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動(dòng)力學(xué)問題在國(guó)民經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展中有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。最經(jīng)常遇到的是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題，它有兩類研究對(duì)象。一類是在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下工作的結(jié)構(gòu)，另一類是承受動(dòng)力荷載作用的工程結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)受載荷處于平衡狀態(tài)時(shí)，是靜止不動(dòng)的；結(jié)構(gòu)有變形，而位移是不隨時(shí)間而改變的，載荷和內(nèi)部應(yīng)力也不隨時(shí)間而變化，這是靜力問題。結(jié)構(gòu)受載荷沒達(dá)到平衡狀態(tài)，或由于結(jié)構(gòu)的彈性和慣性而圍繞平衡位置振動(dòng)時(shí)，其位移、應(yīng)力等都是時(shí)間的函數(shù)，各點(diǎn)有位移還有速度和加速度，這是一種動(dòng)力問題。有限元方法可以用來分析連續(xù)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力問題[70]。

2.4.1結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程[71]

對(duì)于動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)而言，所受的外力（包括體力、面力、集中力、慣性力和阻尼力）和產(chǎn)生的位移都是時(shí)間的函數(shù)。應(yīng)用達(dá)倫貝爾原理，把結(jié)構(gòu)的慣性力加入平衡方程中，就可以將彈性的結(jié)構(gòu)的動(dòng)力問題轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題來處理。

用有限元法求解彈性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力問題，也是把結(jié)構(gòu)離散成有限個(gè)單元的集合體，并取出任意單元，此時(shí)單元上任意點(diǎn)的位移都是時(shí)間的函數(shù)，以表示單元上的節(jié)點(diǎn)位移向量，再利用單元的位移插值公式，寫出單元的上任意點(diǎn)的位移函數(shù)：

(2-11)

其中，為形函數(shù)，是位移的插值函數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)。

則速度和加速度函數(shù)為：

(2-12)

(2-13)

其中，、為單元節(jié)點(diǎn)的速度和加速度列陣。

將單元內(nèi)慣性力與阻力作為體積分布載荷分配到單元各節(jié)點(diǎn)上，分別記為、，有

將式（2-11）、（2-13）代入上式，有

令(2-14)

稱為單元質(zhì)量矩陣；

令(2-15)

稱為單元阻尼矩陣。

按達(dá)倫貝爾原理，將慣性力、阻力作為載荷，單元疊加得到彈性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力平衡方程：

(2-16)

令、

則方程（2-16）改寫為：

(2-17)

彈性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)本身是連續(xù)體的振動(dòng)，位移是連續(xù)的，具有無(wú)限多個(gè)自由度。經(jīng)有限元離散化后，單元內(nèi)的位移按假定的位移形式來變動(dòng)，可用節(jié)點(diǎn)位移插值表示。這樣，連續(xù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)就離散化為有限個(gè)自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。盡管如此，結(jié)構(gòu)動(dòng)力有限元計(jì)算量比靜力的大得多。為保證計(jì)算的方便、快捷并滿足一定計(jì)算精度的要求，可以采用合理的計(jì)算方法和計(jì)算程序；宜可從力學(xué)角度簡(jiǎn)化動(dòng)力方程，如通過集中質(zhì)量矩陣、靜力縮聚、主副自由度、模態(tài)綜合等方法已達(dá)到降階和簡(jiǎn)化方程的目的。

2.4.2動(dòng)力方程的求解方法[58,59,60,61]

一般的連續(xù)結(jié)構(gòu)都可以用有限元方法化為有限自由度系統(tǒng)問題，并列出相應(yīng)的動(dòng)力方程。在給定的節(jié)點(diǎn)載荷作用下，求解動(dòng)力方程，可歸納為兩種方法。一是通過求解大型的矩陣特征值問題確定結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性，經(jīng)模態(tài)矩陣變換，化為互不耦合的N個(gè)單自由度問題，逐個(gè)求解并迭加，稱振型迭加法。這需要算出系統(tǒng)的各階振型，而且也僅適用于線性系統(tǒng)和簡(jiǎn)單的阻尼情況。二是用數(shù)值計(jì)算直接積分多自由度系統(tǒng)的微分方程，寫成矩陣形式用計(jì)算機(jī)逐步求解，這可用于一般阻尼的情況，并且可按增量法，用逐段線性化的方法求解非線性系統(tǒng)問題。

（1）振型迭加法

對(duì)于多個(gè)自由度系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)可以用各個(gè)振型動(dòng)力反應(yīng)的線性組合來表示，即

(2-18)

