導(dǎo)語(yǔ)：如何才能寫(xiě)好一篇微分方程在化學(xué)中的應(yīng)用，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

（鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州 451150）

摘 要：微分方程的研究對(duì)于數(shù)學(xué)、物理等各方面的研究都具有重要意義.微分方程的應(yīng)用在我們?nèi)粘Ｉ钪谐３?huì)存在，其應(yīng)用范圍具有相關(guān)的廣泛性.通過(guò)對(duì)微分方程的研究可以使我們更好的了解生活中的動(dòng)態(tài)變量問(wèn)題，從而使我們能夠?qū)崿F(xiàn)動(dòng)態(tài)角度的分析，將生活研究更加真實(shí)化準(zhǔn)確化.一類微分方程是微分方程中形式較為簡(jiǎn)單的方程結(jié)構(gòu)，對(duì)一類微分方程的解及解的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，對(duì)我們學(xué)習(xí)微分方程具有重要作用.本文通過(guò)對(duì)一類微分方程的求解和一類微分方程解的導(dǎo)數(shù)的角度，探討一類微分方程的解及其解的導(dǎo)數(shù)與不動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，從而幫助我們更好地進(jìn)行微分方程的學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞 ：一類微分方程；方程解；解的導(dǎo)數(shù)；不動(dòng)點(diǎn)

中圖分類號(hào)：O175.8 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-260X（2015）05-0001-03

微分方程作為數(shù)學(xué)學(xué)科的分支，在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用十分廣泛.微分方程知識(shí)在物理學(xué)中的許多變量問(wèn)題的求解中均有涉及，在化學(xué)中的動(dòng)態(tài)變化中也有運(yùn)用.此外，微分方程還廣泛地應(yīng)用于工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多方面.一類微分方程是形式相對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程，通過(guò)對(duì)一類微分方程進(jìn)行研究，可以更好地幫助我們進(jìn)行多元微分方程的研究，強(qiáng)化我們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).同時(shí)也有助于相應(yīng)物理學(xué)、化學(xué)、工程學(xué)等學(xué)科問(wèn)題的研究和解決.因此，對(duì)一類微分方程的相關(guān)特性進(jìn)行研究具有重要意義，是實(shí)現(xiàn)各領(lǐng)域研究的基礎(chǔ).

1 微分方程的相關(guān)基本定義

微分方程指的是由未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間形成的方程等式.微分方程的解是使微分方程等式兩邊成立的函數(shù).微分方程具有十分廣泛的應(yīng)用，在物理學(xué)中許多涉及到動(dòng)態(tài)的變化量的研究常用到微分方程.包括涉及到變力的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)等，例如受到空氣阻力的落體運(yùn)動(dòng)都可以利用微分方程進(jìn)行求解.

當(dāng)未知函數(shù)是一元函數(shù)時(shí)，未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系等式即為一類微分方程，也稱常微分方程.當(dāng)未知函數(shù)為多元函數(shù)時(shí)，未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系等式稱為偏微分方程.微分方程的數(shù)學(xué)模型如圖1.

2 一類微分方程的解與不動(dòng)點(diǎn)

假設(shè)某一類微分方程形式為M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，且M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左邊部分即M(x,y)dx+N(x,y)dy為某個(gè)二元函數(shù)T(x,y)的全微分，則可以得到dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy.其中M(x,y)dx+N(x,y)dy=0為全微分方程，二元函數(shù)T(x,y)為該全微分方程的原函數(shù).

如果T(x,y)是dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy的一個(gè)原函數(shù)，則對(duì)全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0進(jìn)行通積分，可得到全微分的通積分T(x,y)=A，其中A為任意的常數(shù)[1].

如果F（x）≠T（x）Pk（x）＋1，其中Pk（x）是任意次數(shù)為k的多項(xiàng)式,則對(duì)于方程非零亞純解f（x）的k－1階導(dǎo)數(shù)f（k-1）（x）有無(wú)窮多個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且τ（f（k－1））＝σ（f）＝＋∞和τ2（f（k－1））＝σ2（f）＝σ至多有一個(gè)例外解f（x）.

通過(guò)對(duì)微分方程進(jìn)行方程假設(shè)和窮級(jí)轉(zhuǎn)換，在非零亞純函數(shù)的變化下，通過(guò)極點(diǎn)等數(shù)據(jù)方程轉(zhuǎn)化，構(gòu)建微分方程的等式典型乘積或通過(guò)多項(xiàng)式建立，對(duì)方程等式進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納.在對(duì)數(shù)測(cè)度為有限的集合條件中，通過(guò)范圍假設(shè)，引理帶入運(yùn)算，建立相應(yīng)的解集表達(dá)式.通過(guò)微分方程的解集表達(dá)式，進(jìn)行方程式的解集求導(dǎo)，獲取一類微分方程的解的一階導(dǎo)數(shù).對(duì)解集等式和解集一階導(dǎo)數(shù)式進(jìn)行變形，并代入上述引理等式中，通過(guò)變形轉(zhuǎn)化和數(shù)據(jù)假設(shè)推斷，從而得到不動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系等式.

5 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，通過(guò)對(duì)一類微分方程進(jìn)行求解和解的導(dǎo)數(shù)與不動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系研究，指出受微分方程的制約影響，一類微分方程的不動(dòng)點(diǎn)密度與解和解的導(dǎo)數(shù)情況有著密切的關(guān)系.對(duì)一類微分方程的解進(jìn)行分析以及解的導(dǎo)數(shù)情況進(jìn)行分析，從而分析一類微分方程解與解的導(dǎo)數(shù)與微分方程不動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，從而更好地幫助我們進(jìn)行微分方程的學(xué)習(xí)以及高階層微分方程的研究，從而將微分方程的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到更多的領(lǐng)域，幫助各領(lǐng)域研究人員進(jìn)行動(dòng)態(tài)量的研究，從而提高各領(lǐng)域的應(yīng)用水平的發(fā)展以及社會(huì)技術(shù)的發(fā)展和提高.目前，我們對(duì)于一類微分方程的解與解的導(dǎo)數(shù)和微分方程不動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系研究還不深入，因此希望后期更多研究者對(duì)微分方程進(jìn)行更加深入的探討和研究.

參考文獻(xiàn)：

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篇2

關(guān)鍵詞：常微分方程 MATLAB 線素場(chǎng) 包絡(luò)

中圖分類號(hào)：O175.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-4914（2013）01-152-02

微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是人們解決各種實(shí)際問(wèn)題的有效工具。它在幾何、力學(xué)、物理、電子技術(shù)、自動(dòng)控制、航天等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用{1}?？茖W(xué)技術(shù)和工程中大量的問(wèn)題都表達(dá)為常微分方程的形式，特別是描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)演變時(shí)，如機(jī)械振動(dòng)、數(shù)學(xué)擺、人口模型、人造衛(wèi)星軌道方程、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程等都表達(dá)為以時(shí)間t為獨(dú)立變量的常微分方程或方程組，所以常微分方程在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域非常重要。

傳統(tǒng)的常微分方程的教學(xué)方式主要是“粉筆+黑板”的灌堂式教學(xué)，往往偏重于理論學(xué)習(xí)，給出各種方程（方程組）的解法，以計(jì)算為主，而對(duì)于抽象的方程的解對(duì)應(yīng)的積分曲線和積分曲線族，以及一些與幾何聯(lián)系緊密的概念如線素場(chǎng)、包絡(luò)等是學(xué)生不容易直觀想象的，致使學(xué)生很難理解這些相關(guān)概念。

MATLAB語(yǔ)言起源于矩陣運(yùn)算，是由美國(guó)的Cleve Moler博士于1980年提出的并已經(jīng)發(fā)展成一種高度集成的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言{2}。在數(shù)值計(jì)算、微分方程與模擬仿真等領(lǐng)域MATLAB語(yǔ)言具有其他軟件無(wú)法替代的優(yōu)勢(shì)。在常微分方程教學(xué)過(guò)程中引進(jìn)MATLAB軟件輔助教學(xué)，以培養(yǎng)學(xué)生使用Matlab直觀演示微分方程的相關(guān)概念，增強(qiáng)學(xué)生想象力、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。興趣是學(xué)習(xí)的原動(dòng)力，有了興趣，學(xué)習(xí)才有動(dòng)力，教學(xué)過(guò)程才有生機(jī)，進(jìn)而達(dá)到理論的升華{3}。

一、常微分方程教學(xué)改革的實(shí)施與探索

常微分方程課程理論性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求較高，學(xué)生學(xué)起來(lái)不容易入門(mén)。因此在教學(xué)改革探索中應(yīng)該注意如何利用MATLAB使理論學(xué)習(xí)與計(jì)算機(jī)演示完整統(tǒng)一起來(lái)。課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的第一要素，常微分方程課堂學(xué)習(xí)主要是學(xué)習(xí)算法、求解方法，加強(qiáng)課堂基礎(chǔ)教學(xué)，并以此作為實(shí)施教學(xué)方法改革的重點(diǎn)尤為重要。首先要讓學(xué)生了解常微分方程對(duì)本專業(yè)后續(xù)課程的重要性，引起學(xué)生對(duì)該課程的重視，學(xué)生對(duì)一門(mén)課程的重視程度會(huì)直接影響其對(duì)該課程的學(xué)習(xí)精力的投入{4}。進(jìn)一步通過(guò)介紹微分方程在科學(xué)技術(shù)廣泛應(yīng)用特別是微分方程建模的重要性使之進(jìn)一步提高對(duì)課程的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生在學(xué)習(xí)微分方程的過(guò)程中，可以先通過(guò)理論方法求出微分方程的解析解，然后利用MATLAB語(yǔ)言的計(jì)算速度快、準(zhǔn)確性高等特點(diǎn)求出微分方程的數(shù)值解并進(jìn)行比較，通過(guò)發(fā)現(xiàn)解析解和數(shù)值解吻合得很好，從而提高了學(xué)生自己動(dòng)手分析、設(shè)計(jì)算法的能力。所以，在授課過(guò)程中，將基本概念和原理給學(xué)生講解透徹的同時(shí)又可以充分利用MATLAB將抽象問(wèn)題具體化，在相關(guān)章節(jié)的理論課上完就安排對(duì)應(yīng)的上機(jī)實(shí)驗(yàn)。MATLAB教學(xué)平臺(tái)的引入，首先將計(jì)算機(jī)輔助分析與設(shè)計(jì)得到簡(jiǎn)化，例如為了分析微分方程解曲線，而在黑板上畫(huà)出該曲線又很困難，采用MATLAB語(yǔ)言只需簡(jiǎn)單指令立即就可以得到微分方程的解曲線，學(xué)生就可以直觀分析該解曲線，達(dá)到事半功倍的作用。以往的教學(xué)，由于受條件所限，一般只能分析簡(jiǎn)單的二階系統(tǒng)，而利用MATLAB，就可以對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行分析研究。因而MATLAB的引入不但使學(xué)生有了應(yīng)用計(jì)算機(jī)的條件和興趣，幫助學(xué)生建立正確的專業(yè)思想，而且使學(xué)生對(duì)常微分方程的解有了較為感性的認(rèn)識(shí)，更促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)與獨(dú)立思考的積極性，同時(shí)也激發(fā)了學(xué)習(xí)本門(mén)課程的熱情。由于MATLAB語(yǔ)言的先進(jìn)性，頗受學(xué)生的喜愛(ài)，更增強(qiáng)了教師在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)上的靈活性與實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)工作中的多樣性。

二、利用MATLAB和幾何法理解微分方程的線素場(chǎng)

微分方程最初是從物理和幾何中的問(wèn)題引出的，從物理和幾何直觀的角度來(lái)理解微分方程的解可以使我們對(duì)所討論的問(wèn)題有一個(gè)簡(jiǎn)單而鮮明的形象。很多微分方程的解析解并不能直接表達(dá)出來(lái)，數(shù)值解只能得到一些離散點(diǎn)處的近似值。如果我們想知道積分曲線的走向，大致形狀等，光憑學(xué)生的想象力是很難的，而通過(guò)MATLAB將方程的線素場(chǎng)描述出來(lái)，積分曲線就很容易看出來(lái)了，直觀、易懂。

四、結(jié)論

傳統(tǒng)教學(xué)模式的弊端，往往使學(xué)生感到學(xué)習(xí)困難，教學(xué)效果不理想，MATLAB教學(xué)的引入，能夠化繁為簡(jiǎn)，化抽象為具體，加深學(xué)生對(duì)本課程的掌握程度。利用MATLAB能將常微分方程用多方式、多途徑來(lái)求解，從而拓寬學(xué)生的解題思路，并為后繼課程打下基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的教學(xué)改革可以提高整體教學(xué)質(zhì)量。身為教師需要樹(shù)立終身學(xué)習(xí)的理念，在知識(shí)的創(chuàng)新實(shí)踐中改革教學(xué)方法、教學(xué)手段，提升自己的教學(xué)魅力，才能適應(yīng)時(shí)代要求，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和解決問(wèn)題的綜合能力。

[本文為黑龍江科技學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目（98）-基于MATLAB的信計(jì)專業(yè)數(shù)學(xué)類課程群教學(xué)改革的研究與探索]

注釋：

{1}朱春蓉，鄭群珍.Maple在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009（3）

{2}何雙.MATLAB在常微分方程初值問(wèn)題的應(yīng)用[J].長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005（3）

{3}劉衛(wèi)國(guó).MATLAB程序設(shè)計(jì)教程（第二版）[M].中國(guó)水利水電出版社，2010

{4}V. I. Arnold， Ordinary Differential Equations[M]， MITPress， Princeton， 1973.

