導(dǎo)語：深究高等數(shù)學(xué)教育需要過程化一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

一、問題的提出

高等數(shù)學(xué)是理工科院校的一門重要的基礎(chǔ)課程,它不但為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程和解決實際問題提供必不可少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及常用的數(shù)學(xué)方法。而且在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力方面也起著重要的作用。高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的好壞,直接影響著學(xué)生對后繼課程的學(xué)習(xí),也直接影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。

長期以來，許多工科院校的高等數(shù)學(xué)教學(xué)已形成了一種默認(rèn)的方式：在遇到需要講解公式、定理時，教師自認(rèn)為對學(xué)生講公式、定理的證明有浪費時間的嫌疑，索性簡單地介紹一下，要求學(xué)生記住公式、定理，然后把課堂的大部分時間都用在講解例題，帶領(lǐng)學(xué)生做關(guān)于此公式、定理的各種各樣的題型，這種教學(xué)即不講定理、公式是如何發(fā)現(xiàn)和提出的，也不說明它們是如何證明的，更不講定理、公式是如何發(fā)展和應(yīng)用的，各個定理、公式之間有何聯(lián)系等等，學(xué)生只要知道公式、定理的結(jié)論，能熟練的運用公式、定理就意味著他們已掌握教學(xué)內(nèi)容，從而教學(xué)任務(wù)也就完成了，至于其推理過程講起來費時費力，再加上學(xué)時的限制，大家都只好走馬觀花了。這種教學(xué)的效果如何呢？請聽一聽過來學(xué)生的心聲吧！一個已考上研究生的學(xué)生這樣評價自己的高數(shù)學(xué)習(xí)：讓我們背公式、記定理，做計算題，我們毫不含呼，但如果讓我們做證明題，一點辦法都沒有。還有一個同學(xué)對我講，老師，我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)泰勒公式，泰勒公式對今后的工作有用嗎？泰勒公式的證明是如何想到的？其實有類似想法的學(xué)生也許還有許多。那么造成這些后果的原因到底出在哪里？從實質(zhì)上看，問題主要在于我們的教學(xué)主要是呈現(xiàn)前人發(fā)明的結(jié)果和狀態(tài)，完全或部分丟掉了數(shù)學(xué)發(fā)明的過程，不妨稱它為“結(jié)果教學(xué)”，如果教學(xué)僅僅為了系統(tǒng)傳授知識，僅僅為了提高學(xué)生的運算技能，這種教學(xué)就足夠了，但在大力倡導(dǎo)提高民族創(chuàng)新精神的今天，結(jié)果教學(xué)已完全落后于時代，它使學(xué)生“只見樹木，不見森林”，只知其然，而不知所以然，只學(xué)到了靜態(tài)的、刻板的知識，而沒有掌握數(shù)學(xué)思想方法，其實質(zhì)是降低了對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的要求，也是無法實現(xiàn)高等數(shù)學(xué)的教育目標(biāo)的。而方法才是具有活力的要素，如何解決上述兩個同學(xué)的困惑和疑問，使學(xué)生掌握鮮活的知識，如何提高和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力？現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)論認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動的教學(xué)，只有按照思維活動過程的規(guī)律進(jìn)行教學(xué)，才能優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)習(xí)的質(zhì)量。而偉大的數(shù)學(xué)家萊布尼茲也曾說過：“沒有什么比看到發(fā)明的源泉（過程）更重要了，比發(fā)明本身更重要”②。因此筆者認(rèn)為教學(xué)應(yīng)按照數(shù)學(xué)思維活動的規(guī)律,既教給學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的成果，又向?qū)W生展示知識的形成、發(fā)展、前進(jìn)的過程，只有這樣才能有效的解決我們當(dāng)前高數(shù)教學(xué)中存在的問題的。這種教學(xué)不妨稱為“過程教學(xué)”。

二、過程教學(xué)的理論依據(jù)

