導(dǎo)語(yǔ)：如何才能寫好一篇高三數(shù)學(xué)課件，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

一、教材分析

(一)內(nèi)容說(shuō)明

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)的研究大致分成了三個(gè)階段。

三角函數(shù)是最具代表性的一種基本初等函數(shù)。4.8節(jié)是第二章《函數(shù)》學(xué)習(xí)的延伸，也是第四章《三角函數(shù)》的核心內(nèi)容,是在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)正、余弦函數(shù)的圖象、三角函數(shù)的有關(guān)概念和公式基礎(chǔ)上進(jìn)行的，其知識(shí)和方法將為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，有承上啟下的作用。

本節(jié)課是數(shù)形結(jié)合思想方法的良好素材。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)研究中的重要思想方法和解題方法。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生的詩(shī)句：......數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休......可以說(shuō)精辟地道出了數(shù)形結(jié)合的重要性。

本節(jié)通過(guò)對(duì)數(shù)形結(jié)合的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，可以改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和興趣。另外，三角函數(shù)的曲線性質(zhì)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱之美、和諧之美。

因此，本節(jié)課在教材中的知識(shí)作用和思想地位是相當(dāng)重要的。

(二)課時(shí)安排

4.8節(jié)教材安排為4課時(shí),我計(jì)劃用5課時(shí)

(三)目標(biāo)和重、難點(diǎn)

1.教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)的確定，考慮了以下幾點(diǎn)：

(1)高一學(xué)生有一定的抽象思維能力，而形象思維在學(xué)習(xí)中占有不可替代的地位，所以本節(jié)要緊緊抓住數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行探索;

(2)本班學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)科特別是函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)有畏難情緒，所以在內(nèi)容上要降低深難度。

(3)學(xué)會(huì)方法比獲得知識(shí)更重要，本節(jié)課著眼于新知識(shí)的探索過(guò)程與方法，鞏固應(yīng)用主要放在后面的三節(jié)課進(jìn)行。

由此，我確定了以下三個(gè)層面的教學(xué)目標(biāo)：

(1)知識(shí)層面：結(jié)合正弦曲線、余弦曲線，師生共同探索發(fā)現(xiàn)正(余)弦函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)正確表述正、余函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性,理解體會(huì)周期函數(shù)性質(zhì)的研究過(guò)程和數(shù)形結(jié)合的研究方法;

(2)能力層面：通過(guò)在教師引導(dǎo)下探索新知的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的自學(xué)能力，為學(xué)生學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展打下基礎(chǔ);

(3)情感層面：通過(guò)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，讓學(xué)生體會(huì)(數(shù)學(xué))問(wèn)題從抽象到形象的轉(zhuǎn)化過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)之美，從而激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣。

2. 重、難點(diǎn)

由以上教學(xué)目標(biāo)可知，本節(jié)重點(diǎn)是師生共同探索，正、余函數(shù)的性質(zhì)，在探索中體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想方法。

難點(diǎn)是：函數(shù)周期定義、正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱性的理解。

為什么這樣確定呢?

因?yàn)橹芷诟拍钍菍W(xué)生第一次接觸，理解上易錯(cuò);單調(diào)區(qū)間從圖上容易看出，但用一個(gè)區(qū)間形式表示出來(lái)，學(xué)生感到困難。

如何克服難點(diǎn)呢?

其一，抓住周期函數(shù)定義中的關(guān)鍵字眼，舉反例說(shuō)明;

其二，利用函數(shù)的周期性規(guī)律，抓住“橫向距離”和“k∈Z"的含義，充分結(jié)合圖象來(lái)理解單調(diào)性和對(duì)稱性

二、教法分析

(一)教法說(shuō)明 教法的確定基于如下考慮：

(1)心理學(xué)的研究表明：只有內(nèi)化的東西才能充分外顯，只有學(xué)生自己獲取的知識(shí)，他才能靈活應(yīng)用，所以要注重學(xué)生的自主探索。

(2)本節(jié)目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何探索、理解正、余弦函數(shù)的性質(zhì)。教師始終要注意的是引導(dǎo)學(xué)生探索，而不是自己探索、學(xué)生觀看，所以教師要引導(dǎo)，而且只能引導(dǎo)不能代辦，否則不但沒有教給學(xué)習(xí)方法，而且會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生依賴和倦怠。

(3)本節(jié)內(nèi)容屬于本源性知識(shí)，一般采用觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、總結(jié)為主的方法，以培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力。

所以，根據(jù)以人為本，以學(xué)定教的原則，我采取以問(wèn)題為解決為中心、啟發(fā)為主的教學(xué)方法，形成教師點(diǎn)撥引導(dǎo)、學(xué)生積極參與、師生共同探討的課堂結(jié)構(gòu)形式，營(yíng)造一種民主和諧的課堂氛圍。

(二) 教學(xué)手段說(shuō)明：

為完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)、克服難點(diǎn)，我采取了以下三個(gè)教學(xué)手段：

(1)精心設(shè)計(jì)課堂提問(wèn)，整個(gè)課堂以問(wèn)題為線索，帶著問(wèn)題探索新知，因?yàn)闆]有問(wèn)題就沒有發(fā)現(xiàn)。

(2)為便于課堂操作和知識(shí)條理化，事先制作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)表，讓學(xué)生當(dāng)堂完成表格的填寫;

(3)為節(jié)省課堂時(shí)間，制作幻燈片演示正、余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，也可以使教學(xué)更生動(dòng)形象和連貫。

三、學(xué)法和能力培養(yǎng)

我發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是：直接記住函數(shù)性質(zhì)，在解題中套用結(jié)論，對(duì)結(jié)論的來(lái)源不理解，知其然不知其所以然，應(yīng)用中不能變通和遷移。

本節(jié)的學(xué)習(xí)方法對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)具有指導(dǎo)意義。為了培養(yǎng)學(xué)法，充分關(guān)注學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，教師要轉(zhuǎn)換角色，站在初學(xué)者的位置上，和學(xué)生共同探索新知，共同體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的研究方法，體驗(yàn)周期函數(shù)的研究思路;幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的意義建構(gòu)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)和總結(jié)學(xué)習(xí)方法，使教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的高級(jí)合作伙伴。

教師要做到：

授之以漁，與之合作而漁，使學(xué)生享受漁之樂趣。 因此

1.本節(jié)要教給學(xué)生看圖象、找規(guī)律、思考提問(wèn)、交流協(xié)作、探索歸納的學(xué)習(xí)方法。

2.通過(guò)本課的探索過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、交流、合作、類比、歸納的學(xué)習(xí)能力及數(shù)形結(jié)合(看圖說(shuō)話)的意識(shí)和能力。

四、教學(xué)程序

指導(dǎo)思想是：兩條線索、三大特點(diǎn)、四個(gè)環(huán)節(jié)

(一)導(dǎo)入

引出數(shù)形結(jié)合思想方法，強(qiáng)調(diào)其含義和重要性，告訴學(xué)生，本節(jié)課將利用數(shù)形結(jié)合方法來(lái)研究，會(huì)使學(xué)習(xí)變得輕松有趣。

采用這樣的引入方法，目的是打消學(xué)生對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的畏難情緒，引起學(xué)生注意，也激起學(xué)生好奇和興趣。

(二)新知探索 主要環(huán)節(jié)，分為兩個(gè)部分

教學(xué)過(guò)程如下：

第一部分————師生共同研究得出正弦函數(shù)的性質(zhì)

1.定義域、值域 2.周期性

3.單調(diào)性 (重難點(diǎn)內(nèi)容)

為了突出重點(diǎn)、克服難點(diǎn)，采用以下手段和方法：

(1)利用多媒體動(dòng)態(tài)演示函數(shù)性質(zhì)，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的重要作用;

(2)以層層深入，環(huán)環(huán)相扣的課堂提問(wèn)，啟發(fā)學(xué)生思維，反饋課堂信息，使問(wèn)題成為探索新知的線索和動(dòng)力，隨著問(wèn)題的解決，學(xué)生的積極性將被調(diào)動(dòng)起來(lái)。

(3)單調(diào)區(qū)間的探索過(guò)程是：

先在靠近原點(diǎn)的一個(gè)單調(diào)周期內(nèi)找出正弦函數(shù)的一個(gè)增區(qū)間，由此表示出所有的增區(qū)間，體現(xiàn)從特殊到一般的知識(shí)認(rèn)識(shí)過(guò)程。

** 教師結(jié)合圖象幫助學(xué)生理解并強(qiáng)調(diào) “距離”(“長(zhǎng)度”)是周期的多少倍

為什么要這樣強(qiáng)調(diào)呢?

因?yàn)檫@是對(duì)知識(shí)的一種意義建構(gòu)，有助于以后理解記憶正弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。

4.對(duì)稱性

設(shè)計(jì)意圖：

(1)因?yàn)槠媾夹允翘厥獾膶?duì)稱性，掌握了對(duì)稱性，容易得出奇偶性，所以著重講清對(duì)稱性。體現(xiàn)了從一般到特殊的知識(shí)再現(xiàn)過(guò)程。

(2)從正弦函數(shù)的對(duì)稱性看到了數(shù)學(xué)的對(duì)稱之美、和諧之美，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的審美功能。

5.最值點(diǎn)和零值點(diǎn)

有了對(duì)稱性的理解，容易得出此性質(zhì)。

第二部分————學(xué)習(xí)任務(wù)轉(zhuǎn)移給學(xué)生

設(shè)計(jì)意圖：

(1)通過(guò)把學(xué)習(xí)任務(wù)轉(zhuǎn)移給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的主體意識(shí)和成就動(dòng)機(jī)，利于學(xué)生作自我評(píng)價(jià);

(2)通過(guò)學(xué)生自主探索，給予學(xué)生解決問(wèn)題的自主權(quán)，促進(jìn)生生交流，利于教師作反饋評(píng)價(jià);

(3)通過(guò)課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的改革，提高課堂教學(xué)效率，最終使學(xué)生成為獨(dú)立的學(xué)習(xí)者，這也符合建構(gòu)主義的教學(xué)原則。

(三)鞏固練習(xí)

補(bǔ)充和選作題體現(xiàn)了課堂要求的差異性。

(四)結(jié)課

五、板書說(shuō)明 既要體現(xiàn)原則性又要考慮靈活性

1.板書要基本體現(xiàn)整堂課的內(nèi)容與方法，體現(xiàn)課堂進(jìn)程，能簡(jiǎn)明扼要反映知識(shí)結(jié)構(gòu)及其相互聯(lián)系;能指導(dǎo)教師的教學(xué)進(jìn)程、引導(dǎo)學(xué)生探索知識(shí);同時(shí)不完全按課本上的呈現(xiàn)方式來(lái)編排板書。即體現(xiàn)系統(tǒng)性、程序性、概括性、指導(dǎo)性、啟發(fā)性、創(chuàng)造性的原則;(原則性)

2.使用幻燈片輔助板書，節(jié)省課堂時(shí)間，使課堂進(jìn)程更加連貫。(靈活性)

六、效果及評(píng)價(jià)說(shuō)明

(一)知識(shí)診斷

(二)評(píng)價(jià)說(shuō)明

1.針對(duì)本班學(xué)生情況對(duì)課本進(jìn)行了適當(dāng)改編、細(xì)化，有利于難點(diǎn)克服和學(xué)生主體性的調(diào)動(dòng)。

