(shè)計的最終目的。教師應(yīng)當認識到，教育的主體是學生，學生與學生之間存在著接受能力、對同一數(shù)列概念的認識水平、認知結(jié)構(gòu)等方面的差異。對于那些接受能力較弱的學生，單單的讓他們自己去探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)列的運用規(guī)律及特點是不行的。在這樣的情況下，傳統(tǒng)的教師講授式教學方法更適合他們。不但可以盡可能的縮短教學時間，讓他們掌握數(shù)列教學的基本內(nèi)容，還可以通過課后有關(guān)數(shù)列的習題的練習，強化其對基本知識的記憶[4]。對于接受能力不算很好的學生來說，簡單的數(shù)列習題應(yīng)適當?shù)牧艚o他們，讓其自行的解決，對于一些有一定難度的習題，老師可以直接的進行講解，并幫助學生們分析。從學生的具體需要出發(fā)的教學方式的創(chuàng)新，才能夠有較好的教學效果出現(xiàn)[5]。

結(jié)語：數(shù)列教學活動的創(chuàng)新，數(shù)列教學方法的改進，沒有永恒的教學模式規(guī)定。教師運用那種教學方法，以什么樣的方式形式呈現(xiàn)出來，需要數(shù)學教師靈活的掌握。以學生為教育主體，不但要對教學內(nèi)容特點特征進行考慮，還要考慮到學生的整體素質(zhì)，照顧到弱勢群體?？傊?，綜合考慮各個方面的因素，根據(jù)實際情況的需要，選用合適的教學模式。積極探究創(chuàng)新高中數(shù)學數(shù)列的教學方法，使其既可以達到傳授知識的目的，又對學生學習能力的提高有幫助。

參考文獻：

[1]朱達峰.新課程背景下高中數(shù)學有效課堂教學引入的十種方法[J].數(shù)學學習與研究

篇9

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限；函數(shù)極限； 異同

引言：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其特殊性在于其定義域是全體正整數(shù)集，故是不連續(xù)、是離散的變量；而函數(shù)的定義域一般是全體實數(shù)集，由實數(shù)的稠密性可知，該自變量是連續(xù)的。由于數(shù)列和函數(shù)之間的這種不同，就間接導致數(shù)列極限和函數(shù)極限也有所不同，本文是在參考華東師范大學數(shù)學系主編的教材《數(shù)學分析》第四版的基礎(chǔ)上，列舉出了幾點關(guān)于數(shù)列極限和函數(shù)極限的異同之處。

1 數(shù)列極限

關(guān)于數(shù)列極限，先舉一個我國古代關(guān)于數(shù)列的例子?！肚f子―天下篇》中：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！逼浜x是：一根長為一尺的木棒，每天取下一半，這樣的過程可以永遠進行下去。不難看出，其通項{ }隨著天數(shù)n的增大而無限地接近于0。在這一思想的指引下，教材給出了數(shù)列極限的精確定義：設(shè) {An} 為數(shù)列，a 為定數(shù)，若對任給的正數(shù) ε（無論它多么小），總存在正整數(shù)N，使得當 n>N 時，有 OAn-aO

2 函數(shù)極限

對于函數(shù)極限，先分析一下自變量x的趨近方式，由于x是取自全體實數(shù)，故趨近方式不僅有上述數(shù)列中所提及的+∞，還可以是∞、―∞，相比數(shù)列極限，更特殊的是還可以趨于某一點x0， 或者x0的左側(cè)、右側(cè)（即單側(cè)極限）趨近。故自變量x的趨近方式共有6種，而極限值和數(shù)列極限完全一樣，有4種。因此，函數(shù)極限共24種類型。比如，拿x+∞，f（x）a為例，其精確定義如下： 對于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么?。?，總存在正數(shù)M ，使得當x>M時有 |f（x）-a|

3 性質(zhì)的異同

（1）由于極限存在則其值必唯一，故數(shù)列極限和函數(shù)極限如果存在，則極限值都是唯一的；

（2）如果數(shù)列極限存在，t它是有界的，而且是整體有界，即存在正數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n有|An|≤M ；而函數(shù)極限如果存在，它也是有界的，可是這種有界性和數(shù)列的有界性不同，它是一種局部性，比如當x+∞時，函數(shù)極限的局部有界性為表述為：即存在正數(shù)M，使得f（x）在x>M的領(lǐng)域上有|f（x）|≤M，這里強調(diào)的是局部性，而不管小于M的函數(shù)值是否有界，所以，函數(shù)極限的局部性質(zhì)是和數(shù)列極限有著本質(zhì)區(qū)別。同理，數(shù)列極限還有保不等式性、迫斂性、保號性，而函數(shù)極限則對應(yīng)于局部保不等式性、局部迫斂性、局部保號性等性質(zhì)；