篇3

關(guān)鍵詞 常微分方程；分階段教學(xué)；數(shù)學(xué)建模

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2016）22-0080-03

Research on Staged Teaching of Course Ordinary Differential Equations//LI Xinfu， ZHANG Guang

Abstract In this paper， according to the features of the course Ordi-nary Differential Equations and the problems in the procedure of tea-

ching， we divide the teaching process for this course into four stages：

basic knowledge explanation， comprehensive title explanation， ac-

tual case explanation and students explain. In each stage the scientific

thinking methods are emphasized in order to improve the students’ ability to analyze and solve problems， and the ability of independent

research and innovation.

Key words ordinary differential equations； staged teaching； mathe-matical modeling

1 前言

常微分方程課程是數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)的一門(mén)核心課程，其先修課程為數(shù)學(xué)分析與高等代數(shù)。這門(mén)課程的特點(diǎn)是知識(shí)點(diǎn)較整、應(yīng)用廣泛，學(xué)完這門(mén)課，學(xué)生應(yīng)該可以試著寫(xiě)科研論文，是本科畢業(yè)論文的一個(gè)非常好的選題素材。因此，通過(guò)常微分方程課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)具備解決問(wèn)題、自主學(xué)習(xí)與研究、創(chuàng)新的能力。

但是就筆者講授這門(mén)課程所觀察，學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)運(yùn)用得不好，自主學(xué)習(xí)研究能力更不樂(lè)觀。因此，關(guān)于這門(mén)課程的教學(xué)改革非常重要。在這方面，國(guó)內(nèi)專家已有很多實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和理論研究結(jié)果[1-4]。在借鑒上述教學(xué)方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合常微分方程課程的特點(diǎn)及授課中存在的問(wèn)題，在教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行分階段教學(xué)的嘗試，并在各個(gè)階段授課中重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思考能力。

2 常微分方程課程介紹

課程定位與目標(biāo) 常微分方程屬于數(shù)學(xué)分析的一支，在整個(gè)數(shù)學(xué)大廈中占據(jù)重要位置，是定性理論、穩(wěn)定性理論、動(dòng)力系統(tǒng)等后續(xù)數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)。常微分方程的研究與其他學(xué)科或領(lǐng)域結(jié)合出現(xiàn)各種新的分支，如控制論，種群生態(tài)學(xué)、分支理論、脈沖微分方程等。常微分方程所研究的模型來(lái)自于物理、力學(xué)、社會(huì)、生物、化學(xué)及氣象等，是數(shù)學(xué)中與應(yīng)用密切相關(guān)的學(xué)科，其自身也在不斷發(fā)展中，學(xué)好常微分方程基本理論與方法，對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)理論和實(shí)際應(yīng)用均非常重要。因此，通過(guò)常微分方程這門(mén)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)具備解決問(wèn)題、自主學(xué)習(xí)與研究、創(chuàng)新的能力。

課程教學(xué)內(nèi)容 常微分方程包含的內(nèi)容很多，不同教材的側(cè)重點(diǎn)有所不同。天津商業(yè)大學(xué)使用王高雄等編寫(xiě)的教材[5]，主要包括以下內(nèi)容。

1）一階微分方程的初等解法：變量分離方程與變量變換、線性微分方程與常數(shù)變易法、恰當(dāng)微分方程與積分因子、一階隱式微分方程與參數(shù)表示。

2）一階微分方程的解的存在定理：解的存在唯一性定理與逐步逼近法、解的延拓、解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理、數(shù)值解。

3）高階微分方程：線性微分方程的一般理論、常系數(shù)線性微分方程的解法、高階微分方程的講解和冪級(jí)數(shù)解法。

4）線性微分方程組：存在唯一性定理、線性微分方程組的一般理論、常系數(shù)線性微分方程組。

5）非線性微分方程：穩(wěn)定性、V函數(shù)方法、奇點(diǎn)、極限環(huán)和平面圖貌、分支與混沌、哈密頓方程。

課程教學(xué)存在的問(wèn)題 通過(guò)批改作業(yè)、答疑、期末考試及學(xué)生畢業(yè)論文等途徑，發(fā)現(xiàn)通過(guò)常微分方程課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)最基礎(chǔ)部分――方程的初等解法掌握還可以，但是對(duì)稍有難度、綜合性稍強(qiáng)的題目解決得并不好，自主學(xué)習(xí)研究能力更不樂(lè)觀。經(jīng)分析，主要原因有：對(duì)方程的初等解法講解太多，占用太多時(shí)間；對(duì)理論知識(shí)講解太細(xì)太煩瑣，掩蓋了重點(diǎn)；針對(duì)培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題與自主學(xué)習(xí)能力的教學(xué)內(nèi)容設(shè)置太少；對(duì)日后學(xué)習(xí)研究較重要的數(shù)值解與非線性微分方程部分講解太少；綜合性題目布置較少，沒(méi)能督促學(xué)生及時(shí)復(fù)結(jié)，知識(shí)形不成系統(tǒng)；布置的習(xí)題難度不在學(xué)生的學(xué)習(xí)區(qū)，太簡(jiǎn)單或太難，學(xué)生沒(méi)有成就感。因此，如何在有限的課時(shí)內(nèi)將常微分方程的方法原理、思考方式以學(xué)生容易接受的方式講透徹，讓學(xué)生會(huì)利用所學(xué)知識(shí)科學(xué)地思考問(wèn)題、解決問(wèn)題、自主研究，是值得思考的問(wèn)題。

3 分階段教學(xué)法實(shí)施過(guò)程

分階段教學(xué)法簡(jiǎn)介 認(rèn)知心理學(xué)理論認(rèn)為完整的認(rèn)知過(guò)程是一個(gè)“定向―抽取特征―與記憶中的知識(shí)相比較”的一系列循環(huán)過(guò)程，它依賴于來(lái)自環(huán)境和知覺(jué)者自身的知識(shí)，而且在人的認(rèn)知過(guò)程中，前后關(guān)系很重要，特別是原有知識(shí)之間、原有知識(shí)和當(dāng)前認(rèn)知對(duì)象之間的關(guān)系[6]?；谶@一理論、常微分方程課程的特點(diǎn)及授課存在的問(wèn)題，將該課程的教學(xué)過(guò)程劃分為4個(gè)階段：

基礎(chǔ)知識(shí)講解階段綜合題講解階段實(shí)際案例講解階段學(xué)生講解階段

分階段教學(xué)法具體實(shí)施過(guò)程

第一階段：基礎(chǔ)知識(shí)講解。該階段旨在使學(xué)生掌握基本理論與方法，會(huì)做簡(jiǎn)單習(xí)題。由教師系統(tǒng)講授知識(shí)點(diǎn)，并針對(duì)所講知識(shí)點(diǎn)布置相應(yīng)習(xí)題。

1）對(duì)一階微分方程、高階微分方程、線性微分方程組的精確解求解部分，針對(duì)每種類型講解方法原理，講解一個(gè)例題，布置一個(gè)習(xí)題。該部分重點(diǎn)是方法原理。

2）對(duì)數(shù)值解部分，講解原理及數(shù)學(xué)軟件求解命令，演示求解操作過(guò)程，布置兩個(gè)習(xí)題。同時(shí)給學(xué)生預(yù)留拓展資源供學(xué)生自學(xué)。該部分重點(diǎn)是會(huì)用軟件求解。

3）對(duì)一階微分方程解的存在唯一性定理及逐步逼近法一節(jié)，重點(diǎn)提煉出證明存在性的逐步逼近法與證明唯一性的方法，避免過(guò)多證明細(xì)節(jié)把學(xué)生弄糊涂。同時(shí)布置自學(xué)任務(wù)，如查找其他的存在性定理、唯一性定理并比較，鍛煉學(xué)生查閱文獻(xiàn)的能力。

4）對(duì)非線性微分方程一章，重點(diǎn)講授理論方法，布置相應(yīng)習(xí)題。該部分重點(diǎn)是理解基本理論。

在此階段，每講完一章，布置1～2個(gè)綜合性、一題多種解法或稍有難度的題目，以此來(lái)促使學(xué)生查閱并總結(jié)所學(xué)內(nèi)容，把知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)。如可布置習(xí)題：

②求解方程xy″-2（1+x）y′+（2+x）y=0（x≠0）

第一階段科學(xué)思考方法滲透舉例如下。

1）把問(wèn)題特殊化的思考方法。舉例告訴學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，首先考慮是否能從特殊情況中得到啟示。

【例1】求解高階常系數(shù)齊次線性微分方程：

對(duì)一階常系數(shù)方程有解x=eat，故猜測(cè)高階微分方程有eλt（λ待定）形式的解。

【例2】求一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的基解矩陣。

其中，A=（aij）n×n為n階常數(shù)矩陣，x=（x1，x2，...，xn）僅含一個(gè)方程（n=1）時(shí)，基解矩陣為eat，故猜測(cè)方程組的基解矩陣為eAt。

2）利用聯(lián)系，改造區(qū)別的思考方法。舉例告訴學(xué)生想問(wèn)題時(shí)既要利用事物的聯(lián)系，遇到區(qū)別時(shí)又不要放棄，適當(dāng)修正可能會(huì)有意外發(fā)現(xiàn)。

【例】已經(jīng)學(xué)過(guò)n階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，知道若α為特征方程λn+an-1λn-1+...a1λ+a0=0的單特征根，eαt是微分方程的解；若β為特征方程的k重特征根，eβt，teβt，t2eβt，...，

tk-1eβt是微分方程的k個(gè)線性無(wú)關(guān)解。在求解一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的線性無(wú)關(guān)解時(shí)，利用兩個(gè)方程的聯(lián)系，是否有類似結(jié)論呢？

經(jīng)驗(yàn)證，若α為系數(shù)矩陣A的單特征根，微分方程組有eαtη形式的解，其中η為對(duì)應(yīng)α的特征向量；若β為系數(shù)矩陣A的k重特征根，eβtη0，teβtη1，t2eβtη2，...，tk-1eβtηk-1并不是微分方程組的k個(gè)線性無(wú)關(guān)解。

那么能否改造一下呢？可以驗(yàn)證其組合eβtη0+teβtη1+

t2eβtη2+...+tk-1eβtηk-1（ηi滿足一定條件）為微分方程組的解[7]。

第二階段：綜合題講解。該階段講解第一階段布置的題目，旨在幫助學(xué)生梳理所學(xué)知識(shí)，教會(huì)學(xué)生如何思考問(wèn)題。并布置幾個(gè)題目作為練習(xí)。

該階段科學(xué)思考方法滲透舉例如下。

1）復(fù)雜簡(jiǎn)單化的思考方法。通過(guò)舉例告訴學(xué)生，遇到解法比較復(fù)雜的時(shí)候，要試著想想是否有簡(jiǎn)單或是簡(jiǎn)潔的解法。

