導(dǎo)語：如何才能寫好一篇分類討論的方法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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對于數(shù)學(xué)問題，一方面由于我們面對的問題涉及面廣、綜合性強，另一方面，由于解題中經(jīng)常忽視分類討論或討論中發(fā)生邏輯錯誤，所以學(xué)習(xí)中有必要對分類討論思想引起足夠重視并加強訓(xùn)練。進行分類討論的關(guān)鍵是明確討論的動因，即認識為什么要分類討論，只有明確了討論的原因，才能準確、恰當(dāng)?shù)剡M行討論。掌握好分類討論這種思想方法，有利于培養(yǎng)我們思維的條理性和嚴密性。下面從幾個方面論述分類討論的動因和方法。

一、正確運用數(shù)學(xué)概念進行分類

有些數(shù)學(xué)概念本身就是以分類形式定義的，如實數(shù)的絕對值。因此，要去掉絕對值的符號就要分情況討論，即|a|要按a>0時，|a|=a；a=0 時，|a| = 0；a

例1：解不等式3|x+2|＋3|x-1|≥28。

分析：絕對值概念的本身就是按分類來定義的，為去掉指數(shù)中的絕對值符號，須進行分類討論。

解：①當(dāng)x≤－2時，原不等式變?yōu)?－x－2＋31－x≥28，即■?3-x≥28，解得x≤－2；②當(dāng)－2＜x＜1時，原不等式變?yōu)?x＋2＋31－x≥28，即9?32x-28?3x+3≥0，解得3x≤■或3x≥3；得x≤－2或x≥1，這與假設(shè)矛盾，此時不等式無解；③當(dāng)x≥1時，原不等式變?yōu)?x＋2＋3x－1≥28，即■?3-x≥28，解得x≥1。綜上所述原不等式的解集為｛xx≤－2或x≥1｝。

二、按某些運算的要求分類討論

有些運算有一定的要求限制，如除法要求除式不為零；解不等式要看不等式兩邊是同乘以一個正數(shù)還是負數(shù)；在實數(shù)集內(nèi)開偶次方時被開方時須非負；對數(shù)運算其真數(shù)應(yīng)為正數(shù)等。這些都是進行計算時需進行討論的動因。

例2：已知函數(shù)f(x)=x-■+1-aln x，a＞0。討論f(x)的單調(diào)性。

分析：由求導(dǎo)可判斷單調(diào)性，同時要注意對參數(shù)的討論，既不能漏掉，也不能重復(fù)。

解：由于f′(x)=1+■-■，令t=■得y=2t2-at+1(t≠0)，

①當(dāng)?駐=a2-8≤0，即0

②當(dāng)?駐=a2-8>0，即a>2■時，由2t2-at+1>0得t■，

■

綜上①當(dāng)0

三、根據(jù)相關(guān)限制條件分類討論

有些數(shù)學(xué)定理或公式，其結(jié)論本身就是按分類討論來進行表述的，如解一元二次方程或一元二次不等式，就需按判別式的各種情況來討論；等比數(shù)列前n項和公式就是按公比q是否等于1來討論；無窮遞縮等比數(shù)列的極限■qn，僅在|q|＜1時才成立。

例3：設(shè)首項為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列的前n項和為Sn，又設(shè)Tn=■，其中n＝1，2，…，求■ Tn。

解：當(dāng)q=1時，Sn=n，Sn+1=n+1，

■ Tn=■ ■=1；

當(dāng)q≠1時，Sn=■，Sn+1=■，Tn=■；

當(dāng)0

■ Tn=■ ■=1；

當(dāng)q>1時，有0

■ Tn=■ ■=■。

綜上所述，■ Tn=1，0＜q≤1，■，q＞1。

點評：對分類討論的結(jié)果，若能用公式的形式予以概括表出，會給人一種清晰簡明的感覺，自我檢查時也會一目了然。

四、根據(jù)函數(shù)的某些性質(zhì)分類討論

有些數(shù)學(xué)問題涉及到函數(shù)的單調(diào)性、值域范圍等，因此在解題時，常常要討論參數(shù)的不同取值的情況。

例4：已知a>0，a≠1，解不等式log a(x2-2ax-2a2)>2。

解：當(dāng)0

log a(x2-2ax-2a2)>2?圳x2-2ax-2a2>0x2-2ax-2a2

?圳x>(1+■)a或x

?圯-a

當(dāng)a>1時，由y=log ax為增函數(shù)，知

log a(x2-2ax-2a2)>2?圳x2-2ax-2a2>0x2-2ax-2a2>a2

?圳x>(1+■)a或x

?圯x3a。

綜上所述，當(dāng)01時，原不等式的解為x3a。

點評：解對數(shù)不等式必須考慮對數(shù)函數(shù)的增減性，因此必須對其含有參數(shù)的底數(shù)取值范圍進行分類討論，這種題型在各類考試中時有出現(xiàn)。

以上所述的幾個方面既是引起分類討論的原因，同時也是我們進行分類討論的方法和策略?，F(xiàn)就有關(guān)的幾個問題概括和歸納如下：（1）分類討論的一般步驟：①根據(jù)實際解題需要確定分類的對象和討論的范圍；②確定分類的標準，進行合理分類；③逐步討論（必要時還要進行多級討論）；④總結(jié)概括，得出結(jié)論。（2）分類常用的方法和策略：①概念和性質(zhì)是分類的依據(jù)；②按區(qū)域進行分類是基本方法；③不定因素是分類的突破口；④二分法是討論的利器。（3）合理分類的三條標準：①對所討論的全域分類要“既不重復(fù)，又不遺漏”；②在同一次討論中只能按所確定的一個標準進行；③對多級討論，應(yīng)逐級進行，不能越級。

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關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)新課程；分類討論；再認識

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1009-010X（2012）04-0055-03

全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準要求，“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”。分類討論作為最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的解題方法。在新課程實施中，教師根據(jù)學(xué)生的年齡特征、認知規(guī)律和知識積累，在遵循科學(xué)性前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則，向?qū)W生適時滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想，對于發(fā)展學(xué)生的思維能力、養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣有著重要的意義。

一、什么是分類討論思想

分類討論是指當(dāng)問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，需要對研究對象按某個標準進行分類，然后逐類討論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的答案。像這種先分類再討論，把問題“分而治之，各個擊破”的解決問題的思想就是分類討論思想。