（3）判別數(shù)列極限存在的方法有主要是單調(diào)有界定理和柯西收斂準則，這兩大著名方法用于判斷數(shù)列極限是否存在非常有用。在單調(diào)有界定理中，如果一個數(shù)列單調(diào)遞增，而且存在上界，則該數(shù)列極限存在且極限值等于其上確界，同理，如果一個數(shù)列單調(diào)遞減，且存在下界，則該數(shù)列極限存在且極限值等于其下確界。在柯西收斂準則中，反映的是這樣一個事實：收斂數(shù)列各項的值越到后面，彼此越是接近，以至于后面的任意兩項之差的絕對值可以小于事先給定的任意正數(shù)ε，柯西收斂準則相比單調(diào)有界定理的好處在于無需借助數(shù)列以外的數(shù)a，只需根據(jù)數(shù)列本身就能判別其斂散性。相比函數(shù)極限的存在條件，其中的柯西準則和數(shù)列的完全類似，而不同的是函數(shù)極限多了一種歸結(jié)原則（海涅定理）。當然，這種方法我認為在實際應(yīng)用中是不太現(xiàn)實的，因為收斂于x0的數(shù)列有很多，所以，我們不能一一去驗證其極限值。通常用的最多的是它的推論：即找到一個收斂于x0的數(shù)列，函數(shù)極限值不存在或找到兩個收斂于x0的數(shù)列，但這兩個函數(shù)極限值不相等。這與判斷數(shù)列極限是否存在的尋找子列的方法一樣，可以說，這兩種思路完全一樣。當然函數(shù)極限也存在單調(diào)有界定理，該定理在函數(shù)表達中由于單調(diào)有增減變化，所以只能研究一側(cè)，即只能研究單側(cè)極限。其方法和數(shù)列極限相類似，只需稍做一些修改即可。

（4）數(shù)列極限和函數(shù)極限在應(yīng)用上也有很多相似的地方，比如四則運算及其證明過程，平均收斂和幾何收斂及其證明以及一些構(gòu)造性方法，兩者的思路十分相似，只需稍微改動即可。但是這里要強調(diào)一下，在使用洛必達法則的時候，如果遇到處理數(shù)列極限時，應(yīng)該先轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限進行求解，然后再應(yīng)用歸結(jié)原則得出數(shù)列極限值，因為對于在數(shù)列極限形式下不能使用洛必達法則，原因是離散變量求導數(shù)是沒有意義的，這一點必須特別注意。

總結(jié)：本文主要以華東師范大學數(shù)學系主編的第四版《數(shù)學分析》為例，列舉了幾個數(shù)列和函數(shù)極限的表示方法，從定義、性質(zhì)、收斂條件、應(yīng)用4方面淺談了自己的一些看法，若有不妥的地方，懇切希望讀者指出，我定給予修正。

參考文獻：

[1]何天榮. 數(shù)列極限與函數(shù)極限的異同及其本質(zhì)原因[J]. 考試周刊，2016，（55）：58.

篇10

新課程相比傳統(tǒng)的課程，在教學方式上有很大的改變，比如從僅有的啟發(fā)式教學，到今天的合作探究教學、師生互動、生生互動教學等等；在培養(yǎng)學生動手能力、問題建構(gòu)、團隊合作、課外研究性學習方面也作出了一定的貢獻，但我們知道，以上這些大多是在公開課、展示課或者是對外交流時展現(xiàn)的，平時呢？筆者覺得，課程實施不僅僅在于作秀，更要注重基本的常態(tài)課，只有在常態(tài)課教學中實施新課程理念、做好新課程要求的――教師培養(yǎng)學生各方面的能力的事，才能使學生真正地得到成長，這些成長更主要體現(xiàn)在學生的數(shù)學素養(yǎng)、思維方式和創(chuàng)新能力上。

筆者常常出去參加交流活動、聽公開課，自己也上很多公開課，但是真正能體現(xiàn)課程實施能力的課與教學是少之又少，說是“研究性學習”，其實不過是“給幾個問題回答”；說是“合作探究”，其實不過是“亂哄哄瞎討論”等等，所以高中數(shù)學如何在課程實施上有較好的實踐，需要教師好好的反思。

2.教學的實踐

新課程注重對學生多方面能力的培養(yǎng)，筆者將其總結(jié)為三個層次：

第一層次：諸如數(shù)學方面的知識能力（計算能力、空間感知能力、邏輯思維能力）；

第二層次：是解決問題中培養(yǎng)的團隊合作能力、自主學習能力等；

第三層次：高中數(shù)學對學生的創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

但是回顧我們的教學，筆者發(fā)現(xiàn)我們的課堂除了較為注重第一層次的能力之外，對培養(yǎng)學生其他方面的能力上的重視是遠遠不夠的。課堂上教師對新課程具體表象的理解――就是體現(xiàn)在教材的處理上，那種“一個定義、三個注意”模式的概念課需要改革，專題知識題型記憶的習題課也需要改革！如何真正融入新課程理念而具體實施？筆者認為：

