導(dǎo)語：小議教學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)方式的國際探討和啟發(fā)一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：探討數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的模式是近年來HPM研究中的重要問題，研究者在數(shù)學(xué)教育的整體框架下，綜合考慮數(shù)學(xué)史與教學(xué)要素的關(guān)系，建構(gòu)了許多融入模式，如詮釋學(xué)模式、資源聯(lián)絡(luò)模式、歷史—心理的認識論模式、三面向模式、“為何—如何”模式。這些模式對于我國的HPM本土化建設(shè)有多方面的啟示：教師是數(shù)學(xué)史融入的主體；課程目標是數(shù)學(xué)史融入的方向；多角度分析是數(shù)學(xué)史融入的關(guān)鍵；數(shù)學(xué)史資源急待開發(fā)；HPM應(yīng)成為教師教育的重要內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：HPM；融入；模式；啟示

1導(dǎo)言

在國際HPM（HistoryandPedadogyofMathematics）成立以前，人們就關(guān)注了數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育中的積極價值，許多數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家和數(shù)學(xué)教育家都提倡在數(shù)學(xué)教學(xué)中直接地或間接地使用數(shù)學(xué)史，并從經(jīng)驗層面描述了數(shù)學(xué)史走向數(shù)學(xué)教學(xué)的形式和方法。1972年HPM成立以后，數(shù)學(xué)史助益數(shù)學(xué)教學(xué)的研究成了HPM研究的重要領(lǐng)域，教育取向的數(shù)學(xué)史研究、基于歷史發(fā)生原理的教學(xué)法研究以及數(shù)學(xué)史融入課堂的教學(xué)實驗研究都成了熱門話題。2000年以來，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)一直是歷屆HPM大會的主題之一，研究者不僅僅在經(jīng)驗層面上描述數(shù)學(xué)史的融入，更多地在理論層面和理論指導(dǎo)實踐的層面上研究了有關(guān)的歷史模塊、課堂設(shè)計、教學(xué)案例和課堂實驗，研究成果對教學(xué)實踐也有了更強的指導(dǎo)性和適用性。

但是，對于數(shù)學(xué)教師來說，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)仍然不是一件容易的事情。有啟發(fā)的思想并不能幫助教師解決如何構(gòu)造教學(xué)環(huán)節(jié)的實踐問題[1]。實際上，教學(xué)是一個系統(tǒng)工程，要想實現(xiàn)數(shù)學(xué)史助益數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，需要把數(shù)學(xué)史放在數(shù)學(xué)教育的整體框架下，綜合考慮數(shù)學(xué)史與諸多教學(xué)要素的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)厝谌攵皇呛唵蔚募尤?。在這樣的背景下，數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的模式研究就成了一個特別值得關(guān)注的課題。

2數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的模式

2.1雙循環(huán)的詮釋學(xué)模式

1994年，德國教授H.N.Jahnke在第18屆PME大會報告中指出：數(shù)學(xué)是一種文化，回歸源頭能使我們獲得對思想過程的重要認識，更加清晰的理解現(xiàn)在的問題[2]。他認為，融入數(shù)學(xué)史的重要性不是為了激發(fā)學(xué)習(xí)動機等外在目的，而是把數(shù)學(xué)發(fā)展中同時期的和不同時期的（synchronousanddiachronous）數(shù)學(xué)文化聯(lián)系起來，使數(shù)學(xué)史成為支持教與學(xué)的必要組成部分。同時期的數(shù)學(xué)文化含有課堂對話和課堂活動的自然情景，不同時期的數(shù)學(xué)文化則聯(lián)系著數(shù)學(xué)的生長，教師通過對數(shù)學(xué)假設(shè)、理論、特征的理解、詮釋和融入，讓學(xué)生在一定的社會文化背景下掌握數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)意義、思維模式以及發(fā)生發(fā)展的形式，不僅實現(xiàn)數(shù)學(xué)認知的發(fā)展，同時也是更重要的，實現(xiàn)元數(shù)學(xué)認識的發(fā)展。