二、分類討論思想在新課程實施中的地位和作用

數(shù)學(xué)課程標準指出：“數(shù)學(xué)思想蘊涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如歸納、演繹、抽象、轉(zhuǎn)化、分類、模型、數(shù)形結(jié)合、隨機等。學(xué)生在積極參與教學(xué)活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、感悟數(shù)學(xué)思想”。分類討論思想作為一種基本的數(shù)學(xué)思想，在學(xué)生基礎(chǔ)知識的獲得，基本技能的形成，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，思維能力的發(fā)展，創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)方面占有非常重要的地位。按照數(shù)學(xué)課程標準的要求，在學(xué)生學(xué)習(xí)活動中，積極引導(dǎo)學(xué)生通過實踐、思考、探索、交流等方式，讓學(xué)生在獲得知識、形成技能、發(fā)展思維的同時，借助數(shù)學(xué)知識的載體功能，將分類討論思想向?qū)W生逐級滲透，螺旋上升，逐步積累，不斷完善，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、嚴謹性和完整性，養(yǎng)成縝密思考的良好品質(zhì)，提高和發(fā)展學(xué)生的思維能力有著舉足輕重的作用。

三、分類討論的基本原則

分類討論思想的核心是對問題進行合理分類，要做到合理分類，需遵循分類討論的四個基本原則：

（一）同一性原則

分類必須按確定的同一標準進行，不能同時使用幾個不同的分類標準，否則會導(dǎo)致分類的混亂。

例如：三角形 銳角三角形等腰直角三角形等邊三角形鈍角三角形

顯然，以上對三角形分類時，既按邊又按角同時使用了兩個標準進行分類，造成了分類的混亂。

（二）完備性原則

分類應(yīng)當(dāng)完整，即分類后子項的外延之和應(yīng)等于母項的外延，而不能出現(xiàn)分類后母項外延的遺漏。

例如：若a為實數(shù)，則a＝ a（a＞0）a（a0）

很明顯，分類后丟掉了a=0的情況，造成分類后子項的外延出現(xiàn)了遺漏，導(dǎo)致分類不完整。

（三）互斥性原則

分類后的每個子項都應(yīng)當(dāng)互不相容，相互排斥，不能出現(xiàn)分類后一些事物既屬于這個子項又屬于那個子項，造成子項外延的重疊。

例如：若a為實數(shù)，則a＝ a（a≥0）a（a≤0）

這里，分類后兩個子項就出現(xiàn)了a=0在外延上的重疊，違背了子項外延互斥性原則。

（四）逐級性原則

有些數(shù)學(xué)問題只需一次性分類，有些數(shù)學(xué)問題則需多次分類。多次分類是由于被討論對象比較復(fù)雜，需把首次分類后的子項作為新的母項再進行分類，直至滿足需要為止，進而達到解決整個問題的目的。

例如:論證方程（a-1）x2+2x-6=0的實數(shù)根的情況。

解：當(dāng)a-1=0即a=1時，方程為一元一次方程，其實數(shù)根為x=3

當(dāng)a-1≠0即a≠1時，方程為一元二次方程，其實數(shù)根為

當(dāng)＞0即a＞■時，方程有兩個不相等的實數(shù)根當(dāng)= 0 即a=■時， 方程有兩個相等的實數(shù)根當(dāng)＜0即a＜■時， 方程沒有實數(shù)根

綜上所述，當(dāng)a=1時，方程有唯一一個實數(shù)根。

當(dāng)a＞■且a≠1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。

當(dāng)a=■時，方程有兩個相等的實數(shù)根。

當(dāng) a＜■時，方程沒有實數(shù)根。

四、分類討論的一般步驟和結(jié)論歸納形式

分類討論的一般步驟是：①確定分類討論的對象及被討論對象的全域；②確定分界點，統(tǒng)一分類標準，合理進行分類，并做到不重不漏，分層而不越級；③逐類討論，分級進行；④綜合歸納，得出結(jié)論。

分類討論的結(jié)論歸納形式一般有三種:

①并列形式。格式為：當(dāng)……時，有……；

當(dāng)……時，有……。

②并集形式。格式為：……或……。

③交集形式。格式為：……且……。

五、分類討論的常見類型

引起分類討論的因素較多，但常見的類型主要有以下幾種：

1.根據(jù)定義、性質(zhì)、法則、公式、定理進行分類討論；

2.根據(jù)運算的要求進行分類討論；

3.根據(jù)圖形的形狀或位置變化進行分類討論；

4.當(dāng)條件或結(jié)論開放時進行分類討論；

5.當(dāng)問題中條件較少，需通過分類來補充條件時進行分類討論。

六、學(xué)生在分類討論中存在的問題

（一）在分析問題時，缺乏分類討論的意識

例如：已知等腰三角形的兩邊長為8和6，求這個三角形的周長。

錯解：等腰三角形的周長為8+8+6=22

分析：學(xué)生初解該類型題時，常因缺乏分類討論的意識，僅考慮腰為8或腰為6中的某一種情況，而得出周長為22或20的單一性答案，造成問題丟解。

正解：當(dāng)腰長為8時，等腰三角形周長為8+8+6=22

當(dāng)腰長為6時，等腰三角形周長為6+6+8=20

所以，等腰三角形的周長是22或20.

（二）有分類討論的意識，但在分類時存在盲目性

分類討論的關(guān)鍵是確定分類標準，學(xué)生分類時常因不能準確找到分類標準的分界點，導(dǎo)致對問題盲目分類，出現(xiàn)求解上的失誤。

例如：如圖，一個等邊三角形的邊長和與它一邊相切的圓的周長相等，當(dāng)這個圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊做無滑動旋轉(zhuǎn)，直到回到原出發(fā)位置時，該圓自轉(zhuǎn)了（ ）圈。

（A）2 （B）3 （C）4（D）5

錯解：選（B） 正解：選（C）

分析：因為圓與等邊三角形相切且做無滑動旋轉(zhuǎn)，很多學(xué)生盲目認為按圓在AB邊、BC邊、CA邊上分類討論即可，因為邊長等于圓的周長，所以經(jīng)過一條邊剛好轉(zhuǎn)了1圈，在三條邊旋轉(zhuǎn)當(dāng)然轉(zhuǎn)了3圈，故選（B）。然而卻忽略了圓在頂點B、C、A處旋轉(zhuǎn)的情況，由圖（2）不難分析，圓經(jīng)過一個頂點時旋轉(zhuǎn)了120°，經(jīng)過三個頂點共轉(zhuǎn)了

120°×3=360°恰好為一圈，所以應(yīng)選（C）。

（三）在分類討論時存在主觀臆斷性

在分析數(shù)學(xué)問題時，一般當(dāng)遇到數(shù)量的大小或符號不能確定以及圖形位置或形狀不確定時考慮分類討論，但分類討論絕不能憑主觀臆斷，一開始就分類討論，而是在計算或推理的過程中逢時而生，自然展開。

