導(dǎo)語(yǔ)：如何才能寫(xiě)好一篇逆向思維的訓(xùn)練，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

一、定義教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

教科書(shū)中，作為定義的數(shù)學(xué)命題，其逆命題往往是成立的。因此，學(xué)習(xí)一個(gè)新概念，如果能從逆向切入，學(xué)生不僅能對(duì)概念辨析得更清楚，理解得更透徹，而且還能培養(yǎng)學(xué)生雙向考慮問(wèn)題的良好習(xí)慣。如在向量教學(xué)中，關(guān)于向量垂直定義為：

非零向量a、b，若ab，則a?b=0。

反過(guò)來(lái)，對(duì)非零向量如果a?b=0，是否有ab？

又如，逆用方程根的定義解下列兩題，比用一般方法要簡(jiǎn)捷。

例1：①解方程（7-4√3）x2-7x+4√3=0。

因?yàn)?-4√3-7+4√3=0，所以1是此方程的一個(gè)根，設(shè)另一根為x2，則1?x2= ，故x2= 48+28√3。

②已知a、b為不相等的實(shí)數(shù)，且a2=7-3a，b2=7-3b，求

的值。顯然，a、b是方程x2=7-3x的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系即可解之。

二、公式教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)中的公式都是雙向的，然而很多學(xué)生只會(huì)從左到右使用，對(duì)于逆用往往不習(xí)慣。在公式教學(xué)中，應(yīng)注意強(qiáng)調(diào)公式的正用和逆用、聚合與展開(kāi)。

例2：求sin（-3x）cos（-3x）-cos（+3x）sin（+3x）的值。

分析：該題基本符合sin（α+β）展開(kāi)式結(jié)構(gòu)，只是角度不符，但 -3x與 +3x、 -3x與 +3x恰是余角關(guān)系。

解：原式=sin（-3x）cos（-3x）-sin（-3x）cos（-3x)

=sin（ - ）=。

例3：已知

，求sin2α的值。

分析：本題很自然地去逆向思考2α的來(lái)源，結(jié)合已知的兩種復(fù)合角α-β與α+β，不難看出已知角與解題目標(biāo)角間的關(guān)系：

2α=（α+β）+（α-β）

解：

sin（α-β）= √1-cos2（α- β）= ，cos（α+β）=- 。

sin2α=sin〔（α+β）+（α-β）〕=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=-。

在公式的應(yīng)用教學(xué)中，有意識(shí)地進(jìn)行雙向訓(xùn)練，可起到事半功倍之效。

三、運(yùn)算法則在教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

在運(yùn)算法則教學(xué)中進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練，有利用學(xué)生對(duì)法則的掌握，在教學(xué)中要反復(fù)訓(xùn)練，如集合教學(xué)中：

如果A是B的子集，那么A∩B=A，A∪B=B，可列舉一些逆向應(yīng)用的例子。

例4：若集合A={1，2，3，4}，A∩B={1，2}，B=？答案唯一嗎？A={1，2，3，4}，A∪B={1，2，3，4，5}， B=？答案唯一嗎？

如此多角度、多向思考問(wèn)題，對(duì)思維水平的提高很有益處。

四、解題教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

解題能力是學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的體現(xiàn)，解題的首要環(huán)節(jié)是審題，只有審清了題設(shè)與題設(shè)、題設(shè)與結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系，才能找到解題切入點(diǎn)，從而使解題順暢。逆向思維在解題中具有舉足輕重的作用，應(yīng)予以重視。

例5：已知拋物線y=mx2-1上存在著以直線 x+y=0為對(duì)稱軸的兩個(gè)點(diǎn)，求m的取值范圍。

分析：為了求得m的取值范圍，逆向思考條件中“兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)”與直線、與拋物線的內(nèi)在關(guān)系，即①關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱；②均在拋物線y=mx2-1上；③兩點(diǎn)的存在性。

解：P，Q兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，可設(shè)P（x0，y0）， Q（-y0，-x0），又P，Q

y0=mx02-1……（1）

-x0=my02-1……（2）

兩式相減得：（x0+y0）[m（x0-y0）-1]=0。

又x0+y0≠0，m（x0-y0）-1=0，即 y0=x0- ，代入（1）得：

mx02-x0+ -1=0，又P，Q是拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，故該二次方程有異根，則>0，解得m> 。

評(píng)析：分析思路運(yùn)用了“執(zhí)果索因”即逆向思維方法，這種方法在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用非常普遍，如平面幾何和立體幾何的證明題等等，教學(xué)中應(yīng)予以重視。

五、定理教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

不是所有定理都有逆定理，但好多定理的逆命題是成立的，甚至有些是教科書(shū)中明確的，如三垂線定理及逆定理，而有些定理的逆定理雖然教材中沒(méi)有明述，但作為逆定理在應(yīng)用，如二次方程的根與判別式的關(guān)系定理及韋達(dá)定理等，這些都是很好的教學(xué)例子，應(yīng)在教學(xué)中有意識(shí)地加以利用。

篇2

關(guān)鍵詞：逆向思維；受阻表現(xiàn)；訓(xùn)練；實(shí)施；策略

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2015）15-202-01

數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是智力的核心。逆向思維是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要法則，其特點(diǎn)表現(xiàn)在：善于從不同的立場(chǎng)、不同的角度、不同的側(cè)面去進(jìn)行探索，當(dāng)某一思路出現(xiàn)阻礙時(shí)，能夠迅速地轉(zhuǎn)移到另一種思路上去，從而使問(wèn)題得到順利解決。

一、阻礙學(xué)生逆向思維的因素

從教學(xué)形式看，最主要是教師在數(shù)學(xué)課的教學(xué)中，往往采用“建立定理--證明定理--運(yùn)用定理”這三部曲或采用“類型+方法”的教學(xué)模式，忽視了逆向思維的培養(yǎng)與訓(xùn)練，以致學(xué)生不能迅速而準(zhǔn)確地由正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維。

二、逆向思維受阻的具體表現(xiàn)

1、缺乏顯而易見(jiàn)的逆向聯(lián)想

由于學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，進(jìn)行了較多的是由此及彼的單向訓(xùn)練，而忽視了逆向聯(lián)想，這就造成了知識(shí)結(jié)構(gòu)上的缺陷和思維過(guò)程中頑固的單向定勢(shì)習(xí)慣。

2、混淆重要定理的正逆關(guān)系

對(duì)于運(yùn)用正逆關(guān)系的數(shù)學(xué)命題，學(xué)生經(jīng)?；煜}設(shè)與結(jié)論的順序。如：勾股定理的逆定理的運(yùn)用，“在ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，那么ABC是直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由?！睂W(xué)生認(rèn)為運(yùn)用的是勾股定理，理由是“AC2 + BC2 = AB2，52 +122 =132 ，ABC是直角三角形。”其實(shí)有“AC2 + BC2 = AB2”，已經(jīng)是直角三角形了，還要“52 +122 =132”干什么呢？

3、忽視正逆轉(zhuǎn)化的限制條件

如：已知……（條件），則……（結(jié)論） ；但反過(guò)來(lái)由結(jié)論推出“條件”就不全面了，遺漏了另一種情況。特別是對(duì)一些限制條件的反求，學(xué)生更是束手無(wú)策，如：當(dāng)cbc，則a

4、缺乏逆向變形的解決能力

如：計(jì)算 ，有些學(xué)生竟然對(duì)它進(jìn)行通分，卻不會(huì)用變形。

5、缺乏逆向分析的解題思路

學(xué)生在分析問(wèn)題時(shí)只習(xí)慣于從條件到結(jié)論，卻不會(huì)從結(jié)論出發(fā)去尋求解題思路，缺乏雙向思維解決問(wèn)題的能力。

三、逆向思維訓(xùn)練在教學(xué)中的實(shí)施

心理學(xué)家研究的結(jié)果表明，中小學(xué)的學(xué)生思維發(fā)展中所表現(xiàn)的思維方向和水平是不同的，最初只能是單向的，沒(méi)有逆向思維，以后才逐漸形成思維的可逆性和反復(fù)性。對(duì)于學(xué)習(xí)能力不同的學(xué)生，從正向思維序列轉(zhuǎn)到逆向思維序列程度也不同：一般地，能力較強(qiáng)的學(xué)生幾乎在建立正向思維的同時(shí)，就建立了逆向思維，只需稍加點(diǎn)撥；能力中等的學(xué)生，要建立逆向思維必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠?xùn)練；能力較差的學(xué)生，要形成這種逆向的心理過(guò)程是非常困難的，對(duì)于這些學(xué)生還是把重點(diǎn)放在正向思維的建立上，在鞏固了正向思維的基礎(chǔ)上，通過(guò)教師長(zhǎng)期多方面的引導(dǎo)和特別訓(xùn)練，才能逐步地接受逆向思維。本文從以下幾個(gè)方面探討如何在教學(xué)中實(shí)施逆向思維。

