導(dǎo)語：如何才能寫好一篇初中數(shù)學(xué)求動點最值的方法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；最值問題；生活數(shù)學(xué)

最值的使用在生活中有很多，比如求兩個點之間的最短距離或者兩線段和的最小，還有我們平常生活中的利潤最大、成本最小等最優(yōu)方案的問題。這些問題都可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，然后用數(shù)學(xué)的方法去解決。下面我們先來看看有關(guān)于線段的最值問題：

一、有關(guān)線段和的最值問題

有關(guān)距離的最值問題有一個簡單的問題原型。比如說要在公路上建一個公交車站，在公路旁有兩個村子A與B，問車站建在公路上的哪個位置才能使A、B兩村去車站的路程最短？這種“確定最短路線”的問題就是最經(jīng)典的求最值問題。在這里，這個問題有兩種情形，第一是兩個村子在公路的不同側(cè)，這就轉(zhuǎn)化成了點與點之間的最短距離，也就是兩點間的連線。第二是兩個村子在公路的同一側(cè)（如圖1），那么這就是一個利用軸對稱解決極值的經(jīng)典問題，而解決這個問題的基本方法就是對稱共線法。利用軸對稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長度不變），確定動點位置（如圖2），計算線路最短長度。此時，這個問題的模型又變成第一種情況，兩個村子在公路的不同側(cè)了。

由上面這個簡單的例子我們可以歸納出求線段和最小的一般方法：通過軸對稱，將動點所在直線同側(cè)的兩個定點中的其中一個，映射到直線的另一側(cè)，當(dāng)動點在這個定點的對稱點及另一定點的線段上時，由“兩點之間線段最短”可知線段和的最小值，最小值為定點線段的長（如圖3）。下面我們來看一道這種類型的變式題：

恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路X垂直，如圖4建立直角坐標(biāo)系。著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于兩高速公路同側(cè)，AB=50km，A到直線X的距離為10km，B到直線X和Y的距離分別為40km和30km。請你在X旁和Y旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小，并求出這個最小值。

分析：這道題目所涉及的四邊形的周長的最小值，包括四條線段的和，看起來會比較麻煩，不知道該怎么下手，其實求四邊形的周長的最小值，可以把周長分成四部分，先分析其中的兩段或三段，把問題拆解成類似原型題目這樣的簡單問題，再做進(jìn)一步的分析。比如，可以先看BQ和QP這兩段的和的最小值，單獨看這兩段的話，就變得很簡單了，只要根據(jù)求兩條線段的和的一般方法，就可以解出。同樣的方法再分析QP和PA，然后把幾條線段綜合起來看，這道題就不難解決了。

解析：作點A關(guān)于X軸的對稱點A′，點B關(guān)于Y軸的對稱點B′，連接A′B′，AP+PQ+BQ=A′P+PQ+QB′≥A′B′。當(dāng)P、Q在線段A′B′上時，AP+BQ+PQ=A′B′最小。

過A′、B′分別作X軸、Y軸的平行線交于C。在RrA′CB′中，A′C=100，B′C=50，交X軸于P，交Y軸于Q。

A′B′==50，而AB=50

四邊形APQB的周長最小值為：AB+A′B′=50（+1）

總結(jié)：有關(guān)線段和的最值問題是實際生活中常遇到的問題，解決這類問題的方法就是從最簡單的問題原型出發(fā)，抓住解決問題的關(guān)鍵，把不在同一直線上的線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上。求多條線段的和的最小值就是要先把問題化成幾個小問題，把每個小問題解決，就能從整體上理清思路，解決整個問題。

二、有關(guān)函數(shù)的最值問題

有關(guān)函數(shù)的最值問題是中考?？嫉囊环N題型，也是生活中常用來解決實際問題的一種數(shù)學(xué)方法。下面我們來看這樣一個例子：某蒜薹生產(chǎn)基地收獲蒜薹200，下表是按批發(fā)、零售、冷庫儲藏后銷售三種方式每噸的平均售價及成本價：

若經(jīng)過一段時間，蒜薹按計劃全部售出獲得的總利潤為y（元），蒜薹零售x（噸），且零售量是批發(fā)量的。（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）由于受條件限制，經(jīng)冷庫儲藏售出的蒜薹最多80噸，求該生產(chǎn)基地按計劃全部售完蒜薹獲得的最大利潤。

解析：（1）設(shè)零售量為x，則批發(fā)量為3x，儲藏后銷售量為200-4x，

則y=（3000-700）3x+（4500-1000）x+（5500-1200）（200-4x）

y=-6800x+860000

（2）根據(jù)題意得：200-4x≤80，則x≥30

y=-6800x+860000在x范圍內(nèi)單調(diào)遞減

x=30時，y取得最大值

y=860000-6800×30=656000

也就是求得當(dāng)零售量為30噸的時候，售完全部蒜薹可獲得最大利潤656000元。

總結(jié)：除了一次函數(shù)以外，二次函數(shù)也是求最值的重要方法。這種方法用于生活中的很多問題。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了把數(shù)學(xué)知識運用到生活中，幫助我們解決生活中的問題。因此，我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候一定要多聯(lián)系實際，數(shù)學(xué)和生活并不是兩個獨立存在的，而是一個緊密聯(lián)系的結(jié)合體。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能使生活中的問題得到解決，而生活中的問題又是數(shù)學(xué)知識的原型，是發(fā)展數(shù)學(xué)的重要動力。

最值問題是生活中常遇到的問題，通過數(shù)學(xué)建模來解決實際問題是數(shù)學(xué)知識用于實際的重要體現(xiàn)，這也正說明了數(shù)學(xué)知識的生活實用性，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能為我們將來創(chuàng)造美好的生活發(fā)揮應(yīng)有的作用。

參考文獻(xiàn)：

1.傅彪.關(guān)于折線段最小值問題的探究.中學(xué)數(shù)學(xué)初中版，2012，8.