七、教師在新課程實施中滲透分類討論思想的對策

在初中數(shù)學(xué)課程改革中，教師對分類討論思想的滲透還存在一些不到位的地方，表現(xiàn)為：①在思想意識上，對分類討論思想的重要性認識不足；②在教材運用上，對分類討論思想挖掘不深，如對分類討論思想在教材中的設(shè)置把脈不清，對分類討論思想在教材中的層次缺少深度思考，對分類討論思想的滲透缺乏整體規(guī)劃與設(shè)計；③在教學(xué)過程中，對分類討論思想滲透不強，教師往往關(guān)注知識的生成多，思想方法的滲透少，側(cè)重就題論題多，思想方法的提煉少，注重知識系統(tǒng)多，思想方法的歸納少；④在實踐應(yīng)用上，對分類討論思想提升不夠，教師將分類討論過多的停留在簡單訓(xùn)練的層面上或訓(xùn)練模式的創(chuàng)新上，而忽視對思想方法的抽象與概括。那么，如何將分類討論思想在新課程實施中有效地滲透呢？我覺得不妨從以下二個方面著手：

（一）加強對數(shù)學(xué)課程標準的學(xué)習(xí)，充分挖掘教材中蘊藏的分類討論思想，明確分類討論思想在不同階段的目標要求

數(shù)學(xué)課程標準把讓學(xué)生獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)的總體目標。人教版教材第一章《有理數(shù)》在學(xué)習(xí)了正負數(shù)后，以有理數(shù)的分類及絕對值的意義為載體最先拉開了分類討論思想滲透的序幕。在以后的學(xué)習(xí)活動中，隨著學(xué)習(xí)的深入，分類討論思想由“隱性”向“顯性”、由“方法”向“思想”逐步滲透，不斷提升，最終實現(xiàn)由“思想”指導(dǎo)“方法”，達到水到渠成的功效。因此，教師在新課程實施中必須站在全局的高度統(tǒng)攬教學(xué)，對分類討論思想的滲透既有整體規(guī)劃和設(shè)計，又有明確而具體的目標和要求。

（二）在新課程實施中遵循逐級遞進、螺旋上升的原則，將分類討論思想有機滲透到每個階段的教學(xué)之中

1.滲透“分類方法”，感知“分類思想”。由于初中生的數(shù)學(xué)知識比較貧乏，抽象思維能力較為薄弱，對數(shù)學(xué)思想方法還缺乏足夠的了解，因此，在新課程實施中必須以知識的學(xué)習(xí)為載體，注重數(shù)學(xué)概念的生成過程、知識的發(fā)展過程和問題的解決過程，通過教師的啟發(fā)引領(lǐng)，向?qū)W生逐步滲透“分類方法”，讓學(xué)生在展開思維獲取知識的同時初步感知分類思想。

2.訓(xùn)練“分類方法”，領(lǐng)悟“分類思想”。教師在新課程實施中要充分挖掘教材中體現(xiàn)分類討論思想方法的各種元素，根據(jù)學(xué)生年級的不同、知識的不同和認知能力的不同，對“分類方法”展開由淺入深、由易到難、由隱到顯的層次性訓(xùn)練，使分類討論思想在訓(xùn)練過程中多次孕育，不斷領(lǐng)悟，初步形成。

3.掌握“分類方法”，運用“分類思想”。學(xué)生對于“分類方法”的掌握需經(jīng)歷一個學(xué)習(xí)、思考、訓(xùn)練、鞏固的體驗過程。同樣，“分類思想”的形成也是在“分類方法”的漸進生成過程中逐步領(lǐng)悟、不斷完善建立起來的。在新課程實施中，只有把分類方法提升到分類思想的高度加以認識，才能變知識的生成過程為數(shù)學(xué)思想方法的形成過程，從而把分類討論思想進行有效遷移和靈活運用。

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隨著社會的不斷進步，不斷發(fā)展，教育教學(xué)的改革也在逐步更新、升級，為了更好地推行素質(zhì)教育，培養(yǎng)面向新世紀的合格人才，教師就應(yīng)更多的的關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和策略。隨著課程改革的深入，“應(yīng)試教育”向“素質(zhì)教育”轉(zhuǎn)變的過程中，對學(xué)生的考察，不僅考查基礎(chǔ)知識，基本技能，更為重視考查能力的培養(yǎng)。如基本知識概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理的學(xué)習(xí)和探索過程中所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法；要求學(xué)生會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括；會闡述自己的思想和觀點。從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對學(xué)生進行思想觀念層次上的數(shù)學(xué)教育。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標準，也是進行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的關(guān)鍵入口。

所謂數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。

分類討論思想，貫穿于整個初中數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中。需要運用分類討論的思想解決的數(shù)學(xué)問題，主要有以下幾種：①數(shù)學(xué)概念是分類定義的；②運用的數(shù)學(xué)定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的；③求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況；④數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的取值會導(dǎo)致不同結(jié)果的。⑤問題中幾何圖形的不確定，應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化。分類的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性，條理性，從而激發(fā)學(xué)生研究問題，探索規(guī)律，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

分類思想不象一般數(shù)學(xué)知識那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵。

教學(xué)中可以從以下幾個方面，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對分類思想的主動應(yīng)用

一、滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識

每個學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學(xué)生的這一認識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數(shù)的分類，絕對值的意義，不等式的性質(zhì)等，都是滲透分類思想的很好機會。

例如：認識字母a可以表示數(shù)后，讓學(xué)生對數(shù)a進行分類，得出數(shù)a可表示正數(shù)、零、負數(shù)三類。又如，兩個有理數(shù)的比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負數(shù)、負數(shù)和零、負數(shù)和負數(shù)幾類情況來比較，這樣學(xué)生通過對兩個有理數(shù)大小比較、分類討論后，就能系統(tǒng)、完整地掌握兩個有理數(shù)大小比較的運用。

結(jié)合“有理數(shù)”這一章的教學(xué)，反復(fù)滲透，強化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，如若不然，對象混雜，標準不一，就會出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負數(shù)、整數(shù)，就是犯分類標準不一的錯誤。在確定對象和標準之后，還要注意分清層次，弄清它們的內(nèi)涵與外延。

二、學(xué)習(xí)分類方法，增強思維的縝密性

在教學(xué)中滲透分類思想時，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉藴?，根?jù)對象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。

分類的方法常有以下幾種：

（一）根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進行分類

有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進行分類。

例如：化簡|a|－2，解答此題，是按a的取值分類討論，即：按當(dāng)a>0，a＝0，a

（二）根據(jù)數(shù)學(xué)法則、性質(zhì)或相互關(guān)系進行分類

例如：解關(guān)于x的不等式:ax＋3＞2x+a，我們可以把不等式移項變形為(a－2)x>a－3，然后根據(jù)不等式性質(zhì)可分為：a－2>0，a－2＝0和a－2