【例】求解方程

這是可轉(zhuǎn)化為分離變量方程的典型類型，大多數(shù)學(xué)生（幾乎全部）利用標(biāo)準(zhǔn)做法。

首先求交點(diǎn) ，解得：

作變換，原方程轉(zhuǎn)化為齊次方程

。作變換Z=Y/X，則齊次方程轉(zhuǎn)化為分離變量方程。

解分離變量方程得：Z2-Z+1=cX-2。代回原來(lái)變量，得原方程通解：y2+x2-xy-y+x=c。

可上述解法較麻煩，要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生找簡(jiǎn)單的解法。下面利用恰當(dāng)微分方程解法：原方程變形為（x-2y+1）dy-（2x-y+1）dx=0，整理得xdy+ydx-2ydy+dy-2xdx-dx=0，分組湊微分得通解xy-y2+y-x2-x=c?？梢?jiàn)關(guān)于此題，第二種解法非常簡(jiǎn)單。

2）問(wèn)題層層剪剝、各個(gè)擊破的思考方法。通過(guò)舉例，告訴學(xué)生遇到問(wèn)題不知如何下手時(shí)，不要慌張，靜下心來(lái)查找資料，把問(wèn)題分解，分別解決每個(gè)小問(wèn)題。

【例】求解方程xy″-2（1+x）y′+（2+x）y=0（x≠0）

這是一個(gè)二階變系數(shù)齊次線性微分方程，學(xué)生一般會(huì)想到廣義冪級(jí)數(shù)解法，經(jīng)求解發(fā)現(xiàn)很麻煩。引導(dǎo)學(xué)生換種解法，查閱課本發(fā)現(xiàn)關(guān)于這類方程的降階法，但是需要事先找到方程的一個(gè)非零解，如何求？引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)查閱文獻(xiàn)、網(wǎng)上搜索等途徑查找答案，發(fā)現(xiàn)課本課后題有要找的答案，從而問(wèn)題得到解決。

第三階段：實(shí)際案例講解。該階段詳細(xì)講解兩個(gè)案例，一個(gè)是常微分方程數(shù)學(xué)建模案例，一個(gè)是常微分方程科研論文案例，旨在讓學(xué)生觀摩科學(xué)分析與自主研究的過(guò)程。選取一個(gè)建模案例，詳細(xì)講解分析問(wèn)題、建立模型、利用理論知識(shí)分析并用數(shù)學(xué)軟件求解、對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行分析、對(duì)模型進(jìn)行合理評(píng)價(jià)及進(jìn)一步優(yōu)化的一系列過(guò)程。根據(jù)自己寫(xiě)科研論文的過(guò)程，講解發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、查文獻(xiàn)、解決問(wèn)題、撰寫(xiě)科研論文的整個(gè)過(guò)程。

第四階段：學(xué)生講解。該階段旨在提高學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題、自主研究的能力。該階段是第三階段的一個(gè)實(shí)訓(xùn)，主要由學(xué)生自己來(lái)完成。學(xué)生根據(jù)興趣自由分組，從題庫(kù)中選題或自由選題，利用幾周的時(shí)間完成題目。學(xué)生講解，教師點(diǎn)評(píng)。題庫(kù)由教師查閱資料分類整理完成。

4 結(jié)語(yǔ)

以上是針對(duì)常微分方程這門(mén)課程的特點(diǎn)及授課中存在的問(wèn)題而采取的以培養(yǎng)學(xué)生能力為目的的分階段教學(xué)的授課方式。在講完常微分方程這門(mén)課后，把上述想法與班級(jí)里幾個(gè)學(xué)習(xí)中上等的學(xué)生進(jìn)行探討，學(xué)生一致認(rèn)為很好，因此下學(xué)期準(zhǔn)備嘗試此授課方式，以期達(dá)到良好的教學(xué)效果。參考文獻(xiàn)

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篇4

一類高階中立型時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性

具無(wú)限時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在理論

MTL代數(shù)中素濾子集上的拓?fù)?/p>

由Calderón-Zyamund變核構(gòu)成的多線性奇異積分算子的有界性

關(guān)于正規(guī)子群的可解性

重復(fù)觀測(cè)時(shí)線性結(jié)構(gòu)關(guān)系EV模型的參數(shù)估計(jì)

塞曼效應(yīng)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的理論分析

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數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課分層教學(xué)改革探索與實(shí)踐

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湘粵贛省際邊界禁止開(kāi)發(fā)區(qū)域生態(tài)環(huán)境質(zhì)量綜合評(píng)價(jià)——以國(guó)家級(jí)風(fēng)景名勝區(qū)蘇仙嶺為例

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經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)深化農(nóng)村金融體系改革探析——以江蘇徐州為例

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社會(huì)分層視角下居民體育消費(fèi)特征及影響因素研究

廣西大眾網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)發(fā)展的可行性分析

郴州市區(qū)羽毛球場(chǎng)館體育消費(fèi)調(diào)查與分析

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郴州市校園集體舞開(kāi)展現(xiàn)狀的調(diào)查研究

屏南縣農(nóng)村體育現(xiàn)狀的調(diào)查研究

電刺激增強(qiáng)肌肉力量的機(jī)制及應(yīng)用

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a-塊對(duì)角占優(yōu)與廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的判定

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分?jǐn)?shù)微分方程反周期邊值問(wèn)題解的存在性

Matlab求解整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題

一種基于Max-Min方法的帶模糊約束線性規(guī)劃的解法

一元線性結(jié)構(gòu)關(guān)系EV模型的假設(shè)檢驗(yàn)

正態(tài)分布環(huán)境下的醫(yī)藥博弈算法

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基于IGBT逆變器的大功率直流穩(wěn)壓電源

無(wú)線電力傳輸?shù)臍v史發(fā)展及應(yīng)用

PCI總線視頻圖像采集卡驅(qū)動(dòng)程序的設(shè)計(jì)

高速PCB串?dāng)_的分析與仿真

基于最小二乘法的灰色模型參數(shù)估計(jì)

間硝基苯甲酸稀土配合物與大腸桿菌作用的熱動(dòng)力學(xué)研究

乙醇和微波提取苦瓜葉中黃酮類物質(zhì)的工藝研究

古詩(shī)詞中的化學(xué)

基于CMM的軟件建模模型研究

一種Javacard虛擬機(jī)IP軟核設(shè)計(jì)

Bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Matlab實(shí)現(xiàn)

基于C語(yǔ)言的手機(jī)通訊錄管理程序設(shè)計(jì)

湖南省高校體育教師專業(yè)發(fā)展的現(xiàn)狀分析

南非世界杯賽回顧——談足球規(guī)則的幾點(diǎn)修改意見(jiàn)

初級(jí)長(zhǎng)拳健心運(yùn)動(dòng)處方探究

武術(shù)教學(xué)中的口令運(yùn)用研究

體育舞蹈拉丁舞專業(yè)選手藝術(shù)素質(zhì)的研究

低氧運(yùn)動(dòng)對(duì)骨骼肌自由基代謝的影響

大學(xué)生不同性格類型對(duì)閑暇體育方式取向的研究

篇5

提高學(xué)生整體素質(zhì),培養(yǎng)跨世紀(jì)合格人才——IAG項(xiàng)目:“師范性基本技能微格訓(xùn)練科學(xué)實(shí)驗(yàn)”課題目標(biāo)設(shè)計(jì)

論市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下法制建設(shè)中的道德功能

試論加強(qiáng)思想政治教育與發(fā)展市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的關(guān)系

市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下的心理學(xué)問(wèn)題

努力優(yōu)化青年教師成才的外部環(huán)境

施教于美——教學(xué)藝術(shù)談片(上)

閱讀教學(xué)與審美教育

語(yǔ)文教學(xué)可以“系列化”嗎?

歐·亨利《四百萬(wàn)》中譯本中值得商榷的幾個(gè)問(wèn)題

政治課教學(xué)要做到“準(zhǔn)聯(lián)活新”

詞的對(duì)仗形式淺探

茅盾短篇小說(shuō)女性形象淺論

行楷比較談

中學(xué)生語(yǔ)文學(xué)習(xí)興趣的心理基礎(chǔ)談片

文言文教學(xué)淺析

關(guān)于RLC串聯(lián)諧振曲線特性的再討論

從經(jīng)典時(shí)空觀到相對(duì)論時(shí)空觀

多媒體技術(shù)在物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用探索

關(guān)于“半群的模糊擬對(duì)稱理想和它的根”的一點(diǎn)注記

等勢(shì)凝聚集

關(guān)于“不妨設(shè)”的若干思考

關(guān)于《補(bǔ)充一類可積函數(shù)》一文的注記

對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的一點(diǎn)探討

師專類數(shù)學(xué)專業(yè)的課程設(shè)置與教學(xué)計(jì)劃安排的探討

STOLZ定理的一個(gè)推廣

控制論中動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及分析

介值定理的推廣

WPS帶來(lái)的啟示

在WindowsNT網(wǎng)絡(luò)中Lmhosts文件的應(yīng)用

無(wú)窮級(jí)數(shù)sumfromn=1to∞(1/n2)收斂性的一個(gè)求法

“L′Hspital”法則的不同類型及應(yīng)用拓廣

用二溴鄰羧基偶氮氯膦光度法測(cè)定陶瓷中的稀土

水體富營(yíng)養(yǎng)化及其防治

化學(xué)殺雄劑RH-531的開(kāi)發(fā)利用

教育現(xiàn)代化與現(xiàn)代教育技術(shù)

鄒天成國(guó)畫(huà)作品選

信息的理論模型與最優(yōu)決策

微分的另一種解釋

似乎不相關(guān)線性模型線性約束下參數(shù)估計(jì)的一個(gè)最優(yōu)性

導(dǎo)數(shù)問(wèn)題錯(cuò)例剖析

一階常系數(shù)線性微分方程的某些求法的比較

極限問(wèn)題的解決

高等數(shù)學(xué)教學(xué)中例題的作用

探求高等數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美

環(huán)同態(tài)象的結(jié)構(gòu)

微分方程與自然數(shù)方冪和

基于WEB服務(wù)的工作流事務(wù)管理器的實(shí)現(xiàn)

VFP動(dòng)態(tài)窗體實(shí)現(xiàn)的新思路

一種安全的IP網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建

同步時(shí)序邏輯電路設(shè)計(jì)方法改進(jìn)

硬盤(pán)的幾種常見(jiàn)故障及解決方法

局域網(wǎng)中網(wǎng)卡與集線器類故障的分析及應(yīng)對(duì)措施

對(duì)如何界定病理性互聯(lián)網(wǎng)使用的研究概述

篇6

關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué);機(jī)械設(shè)計(jì);教學(xué)研究

1高等數(shù)學(xué)在機(jī)械設(shè)計(jì)專業(yè)中的應(yīng)用

通過(guò)翻閱專業(yè)課書(shū)籍、與專業(yè)課老師座談、網(wǎng)上查閱文獻(xiàn)等多種渠道，筆者對(duì)機(jī)械設(shè)計(jì)專業(yè)(本科)所開(kāi)設(shè)的大部分課程進(jìn)行了調(diào)查，共調(diào)查公共基礎(chǔ)課、專業(yè)基礎(chǔ)課與專業(yè)課近20門(mén)．其中，與高等數(shù)學(xué)有密切關(guān)系的有10余門(mén)，分別為《大學(xué)物理》、《理論力學(xué)》、《材料力學(xué)》、《機(jī)械原理》、《機(jī)械制造技術(shù)基礎(chǔ)》、《數(shù)控技術(shù)》、《液壓與氣壓傳動(dòng)》、《電工電子技術(shù)》、《公差與測(cè)量技術(shù)》、《機(jī)械設(shè)計(jì)》、《機(jī)械工程測(cè)量技術(shù)基礎(chǔ)》等．下面以“導(dǎo)數(shù)的概念”與“微分方程”為例，說(shuō)明了高等數(shù)學(xué)在部分專業(yè)課中的應(yīng)用，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，機(jī)械設(shè)計(jì)專業(yè)對(duì)高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用，主要集中在“導(dǎo)數(shù)”的概念、“微分”的概念、“積分”的概念等幾個(gè)方面，要求學(xué)生會(huì)將一些科學(xué)量表示為“導(dǎo)數(shù)”或“積分”，會(huì)在實(shí)際問(wèn)題中建立微分方程．關(guān)于計(jì)算導(dǎo)數(shù)、計(jì)算積分、求解微分方程等，掌握基本方法即可，涉及復(fù)雜計(jì)算的很少．所以，對(duì)“導(dǎo)數(shù)”、“微分”、“積分”等概念要重點(diǎn)講授，尤其是應(yīng)用背景與思想方法，而對(duì)于可導(dǎo)性與可積性等嚴(yán)謹(jǐn)性問(wèn)題不必過(guò)多展開(kāi)．對(duì)計(jì)算環(huán)節(jié)，講授基本方法即可，不必刻意深入，鉆研太多高難度的復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題．對(duì)于微分方程，不能只講求解微分方程的方法，建立微分方程更是重中之重，要利用應(yīng)用案例多加練習(xí)．等等．明確專業(yè)需求之后，高等數(shù)學(xué)老師就可以對(duì)教學(xué)側(cè)重點(diǎn)有更準(zhǔn)確的把握，知道往哪個(gè)方向用力，達(dá)到深入淺出、融會(huì)貫通的教學(xué)效果．