2. 根據(jù)課堂上師生的雙邊活動(dòng)，作出適時(shí)調(diào)整、補(bǔ)充(反饋評(píng)價(jià));根據(jù)學(xué)生課后作業(yè)、提問(wèn)等情況，反復(fù)修改并指導(dǎo)下節(jié)課的設(shè)計(jì)(反復(fù)評(píng)價(jià))。

篇2

高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查學(xué)生的能力，而這種能力是以整體的、完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的。有人認(rèn)為高三復(fù)習(xí)課由于時(shí)間緊、內(nèi)容多只好采用“大容量，快節(jié)奏”的方式。于是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課往往存在下面五方面的問(wèn)題：一是重視課堂任務(wù)的完成，忽視學(xué)生聽課的感受；二是重視常規(guī)工作的完成，忽視課前的充分準(zhǔn)備；三是以教師思維代替學(xué)生思維，忽視學(xué)生學(xué)習(xí)的能動(dòng)性；四是重視知識(shí)的注入、疊加、再現(xiàn)，忽視非智力因素對(duì)學(xué)習(xí)的影響；五是追求應(yīng)試效果、強(qiáng)化訓(xùn)練和解題技巧的指導(dǎo)過(guò)多，學(xué)生自主探究知識(shí)的學(xué)習(xí)太少。

事實(shí)上，為了高效率地完成總復(fù)習(xí)的繁重任務(wù)，更應(yīng)該講究復(fù)習(xí)教學(xué)的科學(xué)性和有效性。教師要始終堅(jiān)持以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的教學(xué)原則。復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)課不能由教師包講，更不能成為教師展示自己解題能力的表演，而要還給學(xué)生課堂的空間，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。作為數(shù)學(xué)教師，如何讓學(xué)生在課堂上“動(dòng)”起來(lái)、“忙”起來(lái)？如何更好地提高復(fù)習(xí)效率？

高中生的抽象邏輯思維屬于理論型，他們基本上可以掌握辯證思維（一般到特殊的演繹過(guò)程，特殊到一般的歸納過(guò)程），能夠用理論作指導(dǎo)來(lái)分析，綜合各種事實(shí)材料，擴(kuò)大自己的知識(shí)領(lǐng)域。在情感方面，高中階段，獨(dú)立性、自主性是情感發(fā)展的主要特征。學(xué)生的意志行為愈來(lái)愈多，他們追求真理、正直。高層自我調(diào)控在行為控制中占主導(dǎo)地位，一切外界因素只有內(nèi)化為自我調(diào)控時(shí)才能發(fā)揮其作用。就像“洋思中學(xué)”的蔡林森校長(zhǎng)所說(shuō)的：（1）學(xué)生能不能成才不是教師教出來(lái)的，是他自己學(xué)出來(lái)的。（2）教師進(jìn)課堂的任務(wù)不是去講，而是組織學(xué)生學(xué)。（3）什么叫完成教學(xué)任務(wù)？學(xué)生學(xué)會(huì)了才叫完成教學(xué)任務(wù)。

根據(jù)我校學(xué)生基礎(chǔ)比較薄弱，層次差異大、回家學(xué)習(xí)不自覺的實(shí)際學(xué)情，我校將課堂教學(xué)現(xiàn)實(shí)的努力方向確立為：向課堂45分鐘要質(zhì)量，力求打造適合我校學(xué)情的高效課堂模式“30+15”（即教師講課不得超過(guò)30分鐘，學(xué)生練習(xí)消化不得少于15分鐘）。

經(jīng)過(guò)近兩年多來(lái)課堂教學(xué)實(shí)踐，挖掘其中的教學(xué)規(guī)律，我覺得在高三數(shù)學(xué)課實(shí)施“30+15”課堂教學(xué)模式需要注意以下幾個(gè)問(wèn)題：

一、連節(jié)課如何合理安排講練時(shí)間，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性

高三數(shù)學(xué)課大部分都是連節(jié)（一周三次），如果兩節(jié)課都采用“30+15”課堂教學(xué)模式，這樣上下來(lái)，不僅學(xué)生會(huì)覺得累，連老師都會(huì)覺得體力透支。怎么來(lái)合理地分配那90分鐘，盡量不要浪費(fèi)一分一秒，值得我們深思。注意規(guī)律理論指出，任何人的注意不可能以同樣強(qiáng)度維持20分鐘以上。教師應(yīng)該運(yùn)用有意注意的規(guī)律合理組織教學(xué)活動(dòng)，經(jīng)常進(jìn)行學(xué)習(xí)目的性教育，明確為什么學(xué)習(xí)，每一部分學(xué)習(xí)內(nèi)容的具體要求是什么？目的越明確，注意就越容易集中。根據(jù)兩種注意（有意注意與無(wú)意注意）轉(zhuǎn)換的規(guī)律特點(diǎn)，結(jié)合自己平時(shí)聽課的感受（前面剛開始聽得很認(rèn)真，中間沒心思聽，快下課又很認(rèn)真聽），我把第一節(jié)課45分鐘分配成20（教師講）+15（學(xué)生練）+10（教師講），第二節(jié)課的45分鐘分配成5（教師講）+30（學(xué)生練，主要是小測(cè)）+10（教師點(diǎn)評(píng)小測(cè)）。

二、如何做到精講精練

新課改后數(shù)學(xué)每學(xué)期的教學(xué)任務(wù)都很繁重，特別是高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，在短短不到一年時(shí)間要復(fù)習(xí)10本書。教師講的時(shí)間又減少，這就要求教師要做到精講精練。例題是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂。在平時(shí)的備課當(dāng)中，我堅(jiān)守兩個(gè)原則：

（1）選題要突出一個(gè)“精”字。設(shè)計(jì)的試題一般有：

①類比型試題：通過(guò)尋同辨異，加深理解。例如可以通過(guò)尋找它們的共同點(diǎn)及分析它們的不同之處，在對(duì)比中加深理解，達(dá)到對(duì)知識(shí)的鞏固。

②變式型試題：

例如：教材104頁(yè)例3

變換視角：已知橢圓+=1的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍。

變換條件：已知橢圓+=1的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

開放條件：已知橢圓+=1（a>b>0），

變式①點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)∠F1PF2最大？

變式②試問(wèn)橢圓上是否存在點(diǎn)P，使若存在，這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？不存在，說(shuō)明理由。

通過(guò)變換視角、變換條件、開放條件，可以擺脫學(xué)生一味機(jī)械地模仿，克服思維定勢(shì)，拓寬思維，培養(yǎng)思維的靈活性、嚴(yán)密性和深刻性，加強(qiáng)對(duì)基本概念的理解。

③問(wèn)題鏈型試題：例題是一節(jié)課的靈魂，是能否突破知識(shí)重點(diǎn)難點(diǎn)的關(guān)鍵，例題設(shè)計(jì)要有層次性，能誘敵深入逐本求源，可以通過(guò)變換視角、變換條件、開放條件等手段，讓學(xué)生在探究中感悟到高考題是以不變之本，應(yīng)萬(wàn)變之體，克服習(xí)慣上的思維定勢(shì)，拓寬思路，培養(yǎng)思維的靈活性、嚴(yán)密性和深刻性，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的理解。

（2）設(shè)計(jì)練習(xí)突出一個(gè)“準(zhǔn)”字

設(shè)計(jì)練習(xí)要求：

a.難度小一點(diǎn)：難度要適中。太難，容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，做而生煩；太淺，容易產(chǎn)生松懈怠慢心理，也不利于個(gè)性品質(zhì)的培養(yǎng)。

b.考點(diǎn)準(zhǔn)一點(diǎn)：要緊扣復(fù)習(xí)要求、重難點(diǎn)，要突出一個(gè)“準(zhǔn)”字。

c.概括性強(qiáng)一點(diǎn)：應(yīng)具有多種功能，有一定的概括性、典型性、代表性，能培養(yǎng)一定的數(shù)學(xué)能力。

三、適合自己學(xué)生的方法才是好方法

一堂課是不是有效課？我覺得最關(guān)鍵的是有沒有適合自己的學(xué)生。在復(fù)習(xí)求圓的方程時(shí)，我先在3班授課，講了三道例題，一道是已知圓上兩點(diǎn)和圓心所在的一直線方程，求圓的方程；一道是已知圓上三點(diǎn)求圓的方程；一道是已知切點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的切線方程，和圓心所在的一直線方程求圓的方程。我讓學(xué)生先做了15分鐘，講評(píng)時(shí)把收集到的學(xué)生的方法展示出來(lái)，所以每道題都有2-3種解法。原本對(duì)自己的這堂課很滿意，但下課時(shí)有位學(xué)生給我提了個(gè)建議說(shuō)：“老師，方法多了學(xué)生會(huì)亂，剛才三道題有一個(gè)共同的解法，先求圓心后求半徑，主要教我們這個(gè)就行啦”。我把他的建議到4班實(shí)行，感覺學(xué)生好像掌握得比較好。教學(xué)活動(dòng)是個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，它必須通過(guò)教師和學(xué)生之間的信息聯(lián)系和信息反饋，才能實(shí)現(xiàn)控制和調(diào)節(jié)。每一堂課都有預(yù)定的目標(biāo)要求和實(shí)施方案，但在實(shí)施過(guò)程中，教師必須了解是否符合學(xué)生的實(shí)際，選用的方法是否切合學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知條件，這樣才能達(dá)到我們真正的教學(xué)目的。

篇3

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；高效課堂；動(dòng)心；動(dòng)情；動(dòng)身

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1008-3561（2016）34-0082-01

在提倡素質(zhì)教育的今天，學(xué)生的主體地位得到充分的提高。學(xué)生是課堂的第一主體，是高效課堂成敗的首要因素。以往數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)內(nèi)容，主要框定在數(shù)學(xué)教師的教學(xué)活動(dòng)之內(nèi)，忽視數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的高效性。老師是“水桶”，學(xué)生是“水碗”，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)就是“灌水”的過(guò)程。數(shù)學(xué)教師教得特別辛苦，學(xué)生學(xué)得也特別痛苦，漸漸地，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了逆反心理，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)漸漸地失去興趣。因此，教師必須要改變以往陳舊的教學(xué)模式，要尊重學(xué)生的主體地位，要讓學(xué)生不再“痛苦地學(xué)習(xí)”，從“要我學(xué)”變?yōu)椤拔乙獙W(xué)”。要改變學(xué)生厭煩學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的觀念，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂的有效性，教師必須做到“三動(dòng)”。

一、動(dòng)心

何謂動(dòng)心？動(dòng)心即要學(xué)生真心地喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣。于漪曾說(shuō)過(guò)：“課的第一錘要敲在學(xué)生的心靈上，激發(fā)起他們思維的火花，或像磁石一樣把學(xué)生牢牢地吸引住?！崩?，教學(xué)“能被3整除的數(shù)的特征”時(shí)，教師可以先跟學(xué)生來(lái)一個(gè)比賽。讓學(xué)生隨便說(shuō)出一個(gè)數(shù)，教師迅速地回答這個(gè)數(shù)是否能被3整除。學(xué)生便覺得奇怪：老師怎么會(huì)如此快速準(zhǔn)確地計(jì)算出來(lái)呢？這引起學(xué)生的求知欲，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，吸引其注意力，使其在整節(jié)課都認(rèn)真地學(xué)習(xí)老師傳授的方法。一節(jié)課下來(lái)，學(xué)生不但不感覺累，反而學(xué)習(xí)興趣高漲，教學(xué)重難點(diǎn)得到突破，達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)。