（三）根據(jù)圖形的特征或相互關(guān)系進行分類

例如：已知等腰三角形有一個內(nèi)角是50度，求其余兩個角各是多少度。

解答此題就是對給出的等腰三角形的這一個50度的內(nèi)角是底角、頂角兩種情況進行討論，從而求出解答結(jié)果。

三、引導(dǎo)分類討論，提高合理解題的能力

初中課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題，都需要分類討論，在教授這些內(nèi)容時，應(yīng)不斷強化學(xué)生分類討論的意識，讓學(xué)生認識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯誤。在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括，總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強學(xué)生思維的條理性，縝密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：；其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題

由以上的例子我們知道：抓住分類討論的動機，把握了分類的標準，就能做到分類時條理清楚，標準一致，在解答問題時就不會重復(fù)、遺漏，保證解題的準確率。

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關(guān)鍵詞：分類討論思維能力學(xué)習(xí)能力工作能力

分類討論思想在新舊教材中都有體現(xiàn)，在舊教材中怎樣培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想，那么在新教材中仍然適合。在職業(yè)中專階段怎樣培養(yǎng)學(xué)生的分類討論能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個關(guān)鍵，同時也是學(xué)生思維能力鍛煉的黃金時段，從而也為學(xué)習(xí)和工作打下堅實的基礎(chǔ)。下面來淺談在職業(yè)中專數(shù)學(xué)教學(xué)中怎樣培養(yǎng)分類討論思想和分類討論思想對學(xué)習(xí)和工作的作用。

一、什么是分類討論思想

依據(jù)數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)屬性的相同點和差異點，將數(shù)學(xué)對象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫做分類的思想．“物以類聚，人以群分”，將事物進行分類，然后對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法叫做分類討論的方法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。常常能起到簡化問題、解決問題的作用。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性，能訓(xùn)練人的思維能力。

二、在職業(yè)中專數(shù)學(xué)教學(xué)中怎樣培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想

我所在的學(xué)校是職業(yè)中專學(xué)校，這里的學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)比較差。他們選擇職業(yè)中專目標是一方面學(xué)習(xí)文化知識，一方面學(xué)習(xí)一點技能，另一方面通過學(xué)習(xí)來鍛煉自己的思維能力。同時希望通過三年的學(xué)習(xí)自己各方面的能力都有所提高，作為一名數(shù)學(xué)教師應(yīng)怎樣幫助他們。

大家都知道教師的責(zé)任就是教書育人，而我作為一名職業(yè)中專的數(shù)學(xué)教師那么在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)怎樣做呢，這不光是我思考的問題，也是我的同行們值得思考的問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中我個人認為不光是傳授好知識就行了，學(xué)生會解幾道數(shù)學(xué)問題就可以了，這樣的教師沒有達到教書育人的目的，也不能幫助職業(yè)中專的學(xué)生實現(xiàn)他們的目標。我們在教學(xué)中可以直接從知識上來幫助他們，但這種方法不好。有句名言：“授之以魚不如授之以漁”，那應(yīng)該怎樣來幫助他們。我個人認為應(yīng)該幫助學(xué)生提高他們的思維能力，當(dāng)思維能力提高了他們學(xué)習(xí)知識的能力和學(xué)習(xí)技能的能力就會增強，從而把他們的希望就會實現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想方法是很好鍛煉學(xué)生思維能力的方法，那么在教學(xué)中怎樣讓學(xué)生掌握分類討論思想方法，從而達到鍛煉自己的思維能力，下面舉例來說明。

在二次函數(shù)學(xué)習(xí)中求函數(shù)最值問題中，如果函數(shù)的對稱軸是變量那么就應(yīng)該分類討論，如二次函數(shù)f（x）＝ax2－2x＋1（a≠0）在x∈上的最值，大家都知道把對稱軸分成三類，對稱軸在區(qū)間左側(cè)，中間和右側(cè)相應(yīng)求出最值。如解決含有參數(shù)的不等式解集問題都需要進行分類討論。才開始學(xué)生對分類討論思想方法感覺很難，也不容易掌握。這時教師就應(yīng)該想盡各種方法讓學(xué)生慢慢來適應(yīng)分類討論思想方法，我在教學(xué)中是從簡到難，隔三岔五的讓學(xué)生接觸分類討論問題，還讓學(xué)生在課后共同討論或分組討論分類討論問題，這樣既能提高學(xué)習(xí)興趣，又能學(xué)到知識，還能鍛煉思維能力。在課堂上應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生分析討論分類討論問題，課后應(yīng)多指導(dǎo)學(xué)生組織的討論活動。這應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想比較可行的方法，這個方法貴在堅持，我個人認為教師和學(xué)生都能做到持之一恒。三年后學(xué)生不但各方面的能力都有所提高，尤其是通過分類討論思想的鍛煉思維能力有很大的提高。

三、分類討論思想對學(xué)習(xí)能力和工作能力的作用

新課改下職業(yè)中專培養(yǎng)的學(xué)生是具有終身學(xué)習(xí)能力的人，同時也應(yīng)該是工作能力很強的人。有人會說這是“夸大其詞”大家可以仔細想想，學(xué)習(xí)能力強和工作能力強的人都是大腦比較靈活的人，說白了也就是思維能力強。每個人不可能天生就是一個學(xué)習(xí)和工作能力強的人，必須經(jīng)過“后天”的培養(yǎng)。在前面已經(jīng)說過學(xué)生在校不光學(xué)會了知識，還鍛煉了思維能力，而思維能力又是通過分類討論思想方法來鍛煉的，由此可想分類討論思想對學(xué)習(xí)能力和工作能力的作用。如對物理學(xué)中的受力情況分析，化學(xué)實驗發(fā)生的反應(yīng)分析等都有很大的幫助。在將來的工作中總會遇到這樣或那樣的問題，我們也會想各種各樣的方法將問題分類解決，這也就體現(xiàn)了分類討論的思想。雖然從表面看分類討論思想對學(xué)習(xí)能力和工作能力沒有直接作用，但內(nèi)在有間接的作用。

總之，在職業(yè)中專數(shù)學(xué)教學(xué)中我們要用分類討論思想來鍛煉學(xué)生的思維能力，從而達到提高學(xué)習(xí)能力和將來工作能力。培養(yǎng)具有這樣能力的學(xué)生是我們職業(yè)中專培養(yǎng)的目標，也是適應(yīng)新時期國家需要的人才。

參考文獻

［1］ 中國人民大學(xué)書報資料中心編寫，《中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué) 》，2008

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關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；分類思想；思維習(xí)慣；綜合解題

中圖分類號：G633.9 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2012）03-0156-02