1、定義教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

作為定義的數(shù)學(xué)命題，其逆命題總是存在，并且是成立的。因此，學(xué)習(xí)一個(gè)新概念，如果注意從逆向提問(wèn)，學(xué)生不僅對(duì)概念辨析得更清楚，理解得更透徹，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成雙向考慮問(wèn)題的良好習(xí)慣。

2、公式教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)中的公式總是雙向的，可很多學(xué)生只會(huì)從左到右順用公式，對(duì)于逆用，尤其是利用變形的公式更不習(xí)慣。事實(shí)上，若能夠靈活地逆用公式，再解題時(shí)就能得心應(yīng)手，左右逢源。

在此應(yīng)特別注意兩點(diǎn)：第一、強(qiáng)調(diào)公式的順用和逆用，“聚合”和“展開(kāi)”。第二、逆用公式是求代數(shù)式的值、化簡(jiǎn)、計(jì)算的常用手段。

3、運(yùn)算法則教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)中的很多運(yùn)算都有一個(gè)與它相反的運(yùn)算作為逆運(yùn)算，如：加法和減法、乘法和除法、乘方和開(kāi)方都是互為逆運(yùn)算，彼此依存，共同反映某種變化中的數(shù)量關(guān)系。而且在同一級(jí)運(yùn)算中，可以互相轉(zhuǎn)化，如利用相反數(shù)的概念減法可以轉(zhuǎn)化為加法，利用倒數(shù)的概念可以轉(zhuǎn)化為乘法。

4、定理教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

不是所有的定理的逆命題都是正確的，引導(dǎo)學(xué)生探究定理的逆命題的正確性，不僅能使學(xué)生學(xué)到的知識(shí)更加完備，而且能激發(fā)學(xué)生去探索新的知識(shí)。勾股定理、一元二次方程根的判別式定理、韋達(dá)定理的逆定理都是存在的，應(yīng)用也十分廣泛。

四、逆向思維訓(xùn)練的實(shí)施策略

在學(xué)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣一些問(wèn)題，當(dāng)從正面考慮時(shí)會(huì)出現(xiàn)很多障礙，或者根本解決不了，而從反面著手，往往可以使問(wèn)題迎刃而解，再或者證明問(wèn)題的不可能性，等等都需要有非常規(guī)思路去解決。比如“正”難則“反”。

反證法是一種逆向思維的方法，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，是解數(shù)學(xué)題常用的方法。當(dāng)題目出現(xiàn)有“至少”或“至多”字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般采用反證法。

五、逆向思維的訓(xùn)練應(yīng)注意的問(wèn)題

實(shí)踐證明，在教學(xué)中，關(guān)注學(xué)生的逆向思維的訓(xùn)練，不僅能培養(yǎng)思維的靈活性、敏捷性、深刻性和雙向性，而且還能克服由單向思維定勢(shì)造成解題方法的刻板和僵化，以及不善于在新條件下獨(dú)立發(fā)現(xiàn)新方法、新結(jié)論等不足之處。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維值得說(shuō)明的是：首先，必須有扎實(shí)而豐富的基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法為前提，只有具備大量的知識(shí)信息，才能從事物的不同方向、不同聯(lián)系上去考慮問(wèn)題；其次，在教學(xué)中要充分注意類比、引申、拓廣、舉反例等多種思維方法的培養(yǎng)，使之形成習(xí)慣；再者，提倡變式教學(xué)，“模式化+變式”是逆向思維訓(xùn)練的高效率的形式之一；最后，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維的能力，必須量力而行，應(yīng)注意學(xué)生的可接受性，因?yàn)樵S多逆向問(wèn)題對(duì)中、下學(xué)生來(lái)說(shuō)，考慮起來(lái)還是比較困難的，該回避的還是不涉及為好，讓這些學(xué)生集中精力掌握好基本內(nèi)容；對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，對(duì)培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)興趣，拓廣思路，提高能力都起著十分重要的作用。

參考文獻(xiàn)：

篇3

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);逆向思維;培養(yǎng)策略;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

小學(xué)生邏輯思維能力較弱，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維需要循序漸進(jìn)的過(guò)程，部分學(xué)生思維運(yùn)動(dòng)性較強(qiáng)，即為創(chuàng)造性思維能力較強(qiáng)，學(xué)生存在思維能力差異。良好的思維訓(xùn)練具有很多作用。一是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維，克服順向思維解決問(wèn)題的困難;二是避免學(xué)生思維定式，提升學(xué)生思維靈活性;三是探尋學(xué)生思維弱點(diǎn)，強(qiáng)化學(xué)生思維的廣泛性和深刻性。由此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生逆向思維的訓(xùn)練與培養(yǎng)。

一、深化對(duì)互逆概念的理解

小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中概念較多，有很多概念涉及互逆、互為關(guān)系，如正比例和反比例中的數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，平行與垂直的互為關(guān)系，倍數(shù)與約數(shù)的相互關(guān)系，加減、乘除的互逆關(guān)系等。掌握這些概念中的互逆內(nèi)涵，不僅能掌握知識(shí)本身，還能奠定培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的基礎(chǔ)，對(duì)于學(xué)生思維發(fā)展非常重要。

二、引導(dǎo)學(xué)生善于逆向觀察

觀察與思考是思維的基礎(chǔ)，學(xué)生基于觀察展開(kāi)思考過(guò)程。引導(dǎo)學(xué)生逆向觀察，能推動(dòng)學(xué)生逆向思維。逆向與順向觀察都是強(qiáng)化學(xué)生思維能力的過(guò)程，逆向觀察指的是改變以往從左到右、從上到下的觀察順序，轉(zhuǎn)變方向、角度和思維模式，展開(kāi)反方向、反角度的觀察過(guò)程。比如：沒(méi)有示數(shù)的鬧鐘上指針顯示反向的45°，引導(dǎo)學(xué)生逆向觀察，離12點(diǎn)還差3個(gè)鐘頭，那么應(yīng)該是早上9點(diǎn)或晚上9點(diǎn)了。又如設(shè)計(jì)一張收支明細(xì)表，最后本月存下來(lái)7000元，問(wèn)這個(gè)月掙了多少錢(qián)。這就需要學(xué)生逆向觀察與運(yùn)算了。

三、加強(qiáng)學(xué)生逆向思維訓(xùn)練

克魯捷茨基表示，逆向思路中，思想會(huì)向著相反的方向運(yùn)動(dòng)。這里談到的相反方向的運(yùn)動(dòng)，指的就是逆向思維能力。學(xué)生將眼前看到的事物、過(guò)程、事實(shí)，和與之相反的事物、過(guò)程、事實(shí)聯(lián)想起來(lái)，產(chǎn)生出新的感悟，可以進(jìn)入不一樣的數(shù)學(xué)意境。加強(qiáng)學(xué)生的逆向思維訓(xùn)練，有助于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。如兩杯果汁共400ml，A杯多B杯少，A向B中倒入了40ml，兩杯一樣多了，問(wèn)最初A、B各多少升。這就需要學(xué)生反過(guò)來(lái)思考，一樣多后，A、B有多少升？平均后，A、B都有200ml，而B(niǎo)被加了40ml，所以之前為160ml，A給了B40ml，即少了40ml之后為200ml，若沒(méi)少，那么就是240ml了，得出沒(méi)倒前A、B分別有240ml、160ml。加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的逆向思維訓(xùn)練，是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的策略。

四、鼓勵(lì)學(xué)生解題逆用公式

小學(xué)數(shù)學(xué)中的公式，凡是用等號(hào)連接的都具有雙向性，存在互逆關(guān)系。公式為解題規(guī)律的抽象概括，可以說(shuō)，公式是建立模型后的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，數(shù)學(xué)公式的雙向性為學(xué)生提供了多樣化的思維方式，正向運(yùn)用可以得出問(wèn)題的結(jié)果，反向運(yùn)用也可解決更多的數(shù)學(xué)問(wèn)題。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)可以鼓勵(lì)學(xué)生解題逆向運(yùn)用公式，深化學(xué)生對(duì)公式的理解與掌握，訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)新思維、多元化解題思路。例如：圓柱體體積=底面積×高=π×半徑的平方×高，而2π半徑×高=側(cè)面積，也就是說(shuō)體積=側(cè)面積÷2×半徑。這3個(gè)要素中知道其中2個(gè)，就可以運(yùn)用逆向推導(dǎo)方法，得出未知項(xiàng)。即為側(cè)面積=體積×2÷半徑。乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c，能從左邊得出右邊，反之亦可。

五、激勵(lì)學(xué)生展開(kāi)逆推練習(xí)

逆推法也可以說(shuō)是還原法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也就是從題目中所給事情的結(jié)果分析出發(fā)，一步步還原最初事情的開(kāi)始。還原法需要運(yùn)用到題目的每個(gè)細(xì)節(jié)，按圖索驥、分析推理、追根究底，一直到問(wèn)題得到解決。運(yùn)用逆推法實(shí)施逆向思維訓(xùn)練，能夠激活學(xué)生思維，提升學(xué)生創(chuàng)新思維能力。