2.趙秀琴.初中數(shù)學(xué)最值問題的解法.考試周刊，2012，44.

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關(guān)鍵詞：構(gòu)造函數(shù)；利用幾何性質(zhì) ；確定范圍

最值型問題，即求有關(guān)量的最大值或最小值，是初中數(shù)學(xué)的常見題型，是中考及數(shù)學(xué)競賽中的必考題型。它主要考查學(xué)生對平時所學(xué)知識的綜合應(yīng)用，無論在代數(shù)還是幾何中都會出現(xiàn)最值問題，綜合起來，常見的最值問題主要有以下幾種解法：

一、利用函數(shù)思想，構(gòu)造函數(shù)解題，主要用于解決一些成本最小、利潤最大的經(jīng)濟(jì)問題及方案設(shè)計、運動變化等問題

用運動變化的觀點研究客觀世界中變量之間的相互關(guān)系和內(nèi)在規(guī)律，將其用函數(shù)的形式表示出來，并通過對具體函數(shù)的分析解決問題的思想稱之為函數(shù)思想。 構(gòu)造函數(shù)解題時，要注意從文字?jǐn)⑹觥D形、圖像、表格中，分析數(shù)量之間的變化規(guī)律，獲取變量之間的信息，建立函數(shù)關(guān)系式，從而借助于函數(shù)圖像及其性質(zhì)解決相關(guān)問題同。

1.構(gòu)造一次函數(shù)

例1.（2010珠海中考）今年春季，我國云南、貴州等西南地區(qū)遇到多年不遇旱災(zāi)，“一方有難，八方支援”，為及時灌溉農(nóng)田，豐收農(nóng)機公司決定支援上坪村甲、乙、丙三種不同功率柴油發(fā)電機共10臺（每種至少一臺）及配套相同型號抽水機4臺、3臺、2臺，每臺抽水機每小時可抽水灌溉農(nóng)田1畝?，F(xiàn)要求所有柴油發(fā)電機及配套抽水機同時工作一小時，灌溉農(nóng)田32畝。

（1）設(shè)甲種柴油發(fā)電機數(shù)量為x臺，乙種柴油發(fā)電機數(shù)量為y臺。

①用含x、y的式子表示丙種柴油發(fā)電機的數(shù)量；

②求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知甲、乙、丙柴油發(fā)電機每臺每小時費用分別為130元、120元、100元，應(yīng)如何安排三種柴油發(fā)電機的數(shù)量，既能按要求抽水灌溉，同時柴油發(fā)電機總費用W最少？

分析：此題中發(fā)電機總費用隨發(fā)電機數(shù)量的變化而變化，故可構(gòu)造W與x之間的函數(shù)來解決。

解析 （1）①丙種柴油發(fā)電機的數(shù)量為10-x-y

② 4x+3y+2（10-x-y）=32 y=12-2x

（2）丙種柴油發(fā)電機為10-x-y=（x-2）臺

W=130x+120（12-2x）+100（x-2）

=-10x+1240

依題意解不等式組

二、應(yīng)用幾何性質(zhì)解題

主要有：

1、三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

2、兩點之間，線段最短；

3、連結(jié)直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；

相關(guān)知識：A、B兩點在直線l的同側(cè)，在直線L上取一點P，使PA+PB最小。

取點A關(guān)于直線L的對稱點A’，則AP’= AP，在A’BP中A’P’+B’P’>A’B，當(dāng)P’移到A’B與直線L的交點處P點時A’P’+B’P’=A’B，所以這時PA+PB最小。

例3.在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AB的中點，F(xiàn)是AC上一動點，則EF+BF的最小值為_______.

解析 利用兩點之間線段最短來解決，求EF+BF最短就要想法把這兩條線段轉(zhuǎn)化在一條直線上，由于菱形對角連線兩邊對稱，所以AB中點E和AD中點M關(guān)于線段AC對稱，即MF=EF

連接BM交AC于點F，線段MB即為MF+FB的最小值， 因此EF+FB=MF+FB=MB，

參考文獻(xiàn)

[1] 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（華師版七、八、九年級數(shù)學(xué)）

[2] 《2009年浙江省麗水初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷》

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1. 解讀中考壓軸題考點

縱觀近幾年的中考試題，中考壓軸題通常由3個小問組成，第一個小問容易得分，得分率普遍在0.8以上，第二個小題稍難，但通常還是屬于常規(guī)題型，得分率在0.6與0.7之間，第三個小問較難，能力要求較高，且得分率也大多在0.2與0.4之間，從全國中考數(shù)學(xué)的試題命題來看，各地中考試題呈現(xiàn)“起點低，坡度緩，尾巴略翹”這一大特色.