二、動(dòng)情

感情是最難捉摸的東西，倘若學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了感情，便會(huì)越發(fā)地喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和熱愛數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性。

（1）以情感人。數(shù)學(xué)課堂不像語(yǔ)文課堂具有一定的激情，能讓學(xué)生專注于學(xué)習(xí)課文，體會(huì)當(dāng)中的含義，但數(shù)學(xué)課堂也能做到以情感人，讓學(xué)生專注于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)。例如，教學(xué)蘇教版四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“了解我們的生存空間”時(shí)，可以帶領(lǐng)學(xué)生回憶動(dòng)畫片《熊出沒》，讓學(xué)生回憶熊大、熊二保護(hù)森林，得知樹被砍掉后傷心地為樹唱最后一曲的故事，讓學(xué)生感受熊大、熊二與樹之間無(wú)比真摯的感情。然后告訴學(xué)生，假如樹被砍掉是為了制造賀卡，請(qǐng)計(jì)算一棵樹大概可以制作多少?gòu)堎R卡。借這個(gè)故事教育學(xué)生要好好保護(hù)樹木，不要隨意浪費(fèi)紙張。因?yàn)檫@是小鳥的好朋友樹犧牲自己換來(lái)的，我們更應(yīng)好好珍惜。一節(jié)課下來(lái)，學(xué)生們深受感動(dòng)，認(rèn)真計(jì)算賀卡所消耗樹木的數(shù)量，清晰地明白要珍惜友誼和保護(hù)樹木，節(jié)約用紙。這樣，能讓學(xué)生有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，領(lǐng)悟人生道理。

（2）以美動(dòng)人。教學(xué)充滿美感，才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。數(shù)學(xué)老師不能讓學(xué)生為了學(xué)數(shù)學(xué)而學(xué)數(shù)學(xué)，一定要充分挖掘數(shù)學(xué)教材中一切可以運(yùn)用的素材，讓數(shù)學(xué)知識(shí)變得生動(dòng)。如教學(xué)四年級(jí)“搭配的規(guī)律”時(shí)，教師在引出問(wèn)題后，依次出示美術(shù)中顏色的搭配、音樂中音符的搭配、生活中衣服的搭配等等。這能使學(xué)生感受到顏色的鮮艷、音樂的柔美，讓數(shù)學(xué)融入到各個(gè)學(xué)科和生活中，感受來(lái)自不同學(xué)科的美，真正體會(huì)到數(shù)學(xué)無(wú)處不在，感受數(shù)學(xué)的美，體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力。又如在教學(xué)“百分?jǐn)?shù)的意義”一課后，教師先讓學(xué)生靜靜地欣賞一首詩(shī)：“一蓑一笠一葉舟，一支竹竿一條鉤。一山一水一輪月，一人獨(dú)釣一江秋?！苯處熥寣W(xué)生沉浸在詩(shī)歌的美感之中，然后讓學(xué)生數(shù)一下這詩(shī)中一共用了多少個(gè)“一”字，“一”字占這首詩(shī)總字?jǐn)?shù)的百分之幾，“一”字在這首詩(shī)里面起了什么作用。這樣的練習(xí)，不僅能夠激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，而且還鞏固了這節(jié)課所學(xué)習(xí)到的知識(shí)。

三、動(dòng)身

動(dòng)身，即要求教師在課堂上盡量引導(dǎo)學(xué)生能較好地動(dòng)口、動(dòng)腦和動(dòng)手，讓學(xué)生全身心參與到數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)過(guò)程之中。數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中一定要引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口，從而使學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)掌握得更牢固。這是深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念理解的有效教學(xué)手段，也是優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)、提高教學(xué)質(zhì)量的有效途徑。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。所以，在教學(xué)過(guò)程中，教師必須充分調(diào)動(dòng)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦和動(dòng)口能力，讓其全身參與到數(shù)學(xué)課堂中。例如，講述“三角形內(nèi)角和”時(shí)，先讓學(xué)生使用量角器測(cè)量一下三角形任意兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后告訴教師，教師迅速說(shuō)出另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。這引起學(xué)生的質(zhì)疑，好奇老師是怎么知道的。在這種情況下，教師開始教學(xué)。這種動(dòng)手、動(dòng)腦和動(dòng)口的引入，可以讓學(xué)生從無(wú)意注意向有意注意轉(zhuǎn)變，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力。又如，在有關(guān)路程的應(yīng)用題教學(xué)中，教師先讓學(xué)生讀熟題目，弄清題意，明白題目給出的已知條件。然后，再讓學(xué)生畫出線路圖，便于學(xué)生理清思路，利用圖文結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題。教師要最大限度地讓每一位學(xué)生都能開口說(shuō)說(shuō)自己對(duì)應(yīng)用題的理解和分析，以說(shuō)促思，同時(shí)也可集思廣益，發(fā)散創(chuàng)造性思維。要通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)，充分培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手、動(dòng)腦和動(dòng)口能力，讓學(xué)生真正全身心投入到學(xué)習(xí)之中。

參考文獻(xiàn)：

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關(guān)鍵詞：“三五X”教學(xué)模式；學(xué)習(xí)效率

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2013）01-187-01

對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目的就是學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式思考，用數(shù)學(xué)的眼光去看世界，用數(shù)學(xué)的邏輯分析事件的前因后果。如何有效利用課堂教學(xué)時(shí)間，如何盡可能地提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，我認(rèn)為“三五X”教學(xué)模式既符合素質(zhì)教育理念，又從根本上改變了數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的“少慢差費(fèi)，高耗低效”的教學(xué)現(xiàn)狀，更可以實(shí)現(xiàn)教師的教學(xué)行為和學(xué)生學(xué)習(xí)方式的質(zhì)的轉(zhuǎn)變，教學(xué)過(guò)程中凸顯同步訓(xùn)練，點(diǎn)上深化，面上擴(kuò)展，全面提升的新思路，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的高效性。

一、加強(qiáng)新教學(xué)模式的理論學(xué)習(xí)和嘗試，教學(xué)中努力踐行“三五X”高效課堂教學(xué)模式

所謂“三五X”高效課堂教學(xué)模式就是指三個(gè)目標(biāo)，五個(gè)指標(biāo)，多種模式。三個(gè)目標(biāo)就是在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的三種學(xué)習(xí)能力，即自主學(xué)習(xí)，合作學(xué)習(xí)和探索學(xué)習(xí)。五個(gè)指標(biāo)是指課堂評(píng)價(jià)的五項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)，即學(xué)生自主學(xué)習(xí)的時(shí)間每節(jié)課應(yīng)保持在30—32分鐘為宜；學(xué)生個(gè)體主動(dòng)學(xué)習(xí)的參與率應(yīng)達(dá)到學(xué)生總?cè)藬?shù)的60%左右；課堂練習(xí)應(yīng)實(shí)現(xiàn)數(shù)量合理，講練結(jié)合，難度適中，層次科學(xué)；學(xué)生主動(dòng)參與課堂活動(dòng)的興奮度應(yīng)達(dá)到80%，絕大多數(shù)學(xué)生以飽滿熱情，積極地參與課堂活動(dòng)，并有所收獲；學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)效果測(cè)試面和測(cè)試成果應(yīng)達(dá)到80%以上。“X”則是指各任課教師根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，學(xué)科特點(diǎn)，區(qū)域差異，教師授課經(jīng)驗(yàn)及特長(zhǎng)等實(shí)際情況而采用各具特色的教學(xué)方式，這一方面體現(xiàn)了課改的新理念、新思路，另一方面又體現(xiàn)了教學(xué)過(guò)程中差異性，多樣性的學(xué)科特點(diǎn)。

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求教師從從片面注重知識(shí)傳授轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅貙W(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，教師不僅要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更重要的是要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生探索學(xué)習(xí)，讓學(xué)生親歷、感受、理解感悟知識(shí)推導(dǎo)過(guò)程，注重學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和創(chuàng)新能力的提高，重視學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和健全人格的塑造。教師必須轉(zhuǎn)變角色，更新觀念，加強(qiáng)業(yè)務(wù)學(xué)習(xí)，以新課程理念為行動(dòng)指南，真正做到由注入式教學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)閱l(fā)式，學(xué)生由被動(dòng)的聽課轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)參與，由單純的講授知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹R(shí)和能力并重，共性與個(gè)性結(jié)合。 “三五X”高效課堂教學(xué)模式有著嚴(yán)密的內(nèi)在邏輯關(guān)系。高效課堂實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)的手段和實(shí)現(xiàn)的途徑與方法有機(jī)的結(jié)合在一起，這既實(shí)現(xiàn)了教學(xué)的總體目標(biāo)，又承認(rèn)城鄉(xiāng)差別，個(gè)體差異，學(xué)科差異等不可回避的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。

二、明確教學(xué)目標(biāo)，準(zhǔn)確把握學(xué)習(xí)重難點(diǎn)

“三五X”高效課堂教學(xué)模式明確提出教師必須優(yōu)化課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，從學(xué)生發(fā)展的角度出發(fā)，從有利于學(xué)生能力培養(yǎng)和知識(shí)掌握方面出發(fā)對(duì)課堂教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行科學(xué)合理的安排。數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)分為三大領(lǐng)域，即認(rèn)識(shí)領(lǐng)域、情感領(lǐng)域和動(dòng)作技能領(lǐng)域，所以教師備課時(shí)應(yīng)圍繞三維目標(biāo)選擇教學(xué)策略和方法，并對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行科學(xué)合理的整合。備課應(yīng)以課標(biāo)為依據(jù)以教材為藍(lán)本，以學(xué)生認(rèn)知能力為基礎(chǔ)，從不同層次出發(fā)活用教材，對(duì)于學(xué)生掌握的教師不要講解，對(duì)于學(xué)生完全不能掌握的不要講解。

教學(xué)中為了使學(xué)生明確本課學(xué)習(xí)的重、難點(diǎn)，教師在講授新課前應(yīng)將重、難點(diǎn)簡(jiǎn)要地寫出來(lái)，并用彩色粉筆進(jìn)行標(biāo)注，以便引起學(xué)生注意。教師講解難點(diǎn)時(shí)可通過(guò)手勢(shì)語(yǔ)、聲音高低變化、板書、Flas、多媒體幻燈片等方式刺激學(xué)生大腦提高學(xué)生興奮度，使學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容留下深刻印象。

三、建立和諧的師生關(guān)系，充分發(fā)揮學(xué)生主體作用，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性

只有建立民主、平等的師生關(guān)系，積極創(chuàng)設(shè)和諧、激情的課堂氛圍，才能增強(qiáng)師生之間的教學(xué)互動(dòng)，改變教師與學(xué)生之間單向的教學(xué)互動(dòng)。只有建立一種有效的雙向或多向的師生教學(xué)互動(dòng)，才能使師生、生生之間多層次的互動(dòng)和交流富有成效，使學(xué)生掌握知識(shí)，發(fā)展能力。師生間的互動(dòng)交往不追求形式上的熱鬧，而應(yīng)追求實(shí)實(shí)在在的質(zhì)量和效果。