在實際教學(xué)設(shè)計中，教師不僅要考慮數(shù)學(xué)史，還要考慮其它教學(xué)要素，如教學(xué)內(nèi)容、教科書、課程標準、數(shù)學(xué)理論等?？梢韵蜃约禾岢鲱愃七@樣的問題：有沒有必要引入數(shù)學(xué)史？和教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系在哪里？數(shù)學(xué)史對學(xué)生認知的貢獻在哪里？如何表述它們？這些問題需要教師做出自己的詮釋和理解，然后才能進入教學(xué)過程。因此，數(shù)學(xué)史融入是數(shù)學(xué)教師雙循環(huán)詮釋過程的一部分。圖1是修改后的雙循環(huán)模型[3]。

在雙循環(huán)詮釋學(xué)模型中，T–C1–I循環(huán)是一般數(shù)學(xué)教師所經(jīng)歷的思考過程，當(dāng)需要數(shù)學(xué)史融入時，教師必須經(jīng)歷C2循環(huán)。在C2循環(huán)中，教師有兩個方面的工作：一是領(lǐng)會古代數(shù)學(xué)家的解釋，經(jīng)過詮釋后呈現(xiàn)于教學(xué)之中；二是考慮C1和C2間的聯(lián)系，避免陷入瑣碎的歷史細節(jié)，影響數(shù)學(xué)知識的教學(xué)目標。在C1和C2間的聯(lián)系上，教師可以選擇不同的路徑。例如T–C1–I–C2–I–C1–I的路徑是從教科書入手，尋求數(shù)學(xué)史，然后思考C1和C2間的聯(lián)系；T–C2–I–C1–I–C2–I的路徑是從數(shù)學(xué)史開始，思考融入教學(xué)的合適角度，然后尋找C1和C2間的聯(lián)系。

詮釋學(xué)模式以社會建構(gòu)主義的知識教學(xué)為目標，重視數(shù)學(xué)的文化意義，關(guān)心數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的關(guān)系，把數(shù)學(xué)史作為意義學(xué)習(xí)的支撐，具體給出了數(shù)學(xué)史融入的途徑和方法，對指導(dǎo)教學(xué)實踐具有很好的參考價值。

2.2資源聯(lián)絡(luò)融入模式

1998年，為了深化HPM實踐，推動相關(guān)的學(xué)術(shù)與教育資源整合，在ICMI（InternationalCommissiononMathematicalInstruction）的支持下以色列的A.Arcavi博士和希臘的C.Tzanakis副教授牽頭編撰了“數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教室之方式的解析性綜述”的主題報告，后被收錄在ICMI研究報告中，臺灣師范大學(xué)洪萬生教授也是參與者之一[3~4]。該報告提出了一個基于數(shù)學(xué)史資源的融入模式，如圖2所示。無論是原始文獻、二手材料，還是由歷史啟發(fā)表述的教學(xué)材料，都是為數(shù)學(xué)教學(xué)活動服務(wù)的。數(shù)學(xué)史融入可以是直接的，也可以是間接的，總的來說表現(xiàn)在3個方面：

（1）引入直接的數(shù)學(xué)史料。這種形式是正常教學(xué)的輔助形式，不直接改變本來的教學(xué)，旨在提供歷史資源——單獨的史實或完整的數(shù)學(xué)史。