2將專業(yè)應(yīng)用案例融入高等數(shù)學(xué)課堂

2．1引入專業(yè)應(yīng)用案例的必要性

引進(jìn)專業(yè)應(yīng)用案例，是高等數(shù)學(xué)與專業(yè)協(xié)作最直接的途徑．引入專業(yè)應(yīng)用案例可以一舉多得:(1)強(qiáng)化學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)．按照建構(gòu)主義理論，學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的強(qiáng)弱，會(huì)直接影響學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性．引進(jìn)專業(yè)應(yīng)用案例，可以強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)有動(dòng)力與潛能，有利于高等數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的建構(gòu);(2)理解數(shù)學(xué)本質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)中的概念來(lái)源于實(shí)踐，應(yīng)用于實(shí)踐．結(jié)合實(shí)踐應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)可以“活”起來(lái)，而不是高度抽象的、枯燥無(wú)趣的純數(shù)學(xué)理論．例如，“導(dǎo)數(shù)”這個(gè)概念，利用“瞬時(shí)速度”問(wèn)題與“切線斜率”問(wèn)題引入，歸納總結(jié)出導(dǎo)數(shù)概念，其內(nèi)涵是瞬時(shí)變化率(平均變化率的極限)．然后利用“導(dǎo)數(shù)”概念，可以表示一些科學(xué)量，如電流是電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，角速度是轉(zhuǎn)角對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等，這些案例可以幫助學(xué)生真正理解“導(dǎo)數(shù)”的本質(zhì);(3)培養(yǎng)應(yīng)用能力．大學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，通常是指應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想解決現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題的能力．在應(yīng)用型人才的培養(yǎng)過(guò)程中，從高等數(shù)學(xué)這一門(mén)課程考慮，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)無(wú)疑是課程改革的重中之重．培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力需要合適的載體，數(shù)學(xué)在專業(yè)中的應(yīng)用無(wú)疑是最好的載體．

2．2專業(yè)應(yīng)用案例舉例

以“定積分的應(yīng)用”這一章為例，具體列舉若干專業(yè)應(yīng)用案例．“定積分的應(yīng)用”是機(jī)械設(shè)計(jì)專業(yè)應(yīng)用很多的一部分內(nèi)容，主要集中在將科學(xué)量表示為積分，即“元素法”．例如，在《材料力學(xué)》中，“元素法”貫穿始終，在計(jì)算直桿內(nèi)力、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等科學(xué)量時(shí)，總是先求出所求量的“元素”，然后將所求量表達(dá)成積分．在《液壓與氣壓傳動(dòng)》中，在計(jì)算液體的流量時(shí)，先求出通過(guò)微小截面的流量，即流量“元素”，然后將所求流量表達(dá)成積分．所以，高等數(shù)學(xué)講授的重點(diǎn)應(yīng)該是“元素法”，不要將大量時(shí)間花費(fèi)在積分的計(jì)算，而應(yīng)該講透“元素法”的思想，反復(fù)練習(xí)用“元素法”的三個(gè)步驟將所求量表示為定積分，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題．筆者收集和設(shè)計(jì)了不少的應(yīng)用案例可供課堂教學(xué)．高等數(shù)學(xué)與大學(xué)物理的關(guān)系十分密切，關(guān)于定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用，一般的高等數(shù)學(xué)教材上都設(shè)置了專門(mén)的小節(jié)，這里不再贅述．下面列舉了幾個(gè)案例，分別來(lái)自電工電子技術(shù)、理論力學(xué)、材料力學(xué)、機(jī)械原理、液壓與氣壓傳動(dòng)等課程．例1［1］(電工電子技術(shù))已知電阻的功率p(t)=Ri2(t)，請(qǐng)將電阻在時(shí)間T內(nèi)消耗的能量表達(dá)示為積分．解微小時(shí)間dt內(nèi)，消耗的能量dw=p(t)dt=Ri2dt，則時(shí)間T內(nèi)消耗的能量w=?T0Ri2dt．例2［2］(理論力學(xué))剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量．剛體對(duì)任意軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為．Jz=∑mir2i．r表示質(zhì)點(diǎn)到z軸的距離．如圖1所示，均質(zhì)細(xì)直桿繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)桿長(zhǎng)為l，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為ρl，求該桿對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．解取桿上一微段dx，其質(zhì)量m=ρldx，則此桿對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jz=?l0x2．ρldx=ρll33．桿的質(zhì)量m=ρll，于是Jz=13ml2．例3［2］(理論力學(xué))剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量．已知均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz=∑miR2=mR2．如圖2所示，均質(zhì)圓板，半徑為R，質(zhì)量為m，求圓板對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．解將圓板分為無(wú)數(shù)同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的半徑為ri，寬度為dri，則薄圓環(huán)的質(zhì)量為mi=2πridriρ，其中ρ=mπR2，是單位面積的質(zhì)量．因此圓板對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=?R02πrρr2dr=12mR2．例4［3］(材料力學(xué))生產(chǎn)實(shí)踐中經(jīng)常遇到承受拉伸或壓縮的桿件，如活塞的桿，需要分析直桿軸被拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力與應(yīng)力．在拉桿的橫截面上，與軸力FN對(duì)應(yīng)的應(yīng)力是正應(yīng)力σ，若以A表示橫截面面積，請(qǐng)將FN表示為積分．解在面積元素dA上的內(nèi)力元素為σdA，整個(gè)面積A上的內(nèi)力FN=?AσdA．說(shuō)明:若橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力σ相等，即σ等于常量，則FN=σ?AdA=σA．例5［4］(液壓與氣壓傳動(dòng))液體流動(dòng)時(shí)受粘性的影響，所以通流截面上各點(diǎn)的流速u(mài)一般不相等．計(jì)算流過(guò)整個(gè)通流截面A的流量．解在通流截面A上取一微小截面dA，由于通流面積很小，所以可以認(rèn)為在微小面積dA內(nèi)各點(diǎn)的速度u相等，則流過(guò)微小截面的流量為dq=udA．對(duì)上式積分，可得流過(guò)整個(gè)通流截面A的流量為．q=?AudA例6［5］(機(jī)械原理)在機(jī)械上，研究軸端接觸面上S所受的壓力F，先從接觸面S上取微小的面積ds，ds上的壓力dF，然后，壓力F=?sdF．值得注意的是，在收集專業(yè)應(yīng)用案例時(shí)，必須考慮學(xué)生的接受能力．高等數(shù)學(xué)在大學(xué)一年級(jí)開(kāi)設(shè)，專業(yè)課程一般在二年級(jí)及以后開(kāi)設(shè)，對(duì)于案例中涉及到的專業(yè)概念或公式，學(xué)生還沒(méi)有接觸到，理解和接受起來(lái)有一定難度．所以，案例要慎重選擇，并且一定要適當(dāng)處理，做到既體現(xiàn)專業(yè)應(yīng)用背景，又體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，以便于在數(shù)學(xué)課堂上使用，達(dá)到良好的教學(xué)效果．上面的案例是經(jīng)過(guò)慎重選擇和精心處理的，充分考慮學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，確保在學(xué)生可接受范圍內(nèi)．例如，在例2和例3中，涉及到《理論力學(xué)》中的“轉(zhuǎn)動(dòng)慣量”這一概念，所以，在例題開(kāi)頭部分便對(duì)“轉(zhuǎn)動(dòng)慣量”進(jìn)行說(shuō)明，使學(xué)生能夠大致理解，然后在專業(yè)背景下考慮積分的應(yīng)用問(wèn)題．

篇7

除了物理學(xué)，其他學(xué)科也有穩(wěn)定性的概念，比如化學(xué)中講某物質(zhì)的化學(xué)性質(zhì)穩(wěn)定。而數(shù)學(xué)中講的穩(wěn)定性，則大多是指微分方程的解的穩(wěn)定性。這個(gè)穩(wěn)定性指的是初始值的一點(diǎn)小改變，不會(huì)引起整個(gè)解的大的改變。

不論是物理學(xué)中講的靜止平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，還是數(shù)學(xué)中講的微分方程的解的穩(wěn)定性，都是指某一對(duì)象（或某一狀態(tài)）在一定程度的外部影響下所表現(xiàn)出來(lái)的性狀。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，我們也討論三角形的“穩(wěn)定性”。但這種“穩(wěn)定性”顯然不同于上述物理學(xué)中討論靜止平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，也不同于數(shù)學(xué)中討論微分方程的解的穩(wěn)定性。

以人教版的課標(biāo)教材為例。四年級(jí)下冊(cè)中關(guān)于三角形的穩(wěn)定性是這樣編排的（如下圖所示）。

教學(xué)參考書(shū)對(duì)這一段的編寫(xiě)意圖是這樣描述的：穩(wěn)定性是三角形的重要特性，在生活中有著廣泛的應(yīng)用。對(duì)它進(jìn)行教學(xué)，可以讓學(xué)生對(duì)三角形有更為全面和深入的認(rèn)識(shí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐精神和實(shí)踐能力。教材對(duì)這一內(nèi)容的設(shè)計(jì)思路是“情境、問(wèn)題—實(shí)驗(yàn)、解釋—特性應(yīng)用”。

無(wú)論是教材還是教學(xué)參考書(shū)，都沒(méi)有對(duì)“穩(wěn)定性”在此具體表示什么意義作明確的界定。從教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，主要存在兩類認(rèn)識(shí)。一類認(rèn)識(shí)是認(rèn)為三角形的穩(wěn)定性就是如教材中所描述的：三角形的實(shí)物“拉不動(dòng)”；另一類認(rèn)識(shí)是認(rèn)為三角形的穩(wěn)定性是指當(dāng)三角形的三條邊的長(zhǎng)度確定后，這個(gè)三角形就被唯一確定了。當(dāng)四邊形的四條邊的長(zhǎng)度確定后，這個(gè)四邊形并不能唯一確定（即存在兩個(gè)形狀不同的四邊形，它們的四條邊長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)相等，這樣的兩個(gè)四邊形很容易構(gòu)造出來(lái)），因此，我們說(shuō)四邊形不具備穩(wěn)定性。

這兩種認(rèn)識(shí)各有優(yōu)點(diǎn)?！袄粍?dòng)”一說(shuō)直觀，學(xué)生容易感受，也不違背科學(xué)性。“唯一確定”一說(shuō)精確，嚴(yán)謹(jǐn)，數(shù)學(xué)味濃。而且，可以認(rèn)為這兩種觀點(diǎn)在一定程度上是一致的：“拉不動(dòng)”是抽象的三角形的數(shù)學(xué)性質(zhì)（三邊唯一確定三角形）在現(xiàn)實(shí)的物理世界中的體現(xiàn)。

但這兩種認(rèn)識(shí)在教學(xué)實(shí)踐中都會(huì)遇到一些問(wèn)題。一方面，對(duì)于“拉不動(dòng)”一說(shuō)，有學(xué)生指出，用鋼鐵焊接成一個(gè)四邊形，也拉不動(dòng)（事實(shí)上，盡管四邊形不具備“穩(wěn)定性”，現(xiàn)實(shí)生活中大量需要“穩(wěn)定”的東西，依然會(huì)做成四邊形的，門(mén)窗之類即是如此）。這與四邊形不具備“唯一確定”意義下的穩(wěn)定性似乎矛盾。另一方面，按“唯一確定”一說(shuō)，也有一些不太好解決的問(wèn)題。比如：正方形有沒(méi)有“穩(wěn)定性”？正方形當(dāng)然是“拉得動(dòng)”的，從這個(gè)意義上講，正方形沒(méi)有“穩(wěn)定性”。但確定正方形的邊長(zhǎng)后，正方形也唯一確定了。按“唯一確定”的認(rèn)識(shí)，正方形又是有“穩(wěn)定性”的。