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師要圍繞著學(xué)生展開教學(xué)。在教學(xué)過(guò)程中，自始至終讓學(xué)生唱主角，使學(xué)生變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，教師成為學(xué)習(xí)的領(lǐng)路人。在上課過(guò)程中教師盡量少講，對(duì)于一些問(wèn)題可以讓學(xué)生充當(dāng)教師的身份給其他學(xué)生講解。學(xué)生的思維本身就是一個(gè)資源庫(kù)，學(xué)生往往會(huì)想出教師意想不到的解題思路和方法。

四、教學(xué)過(guò)程中要勤分析，善反思，做一名反思型教師。

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關(guān)鍵詞：高師 美術(shù)教學(xué)法課程 教學(xué)模式 實(shí)踐研究

“美術(shù)教學(xué)法”是師范美術(shù)教育中的一門重要課程。但在教學(xué)實(shí)際中，它卻并不受歡迎。從課程的發(fā)展來(lái)看，它沒有及時(shí)與當(dāng)下時(shí)代中學(xué)教學(xué)改革的背景相呼應(yīng)；作為教材教法課，它過(guò)分具體和呆板的內(nèi)容難以引發(fā)學(xué)生的興趣。要想改變這一現(xiàn)狀，必須重新思考課程的定位，對(duì)課程實(shí)施的方法以及與此相關(guān)的問(wèn)題進(jìn)行實(shí)實(shí)在在的實(shí)驗(yàn)性的探討與研究。

本次課程改革將研究視野定位在基礎(chǔ)教育新課改的背景下，針對(duì)高師美術(shù)教學(xué)法課程進(jìn)行改革探索，將傳統(tǒng)美術(shù)教學(xué)法課程進(jìn)行“理論――實(shí)訓(xùn)――實(shí)踐‘三段式’教學(xué)模式”的構(gòu)建。本次課程改革主要實(shí)現(xiàn)對(duì)“三段式”教學(xué)模式中三大教學(xué)模塊之間關(guān)系的論證、三大模塊研究?jī)?nèi)容的實(shí)踐，最終對(duì)高師教法課實(shí)現(xiàn)“理論――實(shí)訓(xùn)――實(shí)踐‘三段式’教學(xué)模式”的建構(gòu)，并在此基礎(chǔ)上對(duì)美術(shù)教學(xué)法課程建立新的評(píng)價(jià)機(jī)制。以實(shí)訓(xùn)帶動(dòng)理論的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握美術(shù)教學(xué)的理論知識(shí)，加強(qiáng)美術(shù)教學(xué)實(shí)踐能力，為形成和完善中小學(xué)美術(shù)教師的職業(yè)素質(zhì)和能力奠定良好的基礎(chǔ)。

一、構(gòu)建理論與實(shí)踐結(jié)合的“模塊化”的課程體系――“三段式”教學(xué)模式中三大教學(xué)模塊及其關(guān)系的建構(gòu)研究

高師美術(shù)教學(xué)法課程體系中理論與實(shí)踐部分，在教學(xué)內(nèi)容的科學(xué)銜接上，在教學(xué)順序不可倒置的流程關(guān)系上都有著內(nèi)在的不可分割的有機(jī)聯(lián)系。在這次教學(xué)改革中，將整個(gè)課程中理論與實(shí)踐部分分為三個(gè)教學(xué)模塊：基礎(chǔ)知識(shí)模塊、實(shí)訓(xùn)模塊和實(shí)踐模塊。各模塊間既相互獨(dú)立，又相互關(guān)聯(lián)。

1、基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)模塊：著眼于學(xué)生理論素養(yǎng)的培養(yǎng)

高師美術(shù)教學(xué)法課程體系中原有四部分內(nèi)容：課程、學(xué)生、教學(xué)和教師，在教法課的傳統(tǒng)教學(xué)中這四部分的內(nèi)容均為單純的理論教學(xué)。本課題研究在本次教學(xué)改革的探索中，精縮傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容中的學(xué)生論和教師論部分，在課程論和教學(xué)論部分拓展基礎(chǔ)教育美術(shù)新課改的相關(guān)內(nèi)容，讓傳統(tǒng)的優(yōu)秀教學(xué)資源與新課程改革的理念、內(nèi)容有效結(jié)合。因此，本課題構(gòu)建的基礎(chǔ)知識(shí)模塊將中學(xué)新課程改革的內(nèi)容充分滲入到教學(xué)論、課程論、教師論等相關(guān)部分，使傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容更具有時(shí)代性，基礎(chǔ)知識(shí)模塊在學(xué)生二年級(jí)第二學(xué)期集中完成。

2、實(shí)訓(xùn)教學(xué)模塊：著眼于學(xué)生方法技能素質(zhì)的訓(xùn)練

基于中學(xué)美術(shù)新課程改革的課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，本課題研究在高師美術(shù)教學(xué)法課程教學(xué)過(guò)程中本著“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，實(shí)訓(xùn)為主線”的原則，打造“四階教學(xué)法”，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生師范技能的有效培養(yǎng)：

第1階，學(xué)生基本師范技能的訓(xùn)練：包括美術(shù)課教案制定、PPT課件制作、板書設(shè)計(jì)、美術(shù)教師口語(yǔ)等。

第2階，學(xué)生專業(yè)素養(yǎng)及能力的訓(xùn)練。包括分析美術(shù)課程、設(shè)計(jì)課程的原則及方法 等。

第3階，學(xué)生課堂授課能力的訓(xùn)練：包括備課、上課、組織課堂教學(xué)的方法與策略、教學(xué)評(píng)價(jià)能力等。

第4階，學(xué)生教研能力的訓(xùn)練：包括教學(xué)反思、教育敘事、教學(xué)調(diào)查、教學(xué)科研能力等。

本課題研究中增設(shè)的實(shí)訓(xùn)教學(xué)模塊采用案例教學(xué)、討論教學(xué)、情景模擬等多種教學(xué)方法，讓學(xué)生體驗(yàn)課堂情境，促使學(xué)生由觀課到教學(xué)的、由被動(dòng)到主動(dòng)的理念和行為轉(zhuǎn)變。在前期基礎(chǔ)知識(shí)模塊學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上引入新課改中優(yōu)秀的中學(xué)教學(xué)課例，由觀摩到教學(xué)分解的實(shí)訓(xùn)改變以往傳統(tǒng)的教學(xué)模式，為實(shí)踐模塊做充分的鋪墊工作；實(shí)訓(xùn)模塊將在學(xué)生三年級(jí)第一學(xué)期進(jìn)行。

3、實(shí)踐模塊教學(xué)：以美術(shù)專業(yè)教學(xué)技能競(jìng)賽為先導(dǎo)、優(yōu)化提升教育實(shí)習(xí)效果

實(shí)踐模塊將在學(xué)生三年級(jí)第二學(xué)期施行，伴隨整個(gè)學(xué)期的教育實(shí)習(xí)和省級(jí)、校級(jí)等若干個(gè)教學(xué)競(jìng)賽，讓學(xué)生自主實(shí)踐，獨(dú)立承擔(dān)教學(xué)設(shè)計(jì)并完成教學(xué)任務(wù)，鼓勵(lì)學(xué)生基于新課改的要求積極創(chuàng)新中學(xué)課程。鑒于高師美術(shù)教育實(shí)習(xí)知識(shí)技能的綜合性、應(yīng)用性、實(shí)踐性特色，本課題研究將美術(shù)專業(yè)教學(xué)技能教學(xué)競(jìng)賽納入美術(shù)教學(xué)法課程。以美術(shù)專業(yè)教學(xué)技能競(jìng)賽為先導(dǎo)環(huán)節(jié)、給學(xué)生一個(gè)專業(yè)知識(shí)整合及教育技能強(qiáng)化和教學(xué)理念創(chuàng)新的準(zhǔn)備平臺(tái)，一個(gè)基于美術(shù)新課改要求的創(chuàng)新平臺(tái)，有效提升、優(yōu)化高師美術(shù)教育實(shí)習(xí)的效果。

研究圍繞三大教學(xué)模塊的教學(xué)比例、順序安排、內(nèi)容銜接遞進(jìn)以及構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行具體研究：在教學(xué)流程上沿著“理論――實(shí)訓(xùn)――實(shí)踐”的漸進(jìn)順序；在教學(xué)時(shí)間的安排上將實(shí)行分段式教學(xué)，將原有的理論時(shí)間精縮，增設(shè)實(shí)訓(xùn)課程，最后是實(shí)踐部分。三個(gè)教學(xué)模塊間的知識(shí)由理論到應(yīng)用層層遞進(jìn)，相互關(guān)聯(lián)，前面的模塊是后面模塊的知識(shí)基礎(chǔ)，后面的模塊又是對(duì)前面模塊的直接實(shí)踐。

二、“三段式”教學(xué)模式中教學(xué)實(shí)驗(yàn)的展開研究

1、實(shí)訓(xùn)教學(xué)模塊的實(shí)驗(yàn)步驟

在進(jìn)行實(shí)訓(xùn)的學(xué)期，課程組按照高中美術(shù)新課程改革的教學(xué)模塊，又結(jié)合學(xué)生的興趣將他們分成九個(gè)教研小組（鑒賞、繪畫、書法、設(shè)計(jì)、工藝等），在教學(xué)過(guò)程中本著“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，實(shí)訓(xùn)為主線”的原則，精心設(shè)計(jì)有序的教學(xué)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生教學(xué)教法技能采用“四步”訓(xùn)練法：

1）課例導(dǎo)學(xué)，宏觀設(shè)計(jì)。

在第一階段理論知識(shí)學(xué)習(xí)之后，從中學(xué)美術(shù)教學(xué)的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，精心準(zhǔn)備各種典型中學(xué)美術(shù)教學(xué)課例，指導(dǎo)學(xué)生從宏觀上對(duì)各種課型進(jìn)行教學(xué)思考和設(shè)計(jì)。在這個(gè)階段，教師處于課程的主導(dǎo)角色。在此階段，對(duì)學(xué)生開始展開實(shí)訓(xùn)訓(xùn)練的第一步：學(xué)生基本師范技能的訓(xùn)練：包括美術(shù)課教案制定、PPT課件制作、板書設(shè)計(jì)、美術(shù)教師口語(yǔ)等。

2）分析課例，合作學(xué)習(xí)。

針對(duì)課例進(jìn)行具體分析，教師啟發(fā)學(xué)生自主思考。將課例分解為若干個(gè)部分，逐步分析課例的優(yōu)勢(shì)和不足，組織各教研小組討論解決問(wèn)題。學(xué)生在討論交流中，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，在問(wèn)題的引導(dǎo)下學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)和師范技能。在這個(gè)階段，教師處于課程的輔助角色，學(xué)生進(jìn)入教學(xué)訓(xùn)練的第二步：即對(duì)學(xué)生專業(yè)素養(yǎng)及能力的訓(xùn)練。包括分析美術(shù)課程、設(shè)計(jì)課程的原則及方法等。

3）設(shè)計(jì)課例，學(xué)以致用。

學(xué)期中段，為了保持學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)以致用，要求學(xué)生自主設(shè)計(jì)并獨(dú)立完成一節(jié)中學(xué)美術(shù)教學(xué)課。各教研小組將圍繞自己小組的規(guī)定科目準(zhǔn)備一次完整的教學(xué)，進(jìn)一步的鞏固知識(shí)。在這一階段，學(xué)生處于教學(xué)訓(xùn)練的第三步：即完整課堂授課能力的訓(xùn)練，包括備課、上課、組織課堂教學(xué)的方法與策略、教學(xué)評(píng)價(jià)能力等。此階段學(xué)生處于課堂的主體，教師處于課程的欣賞者角色。

