導(dǎo)語：常微分方程課程改革探索一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

［摘要］多數(shù)高校在常微分方程的課程設(shè)置和教學(xué)方式上都存在著一些的問題:教學(xué)內(nèi)容過于注重理論，輕視實際應(yīng)用;授課形式單一，學(xué)生的主體地位難以體現(xiàn);課程考核方式簡單，難以衡量學(xué)生實際能力。在創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)背景下，高?？梢詮囊韵路矫娓母锍Ｎ⒎址匠陶n程，提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、主觀能動性以及創(chuàng)新意識和能力:改進(jìn)傳統(tǒng)教學(xué)方法，提高學(xué)生逆向思維能力;優(yōu)化教材體系，注重應(yīng)用性教學(xué);注重能力評價，科學(xué)考核學(xué)生學(xué)習(xí)。

［關(guān)鍵詞］常微分方程;教學(xué)改革;創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)能力

數(shù)學(xué)是在生產(chǎn)實踐中逐漸發(fā)展起來的科學(xué)。隨著學(xué)科的細(xì)化，數(shù)學(xué)也演變出各個科目。常微分方程作為高等數(shù)學(xué)中的一門學(xué)科，它的形成與發(fā)展是與力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。這也決定了這門學(xué)科的實用性。尤其是近年來國家大力推進(jìn)培養(yǎng)大學(xué)生的“創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)”能力，督促著高校轉(zhuǎn)型發(fā)展。學(xué)校對于培養(yǎng)目標(biāo)與培養(yǎng)計劃的改變，也必然帶動各門課程教育的改革。因此，課題組在以“培養(yǎng)具有創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)意識和創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)能力的高素質(zhì)人才”為目標(biāo)的前提下，從“要為學(xué)生提供怎樣的教育經(jīng)驗”“如何有效組織這些教育經(jīng)驗”“如何確定這個目標(biāo)正在得以實現(xiàn)”［1］等問題著手，不斷加大改革力度，加強(qiáng)師資隊伍建設(shè)，提高教學(xué)、科研水平，開展一系列的理論研究和實踐。