以五年級(jí)書(shū)本中的趣題作為例子，“李白街上走，提壺去買(mǎi)酒，遇店加一倍，見(jiàn)花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒，借問(wèn)此壺中，原有多少酒”。學(xué)生在趣味題目的激勵(lì)下，展開(kāi)逆推練習(xí)。三次遇到店和花，壺中酒為0。最后一次遇到花前壺中酒就為1斗，即為第3次遇到店前壺中為1/2斗，逆推得出第2次遇到花前為1/2+1=3/2斗，第二次遇店前3/2÷2=3/4斗，那么相同的第一次遇花即為3/4+1=7/4，最初壺中為7/8斗。

逆向思維屬于發(fā)散思維中較為重要的部分，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、思維發(fā)散能力，需要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生逆向思維能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)。引導(dǎo)學(xué)生善于從反方向思考、解決問(wèn)題，打破思維定式，養(yǎng)成從多角度、多方向解決問(wèn)題的習(xí)慣。教師有計(jì)劃、有目的地實(shí)施逆向思維訓(xùn)練，需要基于學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)、身心發(fā)展規(guī)律，關(guān)注學(xué)生思維興趣，挖掘?qū)W生思維潛力，科學(xué)調(diào)動(dòng)學(xué)生思維主觀能動(dòng)性，從而有效強(qiáng)化學(xué)生逆向思維能力。

參考文獻(xiàn)：

篇4

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)教學(xué) 逆向思維 能力培養(yǎng)

逆向思維是指從問(wèn)題的相反方向著手的一種思維。筆者從教十幾年，深感許多學(xué)生數(shù)學(xué)水平一直提不上來(lái)，有一個(gè)重要因素，即逆向思維能力薄弱，拘泥于順向、單向?qū)W習(xí)，死板套用公式、定理，缺乏創(chuàng)造能力、分析能力和開(kāi)拓精神。因此，在訓(xùn)練正向思維的同時(shí)，加強(qiáng)逆向思維的培養(yǎng)，猶如周伯通之“左右互搏”，可有效改變其思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維的靈活性、深刻性和雙向能力，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。筆者在培養(yǎng)學(xué)生逆向思維方面積極進(jìn)行了探索和嘗試，獲得了一定的成效，現(xiàn)歸納如下。

一、指導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀

很多學(xué)生，特別是那些處于中低層次水平的學(xué)生常問(wèn)筆者：“老師，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)為什么？”顯然，這個(gè)問(wèn)題不解決，逆向思維能力的培養(yǎng)無(wú)從談起。為此，筆者專門(mén)答復(fù)學(xué)生：“高考文理均考語(yǔ)、數(shù)、外三門(mén)功課，是因?yàn)樯鲜鋈T(mén)功課能概括地表現(xiàn)一個(gè)學(xué)生的能力，語(yǔ)文是鍛煉感性思維能力，外語(yǔ)是掌握工具，而數(shù)學(xué)是通過(guò)訓(xùn)練數(shù)學(xué)邏輯思維，進(jìn)而培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇运季S能力。”

這個(gè)答復(fù)讓學(xué)生耳目一新，筆者便趁機(jī)展開(kāi)，著重談思維能力的培養(yǎng)特別是逆向思維的培養(yǎng)，通過(guò)介紹逆向思維在日常生活、發(fā)明創(chuàng)造等方面的典型運(yùn)用，激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，為開(kāi)展逆向思維的訓(xùn)練奠定基礎(chǔ)。

二、幫助學(xué)生克服對(duì)正向思維的依賴

很多學(xué)生患有“正向思維”依賴癥，拿到題目，條件反射先設(shè)“x”，列出方程后，埋頭解方程，久之，解方程能力大大提高，但逆向思維能力嚴(yán)重不足，此類學(xué)生往往還自鳴得意，以為解方程乃“一招鮮、吃遍天”。

對(duì)此問(wèn)題，筆者在挑選習(xí)題時(shí)，故意挑選些解方程難度大的，“逼”學(xué)生通過(guò)逆向思維解決問(wèn)題，比如下面這道題：

第一天，往池塘中投入1單位面積綠藻，已知綠藻每過(guò)一天分裂一次（即池塘中綠藻第一天為1，第二天為2，第三天為4……），則第17天，該池塘正好布滿綠藻，問(wèn)何時(shí)綠藻布滿池塘面積的1/4？

題目出后，很多同學(xué)不假思索地就設(shè)綠藻單位面積為“x”，池塘面積為“S”，意圖通過(guò)解方程式x+2x+4x+…+216x=S，求出“x”與“S”關(guān)系后，再設(shè)所求天數(shù)為“y”，通過(guò)解方程式x+2x+4x+…+2x=（1/4）S，得到所求天數(shù)“y”。

顯然，上述方程式十分繁瑣，班級(jí)里幾位解方程“高手”都束手無(wú)策，筆者見(jiàn)已達(dá)目的，從容解答：第17天布滿池塘，那么第16天布滿池塘的一半，第15天則布滿1/4，符合題意。學(xué)生心悅誠(chéng)服。

筆者通過(guò)類似“綠藻問(wèn)題”，有效減少了學(xué)生對(duì)“正向思維”的依賴，加深了學(xué)生對(duì)“逆向思維”的理解。

三、采取各種方法開(kāi)展逆向思維基礎(chǔ)訓(xùn)練

培養(yǎng)逆向思維能力，夯實(shí)基礎(chǔ)非常重要。逆向思維能力的提高，必須建立在對(duì)概念、定義、公式、定理深入理解的基礎(chǔ)上，筆者在實(shí)踐中主要側(cè)重以下方面。

1.加強(qiáng)對(duì)概念、定義教學(xué)中反方向的思考與訓(xùn)練

數(shù)學(xué)概念、定義總是雙向的，在平時(shí)的教學(xué)中，往往習(xí)慣了從左到右的運(yùn)用，于是形成了思維定勢(shì)，如果逆用則感覺(jué)很不習(xí)慣。因此在概念、定義的教學(xué)中，除了常規(guī)應(yīng)用外，還引導(dǎo)學(xué)生反過(guò)來(lái)思考，使其能融會(huì)貫通，從而加深理解。

2.加強(qiáng)公式逆用的教學(xué)

數(shù)學(xué)公式可以從左到右，也可以從右到左，閃爍著“逆向思維”的光輝。因此，筆者注重?cái)?shù)學(xué)公式的逆運(yùn)用，當(dāng)講授完一個(gè)公式及其常規(guī)應(yīng)用后，“趁湯下面”，即舉一些公式逆應(yīng)用的例子，以此為抓手，開(kāi)展逆向思維教育，學(xué)生容易理解，也容易運(yùn)用。

3.加強(qiáng)逆定理的教學(xué)

每個(gè)定理都有它的逆命題，有的逆命題成立，即為逆定理。如：平行線的性質(zhì)與判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定等，加深對(duì)定理的理解和應(yīng)用，重視逆定理的教學(xué)應(yīng)用對(duì)開(kāi)拓學(xué)生思路、活躍學(xué)生思維大有益處。

4.結(jié)合證明題開(kāi)展逆向思維訓(xùn)練

每一道證明題都是很好的逆向思維訓(xùn)練題，給出條件和結(jié)論，求過(guò)程。筆者習(xí)慣讓學(xué)生從結(jié)論入手層層推導(dǎo)，直指已知條件。反證法是幾何中尤其是立體幾何中常用的方法。有的問(wèn)題直接證明有困難，可反過(guò)來(lái)思考，假設(shè)所證的結(jié)論不成立，經(jīng)層層推理，設(shè)法證明這種假設(shè)是錯(cuò)誤的，從而達(dá)到證明的目的。

四、摸索“逆向思維”教學(xué)新方法

通過(guò)上述訓(xùn)練，許多學(xué)生形成了逆向思維習(xí)慣，但筆者在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，還是有部分學(xué)生不能隨機(jī)應(yīng)變，靈活選用適合題目的解題方法。還是上述“綠藻問(wèn)題”，筆者稍作改動(dòng)，很多學(xué)生就解答錯(cuò)誤。

例如：上述“綠藻問(wèn)題”中，題目改為：若第一天投入2單位面積綠藻，則何時(shí)布滿水塘？

很多同學(xué)想當(dāng)然，拿到題目，照例不假思索，投入面積為原來(lái)的兩倍，時(shí)間自然為原來(lái)的1/2，回答8.5天。

其實(shí)，解法還是利用了“逆向思維”：

解法：已知第一天投1單位面積的話，第二天則分裂為2單位面積，……第17天布滿池塘，按題意，可將第二天分裂的2單位面積看成第一天投的2單位面積，所以答案為17-1=16，答：第16天。

篇5

關(guān)鍵詞：思維訓(xùn)練；創(chuàng)造性設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)魅力

