導(dǎo)語：數(shù)形結(jié)合思想方法解決二次函數(shù)問題論文一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

內(nèi)容摘要：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的重要思想方法之一。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，二次函數(shù)是中考的必考內(nèi)容，但由于其綜合性較強(qiáng)，使得學(xué)生難以理解和掌握。本文就近年來中考中有關(guān)二次函數(shù)試題如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法予以解決作以簡單分類、歸納。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合二次函數(shù)

數(shù)學(xué)家華羅庚說的好：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！笨梢姅?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的重要思想方法之一。

數(shù)量關(guān)系和空間圖形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)主要方面，它們之間有密切的關(guān)系，在一定條件下，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透。

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)是一個(gè)難點(diǎn)，尤其是二次函數(shù)的問題中，由于其綜合性較強(qiáng)，更使部分同學(xué)覺得難以理解和掌握。其實(shí)，只要掌握了正確的方法，解決問題便會(huì)事半功倍。而解決二次函數(shù)問題時(shí)，數(shù)形結(jié)合便是一種重要方法。在這里，我們需要理解函數(shù)問題中x、y的雙重含義：

代值計(jì)算時(shí)：x---自變量的值；y---函數(shù)值；（數(shù)）

在函數(shù)圖像中：x---圖像上點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

y---圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)。（形）

現(xiàn)就常見問題舉例如下：

一．根據(jù)二次函數(shù)圖像判斷系數(shù)a、b、c的符號(hào)及相關(guān)代數(shù)式的值:

例1．二次函數(shù)的圖象如圖1所示，則

，，，，a-b+c.這五個(gè)式子中，

O

x

y

-1

1

值為正數(shù)的有（）

A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)

解析：

∵拋物線開口向上

∴a＞0①

∵拋物線的對(duì)稱軸x=-b/2a位于y軸右側(cè)，

∴-b/2a＞0又∵a＞0∴b＜0②

∵拋物線與y軸交點(diǎn)（0，c）位于y軸正半軸，

∴c＞0③

∴abc＜0⑴

由圖像可知，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

∴方程=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

∴＞0⑵

當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值y=a+b+c.

∴點(diǎn)（1，a+b+c）是拋物線上一點(diǎn).

由圖像可知,點(diǎn)（1，a+b+c）位于第四象限

∴a+b+c.＜0⑶

當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)值y=a-b+c.

∴點(diǎn)（-1，a-b+c）是拋物線上一點(diǎn).

由圖像可知,點(diǎn)（-1，a-b+c）位于第二象限

∴a-b+c.＞0（4）

由圖像可知，拋物線的對(duì)稱軸x=-b/2a位于數(shù)1的左側(cè)，

∴-b/2a＜1，

∵a＞0

∴-b＜2a,0＜,即＞0（5）

綜上所述，本題中符合要求的代數(shù)式共有三個(gè)，故選B.

方法歸納：在拋物線中：

①、a的符號(hào)決定拋物線的開口方向；

②、a、b聯(lián)合決定拋物線對(duì)稱軸的位置:

當(dāng)a、b異號(hào)時(shí)，-b/2a＞0，對(duì)稱軸位于y軸的右側(cè)，

當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)，-b/2a＜0，對(duì)稱軸位于y軸的左側(cè)，

當(dāng)b=0時(shí)，-b/2a=0，對(duì)稱軸就是y軸；

為方便記憶，這一結(jié)論可簡稱為“左同右異”.

③、c的符號(hào)決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置；

④、的符號(hào)決定拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)；

⑤、與a-b+c.分別是x=1、-1時(shí)的函數(shù)值，觀察x=1、-1時(shí)圖像上點(diǎn)的位置即可得與a-b+c.的符號(hào).

⑥、代數(shù)式、()符號(hào)判斷，可先觀察對(duì)稱軸x=-b/2a與1、-1的大小關(guān)系，再對(duì)不等式進(jìn)行變形就可得出。（去分母時(shí)要注意a的符號(hào)，看不等式是否改變方向）

二、二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性：

一般的，二次函數(shù)（a≠0）圖像關(guān)于直線x=-b/2a對(duì)稱

（1）若圖像上位于對(duì)稱軸兩側(cè)的兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，則這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=-b/2a對(duì)稱，并且，這兩點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等；

（2）若圖像上兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則其縱坐標(biāo)相等。

例2（2008蘇州）初三數(shù)學(xué)課本上，用“描點(diǎn)法”畫二次函數(shù)的圖象時(shí)，列了如下表格：

…012…

……

根據(jù)表格上的信息回答問題：該二次函數(shù)在時(shí)，．

答案：-4

解析：本題考查二次函數(shù)的對(duì)稱性.根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可知，其對(duì)稱軸為直線x=1,所以時(shí)的函數(shù)值與x=-1時(shí)相等，為-4.

三、二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系

例3（07貴陽）二次函數(shù)的圖象如下圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：

（1）寫出方程的兩個(gè)根．（2分）

（2）寫出不等式的解集．（2分）

（3）寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍．（2分）

圖2

（4）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．（4分）

解析：（1）由圖像可知，拋物線與x軸交與點(diǎn)（1，0）、（3，0），即當(dāng)x=1或x=3時(shí)，y=0.所以方程的兩根為x=1、x=3；

（2）即是y＞0，也就是函數(shù)圖像上的點(diǎn)應(yīng)位于x軸的上方。由函數(shù)圖像知，此時(shí)相應(yīng)的x取值范圍是1＜x＜3,因此，不等式的解集是1＜x＜3；

（3）由圖像知，拋物線開口向下，其對(duì)稱軸為直線x=2，所以，當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減??；

（4）由已知，y=。在圖像上，y=k是與y軸交與點(diǎn)（0，k）且平行于x軸的直線。

所以，當(dāng)拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。因此，k＜2.

方法歸納：

（1）二次函數(shù)與一元二次方程：對(duì)二次函數(shù)，當(dāng)y=0時(shí)，函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程。對(duì)函數(shù)圖像而言，即點(diǎn)在x軸上。因此上，一元二次方程是否有解就轉(zhuǎn)化為拋物線與x軸是否有交點(diǎn)，方程的解就是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（2）若函數(shù)值y＞0，即得一元二次不等式，此時(shí)，確定不等式的解集就轉(zhuǎn)化為確定當(dāng)拋物線上的點(diǎn)位于x軸上方時(shí)橫坐標(biāo)x的相應(yīng)取值范圍。

在解決二次函數(shù)問題時(shí)，只要掌握了正確的方法，就能正確、快速地進(jìn)行解答。例如：2006年陜西省中考試題的第8題如圖，拋物線的函數(shù)表達(dá)式是（）。

A．B．

C．D．

本題若采用設(shè)解析式，再將圖像上三點(diǎn)坐標(biāo)代入的方法求解，運(yùn)算量很大；若根據(jù)圖像的位置來確定各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，則可以很快得出結(jié)論：

由于拋物線開口向下，所以a＜0,故選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；

又因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸位于y軸右側(cè)，故a、b異號(hào)，即b＞0,

所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選D.

數(shù)形結(jié)合方法是解決數(shù)學(xué)問題尤其是函數(shù)問題的一種重要方法。用圖形可以使抽象的數(shù)量關(guān)系變得直觀形象；而一些圖形的性質(zhì)，又可以賦予其數(shù)量意義，通過數(shù)量的運(yùn)算使問題得到解決。希望大家在學(xué)習(xí)的過程中體會(huì)這一方法的應(yīng)用，以提高自己分析問題、解決問題的能力。