筆者認(rèn)為，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，把“穩(wěn)定性”處理成“拉不動(dòng)”，是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的。不過(guò)，要強(qiáng)調(diào)的是，在教學(xué)實(shí)踐中，除了“拉一拉”，還應(yīng)該讓學(xué)生用三根小棒擺一擺三角形——全班同學(xué)不需商量，各自獨(dú)立擺，擺出來(lái)的一定是完全一樣的三角形。這樣可以讓學(xué)生感受到三角形的這種特性。還可以通過(guò)用對(duì)應(yīng)相等的四根小棒擺四邊形來(lái)作對(duì)比：甲與乙的四根小棒長(zhǎng)度是對(duì)應(yīng)相等的，但兩人可以擺出形狀不同的四邊形。

另一方面，我們也應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，這里的“穩(wěn)定性”，指的就是“確定性”，即在一定的條件下可以唯一確定一個(gè)圖形。只是三角形的這種確定性，在物理上表現(xiàn)為“拉不動(dòng)”，其他圖形的確定性，則不一定有這種表現(xiàn)。比如正方形即是如此：正方形可以由四條邊唯一確定，但不具備“拉不動(dòng)”的表現(xiàn)。

（作者單位：長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)教研室）

現(xiàn)在，我們終于將一根毛線引發(fā)的事件的原因找到了：是物體的物理屬性在作怪。不管是線段的位置，還是測(cè)量的誤差，以及穩(wěn)定性也好，都是物理屬性造成的。

生活中的毛線，不可能沒(méi)有寬度和厚度，也不可能完全是直的。正是這樣的屬性，讓生活中的毛線與數(shù)學(xué)中的線段有了一道不可逾越的坎。由此可見(jiàn)，生活中的物體與數(shù)學(xué)中的幾何圖形是有本質(zhì)區(qū)別的，其區(qū)別在于：數(shù)學(xué)中講的圖形，是拋棄了厚度、寬度、顏色等所有物理性質(zhì)的，但又具有一類物體的共有屬性。

于是，不管老師怎么樣形象描述，“將毛線拉直，就成了一條線段”、“一只蝴蝶是對(duì)稱圖形”這樣的話總是不那么正確的。在“幾何圖形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)這一塊，老師們普遍容易犯這樣的錯(cuò)誤。

數(shù)學(xué)世界是從生活世界原型中提煉出來(lái)的抽象模式。有鑒于它們之間的隔離會(huì)帶來(lái)消極的后果，我們贊成教學(xué)時(shí)可以借鑒生活世界，以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)世界，但這并不等于教學(xué)應(yīng)回歸生活世界，并不等于數(shù)學(xué)世界回歸生活世界。當(dāng)我們說(shuō)“生活中有數(shù)學(xué)”，說(shuō)“生活中的數(shù)學(xué)”時(shí)，其實(shí)是說(shuō)，生活中有數(shù)學(xué)的素材，有數(shù)學(xué)的應(yīng)用，也有數(shù)學(xué)發(fā)展的課題與動(dòng)力。我們認(rèn)為，圖形的教學(xué)，乃至整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)，既要貼近生活，更要超越生活；既努力從生活中來(lái)，又努力回到生活中去，還要在來(lái)與去之間努力超越。

也就是說(shuō)，生活世界有自身不可克服的局限性，它不可能給我們提供太多的理性承諾。所以數(shù)學(xué)教學(xué)必須也應(yīng)該著眼于社會(huì)生活中無(wú)法獲得、而必須由數(shù)學(xué)教學(xué)才能獲得的經(jīng)驗(yàn)。

教學(xué)中，我們要怎么做才能避免出現(xiàn)上述狀況呢？具體到課堂中，從上述幾位老師的觀點(diǎn)中可以總結(jié)出，我們需要讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，這樣才能巧妙越過(guò)生活原型與數(shù)學(xué)模式之間的坎。

篇8

Abstract： This paper briefly describes the backward of the traditional mathematics teaching mode， puts forward the idea of integrating mathematical modeling into the traditional teaching methods of higher mathematics meets the requirements of quality education， and discusses the feasibility， methods， function and significance.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)建模；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)

Key words： mathematical modeling；higher mathematics；teaching

中圖分類號(hào)：G652 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2016）30-0215-02

0 引言

高等數(shù)學(xué)課程在高等學(xué)校非數(shù)學(xué)專業(yè)的教學(xué)計(jì)劃中是一門(mén)重要的基礎(chǔ)理論課。通過(guò)掌握這門(mén)課程，能夠幫助其更好地學(xué)習(xí)其他基礎(chǔ)課和多數(shù)專業(yè)課，很多課程都或多或少的涉及到高等數(shù)學(xué)課程，它是這些課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)建模是用圖表、程序、數(shù)學(xué)式子、數(shù)學(xué)符號(hào)等刻畫(huà)客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系，將抽象的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。

數(shù)學(xué)建模一般分為五個(gè)基本環(huán)節(jié)：①模型設(shè)置；②模型構(gòu)成；③模型求解；④模型檢驗(yàn)；⑤模型應(yīng)用。

數(shù)學(xué)建模涉及的問(wèn)題方方面面，且千變?nèi)f化，建模過(guò)程可以說(shuō)是滲透數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程，在不同的實(shí)際問(wèn)題中數(shù)學(xué)建?？梢詽B透不同的思想方法和數(shù)學(xué)方法，其中思想方法主要包括探索思想、聯(lián)想思想、類比化歸和類比、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、邏輯劃分的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、方程的思想等；數(shù)學(xué)方法主要包括歸納法、解析法、反證法、配方法、待定系數(shù)法、換元法、消元法等。通過(guò)數(shù)學(xué)建模，學(xué)生們能夠了解和學(xué)習(xí)到很多的數(shù)學(xué)思想方法，如此不僅能夠提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，還能夠使學(xué)生從本質(zhì)上理解數(shù)學(xué)建模的思想（數(shù)學(xué)建模過(guò)程圖見(jiàn)圖1）。

1 高等數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)教學(xué)模式現(xiàn)狀

隨著社會(huì)的進(jìn)步，很多高校開(kāi)始改革和創(chuàng)新自身的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式，但部分高校依然采用的是傳統(tǒng)的教學(xué)模式，導(dǎo)致其教學(xué)過(guò)程中存在以下問(wèn)題：一是教學(xué)方式落后，采取的教學(xué)方法還是以“填鴨式”為主，教師過(guò)分地主導(dǎo)課堂，學(xué)生的主觀能動(dòng)性很低，只能被動(dòng)地接收教師講授的知識(shí)，不利于自身創(chuàng)造力和想象力的培養(yǎng)；二是教學(xué)過(guò)程過(guò)分重視邏輯性，忽視了應(yīng)用性。當(dāng)前社會(huì)對(duì)人才的要求同過(guò)去相比有了很大變化，很多企業(yè)都十分重視學(xué)生的實(shí)踐能力，而傳統(tǒng)教學(xué)模式下培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生普通實(shí)踐能力較弱，理論知識(shí)較扎實(shí)，如此遇到實(shí)際問(wèn)題常常沒(méi)有能力解決，無(wú)法滿足當(dāng)代用人單位的需求；三是學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高。在傳統(tǒng)的教學(xué)模式下學(xué)生較少有機(jī)會(huì)進(jìn)行自主思考和探索，多數(shù)時(shí)間都在消化教師講授的知識(shí)，長(zhǎng)此以往下去學(xué)生由于無(wú)法體會(huì)到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣和解決問(wèn)題的成就感，很容易對(duì)學(xué)習(xí)失去興趣，如此不利于高校人才的培養(yǎng)。

2 建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的可行性

高職高專作為一種職業(yè)技術(shù)教育，其培養(yǎng)的學(xué)生都是應(yīng)用型人才，而數(shù)學(xué)建模也旨在解決各類實(shí)際問(wèn)題，兩者在這一點(diǎn)上目的是相同的，因此在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入建模思想是可行的，具體原因分析如下：一是由于高職學(xué)生的目的就是成為應(yīng)用型人才，高職學(xué)生比其它層次的學(xué)生更清楚實(shí)際生產(chǎn)問(wèn)題的流程，而數(shù)學(xué)建模往往伴隨著各類實(shí)際問(wèn)題，從這個(gè)角度講，高職學(xué)生更了解實(shí)際生產(chǎn)問(wèn)題的流程，因此比其它層次的學(xué)生更具優(yōu)勢(shì)；二是計(jì)算機(jī)高職學(xué)生已經(jīng)掌握了一定的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，且具有一定的解決實(shí)際問(wèn)題的能力，這就使得在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入建模思想具有了一定的先天優(yōu)勢(shì)，大大增加了其可行性。

3 數(shù)學(xué)建模融入到高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的方法

將建模思想融入到高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生在學(xué)習(xí)理論知識(shí)的同時(shí)還能夠進(jìn)行實(shí)踐，使自身的理論知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)融會(huì)貫通，從而大大提升自身的實(shí)力，具體在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的方法如下：

3.1 弄清、搞透概念的意義

正因?yàn)閷?shí)際需要才產(chǎn)生了數(shù)學(xué)概念，所以在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)注重將抽象的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)。高等數(shù)學(xué)中定積分的概念和導(dǎo)數(shù)的概念至關(guān)重要，其中導(dǎo)數(shù)的概念就是從交變電路的電流強(qiáng)度、物理學(xué)的變速直線運(yùn)動(dòng)的速度及幾何曲線的切線斜率等實(shí)際問(wèn)題抽象出來(lái)的。這同時(shí)也說(shuō)明了導(dǎo)數(shù)的概念具有廣泛的應(yīng)用意義，通過(guò)掌握導(dǎo)數(shù)的概念可以解決生活中遇到的很多實(shí)際問(wèn)題。定積分的基本思想是“化整為零取近似，聚零為整求極限”。定積分概念建立的關(guān)鍵是以局部取近似以直代曲，應(yīng)抽象以常量代替變量。

3.2 加深、推廣應(yīng)用問(wèn)題

高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用問(wèn)題眾多，其中最具代表性的如下所示：

①最值問(wèn)題。在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中最值問(wèn)題是最先接觸到的問(wèn)題，教學(xué)中學(xué)習(xí)到的解決最值問(wèn)題的方法實(shí)際上就是比較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想。

②定積分的應(yīng)用?！拔⒃ā边@一思想根植于定積分的概念，在教學(xué)過(guò)程中必須將定積分的概念進(jìn)行充分的分析，使學(xué)生能夠真正地掌握和靈活應(yīng)用定積分，如此采用微元法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)才能得心應(yīng)手。

③微分方程就是為了解決實(shí)際問(wèn)題。利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型尚未建立統(tǒng)一的規(guī)則方法。通常采取的步驟是：首先確定變量，分析這些變量和他們的微元或變化率之間的關(guān)系，然后結(jié)合相關(guān)學(xué)科的理論知識(shí)和相關(guān)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)建立其微分方程，再對(duì)方程求解，并分析驗(yàn)證結(jié)果。微分方程能夠解決很多實(shí)際問(wèn)題，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)本著由淺入深的原則，多舉實(shí)例。

3.3 高等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)模型的案例教學(xué)

案例教學(xué)，顧名思義就是在課堂教學(xué)中以具體案例作為教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)具體問(wèn)題的建模范例，介紹數(shù)學(xué)建模的思想方法。

4 數(shù)學(xué)建模融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的功能和意義

4.1 數(shù)學(xué)建模的教育功能

4.1.1 數(shù)學(xué)建模課程有助于深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀

人們對(duì)數(shù)學(xué)的總體看法就是數(shù)學(xué)觀。在生活中我們發(fā)現(xiàn)常常有數(shù)學(xué)系的學(xué)生發(fā)出感嘆“學(xué)數(shù)學(xué)到底有什么用”，并且常常因?yàn)橛X(jué)得學(xué)數(shù)學(xué)沒(méi)有用途而對(duì)繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)失去興趣，反之是一些經(jīng)常用到數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)科（物理、計(jì)算機(jī)等）認(rèn)為數(shù)學(xué)的作用很大。由此我們發(fā)現(xiàn)只有在實(shí)踐中數(shù)學(xué)才會(huì)發(fā)散其魅力，通過(guò)數(shù)學(xué)建模課程，學(xué)生有機(jī)會(huì)將自身學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行實(shí)踐，學(xué)習(xí)效果將事半功倍。