有人曾這樣說(shuō)：音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫(huà)能賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)能使人獲得智慧，科學(xué)可以改善物質(zhì)生活，而數(shù)學(xué)能給予以上一切。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)容。而對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，訓(xùn)練有邏輯的思維能力，特別是逆向思維能力的訓(xùn)練是有一定的難度。解決此類問(wèn)題，往往要求學(xué)生牢固掌握邏輯性強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，清楚數(shù)量間的關(guān)系。但是，小學(xué)生年齡小，知識(shí)儲(chǔ)備和認(rèn)知水平有限。解決逆向思維的問(wèn)題，容易受到定性思維影響而存在困難，解答出錯(cuò)率很高，出現(xiàn)了教師教的辛苦，學(xué)生學(xué)得費(fèi)勁的結(jié)果。如何通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)加強(qiáng)學(xué)生逆向思維的訓(xùn)練，展現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力？一次教學(xué)活動(dòng)引發(fā)了我的思考。

教學(xué)片段：

在教學(xué)小學(xué)三年級(jí)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算后，我設(shè)計(jì)了這樣的情境問(wèn)題：王奶奶要給一塊長(zhǎng)10米，寬5米的長(zhǎng)方形菜地圍上柵欄，需要買(mǎi)多長(zhǎng)的柵欄？這個(gè)問(wèn)題學(xué)生迎刃而解。接著出現(xiàn)第二個(gè)情境：張叔叔買(mǎi)了50米長(zhǎng)的柵欄，正好給寬10米的長(zhǎng)方形菜地圍上，這塊菜地長(zhǎng)多少米？，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生嘗試解答這個(gè)問(wèn)題時(shí)很多學(xué)生覺(jué)得很難，不會(huì)做。于是，設(shè)計(jì)了 “畫(huà)數(shù)學(xué)”的教學(xué)活動(dòng)。

師：該怎樣計(jì)算長(zhǎng)方形菜地的長(zhǎng)呢？

生1：“用50米減去10米！”話音剛落就聽(tīng)到有異議。

生2：“應(yīng)該用50減去10乘2！”

師：“到底誰(shuí)對(duì)呢？大家討論一下吧！”

經(jīng)過(guò)同桌討論，很多學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該從用50先減去2個(gè)10，可還有一些學(xué)生很茫然。課堂上開(kāi)始了一次小小辯論會(huì)。

師：“為什么從50中減去2個(gè)10 ？”

生3解釋說(shuō)：“因?yàn)殚L(zhǎng)方形有2條寬，用50中減去10乘2就是減去2條寬，得到的30米就是長(zhǎng)?！?有的同學(xué)點(diǎn)頭同意。

生4：“30米不是長(zhǎng)”

師：“30米不是長(zhǎng)，是什么？”

生4急忙說(shuō)：“30米是兩條長(zhǎng)，除以2才是一條長(zhǎng)?！?/p>

聽(tīng)了幾個(gè)同學(xué)的發(fā)言，一些孩子們明白了，但我發(fā)現(xiàn)仍有一部分學(xué)生的眼神迷茫，完全沒(méi)有搞清楚剛剛思考的過(guò)程。

師：同學(xué)們，前面在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算時(shí)，大家用“畫(huà)”周長(zhǎng)的方法理解公式，老師發(fā)現(xiàn)你們非常喜歡這種方法。我建議大家試著再用“畫(huà)”的方法來(lái)思考這個(gè)問(wèn)題。

學(xué)生流露出好奇的表情，有的同學(xué)已經(jīng)掩蓋不住想要當(dāng)小老師的喜悅，高高舉起小手要進(jìn)行板演了。

我請(qǐng)了一位同學(xué)上臺(tái)，他在黑板上畫(huà)了一個(gè)長(zhǎng)方形，把數(shù)據(jù)寫(xiě)在圖上。然后說(shuō)：“從周長(zhǎng)50米里減去10乘2，就是減去兩條寬，30米就是剩下的兩條長(zhǎng)，?！蔽乙龑?dǎo)她擦除掉，讓大家一目了然看到剩下的就曬兩條長(zhǎng)。只見(jiàn)她用板擦輕輕擦去長(zhǎng)方形的兩條寬。接著說(shuō)：“30除以2就是一條長(zhǎng)?！敝灰?jiàn)她又擦掉一條長(zhǎng)。

師：“長(zhǎng)方形怎么只剩下一條長(zhǎng)了，你看明白了嗎？想想也像這樣一邊畫(huà)一邊算呢？

音剛落，很多同學(xué)已經(jīng)打開(kāi)本子開(kāi)心的畫(huà)畫(huà)了。同桌交流的時(shí)候，每個(gè)人都那么自信的比劃著、講解著，所有的孩子都明白了計(jì)算的道理。

這時(shí)，一個(gè)小男孩舉手了，他說(shuō)自己能“畫(huà)”出另一種方法。我請(qǐng)他上黑板講解。他先畫(huà)好一個(gè)長(zhǎng)方形，竟然用紅粉筆把一條長(zhǎng)和一條寬描成紅色，把剩下的一組描成了黃色。接著，輕輕地擦掉紅色一組，說(shuō)：“我先用50除以2等于25，算的是一條長(zhǎng)與一條寬的和是15米，再用15米減去寬10米，就是一條長(zhǎng)了?！蔽铱吹胶芏嗤瑢W(xué)都點(diǎn)頭稱贊，理解了便開(kāi)始動(dòng)手邊畫(huà)邊算了。

兩次“畫(huà)”數(shù)學(xué)之后，每個(gè)孩子 “畫(huà)”出了逆向思維問(wèn)題的解答過(guò)程，能夠總結(jié)出兩道題相同與不同之處，這道逆向思維的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單而有趣。之后，我布置的作業(yè)是根據(jù)今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容，自己編一道同類的題目，用“畫(huà)”的方法表示思考的過(guò)程并計(jì)算。作業(yè)交上來(lái)后，我欣喜的看到了每一份作業(yè)解答中的思維過(guò)程，全班38個(gè)學(xué)生掌握的很好！

教學(xué)反思：

回想教學(xué)過(guò)程，學(xué)生對(duì)逆向思維的問(wèn)題從開(kāi)始覺(jué)得困難到最后愛(ài)學(xué)、會(huì)學(xué)、善于表達(dá)，創(chuàng)造性的理解讓我不覺(jué)贊嘆，真是別樣的教學(xué)，有趣的數(shù)學(xué)！

一、依據(jù)兒童的身心特點(diǎn)，變式設(shè)計(jì)逆向思維的題目。

教學(xué)中，教師要準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生的身心特點(diǎn)，對(duì)課本練習(xí)創(chuàng)造性的再設(shè)計(jì)，適時(shí)改變題目進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練。如改變長(zhǎng)、寬、周長(zhǎng)的已知條件，讓學(xué)生清楚逆向思維的題目的數(shù)量關(guān)系，幫助孩子對(duì)周長(zhǎng)的知識(shí)有更深入的理解，引導(dǎo)學(xué)生善于動(dòng)腦，學(xué)會(huì)思考，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中不斷積累逆向思維的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生善于動(dòng)腦，學(xué)會(huì)思考，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握

二、妙用數(shù)形結(jié)合的思想，加強(qiáng)逆向邏輯思維的訓(xùn)練。

本節(jié)課我改變了傳統(tǒng)教學(xué)的講授法，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，采用“畫(huà)圖”呈現(xiàn)出周長(zhǎng)與長(zhǎng)、寬的關(guān)系，讓逆向思維的過(guò)程動(dòng)態(tài)化外顯，讓學(xué)生一目了然。這樣借助“形”表示數(shù)量間的關(guān)系，易于學(xué)生逆向思維的連貫性，幫助學(xué)生克服了理解中的難點(diǎn)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，課堂上留下了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題別樣的思考和有趣的方法。

三、善用師生合作交流，加強(qiáng)語(yǔ)言外化思維的訓(xùn)練。

動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中有時(shí)出現(xiàn)困惑、有時(shí)出現(xiàn)思維的間斷，這時(shí)，師生、生生間的對(duì)話溝通是答疑解惑的好方法。語(yǔ)言的交流就是思維的碰撞，思維穿上了語(yǔ)言的外衣，在加上數(shù)形結(jié)合的外在呈現(xiàn)，逆向思維的過(guò)程就生動(dòng)的展現(xiàn)在學(xué)生的面前，問(wèn)題的解答也就變的簡(jiǎn)單了。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要任務(wù)就是思維的訓(xùn)練，其中，逆向思維的訓(xùn)練日漸被老師們所重視。愛(ài)動(dòng)、愛(ài)說(shuō)的小學(xué)生的逆向思維訓(xùn)練，需要教師依據(jù)其身心特點(diǎn)，采用靈活多變的教學(xué)方法，設(shè)計(jì)有趣的變式題目，借助數(shù)形結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口的過(guò)程中理解逆向思維的過(guò)程，讓逆向思維的邏輯過(guò)程猶如涓涓細(xì)流從孩子的手中畫(huà)出，從口中緩緩流淌，讓枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)變成連貫，煥發(fā)童話般有趣的色彩，只有這樣，不但能使孩子們數(shù)學(xué)逆向思維得到訓(xùn)練，而且能感受到的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，讓別樣的教學(xué)展現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力，真是一舉多得。

參考文獻(xiàn)：

[1]《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]李伯玲，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生逆向思維訓(xùn)練 [J]；現(xiàn)代閱讀（教育版）；2011年11期.