新課程標準要求推行素質(zhì)教育，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，關(guān)注其運用科學(xué)的學(xué)習(xí)方法和策略。中學(xué)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)離不開抽象思維，一切數(shù)學(xué)知識的探索都需要通過思維來實現(xiàn)，所以，如果教師能夠在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透分類思想，讓學(xué)生形成有條有理地分析問題的習(xí)慣，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有莫大的好處。隨著教改的推進，我國的教育體制正在向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變，不僅要考查學(xué)生的雙基，還要考醒其思維能力，會用觀察、比較和分析的方法思考問題，會用有條理的語言來闡述自己的思想，這就需要學(xué)生運用分類的思維方法來思考問題。一般來說，運用分類討論方法解決的問題可分為以下兩種：一是代數(shù)或方程出現(xiàn)字母取不同值時，需要分類取值去解決問題；二是通過對幾何圖形中點和線出現(xiàn)的位置不同來進行分類討論。因其是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個很重要的思想方法，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性，提高學(xué)生嚴謹?shù)亟鉀Q問題的能力，所以占有較為重要的地位。

一、初中數(shù)學(xué)教師需在日常教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生分類的思維習(xí)慣

其實分類的思想一直存在于我們的日常生活中，如在平時，我們衣物的分類、書籍的分類等，我們要把這一分類意識遷移到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來。中學(xué)數(shù)學(xué)教師在授課時，要滲入分類思想的運用，如數(shù)的分類、絕對值的分類等等。以數(shù)的分類為例，數(shù)可以分為整數(shù)和分數(shù)，學(xué)過了負數(shù)的概念后，我們則可以對其進行進一步的分類，即正有理數(shù)、負有理數(shù)和零。運用這樣的方面來定義數(shù)，可以及時引導(dǎo)學(xué)生對其進行分類掌握。在這一章節(jié)的講授中，我們要反復(fù)滲透、強化數(shù)學(xué)的分類思想，讓學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)的分類意識，并在學(xué)習(xí)的過程中掌握一定的原則，如分類的標準是統(tǒng)一的，對象是確定好了的，或做不到這一點就有可能分類不正確。初中數(shù)學(xué)的分類思想是非常重要的，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一定要把握好一個“度”，過猶不及。

二、教學(xué)大綱和教材對滲透“分類討論”思想的要求如下

教學(xué)大綱和教材對滲透分類討論的思想非常看重，給出以下三條要求：

1.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要把分類思想劃分為兩個概念，一是分類，二是討論?！胺诸悺本褪窃谘芯磕骋粩?shù)學(xué)問題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)某一具體的標準把所研究的對象進行分類。分類是前提，分好類后，教師就要引導(dǎo)學(xué)生針對不同的情況進行討論，這就是本著化難為易、化繁為簡的過程。

2.教學(xué)大綱明確要求學(xué)生學(xué)會分類的方法。初中數(shù)學(xué)教師要把分類思想滲透到教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中，如，對于實數(shù)那一節(jié)，大綱就明確規(guī)定，教師要教會學(xué)生把給出的一些實數(shù)按要求進行分類等等。分類最重要的就是要做到不重復(fù)不遺漏。當(dāng)我們把一些實數(shù)進行分類時，要做到讓其中的每一個數(shù)都歸入類別，不能出現(xiàn)歸不入類的現(xiàn)象，也不能同時歸入幾類均可。所以，它能夠很好地鍛煉學(xué)生的層次感和謹慎感。

3.教師一定要讓學(xué)生盡可能簡化討論方法。討論方法是越簡單明了越好，因為在教材和練習(xí)中，我們都能找到分類的要求，言簡意賅，如當(dāng)A表示任意數(shù)時，它的絕對值是什么呢？教材中只分了三種情況。所以就此類討論題目，教師也應(yīng)該本著簡化的原則進行分類。分類和討論是聯(lián)系起來進行的，分類就是為了討論，所以教師要把這個理念滲透到自己的教學(xué)中去。

三、初中數(shù)學(xué)教師要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)分類方法，增強思維的縝密性

中學(xué)數(shù)學(xué)教師思維要具有縝密性，這樣才能在以后繁瑣的數(shù)學(xué)解題過程中理清思路。掌握科學(xué)合理的數(shù)學(xué)分類方法，就可以根據(jù)對象，按照唯一的標準進行分類，這樣可以避免重復(fù)和紕漏。

四、初中數(shù)學(xué)教師要通過引導(dǎo)學(xué)生運用分類討論，提高其綜合解題的能力

當(dāng)我們明確了分類的思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位后，我們在教學(xué)中就能做到心中有數(shù)。教師如果把分類思想滲透到了教學(xué)中，那么就一定要抓住適合體現(xiàn)分類思想的知識內(nèi)容有目的地去滲透，在確立教學(xué)目標、安排教學(xué)過程和選擇教法方面做好準備。中學(xué)課本中有很多定理、公式和習(xí)題都運用到了分類討論的思想，這也是學(xué)生極易忽略的一點。教師在教授這些內(nèi)容時，要反復(fù)地強化分類的思想，讓學(xué)生通過分類討論后，得出全部的正確的得數(shù)。最好，教師也讓學(xué)生了解一下，如果不分類討論，在解決數(shù)學(xué)問題時，會出現(xiàn)很多不合理的現(xiàn)象。最后明確，在解決中學(xué)數(shù)學(xué)難題時，教師一定要通過分類討論來幫助學(xué)生總結(jié)出一些帶有規(guī)律性的東西，幫助學(xué)生概括總結(jié)分類規(guī)律，加強學(xué)生思維的縝密性和條理性。

五、初中數(shù)學(xué)教師要讓學(xué)生明白分類只是討論的前提，而討論才是分類的延續(xù)

分類的思想最終體現(xiàn)的是分類是提前，而討論是分類的延續(xù)，是解決問題的根本所在。所以，如果教師在講授新課時，涉及到了分類的思想就應(yīng)該默默地滲透討論的思想。

例：已知ABC是等邊三角形，邊長為4；ACD是含60°角的直角三角形。ABC和ACD拼成一個四邊形ABCD.求其面積。

分類分析：在含60°角的直角三角形ACD中，我們可以把AC作為斜邊、AC作為直角邊二類情況來研究。

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【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)思想；分類討論

數(shù)學(xué)思想方法既是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識， 又是將知識化為能力的橋梁， 用好了就是能力。而“分類思想”是自然科學(xué)乃至社會科學(xué)中的基本邏輯方法，它源于生活而用于生活，既是研究數(shù)學(xué)問題中的最重要思想方法之一，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。它對培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性，提高學(xué)生全面、周密地分析問題和解決問題的能力起到十分關(guān)鍵的作用.因此數(shù)學(xué)老師在教學(xué)中要注重數(shù)學(xué)思想方法的概括和總結(jié)。