4.1.2 數(shù)學(xué)建模有助于訓(xùn)練學(xué)生的思維品質(zhì)

曾有學(xué)者說(shuō)過(guò)，思維品質(zhì)主要包括思維的敏捷性、思維的批判性、思維的獨(dú)創(chuàng)性、思維的靈活性、思維的深刻性。通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的實(shí)踐我們發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中這些思維品質(zhì)都能夠得到培養(yǎng)和鍛煉。

要想建立數(shù)學(xué)模型，首先必須對(duì)實(shí)際問(wèn)題有個(gè)充分的了解，基于此才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，繼而解決問(wèn)題。在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，需要先將抽象的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后分析求解目標(biāo)、已知條件和未知條件，要求很高的思維的深刻性和敏捷性。同時(shí)由于學(xué)生面對(duì)的建模問(wèn)題是一個(gè)未知的問(wèn)題，學(xué)生在建模過(guò)程中必須充分地發(fā)揮自身的想象力和洞察力，不斷地轉(zhuǎn)換思維角度，靈活應(yīng)變才能完成數(shù)學(xué)建模。

此外，在完成了模型的建立后，還要進(jìn)行分析和檢驗(yàn)。這是一個(gè)回顧和反思的過(guò)程，在此過(guò)程中培養(yǎng)了學(xué)生的思維批判性。

4.1.3 數(shù)學(xué)建模有助于發(fā)展學(xué)生良好的非智力因素

實(shí)踐表明，當(dāng)學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)的作用時(shí)，其學(xué)習(xí)熱情和主動(dòng)性會(huì)更強(qiáng)，會(huì)更自覺(jué)地投入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中去。通過(guò)數(shù)學(xué)建模學(xué)生拓展了自身的知識(shí)儲(chǔ)備，豐富了自己的視野。不可否認(rèn)數(shù)學(xué)是一門(mén)較難的學(xué)科，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能夠鍛煉自身堅(jiān)忍不拔的意志，不僅如此，通過(guò)和同學(xué)討論探討，還能夠培養(yǎng)自身的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

4.2 數(shù)學(xué)建模的融入有利于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育由“應(yīng)試教育”向“素質(zhì)教育”的轉(zhuǎn)變

過(guò)去我國(guó)實(shí)行的是應(yīng)試教育，現(xiàn)在我國(guó)追求的是素質(zhì)教育，素質(zhì)教育的目的是為了提高全民素質(zhì)，它注重的是教育的發(fā)展功能，是為全體學(xué)生謀福利的。

數(shù)學(xué)教育思想改變了過(guò)去少數(shù)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀，將其變成了大眾數(shù)學(xué)，它認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是為了考試，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能夠幫助我們解決很多實(shí)際問(wèn)題，數(shù)學(xué)教育思想體現(xiàn)在基礎(chǔ)教育中的，數(shù)學(xué)教育是面對(duì)全體學(xué)生的，而不是少數(shù)數(shù)學(xué)尖子生。

培養(yǎng)學(xué)生的素質(zhì)和能力應(yīng)該有兩個(gè)方面，一是通過(guò)分析、計(jì)算或邏輯推理能夠正確、快速地求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，即運(yùn)用已經(jīng)建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型；二是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法去抽象、概括客觀對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律，構(gòu)造出待解決的實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

5 結(jié)語(yǔ)

既然數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育，數(shù)學(xué)建模不僅凸現(xiàn)出其重要性，而且已成為現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分。學(xué)生通過(guò)開(kāi)展數(shù)學(xué)建模的訓(xùn)練，能夠拓展自身的知識(shí)儲(chǔ)備，豐富自己的視野，提高其綜合實(shí)力，使自身成長(zhǎng)為一名優(yōu)秀的理論知識(shí)和實(shí)踐能力兼?zhèn)涞娜瞬?。因此在高等院校開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)至關(guān)重要，它能夠幫助高校培養(yǎng)出更多的優(yōu)秀的應(yīng)用型人才，真正地提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]李大潛.數(shù)學(xué)建模與素質(zhì)教育[J].中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2002（10）.

篇9

一、數(shù)學(xué)有助于經(jīng)濟(jì)學(xué)的精深化

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性與嚴(yán)密的邏輯推理性，比如在物體冷卻、鐳的衰變、細(xì)胞的繁殖，樹(shù)木的生長(zhǎng)等等現(xiàn)象中出現(xiàn)的函數(shù)：

…(1)

在經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中也有其現(xiàn)實(shí)意義。

假設(shè)本金為Ao，利率為r，期數(shù)為t，每期結(jié)算次數(shù)為m，則本利和Am為：

…(2)

通過(guò)實(shí)踐我們知道，當(dāng)本金Ao，利率r及期數(shù)t不變的情況下，每期結(jié)算的次數(shù)m變大則本利和也變大；m減小，則本利和Am也變小。那么通過(guò)增加每期結(jié)算次數(shù)而增加的收入會(huì)不會(huì)無(wú)限增大呢?這一問(wèn)題顯然用經(jīng)濟(jì)理論難以闡明。運(yùn)用微積分中的極限理論既可得出精確的結(jié)論。我們對(duì)(2)式求當(dāng)m∞時(shí)的極限得：

．

說(shuō)明當(dāng)每期結(jié)算次數(shù)m無(wú)限制變大時(shí)，本利和不會(huì)無(wú)限制地增大，而是逐漸趨向于常量 ，由此可以看出數(shù)學(xué)方法可以準(zhǔn)確地闡明經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中某些內(nèi)在的本質(zhì)問(wèn)題，僅用經(jīng)濟(jì)理論與語(yǔ)言去分析經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象是缺乏說(shuō)明服力的。而且由于現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的復(fù)雜性，需要借助更多的數(shù)學(xué)方法。數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的誕生與發(fā)展說(shuō)明數(shù)學(xué)的各個(gè)分支如微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，微分方程甚至極其抽象的拓?fù)鋵W(xué)。泛函分析，微分流形等廣泛適用于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的各個(gè)方面。越抽象的數(shù)學(xué)工具越適合分析實(shí)際上十分復(fù)雜的事物。經(jīng)濟(jì)學(xué)家運(yùn)用數(shù)學(xué)形式能夠?qū)?jīng)濟(jì)理論進(jìn)行嚴(yán)格檢驗(yàn)，所達(dá)到的嚴(yán)密性與傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)研究形成鮮明的對(duì)比。當(dāng)代杰出成就的經(jīng)濟(jì)學(xué)家如薩謬爾遜(著有《經(jīng)濟(jì)分析基礎(chǔ)》)、瓦爾攔斯(建立了一般的均衡價(jià)格模型等)、杰文斯、阿羅.德布魯?shù)纫淮笈鷥?yōu)秀的經(jīng)濟(jì)學(xué)家都具有相當(dāng)高深的數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)為他們提供了一種語(yǔ)言，一種方法使之能夠?qū)哂懈叨葟?fù)雜的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行有效的研究。

二、數(shù)學(xué)對(duì)經(jīng)濟(jì)研究的先導(dǎo)性

數(shù)學(xué)誕生于客觀的物質(zhì)世界，但它的研究發(fā)展卻超脫于物質(zhì)世界。它是人類智慧的結(jié)晶。例如圓周率在小數(shù)點(diǎn)后精確位數(shù)的確認(rèn)，由常量分析到變量分析，笛卡兒坐標(biāo)系的確立，極限的認(rèn)識(shí)等數(shù)學(xué)知識(shí)，每前進(jìn)一步都對(duì)自然科學(xué)產(chǎn)生劃時(shí)代的影響。人類對(duì)數(shù)學(xué)的探索已有二千多年的歷史，其理論體系日臻完善，經(jīng)濟(jì)學(xué)家一旦掌握并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法指導(dǎo)經(jīng)濟(jì)理論，便能迅速達(dá)到該領(lǐng)域的前沿。在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的幾百年歷史中，近代經(jīng)濟(jì)學(xué)家運(yùn)用數(shù)學(xué)方法后，經(jīng)濟(jì)理論的研究便有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，庫(kù)諾、屠能、戈森等人運(yùn)用數(shù)學(xué)方法(主要是函數(shù)關(guān)系式微分方程組)建立經(jīng)濟(jì)理論的軌道。從靜態(tài)分析，比較靜態(tài)分析到動(dòng)態(tài)分析，從局部均衡分析、單個(gè)市場(chǎng)均衡分析、一般均衡分析到動(dòng)態(tài)均衡分析，從完全競(jìng)爭(zhēng)分析到買(mǎi)方和賣(mài)方的多種壟斷分析、從市場(chǎng)效率分析到市場(chǎng)缺陷分析等等卻是數(shù)學(xué)在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最新應(yīng)用成果。

阿羅.英特里利益特將數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展所做的十一個(gè)方面的歸納，比如整體分析即人們把微積分與拓?fù)鋵W(xué)結(jié)合起來(lái)，用以研究在經(jīng)濟(jì)發(fā)生變動(dòng)時(shí)，經(jīng)濟(jì)均衡及偏離的性質(zhì)；對(duì)偶理論即把集合論與微積分結(jié)合起來(lái)研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，最優(yōu)稅收，最優(yōu)增長(zhǎng)理論的多部門(mén)增長(zhǎng)模型，無(wú)一不是數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用。

篇10

李大潛：數(shù)學(xué)家。1937年11月10日生于江蘇南通。1957年畢業(yè)于復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系并留校任教。1995年當(dāng)選為中國(guó)科學(xué)院院士。長(zhǎng)期從事偏微分方程理論及應(yīng)用研究，取得了多項(xiàng)具有國(guó)際先進(jìn)水平的成果。其中對(duì)一般形式的二自變數(shù)擬線性雙曲型方程組的自由邊界問(wèn)題和間斷解的系統(tǒng)研究，以及對(duì)非線性波動(dòng)方程經(jīng)典解的整體存在性及生命跨度的完整結(jié)果均處于國(guó)際領(lǐng)先地位。曾獲我國(guó)數(shù)學(xué)界最高獎(jiǎng)――華羅庚獎(jiǎng)。2008年被法國(guó)政府授予法國(guó)榮譽(yù)勛位騎士勛章。

去年12月的寒冬，上海馬路兩旁的法國(guó)梧桐葉子全掉了，可是復(fù)旦大學(xué)光華樓前廣袤的草坪依然碧綠如茵。在一片金色的陽(yáng)光下，只見(jiàn)一位充滿學(xué)者風(fēng)度的長(zhǎng)者騎著一輛老式自行車(chē)沿著靜謐的望道路向光華樓而來(lái)，他就是剛從國(guó)外訪問(wèn)歸來(lái)的李大潛先生。

傳承發(fā)展天道酬勤

1937年11月10日，李大潛出生于江蘇南通。其時(shí)抗戰(zhàn)伊始，烽火連天。襁褓中的李大潛被父母抱著逃難到上海，暫住法租界的巴黎新村。兩歲起，他就跟著母親讀書(shū)習(xí)字。4歲重返故里時(shí)，順利入讀于當(dāng)?shù)氐男W(xué)。由于發(fā)蒙早，又先天聰慧，李大潛的知識(shí)基礎(chǔ)自然比同齡孩子扎實(shí)，9歲時(shí)便跳級(jí)升入南通商益中學(xué)（現(xiàn)啟秀中學(xué)）；三年后又以總分第一的成績(jī)考入當(dāng)?shù)刈钬?fù)盛名的南通中學(xué)，且連連得到名師的點(diǎn)撥，因此在中學(xué)階段他對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研勁頭已經(jīng)不小了。