（2）歷史啟發(fā)的教學(xué)。這種形式的認識基礎(chǔ)是學(xué)習(xí)只有在充分的動機和心智發(fā)展的恰當(dāng)時機下才會進行，教學(xué)中重要的不是如何使用理論和概念，而是提供有關(guān)“為什么”的解釋和引導(dǎo)。這種模式的教學(xué)有4個步驟：①教師掌握有關(guān)主題的歷史演進知識；②在此基礎(chǔ)上甄別歷史演進的關(guān)鍵步驟，如關(guān)鍵的思想、困難和問題等；③改造這些關(guān)鍵步驟，使之便于在課堂上使用；④給改造后的步驟配備難度遞增的系列問題。在4個步驟中，教師和學(xué)生都要很好地利用原始文獻和二手材料。第②、③步要求教師熟悉數(shù)學(xué)發(fā)展中的困難以及學(xué)生理解上的障礙，在歷史的啟發(fā)下選擇問題、激發(fā)動機，為新知識的學(xué)習(xí)鋪平道路。在第③步中，數(shù)學(xué)史融入有兩種方式：顯性的融入按照歷史事件組織教學(xué)，通過描述不同時期的數(shù)學(xué)，顯示數(shù)學(xué)的演化和發(fā)展階段，把學(xué)生引導(dǎo)到數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)代形式上來；隱性的融入不必要考慮歷史順序，目標始終放在現(xiàn)代形式的數(shù)學(xué)理解上，對數(shù)學(xué)史材料的考察也只要運用現(xiàn)代的概念和邏輯。

（3）培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識。數(shù)學(xué)意識包括內(nèi)在的和外在的兩個方面。對于內(nèi)在的方面，數(shù)學(xué)史展示并解析了數(shù)學(xué)活動的重要內(nèi)容，如概念、動機、問題在數(shù)學(xué)發(fā)展中的角色，數(shù)學(xué)對象和形式的演變，悖論、矛盾、直覺、猜想、一般化、形式化對數(shù)學(xué)的作用等。對于外在的方面，數(shù)學(xué)史能夠澄清人們孤立看待數(shù)學(xué)的誤解，展現(xiàn)數(shù)學(xué)與哲學(xué)、藝術(shù)、社會、文化的關(guān)系等。

資源聯(lián)絡(luò)模式細分了數(shù)學(xué)史的3類資源，對于指導(dǎo)教師使用數(shù)學(xué)史材料大有好處，對數(shù)學(xué)史資源的建設(shè)也有指導(dǎo)意義。在如何使用3類資源上，該模式不僅關(guān)注數(shù)學(xué)史對于知識理解的重要性，而且更加強調(diào)數(shù)學(xué)史對于激發(fā)動機和優(yōu)化教學(xué)過程的重要性，其中基于歷史的啟發(fā)式教學(xué)，顯性融入和隱性融入的形式，都是數(shù)學(xué)教師在教學(xué)設(shè)計中必須深入思考的問題。另外該模式還關(guān)心數(shù)學(xué)史的文化價值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的教育性，很值得借鑒。

2.3歷史—心理的認識論模式

加拿大的L.Radford教授主要從事數(shù)學(xué)心理學(xué)、符號學(xué)、認識論和數(shù)學(xué)史研究，2000年由他牽頭完成的一篇ICMI報告認為，數(shù)學(xué)史是理解數(shù)學(xué)思維形成過程的有益資源，一個重要研究領(lǐng)域是學(xué)生數(shù)學(xué)理解的心理過程和數(shù)學(xué)思維的歷史結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系[4]。他們主張在認識論的理論框架下理清數(shù)學(xué)知識的心理過程和歷史過程，從而在方法論意義上指導(dǎo)教學(xué)活動的設(shè)計。

該模式的認識論基礎(chǔ)是歷史發(fā)生原理和心理發(fā)展理論。前者揭示了個體發(fā)展和知識同化的機制，后者肯定了生物學(xué)過程和歷史文化過程對個體掌握科學(xué)概念和科學(xué)方法的特殊作用。盡管兩個理論有所不同，但是它們都揭示了個體發(fā)展和歷史發(fā)展的關(guān)系，以及在教學(xué)上獲得一個清晰的認識論理解的重要性。