1 什么是分類討論

分類討論的數(shù)學(xué)思想，也稱分情況討論，當(dāng)一個數(shù)學(xué)問題在一定的題設(shè)下，其結(jié)論并不唯一時，我們就需要對這一問題進行必要的分類。將一個數(shù)學(xué)問題根據(jù)題設(shè)分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進行歸納綜合。在解題中正確、合理、嚴謹?shù)姆诸?，可將一個復(fù)雜的問題大大的簡化，達到化繁就簡，化難為易，分而治之的目的。

2 為什么要分類討論

2.1 許多定義，定理，公式是分類的

（1）數(shù)學(xué)課本中很多定義、定理、公式本身是分類定義、分類概括的，教師在教學(xué)過程中要有意識地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐漸的體會分類討論的思想。初中七年級數(shù)學(xué)課本在引入負數(shù)后即對有理數(shù)進行分類：將有理數(shù)分為正數(shù)、零、負數(shù)或?qū)⒂欣頂?shù)分為整數(shù)、分數(shù)。在隨后的去括號法則、有理數(shù)的乘法、乘方的教學(xué)中均可仿照此方法滲透分類的思想。由于數(shù)學(xué)中的許多概念的定義是分類給出的或是不少概念都有一定的限制，如實數(shù)的分類，一元二次方程的概念中對二次項系數(shù)的限定，平方根中對于被開方數(shù)的限定等，完全平方式的意義，絕對值中a的三種情況的分類給出等。涉及到這些概念時就必須按照給出的概念的分類形式進行討論。

（2）在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)該不斷重視法則、定理、公式的論證過程，注意歸納、揭示公式之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生增強分類意識，體驗分類思想方法的作用。

如證明圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。為什么要根據(jù)圓心相對于圓周角的位置分成三種情況去證，這就需要學(xué)生自主畫圖測量、分析討論，體會分類證明的目的和優(yōu)點，逐步體會到恰當(dāng)?shù)姆诸惪稍鰪婎}設(shè)的條件，即把分類的依據(jù)做為附加條件，先證明特殊情況，再由特殊情況推廣到一般情況的解決問題的思路，揭示分類討論的本質(zhì)為化繁為簡，由特殊到一般，分而治之。之后，在學(xué)習(xí)弦切角定理的證明時，學(xué)生們再次重現(xiàn)了“分類討論的思想”的探究過程。

2.2 某些解題過程需要分類：在解題過程中有些幾何問題的圖形位置或形狀不能確定，這時就必須進行討論，把問題分成幾類或幾部分來處理，采取分而治之的方法來各個擊破。

在實際教學(xué)中可以碰到很多這種習(xí)題。如：

（1） 等腰三角形的兩邊為4，6，求該三角形的周長？

（2）等腰三角形一個角是70°，求其他兩個角的度數(shù)？

（3）在ABC中，AB=6，AC=8，D、E分別為AB、AC邊上的點，且AD=2.若ABC與ADE相似，則AE=

。

2.3 題設(shè)條件不確定要分類：有些數(shù)學(xué)問題的題設(shè)部分不確定，例如：求不等式的解集。該不等式的系數(shù)帶有參數(shù)，就要分為三種情況去討論：（1）當(dāng)a-3>0時，（2）當(dāng)a-3=0時，（3）當(dāng)a-3

3 分類的原則：無重?zé)o漏，把握分類的標準

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關(guān)鍵詞：分類討論；歸納總結(jié)；高中數(shù)學(xué)教學(xué)

一、分類討論的含義及組成

高中數(shù)學(xué)是很多學(xué)生的難點，在解題過程中通常會遇到很多復(fù)雜的問題，想要解決這些復(fù)雜的問題就必須進行分類討論，分類求解，最后進行綜合解答。

分類討論貫穿整個中學(xué)數(shù)學(xué)教程，是高中數(shù)學(xué)難點之一。它不同于其他解題方法，分類討論要求把可能出現(xiàn)的情況進行分類討論，在最后又將討論得到的結(jié)果進行歸納總結(jié)，然后得出相應(yīng)題目的求解。分類討論的組成大致分為要素、步驟、原則三部分。

要素：要素就是指需要進行分類討論的對象，分類后各自的概念，還有最后區(qū)分的標準。

步驟：分類討論的步驟具體有四個步驟，第一，確定要進行分類討論的對象和要討論的區(qū)域。第二，根據(jù)題目要求，進行合理的分類。第三，根據(jù)從大到小、先易后難的解題步驟進行逐步分類討論。第四，歸納分類討論所得出的答案，得出最后答案。

原則：分類討論要遵循的原則是，首先要確定分類對象，不可重復(fù)對象，更不可遺漏對象。確定對象之后要選擇正確的分類標準，再進行分類討論。遇到多級分類，就需要更加仔細地在分類部分中再次分類。

二、高中數(shù)學(xué)分類討論產(chǎn)生的原因

1.分類所涉及的數(shù)學(xué)概念

例如，在函數(shù)式子中y=1/sinx?？吹竭@類函數(shù)，我們首先要考慮的是sinx，它作為一個變量，同時又作為分母，是不可以為0。在作圖的時候首先要考慮的是排除sinx=0的這種情況，因此，所對應(yīng)的圖像是間斷圖像，然后再從遞增遞減性去考慮函數(shù)sinx，最終完成解題。

2.分類所涉及的公式

例如，在排列組合題目中的有組合計算方法，8個人分兩排站立，A和B之間相鄰的站法有多少種。在解答這類問題時，首先要將題目中確定的兩個固定位置當(dāng)中的任意一個視為整體，那剩下的7個人就分為兩排，這里就出現(xiàn)了一個組合數(shù)，接下就該根據(jù)題目中的已知條件對AB進行討論，將得出答案乘以2，就得出了最終答案。

3.分類所涉及的參變量

參變量這類問題在不等式中出現(xiàn)的較多，例如，（a-b）x0、a-b

4.分類所涉及的約束計算

所謂約束，就是指一些固定的不可改變的條款，如分母不可為零。

三、分類討論實例

下面以具體例題來說明分類討論。

例1：在正方體的8個頂點、12條菱、6個面的中心、正方體中心共27點，共線的三點組成的有幾個。

解：根據(jù)題意，共線的三點組可以分為三類。

四、結(jié)語

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關(guān)鍵詞：分類討論；多解

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）22-327-02

滿足條件的多解型試題不但知識覆蓋面廣，綜合性較強，題意構(gòu)思精巧，而且在解答時需要靈活運用一種重要的數(shù)學(xué)思想方法——分類討論。分類討論思想是指當(dāng)數(shù)學(xué)問題中研究的對象不確定，不宜用統(tǒng)一方法處理時，常常根據(jù)研究對象性質(zhì)的差異，按照一定的分類方法或標準，將問題分為全而不重，廣而不漏的若干類，然后逐類分別進行討論，再把結(jié)論匯總，得出問題的答案的思想。