4）歸納總結(jié)，自我提高。

課程進(jìn)行到此階段，教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)訓(xùn)階段所學(xué)理論知識(shí)和教學(xué)體會(huì)進(jìn)行歸納總結(jié)。各教研小組推薦本組內(nèi)部一節(jié)最優(yōu)秀的課程作為示范課，讓全體學(xué)生能夠以若干個(gè)不同內(nèi)容的課例為載體，充分掌握不同課型的授課技巧。同時(shí)，通過(guò)集中進(jìn)行的教學(xué)反思和教育敘事活動(dòng)，既鞏固了學(xué)生的師范技能，又提高了他們的創(chuàng)新能力和思考能力。利用網(wǎng)絡(luò)將課堂教學(xué)延伸到課外，學(xué)生根據(jù)需要通過(guò)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)有關(guān)的內(nèi)容，搜集教學(xué)資料，給學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)提供了更加豐富的資源。在這一階段，教師處于課程的組織者角色，學(xué)生處于教學(xué)訓(xùn)練的第四步：即教研能力的訓(xùn)練，包括教學(xué)反思、教育敘事、教學(xué)調(diào)查、教學(xué)科研能力等。

2、組織競(jìng)賽與實(shí)習(xí)并重的實(shí)踐學(xué)習(xí)

教育實(shí)習(xí)高師美術(shù)類課程與教育類課程的知識(shí)技能綜合運(yùn)用于教育教學(xué)實(shí)踐的實(shí)踐性操作課程。為了擺脫學(xué)科教育的束縛，提升學(xué)生教育實(shí)踐的效果。在學(xué)生進(jìn)入三年級(jí)上學(xué)期之后，圍繞每年一次的“河南省畢業(yè)生師范技能大賽”和洛陽(yáng)師范學(xué)院“十佳未來(lái)教學(xué)明星”比賽，以院系為單位開展一系列的師范技能大賽。以師范技能競(jìng)技為平臺(tái)，既考查了實(shí)訓(xùn)階段的教學(xué)效果，又整體提升學(xué)生的教育實(shí)踐的能力。

競(jìng)賽選手將建立學(xué)生競(jìng)賽檔案，以記錄他（她）們?cè)诟?jìng)賽當(dāng)中自身的成長(zhǎng)。在院系競(jìng)技中獲獎(jiǎng)的學(xué)生作為向省級(jí)比賽推薦的選手，將被院系樹立為本屆學(xué)生師范技能高水平的明星典型，學(xué)期末實(shí)習(xí)結(jié)束總結(jié)時(shí)，在學(xué)生中間組織觀摩討論學(xué)習(xí)會(huì)，生生互動(dòng)，相互學(xué)習(xí)，為學(xué)生師范技能的再次提高，和下一屆教育實(shí)習(xí)工作奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（三）全新的評(píng)價(jià)機(jī)制的建構(gòu)――“三段式”教學(xué)模式中課程評(píng)價(jià)機(jī)制的研究

“三段式”教學(xué)模式中針對(duì)高師美術(shù)教學(xué)法課程應(yīng)注重理論性、創(chuàng)造性和實(shí)際技能培養(yǎng)的要求，建立以綜合實(shí)踐能力考核為主線的開放式、全程化考核體系。新的評(píng)價(jià)方式包括理論考核和實(shí)踐考核的改革，實(shí)現(xiàn)考教分離，客觀評(píng)價(jià)學(xué)生掌握本專業(yè)知識(shí)、技能的能力以及應(yīng)用知識(shí)、繼續(xù)學(xué)習(xí)、創(chuàng)新發(fā)展的能力。

本課題研究在評(píng)價(jià)機(jī)制構(gòu)建研究方面，以學(xué)生綜合實(shí)踐能力考核為主線，建立開放式、全程化考核體系。針對(duì)高師美術(shù)教學(xué)法課程應(yīng)注重理論性、創(chuàng)造性和實(shí)際技能培養(yǎng)的要求，我們?nèi)娓母锪?“期末一張卷”的傳統(tǒng)考核方法。新的評(píng)價(jià)方式包括理論考核和實(shí)踐考核的改革：

1、 理論考核將傳統(tǒng)的閉卷考試變?yōu)殚_卷考試，立足新課改的教學(xué)理念，加大主觀測(cè)試題的分值，考核學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力；

2、 實(shí)訓(xùn)考核內(nèi)容范圍更廣，包括對(duì)學(xué)生的授課能力、教案、PPT課件制作能力、審美能力和創(chuàng)新能力等綜合考評(píng)；考核方式由傳統(tǒng)教師“一錘定音”的考核方式，變?yōu)橐孕〗M為單位進(jìn)行的互相評(píng)價(jià)，最后由教師綜合量化。

3、 實(shí)踐環(huán)節(jié)的考核則采用學(xué)生自評(píng)成績(jī)、實(shí)習(xí)成績(jī)和競(jìng)賽成績(jī)相結(jié)合的考評(píng)方式。

新的評(píng)價(jià)機(jī)制將更好的實(shí)現(xiàn)考教分離，不僅能夠客觀的了解學(xué)生掌握知識(shí)的能力，同時(shí)還客觀評(píng)價(jià)學(xué)生掌握專業(yè)知識(shí)、技能的能力以及應(yīng)用知識(shí)、繼續(xù)學(xué)習(xí)、創(chuàng)新發(fā)展的能力。

篇6

立體幾何

第二十三講

空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2019年

1.(2019全國(guó)III文8）如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，ECD為正三角形，平面ECD平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則

A．BM=EN，且直線BM、EN

是相交直線

B．BM≠EN，且直線BM，EN

是相交直線

C．BM=EN，且直線BM、EN

是異面直線

D．BM≠EN，且直線BM，EN

是異面直線

2.（2019全國(guó)1文19）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).

（1）證明：MN∥平面C1DE；

（2）求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．

3.（2019全國(guó)II文7）設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是

A．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行

B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行

C．α，β平行于同一條直線

D．α，β垂直于同一平面

4.（2019北京文13）已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：

①lm；②m∥；③l．

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________．

5.（2019江蘇16）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．

求證：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BEC1E．

6.（2019全國(guó)II文17）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BEEC1.

（1）證明：BE平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．

7.(2019全國(guó)III文19）圖1是由矩形ADEB、ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.

（1）證明圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC平面BCGE；

（2）求圖2中的四邊形ACGD的面積.

8.（2019北京文18）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：BD平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說(shuō)明理由．

9.（2019天津文17）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，

（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

10.（2019江蘇16）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．

求證：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BEC1E．

11.（2019浙江19）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是AC，A1B1的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.

12.（2019北京文18）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：BD平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說(shuō)明理由．

13.（2019全國(guó)1文16）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為___________．

14.（2019全國(guó)1文19）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).

（1）證明：MN∥平面C1DE；

（2）求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．

15.（2019天津文17）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，

（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

16.（2019浙江8）設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P是棱VA上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線PB與直線AC所成角為α，直線PB與平面ABC所成角為β，二面角P-AC-B的平面角為γ，則

A．β

B．β

C．β

D．α

17.（2019浙江19）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是AC，A1B1的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.

2010-2018年

一、選擇題

1．(2018全國(guó)卷Ⅱ)在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為

A．

B．

C．

D．

2．(2018浙江)已知平面，直線，滿足，，則“∥”是“∥”的

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

3．（2017新課標(biāo)Ⅰ）如圖，在下列四個(gè)正方體中，，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，，，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直接與平面不平行的是

4．（2017新課標(biāo)Ⅲ）在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則

A．

B．

C．

D．

5．（2016年全國(guó)I卷）平面過(guò)正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，∥平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1

A1=n，則m，n所成角的正弦值為

A．

B．

C．

D．

6．（2016年浙江）已知互相垂直的平面

交于直線l．若直線m，n滿足m∥α，nβ，則

A．m∥l

B．m∥n

C．nl

D．mn

7．（2015新課標(biāo)1）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)”積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有

A．斛

B．斛

C．斛

D．斛

8．（2015新課標(biāo)2）已知、是球的球面上兩點(diǎn)，，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為

A．

B．

C．

D．

9．（2015廣東）若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則下列命題正確的是

A．與，都不相交

B．與，都相交

C．至多與，中的一條相交

D．至少與，中的一條相交

10．（2015浙江）如圖，已知，是的中點(diǎn)，沿直線將翻折成，所成二面角的平面角為，則

11．（2014廣東）若空間中四條兩兩不同的直線，滿足，則下面結(jié)論一定正確的是

A．

B．

C．既不垂直也不平行

D．的位置關(guān)系不確定

12．（2014浙江）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面

A．若，，則

B．若，則

C．若則

D．若，，，則

13．（2014遼寧）已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說(shuō)法正確的是

A．若則

B．若，，則

C．若，，則

D．若，，則

14．（2014浙江）如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知點(diǎn)到墻面的距離為，某目標(biāo)點(diǎn)沿墻面的射擊線移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，需計(jì)算由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角的大?。ㄑ鼋菫橹本€與平面所成角）。若，，則的最大值

A．

B．

C．

D．

15．（2014四川）如圖，在正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)。設(shè)點(diǎn)在線段上，直線

與平面所成的角為，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

16．（2013新課標(biāo)2）已知為異面直線，平面，平面．直線滿足，，則

A．且

B．且

C．與相交，且交線垂直于

D．與相交，且交線平行于

17．（2013廣東）設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是

A．若,,,則

B．若,,,則

C．若,,,則

D．若,,,則

18．（2012浙江）設(shè)是直線，是兩個(gè)不同的平面

A．若∥，∥，則∥

B．若∥，，則

C．若，，則

D．若,

∥，則

19．（2012浙江）已知矩形，，．將沿矩形的對(duì)角線所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過(guò)程中，

A．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直

B．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直

C．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直

D．對(duì)任意位置，三對(duì)直線“與”，“與”，“與”均不垂直

20．（2011浙江）下列命題中錯(cuò)誤的是

A．如果平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面

B．如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面

C．如果平面，平面，，那么

D．如果平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面

21．（2010山東）在空間，下列命題正確的是

A．平行直線的平行投影重合

B．平行于同一直線的兩個(gè)平面平行

C．垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行

D．垂直于同一平面的兩條直線平行

二、填空題

22．(2018全國(guó)卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為_____．

三、解答題

23．（2018全國(guó)卷Ⅱ）如圖，在三棱錐中，，

，為的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；

(2)若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．

24．（2018全國(guó)卷Ⅲ）如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；

(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由．

25．（2018北京）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，=，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)求證：；

(2)求證：平面平面；

(3)求證：∥平面．

26．（2018天津）如圖，在四面體中，是等邊三角形，平面平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，，．

(1)求證：；

(2)求異面直線與所成角的余弦值；

(3)求直線與平面所成角的正弦值．

27．(2018江蘇)在平行六面體中，，．

求證：(1)平面；

(2)平面平面．

28．(2018浙江)如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，．

(1)證明：平面；

(2)求直線與平面所成的角的正弦值．

29．（2017新課標(biāo)Ⅱ）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，．

(1)證明：直線∥平面；

(2)若的面積為，求四棱錐的體積。

30．（2017新課標(biāo)Ⅲ）如圖，四面體中，是正三角形，．

(1)證明：；

(2)已知是直角三角形，．若為棱上與不重合的點(diǎn)，且，求四面體與四面體的體積比．

31．（2017天津）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，．

（Ⅰ）求異面直線與所成角的余弦值；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

32．（2017山東）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為正方形，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面，

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面平面．

33．（2017北京）如圖，在三棱錐中，，，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）當(dāng)∥平面時(shí)，求三棱錐的體積．

34．（2017浙江）如圖，已知四棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

35．（2017江蘇）如圖，在三棱錐中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EFAD．

求證：（1）EF∥平面ABC；

（2）ADAC．

36．（2017江蘇）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺(tái)形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對(duì)角線的長(zhǎng)為10cm，容器Ⅱ的兩底面對(duì)角線，的長(zhǎng)分別為14cm和62cm．

分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．

現(xiàn)有一根玻璃棒，其長(zhǎng)度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）

（1）將放在容器Ⅰ中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長(zhǎng)度；

（2）將放在容器Ⅱ中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長(zhǎng)度．

37．（2016年山東）在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EF∥DB.