在認識論框架指導(dǎo)下，教師要做好3方面的工作：一是研究某一特殊數(shù)學(xué)知識出現(xiàn)的歷史條件（歷史領(lǐng)域），如當(dāng)時的認識困難、社會文化觀念、語言特征，數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)與體系特點，數(shù)學(xué)思維的歷史由因等；二是分析學(xué)生思維的形式（心理領(lǐng)域），如預(yù)測認知困難，確定學(xué)習(xí)的文化起點，探討學(xué)習(xí)過程等；三是把這些條件改造并融入到課堂活動中（方法領(lǐng)域），如分析歷史情境與課堂情境的異同，選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，采用恰當(dāng)?shù)脑街笇?dǎo)等。

觀點與回應(yīng)游戲（voicesandechoesgames）是該模式指導(dǎo)下的一個具體的教學(xué)方法，已被證實普遍適用于中小學(xué)和不同社會文化背景的學(xué)生。這種游戲的一般做法是：①從數(shù)學(xué)史中引入關(guān)于某個問題的“觀點”（voice），這個觀點在數(shù)學(xué)發(fā)展史上應(yīng)有一定認識跨度，通常與直覺相悖，引入的視角和方法應(yīng)符合歷史文化的傳統(tǒng)；②與歷史人物展開虛擬的對話（echoes），學(xué)生用自己的方式發(fā)表意見，隨著互動的展開、情境的改變，學(xué)生對該問題的認識也在不斷地改變；③獲得觀點認同（resonance），學(xué)生運用這種觀點重新審察和表征自己的知識經(jīng)驗。其中在第二步，教師可以引導(dǎo)學(xué)生開展多種多樣的對話，這些對話實際上就是教師對教學(xué)過程和課堂活動的設(shè)計。

認識論模式立足于個體和人類的認識過程分析，很好地處理了數(shù)學(xué)的歷史形態(tài)和教學(xué)形態(tài)之間的關(guān)系，使數(shù)學(xué)史成為數(shù)學(xué)教學(xué)的真正的有機成分，對于優(yōu)化教學(xué)過程、提高學(xué)習(xí)質(zhì)量是具有科學(xué)意義的。

2.4邏輯—歷史—認知三面向的融入模式

2005年，臺北成功高中教師、臺灣師范大學(xué)博士蘇意雯在洪萬生教授的指導(dǎo)下，借鑒自我詮釋模式和認識論模式的研究成果，以課堂教學(xué)為中心，在行動研究的基礎(chǔ)上，形成了以邏輯、歷史和認知三面向為主要內(nèi)容的教學(xué)模式，如圖4所示[6~8]。

邏輯與歷史及認知三面向模型

該模式強調(diào)，融入數(shù)學(xué)史的目的是幫助教師教數(shù)學(xué)，在學(xué)習(xí)單設(shè)計中要考慮數(shù)學(xué)知識的邏輯、歷史和學(xué)生認知3個方面，使學(xué)習(xí)單的內(nèi)容和形式既能適應(yīng)學(xué)生的認知水平和課程目標，又能提高學(xué)習(xí)的興趣、增強體驗、發(fā)展能力。邏輯方面的考慮包括：課程單元的教學(xué)目標，教科書的編排方式，教師手冊中的相關(guān)說明；歷史方面的考慮包括：數(shù)學(xué)家傳記，數(shù)學(xué)思想的重要發(fā)展，著名定理的來源剖析，證明與解題的思維，歷史文本的呈現(xiàn)，科普書籍介紹等；學(xué)生認知方面的考慮包括：學(xué)生認知發(fā)展的研究成果，本單元認知障礙的案例，教師教學(xué)中關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)的經(jīng)驗等。設(shè)計學(xué)習(xí)單的具體過程是：①體會教科書編者、課程標準與教科書內(nèi)容；②體會古代數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)理論之精神；③自我詮釋，考慮學(xué)生需求編制學(xué)習(xí)單；④進行課堂實踐。三面向模式總結(jié)、借鑒了前人的研究經(jīng)驗，把數(shù)學(xué)知識的邏輯分析、歷史分析和心理分析結(jié)合起來，通過學(xué)習(xí)單的設(shè)計和實施，實現(xiàn)數(shù)學(xué)史的有機融入，對一線教師具有非?，F(xiàn)實的指導(dǎo)價值。該模式還把課堂教學(xué)和教師專業(yè)發(fā)展聯(lián)系起來，是一個可持續(xù)發(fā)展的實踐模式。