篇6

一、逆向思維的有利作用

逆向思維是相對(duì)于順向思維而言的另一種思維形式,是發(fā)散思維的一種。它的基本特征是:從已有的思路反向去考慮和思索問(wèn)題。這種思維形式反映了思維過(guò)程的間斷性、突變性和反聯(lián)結(jié)性,是對(duì)思維慣性的克服。一般的學(xué)生從正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維是存在著一定的困難的,而有能力的學(xué)生在完成這種轉(zhuǎn)變時(shí)是迅速且自如的,這就是能力不同的學(xué)生在思維的運(yùn)動(dòng)性方面的素質(zhì)差異。這種思維的運(yùn)動(dòng)性,是創(chuàng)造性思維的一個(gè)重要組成部分,加強(qiáng)學(xué)生的逆向思維訓(xùn)練,是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的一個(gè)重要方面。從小學(xué)數(shù)學(xué)中看,逆向思維的作用主要表現(xiàn)為幾個(gè)有利于:(1)有利于排除順向思維中的困難,培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性;(2)有利于克服順向思維中的定式,培養(yǎng)思維的靈活性;(3)有利于挖掘順向思維中的弱點(diǎn),培養(yǎng)思維的深刻性。

二、逆向思維的訓(xùn)練方法

1.互逆概念。小學(xué)數(shù)學(xué)中有許多“互為”與“互逆”關(guān)系的概念,如“互為倒數(shù)”、“互為倍數(shù)與約數(shù)”、“加法與減法”、“乘法與除法”等。在教學(xué)中讓學(xué)生從正反兩面去思考與理解這些知識(shí),不僅對(duì)于學(xué)生掌握知識(shí)本身,還是對(duì)培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力,都具有十分重要的意義。

例如,①3的倒數(shù)是( );②1的倒數(shù)( );③16是( )倍數(shù);④( )的倒數(shù)是8;⑤()的倍數(shù)是8。

2.逆向觀察。觀察是思維的觸角,是培養(yǎng)學(xué)生思維的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)中逆向觀察與順向觀察都是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的體操,逆向觀察是改變過(guò)去的由上及下、由左到右的順序而進(jìn)行的。有目的、有意識(shí)地讓學(xué)生進(jìn)行逆向觀察,不但可以使學(xué)生全面地掌握知識(shí)和熟練地運(yùn)用知識(shí),而且能培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的習(xí)慣。

例如,在教學(xué)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時(shí)出示練習(xí)題:把四個(gè)相同的圓片分別平均分成2份、4份、8份、16份,并涂上了顏色。如果把每張圓片都看成單位“1”,請(qǐng)你把涂色的部分用分?jǐn)?shù)表示,這四個(gè)分?jǐn)?shù)所表示的面積都相等,即1/2=2/4=4/8=8/16。組織學(xué)生從左向右觀察,12的分子與分母都同時(shí)乘以2,則等于2/4;若都同時(shí)乘以4得4/8;若同時(shí)乘以8得8/16;可見(jiàn)分?jǐn)?shù)的分子與分母都同時(shí)乘以同一個(gè)不為零的數(shù),分?jǐn)?shù)的大小不變。再組織學(xué)生從右向左觀察,8/16的分子與分母都同時(shí)除以2,則等于4/8;若都同時(shí)除以4得2/4;若再同時(shí)除以8 得1/2;可見(jiàn)分?jǐn)?shù)的分子與分母都同時(shí)除以同一個(gè)不為零的數(shù),分?jǐn)?shù)的大小不變。通過(guò)順向與逆向觀察就可以總結(jié)出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

3.逆想訓(xùn)練。前蘇聯(lián)教育心理學(xué)家克魯捷茨基說(shuō)過(guò):“在一種逆向思路中,思想并不總是必須沿著完全相同的思路進(jìn)行,而只是向相反方向運(yùn)動(dòng)?！边@里指的“向相反方向運(yùn)動(dòng)”是逆聯(lián)想能力。逆想訓(xùn)練就是要求學(xué)生能由眼前的事物、事實(shí)或過(guò)程聯(lián)想到與之相反或相對(duì)立的另樣事物、事實(shí)或另種過(guò)程,從而進(jìn)入新的數(shù)學(xué)意境,產(chǎn)生新的領(lǐng)悟。

例如,某糧店有兩個(gè)倉(cāng)庫(kù),甲倉(cāng)庫(kù)存米是乙倉(cāng)庫(kù)存米的4 倍。當(dāng)乙倉(cāng)運(yùn)出5 噸米后,甲倉(cāng)存米則是乙倉(cāng)的6 倍,甲、乙兩倉(cāng)原來(lái)各有米多少噸?學(xué)生習(xí)慣于順著題意從倍數(shù)角度思考:5÷(6-4)=2.5(噸)(乙倉(cāng));2.5×4=10(噸)(甲倉(cāng)),這種解法顯然是錯(cuò)誤的。有的學(xué)生雖能看出作為一倍量的乙倉(cāng)存米數(shù)是變化的,卻又不知從何入手。具有逆聯(lián)想能力的學(xué)生就能自覺(jué)地調(diào)整思考方向,從變化的量逆想到不變的量,從而用甲倉(cāng)存米數(shù)5÷(1/4-1/6)=60為單位“1”的量,實(shí)現(xiàn)由“倍”到“率”的思路逆轉(zhuǎn),便能很快地求出甲倉(cāng)存米(噸),再求乙倉(cāng)原有存米為60÷4=15(噸)。

4.逆用公式。小學(xué)數(shù)學(xué)中的公式都是求周長(zhǎng)、面積、體積等。公式是解題規(guī)律的抽象概括,數(shù)學(xué)中的公式都具有雙向性,在正向應(yīng)用的同時(shí),加強(qiáng)公式的逆向應(yīng)用訓(xùn)練,不僅可以加深學(xué)生對(duì)公式的理解和掌握,培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力,還可以培養(yǎng)學(xué)生的雙向思維能力。

例如,學(xué)生掌握了三角形的面積之后,出示下列練習(xí)題:一塊三角形的塑料面積是90 平方厘米,它的高是10 平方厘米,這塊三角形塑料的底邊長(zhǎng)是多少厘米?

組織學(xué)生思索,三角形的面積=底×高÷2,可以逆推出三角形的底=面積×2÷高,由此可列式為90×2÷10=18(厘米)。

篇7

在自己長(zhǎng)期教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生由于受習(xí)慣性思維的影響，形成了思維定勢(shì)，造成在解題及思考問(wèn)題的過(guò)程中思維受阻，發(fā)揮不出自己的潛能，主要有下面幾種情況：

從教學(xué)形式看，最主要的是教師在數(shù)學(xué)課的教學(xué)中，往往采用“建立定理――證明定理――運(yùn)用定理”這三部曲或采用“類型+方法”的教學(xué)模式，忽視了逆向思維的培養(yǎng)與訓(xùn)練，以致學(xué)生不能迅速而準(zhǔn)確地由正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維.

從思維過(guò)程看，由正向思維序列轉(zhuǎn)到逆向思維序列是思維方向的重建，是從一個(gè)方面起作用的單向聯(lián)想轉(zhuǎn)化為從兩個(gè)方面都起作用的雙向聯(lián)想.這種轉(zhuǎn)化給學(xué)生帶來(lái)了一定的困難，另外，一種思維在其逆向思維過(guò)程中并不一定恰好重復(fù)原來(lái)的途徑，所以正向思維的訓(xùn)練并不能代替逆向思維的訓(xùn)練.

從思維能力看，學(xué)生的思維從直觀、具體的形象思維向抽象的邏輯思維轉(zhuǎn)化需要一個(gè)過(guò)程，學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的思維必然受到傳統(tǒng)的教學(xué)方法的約束；只具有機(jī)械的記憶和被動(dòng)的模仿，思維往往會(huì)固定在教師設(shè)計(jì)的框框之內(nèi)的定勢(shì)中，逆向考慮問(wèn)題的思維并不順暢.2 逆向思維受阻的具體表現(xiàn)

2.1 缺乏顯而易見(jiàn)的逆向聯(lián)想

由于學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，進(jìn)行較多的是由此及彼的單向訓(xùn)練，而忽視了逆向聯(lián)想，這就造成了知識(shí)結(jié)構(gòu)上的缺陷和思維過(guò)程中頑固的單向定勢(shì)習(xí)慣.

比如，證明：兩個(gè)平行平面中，一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面.很多學(xué)生無(wú)從下手，不知道要怎么表述.其實(shí)，逆用定義就可以了.設(shè)兩個(gè)平行平面為α、β，直線mα.因?yàn)棣痢桅拢驭痢搔?（平行平面的定義）.又因?yàn)閙α，所以m∩β=，所以m∥β（線面平行的定義）.

再比如，設(shè)三角形ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A（3，-1），角B，角C的平分線方程分別為x=0，y=x，則直線BC的方程是 .很多學(xué)生嘗試了很多方法，就是沒(méi)有想到逆用角的平分線性質(zhì)，其實(shí)因?yàn)閥=x為角C的平分線，則A對(duì)直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)A1（-1，3）一定落在直線BC上.因?yàn)閤=0為角B的平分線，則A對(duì)直線x=0的對(duì)稱點(diǎn)A2（-3，-1）一定落在直線BC上.由兩點(diǎn)求出BC所在直線為：2x-y+5=0.