然而，李大潛的中學(xué)生活也碰到了至今令他難忘的事件：剛?cè)胫袑W(xué)的第一次算術(shù)測(cè)驗(yàn)給了他一次“下馬威”。

“我自小好強(qiáng)爭(zhēng)勝，測(cè)驗(yàn)時(shí)也逞能地?fù)尳活^卷。那次測(cè)驗(yàn)我故態(tài)復(fù)萌，題目來(lái)了以后，也沒(méi)有仔細(xì)想清楚，搶著第一個(gè)交卷。由于對(duì)題目理解不深入，又不仔細(xì)檢查，結(jié)果只得了18分。當(dāng)時(shí)教我算術(shù)的老師非常嚴(yán)格，規(guī)定60分及格，決不遷就，你達(dá)不到60分，少一分打一記手心，我才18分該打多少記手心呵，而且用的是戒尺。舊教育制度下的嚴(yán)師是一點(diǎn)也不會(huì)馬虎的。我那時(shí)是跳級(jí)升入初中，從來(lái)沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)這種陣勢(shì)，當(dāng)然就號(hào)啕大哭了?！边@下，又引起還在讀小學(xué)六年級(jí)的一些老同學(xué)的冷嘲熱諷：“李大潛，中學(xué)生，算術(shù)考了18分！”

好強(qiáng)的心靈被“18分事件”深深刺痛，在日后人生的道路上他一直警策著自己：凡事不能粗枝大葉，更不能急于求成，而應(yīng)細(xì)致沉潛，一絲不茍?！?8分說(shuō)明我并不是一位天生的數(shù)學(xué)家，我之所以能在數(shù)學(xué)上取得一些成績(jī)，只不過(guò)是我對(duì)數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣，又幸得恩師栽培，自己又肯為數(shù)學(xué)付出較多努力而已。”這里所說(shuō)的興趣，很大程度是得益于青少年時(shí)代的李大潛沒(méi)有一味埋首于課堂上的教材，而是讀了大量“閑書(shū)”，助他打開(kāi)了視野，諸如當(dāng)時(shí)能讀到的蘇聯(lián)科普作家別萊利曼編寫(xiě)的《趣味幾何學(xué)》、《趣味代數(shù)學(xué)》等科普讀物。李大潛至今清晰地記得，這些書(shū)里面引用了馬克?吐溫、儒勒?凡爾納等名家小說(shuō)動(dòng)人的片斷，這給喜愛(ài)文學(xué)的少年李大潛留下了深刻的印象。“在這些科普讀物里，數(shù)學(xué)案例來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活，覺(jué)得非常生動(dòng)。比如，在荒無(wú)人煙的地方如何測(cè)出當(dāng)?shù)氐慕?jīng)緯度；再比如，河對(duì)面有一棵樹(shù)，不過(guò)河，怎么測(cè)出樹(shù)的高度，這些都是數(shù)學(xué)問(wèn)題。我覺(jué)得數(shù)學(xué)特別活，使我產(chǎn)生興趣，令我著迷⋯⋯”

1953年，才15歲的李大潛考入了復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系，成為那一屆學(xué)生中年齡最小的一個(gè)，用現(xiàn)在的話來(lái)說(shuō)就叫“少年大學(xué)生”。李大潛的父親當(dāng)年送給兒子的禮物是一個(gè)自制的竹子筆筒，上面親手寫(xiě)下了“自強(qiáng)不息”四個(gè)大字。李大潛接過(guò)筆筒，也將此贈(zèng)言作為自己的座右銘，奏響了人生道路的主旋律：在往后的歲月里，要不斷地傳承，更要不斷地有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)新；要自強(qiáng)必須勤奮，天道酬勤是恒理；“不息”是時(shí)間尺度，“自強(qiáng)”是空間畫(huà)卷⋯⋯李大潛深有感慨地說(shuō)：“進(jìn)了復(fù)旦后，我有幸遇到恩師蘇步青和谷超豪等老一輩數(shù)學(xué)名家，是他們?cè)耘嗪吞釘y了我，他們也一直對(duì)我說(shuō)，做學(xué)問(wèn)貴在堅(jiān)持?！边@同父親“自強(qiáng)不息”的教誨完全諧和。李大潛在復(fù)旦得到了扎實(shí)的數(shù)學(xué)訓(xùn)練和數(shù)學(xué)文化的熏陶，在本科階段就參加了蘇步青、谷超豪組織的微分幾何討論班并受到兩位先生的賞識(shí)，以后更成就了數(shù)學(xué)界“蘇門(mén)三代”的佳話。

如果對(duì)復(fù)旦數(shù)學(xué)系“蘇門(mén)三代”的說(shuō)法望文生義，認(rèn)為是“近親繁殖”，那就大錯(cuò)特錯(cuò)了。其實(shí)，他們之間雖有明確的傳承關(guān)系，但更注重的是與時(shí)俱進(jìn)的個(gè)人創(chuàng)新。在師道傳承的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，個(gè)人孕育的嶄新發(fā)展更令學(xué)界關(guān)注。李大潛儒雅地表示：“我的兩位恩師在學(xué)術(shù)上造詣精深，成就卓著，他們是確保‘復(fù)旦薪火，代代相傳，生生不息’的本源，也是復(fù)旦數(shù)學(xué)系實(shí)力的印證。他們不僅一直鼓勵(lì)和支持學(xué)生們創(chuàng)新和超越，而且還不斷開(kāi)拓自己的研究領(lǐng)域，一直是帶著‘傳承+發(fā)展’的眼光來(lái)做學(xué)問(wèn)的。如果安于接受前人的衣缽，那么，‘君子之澤，五世而斬’，復(fù)旦數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)也不會(huì)綿延至今?！?/p>

是啊，蘇步青院士作為中國(guó)微分幾何學(xué)派的創(chuàng)始人，在國(guó)際數(shù)學(xué)界享有“東方第一幾何學(xué)家”的美譽(yù)，直到晚年，身處“”的磨難歲月，還開(kāi)創(chuàng)了計(jì)算幾何的新學(xué)科。谷超豪院士曾是蘇先生創(chuàng)立微分幾何學(xué)派的中堅(jiān)力量，他在蘇先生的支持下赴蘇聯(lián)留學(xué)，不僅研習(xí)了現(xiàn)代微分幾何，還進(jìn)一步轉(zhuǎn)向了偏微分方程的研究方向，后來(lái)又在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域開(kāi)創(chuàng)了學(xué)術(shù)上的輝煌。而李大潛則在偏微分方程方面得到谷先生的嚴(yán)格訓(xùn)練，并在擬線性雙曲組的領(lǐng)域中接過(guò)了谷先生的接力棒，開(kāi)始了自己的系統(tǒng)研究。后來(lái)，又在蘇步青和谷超豪的鼓勵(lì)與支持下，赴法國(guó)深造，在法國(guó)現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)派創(chuàng)始人里翁斯院士的指導(dǎo)下，走進(jìn)了應(yīng)用數(shù)學(xué)這一廣闊的領(lǐng)域。1998年，在中法兩國(guó)元首的積極支持下，由復(fù)旦大學(xué)與Ecole Polytechnique合作在上海建立了中法應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，由李大潛擔(dān)任中方所長(zhǎng)，至今已超過(guò)了10年。通過(guò)一系列學(xué)術(shù)交流活動(dòng)，中法兩國(guó)一大批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家建立了深厚的友誼，彼此不斷獲得啟迪和教益，合作雙方的研究工作出現(xiàn)了新的面貌，獲得不少成果，也為中法兩國(guó)人民的友誼架起了橋梁。為此，2008年11月14日法國(guó)政府授予李大潛教授法國(guó)榮譽(yù)勛位騎士勛章，以表彰他多年來(lái)致力于中法應(yīng)用數(shù)學(xué)研究做出的杰出貢獻(xiàn)。這一勛章屬于拿破侖一世于1802年建立的法國(guó)最高榮譽(yù)勛位系列，目前只有極少數(shù)中國(guó)科學(xué)家獲此殊榮。

展開(kāi)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

研究的雙翅

1996年9月2日，李大潛在答復(fù)一名中學(xué)生的信中哲理獨(dú)到地指出：一個(gè)翅膀的鳥(niǎo)不能飛翔，即使勉強(qiáng)飛了起來(lái)，也只能原地打轉(zhuǎn)，更何談高飛、遠(yuǎn)飛。

李大潛的成功，也正是得益于他能展開(kāi)雙翅。

1957年，19歲的李大潛以大學(xué)四年各科全優(yōu)的成績(jī)順利畢業(yè)，由于他在數(shù)學(xué)方面的扎實(shí)基礎(chǔ)和研究方面的初露頭角，受到蘇步青教授的青睞，親自提名他留校任教。獲得恩師青睞，又能身處濃厚的學(xué)術(shù)環(huán)境，真是天賜良機(jī)，讓李大潛有機(jī)會(huì)步入數(shù)學(xué)殿堂。青年李大潛第一個(gè)科研方向便是協(xié)助剛從莫斯科大學(xué)學(xué)成歸國(guó)的谷超豪先生，以空氣動(dòng)力學(xué)中的激波現(xiàn)象為背景，開(kāi)展對(duì)偏微分方程中一個(gè)新的重要研究方向――擬線性雙曲型方程組的理論研究。以“自強(qiáng)不息”為動(dòng)力，憑扎實(shí)的基礎(chǔ)和激情的投入，在谷先生的悉心指導(dǎo)下，李大潛的科研果然很快有了進(jìn)展。1961年，全國(guó)首屆偏微分方程學(xué)術(shù)會(huì)議在北京召開(kāi)，谷先生給他壓了重?fù)?dān)，讓初出茅廬的他介紹這一項(xiàng)科研成果。

旗開(kāi)得勝后，李大潛更是一鼓作氣，使項(xiàng)目研究向縱深推進(jìn)。經(jīng)過(guò)三十多年的拼搏，取得了累累碩果，在對(duì)一般形式的二自變數(shù)擬線性雙曲型方程組的自由邊界問(wèn)題和間斷解方面，建立了國(guó)際上迄今最完整的局部解理論，并獲得有關(guān)整體解的系統(tǒng)深入的成果，屢屢被國(guó)際數(shù)學(xué)界用作理論依據(jù)。美國(guó)數(shù)學(xué)家D.G.Schaeffer對(duì)李大潛與合作者共同撰寫(xiě)的英文專著《擬線性雙曲組的邊值問(wèn)題》（1985）評(píng)論道：“他們以如此的功力和盡善盡美的方式來(lái)處理這一主題⋯⋯將其推進(jìn)到超過(guò)我原來(lái)想象可以達(dá)到的程度。”

1992年，李大潛與他的博士生合著的英文專著《非線性發(fā)展方程的整體經(jīng)典解》在英國(guó)出版，國(guó)際數(shù)學(xué)界評(píng)論該書(shū)“無(wú)疑將成為這項(xiàng)高難度研究中的一個(gè)里程碑”。法國(guó)科學(xué)院院士里翁斯教授認(rèn)為：“關(guān)于非線性波動(dòng)方程，過(guò)去10年里，一些杰出的數(shù)學(xué)家都曾得到許多深刻的結(jié)果，就在這同一段時(shí)間里，李大潛教授成功地超越了所有這些成果，因而在這一非常重要而又深入的領(lǐng)域中成為極少數(shù)幾個(gè)處于世界領(lǐng)先地位的帶頭人中的一個(gè)。”

1994年，李大潛的專著《擬線性雙曲組的整體經(jīng)典解》在法國(guó)出版，又一次贏得數(shù)學(xué)界的好評(píng)，認(rèn)為李大潛“得到了氣體動(dòng)力學(xué)中好幾個(gè)經(jīng)典問(wèn)題解的結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)多年來(lái)一直只是猜測(cè)，而李大潛卻嚴(yán)密地證實(shí)了這一點(diǎn)”，“十分令人激動(dòng)”。

研究結(jié)出的碩果是他不斷學(xué)習(xí)的必然結(jié)果。20世紀(jì)60年代，正當(dāng)李大潛一帆風(fēng)順地在復(fù)旦數(shù)學(xué)系任教并讀在職研究生時(shí)，遭遇到他人生第一次真正的挑戰(zhàn)――爆發(fā)了史無(wú)前例的“”，科研與教育都被迫中斷了，他也被先后下放到上海電機(jī)廠和上海汽輪機(jī)廠進(jìn)行勞動(dòng)鍛煉。

