導(dǎo)語：加權(quán)回歸建模管理論文一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：以加權(quán)回歸估計方法為核心，對林業(yè)上常用模型的異方差性進(jìn)行了研究，提出了能徹底消除異方差的最佳權(quán)函數(shù)。并對模型的評價指標(biāo)進(jìn)行了探討，提出了評價通用性回歸模型的3大指標(biāo)，并分析了加權(quán)回歸估計與這些評價指標(biāo)之間的關(guān)系。最后對樣本資料的收集進(jìn)行了討論，提出了收集建模樣本應(yīng)遵循的基本原則。

關(guān)鍵詞：加權(quán)回歸建模異方差模型評價

林業(yè)數(shù)表模型是森林經(jīng)營決策必不可少的計量、預(yù)測、評價依據(jù)，保證模型質(zhì)量至關(guān)重要，而樣本組織、模型擬合方法和模型評價是保證質(zhì)量的3個重要環(huán)節(jié)。實踐證明，林業(yè)數(shù)表模型所描述的問題普遍存在異方差性，在模型擬合中若不采取消除異方差影響的有效方法，必然導(dǎo)致模型有偏。為此，一般可采取加權(quán)最小二乘法擬合模型，但在權(quán)函數(shù)的選擇上尚存在兩個有待進(jìn)一步解決的問題：一是權(quán)函數(shù)的形式因模型所描述的事物的性質(zhì)不同而異，確定最佳權(quán)函數(shù)十分繁瑣；二是到目前為止，尚未找出能完全消除異方差的權(quán)函數(shù)。本文旨在提出一種可以完全消除異方差影響的權(quán)函數(shù)通式，并給出正確評價模型的指標(biāo)體系及組織建模樣本的基本原則。

1加權(quán)回歸的概念

確定變量之間的回歸關(guān)系，一般情況下是利用普通最小二乘法。假設(shè)隨機變量y～,其中，E(y)=f(x)。也就是說，隨機變量y與x滿足下列模型：

y=f(x)+ε(1)

式中的ε有3個基本假定，即“獨立、正態(tài)、等方差”，它們是采用普通最小二乘法建立回歸模型的先決條件。3個條件中的“獨立”與“正態(tài)”在一般情況下都是基本滿足的，而“等方差”這一條件，則在很多情況下都難以滿足。為解決誤差項ε的異方差性問題，應(yīng)設(shè)法校正原有的模型，使校正后的模型其誤差項具有常數(shù)方差，而模型的校正取決于方差σ2εi與自變量xi之間的關(guān)系。假設(shè)εi的方差與xi的函數(shù)g(xi)呈比例關(guān)系，即：

σ2εi=g(xi)σ2(2)

這里σ2是一個有限常數(shù)。于是用去除原有模型，可使新模型的誤差項具有常數(shù)方差。用這種方法估計模型中相應(yīng)的參數(shù)，叫做加權(quán)最小二乘法(俞大剛，1987)。

2權(quán)函數(shù)的選擇

2.1異方差性的基本概念

根據(jù)回歸估計理論，當(dāng)建立的回歸模型的誤差項存在異方差時，必須采用加權(quán)最小二乘法來消除異方差對參數(shù)估計的影響。在林業(yè)上所涉及的許多數(shù)學(xué)模型，如材積模型、生物量模型、生長率模型、削度模型等，其誤差項的方差都不為常數(shù)，而是隨解釋變量的變化而變化(駱期邦等，1992；曾偉生等，1992；曾偉生，1996)。一般而言，模型預(yù)估值隨解釋變量的增大而增大時，其誤差項的方差也隨解釋變量的增大而增大，如材積模型和生物量模型；模型預(yù)估值隨解釋變量的增大而減小時，其誤差項方差也隨解釋變量的增大而減小，如生長率模型。在殘差圖上反映出來，二者都為喇叭型。另外，預(yù)估變量的變化范圍愈大，異方差性一般也愈明顯。因此，采用適當(dāng)形式縮小預(yù)估變量的變動幅度，可在一定程度上消除異方差性。如將材積轉(zhuǎn)化為形數(shù)來建模，可將預(yù)估變量的取值大致控制在0.35～0.65的范圍，使預(yù)估值的最大相差倍數(shù)從數(shù)千倍縮小至2倍以內(nèi)，從而基本上消除了異方差性。將生長量轉(zhuǎn)化為生長率再建模，也在很大程度上縮小了預(yù)估值的變動幅度，可明顯削弱其異方差性。