一、課程改革的必要性

“常微分方程”是一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)課程中的知識點(diǎn)。天文學(xué)、生物學(xué)、控制論、物理學(xué)、流體力學(xué)等許多近代學(xué)科中的大量問題都可以利用常微分方程來分析和處理。作為一門應(yīng)用性很強(qiáng)的基礎(chǔ)課程，“常微分方程”的教學(xué)應(yīng)該突出應(yīng)用特色，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)知識發(fā)現(xiàn)、分析和解決實際問題的能力。然而，經(jīng)項目組了解，大部分高校在常微分方程的課程設(shè)置和教學(xué)方式上存在嚴(yán)重的問題，具體主要體現(xiàn)在以下幾個方面［2，3］:(一)教學(xué)內(nèi)容過于注重理論，輕視實際應(yīng)用。在教學(xué)中，大多數(shù)教師把時間花在提高學(xué)生求解常微分方程運(yùn)算能力與技巧方面，而在定性分析理論以及實踐應(yīng)用上提及不多，較少使用教學(xué)案例，沒有充分將數(shù)學(xué)建模思想以及學(xué)科的前沿知識滲透到教學(xué)中。這樣的授課內(nèi)容難以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、動手解決問題的能力，無法滿足現(xiàn)今社會的發(fā)展需求。事實上，常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有重要的應(yīng)用。比如，在現(xiàn)代控制理論中，機(jī)器人、倒立擺、飛行器等實際系統(tǒng)在建模的時候都可以歸結(jié)成帶有控制輸入的微分系統(tǒng)，通過設(shè)計合理的控制器，保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行，還有對自動控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究，對化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等，這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。理論與實際的結(jié)合，有助于常微分方程課程的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，加強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。(二)授課形式單一，學(xué)生的主體地位難以體現(xiàn)。教師尤其是數(shù)學(xué)類課程的教師，在課堂授課中仍然以黑板加粉筆的形式為主，雖然也有教師采用計算機(jī)、多媒體等輔助教學(xué)手段，但是使用方法單一，多半是將板書內(nèi)容轉(zhuǎn)移到PPT上播放，并沒有改變“教師在上面講，學(xué)生在下面聽”的灌輸式教學(xué)模式，沒能讓學(xué)生積極主動地參與到課堂教學(xué)中，缺少教與學(xué)的雙邊互動。這樣的課堂教學(xué)現(xiàn)狀顯然沒有貫徹以學(xué)生為中心的教育理念。對于像常微分方程這種應(yīng)用性較強(qiáng)的課程，如果學(xué)生缺乏積極主動的參與、配合，是很難掌握課程中的應(yīng)用思想的。單純的理論學(xué)習(xí)效果并不理想，無法達(dá)到創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)人才的目標(biāo)，同時，培養(yǎng)計劃中課時的壓縮也是影響授課效果的一個重要原因。因此，如何在現(xiàn)有課時下讓學(xué)生既能打下扎實的理論基礎(chǔ)，又能動手實踐、應(yīng)用所學(xué)理論解決實際問題是課題組需要解決的首要問題。(三)課程考核方式簡單，難以衡量學(xué)生實際能力?，F(xiàn)在高校加強(qiáng)了教學(xué)過程的管理，不再將期末考試的卷面成績作為最終成績，而是將期末的卷面成績和平時成績按照8∶2或者7∶3的比例計算總成績，避免了由一次考試、一張卷子來評定整個學(xué)期學(xué)習(xí)情況的不合理現(xiàn)象，提高了教學(xué)過程考核的合理性。但是，學(xué)生的主觀能動性不夠，對理論學(xué)習(xí)有排斥情緒，使得大部分學(xué)生卷面成績偏低。學(xué)生的平時成績往往是由學(xué)生的出勤率和作業(yè)完成情況決定的，然而，實際上，來上課的學(xué)生未必聽懂了、學(xué)會了，作業(yè)也無法確定是不是學(xué)生自己獨(dú)立完成的，其結(jié)果難免形式化，導(dǎo)致平時成績在實際操作過程中變?yōu)榱苏{(diào)節(jié)及格率的工具，無法對學(xué)生的實踐和創(chuàng)新能力加以評價，而這卻是衡量學(xué)生能力的一個很重要的標(biāo)準(zhǔn)。