通常第一小題主要是求點的坐標(biāo)或函數(shù)解析式. 第二、三小題有探究點的存在性問題、圖形面積問題或最值問題等，其中，各個小題難度層層推進(jìn). 下面就以2011年浙江省部分中考壓軸題為例，著重闡述第二、三小題的特點及求解策略.

2. 案例呈現(xiàn)，做好應(yīng)考教學(xué)策略

案例1 （2011浙江義烏）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0），C（0，12） 兩點，且對稱軸為直線x=4. 設(shè)拋物線頂點為P，與x軸的另一交點為點B.

（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標(biāo).

（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O，P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O 運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB于點N. 將PMN沿直線MN對折，得到P1MN. 在動點M的運動過程中，設(shè)P1MN與梯形OMNB重疊部分的面積為S，運動時間為t秒，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.

方法點撥 （1）可設(shè)出二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c，根據(jù)對稱軸公式，并把點A，C的坐標(biāo)代入解析式，得到方程組，可求得 a，b，c的值分別為1，-8，12. 所以函數(shù)解析式為y=x2－8x+12. 從而可確定頂點P的坐標(biāo)為（4，-4）.

（2）由（1）可確定點B的坐標(biāo)為（6，0），從而可確定PB的解析式為y=2x-12，發(fā)現(xiàn)PB∥OD，因此OP和BD為腰，計算OP的長度. 設(shè)D（x，2x），用含x的代數(shù)式表示BD2的長度，即BD2=（2x）2+（6－x）2，再根據(jù)OP2=BD2建立方程（2x）2+（6－x）2=32，解得x1=，x2=2，注意檢驗根的合理性. 當(dāng)x=2時，OD=BP=2，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去. 所以當(dāng)x=時，四邊形OPBD為等腰梯形. 故存在D，符合題意.

（3）當(dāng)0

解決策略 對于求點的坐標(biāo)問題，同學(xué)們要熟悉平行于x軸和y軸的坐標(biāo)特點，以及在坐標(biāo)軸角平分線上的點的特點，并會利用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式. 對于點存在性問題，解答時應(yīng)先回答問題，再說明理由. 說理的方式有兩種：一是從已知條件入手，通過推理、論證得出結(jié)論成立；二是從結(jié)論入手，通過推理、論證，得到使結(jié)論成立的條件. 由于點有靜態(tài)點和動態(tài)點之分，因此，做題時應(yīng)區(qū)別對待. 對于靜態(tài)點問題，往往涉及點滿足何條件才能構(gòu)成等腰三角形、等腰梯形、正方形、菱形等，這類問題應(yīng)注重分類討論，根據(jù)其性質(zhì)特點，找出點的位置，然后利用方程思想來解決. 對于圖形面積問題，壓軸題中往往是在圖形的運動變化中求值，常用割補法，或者探究兩種圖形重疊部分的面積.

案例2 （2011浙江寧波）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（-2，2），點B的坐標(biāo)為（6，6），拋物線經(jīng)過A，O，B三點，連結(jié)OA，OB，AB，線段AB交y軸于點E．

（1）求點E的坐標(biāo).

（2）求拋物線的函數(shù)解析式.

（3）點F為線段OB上的一個動點（不與點O，B重合），直線EF與拋物線交于M，N兩點（點N在y軸右側(cè)），連結(jié)ON，BN，當(dāng)點F在線段OB上運動時，求BON 面積的最大值，并求出此時點N的坐標(biāo).

（4） 連結(jié)AN，當(dāng)BON面積最大時，在坐標(biāo)平面內(nèi)求使得BOP與OAN相似（點B，O，P分別與點O，A，N對應(yīng)）的點P的坐標(biāo)．

方法點撥 （1）根據(jù)A，B兩點坐標(biāo)可求出直線AB的解析式為y=x+3，令x=0，可求得E點坐標(biāo)為（0，3）.

（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，將A，B兩點的坐標(biāo)代入，列方程組求得a=，b=－，所以拋物線的解析式為y=x2－x．

（3）過點N作x軸的垂線NG，垂足為點G，交OB于點Q，過點B作BHx軸于點H，設(shè)Nx，x2－x，則Q（x，x）. 把BON的面積表示為兩個三角形之和，用含未知數(shù)的形式表示出BON的面積，即SBON=SQON+SBQN=?QN?OG+?QN?GH=?QN?（OG+GH）=?QN?OH=?x－x2－x×6=－（x－3）2+（0

（4）過點A作ASGQ于點S，易求得tan∠SAN=tan∠NOG=，且∠OAS=∠BOG=45°，所以∠SAN=∠NOG，∠OAN=∠BON. 所以O(shè)N的延長線上存在一點P滿足條件. 先求出OB，AO和AN的長，由BOP∽OAN得到OP的長為. 作PTx軸于點T，所以O(shè)PT∽ONG， ==，設(shè)P（4t，t），則（4t）2+t2=2，解得t1=，t2=－（舍），所以點P的坐標(biāo)為15，. 將OPT沿直線OB翻折，可得出另一個滿足條件的點P′，15. 由以上推理可知，當(dāng)點P的坐標(biāo)為15，或，15時，BOP與OAN相似．