2.2 混淆定義、定理的正逆關(guān)系

對(duì)于運(yùn)用正逆關(guān)系的數(shù)學(xué)命題，學(xué)生經(jīng)常混淆題設(shè)與結(jié)論的順序.比如，勾股定理的逆定理的運(yùn)用，“在ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，那么ABC是直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.”學(xué)生認(rèn)為運(yùn)用的是勾股定理，理由是“因?yàn)锳C2+BC2=AB2，所以52+122=132，所以ABC是直角三角形.”其實(shí)有“AC2+BC2=AB2”，已經(jīng)是直角三角形了，還要“52+122=132”干什么呢？

2.3 忽視正逆轉(zhuǎn)化的限制條件

比如，函數(shù)y=（a2-3a+3）ax是指數(shù)函數(shù)，則有a= .由指數(shù)函數(shù)定義知a2-3a+3=1同時(shí)a>0且a≠1，所以a=2.本題容易忽視指數(shù)函數(shù)y=ax的限制條件a>0且a≠1.

再比如，已知函數(shù)f（x）=log2（x2+ax-a）的值域?yàn)镽，求實(shí)a的取值范圍.

篇8

一、逆向設(shè)問(wèn)，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維的意識(shí)

在課堂教學(xué)中，教師除了對(duì)知識(shí)作正面講解外，還要經(jīng)常有意識(shí)地挖掘互逆因素，反向設(shè)問(wèn)，打破學(xué)生的思維定勢(shì)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的培養(yǎng)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用。

例如：在講絕對(duì)值的知識(shí)時(shí)，在對(duì)學(xué)生進(jìn)行正面的訓(xùn)練后可設(shè)計(jì)這樣的問(wèn)題：若|a|=4，則a=?搖?搖?搖?搖.

像以上可逆向思維考慮的問(wèn)題在初中教材中無(wú)處不在，教師如果有意識(shí)地去抓住，及時(shí)加以處理，就可促進(jìn)學(xué)生思維向多向發(fā)散，這無(wú)疑對(duì)其逆向思維的培養(yǎng)有積極的作用。

二、抓住定義的可逆性對(duì)學(xué)生時(shí)行逆向思維的培養(yǎng)

定義教學(xué)是初中教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，定義總是可逆的，具有性質(zhì)和判定兩方面的作用。在教學(xué)中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從正反兩個(gè)方面理解、運(yùn)用，對(duì)學(xué)生正確全面地理解定義和提高學(xué)生思維的靈活性都是有益的。

例如：對(duì)線段中點(diǎn)的定義可對(duì)學(xué)生進(jìn)行正反兩方面的訓(xùn)練。

（1）C為AB的中點(diǎn)（已知）

AC=BC（中點(diǎn)的定義）

（2）AC=BC（已知）

C為AB的中點(diǎn)（中點(diǎn)的定義）

三、重視公式、法則的逆應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

在數(shù)學(xué)中，有許多的公式和法則，而且有許多公式和法則反過(guò)來(lái)也成立，可以正反使用。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生往往習(xí)慣于公式法則的正向使用，而忽視了公式法則的逆應(yīng)用，有時(shí)逆用公式，或適當(dāng)改變公式的形式再用，往往能起到意想不到的效果。教師可抓住公式、法則的可逆特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行公式的正反兩方面的使用訓(xùn)練，既能使學(xué)生加深公式的理解和應(yīng)用，又能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。

例1：計(jì)算2×（）

這里可引導(dǎo)學(xué)生逆用同底數(shù)冪相乘和積的乘方公式：a=a•a，a•b=（ab）

解：2×（）=2×（）×=（2×）×=

例2.計(jì)算（x+3y-2z）-（x-3y+2z）

此題很多同學(xué)都習(xí)慣先算平方再算減法，當(dāng)然逆用平方差公式就簡(jiǎn)單多了。

解：原式=［（x+3y-2z）+（x-3y+4z）］［（x+3y-2z）-

（x-3y+2z）］

=2x（6y-4z）

=12xy-8xz

四、利用逆命題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

數(shù)學(xué)中存在大量的命題，在教學(xué)中教師可經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生考慮逆命題是否成立;成立的話，逆命題又應(yīng)如何應(yīng)用等，以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，啟發(fā)學(xué)生思維的靈活性，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力。

如：定理：兩直線平行，同位角相等。

問(wèn)：逆命題是什么？成立嗎？從而自然引導(dǎo)學(xué)生得出逆命題：同位角相等，兩直線平行。通過(guò)對(duì)逆命題的探索得到一個(gè)新的定理。

又如：命題：若a=b，則a=b。

問(wèn)：逆命題是什么？成立嗎？這個(gè)命題的逆命題是：若a=b，則a=b。它是不正確的。

經(jīng)常對(duì)學(xué)生進(jìn)行這方面的訓(xùn)練，讓學(xué)生養(yǎng)成反過(guò)來(lái)思考問(wèn)題的習(xí)慣，可培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)許多新的結(jié)論，提高學(xué)生思維的深刻性。

五、在問(wèn)題解決過(guò)程中重視基本逆向思維方法的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維方法

在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中，如果單純用一種思維方式去思考，有時(shí)往往會(huì)陷入困境。在教學(xué)中，要善于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度，不同的方向思考問(wèn)題。順推不行時(shí)，考慮逆推；直接解決不行時(shí)，考慮間接解決，在解決問(wèn)題遇到障礙時(shí)，迅速轉(zhuǎn)變思維方向，尋找解決問(wèn)題的其他途徑，促使問(wèn)題解決。教學(xué)基本方法是教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。其中的幾個(gè)重要方法――分析法、反證法，是培養(yǎng)逆向思維的主要方法。在教學(xué)中，教師可加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行這些方法的指導(dǎo)。

1.分析法，人們稱之為“執(zhí)果索因型逆向思維”。它是分析問(wèn)題解決問(wèn)題的非常重要的方法，在幾何證明題中，體現(xiàn)更多。讓學(xué)生在分析問(wèn)題中養(yǎng)成“要證什么，需證什么”的思維方向，從命題的結(jié)論出發(fā)，逆推它成立的充分條件，達(dá)到把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，如此一步一步地進(jìn)行下去，達(dá)到推出原命題的條件，從而使問(wèn)題得以解決。教師通過(guò)分析法進(jìn)行教學(xué)，可培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，提高學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。

例如：如圖，在ΔABC中，BD和CE分別是ΔABC的兩條高.

求證：∠ABC=∠ADE.

分析：從逆向思維的角度出發(fā)，從結(jié)論出發(fā)，欲證明∠ABC=∠ADE，若能證明ΔADE∽ΔABC就可以得出∠ABC=∠ADE，這樣就把證明∠ABC=∠ADE的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明ΔADE∽ΔABC的問(wèn)題。如何去證明ΔADE∽ΔABC呢？結(jié)合題設(shè)，這里已有∠A=∠A這個(gè)條件，要找到其余一組角對(duì)應(yīng)相等是不可能的，若有條件=就可以得出ΔADE∽ΔABC，這樣把證明ΔADE∽ΔABC的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明=的問(wèn)題，那么有如何去證明=呢？只要證明出ΔADB與ΔAEC相似即可得出=這個(gè)結(jié)論。這樣又把證明=的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ΔADB∽ΔAEC的問(wèn)題，而根據(jù)條件完全可以證明出ΔADB∽ΔAEC，從而問(wèn)題得以解決。

2.反證法是數(shù)學(xué)中的一種重要方法，由于它的思維特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用，下面是用反證法證明的一個(gè)例子。

例如：證明：一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角不小于60度。

分析：至少一個(gè)角為60度的情況有三種：一個(gè)、二個(gè)、三個(gè)，這證明起來(lái)比較難。換個(gè)角度想，至少一個(gè)的反面是沒(méi)有一個(gè)角不小于60度，只要說(shuō)明一種情況不可能就能說(shuō)明命題成立。顯然，若沒(méi)有一個(gè)角不小于60度，則三個(gè)角都小于60度，這樣它的內(nèi)角和將小于180度，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾。因此，沒(méi)有一個(gè)角不小于60度不成立，所以原命題成立。

通過(guò)這些數(shù)學(xué)基本方法的訓(xùn)練，學(xué)生能明確用一種方法解不出來(lái)時(shí)，要轉(zhuǎn)化思維方向，從反面來(lái)思考，提高學(xué)生逆向思維的能力。

逆向思維有著許多優(yōu)點(diǎn)和長(zhǎng)處，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視加強(qiáng)學(xué)生的逆向思維能力訓(xùn)練，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，當(dāng)一個(gè)問(wèn)題用一種方法解決不了時(shí)，可轉(zhuǎn)換思維方向，進(jìn)行反面思考，從而提高逆向思維能力。培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，不僅僅對(duì)提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力有益，更重要的是能改善學(xué)生的思維方式，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、廣闊性、深刻性，使學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣，有利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新開(kāi)拓精神。

