導(dǎo)語(yǔ)：三角形等積分割線(xiàn)分析論文一文來(lái)源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀(guān)點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢(xún)客服老師，歡迎參考。

問(wèn)題1：請(qǐng)用一條直線(xiàn)，把△ABC分割為面積相等的兩部分。

解：取BC的中點(diǎn)，記為點(diǎn)D，連結(jié)AD，則AD所在直線(xiàn)把△ABC分成面積相等的兩個(gè)部分。

大家知道，這樣分割線(xiàn)一共有三條，分別是經(jīng)過(guò)△ABC的三條中線(xiàn)的直線(xiàn)，能把△ABC的面積分成相等兩部分。除了這三條以外，還有很多種，并且對(duì)于△ABC邊上任意一點(diǎn)，都可以找到一條經(jīng)過(guò)這點(diǎn)且把三角形面積平分的直線(xiàn)。

問(wèn)題2：點(diǎn)E是△ABC中AB邊上的任意一點(diǎn)，且AE≠BE，過(guò)點(diǎn)E求作一條直線(xiàn)，把△ABC分成面積相等的兩部分。

解：如圖2，取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD，過(guò)點(diǎn)D作DF∥CE，交BC于點(diǎn)F，則直線(xiàn)EF就是所求的分割線(xiàn)。

證明：設(shè)CD、EF相交于點(diǎn)P

∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)

∴AD=BD∴S△CAD=S△CBD

∴S四邊形CAEP＋S△PED=S四邊形DPFB＋S△PCF

又∵DF∥CE∴S△FED=S△DCF（同底等高）

即：S△PED=S△PCF

∴S四邊形CAEP=S四邊形DPFB

∴S四邊形CAEP＋SPCF=S四邊形DPFB＋S△PED

即S四邊形AEFC=S△EBF

由此可知，把三角形面積進(jìn)行平分的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條，而

且經(jīng)過(guò)邊上任意一條直線(xiàn)，運(yùn)用梯形對(duì)角線(xiàn)的特殊性質(zhì)，很容易作出這樣的分割線(xiàn)。

那么，這些分割線(xiàn)會(huì)不會(huì)交于某特定的一點(diǎn)呢？

大家知道，三角形的三條中線(xiàn)都把三角形分成面積相等的兩個(gè)部分，而三條中線(xiàn)交于它的重心，如果這些分割線(xiàn)相交于一點(diǎn)，那么這點(diǎn)必定是三角形的重心。

問(wèn)題3：已知：如圖3，在△ABC中，G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，求證：S△AEF=S△ABC.

證明：延長(zhǎng)AG，交BC于點(diǎn)D

∵點(diǎn)G是△ABC的重心

∴AG:AD=2:3

又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC

由本題可得：過(guò)AB邊上的點(diǎn)E，經(jīng)過(guò)重心G的直線(xiàn)，EF把三角形面積分為4:5兩部分，直線(xiàn)EF并不是三角形的等積分割線(xiàn)。而根據(jù)問(wèn)題2，可以找到一條過(guò)點(diǎn)E把三角形面積平分的一條直線(xiàn)，這條直線(xiàn)必不過(guò)重心G。

綜上可知，三角形的等積分割線(xiàn)有無(wú)數(shù)條，而且任意給定邊上一點(diǎn)，都可以作出相應(yīng)的等積分割線(xiàn)，且只有一條，所有的分割線(xiàn)并不相交于三角形的重心。