2.2權(quán)函數(shù)選擇的研究現(xiàn)狀

上面提到的一些常用模型，由于存在異方差，因此必須選用適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)來進(jìn)行加權(quán)回歸估計。關(guān)于這一點，近幾年已經(jīng)逐步有了認(rèn)識。如對材積模型V=aDbHc的估計，一般認(rèn)為選用權(quán)函數(shù)W=1/(D4H2)可有效地消除異方差的影響(駱期邦等，1992)；對生長率模型PV=aDbAc的估計，取權(quán)函數(shù)W=1/(D2A)效果較佳(曾偉生等，1992)。而且，還認(rèn)識到了最合適的權(quán)函數(shù)是針對某一個模型而不是某一類模型(曾偉生，1992)。但是，針對一個具體的回歸模型，如何確定其最合適權(quán)函數(shù)的問題仍然沒有得到圓滿解決。

一般情況下，如果不具有異方差性形式的信息，可通過對剩余值｜ei｜=g(xi)進(jìn)行試驗，以挑選出一種合適的擬合形式(俞大剛，1987)。另外，也有人提出直接尋找方差S2ei與自變量xi的關(guān)系式S2ei=g(xi)，再以W=1/g(xi)為權(quán)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)回歸，新模型的誤差項方差S2ei就會近似為常數(shù)1。還進(jìn)一步提出了較具通用性的拋物線形式的權(quán)函數(shù)，并取得了較好的效果(曾偉生，1996)。但是這樣來確定權(quán)函數(shù)，一方面比較繁瑣；另一方面也難保證拋物線形式能適合所有模型，尤其是含多個自變量的模型；再就是必須有比較大的建模樣本才可能得到誤差項方差與變量x之間的回歸關(guān)系。誠然，在此基礎(chǔ)上還可以作些改進(jìn)，如：借鑒曾偉生文(曾偉生等，1997)中可變參數(shù)模型的設(shè)計，將狹義的拋物線形式y(tǒng)=a+bx+cx2擴(kuò)展為廣義的拋物線形式y(tǒng)=a+bxn+c(xn)2(n=0.5,1,2…)以更好地適應(yīng)各個模型不同程度的異方差性；從自變量集中選出最主要的變量(如材積模型中的直徑)來構(gòu)造權(quán)函數(shù)等。即使這樣，效果仍然不太理想。

2.3最佳權(quán)函數(shù)的確定

前面已經(jīng)提到，最佳權(quán)函數(shù)是針對某個模型而不是某類模型，即同類模型中不同的回歸方程式應(yīng)有不同的最佳權(quán)函數(shù)?；谶@一認(rèn)識，我們再來對一些經(jīng)典模型及其合適權(quán)函數(shù)作進(jìn)一步分析。

不難發(fā)現(xiàn)，認(rèn)為以W=1/(D2H)2為權(quán)函數(shù)效果較好的材積模型V=aDbHc,其參數(shù)b、c的估計值分別接近于2和1；以W=1/(D2A)為權(quán)函數(shù)的生長率模型PV=aDbAc,其參數(shù)b、c的估計值分別接近于1和0.5。最近筆者還發(fā)現(xiàn)，形如W=a(D2H)b的生物量模型，取W=1/(D2H)2為權(quán)函數(shù)效果也很佳，此時b的估計值接近于1。如果定義W=1/g(x)2為權(quán)函數(shù)，因為上述模型中的參數(shù)估計值與權(quán)函數(shù)中的相應(yīng)參數(shù)值接近，故模型兩邊同時除以g(x)時，右邊都近似等于參數(shù)a;若權(quán)函數(shù)中的相應(yīng)參數(shù)取模型的參數(shù)估計值，則模型兩邊同除g(x)時右邊就會恒等于參數(shù)a了。更進(jìn)一步，若取：

W=1/f(x)2(3)