（I）已知AB=BC，AE=EC.求證：ACFB；

（II）已知G，H分別是EC和FB的中點(diǎn).求證：GH∥平面ABC.

38．（2016年天津）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60o，G為BC的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證：FG平面BED；

(Ⅱ)求證：平面BED平面AED；

(Ⅲ)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.

39．（2016年全國(guó)I卷）如圖，已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，，頂點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

（I）證明：是的中點(diǎn)；

（II）在圖中作出點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影（說(shuō)明作法及理由），并求四面體的體積．

40．（2016年全國(guó)II卷）如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在，上，，交于點(diǎn)，將沿折到的位置.

(Ⅰ)證明：；

(Ⅱ)若,求五棱錐體積．

41．（2016年全國(guó)III卷）如圖，四棱錐中，底面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明平面；

（Ⅱ）求四面體的體積．

42．（2015新課標(biāo)1）如圖四邊形為菱形，為與交點(diǎn)，平面．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若，，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積．

43．（2015新課標(biāo)2）如圖，長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)，分別在，上，．過(guò)點(diǎn)，的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形．

（Ⅰ）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說(shuō)明畫法和理由）；

（Ⅱ）求平面把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值．

44．（2014山東）如圖，四棱錐中，，，

分別為線段的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：．

45．(2014江蘇)如圖，在三棱錐中，，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)．已知，

求證：（Ⅰ）直線平面；

（Ⅱ）平面平面．

46．（2014新課標(biāo)2）如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）設(shè)二面角為60°，=1，=，求三棱錐的體積．

47．（2014天津）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，,,,分別是棱,的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明:

平面；

（Ⅱ）若二面角為，

（ⅰ）證明：平面平面；

（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

48．（2013浙江）如圖，在四棱錐PABCD中，PA面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G為線段PC上的點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：BD面APC

；

（Ⅱ）若G是PC的中點(diǎn)，求DG與APC所成的角的正切值；

（Ⅲ）若G滿足PC面BGD，求

的值．

49．（2013遼寧）如圖，是圓的直徑，垂直圓所在的平面，是圓上的點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn)，為的重心，求證：平面．

50．（2012江蘇）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱上的點(diǎn)（點(diǎn)D不同于點(diǎn)C），且為的中點(diǎn)．

求證：（Ⅰ）平面平面；

（Ⅱ）直線平面．

51．(2012廣東)如圖所示，在四棱錐中，平面，，是中點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，為中邊上的高．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若，求三棱錐的體積；

（Ⅲ）證明：平面．

52．（2011江蘇）如圖，在四棱錐中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)．

求證：（Ⅰ）直線EF∥平面PCD；

（Ⅱ）平面BEF平面PAD．

53．（2011廣東）如圖，在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2，E，F(xiàn)分別是BC,PC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：AD平面DEF；

（Ⅱ）求二面角P-AD-B的余弦值．

54．（2010天津）如圖，在五面體中，四邊形是正方形，平面，∥，=1，=，∠＝∠＝45°．

（Ⅰ）求異面直線與所成角的余弦值；

（Ⅱ）證明平面；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

55．（2010浙江）如圖，在平行四邊形中，=2，∠=120°．為線段的中點(diǎn)，將沿直線翻折成，使平面平面，為線段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）設(shè)為線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的余弦值．

專題八

立體幾何

第二十三講

空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

答案部分

2019年

2019年

1.解析

如圖所示，聯(lián)結(jié)，.

因?yàn)辄c(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點(diǎn)，所以平面，平面，因?yàn)槭侵羞吷系闹芯€，是中邊上的中線，直線，是相交直線，設(shè)，則，，

所以，，

所以．故選B．

2.解析

（1）連結(jié).因?yàn)镸，E分別為的中點(diǎn)，所以，且.又因?yàn)镹為的中點(diǎn)，所以.

由題設(shè)知，可得，故，因此四邊形MNDE為平行四邊形，.又平面，所以MN∥平面.

（2）過(guò)C作C1E的垂線，垂足為H.

由已知可得，，所以DE平面，故DECH.

從而CH平面，故CH的長(zhǎng)即為C到平面的距離，

由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.

從而點(diǎn)C到平面的距離為.

3.解析：對(duì)于A，內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行，則與相交或，排除；

對(duì)于B，內(nèi)有兩條相交直線與平行，則；

對(duì)于C，，平行于同一條直線，則與相交或，排除；

對(duì)于D，，垂直于同一平面，則與相交或，排除．

故選B．

4.解析

若②，過(guò)作平面，則，又③，則，又，同在內(nèi)，所以①，即.

5.證明：（1）因?yàn)镈，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，

所以ED∥AB.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，

所以A1B1∥ED.

又因?yàn)镋D?平面DEC1，A1B1平面DEC1，

所以A1B1∥平面DEC1.

（2）因?yàn)锳B=BC，E為AC的中點(diǎn)，所以BEAC.

因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.

又因?yàn)锽E?平面ABC，所以CC1BE.

因?yàn)镃1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，

所以BE平面A1ACC1.

因?yàn)镃1E?平面A1ACC1，所以BEC1E.

6.解：（1）由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，

故.

又，所以BE平面.

（2）由（1）知∠BEB1=90°.由題設(shè)知RtABE≌RtA1B1E，所以，故AE=AB=3，.

作，垂足為F，則EF平面，且.

所以，四棱錐的體積.

7.解析（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．

由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．

又因?yàn)锳B平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．

（2）取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，.

因?yàn)?，平面，所以平面，?

由已知，四邊形是菱形，且得，故平面.

因此.

在中，，，故.

所以四邊形的面積為4.

8.解析（Ⅰ）因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面，

所以．

又因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以．

又平面，平面，，

所以平面PAC．

（Ⅱ）因?yàn)镻A平面ABCD，平面ABCD，

所以PAAE．

因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，∠ABC=60°，且E為CD的中點(diǎn)，

所以AECD．

又，所以ABAE．

又平面，平面，，所以AE平面PAB．

又平面，所以平面PAB平面．

（Ⅲ）棱PB上存在點(diǎn)F，且為的中點(diǎn)，使得CF∥平面PAE．

取F為PB的中點(diǎn)，取G為PA的中點(diǎn)，連結(jié)CF，F(xiàn)G，EG．

因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，則FG∥AB，且FG=AB．

因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且E為CD的中點(diǎn)，

所以CE∥AB，且CE=AB．

所以FG∥CE，且FG=CE．

所以四邊形CEGF為平行四邊形，

所以CF∥EG．

因?yàn)镃F平面PAE，EG平面PAE，

所以CF∥平面PAE．

9.解析

（Ⅰ）連接，易知，.又由，故，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?

（Ⅱ）取棱的中點(diǎn)，連接.依題意，得，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，又平面，?又已知，，所以平面.

（Ⅲ）連接，由（Ⅱ）中平面，可知為直線與平面所成的角，

因?yàn)闉榈冗吶切危覟榈闹悬c(diǎn)，所以.又，

故在中，.

所以，直線與平面所成角的正弦值為.

10..證明：（1）因?yàn)镈，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，

所以ED∥AB.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，

所以A1B1∥ED.

又因?yàn)镋D?平面DEC1，A1B1平面DEC1，

所以A1B1∥平面DEC1.

（2）因?yàn)锳B=BC，E為AC的中點(diǎn)，所以BEAC.

因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.

又因?yàn)锽E?平面ABC，所以CC1BE.

因?yàn)镃1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，

所以BE平面A1ACC1.

因?yàn)镃1E?平面A1ACC1，所以BEC1E.

11.（I）連接A1E，因?yàn)锳1A=A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1EAC.

又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

所以，A1E平面ABC，則A1EBC.

又因?yàn)锳1F∥AB，∠ABC=90°，故BCA1F.

所以BC平面A1EF.

因此EFBC.

（Ⅱ）取BC中點(diǎn)G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形．

由于A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形．

由（I）得BC平面EGFA1，則平面A1BC平面EGFA1，

所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上.

連接A1G交EF于O，則∠EOG是直線EF與平面A1BC所成的角（或其補(bǔ)角）.

不妨設(shè)AC=4，則在RtA1EG中，A1E=2，EG=.

由于O為A1G的中點(diǎn)，故，

所以．

因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是．

12.解析（Ⅰ）因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面，

所以．

又因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以．

又平面，平面，，

所以平面PAC．

（Ⅱ）因?yàn)镻A平面ABCD，平面ABCD，

所以PAAE．

因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，∠ABC=60°，且E為CD的中點(diǎn)，

所以AECD．

又，所以ABAE．

又平面，平面，，所以AE平面PAB．

又平面，所以平面PAB平面．

（Ⅲ）棱PB上存在點(diǎn)F，且為的中點(diǎn)，使得CF∥平面PAE．

取F為PB的中點(diǎn)，取G為PA的中點(diǎn)，連結(jié)CF，F(xiàn)G，EG．

因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，則FG∥AB，且FG=AB．

因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且E為CD的中點(diǎn)，

所以CE∥AB，且CE=AB．

所以FG∥CE，且FG=CE．

所以四邊形CEGF為平行四邊形，

所以CF∥EG．

因?yàn)镃F平面PAE，EG平面PAE，

所以CF∥平面PAE．

13.

過(guò)點(diǎn)P作PO平面ABC交平面ABC于點(diǎn)O，

過(guò)點(diǎn)P作PDAC交AC于點(diǎn)D，作PEBC交BC于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)OD，OC，OE，

則

所以又,

故四邊形為矩形.

有所做輔助線可知，

所以，

所以矩形為邊長(zhǎng)是1的正方形，則.

在中，，所以.

即為點(diǎn)P到平面ABC的距離，即所求距離為.

14.解析

（1）連結(jié).因?yàn)镸，E分別為的中點(diǎn)，所以，且.又因?yàn)镹為的中點(diǎn)，所以.

由題設(shè)知，可得，故，因此四邊形MNDE為平行四邊形，.又平面，所以MN∥平面.

（2）過(guò)C作C1E的垂線，垂足為H.

由已知可得，，所以DE平面，故DECH.

從而CH平面，故CH的長(zhǎng)即為C到平面的距離，

由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.

從而點(diǎn)C到平面的距離為.

15.解析

（Ⅰ）連接，易知，.又由，故，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?

（Ⅱ）取棱的中點(diǎn)，連接.依題意，得，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，又平面，?又已知，，所以平面.