解決策略 對于單動點的動態(tài)問題，應(yīng)抓住變化中的“不變量”，以不變應(yīng)萬變. 先理清題意，根據(jù)題目中兩個變量的變化情況找出相關(guān)常量，再按照圖形中的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系，找出一個基本關(guān)系式，把相關(guān)的量用一個自變量的表達(dá)式表達(dá)出來，最后根據(jù)題目的要求，依據(jù)幾何、代數(shù)知識求解. 對于面積的最值問題，有求三角形或四邊形的面積的最大（?。┲? 這類問題通常是借助三角形的面積公式或轉(zhuǎn)化為三角形來解決，但它們的本質(zhì)都是通過建立二次函數(shù)模型，對二次函數(shù)配方求得相應(yīng)的最值，因此，在解決這類問題時，首先應(yīng)求出所求問題的二次函數(shù)解析式，然后再配方求頂點坐標(biāo)，這樣就可以求出最值.

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最值問題可以分為兩大類：一大類是代數(shù)中某些量、式子的最大值或最小值；在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常碰到帶有“最”字的問題，如投入最少、效益最大、材料最省、利潤最高、路程最短等。我們可把這一大類統(tǒng)稱為代數(shù)類最值問題，它可分為代數(shù)式的最值、有關(guān)數(shù)論的最值、有關(guān)方程未知數(shù)與函數(shù)變量的最值等三小類，一大類是幾何圖形中按一定規(guī)律運動的元素，在一定的范圍內(nèi)變化而與它有關(guān)的某個量也隨之變化，有時，這個變化的量存在最大值或最小值。我們可把這一大類統(tǒng)稱為幾何類最值問題，它可分為有關(guān)角度的最值、有關(guān)線段（距離）的最值、有關(guān)面積的最值、某些幾何量的統(tǒng)計最值等四小類。

數(shù)學(xué)中兩大研究對象“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素。數(shù)形結(jié)合能力的提高，有利于從形與數(shù)的結(jié)合上深刻認(rèn)識數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)，有利于扎實的打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，有利于數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高，同時必然促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。本文對“數(shù)”、“形”以及數(shù)形結(jié)合等方法在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中的應(yīng)用作一些探討。

一、用“數(shù)”的方法求最值問題

用配方法求代數(shù)式的最值，通常是對一個一元二次多項式而言的，即滿足ax2+bx+c（a、b≠0）的形式?；舅悸肪褪歉鶕?jù)完全平方公式用配方法配成一個完全平方式，然后根據(jù)任何一個數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)0來求它的最值。舉一個簡單的例子說明：

例1：求代數(shù)式x2-4x+5的最小值。

分析：代數(shù)式x2-4x+5這是一個一元二次多項式，可以通過配方，再根據(jù)一個數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，便可以求得最值。

解：x2-4x=（x-2）2-4

x2-4x+5=（x-2）2+1

（x-2）2≥0

當(dāng)x=2時有最小值，最小值為0+1=1

對于復(fù)雜的式子同樣也適用，比如求代數(shù)式2x2-3x-5的最值。

分析：用同樣的方法對2x2-3x進(jìn)行配方，得■x-■■-■■

最后就可以得出當(dāng)■x=■即x=■時，原式有最小值，最小值為0-■=-■。

思考問題：如果把一個一元二次多項式改為二元二次多項式，要求出它的最值的話，這種方法是否仍然適用？

二、用“形”的方法求最值問題

對稱是一種客觀存在的，大千世界，許多事物都具有某些對稱性，對稱給人們以和諧均衡的美感，在平面幾何中，對稱更是一種思想方法，利用對稱性及“兩點之間，線段最短”等性質(zhì)來解決最值問題，是數(shù)學(xué)中的重要的思想方法，運用對稱性解決問題，這種方法在求值中常常顯示出其他方法不可代替的優(yōu)越性。它既可以減少一些繁瑣的計算，使解題方法簡潔明快，又可以拓展學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

1.點關(guān)于一條直線的對稱問題

例：問題：一天，天氣很熱，小明想回家，但小狗想到河邊去喝水。有什么辦法能讓小明帶小狗到河邊喝上水，同時回家又最近？分析：把這一生活問題數(shù)學(xué)化，設(shè)小明與小狗在A處，家在B處，小河為L，小明要在直線L上找一個點P（小狗在P處飲水），使得AP+BP最短。（如圖所示）設(shè)L上的P點為小狗飲水處，這個問題就轉(zhuǎn)化成求AP+BP的最小值，也就是數(shù)學(xué)中的最值問題。如圖，我們作點A關(guān)于L的對稱點A/，連結(jié)A/B交L于點P，則點P即為所求。

知識介紹：兩條線段之和最短，往往利用對稱的思想，把兩條線段的和變?yōu)橐粭l線段來研究，利用兩點之間的線段最短，解決了最值問題，最終便可以得出結(jié)果。此例利用對稱性把折線APB化成了易求的另一條最短路線即直線段A′B，所以這種方法也叫做化直法，其他還有旋轉(zhuǎn)法、翻折法等。

2.利用菱形的對稱性進(jìn)行轉(zhuǎn)化

例：在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AB的中點，F(xiàn)是AC上一動點，則EF+BF的最小值為多少？