作為權(quán)函數(shù)，則模型兩邊同除以f(x)后得到的新模型，右邊都等于1?？梢宰C明，此時得到的新模型，其誤差項的期望值為0，方差為常數(shù)。亦即，以模型本身構(gòu)造的權(quán)函數(shù)就是要尋找的最佳權(quán)函數(shù)。這剛好應(yīng)證了“不同模型有不同的最佳權(quán)函數(shù)”的觀點。

該模型為：

y=f(x)+ε(4)

兩邊同時除以f(x)得新模型：

y′=y/f(x)=1+ε/f(x)=1+ε′(5)

對新模型(5)采用普通最小二乘法進(jìn)行估計(相當(dāng)于原有模型(4)的加權(quán)回歸估計)，有：

(6)

下面討論新模型誤差項ε′的性質(zhì)。

期望值：

E(ε′)=E[ε/f(x)]=E[y/f(x)-1]

由(6)式知，E[y/f(x)]=1,故E(ε′)=0。

方差：

式中f(e′i)為頻數(shù)(董德元等，1987)?？捎媒颖緦ι鲜龇讲頓(ε′)作出如下無偏估計：

因此，新模型誤差項的期望值為0，其方差為常數(shù)，即對所有xi來說，每個ε′i的方差都相同；滿足等方差的條件。至此可以得出結(jié)論：以模型本身構(gòu)造的權(quán)函數(shù)(3)式就是要尋找的最佳權(quán)函數(shù)。

3模型評價與加權(quán)回歸

3.1回歸模型評價指標(biāo)

建立回歸模型，從一般的意義上講有以下3個目的(劉璋溫等，1983)：

結(jié)構(gòu)分析——對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，以便描述存在于解釋變量與目標(biāo)變量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系；

預(yù)測——以已知解釋變量的值來預(yù)測目標(biāo)變量的未來值或期望值；

控制——為使目標(biāo)變量的值保持在一個理想的水平上，而適當(dāng)調(diào)整解釋變量中可調(diào)整的變量值。

在上述3個目的中，預(yù)測是最根本的。因為結(jié)構(gòu)分析可以考慮為在更一般的條件下預(yù)測目標(biāo)變量的變化問題，而控制可以考慮為針對解釋變量的不同水平來預(yù)測相應(yīng)的目標(biāo)變量的值，以便從中選擇最佳變量的問題。事實上，林業(yè)上的所有通用性數(shù)表的編制都可以看成是用于預(yù)測的超總體回歸模型的建立問題。如何評價這類模型的優(yōu)劣，一直是林業(yè)數(shù)表領(lǐng)域所面臨的一個課題。

關(guān)于回歸模型評價的常用指標(biāo)，包括殘差平方和Q、剩余標(biāo)準(zhǔn)差S、復(fù)相關(guān)系數(shù)R、修正復(fù)相關(guān)系數(shù)R、參數(shù)變動系數(shù)(穩(wěn)定性)、殘差分布(隨機性)、參數(shù)的可解釋性以及信息量準(zhǔn)則AIC和CP準(zhǔn)則等(駱期邦等，1992；劉璋溫等，1983；鐘義山，1992；盛承懋等譯，1989)。除此之外，筆者認(rèn)為對用于預(yù)測目的的回歸模型，尚需考慮以下4大指標(biāo)：

(7)

(8)

平均相對誤差絕對值(9)

預(yù)估精度(10)

或，預(yù)估誤差(11)式中：yi為實測值；i為預(yù)估值；n為樣本單元數(shù)；tα為置信水平α?xí)r的t分布值；T為回歸模型參數(shù)個數(shù)；為平均預(yù)估值，可由f()給出。另外，因為這類回歸模型必須具有通用性質(zhì)，需滿足隨自變量x從小到大時模型的上述指標(biāo)應(yīng)基本保持一致，所以還需分段對上述指標(biāo)作出評價。