式中，為位移向量；為廣義的坐標(biāo)向量；矩陣為振型矩陣，振型矩陣中第列向量即為系統(tǒng)的第個(gè)振型向量。將（2-18）式代入系統(tǒng)的動(dòng)力方程式（2-17），并左乘振型向量后，可得

(2-19)

利用振型關(guān)于質(zhì)量和剛度矩陣的正交性，并假定阻尼矩陣也滿足正交性條件，可以得到：

(2-20)

式中、分別為振型質(zhì)量和振型剛度，為振型阻尼，根據(jù)假定也滿足正交性條件，即，當(dāng)采用瑞利阻尼時(shí)，很明顯，，這個(gè)條件是自然滿足的；稱為振型節(jié)點(diǎn)荷載。

逐個(gè)求解（2-20）式，即可得到個(gè)廣義坐標(biāo)，代入式（2-11），即將得到了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的反應(yīng)。用振型分解法求得的節(jié)點(diǎn)位移是時(shí)間的函數(shù)，由它插值的單元內(nèi)部位移、應(yīng)力、應(yīng)變的計(jì)算與靜力計(jì)算一樣，不同的是這些量都是時(shí)間的函數(shù)。

用振型分解法求解結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力反應(yīng)時(shí)有兩個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)：一是個(gè)相互耦連的方程利用振型正交性解耦后相互獨(dú)立，變成了個(gè)自由度方程，使計(jì)算過程大大簡(jiǎn)化。二是只需按要求求解少數(shù)幾個(gè)振型的方程，就可以得到滿意的解答，因?yàn)樵诖蠖鄶?shù)情況下，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)主要是前面幾個(gè)低階振型起控制作用。

（2）直接積分法

在結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算中，常用的直接積分法有中心差分法、線性加速度法、法和法等等。

1）、中心差分法

中心差分法的基本思路是將動(dòng)力方程式中的速度向量用位移的某種組合來表示，將微分方程組的求解問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的求解問題，并在時(shí)間歷程內(nèi)求出每個(gè)微小時(shí)段的遞推公式，進(jìn)而逐步求的整個(gè)時(shí)程的反應(yīng)。

對(duì)于動(dòng)力方程（2-17）各階微分可以用中心差分表示為

(2-21)

(2-22)

式中為均勻的時(shí)間步長(zhǎng)，、和分別為時(shí)刻及其前、后時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)位移向量。將式b、c代入a式后可得到一個(gè)遞推公式如下：

(2-23)

上式即為中心差分法的計(jì)算公式，在求得結(jié)構(gòu)的和后，就可以根據(jù)t時(shí)刻及t-Δt時(shí)刻的結(jié)點(diǎn)位移，按（2-23）式推算出t+Δt時(shí)刻的結(jié)點(diǎn)位移；并可逐步推出t+2Δt，t+3Δt，…，tend各時(shí)刻的結(jié)點(diǎn)位移。式（2-23）對(duì)于t=0的時(shí)刻并不適用，因?yàn)橐话氵\(yùn)動(dòng)的初始條件給出的是初始位移和初始速度，而難以給出前一個(gè)Δt時(shí)刻的位移，無(wú)法直接按式（2-23）進(jìn)行第一步的計(jì)算，因此，這時(shí)就要利用其他條件建立中心差分的計(jì)算公式，

=(2-24)

(2-25)

再利用t=0時(shí)刻的動(dòng)力方程：

(2-26)

由（2-24）、（2-25）、（2-26）三式，可以求得、和。求解的方程式如下：

(2-27)

這個(gè)方程式中的、和都是已知的，因此可以解出。而后就可以按式（2-24）解出和，…。這是一種將時(shí)間段劃分為若干個(gè)相同的時(shí)段后的逐步求解方法，求解出的量均是每個(gè)時(shí)刻結(jié)點(diǎn)的位移，因此，很適合于像有限元方法這樣以結(jié)點(diǎn)位移來計(jì)算單元內(nèi)部位移、應(yīng)力和應(yīng)變的各種數(shù)值求解問題。

2）線性加速度法

這個(gè)方法的基本思路是把整個(gè)振動(dòng)時(shí)程分成很多個(gè)時(shí)間間隔，并假定在范圍內(nèi)加速度按直線規(guī)律變化，在此基礎(chǔ)上計(jì)算出時(shí)刻內(nèi)的增量位移、增量速度和增量加速度，一步一步地求得整個(gè)時(shí)程的反應(yīng)。

將動(dòng)力方程式寫成增量形式的方程：

(2-28)

用時(shí)刻的和表示和，代入（2-28）并整理后得

在求出后，及可按下式求出：

(2-30)