篇9

關(guān)鍵詞： 逆向思維 逆問(wèn) 逆境 逆用

智慧的核心是思維，數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操，數(shù)學(xué)教學(xué)在培養(yǎng)思維能力方面，具有其他學(xué)科無(wú)法比擬的獨(dú)特作用。思維能力是在有意識(shí)、有計(jì)劃的訓(xùn)練中得以培養(yǎng)和發(fā)展的，教師要根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合特征，對(duì)學(xué)生進(jìn)行各種邏輯思維方法的訓(xùn)練，特別是逆向思維的訓(xùn)練也是很重要的。

一、“逆問(wèn)”中積累逆向思維意識(shí)

數(shù)學(xué)知識(shí)中有很多互逆關(guān)系的，教師要經(jīng)常有意識(shí)地挖掘互逆因素，進(jìn)行逆向設(shè)問(wèn)。這樣，不僅可以使學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解更深刻，而且可以消除思維定勢(shì)帶來(lái)的消極因素，從而培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識(shí)。

例如：在教學(xué)《分?jǐn)?shù)的意義》一課時(shí)，在教學(xué)完把一個(gè)月餅平均分成4份，取其中的1份，可以用1/4表示后，老師接著問(wèn)：這一整個(gè)月餅怎么用1/4表示？在學(xué)生答出可以把4個(gè)月餅平均分成4份，那么一個(gè)月餅就可以用1/4表示后，又問(wèn)：兩個(gè)月餅也用1/4該怎么表示？在學(xué)生答出可以把8個(gè)月餅平均分成4份，那么兩個(gè)月餅就可以用1/4表示后，再問(wèn)：你對(duì)1/4有了什么認(rèn)識(shí)？1/4還可以表示什么？這幾個(gè)逆向思維的問(wèn)題，改變了原來(lái)的出示以下三幅圖，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)每幅圖的陰影部分可以用哪個(gè)分?jǐn)?shù)表示的學(xué)生運(yùn)用正向思維就能輕而易舉解決的教學(xué)環(huán)節(jié)。這樣逆問(wèn)，緊緊扣住1/4，讓學(xué)生去溯本求源，既理解了幾個(gè)物體可以看成一個(gè)整體，完善了對(duì)單位“1”的建構(gòu)，又在分率和具體數(shù)量之間架起一座橋梁，明確了盡管分率1/4沒(méi)有變，但隨著總個(gè)數(shù)的變化一份表示的具體數(shù)量卻發(fā)生了變化，同時(shí)幫助學(xué)生積累了逆向思維的意識(shí)。

像上例可供逆向思維的問(wèn)題在教材中無(wú)處不在，我們應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地抓住它，并進(jìn)行適當(dāng)處理，幫助學(xué)生積累逆向思維的意識(shí)，使正向思維和逆向思維同步發(fā)展，減少正向思維對(duì)逆向思維的抑制作用。

二、“逆境”中養(yǎng)成逆向思維習(xí)慣

學(xué)生只具有逆向思維的意識(shí)是不夠的，教師還需要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)“逆向思維的情境”，就是教師在教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的正向思維間制造一種“不協(xié)調(diào)”，“不協(xié)調(diào)”必須有意識(shí)、巧妙地融于符合學(xué)生實(shí)際的知識(shí)中，且能在他們心里造成懸念，從而迫使學(xué)生不得不從另外的角度思考，即逆向思考。怎么設(shè)置“逆境”呢？

例如，在《分?jǐn)?shù)的意義》一課中，為了使學(xué)生準(zhǔn)確區(qū)分要求的問(wèn)題應(yīng)該用具體數(shù)量表示還是用分率表示，老師創(chuàng)設(shè)了這樣一個(gè)情境：出示一個(gè)筆袋，問(wèn)：要把筆袋中的筆平均分給5個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)分到多少會(huì)用分?jǐn)?shù)表示嗎？由于筆的總量未知，用原來(lái)的正向思維，即筆的總支數(shù)除以人數(shù)很顯然已經(jīng)無(wú)法解決，以此造成學(xué)生認(rèn)知上的沖突，那么學(xué)生的思維重心必然會(huì)由總支數(shù)轉(zhuǎn)向唯一的已知條件“平均分給5個(gè)同學(xué)”上，也就是只能用分率表示每個(gè)同學(xué)分到的支數(shù)占總支數(shù)的幾分之幾這一思維的核心上。等學(xué)生得出每個(gè)同學(xué)分到的支數(shù)占總支數(shù)的五分之一后再問(wèn)：筆袋里有10支筆，那么每個(gè)同學(xué)分到多少支？可以用哪個(gè)分?jǐn)?shù)表示？而如果一開(kāi)始就出示10支筆，學(xué)生往往會(huì)受過(guò)去經(jīng)驗(yàn)的影響，想到每個(gè)同學(xué)分到2支筆，而不會(huì)再思考其他結(jié)果。創(chuàng)設(shè)了這樣的情境后，學(xué)生不得不在“逆境”中調(diào)整思維的角度，進(jìn)行逆向思考得出了每個(gè)同學(xué)能分到總支數(shù)的五分之一。

因而，適當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)逆境可以催生逆向思維，使學(xué)生在逆境中逐漸養(yǎng)成逆向思維的習(xí)慣，能多角度、全方位地研究數(shù)學(xué)問(wèn)題。

三、“逆用”中提升逆向思維能力

1.逆用定義概念。許多數(shù)學(xué)定義或概念中存在著可逆因素，利用這種定義的可逆性對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析研究，就能使某些解題過(guò)程得到簡(jiǎn)化，學(xué)生的逆向思維能力也可以得到鍛煉。例如：在教學(xué)《比例尺》時(shí)，在學(xué)生掌握了比例尺的定義：圖上距離：實(shí)際距離=比例尺后，出示一幅地圖的比例尺：1∶1000，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)是怎樣理解這個(gè)比例尺的，根據(jù)學(xué)生的回答歸納出三點(diǎn)。第一，圖上1厘米的線段表示實(shí)際距離10米；第二，圖上距離是實(shí)際距離的1/1000；第三，實(shí)際距離是圖上距離的1000倍。這樣，組織學(xué)生進(jìn)行對(duì)定義的逆向轉(zhuǎn)換練習(xí)，擴(kuò)大了學(xué)生的認(rèn)知領(lǐng)域，在后繼解決求實(shí)際距離和圖上距離的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生都能根據(jù)歸納出的三點(diǎn)意義尤其是第一點(diǎn)靈活地選擇簡(jiǎn)單的算術(shù)方法解決，如：在一幅比例尺是1∶500000的地圖上，量得甲、乙兩城的距離是12.5厘米。甲、乙兩城實(shí)際相距多少千米？學(xué)生根據(jù)1∶500000得出圖上1厘米表示實(shí)際距離5千米，那么圖上12.5厘米表示的實(shí)際距離就是：12.5×5=62.5（千米），很顯然，這種解法要比根據(jù)“圖上距離：實(shí)際距離=比例尺”用方程解來(lái)得簡(jiǎn)單，如此簡(jiǎn)單的解法正得益于對(duì)定義的逆運(yùn)用。

2.逆用公式法則。在進(jìn)行公式教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)對(duì)公式做適當(dāng)變形，并強(qiáng)調(diào)公式的逆向使用，學(xué)生在遇到相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，就能做出有益聯(lián)想，會(huì)對(duì)公式作逆向使用，使一些難題迎刃而解。例如教學(xué)平面圖形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式后，要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)這些基礎(chǔ)公式推導(dǎo)出變形公式，如三角形的底=三角形的面積×2÷高，圓的直徑=圓的周長(zhǎng)÷圓周率，等等。

學(xué)生在逆用公式法則中體會(huì)到了便捷，就會(huì)大大激發(fā)對(duì)“逆用”的興趣，這無(wú)疑會(huì)大大推動(dòng)他們的逆向思維能力向著更高處發(fā)展。

總之，逆向思維不僅對(duì)解題能力有益，更重要的是改善學(xué)生的思維方式，有助于形成良好的思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新開(kāi)拓精神，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，提高學(xué)習(xí)效果、學(xué)習(xí)興趣及提高思維能力。值得注意的是，正向思維有很大的積極面，決不能一味地追求逆向思維的訓(xùn)練，否則適得其反，要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，適當(dāng)、適度地培養(yǎng)他們的逆向思維，使逆向思維培養(yǎng)真正達(dá)到“風(fēng)景這邊獨(dú)好”的境界。

參考文獻(xiàn)：

篇10

一、學(xué)生逆向思維受阻的因素

1.從教學(xué)形式看，最主要是教師在數(shù)學(xué)課的教學(xué)中，往往采用“建立定理――證明定理――運(yùn)用定理”這三部曲或采用“類型+方法”的教學(xué)模式，忽視了逆向思維的培養(yǎng)與訓(xùn)練，以致學(xué)生不能迅速而準(zhǔn)確地由正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維。