分析：利用“兩點之間，線段最短”來做，要求出EF+BF的最小值其實就是要把這兩條線段轉(zhuǎn)化在一條直線上。剛好由于菱形對角連線兩邊對稱，所以線段AB的中點E和線段AD的中點M關(guān)于線段AC對稱即MF=EF。連接BM交AC于點F，線段MB即為MF+FB的最小值。

解：取線段AD的中點M，連接BM

四邊形ABCD是菱形

AB=AD

又∠DAB=60°

ABD是等邊三角形

又點M為AD的中點

ABM為直角三角形

又點E和點M關(guān)于AC對稱

MF=EF，EF+BF=MF+BF

在RtABM中， MB=AB×sin60o=6×■=3■

EF+FB的最小值等于MB的長度，是3■。

三、用數(shù)形結(jié)合法求最值問題

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模型呈現(xiàn)：如圖1，圓外一點與圓上任意一點聯(lián)結(jié)所成的線段中PA最長，PB最短（其中PA、PB所在的直線經(jīng)過圓心O）.有了這種方法能使很多最值問題中的較難問題得到圓滿解決.

案例1：如圖2，點E為正方形ABCD的邊AD上的動點，過點A作AHBE于點H，若正方形的邊長為4，則線段DH的最小值是多少？

分析：由AHBH可知，∠AHB始終為90°，因此點H在以AB為直徑的F上運動，此時點D為F外一點，所以可利用圓外一點到圓上的點的最遠(yuǎn)距離和最近距離模型（圖1），聯(lián)結(jié)DF交F于點H（如圖3），此時DH最小.

思考：本題學(xué)生的解答正確率其實并不高，關(guān)鍵在于學(xué)生不容易發(fā)現(xiàn)動點H的運動路徑是以AB為直徑的圓.那么如何才能在看似無圓的題設(shè)中準(zhǔn)確找到圓模型呢？本題經(jīng)驗告訴我們，直角三角形的直角頂點在以斜邊為直徑的圓上，故看到直角，容易找到圓模型.

經(jīng)驗利用1：在正方形ABCD中，動點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動.

（1）如圖4，當(dāng)點E自D向C，點F自C向B移動時，連接AE和DF交于點P，請你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖5，當(dāng)E，F(xiàn)分別移動到邊DC，CB的延長線上時，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明）

（3）如圖6，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；

（4）如圖7，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動時，連接AE和DF交于點P，由于點E，F(xiàn)的移動，使得點P隨之運動，請你畫出點P運動路徑的草圖.若AD=2，試求出線段CP的最小值.

分析：（1）、（2）、（3）中AEDF（證明略）.（4）根據(jù)已知條件得AEDF，∠APD始終為90°.因此根據(jù)案例1的經(jīng)驗不難發(fā)現(xiàn)點P在以AD為直徑的圓上運動，記圓心為點O，連接OC與圓交于點P，利用圓外一點到圓上的點的最遠(yuǎn)距離和最近距離這一結(jié)論，得到此時CP為最小.

經(jīng)驗利用2：設(shè)a為實數(shù)，已知直線l：y=ax-a-2，過點P（-1，0）作直線l的垂線，垂足為M.點O（0，0）為坐標(biāo)原點，則線段OM長度的最小值？

分析：本題共有兩大難點：第一難點是這條直線無法確定，但可以肯定的是必經(jīng)過A（1，-2），第二難點是怎么發(fā)現(xiàn)圓模型.我們發(fā)現(xiàn)直線無論怎么變，∠PMA始終為直角，這樣根據(jù)案例1的經(jīng)驗，以AP為直徑的圓就形成，點M始終在以AP為直徑的圓上，利用圓內(nèi)一點與圓的最近距離和最遠(yuǎn)距離這一結(jié)論確定了OM的最小值.

經(jīng)驗拓展：如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），B（3，0），C（0，3 ），點D是第一象限的一點，滿足∠ADB=30°，則線段CD的最小值？

分析：本題中沒有明顯的圓模型，也沒有同案例1一樣的隱含圓模型的直角，但∠ADB恒為30°，可以看成一個30°圓周角，同樣可以找到圓模型.由于圓周角∠ADB=30°，故對應(yīng)的圓心角∠AMB=60°，M就是以AB的長為半徑，經(jīng)過A，B兩點的圓，同樣可以利用圓外一點到圓上的點的最遠(yuǎn)距離和最近距離模型（圖1），最終確定CD的最小值.

推廣：當(dāng)某個角的大小為恒值時，該角頂點必在以該角為圓周角的圓上.特殊的，當(dāng)該角為直角時，則該直角頂點在以該直角所對斜邊為直徑的圓上.

案例2：如圖11，已知拋物線y=- （x-1）（x-7）與軸交于A、B兩點，對稱軸與拋物線交于點C，與x軸交于點D，C的半徑為2，G為C上一動點，P為AG的中點，則DP的最大值？

分析：這一問題已經(jīng)明確有圓了，但怎樣利用圓的模型解決？很明顯，所求的線段PD沒有任何一個點在圓上，沒法直接利用本模型.不難發(fā)現(xiàn)D為線段AB的中點，結(jié)合條件“P為AG中點”，我們可以聯(lián)結(jié)BG，則PD構(gòu)成ABG的中位線，利用中位線的性質(zhì)PD= BG可將PD最長轉(zhuǎn)換為BG最長.B為圓外定點，G為圓上動點，利用圓外一點到圓上的點的最遠(yuǎn)距離和最近距離模型可將這個問題完滿解決.