這樣，t時(shí)刻的位移、速度和加速度可按下式求出：

(2-31)

重復(fù)上述步驟，可根據(jù)體系的初始條件，一步一步地求得各時(shí)刻（1,2,…,n）時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力位移、速度和加速度反應(yīng)。

3）Wilson-θ法

數(shù)值計(jì)算方法的一個(gè)基本要求是算法的收斂性好，上一節(jié)介紹的線性加速度法當(dāng)體系自振周期較短而計(jì)算步長(zhǎng)較大時(shí)，有可能出現(xiàn)計(jì)算過程發(fā)散的情況，即計(jì)算的反應(yīng)數(shù)值越來越大，直至溢出（overflow），對(duì)于多自由度系統(tǒng)，其最小的自振周期可能很小，此時(shí)，計(jì)算步長(zhǎng)Δt必須取得很小才能保證計(jì)算不發(fā)散。對(duì)于結(jié)構(gòu)抗震分析來說，Δt需要選得比地面運(yùn)動(dòng)中高頻分量的周期以及結(jié)構(gòu)的自振周期小很多（例如10倍以上），才能保證必要的精確度。因此，線性加速度法是一種條件收斂的算法。

Wilson-θ法是在線性加速度法基礎(chǔ)上改進(jìn)得到的一種無(wú)條件收斂的數(shù)值方法，它的基本假定仍然是加速度按線性變化但其范圍延伸到時(shí)間步長(zhǎng)為θΔt的區(qū)段，只要參數(shù)θ取得合適（θ≥1.37），就可以取得收斂的計(jì)算結(jié)果。當(dāng)然，Δt取得較大時(shí)，計(jì)算誤差也將較大。

在時(shí)刻t+θΔt，多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式為

[M]{(t+Δt)}+[C]{(t+Δt)}+[K]{(t+Δt)}={P(t+Δt)}

(2-32)

根據(jù)Wilson-θ法的基本假定，加速度反應(yīng)在[t,t+θΔt]上線性變化，即在此區(qū)段上運(yùn)用線性加速度法得到的公式，并將時(shí)間步長(zhǎng)改為θΔt，即可求得時(shí)刻t+θΔt時(shí)的加速度反應(yīng)為

{(t+Δt)}=

(2-33)

在[t,t+θΔt]時(shí)段內(nèi)采用內(nèi)插法，可以求得t+Δt時(shí)刻的加速度為

{(t+Δt)}={(t)}+

={(t+Δt)}+

=(2-34)

根據(jù)線性加速度法的基本關(guān)系式，利用{(t+Δt)}可得

(2-35)

{}(2-36)

式（2-35）、（2-36）即為用Wilson-θ法計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的公式。

4）Newmark-β法

Newmark-β法的基本假定是：

{δ(t+Δt)}={δ(t)}+(2-37)

其中，γ和β是按積分的精度和穩(wěn)定性要求而調(diào)整的參數(shù)。研究表明，當(dāng)γ>=0.5,β>=0.25(0.5+γ)2時(shí)，Newmark-β法是無(wú)條件穩(wěn)定的。

由式（2-37），可利用{：

{(t+t)}=

(2-38)

{}

(2-39)

考慮到t+Δt時(shí)刻的動(dòng)力方程，有：

[M]{（t+Δt）}＋[C]{(t+Δt)}+[K]{}={P(t+t)}(2-40)

將式（2-39）代入上式，可得：

（2-41）

式中

求解方程（2-41），可得{δ（t+Δt）},然后由式（2-39）可解出{}和{}。以此類推，可求出各時(shí)刻的位移、速度和加速度。

2.4.3結(jié)構(gòu)體系自振周期、振型計(jì)算

結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)問題可以歸納為求解廣義特征值問題[66,76]，廣義特征值為1/ω2，廣義特征向量為結(jié)構(gòu)的固有振型。

忽略結(jié)構(gòu)的阻尼影響，結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)方程為：

(2-42)

假設(shè)位移向量，由上式得：

(2-43)

式中：[K]、[M]分別為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣、質(zhì)量矩陣；

、分別為結(jié)構(gòu)各質(zhì)點(diǎn)的位移、加速度；

ω為結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的圓頻率。

一般地振型向量≠0，由齊次線性方程組解的理論得：

（2-44）

由式（2-44）得到n個(gè)不同的圓頻率ω1、ω2、ω3、…、ωn，將圓頻率代入方程（2-43）可得到固有振型{A}1、{A}2、…、{A}n。

由于非對(duì)稱框架結(jié)構(gòu)隔震系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣為非對(duì)角矩陣，程序中求解自振頻率及振型采用廣義雅可比法。