(一)現(xiàn)代建構(gòu)主義教育觀認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)是在自己原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上的一個主動建構(gòu)過程，能夠使學(xué)生的思維始終處于積極狀態(tài)的教學(xué)才是有效的教學(xué)，而過程教學(xué)正是在教學(xué)中通過展現(xiàn)數(shù)學(xué)家的思維過程（創(chuàng)造過程）、教師自己的思維過程，使學(xué)生在重新經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)、形成、改造、發(fā)展中和數(shù)學(xué)家同思考、共發(fā)現(xiàn)，師生之間的交流也實現(xiàn)了心靈與心靈零距離的有效碰撞，從而使學(xué)生能真正體會到數(shù)學(xué)家是如何選擇問題的突破口？如何合理選擇發(fā)明創(chuàng)造的方法，如何調(diào)整研究問題的方向？面對錯誤是如何修正的等等，這樣的教學(xué)不但有利于發(fā)揮學(xué)生的主動性，而且更有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性，使學(xué)生學(xué)到活生生的創(chuàng)造整理方法，同時學(xué)生的心靈也可以受到潛移默化的影響，而這種影響則是永久的，終生的留在了學(xué)生的記憶里，是學(xué)生生命的需要。

(二)從心理學(xué)的角度來講，過程教學(xué)中全體學(xué)生的不同思維展現(xiàn)，使不同的思考方法異彩紛呈，更易在同學(xué)之間產(chǎn)生影響，好的方法更易被采納，失敗的教訓(xùn)更易接受，從而更有利于解決他們將來遇到的新問題，因此在教學(xué)中暴露思維活動的過程應(yīng)是高數(shù)教學(xué)貫穿的生命主線。

三、過程教學(xué)的實施

在教學(xué)中如何開展過程教學(xué)呢？擬從下面幾個方面進(jìn)行：

(一)概念、定理、公式的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念、定理、公式的發(fā)現(xiàn)、形成及證明思路的形成過程，讓學(xué)生掌握不同定理、公式之間的聯(lián)系和區(qū)別。

數(shù)學(xué)概念、定理的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中一個十分重要的環(huán)節(jié)，它是深刻理解、掌握教學(xué)內(nèi)容，成功解決問題的基礎(chǔ)。教材中一般只給出了概念的定義、定理的內(nèi)容，省略了概念、定理提出、證明方法的形成過程，從而給學(xué)生的學(xué)習(xí)造成了一定的困難，如何讓學(xué)生深刻理解概念、定理的本質(zhì)，體驗概念、定理提出的必要性和可行性呢？筆者認(rèn)為教師應(yīng)向?qū)W生提供數(shù)學(xué)概念、定理形成的有效情景，引導(dǎo)學(xué)生利用自己已有的知識和經(jīng)驗，通過主動探索和積極思考，親身經(jīng)歷概念是如何發(fā)現(xiàn)、形成的，最終由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的概念與定理，這樣，學(xué)生才能真正領(lǐng)悟概念的本質(zhì)，弄清概念的外延，從而避免在后繼的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)概念性錯誤。比如在講解微積分學(xué)基本定理，有兩條方案可供選擇：

其一是直接給出變上限的定積分的概念，接著推出微積分學(xué)基本定理，

評價：這種方法是大多數(shù)教師采用的方法，它能按時完成教學(xué)任務(wù)，也能使學(xué)生會用此公式進(jìn)行定積分的運算，但由于缺乏對學(xué)習(xí)此公式的必要性和可行性的認(rèn)同，因而學(xué)習(xí)沒有興趣，另外，這種教學(xué)也使學(xué)生缺少了一次數(shù)學(xué)思想方法和創(chuàng)造發(fā)明方法洗禮的好機會。其二是教師可在第一節(jié)定積分的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)如下兩個問題情景：