經(jīng)驗利用：如圖12，二次函數(shù)y=a2x+bx+c（a≠0）的圖像交x軸于點A（-1，0），B（4，0），交y軸于點C（0，2），過B，C畫線直線，并聯(lián)結(jié)AC.

（1）求二次函數(shù)的解析式和直線BC的解析式；

（2）點F是線段BC上的一點，過點F作ABC的內(nèi)接正方形DEFG，使得邊DE落在x軸上，點G在AC上，GF交y軸于點M.

①求該正方形的邊長；

②將線段EF延長，交拋物線于點H，那么點F是EH的中點嗎？請說明理由.

（3）在（2）的條件下，將線段BF繞點B旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，點P始終為CF為中點，請直接寫出線段OP的最大值.

分析：（1）（2）略.第（3）問沒有明顯的圓模型，看似與圓無關(guān)，很多學(xué)生面對這個問題無從下手，其實將線段BF繞點B旋轉(zhuǎn)，可以根據(jù)圓的定義發(fā)現(xiàn)一個以B為圓心，BF為半徑的圓，F(xiàn)始終在這個圓上，圓模型出現(xiàn)了，但同案例2一樣，點O、點P均不是圓上的動點.從條件“點P始終為CF為中點”出發(fā)，根據(jù)案例2中利用中點構(gòu)造中位線實現(xiàn)線段轉(zhuǎn)換的經(jīng)驗，不妨作C關(guān)于X軸的對稱點C′，連接OP，C′F（如圖13），發(fā)現(xiàn)OP是三角形CC′F的中位線，因此把OP的最小值轉(zhuǎn)化成了C′F的最小值，利用圓外一點到圓上的點的最遠(yuǎn)距離和最近距離這個結(jié)論，這個問題迎刃而解.

綜合應(yīng)用：如圖14在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將AMN沿MN所在的直線翻折得到A′MN，連接A′C.則A′C長度的最小值？

篇6

1 幾何畫板的直觀性

傳統(tǒng)的幾何課堂只能由教師“手工”完成，許多知識由于條件限制講不透，對學(xué)生的空間想象能力要求較高，導(dǎo)致很多學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，對幾何的學(xué)習(xí)失去興趣?，F(xiàn)在有了幾何畫板，情況就完全不一樣了，它能夠準(zhǔn)確、動態(tài)地表現(xiàn)幾何問題，讓學(xué)生在直觀演示中體會幾何的奧秘。

如在教授三角形的三條線即中線、角平分線、高是否交于同一點這個問題時，在傳統(tǒng)的教學(xué)中只能靠教師精確地畫圖，有一點兒誤差的話，結(jié)果就出不來了。如果利用幾何畫板就不同了，可以先在畫板上任取三個點，然后用線段把它們連起來組成一個三角形。這時，任意拉動其中的一個點，雖然圖形的大小、位置會發(fā)生變化，但形狀一定還是三角形。接著在幾何畫板中分別構(gòu)造出三角形的三條中線、三條高、三條角平分線，先讓學(xué)生觀察是否交于一點？結(jié)果是肯定的。這時再拉動其中任一點時，三角形的形狀同樣會發(fā)生變化，但三條中線、高、角平分線仍然交于一點。這樣就可以在圖形的變化中觀察到不變的規(guī)律，加深學(xué)生對這一性質(zhì)的理解。

再比如在講授四邊形的內(nèi)角和時，通常的做法是讓學(xué)生自己動手畫一個四邊形，然后用量角器度量計算和，很有局限性。如果利用幾何畫板軟件畫任意一個四邊形，量出它的各內(nèi)角的度數(shù)并計算它們的和，隨后拖動頂點改變[第一 ww w .dylw.NET提供寫作論文和論文寫作的服務(wù)]所畫四邊形的形狀，這時學(xué)生會觀察得到各角的度數(shù)雖然發(fā)生變化，但是其內(nèi)角和始終等于360°，從而很自然地得出“四邊形內(nèi)角和等于360°”這一結(jié)論。而且讓學(xué)生體會了數(shù)學(xué)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。

2 幾何畫板的動態(tài)性

傳統(tǒng)的幾何教學(xué)學(xué)生學(xué)得不好，關(guān)鍵在于其圖形的抽象性。學(xué)生對于由圖形語言轉(zhuǎn)化成幾何語言感到很困難，往往是胡寫一通，過程也非常不規(guī)范。在傳統(tǒng)的教學(xué)模式下，教師通常是利用三角板、直尺、圓規(guī)等工具用粉筆在黑板上做出需要的圖形，但這樣的圖形是固定的、死板的，許多學(xué)生由于缺乏空間想象能力跟不上課堂節(jié)奏，所以導(dǎo)致幾何越學(xué)越差。但利用幾何畫板來輔助教學(xué)，可以使“出示的圖形更靈活，展現(xiàn)的圖形更豐富，而且規(guī)范、直觀”。