盡管原本憧憬中的學(xué)術(shù)道路被完全改變了，但工廠里大量迫切需要解決的生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題，卻又激發(fā)了他的鉆研沖動(dòng)。“當(dāng)時(shí)看到廠里有一大批生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題，仔細(xì)了解后，發(fā)現(xiàn)這些問(wèn)題的背后實(shí)際上都有數(shù)學(xué)問(wèn)題。為了能與工人師傅及技術(shù)人員溝通，我就利用這個(gè)機(jī)會(huì)自學(xué)了大學(xué)物理系的課程，一門(mén)一門(mén)鉆研，包括電動(dòng)力學(xué)、相對(duì)論、量子力學(xué)、彈性力學(xué)等等。也就在這個(gè)階段，我認(rèn)認(rèn)真真地思考了數(shù)學(xué)怎么聯(lián)系實(shí)際的問(wèn)題。應(yīng)該說(shuō)，這成了我后來(lái)走上應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)非常重要的起點(diǎn)?！?/p>

學(xué)科的貫通和視野的高遠(yuǎn)，令李大潛展開(kāi)了理論研究與應(yīng)用研究的雙翅。從1974年至1986年，他調(diào)集了自己多年的通透學(xué)識(shí)，為解決我國(guó)石油開(kāi)發(fā)中至關(guān)重要的判斷石油層位置和儲(chǔ)量的問(wèn)題，成功提出了“電阻率法測(cè)井的數(shù)學(xué)模型與方法”。為此，他曾六次深入湖北江漢油田實(shí)地調(diào)研，幫助設(shè)計(jì)制造出填補(bǔ)國(guó)內(nèi)技術(shù)空白的微球型聚焦測(cè)井儀并編制了相應(yīng)的解釋圖版，在我國(guó)大慶、江漢、中原等十多家油田一直推廣使用至今。李大潛信心十足地說(shuō)：“理論與應(yīng)用是相輔相成的，這個(gè)課題不僅取得了良好的地質(zhì)效果和經(jīng)濟(jì)效益，而且有力地推動(dòng)了偏微分方程的理論研究，促使我們建立了等值面邊值問(wèn)題和邊界條件均勻化的理論?！?998年，他將此應(yīng)用課題成果撰寫(xiě)成《等值面邊值問(wèn)題和電阻率測(cè)井》專著在英國(guó)出版。

在李大潛的心目中，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論研究與應(yīng)用問(wèn)題研究同樣重要，兩者誰(shuí)也不可偏廢。從上世紀(jì)60年代初緊緊圍繞“兩彈一星”的研制而投入到與之密切相關(guān)的雙曲型方程研究，到成功提出了電阻率法測(cè)井的數(shù)學(xué)模型與方法，李大潛在科研上能不斷有所建樹(shù)，都得益于他張開(kāi)了基礎(chǔ)研究與應(yīng)用研究的雙翅。再說(shuō)，科研要轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力也是時(shí)代的要求，他若有所思地告訴筆者：“從應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)來(lái)說(shuō)，正迅速地從傳統(tǒng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)入現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的階段?，F(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)突出的標(biāo)志是應(yīng)用范圍的空前擴(kuò)展，從傳統(tǒng)的力學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域擴(kuò)展到生物、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)、金融、信息、材料、環(huán)境、能源等各個(gè)學(xué)科甚至社會(huì)領(lǐng)域。傳統(tǒng)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型大都已建立了，且已經(jīng)成了力學(xué)、物理等學(xué)科的重要內(nèi)容，而很多新領(lǐng)域的規(guī)律至今仍不清楚，應(yīng)用數(shù)學(xué)的建模面臨實(shí)質(zhì)性的困難，這也是現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)仍須不斷努力攻克的問(wèn)題?！彼€說(shuō)：“我一直認(rèn)為，整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的分布，應(yīng)該像兩個(gè)同心圓，純粹數(shù)學(xué)作為整個(gè)數(shù)學(xué)的核心和基礎(chǔ)，占據(jù)著小圓的內(nèi)部。大圓的外面，是數(shù)學(xué)外部的廣大世界，包括各種其他學(xué)科及各種應(yīng)用領(lǐng)域和高新技術(shù)。而在大小圓之間則是應(yīng)用數(shù)學(xué)活動(dòng)的大地盤(pán)。其中有些靠近小圓，屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的部分，靠近大圓的部分，則是數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交叉領(lǐng)域，在這兩者之間的同心圓環(huán)上，則分布著各種層次、各種風(fēng)格的應(yīng)用數(shù)學(xué)工作。數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的原動(dòng)力，不僅來(lái)自它的內(nèi)部，而且更重要地來(lái)自它的外部，來(lái)自客觀實(shí)際的需要。外部需求的驅(qū)動(dòng)和內(nèi)部矛盾的驅(qū)動(dòng)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展來(lái)說(shuō)應(yīng)該是比翼齊飛的雙翼，是相互聯(lián)系和促進(jìn)的，都是必不可少的。”

展開(kāi)科學(xué)與人文的雙翅

數(shù)學(xué)是一門(mén)在非常廣泛的意義下研究自然和社會(huì)現(xiàn)象中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。要在數(shù)學(xué)的蔚藍(lán)天空下自由翱翔，除了展開(kāi)基礎(chǔ)研究與應(yīng)用研究的雙翅外，還得展開(kāi)科學(xué)與人文的雙翅。

李大潛深有感慨地說(shuō)：“在數(shù)學(xué)的殿堂里遨游了數(shù)十載，我深深體會(huì)到：數(shù)學(xué)不僅是一種研究自然與社會(huì)得心應(yīng)手的工具、一種國(guó)際通用的語(yǔ)言、一門(mén)博大精深的科學(xué)，它更是一種文化。數(shù)學(xué)中的人文理念――數(shù)學(xué)的思想和精神，對(duì)我為人處世的熏陶，令我終生獲益匪淺?！?/p>

復(fù)旦三代數(shù)學(xué)大師――蘇步青、谷超豪夫婦與李大潛都是對(duì)中外傳統(tǒng)文化情有獨(dú)鐘的學(xué)者。1982年，三代學(xué)人同時(shí)到法國(guó)巴黎訪問(wèn)，在富有詩(shī)意的塞納河邊，他們以詩(shī)佐酒，賦詩(shī)抒懷，成了數(shù)學(xué)界一段風(fēng)流佳話。

李大潛能在數(shù)學(xué)領(lǐng)域開(kāi)鑿出一眼又一眼清泉，正是得益于他科學(xué)與人文并重的求學(xué)之道。

李大潛自幼喜歡中文古詩(shī)，日后也一直注重人文學(xué)養(yǎng)的陶冶。盡管李大潛已是碩果累累的數(shù)學(xué)大家，但至今他業(yè)余最酷愛(ài)的依然是歷史和武俠小說(shuō)，可以說(shuō)他是一位地地道道的“武俠迷”。對(duì)于有些人覺(jué)得武俠小說(shuō)不入流的講法，李大潛自有一番理論。他覺(jué)得小說(shuō)是人生的教科書(shū)和劑，武俠對(duì)做學(xué)問(wèn)很有啟示。他常說(shuō)，做學(xué)問(wèn)就像練武功，要從“手中有劍”到“心中有劍”，最后到“心中無(wú)劍”。不能為招式所累，死背數(shù)學(xué)公式和定理，要做到無(wú)招勝有招，才能揮灑自如，隨心所欲。“心中無(wú)劍”是練武的最高境界，是物我兩忘的境界，是創(chuàng)造性思維噴發(fā)的境界。雖然李大潛謙虛地說(shuō)，自己在數(shù)學(xué)領(lǐng)域遠(yuǎn)未達(dá)到“心中無(wú)劍”的境界，但是他對(duì)“心中無(wú)劍，人劍合一”的體悟，倒恰如其分地折射出“數(shù)學(xué)大鵬”――李大潛展開(kāi)科學(xué)與人文雙翅的風(fēng)姿。

在林林總總的武俠小說(shuō)中，《笑傲江湖》最受李大潛所鐘愛(ài)。他直言《笑傲江湖》中有不少超脫的東西，最適合知識(shí)分子閱讀。他尤其欣賞令狐沖的豁達(dá)大度，不要權(quán)力，有超然是非名利之外的境界。武俠中講究派別、排行座次，講究忠于師門(mén)、不事二師。李大潛認(rèn)為名門(mén)正派的存在并非偶然，自有它的道理，值得總結(jié)，但最好的武功往往不是屬于名門(mén)正派，不要關(guān)起門(mén)來(lái)孤芳自賞。名牌大學(xué)也一樣，不能老子天下第一，應(yīng)接受新人才、新思想。名門(mén)不應(yīng)自我封閉，且更要注意內(nèi)部的團(tuán)結(jié)。李大潛幽默地說(shuō)道：“有本事到江湖上闖，窩里斗要不得！”

多有氣派！

學(xué)術(shù)人生誠(chéng)恒學(xué)問(wèn)

做學(xué)問(wèn)與練武功，其實(shí)都要達(dá)到最高境界。李大潛若有所思地說(shuō)：“要臻至武學(xué)最高境界，必須博采各家之長(zhǎng)，兼收并蓄，否則令狐沖亦難以獨(dú)步武林。而做學(xué)問(wèn)也不能拘泥于一個(gè)門(mén)派?！弊尷畲鬂搼c幸的是，無(wú)論是蘇步青還是谷超豪，都有寬大的胸襟，都樂(lè)于讓弟子師從不同的名師，并主動(dòng)安排他去法國(guó)留學(xué)，使他有機(jī)會(huì)向國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)大師里翁斯院士學(xué)習(xí)。由此，李大潛悟到：越是出自“名門(mén)”，越要看到自己的不足，越要到外面接受鍛煉和教育。

在撲朔迷離的數(shù)學(xué)王國(guó)里，怎樣將基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)巧妙地結(jié)合起來(lái)，怎樣將科學(xué)與人文融合起來(lái)？為此，李大潛大力鼓勵(lì)與支持開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等課程，為數(shù)學(xué)的教學(xué)改革打開(kāi)了一片柳暗花明的新境界。法國(guó)科學(xué)院院長(zhǎng)里翁斯教授由衷地說(shuō)：“李大潛是一位享有世界聲譽(yù)的中國(guó)研究集體的學(xué)術(shù)帶頭人。他做出了一系列真正屬于國(guó)際第一流的貢獻(xiàn)?！?/p>

作為大數(shù)學(xué)家，李大潛先后擔(dān)任了復(fù)旦大學(xué)研究生院院長(zhǎng)，國(guó)務(wù)院學(xué)位評(píng)定委員會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科評(píng)議組召集人，高等學(xué)校數(shù)學(xué)研究與高等人才培養(yǎng)中心主任等學(xué)術(shù)職位，周?chē)娜俗匀灰渤３Ｒ蛩懡獭俺晒Φ拿卦E”。他總是毫不遲疑地否認(rèn)有什么“成功的秘訣”，但他會(huì)哲理獨(dú)到地送四個(gè)字給勤奮努力的同學(xué)們：

第一個(gè)字是“誠(chéng)”。這是做人的基本要求。大學(xué)也不是一片凈土，同學(xué)們應(yīng)該成為誠(chéng)實(shí)的典范，老老實(shí)實(shí)做人，老老實(shí)實(shí)辦事，老老實(shí)實(shí)做學(xué)問(wèn)。

第二個(gè)字是“恒”。這是成功的基本保證。聰明和才能都要靠積累，沒(méi)有恒心，見(jiàn)異思遷，一曝十寒，天資再高的人也不可能有所成就。

第三個(gè)字是“學(xué)”。這是學(xué)生的主業(yè)?，F(xiàn)在強(qiáng)調(diào)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，但素質(zhì)和能力并非憑空產(chǎn)生，只有認(rèn)真學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，方能增長(zhǎng)能力，提高素質(zhì)。

第四個(gè)字是“問(wèn)”。這是聰明的方法。學(xué)問(wèn)之道重在問(wèn)，不會(huì)發(fā)問(wèn)，進(jìn)不了科學(xué)大門(mén)，要問(wèn)在點(diǎn)子上，問(wèn)出水平來(lái)，非得認(rèn)真思考。問(wèn)老師、問(wèn)同伴、問(wèn)書(shū)本、問(wèn)自己，先思后問(wèn)，多思勤問(wèn)，必有長(zhǎng)進(jìn)。