各地中考數(shù)學(xué)中這種題型不但在綜合題中會有所涉及，而且在選擇填空題中也經(jīng)常出現(xiàn)，進一步說明非常重視分類討論這一數(shù)學(xué)思想方法的考查。這類題的思維空間較大，解題時常出現(xiàn)考慮不全或不嚴謹，導(dǎo)致漏解、錯解，要求同學(xué)們在解題中應(yīng)加強對多向思維的培養(yǎng)，學(xué)好分類討論這一思想方法，熟練掌握這一題型的特征與解法。

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的解題策略。

例題1：如圖，是象棋盤的一部分，一匹“馬”在圖示的位置，如果“馬”現(xiàn)在的位置可表示為（7，3），按照象棋的規(guī)則，“馬”下一步躍到的位置可表示為 ；

分析思考：此題很簡單，只要按照象棋規(guī)則，把所有的可能都例舉出來，但卻暗含了數(shù)學(xué)多解題的本質(zhì)，要把滿足條件的所有的可能一一列舉，使問題的解答完整。

答案：（6，1），（5，2），（5，4）（6，5）（8，5），（9，4）

（9，2）（8，1）

例題2：（2012江西樣卷改編） 已知a、b為實數(shù)，且ab≠0，那么= 。

分析思考：由于ab≠0即a、b都不為0，要繼續(xù)化簡，就需知a、b的正負，但a、b中是正是負是一個不確定的對象，所以可以分以下：①都是正；②都是負；③a為負，b為正；④a為正，b為負這四種情況來分別求值。

答案：0、2或-2

例題3：（2012江西樣卷）小明等五名同學(xué)四月份參加某次數(shù)學(xué)測驗（滿分為120）的成績?nèi)缦拢?00、100、x、x、80。已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，那么整數(shù)x的值為 。

分析思考：這里有什么不確定的對象呢？（x的大小），因此我們討論的對象便是x的大小。

（1）討論對象：x的大??；討論范圍：0～120；

（2）確定分類標準并進行合理分類：考慮x相對100和80大小可能性來分類，題中x的大小有三種可能：①100

（3）當(dāng)①100

答案：110或60（有一個非整數(shù)值已舍去）

解題感悟之（一）分類討論的一般步驟：

（1）確定討論的對象和討論的范圍；

（2）確定分類的標準并進行合理分類；

（3）逐級討論并總結(jié)概括得出結(jié)論。

例4：（2011貴州安順）已知，如圖1：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為A（10，0）、C（0，4），點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，當(dāng)ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為

分析思考：題中不確定的對象是什么呢？顯然題目給出了條件“ODP是等腰三角形”，但未指明在ODP中哪兩條邊相等，因此我們的討論對象是：ODP中哪兩條邊相等，從而可分為三類：

當(dāng)OP=OD時，則點P、D到點O的距離相等，因此只要以O(shè)為圓心，OD的長為半徑畫弧，交 CB于一點P，過點P作PEOD于E，由勾股定理可求得OE=3，則P（3，4）；

當(dāng)DO=DP時，則點O、P到點D的距離相等，因此只要以D為圓心， DO的長為半徑畫弧，交CB于兩點P，過點P作PEOD于E，當(dāng)∠ODP為銳角時，由勾股定理可求得DE=3，OE=5-3=2，則P（2，4）；當(dāng)∠ODP為鈍角時，由勾股定理可求得DE=3，OE=5 + 3=8，則P（8，4）；

當(dāng)PO=PD時，則點P在OD的垂直平分線上，因此只要作OD的垂直平分線PE交CB于一點P，垂足為E，由勾股定理可求得OP=，顯然結(jié)果不等于5，不合題意，舍去；

其他解法：方法1：OD、DP、OP輪流為底邊，同時要

注意以O(shè)D為底邊時OP、PD是腰，但不會等于5，易產(chǎn)生錯解，以O(shè)P為底邊時又易漏掉一種情況。

方法2：∠POD、∠ODP、∠OPD輪流為頂角，這樣分類同時還要考慮頂角可以是銳角、直角、鈍角.本題由于腰為5的限制，故直角是不可能，∠POD為鈍角不可能，∠PDO既可以是銳角，又可以為鈍角。

答案：（3，4），（2，4），（8，4）

篇9

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標準，也是進行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個切入點。數(shù)學(xué)分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。分類思想不象一般數(shù)學(xué)知識那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵。教學(xué)中可以從以下幾個方面，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對分類思想的主動應(yīng)用。

一、滲透分類思想，形成分類意識

每個學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學(xué)生的這一認識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數(shù)的分類，絕對值的意義，不等式的性質(zhì)等，都是滲透分類思想的很好機會。教授完負數(shù)、有理數(shù)的概念后，及時引導(dǎo)學(xué)生對有理數(shù)進行分類，讓學(xué)生了解到對不同的標準，有理數(shù)有不同的分類方法，為下一步分類討論奠定基礎(chǔ)。認識數(shù)a可表示任意數(shù)后，讓學(xué)生對數(shù)a 進行分類，得出正數(shù)、零、負數(shù)三類。講解絕對值的意義時，引導(dǎo)學(xué)生得到如下分類：通過對正數(shù)、零、負數(shù)的絕對值的認識，了解如何用分類討論的方法學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念。又如，兩個有理數(shù)的比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負數(shù)、負數(shù)和零、負數(shù)和負數(shù)幾類情況來比較，而負數(shù)和負數(shù)的大小比較是新的知識點，這就突出了學(xué)習(xí)的重點。結(jié)合“有理數(shù)”這一章的教學(xué)，反復(fù)滲透，強化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，如若不然，對象混雜，標準不一，就會出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負數(shù)、整數(shù)，就是犯分類標準不一的錯誤。在確定對象和標準之后，還要注意分清層次，不越級討論。

二、掌握分類方法，增強思維縝密性

在教學(xué)中滲透分類思想時，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉藴?，根?jù)對象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。分類的方法常有以下幾種：（1）根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進行分類。有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進行分類。（2）根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進行分類。如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，直線和圓根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。在證明圓周角定理時。由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據(jù)幾何圖形點和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。教材中在證明弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。也是如此分圓心在弦切角的一條邊上，弦切角的內(nèi)部、弦切角的外部三種不同情況解決的。