（1）教學內(nèi)容不宜多，要符合任教學生實際，即“因材施教”；

（2）選擇內(nèi)容要合適，不是每個高中數(shù)學知識點均適合新課程理念要求進行探究或自主學習；

（3）探究方式多樣化，方式可以是合作、思考，亦或課后小論文等，不是一定要“熱熱鬧鬧”的表象；

（4）教師必須要引導，現(xiàn)階段憑借純粹學生自主討論是不現(xiàn)實的，不過教師要把握好引導的“度”；

（5）層次能力要培養(yǎng)，對課程中能實施新課程理念的教學內(nèi)容，注意三個層次能力的培養(yǎng)。

案例　遞推數(shù)列的通項求法（蘇教版必修5《數(shù)列》專題）

在教學遞推數(shù)列的課堂上，筆者展示了一道高考數(shù)列題：（2012年江蘇啟東高三模擬題）

數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2。

（1）設(shè)bn=an+1-2an，問數(shù)列{bn}是等比數(shù)列嗎？請說明理由；

（2）{an}通項公式能否求出？并介紹求出本題的思想方法。

簡解：（1）{bn}是首項b1=3，公比為2的等比數(shù)列。（略）

（2）運用整體思想，由（1）可得bn=an+1-2an=3?2n-1，……（*）

■-■=■，　數(shù)列{■}是首項為■，公差為■的等差數(shù)列。

■=■+（n-1）■=■n-■，　an=（3n-1）?2n-2。

根據(jù)題中提示，學生很快解決了本題，用到了數(shù)學知識中整體解決問題的思想。

筆者請同學們嘗試改變問題中（*）式的右邊，進行學生三個層次，即數(shù)學知識運用、自主學習能力、創(chuàng)新思維能力的鍛煉，如下表：

■

這是筆者曾經(jīng)與學生一起研究的形如an+1=pan+f（n）數(shù)列通項問題，通過這樣的課程研究，不僅深化了教師對數(shù)列通項的知識結(jié)構(gòu)的理解，而且通過這樣的課程提升了學生對數(shù)列通項這樣重要知識點的三維能力要求，將其不僅從數(shù)學知識能力上進行了提高，而且從問題的演變中進行了自主學習能力和創(chuàng)新能力的鍛煉，這是較為符合新課程實施要求的教學。關(guān)于本類問題的研究，筆者與學生一起進行了小論文形式的結(jié)論總結(jié)，限于篇幅，不贅述。

3.實施的反思

據(jù)教育部最新的指導意見（新課程改革已經(jīng)進入第十個年頭），對上一輪新課程改革的過程和結(jié)果都要進行分析總結(jié)，并加以改善，所以某些省市（比如上海、浙江等）已經(jīng)開展又一輪的教材和課程改革。

作為教師來說，我們對教材的處理是更細致、更基本層面的，因此教師本身也要對自身教學進行課程實施能力的反思，筆者把這種反思歸結(jié)為如下幾個方面：

（1）新舊教材知識刪減

比如教學中筆者發(fā)現(xiàn)三垂線等陳舊知識早就刪減了，但是教比不教學生掌握得好，解題速度快、命中率高，教師怎么辦？不講極限，直接通過變化率介紹導數(shù)，是不是數(shù)學教學過于形式化？筆者的意見是，該要的還是需要，不能說刪就刪，教學最終是為學生服務(wù)，講求解決問題的速率和正確率，要以考試大綱和高考命題為基準。

（2）雙基教學與時俱進

曾經(jīng)我們賴以打基本功的雙基教學，現(xiàn)在有點落伍了，那么我們應(yīng)該與時俱進地來看待雙基，新修訂的《義務(wù)教育課程標準》已經(jīng)將雙基改成了四基，這是一種改革，那么在教師身上也需要不斷更新自己的觀念。用張奠宙教授的話說：“不要在巖石上修茅房，也不要在泥巴地里建高樓！”

（3）修訂本校校本作業(yè)

據(jù)不完全統(tǒng)計，諸如江蘇啟東中學、湖北黃岡中學、北京四中等全國名校，均有適合自己的校本作業(yè)。但是像筆者所在的學校，由于種種原因，以前沒有抓住機遇編寫，而市面上相應(yīng)的教輔資料又不適合本校學生！新一輪課程改革來臨之際，編寫較好的校本作業(yè)是當務(wù)之急。

（4）數(shù)學教學專業(yè)研究

新課程改革以來，筆者覺得忙忙碌碌了幾年，在這幾年中，的的確確學習了不少的新知識，諸如：說課、微課、研究課題、研究性學習、合作討論等等這些較為新穎的教學方式和手段，得到了一定的進步。但是反思后，筆者覺得這些提高了教師自身的專業(yè)素質(zhì)，但是對學生教學板塊，我們其實一直比較忽視，試想：公開課重視情境、重視教學參與，有多少教師是從學生的心理機制上去考慮問題？因為學生是白紙，出現(xiàn)的問題是千奇百怪的，所以這方面很值得教師反思。