應(yīng)特別強調(diào)的一點是，因為相對誤差公式一般表示為：

從而在林業(yè)應(yīng)用上對(7)～（9）式過去幾乎都是寫成(預(yù)估值-實測值)/實測值，即習(xí)慣性地將實測值當(dāng)成了真值。將實測值當(dāng)真值正確與否，需視具體情況而定。如某一株D=20cm、H=15m的杉木，經(jīng)實測其材積為0.24m3。如果用于立木材積的目測訓(xùn)練，正確的做法自然是將0.24m3作為該樹的材積真值來檢測每個人的目測水平；如果是用于立木材積表的編制，則0.24m3只是滿足D=20cm、H=15m這一條件的某株杉木的材積實測值，在這種情況下不存在真值的概念，而只有實測值與預(yù)估值(或期望值)之分。誤差計算在林業(yè)數(shù)表領(lǐng)域的應(yīng)用基本上都是后一種情形，因此一般應(yīng)采用前面給出的(7)～(9)式。

預(yù)估精度(10)式或預(yù)估誤差(11)式是筆者提出的評價通用性模型的新指標(biāo)，從后面的討論將看到，它是反映模型預(yù)估效果的最重要的評價指標(biāo)。它的成立需滿足條件總體為正態(tài)分布這一前提條件。對于林業(yè)生產(chǎn)應(yīng)用中的絕大多數(shù)情況，這一條件都是基本滿足或近似滿足的。

3.2模型評價與加權(quán)回歸

為了說明加權(quán)回歸方法對建立通用性模型的重要性，現(xiàn)以一組實測數(shù)據(jù)為例，來對普通最小二乘法和加權(quán)最小二乘法得出的模型進(jìn)行評價。

所用數(shù)據(jù)為杉木地上部分干物質(zhì)生物量，采集自江西省德興市的人工杉木林中。共計50株樣木，來自6個樣地，樣地按幼、中、成3個齡組和中、好兩個立地等級各分布1塊。如果從建立立木生物量模型這一目的考慮，所用數(shù)據(jù)嚴(yán)格講并不符合建模要求(后面將討論到)，但用作不同方法結(jié)果的對比是可以的。表1給出了常規(guī)生物量模型W=a(D2H)b兩種回歸估計方法的對比結(jié)果，表2列出了(7)～(10)式的評價指標(biāo)值，其中包括將整個建模樣本按胸徑D的大小以株數(shù)平分為5段所算出的評價指標(biāo)值。

從表1、表2可以明顯看出，盡管加權(quán)回歸(特指按前面的最佳權(quán)函數(shù)(3)式加權(quán)，下同)的殘差平方和為普通回歸的2.1倍，剩余標(biāo)準(zhǔn)差為1.4倍，但按(7)～(10)式所給指標(biāo)進(jìn)行分段檢驗的結(jié)果，加權(quán)回歸模型明顯優(yōu)于普通回歸模型。普通回歸模型隨自變量x從小到大各評價指標(biāo)從劣到優(yōu)，即主要只照顧絕對值大的樣點，而對絕對值小的樣點很少考慮。但是，加權(quán)回歸模型卻各段的檢驗結(jié)果基本一致，而且加權(quán)回歸模型還有一個很好的特性，即總系統(tǒng)誤差為0，這從(6)式可以推知。

表1普通回歸與加權(quán)回歸估計的擬合結(jié)果

Tab.1Fittingresultsofordinaryregressionandweightingregressionestimation

方法

Regressionmethod

參數(shù)估計值(變動系數(shù)%)

Parameterestimates(coefficientsofvariation%)

統(tǒng)計指標(biāo)

Statisticalindices

a

b

Q

S

R

R*

普通回歸

Ordinaryregression

0.029074(22.72%)

0.94180(2.68%)

2455.23

7.1520

0.99144

0.99126

加權(quán)回歸

Weightingregression

0.069923(11.01%)

0.83353(1.92%)