二、課程改革實踐

針對上述教學(xué)弊端，課題組從改變教學(xué)方法、優(yōu)化教材體系和改革考核模式這三個方面入手，有針對性地改變學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)思維，為后續(xù)的培養(yǎng)做好充足的準(zhǔn)備。(一)改進(jìn)傳統(tǒng)教學(xué)方法，提高學(xué)生逆向思維能力。現(xiàn)階段的授課方式以大班授課為主，教師在講臺上講解，學(xué)生在下面聽，這種模式中，教師和學(xué)生的互動必然不多，教師無法很好地把握學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)狀態(tài)，無法根據(jù)學(xué)生具體情況開展有針對性的教學(xué)，如此，學(xué)生更難以建立起各門課程之間的聯(lián)系。為解決這一問題，課題組將大班改為小班授課，對學(xué)生開展啟發(fā)式教學(xué)，加強(qiáng)課堂提問，提高教學(xué)內(nèi)容的針對性、靈活性和后繼性;鼓勵學(xué)生獨(dú)立思考，將所學(xué)的定理運(yùn)用到實際中，并能有所創(chuàng)新。比如，在常微分方程課程中，給定微分方程，要求學(xué)生求其通解或特解。在授課之初，教師一般都會講解常數(shù)變異法和積分因子法，這些都是古典而有效的方法，能夠運(yùn)用到一階線性微分方程、全微分方程、高階線性微分方程和線性方程組中。引導(dǎo)學(xué)生在已有的知識基礎(chǔ)上探索新的方法是啟發(fā)式教學(xué)的一個非常好的切入點(diǎn)。在授課過程中，教師要盡可能多地反映常微分方程在其他學(xué)科中的滲透與應(yīng)用，以實際問題作為出發(fā)點(diǎn)和著眼點(diǎn)，盡可能減少枯燥、煩瑣、不必要的理論推導(dǎo)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。授課教師應(yīng)加強(qiáng)課堂互動，針對已學(xué)知識(不局限于本門課程，可以是其他課程中的相關(guān)知識)進(jìn)行提問，以溫故知新;鼓勵學(xué)生積極思考，提出問題，在內(nèi)化知識的同時提高自身思維能力。教師要引導(dǎo)學(xué)生跳出舊有的框架模式，加強(qiáng)思維深度的同時拓展思維廣度。比如，我們在學(xué)習(xí)常微分方程求解部分，基本就是固定的幾大類方程，有相應(yīng)的解法，而實際生活中，我們所用的大部分方程是無法求解的。在課堂上，教師可以讓學(xué)生列舉一些不能求解的方程反例等，以這樣的方式深化學(xué)生對概念的理解，讓學(xué)生能夠活學(xué)活用，以促進(jìn)創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)。(二)優(yōu)化教材體系，注重應(yīng)用性教學(xué)。一直以來，我國的大部分大學(xué)課堂上使用的常微分教材都是偏重理論的。經(jīng)典的知識框架在理論教學(xué)方面優(yōu)勢明顯，但是缺點(diǎn)也顯而易見，即理論聯(lián)系實際不足。國外的一些教材中，理論知識聯(lián)系實際的例子較多。通過大量的實例教學(xué)，學(xué)生應(yīng)用能力能夠得到提高。課題組成員根據(jù)我校培養(yǎng)應(yīng)用型復(fù)合人才的教學(xué)目標(biāo)，重建教材框架，編寫了一本偏重應(yīng)用的教科書。這本教材在基礎(chǔ)實用的原則上，淡化理論性過強(qiáng)的證明，其知識體系系統(tǒng)化、簡單化，使學(xué)生宜學(xué)易懂，這樣，也縮短了教師講授理論知識的時間，為在課堂上引入數(shù)學(xué)建模相關(guān)知識提供了基礎(chǔ)。眾所周知，數(shù)學(xué)建模在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望、自學(xué)能力、從事科研工作的初步能力以及團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神等方面都有非常大的促進(jìn)作用。因此，新教材在最后一章介紹了數(shù)學(xué)建模的一些相關(guān)知識，并且給出了很多與常微分方程有關(guān)的例題和習(xí)題，讓學(xué)生可以了解如何將一個個實際問題轉(zhuǎn)化成熟悉的數(shù)學(xué)問題過程，并且可以在教師的引導(dǎo)下自己動手解決問題，這可以讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的樂趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高他們分析問題和解決問題的創(chuàng)新能力?？紤]到每個班級的學(xué)生學(xué)習(xí)能力與興趣都各不相同，教師在培養(yǎng)學(xué)生實際應(yīng)用能力的同時，也考慮到有一部分學(xué)生在科研方面的興趣與潛力。這一部分的學(xué)生一般學(xué)習(xí)成績優(yōu)異，對數(shù)學(xué)興趣濃厚，有較強(qiáng)的考研欲望，希望能夠接觸到一些更深層次的東西。因此，在掌握本門課程基本內(nèi)容的基礎(chǔ)上，授課教師應(yīng)適時、適當(dāng)?shù)亟榻B一些本學(xué)科的前沿知識，也可以以少量課時或者學(xué)術(shù)講座對偏微分方程進(jìn)行簡單介紹，［4］讓學(xué)生了解未來的學(xué)習(xí)方向，讓這門課程的結(jié)束成為其深入研究的開始，引領(lǐng)他們在這一方向繼續(xù)前行，為他們未來考試或?qū)W術(shù)研究打好基礎(chǔ)。(三)注重能力評價，科學(xué)考核學(xué)生學(xué)習(xí)。傳統(tǒng)考試無法體現(xiàn)學(xué)生的時間能力和創(chuàng)新意識，因此，課題組對本門課程的期末考試評價方法也進(jìn)行了改革。雖然以往也有能力評價部分，但是考查的項目與方式并不明確，授課教師在實踐過程中難以操作。為了更好地體現(xiàn)素質(zhì)教育，讓學(xué)生在實踐與創(chuàng)新中發(fā)揮自己的潛力，課題組制定了詳細(xì)的能力考查方案。具體方案如下:總成績=期末考試卷面成績×50%+平時成績×50%，其中平時成績由五部分組成:(1)課后作業(yè)10分;(2)出勤率5分;(3)平時小測驗15分;(4)課后提高10分;(5)課堂互動5分。平時小測驗和課后提高兩部分所占比重較大，也是考試改革最重要的部分。平時小測驗部分分別就一階常微分方程的初等解法、高階常微分方程的求解以及常微分方程的一般理論與定性分析進(jìn)行測驗，根據(jù)學(xué)生對這部分知識點(diǎn)的掌握程度來評定成績。在相關(guān)章節(jié)內(nèi)容講授完之后，教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)一遍基礎(chǔ)知識，然后進(jìn)行測驗。由于主要是考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和掌握程度，我們對于記憶類的東西不作要求，因此采用開卷的形式，學(xué)生可以查閱自己的學(xué)習(xí)資料然后答題。這樣既能避免頻繁的測驗給學(xué)生帶來的過大壓力，又能起到督促學(xué)生學(xué)習(xí)的作用。課后提高部分主要采取小論文的形式。在常微分方程課程每一章的學(xué)習(xí)過程中，授課教師將一些具有拓展性和創(chuàng)新性的問題留給學(xué)生，鼓勵學(xué)生積極思考，引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)Matlab或Mathematica等數(shù)學(xué)軟件來驗證一些推導(dǎo)結(jié)果和方程的數(shù)值解。這樣提高了學(xué)生的實踐能力、查閱文獻(xiàn)資料的能力，培養(yǎng)了學(xué)生開展科研、積極創(chuàng)新的精神，同時，最終形成的小論文也鍛煉了學(xué)生的總結(jié)和論文撰寫能力，對學(xué)生的綜合能力提升也有明顯的帶動作用。