2.5“為何—如何”組合模式

2009年，丹麥學(xué)者U.T.Jankvist在研究HPM經(jīng)驗后認為，在教學(xué)中使用數(shù)學(xué)史有必要分清“為何”使用和“如何”使用（WhysandHows）兩類問題[9]?！盀楹巍笔褂檬顷P(guān)于價值取向的討論，分為工具策略和目的策略。工具策略是為了支持現(xiàn)實的教與學(xué)，如激發(fā)動機、維持興趣、表達人文關(guān)懷、克服學(xué)習(xí)困難、提供看待數(shù)學(xué)的不同觀點等。目的策略主張學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史有其自在的目的，要讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的一般規(guī)律，了解數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的時間、空間、環(huán)境、文化、動力等，這是提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要內(nèi)容。目的策略主要關(guān)注數(shù)學(xué)的元知識，而工具策略則更加關(guān)注數(shù)學(xué)的內(nèi)部知識?！叭绾巍笔褂檬顷P(guān)于方法取向的討論，分為3種：講述法、模塊法和歷史啟發(fā)法。講述法就是在教學(xué)中補充一些歷史信息，如介紹基本史實、引入歷史文獻，運用數(shù)學(xué)史知識設(shè)計開場白和結(jié)束語等。模塊法就是設(shè)計一些與課程密切相關(guān)的數(shù)學(xué)史專題，規(guī)?？纱罂尚?，通常以案例的形式呈現(xiàn)，如Katz等人編寫的11個數(shù)學(xué)史模塊[10]。而歷史啟發(fā)法是間接使用數(shù)學(xué)史的方法，比如經(jīng)常提到的發(fā)生教學(xué)法。策略和方法都是為教學(xué)目標服務(wù)的，不同的策略可以選取不同的方法。圖5顯示了兩種策略和3種方法之間可能的6種組合。“為何—如何”組合模型

在具體的教學(xué)設(shè)計中，教師要深入思考“為何”與“如何”之間的關(guān)系，重點是以下兩點：①針對既定的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)條件，弄清楚為什么使用數(shù)學(xué)史；②根據(jù)策略要求選擇合適的方法。例如在工具策略下，為了激發(fā)動機和情感可以選擇講述法，為了發(fā)展數(shù)學(xué)認知，在時間、條件允許的情況下可以選擇模塊法，為了理解數(shù)學(xué)演化，可以選擇歷史啟發(fā)法；如果是目的策略，那么最好的選擇應(yīng)是模塊法，因為模塊能深化數(shù)學(xué)的元認識。

“為何—如何”模式鮮明地提出了數(shù)學(xué)史融入的價值和方法這兩個基本的問題，具體分析了融入的策略和方法以及兩者之間的關(guān)系，在綜合考慮教學(xué)目標和學(xué)生水平的基礎(chǔ)上，提供了6種可能的融入途徑，對于搞好教學(xué)設(shè)計、全面發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教學(xué)功能具有非?，F(xiàn)實的指導(dǎo)意義。另外，該模式關(guān)于工具策略和目的策略的討論，對于數(shù)學(xué)史資源的開發(fā)很有啟發(fā)，關(guān)于“為何”和“如何”的論述，也為教學(xué)評價提供了依據(jù)，這是Jankvist沒有意識到的。