5137.91

10.3460

0.98201

0.98163

表2普通回歸與加權(quán)回歸估計的檢測結(jié)果

Tab.2Testresultsofordinaryregressionandweightingregressionestimation

樣本范圍

Samplesize

普通回歸

Ordinaryregression

加權(quán)回歸

Weightingregression

RS

E

RMA

P

RS

E

RMA

P

全部

Total

1.26

958.00

25.59

94.36

4.20

0.00

14.18

92.30

第1段

SectionNo.1

43.35

543.45

54.35

38.36

-2.86

-4.86

10.47

83.60

第2段

SectionNo.2

33.05

400.12

41.84

61.38

4.15

75.82

22.92

77.67

第3段

SectionNo.3

5.74

65.24

8.14

91.45

-6.79

-72.34

9.88

91.54

第4段

SectionNo.4

-4.67

-58.41

16.03

86.10

-6.87

-91.67

16.35

85.71

第5段

SectionNo.5

0.49

7.60

7.61

91.72

10.76

93.06

11.28

85.56

需要說明的一點是，由于模型本身的參數(shù)是未知的(假定模型結(jié)構(gòu)為已知——模型結(jié)構(gòu)設(shè)計也是建模的重要環(huán)節(jié)之一，本文不作討論)，因此，只有事先得到其普通回歸估計值，才能進(jìn)行加權(quán)回歸估計。嚴(yán)格來講，以模型本身為權(quán)函數(shù)進(jìn)行的加權(quán)回歸估計，應(yīng)該是權(quán)函數(shù)所賦參數(shù)值與回歸估計得出的參數(shù)完全相等；如果不相等，應(yīng)再以新的回歸模型為權(quán)函數(shù)重新進(jìn)行擬合。一般地，要達(dá)到完全穩(wěn)定需經(jīng)數(shù)次的反復(fù)擬合，而且參數(shù)越多，所要擬合的次數(shù)也越多。如上述表1中的例子，就經(jīng)過了7次加權(quán)回歸才使參數(shù)完全穩(wěn)定不變(指5位有效數(shù))。但是，從消除異方差這一目的考慮，經(jīng)過1～2次加權(quán)回歸就基本上具有齊性方差了，模型的總系統(tǒng)誤差已接近于0。

加權(quán)回歸估計與普通回歸估計的結(jié)果之所以產(chǎn)生如此大的差別，根本原因在于求解模型參數(shù)的準(zhǔn)則不同。普通回歸是使Q=Σ(y-)2最小，即保證總相對誤差為0(由于非線性回歸估計中的非線性模型是用泰勒級數(shù)展開式近似表示的，故存在一定偏差，使估計出來的模型其總相對誤差并不等于0，可參見表2)，必然優(yōu)先考慮y絕對值較大的點；而加權(quán)回歸是使Q′=Σ(y/-1)2最小，即保證總系統(tǒng)誤差為0，考慮的是相對值，每個樣點都同等重要，故必然會照顧到所有的樣點?？傊?，不論理論分析還是實際對比結(jié)果都表明，通用性回歸模型的建立必須采用加權(quán)回歸估計方法。

關(guān)于回歸模型的評價，Q、S、R、R及參數(shù)穩(wěn)定性等指標(biāo)主要用于比較確定不同的模型形式，最終回歸模型的評價則必須重點考慮(7)～(10)式中的指標(biāo)值，而且其分段檢驗結(jié)果尤為重要。

4收集建模樣本的基本原則

要建立一個好的通用性模型，對建模樣本是有一定要求的。如林業(yè)上一些通用性數(shù)表的編制，對樣本資料的要求在部頒技術(shù)規(guī)定(林業(yè)部，1990)中都作了具體規(guī)定。但是也不難發(fā)現(xiàn)，其中對建模樣本的要求仍然不是很明確，還有必要再作進(jìn)一步探討。

4.1樣本單元數(shù)

作為建模樣本，首先涉及樣本單元數(shù)的問題。文(中華人民共和國林業(yè)部，1990)中提到了一條原則：“樣本單元數(shù)應(yīng)根據(jù)各項因子的變動范圍和精度要求按數(shù)理統(tǒng)計原理確定”，但是對精度要求都是用“系統(tǒng)誤差”這一指標(biāo)來規(guī)定的，如“蓄積量計量數(shù)表的系統(tǒng)誤差不超過±3%”。這里的系統(tǒng)誤差是(7)式的總相對誤差還是(8)式的總系統(tǒng)誤差或其它什么含義，并未明確。根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計原理，體現(xiàn)精度要求的誤差概念應(yīng)該是(11)式所表示的預(yù)估誤差，這樣才可據(jù)此確定樣本單元數(shù)。