三、引導(dǎo)分類討論，提高合理解題能力

初中課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題，都需要分類討論，在教授這些內(nèi)容時，應(yīng)不斷強化學(xué)生分類討論的意識，讓學(xué)生認識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯誤。在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括，總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強學(xué)生思維的條理性，縝密性。一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。例如函數(shù) y=x6-x5+x4-x3+x2-x+1，求證：y 的值恒為正數(shù)。分析：將y的表達式分解因式，雖可證得結(jié)論但較難。分析可發(fā)現(xiàn)，若將變量x在實數(shù)范圍內(nèi)適當(dāng)分類，則問題容易解決。證明：⑴ 當(dāng)x≤0時， x5-x3-x≥0，y≥1恒成立；⑵ 當(dāng)0 x3，1>x。 y>0 成立；⑶ 當(dāng)x=1 時，y=1>0 成立；⑷ 當(dāng)x>1時，y=（x6-x5）+（x4-x3）+（x2-x）+1。x6>x5，x4>x3，x2>x 。y>1成立。綜上可知，y > 0 成立。其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題。分類討論往往能使一些錯綜復(fù)雜的問題變得異常簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在討論當(dāng)中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

篇10

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué) 解題 分類討論思想 概念 作用 分析

隨著教育的不斷發(fā)展與改革，教育部逐漸重視小學(xué)各個科目的考查，尤其是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力和思維能力，因此，注重數(shù)學(xué)的解題思路和解題思想在教學(xué)中顯得非常重要，良好的解題方法可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，如分類討論思想，其可以有效幫助學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題。

一、分類討論思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念

分類討論思想是指學(xué)生根據(jù)教師提出的問題進行分類討論，即通過邏計劃分的方式，對數(shù)學(xué)問題各個擊破，以達到解決問題的目的。分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要作用，是一種有效的解題方法，其也被稱為邏輯方法。分類討論思想在教學(xué)中具有很強的邏輯性和綜合性，并且數(shù)學(xué)教學(xué)注重強調(diào)的是學(xué)生的邏輯性，因此，分類討論思想符合數(shù)學(xué)教學(xué)范疇，其不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和邏輯能力。

二、分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的基本原則

分類討論的基本原則是正確應(yīng)用分類討論的方法，注重分類的科學(xué)性、統(tǒng)一性、互斥性、相稱性和層次性，從而解決數(shù)學(xué)問題。

（一）分類討論的統(tǒng)一性原則。針對小學(xué)5、6年級的數(shù)學(xué)課程，采用分類統(tǒng)一的原則，保證數(shù)學(xué)的知識體系有機的結(jié)合在一起，使學(xué)生更容易掌握知識要點。例如，六年級小數(shù)的分類，小數(shù)分為有限小數(shù)、無限小數(shù)、無限不循環(huán)小數(shù)和循環(huán)小數(shù)，23.3、25.4、0.21等都是有限小數(shù)，2.22.....、3.144555....等叫做無限小數(shù)，若數(shù)中有一個數(shù)不斷重復(fù)出現(xiàn)，則稱為循環(huán)小數(shù)，如2.4444.....、0.01111......、43.78777.....等，而n被稱為無限不循環(huán)小數(shù)，但是，這些數(shù)字統(tǒng)稱為小數(shù)。

（二）分類討論的互斥性原則。對數(shù)學(xué)問題進行分類后，應(yīng)確保分類子項的互斥性，即一個事物的子項不能影響另一事物的子項，例如某小學(xué)五年級有100人，男生人數(shù)是女生人數(shù)的1.5倍，學(xué)校將分2組隊伍進行馬拉松活動，問怎樣分配男女生的比例才能合理？

（三）分類討論的相稱性原則。堅持分類討論的相稱原則，即分類子項和總項的相稱，例如數(shù)學(xué)中的有理數(shù)可以分為正有理數(shù)和負有理數(shù)，由于0被稱為有理數(shù)，但是不在正有理數(shù)和負有理數(shù)的范圍之內(nèi)，因此，這樣的劃分不符合數(shù)學(xué)的相稱性。

（四）分類討論的層次性原則。分類討論可以把數(shù)學(xué)知識更深一步的分層，直到找出問題的答案為止，例如，計算某梯形的面積，首先，需要討論正方形、長方形的周長，在討論梯形的周長；其次，討論正方形、長方形的面積算法；最后，計算梯形的面積，其梯形的面積公式為：S梯形=（上底+下底）×高÷2，當(dāng)然，學(xué)生也可以更進一步求三角形的面積。

三、分類討論思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別是在小學(xué)的5、6年級，這個階段會涉及到幾何的教學(xué)，如圓、正方形、長方形、圓柱體、圓錐體、正方體等幾何圖形，通過學(xué)習(xí)幾何的基本知識，可能會更深入的進行幾何圖形的研究，如直線與圓的相交，因此，本文提出一個關(guān)于幾何的數(shù)學(xué)問題對其進行研究，例如圖1所示，數(shù)一數(shù)圖中有多少個三角形？然后數(shù)一數(shù)有多少個菱形？

圖1

首先，學(xué)生需要對圖形進行分類討論，即討論三角形和菱形，根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)知識，可知，由不在同一直線上的三條線首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形，而菱形是指在一個平面內(nèi)，有一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形。從圖中可以看出，有51個三角形和22個菱形。

另外，分類討論思想在實際問題中的應(yīng)用，可以有效解決實際生活中的應(yīng)用問題，例如，某書店有一套英語書原價50元，現(xiàn)按7折出售，買一套英語書可以便宜多少元？如果買5套，250元夠嗎？通過練習(xí)生活實際，從而對生活中的各種情形進行討論。從這個買書問題，可以得出買一套英語書可以便宜15元，若買5套英語書，則花費175元，250元足夠買5套英語書。

四、分類討論思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

分類討論思想可以有效解決數(shù)學(xué)中難以解答的問題，通過分類子項，并且對各個子項進行分析討論，從而尋找數(shù)學(xué)的正確答案，使數(shù)學(xué)問題簡單化，但是，在分類討論過程中，應(yīng)注重分類討論思想的正確應(yīng)用，應(yīng)遵循數(shù)學(xué)教學(xué)的統(tǒng)一性、互斥性、相稱性、層次性等原則，使數(shù)學(xué)解答過程中更簡單化。一般情況下，分類討論思想在數(shù)學(xué)問題解答過程中，其步驟如下：首先，確定數(shù)學(xué)問題類型，同時確定問題討論的范圍；其次，結(jié)合數(shù)學(xué)理論知識，科學(xué)化的對討論的問題進行標準分類；再者，對分類的各個子項逐步的進行討論；最后；對各個子項討論出來的結(jié)果進行歸納總結(jié)，從而得出整個問題的答案。

結(jié)束語

數(shù)學(xué)教學(xué)在教育中發(fā)揮著重要作用，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力和思維能力，因此，采用分類討論思想，并正確對其進行應(yīng)用，使分類討論思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮重要的作用。

參考文獻：

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