如在講授軸對稱圖形和中心對稱圖形這一課題時，雖然通過觀察現(xiàn)實生活中的典型圖片，學(xué)生對軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念非常熟悉，可是真正判斷的話還是有一定的困難，因為學(xué)生很難想象這個圖形翻折后或者旋轉(zhuǎn)180°之后是什么情況。一些教師會含糊地講講了事，使學(xué)生還是一頭霧水，越聽越不懂。這時如果利用幾何畫板，把一個圖形是怎樣沿著某一條直線翻折過來，然后直線兩旁的部分是怎樣重合或不重合這個動態(tài)的過程展示給學(xué)生，學(xué)生就會徹底地理解這些圖形所具備的特點。當(dāng)然在講授旋轉(zhuǎn)、平移時也可以借助于幾何畫板演示其動態(tài)過程，以便幫助學(xué)生理解掌握。

在講授三角形的中位線這一節(jié)時，傳統(tǒng)的教學(xué)方法是教師在黑板上畫上一個三角形，做出中位線，然后讓學(xué)生觀察得出“三角形的中位線平行于第三條邊并等于第三條邊的一半”，再加以證明。運用幾何畫板，教師就可以事先做出一個三角形及其中位線，在幾何畫板上顯示各邊和中位線的長度，隨后讓學(xué)生拖動三角形的任一頂點。這時中位線的位置在動態(tài)變化，各邊和中位線的長度也在動態(tài)變化。這個演示過程體現(xiàn)了從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生觀察這一動態(tài)變化過程中的不變關(guān)系、不變量，學(xué)生通過這一動態(tài)學(xué)習(xí)直觀地感受到知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程。

3 幾何畫板幫助理解動點問題

現(xiàn)在中考的一個熱點問題就是動點問題，這種問題僅僅靠題目中出現(xiàn)的固定圖形根本解決不了，還得看學(xué)生對圖形的直覺能力以及從變化中看到不變實質(zhì)的數(shù)學(xué)洞察力。動點問題一直是數(shù)學(xué)求函數(shù)值、最值問題時學(xué)生較難解決的一類題目。學(xué)生面對圖形，往往想到的只是圖形里面所畫的固定點，想不到還有別的情況，體現(xiàn)不出動點的動性。幾何畫板的主要優(yōu)勢就是能夠使靜態(tài)變?yōu)閯討B(tài)，抽象變?yōu)樾蜗?，利于抽象思維能力的培養(yǎng)。

在實際教學(xué)中，運用幾何畫板解決動點問題最典型的應(yīng)該是函數(shù)部分，而且函數(shù)是整個初中數(shù)學(xué)的命脈，也是學(xué)生最難以理解的內(nèi)容。如在研究一次函數(shù)圖象時，可以先讓學(xué)生自己猜想k、b對函數(shù)圖像的影響，然后教師結(jié)合幾何畫板演示，拖動圖像讓k、b的值發(fā)生變化，學(xué)生觀察圖像有何特點？學(xué)生通過觀察會很容易地得出結(jié)論。而且通過這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷了猜想、探索、觀察、驗證的經(jīng)歷，加深了學(xué)生印象，并提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

4 利用幾何畫板，讓教學(xué)活動更自由

在平時的教[第一 ww w .dylw.NET提供寫作論文和論文寫作的服務(wù)]學(xué)過程中，教師常常有這樣一個困惑：在課堂教學(xué)中出現(xiàn)學(xué)生的思考順序與自己提前預(yù)設(shè)的順序不一致的時候，教師往往牽著學(xué)生的鼻子走，會努力將學(xué)生的思路引到所預(yù)設(shè)環(huán)節(jié)中來，但這樣的做法會不利于學(xué)生的思考，學(xué)生當(dāng)時可能會按照教師的思路往下走，但是在學(xué)生的腦海中始終在思考“為什么我的回答不行呢”？如果運用幾何畫板就可以有效地克服這個問題。

篇7

關(guān)鍵詞：輔助圓；直角；同一端點出發(fā)的幾條線段長相等；兩個角成倍半關(guān)系；等腰三角形

在平面幾何中，如果沒有圓，就沒有幾何的豐富多彩。圓在數(shù)學(xué)的許多方面都有著廣泛的應(yīng)用，其中一種常見的應(yīng)用就是利用輔助圓來解題。輔助圓是一種重要的解題工具，如巧妙地使用它，就能建立起問題的條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，從而化隱為顯，找到解題的切入點。如何想到作輔助圓，如何添加輔助圓，如何運用輔助圓，主要還是能否從條件中看出本質(zhì)。在這里舉例說明幾個添加輔助圓的常見方法：

一、當(dāng)遇到直角時想到：直角圓周角所對的弦為直徑，可以作出定圓

例1 如圖1，在邊長為正方形ABCD中，動點E、F分別以相同的速度從D、C兩點同時出發(fā)向C和B運動（任何一個點到達(dá)即停止）。在運動過程中，線段CP的最小值為_______。

此題極難解決。數(shù)據(jù)讓喜歡猜題目答案的人無從下手。比較常見的做法是建立平面直角坐標(biāo)系求出P點的坐標(biāo)，用兩點間的距離公式求PC。明顯計算量大而且難以把PC的長表示為常見的函數(shù)來求最值。由題意知ADE≌DCF，由全等三角形的性質(zhì)可得∠APD=90°，定線段AD=，由∠APD=90°想到點P在以AD為直徑的圓上。如圖2，點C在O外，C到圓上的點的距離的最小值為OC-R，即。