總之，課題組實施教學(xué)改革的目的是希望能夠找到一個全新的常微分方程教學(xué)模式和課程體系，將更貼近當(dāng)下學(xué)生實際的教學(xué)理念、教學(xué)方法和考核方式有機(jī)結(jié)合在一起，形成一個培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的教學(xué)體系。新時代下，我國的高等教育領(lǐng)域課程與教學(xué)改革仍然處在深化調(diào)整之中，很多教學(xué)改革的想法與設(shè)計都非常不錯，可是仍然會出現(xiàn)“教改十年，基本失敗”的可悲論調(diào)。究其緣由，關(guān)鍵是沒有將課程設(shè)計的“美好藍(lán)圖”、計劃、框架和方案更好地運(yùn)用到課堂之中，并通過課堂情境中的教師與學(xué)生共同“演繹”來發(fā)揮其真正的功能。課題組為了避免出現(xiàn)“課改雖好，課堂依舊”“穿新鞋走老路”［5］等現(xiàn)象，對教學(xué)過程和考核過程做了詳細(xì)的實施方案，群策群力，邊實踐邊完善。經(jīng)過幾輪的授課實踐證明，我們的教學(xué)改革在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與能動性方面確實產(chǎn)生了相當(dāng)不錯的效果，課堂狀態(tài)良好，教師也很滿意并能積極推進(jìn)。相信通過本門課程的教學(xué)體系改革的探索，對本學(xué)科的其他課程改革也能起到一定的推動作用。

作者:洪麗莉 何希勤 單位:遼寧科技大學(xué)理學(xué)院

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