3啟示

綜上可知，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的國際研究已經(jīng)相當(dāng)廣泛和深入，各種融入模式對我們開展HPM實踐都有很好的、甚至是直接的參考和借鑒價值。就HPM的本土化建設(shè)而言，這些模式給我們以下啟示：

（1）教師是數(shù)學(xué)史融入的主體。數(shù)學(xué)史融入的過程是數(shù)學(xué)史從歷史形態(tài)走向教學(xué)形態(tài)的過程，實際上也是教師詮釋、加工、再創(chuàng)造數(shù)學(xué)史的過程。要想真正實現(xiàn)數(shù)學(xué)史助益數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，教師必須充分認識數(shù)學(xué)史的教育價值，準確理解數(shù)學(xué)史的知識意義和方法意義，合理地選擇適應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)需要的歷史材料和使用方法。因此，教師既是融入的認識主體，也是融入的實踐主體，教師的主體地位和作用是一切HPM研究和實踐必須充分注意的。

（2）課程目標是數(shù)學(xué)史融入的方向。在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，不是為了讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)史，而是為了實現(xiàn)課程目標（包括提高學(xué)生數(shù)學(xué)修養(yǎng)的目標）。數(shù)學(xué)史的角色是輔助和支持，無論直接使用還是間接使用，都要服務(wù)于課程目標，切不可喧賓奪主、本末倒置。因此，教學(xué)史融入的實踐和研究要緊密聯(lián)系數(shù)學(xué)課程，抽象地、學(xué)究式地討論數(shù)學(xué)史融入，不僅沒有現(xiàn)實意義，也容易使融入迷失方向。

（3）多角度分析是數(shù)學(xué)史融入的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)教學(xué)是一個復(fù)雜的系統(tǒng)，任何一個教學(xué)要素都可能影響教學(xué)效果。在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，不僅要考慮數(shù)學(xué)史資源的內(nèi)部關(guān)系，還要考慮數(shù)學(xué)史與課程要求、教科書、學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)等要素的關(guān)系以及融入的價值取向和使用方法。只有多角度分析數(shù)學(xué)史的教學(xué)意義，提高教學(xué)設(shè)計和課堂活動的效益，才能真正實現(xiàn)數(shù)學(xué)史融入的教學(xué)價值。

（4）數(shù)學(xué)史資源急待開發(fā)。便于教學(xué)使用的數(shù)學(xué)史資源是HPM實踐的基礎(chǔ)，但無論是國外還是國內(nèi)，都顯示出這類資源的匱乏，這似乎已成為數(shù)學(xué)史融入的共同瓶頸。數(shù)學(xué)教師不可能做“無米之炊”，而依靠教師來開發(fā)這些資源又有很大的局限性。所以，當(dāng)務(wù)之急是數(shù)學(xué)史家、數(shù)學(xué)教育家、HPM研究者和數(shù)學(xué)教師主動聯(lián)合起來，共同努力，盡快開發(fā)出適合我國國情的數(shù)學(xué)史資源庫。當(dāng)然，作為權(quán)宜之計，也可以首先組織翻譯一些較好的國外資料。

（5）HPM應(yīng)成為教師教育的重要內(nèi)容。數(shù)學(xué)史融入不僅是助益教學(xué)的方法，也是很有特色的教學(xué)模式，同時還是數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的一個途徑，HPM理應(yīng)成為數(shù)學(xué)教師教育的重要內(nèi)容。我們的教師教育不太重視數(shù)學(xué)史，教師的職后培訓(xùn)更是缺少數(shù)學(xué)史，導(dǎo)致了教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)偏低，普遍缺少應(yīng)用數(shù)學(xué)史的自覺意識。因此，有必要在教師教育或職后培訓(xùn)中，加強數(shù)學(xué)史教育，推廣HPM的研究成果，開展基于數(shù)學(xué)史的教學(xué)研究，以此促進教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和教學(xué)能力的進一步提高。