例2 如圖3，矩形ABCG（AB

A.0個 B.1個 C.2個 D.3個

由K型圖想到相似可以解決。但是相似有兩種情形，由于本題沒有數(shù)據(jù)，相似的比例式不好寫。設(shè)未知數(shù)對于部分學(xué)生有難度，而本題是存在性問題確定個數(shù)，可以更簡單一點。

由兩個矩形是確定的，連接AE，則AE是固定的線段，∠APE為直角，所以想到以AE為直徑作O，只要P在O上又在BD上就能保證∠APE為直角。如圖可以得知P點有兩個位置符合題意。

小結(jié)：上述兩題都是兩個定點一個動直角問題，作出兩定點為直徑的圓，再利用圓的性質(zhì)解題。

延伸：當(dāng)某一個動角的大小固定也可以想到同弧所對的圓周角相等，也可以構(gòu)造圓。

二、由同一端點出發(fā)的幾條線段長相等想到：圓上的點到圓心的距離都是半徑，都相等

例3 如圖4，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD的度數(shù)為_______。

從ABC，ACD，ABD為等腰三角形著手可以做出此題。設(shè)∠CBD=2∠BDC=2x，∠ABD=y，則∠ADB=y，∠ADC=x+y=∠ACD，∠ACB=2x+y，所以2（2x+y）+44°=180°，2x+x+（2x+y+x+y）=180°， x=22°，y=24°，∠CAD=180°-2（22+24）°=88°。

很明顯數(shù)量關(guān)系難找，也容易出錯。如果仔細(xì)看題，發(fā)現(xiàn)AB=AC=AD。如果以A為圓心，AB為半徑作圓，則B、C、D三點都在A上，∠BAC=44°∠BDC=22°，∠CBD=2∠BDC=44°∠CAD=88°。這樣做簡單、快捷、易懂。

例4 如圖5，在ABC內(nèi)有一點D，且DA=DB=DC，若∠DAB=25°，∠DAC=35°，則∠BDC的大小是（ ）。

A.70°

B.110°

C.120°

D.50°

此題也可用三角形知識來求解。現(xiàn)在由DA=DB=DC可想到，根據(jù)圓的定義，以D為圓心，DA為半徑作D，點A、B、C都在D上，∠BAC=（25+35）°，利用同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，可得∠BDC=120°，故而選C。

小結(jié)：這兩題都有明顯的公共端點的三條線段相等的特征，可以利用圓的定義來作圓，再用圓的知識解題。

三、當(dāng)線段的同側(cè)所對的兩個角成倍半關(guān)系時想到：同弧所對的圓周角是圓心角的一半

例5 如圖6，在ABP中，PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC與PB交于點D且PB=5，PD=3，則AD?DC等于（ ）。

A.6

B.8

C.15

D.16

由PA=PB，∠APB=2∠ACB想到：以P為圓心，PA為半徑作P。由∠APB=2∠ACB知點C在P上，延長BP交P于點E，連接AE，利用圓中的相似可求出AD?DC的值。

解：以P為圓心，PA為半徑作P，由∠APB=2∠ACB知點C在P上，延長BP交P于點E，連接AE則由∠AEB=∠ACB，∠ADE=∠BDC得ADE∽BDC，AD?DC=BD?DE=（5-3）（5+3）=16。

小結(jié)：此題中有兩個要素可以聯(lián)想到構(gòu)造圓：①PA=PB；②∠APB=2∠ACB。善于發(fā)現(xiàn)問題的條件和我們所學(xué)知識的聯(lián)系，可以激發(fā)“靈感”，從而巧解問題。

四、在平面直角坐標(biāo)系中確定等腰三角形的個數(shù)時可以想到：構(gòu)造圓，利用圓的半徑相等來解決

例6 如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A點坐標(biāo)是（3，3），在坐標(biāo)軸上確定點P，使AOP為等腰三角形，則符合條件的點P共有_______個。

分析：在平面直角坐標(biāo)系中，由O、A兩點固定知等腰AOP的一邊固定。OA可以作為底，以也可作為腰。等腰三角形中有兩相等的邊，所以聯(lián)想到圓的半徑相等這一性質(zhì)，通過構(gòu)造圓來解決。

分三種情況來考慮：①當(dāng)OA為腰，A為頂角頂點時，以A為圓心，OA為半徑作A，A與y軸和x軸各有一個符合要求的點；②當(dāng)OA為腰，O為頂角頂點時，以O(shè)為圓心，OA為半徑作O，O與y軸和x軸各有兩個符合要求的點；③當(dāng)以O(shè)A為底邊時，作OA的中垂線交y軸和x軸各有一個點。綜上所述，符合條件的點共有8個。

小結(jié)：在解決平面直角坐標(biāo)系中等腰三角形的存在性和個數(shù)問題時，圓能起到快捷直觀的作用，而且可以做到不重復(fù)、不遺漏。

圓是初中平面幾何中的基本圖形，它十分完美。圓的性質(zhì)應(yīng)用十分廣泛，可以說是魅力無窮。上述問題的條件中都沒有出現(xiàn)圓，但是在解題過程中構(gòu)造了圓，利用圓的有關(guān)性質(zhì)，建立起已知條件和所求問題之間的聯(lián)系，從而圓滿巧妙地解決了問題。

參考文獻(xiàn)：

1.初中數(shù)學(xué)教與學(xué).

2.中國數(shù)學(xué)教育.