作為通用性模型，預(yù)估精度是針對每一個預(yù)估值而言，因此必須落實到與每一個自變量xi所對應(yīng)的預(yù)估值i。對于林業(yè)上的常用模型，xi為連續(xù)變量，因此應(yīng)該在其取值范圍內(nèi)確定m個能反映因變量yi的變化規(guī)律的點，再分別根據(jù)與這m個xi所對應(yīng)的yi的變動系數(shù)及精度要求，確定各點的子樣本單元數(shù)，m個子樣本單元數(shù)之和即為整個建模樣本的單元數(shù)。只有當(dāng)各點的變動系數(shù)相同，其對應(yīng)的子樣本單元數(shù)才要求相等。

上面只是考慮一個自變量的情況。如果有多個自變量，則情況要復(fù)雜一些，但原則相同。以二元立木材積表的編制為例，首先需定出m個直徑值，再針對每個直徑值定出k個樹高值，最后按一定要求收集m×k個子樣本，合起來形成整個建模樣本。假定每個子樣本有相同的變動系數(shù)(如10%)，按±5%的預(yù)估誤差要求(置信水平95%)，則各需16個樣本單元(取t0.05=2,實際操作時應(yīng)隨n作調(diào)整)。按最低限度取m=5、k=3,則共需240個樣本單元。如果要求預(yù)估誤差為±3%，且其它條件不變，則共需667個樣本單元。一般情況下，材積變動系數(shù)會隨D、H的增大而增大，因此，如果建模樣本中對應(yīng)較大D、H組合的點所取子樣本單元數(shù)較少，則必然會造成大徑級立木的材積估計值達(dá)不到預(yù)定的精度要求。

4.2樣本構(gòu)成

樣本構(gòu)成指樣本單元數(shù)隨自變量的分布情況。仍以二元立木材積模型為例，樣本構(gòu)成涉及上述m、k的確定及每一個子樣本中具體建模樣木的選取。

關(guān)于徑級數(shù)m和每個徑級中的樹高級數(shù)k，文(中華人民共和國林業(yè)部，1990)中建議分別在10～15左右和不少于3個。因為m、k的大小直接影響收集樣本的工作量，提供一個最低限度指標(biāo)是必要的。對于材積模型，因為其曲線變化趨勢比較單一，故取m=5～8、k=3～5即可。如果是變化趨勢比較復(fù)雜的模型(如“S”型生長曲線)，可適當(dāng)增加至m=7～10。在確定m、k之后，具體選取哪些徑級和樹高級時，應(yīng)掌握如下原則：最小、中等和最大者必選，然后再在其間適當(dāng)增選；目標(biāo)變量變化規(guī)律未知時考慮等距均勻分布，變化規(guī)律已知時宜典型選取，其中變曲點處必選。由于樹高級的確定是在已定徑級基礎(chǔ)上進(jìn)行的，故應(yīng)考慮影響樹高變動的各種因素。

具體針對某一徑級和樹高級組合的子樣本，其樣木的選取必須考慮影響材積變動的各種因素，在根據(jù)各種影響因素劃分的類型中去典型選樣。因為異方差性的存在，筆者認(rèn)為各子樣本樣木的D、H應(yīng)盡可能地一致，以正確地估計其平均數(shù)的方差和變動系數(shù)。盡管整個樣本看起來呈現(xiàn)離散性，但不會影響建模效果。相反，因為各子樣本的收集都達(dá)到了建模要求，只要模型選取得當(dāng)，其預(yù)估精度是肯定可以達(dá)到預(yù)定要求的。

樣本資料的收集是建模的首要環(huán)節(jié)，其質(zhì)量好壞直接影響建模效果。通過模擬數(shù)據(jù)的對比檢驗結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，一套理想的建模樣本數(shù)據(jù)，不管是采用普通回歸還是加權(quán)回歸估計方法，其結(jié)果幾乎是一致的。也即由一套好的樣本資料所建立的模型，其總相對誤差和總系統(tǒng)誤差都應(yīng)該接近于0。因此可以說，2種估計方法得出的回歸模型的差異大小，在一定程度上反映了建模樣本的質(zhì)量好壞。

4.3檢驗樣本與精度檢驗

建立通用性回歸模型時，一般要求在收集建模樣本的同時，還另收一套檢驗樣本。如文(中華人民共和國林業(yè)部，1990)中提到收集編表資料的另一條原則：“要同時收集編表和檢驗兩套樣本，用編表樣本編表，用檢驗樣本檢驗所編數(shù)表的精度。”檢驗樣本的收集原則和方法類似于建模樣本，此處只著重討論檢驗方法及這一檢驗的必要程度。