（Ⅲ）連接，由（Ⅱ）中平面，可知為直線與平面所成的角，

因?yàn)闉榈冗吶切危覟榈闹悬c(diǎn)，所以.又，

故在中，.

所以，直線與平面所成角的正弦值為.

16.解析：解法一：如圖G為AC的中點(diǎn)，V在底面的射影為O，則P在底面上的射影D在線段AO上，

作于E，易得，過(guò)P作于F，

過(guò)D作，交BG于H，

則，，，

則，可得；

，可得.

解法二：由最小值定理可得，記的平面角為(顯然)，

由最大角定理可得；

解法三特殊圖形法：設(shè)三棱錐為棱長(zhǎng)為2的正四面體，P為VA的中點(diǎn)，

易得，可得，，，

故選B．

17.（I）連接A1E，因?yàn)锳1A=A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1EAC.

又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

所以，A1E平面ABC，則A1EBC.

又因?yàn)锳1F∥AB，∠ABC=90°，故BCA1F.

所以BC平面A1EF.

因此EFBC.

（Ⅱ）取BC中點(diǎn)G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形．

由于A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形．

由（I）得BC平面EGFA1，則平面A1BC平面EGFA1，

所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上.

連接A1G交EF于O，則∠EOG是直線EF與平面A1BC所成的角（或其補(bǔ)角）.

不妨設(shè)AC=4，則在RtA1EG中，A1E=2，EG=.

由于O為A1G的中點(diǎn)，故，

所以．

因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是．

2010-2018年

1．C【解析】如圖，連接，因?yàn)?，所以異面直線與所成角等于相交直線與所成的角，即．不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，由勾股定理得，又由平面，可得，

所以，故選C．

2．A【解析】若，，∥，由線面平行的判定定理知∥．若∥，，，不一定推出∥，直線與可能異面，故“∥”是“∥”的充分不必要條件．故選A．

3．A【解析】由正方體的線線關(guān)系，易知B、C、D中，所以平面，

只有A不滿足．選A．

4．C【解析】如圖，連結(jié)，易知平面，所以，又，所以平面，故，選C．

5．A【解析】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的平面與平面平行，平面∥平面，所以∥∥，又∥平面，所以∥，則與所成的角為所求角，所以，所成角的正弦值為，選A．

6．C【解析】選項(xiàng)A，只有當(dāng)或時(shí)，；選項(xiàng)B，只有當(dāng)時(shí)；選項(xiàng)C，由于，所以；選項(xiàng)D，只有當(dāng)或時(shí)，，故選C．

7．B【解析】由得圓錐底面的半徑，所以米堆的體積，所以堆放的米有斛．

8．C【解析】三棱錐，其中為點(diǎn)到平面的距離，而底面三角形時(shí)直角三角形，頂點(diǎn)到平面的最大距離是球的半徑，

故=，其中為球的半徑，

所以，所以球的表面積．

9．D【解析】若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則至少與，中的一條相交，故選A．

10．B【解析】解法一

設(shè)，，則由題意知．

在空間圖形中，連結(jié)，設(shè)=．

在中，．

過(guò)作，過(guò)作，垂足分別為．

過(guò)作，使四邊形為平行四邊形，則，

連結(jié)，則就是二面角的平面角，所以．

在中，，．

同理，，，故．

顯然平面，故．

在中，．

在中，

=

，

所以

，

所以（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），

因?yàn)椋?，而在上為遞減函數(shù)，

所以，故選B．

解法二

若，則當(dāng)時(shí)，，排除D；當(dāng)時(shí)，，，排除A、C，故選B．

11．D【解析】利用正方體模型可以看出，與的位置關(guān)系不確定．選D．

12．C【解析】選項(xiàng)中均可能與平面平行、垂直、斜交或在平面內(nèi)，故選．

13．B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，若，則與可能相交、平行或異面，A錯(cuò)誤；顯然選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若，，則或，C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若，，則或或與相交，D錯(cuò)誤．故選B．

14．D【解析】作，垂足為，設(shè)，則，

由余弦定理，

，

故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．

15．B【解析】直線與平面所成的角為的取值范圍是，

由于，，

所以的取值范圍是

16．D【解析】作正方形模型，為后平面，為左側(cè)面

可知D正確．

17．D【解析】A中可能平行、垂直、也可能為異面；B中還可能為異面；C中

應(yīng)與中兩條相交直線垂直時(shí)結(jié)論才成立，選D．

18．B【解析】利用排除法可得選項(xiàng)B是正確的，∥，，則．如選項(xiàng)A：∥，∥時(shí)，或∥；選項(xiàng)C：若，，∥或；選項(xiàng)D：若,

，∥或．

19．B【解析】過(guò)點(diǎn)作，若存在某個(gè)位置，使得，則面，從而有，計(jì)算可得與不垂直，則A不正確；當(dāng)翻折到時(shí)，因?yàn)?，所以面，從而可得；若，因?yàn)?，所以面，從而可得，而，所以這樣的位置不存在，故C不正確；同理，D也不正確，故選B．

20．D【解析】對(duì)于D，若平面平面，則平面內(nèi)的某些直線可能不垂直于平面，即與平面的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面內(nèi)，其余選項(xiàng)易知均是正確的．

21．D【解析】?jī)善叫兄本€的平行投影不一定重合，故A錯(cuò)；由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可知、均錯(cuò)誤，故選D．

22．【解析】由題意畫出圖形，如圖，

設(shè)是底面圓的直徑，連接，則是圓錐的高，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，

則由，的面積為8，得，得，在中，

由題意知，所以，．

故該圓錐的體積．

23．【解析】(1)因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且．

連結(jié)．因?yàn)椋詾榈妊苯侨切危?/p>

且，．

由知，．

由，知平面．

(2)作，垂足為．又由(1)可得，所以平面．

故的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離．

由題設(shè)可知，，．

所以，．

所以點(diǎn)到平面的距離為．

24．【解析】(1)由題設(shè)知，平面平面，交線為．

因?yàn)?，平面，所以平面，故?/p>

因?yàn)闉樯袭愑冢狞c(diǎn)，且為直徑，所以

．

又=，所以平面．

而平面，故平面平面．

(2)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，∥平面．

證明如下：連結(jié)交于．因?yàn)闉榫匦危詾橹悬c(diǎn)．

連結(jié)，因?yàn)闉?/p>

中點(diǎn)，所以∥．

平面，平面，所以∥平面．

25．【解析】(1)，且為的中點(diǎn)，．

底面為矩形，，

．

(2)底面為矩形，．

平面平面，平面．

．又，

平面，平面平面．

(3)如圖，取中點(diǎn)，連接．

分別為和的中點(diǎn)，，且．

四邊形為矩形，且為的中點(diǎn)，

，

，且，四邊形為平行四邊形，

．

又平面，平面，

平面．

26．【解析】(1)由平面平面，平面∩平面=，，可得平面，故．

(2)取棱的中點(diǎn)，連接，．又因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，故∥．所以（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角．

在中，，故．

因?yàn)槠矫妫剩?/p>

在中，，故．

在等腰三角形中，，可得．

所以，異面直線與所成角的余弦值為．

(3)連接．因?yàn)闉榈冗吶切?，為邊的中點(diǎn)，故，

．又因?yàn)槠矫嫫矫?，而平面?/p>

故平面．所以，為直線與平面所成的角．

在中，．

在中，．

所以，直線與平面所成角的正弦值為．

27．【證明】(1)在平行六面體中，．

因?yàn)槠矫?，平面?/p>

所以∥平面．

(2)在平行六面體中，四邊形為平行四邊形．

又因?yàn)椋运倪呅螢榱庑危?/p>

因此．

又因?yàn)?，∥?/p>

所以．

又因?yàn)?，平面，平面，

所以平面．

因?yàn)槠矫妫?/p>

所以平面平面．

28．【解析】(1)由，，，，得

，

所以．

故．

由，，，，得，

由，得，

由，得，所以，故．

因此平面．

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié)．

由平面得平面平面，

由得平面，

所以是與平面所成的角．

由，，

得，，

所以，故．

因此，直線與平面所成的角的正弦值是．

29．【解析】（1）在平面內(nèi)，因?yàn)?，所以∥?/p>

又平面，平面，故∥平面．

（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，．由及∥，

得四邊形正方形，則．

因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形且垂直于底面，平面平面=，所以，底面．因?yàn)榈酌?，所以?/p>

設(shè)，則，，，．取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，所以．

因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得（舍去），．于是，，．

所以四棱錐的體積．

30．【解析】（1）取的中點(diǎn)連結(jié)，.因?yàn)椋裕?/p>

又由于是正三角形，所以.從而平面，故BD.

（2）連結(jié)．

由（1）及題設(shè)知，所以．

在中，．

又，所以

，故.

由題設(shè)知為直角三角形，所以．

又是正三角形，且，所以．

故為BD的中點(diǎn)，從而到平面的距離為到平面的距離的，四面體的體積為四面體的體積的，即四面體與四面體的體積之比為1:1．

31．【解析】（Ⅰ）如圖，由已知AD//BC，故或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角．因?yàn)锳D平面PDC，所以ADPD．在RtPDA中，由已知，得，故．

所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為．

（Ⅱ）證明：因?yàn)锳D平面PDC，直線PD平面PDC，所以ADPD．又因?yàn)锽C//AD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC．

（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．

因?yàn)镻D平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以為直線DF和平面PBC所成的角．

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2．又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得,在RtDPF中，可得．

所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為．

32．【解析】（Ⅰ）取中點(diǎn),連接，，

由于為四棱柱,

所以，，

因此四邊形為平行四邊形,

所以,

又面,平面,

所以∥平面,

（Ⅱ）．，分別為和的中點(diǎn)，

，

又平面，平面，

所以，

，所以，，

又，平面，

所以平面

又平面,

所以平面平面．

33．【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，，所以平面?/p>

又因?yàn)槠矫?，所以?/p>

（Ⅱ）因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以，

由（Ⅰ）知，，所以平面．

所以平面平面．

（Ⅲ）因?yàn)槠矫?，平面平面?/p>

所以．

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，．

由（Ⅰ）知，平面，所以平面．

所以三棱錐的體積．

34．【解析】（Ⅰ）如圖，設(shè)PA中點(diǎn)為F，連結(jié)EF，F(xiàn)B．

因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PD，PA中點(diǎn)，所以EF∥AD且，

又因?yàn)锽C∥AD，，所以

EF∥BC且EF=BC，

即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE∥BF，

因此CE∥平面PAB．

（Ⅱ）分別取BC，AD的中點(diǎn)為M，N．連結(jié)PN交EF于點(diǎn)Q，連結(jié)MQ．

因?yàn)镋，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點(diǎn)，所以Q為EF中點(diǎn)，

在平行四邊形BCEF中，MQ∥CE．

由為等腰直角三角形得

PNAD．

由DCAD，N是AD的中點(diǎn)得

BNAD．

所以

AD平面PBN，

由BC∥AD得

BC平面PBN，

那么，平面PBC平面PBN．

過(guò)點(diǎn)Q作PB的垂線，垂足為H，連結(jié)MH．

MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角．

設(shè)CD=1．

在中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，

在PBN中，由PN=BN=1，PB=得，

在中，，MQ=，

所以

，

所以，直線CE與平面PBC所成角的正弦值是．

35．【解析】證明：（1）在平面內(nèi)，因?yàn)?，，所?