2.從思維過(guò)程看，由正向思維轉(zhuǎn)到逆向思維是思維方向的重建，是從一個(gè)方面作用的單向聯(lián)想轉(zhuǎn)化為從兩個(gè)方面都起作用的雙向聯(lián)想。這種轉(zhuǎn)化給學(xué)生帶來(lái)了一定的困難，另外，一種思維在其逆向思維過(guò)程中并不一定恰好重復(fù)原來(lái)的途徑，所以正向思維的訓(xùn)練并不代替逆向思維的訓(xùn)練。

3.從思維能力看，學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的思維單單從直觀、具體的形象思維向抽象的邏輯思維轉(zhuǎn)化，學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)思維必然受到傳統(tǒng)的教學(xué)方法的約束；只具有機(jī)械的記憶和被動(dòng)的模仿，思維往往會(huì)固定在教師設(shè)計(jì)的框框之內(nèi)的一種定勢(shì)。

二、逆向思維受阻的具體表現(xiàn)

1.缺乏顯而易見(jiàn)的逆向聯(lián)想

由于學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，進(jìn)行了較多的是由此及彼的單向訓(xùn)練，而忽視了逆向聯(lián)想，這就造成了知識(shí)結(jié)構(gòu)上的缺陷和思維過(guò)程中頑固的單向定勢(shì)習(xí)慣。例：“1，0，-1的立方根分別是 ”，學(xué)生回答得非常輕松，也非常正確；但對(duì)“若某個(gè)數(shù)的立方根是它的本身，則這個(gè)數(shù)是 ”，這一問(wèn)題，卻只有少數(shù)學(xué)生才能填寫(xiě)完全的。像這些顯而易見(jiàn)的逆向問(wèn)題，在教學(xué)中常常遇到，學(xué)生解答起來(lái)卻并不順利。

2.混淆重要定理的正逆命題關(guān)系

對(duì)于運(yùn)用正逆關(guān)系的數(shù)學(xué)命題，學(xué)生經(jīng)?；煜}設(shè)與結(jié)論的順序。

例：勾股定理的逆定理的運(yùn)用，“在ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，那么ABC是直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由?！睂W(xué)生認(rèn)為運(yùn)用的是勾股定理，理由是“AC2+BC2=AB2，52+122=132，ABC是直角三角形?！逼鋵?shí)有“AC2+BC2=AB2”，已經(jīng)說(shuō)明ABC是直角三角形了，還要“52+122=132”，干什么呢？

3.忽視正與逆轉(zhuǎn)化的限制條件

例：已知a+b，則│a│=│b│推出“a=b”就不全面了，遺漏了另一種情況“a=-b”。特別是對(duì)一些限制條件的逆求，學(xué)生更是束手無(wú)策，如：當(dāng)a 時(shí)，│a- │=-2a；若 =1-x，則x的取值范圍是 ；使 成立的條件是 ；等等。

4.缺乏逆向變形的解決能力

例：計(jì)算 ，有些學(xué)生竟然對(duì)它進(jìn)行通分，卻不會(huì)用 的變形。

5.缺乏逆向分析的解題思路

學(xué)生在分析問(wèn)題時(shí)只習(xí)慣于從條件到結(jié)論，卻不會(huì)從結(jié)論出發(fā)去尋求解題思路，缺乏雙向思維解決問(wèn)題的能力。

例：已知：在ABC中，AB=AC，BDAC于D，求證：BC2=2AC×CD的“BDAC”條件聯(lián)想到可以用勾股定理。有此想法的學(xué)生很少，完全做正確的學(xué)生更少。

三、逆向思維訓(xùn)練在數(shù)學(xué)中的具體實(shí)施

1.定義教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

作為定義的數(shù)學(xué)命題，其逆命題總是存在，并且是成立的。因此，學(xué)習(xí)一個(gè)新概念，如果注意從逆向提問(wèn)，學(xué)生不僅對(duì)概念辨析得更清楚，理解得更透徹，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成雙向考慮問(wèn)題的良好習(xí)慣。如：在幾何教學(xué)中，特別是入門(mén)階段，對(duì)每一個(gè)定義，都要引導(dǎo)學(xué)生分清正與逆的關(guān)系，對(duì)今后推理論證的教學(xué)很有裨益。值得注意的是教師在平時(shí)教學(xué)中，經(jīng)常強(qiáng)調(diào)一個(gè)定理的逆命題不一定成立，在講定義時(shí)，如不強(qiáng)調(diào)它一定具有可逆性，將會(huì)引起學(xué)生對(duì)定義的逆用產(chǎn)生懷疑。

例：解方程： 。

分析：此題容易想到用一元二次方程的求根公式，但計(jì)算繁瑣，如注意到方程中各項(xiàng)系數(shù)之和“a+b+c=0”的特點(diǎn)，就可以逆用方程根的定義，可知“x=1”是方程的一個(gè)根，再根據(jù)韋達(dá)定理求出另一個(gè)根。

2.公式教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)中的公式總是雙向的，可很多學(xué)生只會(huì)從左到右順用公式，對(duì)于逆用，尤其是利用變形的公式更不習(xí)慣。事實(shí)上，若能夠靈活地逆用公式，再解題時(shí)就能夠得心應(yīng)手，左右逢源。在此應(yīng)特別注意兩點(diǎn)：

第一、強(qiáng)調(diào)公式的順用和逆用，“聚合”和“展開(kāi)”。

第二、逆用公式是求代數(shù)式的值、化簡(jiǎn)、計(jì)算的常用手段。

3.運(yùn)算法則教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)中的很多運(yùn)算都有一個(gè)與它相反的運(yùn)算作為逆運(yùn)算，如：加法和減法、乘法和除法、乘方和開(kāi)方都是互為逆運(yùn)算，彼此依存，共同反映某種變化中的數(shù)量關(guān)系。而且在同一級(jí)運(yùn)算中，可以互相轉(zhuǎn)化，如利用相反數(shù)的概念減法可以轉(zhuǎn)化為加法，利用倒數(shù)的概念可以轉(zhuǎn)化為乘法。

例：已知：xm=3，xn=7，求：x3m-2n的值。

分析：該題將同底數(shù)冪除法法則逆用后得到結(jié)果。

解：原式：x3m÷x2n=（xm）3÷（xn）2=33÷72= 。

4.定理教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

不是所有的的定理的逆命題都是正確的，引導(dǎo)學(xué)生探究定理的逆命題的正確性，不僅能使學(xué)生學(xué)到的知識(shí)更加完備，而且能激發(fā)學(xué)生去探索新的知識(shí)。

一元二次方程根的判別式定理、韋達(dá)定理的逆定理都是存在的，應(yīng)用也十分廣泛。

a2-bc-8a+7=0

例：設(shè)a、b、c滿足

b2+c2+2ac-a2+2a-1=0

求：a的值范圍。

根據(jù)韋達(dá)定理的逆定理可知：b、c為關(guān)于x的一元二次方程x2±（a-1）x+a2-8a+7=0的根，

（a-1）2-4（a2-8a+7）=-3（a-1）（a-9）≥0，即1≤a≤9。

a的取值范圍為：1≤a≤9。

四、逆向思維訓(xùn)練的實(shí)施策略

在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣一些問(wèn)題，當(dāng)從正面考慮時(shí)會(huì)出現(xiàn)很多障礙，或者根本解決不了，而從反面著手，往往可以使問(wèn)題迎刃而解，再或者證明問(wèn)題的不可能性等等都需要有非常規(guī)思路去解決。非常規(guī)地實(shí)施逆向思維的訓(xùn)練常采用以下二種策略：

1.“正”難則“反”：

反證法是一種逆向思維的方法，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，是解數(shù)學(xué)題常用的方法。當(dāng)題目出現(xiàn)有“至少”或“至多”字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般采用反證法。

例：若三個(gè)關(guān)于x的方程：x2+4mx-4m+3=0，x2+（m-1）x+m2=0，x2+2mx-2m=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求：m的取值范圍。

分析：若從正向考慮“三個(gè)關(guān)于x的方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根”，情況較多，一一討論，解題就相當(dāng)復(fù)雜。這時(shí)如果應(yīng)用逆向思維，考慮到其它反面是“三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)要根”，再?gòu)娜w實(shí)數(shù)中排除反面求得的的結(jié)論就得到本題的答案。

解：假設(shè)三個(gè)方程均沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則

16m2-4（-4m+3）

（m-1）2-4m2

4m2+8m

-

即： m> 或m

-2

其反面：當(dāng)m≤- 或m≥-1時(shí)，原命題成立。

2.反“客”為“主”

例：已知：關(guān)于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求：實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：按常規(guī)思路，把x當(dāng)成主元，求出x，再對(duì)a進(jìn)行討論，解題過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，如果啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用逆向思維，把a(bǔ)當(dāng)作主元，這種反客為主的技巧很新穎別致。

解：原方程可變?yōu)椋篴2-（x2+2x）+x3-1=0

[a-（x-1）][a-（x2+x+1）]=0

解得：x=a+1或x2+x+1-a=0

原方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

方程x2+x+1-a=0無(wú)實(shí)數(shù)根，