利用檢驗樣本進(jìn)行所謂“適用精度”檢驗，必須分別徑級進(jìn)行。正確的方法應(yīng)是先按(7)式算出總相對誤差E′，然后判斷它是否超過公式：

(12)

的計算結(jié)果。式中，CV為檢驗徑級的預(yù)估材積的變動系數(shù)，n′為該徑級檢驗樣本單元數(shù)，t′α為置信水平α?xí)r的t分布值(自由度為n′-T,T為模型參數(shù)個數(shù))。如果不超過，則認(rèn)為模型是可以接受的。

由(11)式知，(12)式中的變動系數(shù)CV可表示為：

(13)

式中Ep為檢驗徑級的材積預(yù)估誤差，n為該徑級的建模樣本單元數(shù)，tα為置信水平α?xí)r的t分布值(自由度為n-T)。將(13)式代入(12)式，可得到接受模型的條件為：

(14)

如果n′=n，則只要檢驗樣本的總相對誤差不大于建模樣本的預(yù)估誤差就行了。另外，(14)式還反映出了一條信息，即各徑級檢驗樣本單元數(shù)必須滿足n′>T。

從上述檢驗方法可看出，整個檢驗行為并不能提出一個反映所建回歸模型預(yù)估精度的指標(biāo)值，而只是作出一個可否接受模型的判定?？梢酝茢啵灰颖镜氖占弦?，就基本上能以(1-α)的概率作為接受模型的判定，也即作出否決模型的判定只是一個小概率事件。萬一真是出現(xiàn)此種情況，也只能按要求去完善樣本資料重新建模。因此，與其花費一部分工作量去收集檢驗樣本，還不如在收集建模樣本時多花點功夫以確保其質(zhì)量。真正體現(xiàn)回歸模型預(yù)測精度的，還是預(yù)估誤差這一指標(biāo)。

5結(jié)論

樣本資料收集、回歸估計方法和模型評價是建立回歸模型的3個重要環(huán)節(jié)。

建模樣本單元數(shù)必須根據(jù)預(yù)定精度要求和目標(biāo)變量的變動系數(shù)及變化規(guī)律綜合確定。樣本的構(gòu)成關(guān)系到樣本的質(zhì)量，而樣本的質(zhì)量好壞將直接影響所建回歸模型的精度。

加權(quán)回歸估計方法是建立通用性回歸模型所應(yīng)采取的方法。任何回歸模型的最佳權(quán)函數(shù)就是模型本身。以模型本身為權(quán)函數(shù)所進(jìn)行的加權(quán)回歸估計，一方面將所有建模樣本單元同等對待，從而保證了模型的總系統(tǒng)誤差為0；另一方面徹底消除了模型中可能存在的異方差性。

對回歸模型的評價，除了殘差平方和、剩余標(biāo)準(zhǔn)差、復(fù)相關(guān)系數(shù)、修正復(fù)相關(guān)系數(shù)、參數(shù)變動系數(shù)、殘差分布圖以及信息量準(zhǔn)則AIC和Cp準(zhǔn)則等等指標(biāo)以外，還需考慮另外4大重要指標(biāo)，即總相對誤差、總系統(tǒng)誤差、平均相對誤差絕對值和預(yù)估精度(或預(yù)估誤差)。

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RESEARCHONWEIGHTINGREGRESSIONANDMODELLING

Abstract:Takingweightingregressionestimationmethodasthecore,theheteroscedasticityofthegeneralmodelsusedinforestrywasdiscussed,andanoptimalweightfunctionwaspresentedthatcouldcompletelyeliminatetheunequalvariance.Secondly,themodelassessmentwasstudied,andfourimportantindicesforcommonly-usedregressionmodelassessmentwerepresented,andtherelationshipbetweenthefourindicesandweightingregressionestimationwasanalysed.Finally,thecollectionofmodellingsamplewasdiscussed,andthebasicprincinpleforcollectingsampledatawaspresented.

Keywords:Weightingregression,Modelling,Heteroscedasticity,Modelassessment