又因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平?

（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫?/p>

平面平面=，

平面，，

所以平面.

因?yàn)槠矫?，所?

又，，平面，平面，

所以平面，

又因?yàn)槠矫妫?/p>

所以．

36．【解析】（1）由正棱柱的定義，平面，

所以平面平面，．

記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處．

因?yàn)?，?/p>

所以，從而．

記與水平的交點(diǎn)為，過(guò)作，為垂足，

則平面，故，

從而．

答：玻璃棒沒入水中部分的長(zhǎng)度為16cm.

(

如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為24cm)

（2）如圖，，是正棱臺(tái)的兩底面中心.

由正棱臺(tái)的定義，平面

，

所以平面平面，.

同理，平面平面，.

記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處.

過(guò)作，為垂足，

則==32.

因?yàn)?

14，=

62，

所以=

，從而.

設(shè)則.

因?yàn)?，所?

在中，由正弦定理可得，解得.

因?yàn)椋?

于是

.

記與水面的交點(diǎn)為，過(guò)作，為垂足，則

平面，故=12，從而

=.

答:玻璃棒沒入水中部分的長(zhǎng)度為20cm.

(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm)

37．【解析】（Ⅰ）證明：因，所以與確定一個(gè)平面，連接，因?yàn)?/p>

為的中點(diǎn)，所以；同理可得，又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，?/p>

（Ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為，連，在中，是的中點(diǎn)，所以，又，所以；在中，是的中點(diǎn)，所以，又，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面?/p>

38．【解析】（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)為，連接，在中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以且，又因?yàn)?，所以且，即四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面?/p>

（Ⅱ）證明：在中，，由余弦定理可，進(jìn)而可得，即，又因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?；平面平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平面?/p>

（Ⅲ）解：因?yàn)?，所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，又因?yàn)槠矫嫫矫?，由（Ⅱ）知平面，所以直線與平面所成角即為.在中，，由余弦定理可得，所以，因此，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值為．

39．【解析】（Ⅰ）因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為，所以

因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為，所以

所以平面，故

又由已知可得，，從而是的中點(diǎn).

（Ⅱ）在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，即為在平面內(nèi)的正投影.

理由如下：由已知可得，，又,所以，,因此平面，即點(diǎn)為在平面內(nèi)的正投影.

連接，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為，所以是正三角形的中心.

由（Ⅰ）知，是的中點(diǎn)，所以在上，故

由題設(shè)可得平面，平面，所以，因此

由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且，可得

在等腰直角三角形中，可得

所以四面體的體積

40．【解析】（Ⅰ）由已知得，，

又由得，故

由此得，所以

（Ⅱ）由得

由得

所以

于是故

由（Ⅰ）知，又，

所以平面于是

又由，所以，平面

又由得

五邊形的面積

所以五棱錐體積

41．【解析】（Ⅰ）由已知得，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，.

又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是.

因?yàn)槠矫?，平面，所以平?

（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，為的中點(diǎn)，所以到平面的距離為．取的中點(diǎn)，連結(jié).由得，

.

由得到的距離為，故.

所以四面體的體積.

42．【解析】（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以?/p>

因?yàn)槠矫?，所以，故平面?/p>

又平面，所以平面平面．

（Ⅱ）設(shè)=，在菱形中，由=120°，

可得=，=．

因?yàn)?，所以在中，可得?/p>

由平面，知為直角三角形，可得．

由已知得，三棱錐的體積．

故．

從而可得．

所以的面積為3，的面積與的面積均為．

故三棱錐的側(cè)面積為．

43．【解析】（Ⅰ）交線圍成的正方形如圖

（Ⅱ）作，垂足為，則，，．因?yàn)闉檎叫?，所以?/p>

于是，，．

因?yàn)殚L(zhǎng)方形被平面分成兩個(gè)高為10的直棱柱，所以其體積的比值為（也正確）．

44．【解析】（Ⅰ）設(shè)，連結(jié)OF，EC，

由于E為AD的中點(diǎn)，，

所以,

因此四邊形ABCE為菱形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，又F為PC的中點(diǎn)，

因此在中，可得.

又平面BEF，平面BEF，所以平面.

（Ⅱ）由題意知，，所以四邊形為平行四邊形，

因此．又平面PCD，所以，因此．

因?yàn)樗倪呅蜛BCE為菱形，所以.

又，AP，AC平面PAC，所以平面．

45．【解析】（Ⅰ）為中點(diǎn)，DE∥PA，

平面DEF，DE平面DEF，PA∥平面DEF，

（Ⅱ）為中點(diǎn)，，

為中點(diǎn)，，

，，DEEF，

，，

，DE平面ABC，

DE平面BDE，平面BDE平面ABC．

46．【解析】（Ⅰ）連接BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO．

因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)。

又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB。

EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB∥平面AEC.

（Ⅱ）因?yàn)镻A平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直．

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則.

設(shè)，則。

設(shè)為平面ACE的法向量，

則即，

可?。?/p>

又為平面DAE的法向量，

由題設(shè)，即，解得．

因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以三棱錐的高為．

三棱錐的體積．

47．【解析】（Ⅰ）證明：如圖取PB中點(diǎn)M，連接MF，AM.因?yàn)镕為PC中點(diǎn)，

故MF//BC且MF=BC．由已知有BC//AD，BC=AD．又由于E為AD中點(diǎn)，

因而MF//AE且MF=AE，故四邊形AMFE為平行四邊形，

所以EF//AM，又AM平面PAB，而EF平面PAB，

所以EF//平面PAB.

（Ⅱ）（i）證明：連接PE，BE．因?yàn)镻A=PD，BA=BD，而E為AD中點(diǎn)，

故PEAD，BEAD，所以PEB為二面角P-AD-B的平面角．在三角形PAD中，

由，可解得PE=2．

在三角形ABD中，由，可解得BE=1．

在三角形PEB中，PE=2，BE=1，，

由余弦定理，可解得PB=，從而，即BEPB，

又BC//AD，BEAD，從而BEBC，因此BE平面PBC．又BE平面ABCD，

所以平面PBC平面ABCD．

（ii）連接BF，由（i）知BE平面PBC．所以EFB為直線EF與平面PBC所成的角，

由PB=，PA=，AB=得ABP為直角，而MB=PB=，可得AM=，

故EF=，又BE=1，故在直角三角形EBF中，

所以直線EF與平面PBC所成角的正弦值為．

48．【解析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)O為AC，BD的交點(diǎn)，

由AB＝BC，AD＝CD，得BD是線段AC的中垂線．

所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，BDAC．

又因?yàn)镻A平面ABCD，BD平面ABCD，

所以PABD．所以BD平面APC．

（Ⅱ）連結(jié)OG.由(1)可知OD平面APC，則DG在平面APC內(nèi)的射影為OG，所以∠OGD是DG與平面APC所成的角．

由題意得OG＝PA＝.

在ABC中，AC＝＝，

所以O(shè)C＝AC＝.

在直角OCD中，OD＝＝2.

在直角OGD中，tan∠OGD＝.

所以DG與平面APC所成的角的正切值為.

（Ⅲ）連結(jié)OG.因?yàn)镻C平面BGD，OG平面BGD，所以PCOG.

在直角PAC中，得PC＝.

所以GC＝.

從而PG＝，

所以.

49．【解析】（Ⅰ）由AB是圓O的直徑，得ACBC．

由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC，

又PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，

所以BC平面PAC．

（Ⅱ）連OG并延長(zhǎng)交AC與M，鏈接QM，QO.

由G為?AOC的重心，得M為AC中點(diǎn)，

由G為PA中點(diǎn)，得QMPC.

又O為AB中點(diǎn)，得OMBC.

因?yàn)镼M∩MO=M，QM平面QMO．

所以QG//平面PBC．

50．【解析】（Ⅰ）因?yàn)槭侵比庵?，所以平面ABC，又平面,所以，又因?yàn)槠矫妫云矫?，又AD平面ADE，所以平面ADE平面.

（Ⅱ）因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫?，且平面，所以又因?yàn)?，平面?/p>

，所以平面，所以AD．又AD平面，平面，所以平面．

51．【解析】（Ⅰ）平面，面

又面

（Ⅱ）是中點(diǎn)點(diǎn)到面的距離，

三棱錐的體積

，

（Ⅲ）取的中點(diǎn)為，連接，，

又平面面面面，

點(diǎn)是棱的中點(diǎn)

，

得：平面．

52．【證明】：（Ⅰ）在PAD中，因?yàn)镋、F分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EF//PD．

又因?yàn)镋F平面PCD，PD平面PCD，

所以直線EF//平面PCD．

（Ⅱ）連結(jié)DB，因?yàn)锳B=AD，∠BAD=60°，

所以ABD為正三角形，因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BFAD．

因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，

所以BF平面PAD．又因?yàn)锽F平面BEF，所以平面BEF平面PAD．

53．【解析】法一：（Ⅰ）證明：取AD中點(diǎn)G，連接PG，BG，BD．因PA=PD，有，在中，，有為等邊三角形，因此，所以平面PBG

又PB//EF，得，而DE//GB得AD

DE，又，所以AD

平面DEF。

（Ⅱ），為二面角P—AD—B的平面角，

在，

在，

，

法二：（Ⅰ）取AD中點(diǎn)為G，因?yàn)?/p>

又為等邊三角形，因此，，

從而平面PBG．

延長(zhǎng)BG到O且使得PO

OB，又平面PBG，PO

AD，

所以PO

平面ABCD．

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，直線OB，OP分別為軸，z軸，平行于AD的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)

由于

得

平面DEF．

（Ⅱ）

取平面ABD的法向量

設(shè)平面PAD的法向量

由

取

54．【解析】（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所?/.故為異面直線與所成的角.因?yàn)槠矫妫?故.

在中，=1，=，==3,

故==.

所以異面直線和所成角的余弦值為.

（Ⅱ）證明：過(guò)點(diǎn)作//,交于點(diǎn)，則.由,可得,從而,又,=,所以平面.

(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得=，即為的中點(diǎn).取的中點(diǎn)，連接，則,因?yàn)?/,所以//.過(guò)點(diǎn)作，交于，則為二面角--的平面角。

連接，可得平面,故.從而.由已知，可得=.由//,,得.

在中，,

所以二面角--的正切值為．

55．【解析】

(Ⅰ)取的中點(diǎn)G，連結(jié)GF，CE，由條件易知

FG∥CD，F(xiàn)G=CD．BE∥CD,BE=CD．所以FG∥BE，F(xiàn)G=BE．

故四邊形BEGF為平行四邊形，所以BF∥EG．

因?yàn)槠矫?，BF平面，所以

BF//平面．

（Ⅱ）解：在平行四邊形,ABCD中，設(shè)BC=，則AB=CD=2，AD=AE=EB=，

連CE，因?yàn)椋?/p>

在BCE中，可得CE=，

在ADE中，可得DE=，

在CDE中，因?yàn)镃D2=CE2+DE2，所以CEDE,

在正三角形中，M為DE中點(diǎn)，所以DE.

由平面平面BCD,

可知平面BCD,

CE.

取的中點(diǎn)N，連線NM、NF，

所以NFDE，NF.

因?yàn)镈E交于M，

所以NF平面，

則∠FMN為直線FM與平面新成角．

在RtFMN中，NF=,

MN=,

FM=，