情景1：計算及。

評價：在計算時，同學(xué)們能夠用定積分的定義計算出來，但在計算時，卻無論如何無法進(jìn)行，此時他們深刻體會到利用定義計算定積分是多么復(fù)雜的，尋求計算定積分的簡單方法此刻已成為他們內(nèi)心的需求。也許此時有的同學(xué)認(rèn)為可利用定積分的中值定理來解決，在剛講過中值定理的情況下，學(xué)生有這種思考是自然的，此時教師可留出時間讓學(xué)生來嘗試，通過嘗試他們會發(fā)現(xiàn)在中由于不知道ξ的值，而無法進(jìn)行下去。（注：學(xué)生對問題嘗試解決的受阻又進(jìn)一步提高解決問題的積極性。）

下面教師就可出示第二個問題，

情景2：有一物體在x軸上運動，設(shè)時刻t時物體所在的位置為s(t)，速度為v(t)(v(t)≥0），請討論物體在時間間隔[T1,T2]內(nèi)經(jīng)過的路程。

此時教師可引導(dǎo)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)、定積分的物理意義及物理學(xué)中路程的含義得出物體在時間間隔[T1,T2]內(nèi)經(jīng)過的路程，而，于是就有式子成立，由此引導(dǎo)大家得到猜想：速度函數(shù)v(t)在區(qū)間[T1,T2]上的定積分等于其原函數(shù)s(t)在該區(qū)間上的增量，這樣的結(jié)論是否具有普遍性呢？這樣引出變上限定積分就有了合理性。

評價：采用上述方式教學(xué)，情景1的設(shè)計首先從思想上解決了學(xué)習(xí)微積分學(xué)基本定理的必要性，讓學(xué)生體會到問題是如何提出的，更引發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，“變要我學(xué)，為我要學(xué)”，接下來通過不同學(xué)生的探索過程，又讓學(xué)生體驗到問題是如何解決；情景2的設(shè)置使學(xué)生體驗到當(dāng)問題解決不下去時，如何尋找出路，達(dá)到柳暗花明的境界，那就是利用特殊化的思想把研究的問題先特殊化，變成我們熟悉的、能夠解決的問題，從特殊問題的解決中找出規(guī)律，尋求一般問題解決的思路，這種解決問題、思考問題的方法正是進(jìn)行科學(xué)研究經(jīng)常采用的，對學(xué)生進(jìn)行科學(xué)研究方法的訓(xùn)練，也正是教學(xué)要達(dá)到的一個較高境界。

（二）在解決問題時向?qū)W生展現(xiàn)問題的提出、思路的形成、發(fā)展，調(diào)控以及修正過程。

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，如何通過問題解決的教學(xué)優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，使他們學(xué)會如何提出、發(fā)現(xiàn)和解決問題，應(yīng)使每一個教師認(rèn)真思考的問題，我們認(rèn)為教師應(yīng)采用適當(dāng)?shù)姆椒▉肀┞?、揭示教師和?shù)學(xué)家真實的解決問題的思維過程，如，當(dāng)教師遇到問題時是如何尋找突破口？在問題的解決過程中如何調(diào)控自己的思維？如何發(fā)現(xiàn)和提出新的問題？等等。我們知道證明“∈(a,b)，使f(ξ)=0或f′(ξ)=0是微分中值定理應(yīng)用中的兩類重要問題，常常利用Rolle定理來解決，對于第一類問題往往通過找出f(x)的原函數(shù)F(x)，對F(x)在[a,b]利用Rolle定理證明F′(x)在(a,b)內(nèi)存在零點即可，對于第二類問題也可類似解決，可見兩個問題都轉(zhuǎn)化為求f(x)的原函數(shù)F(x)。而學(xué)生面對此類問題往往卻束手無策，不知如何下手，歷來是教學(xué)的重點更是難點，如何使學(xué)生通過例題的學(xué)習(xí)掌握規(guī)律、找出通法，掌握解決問題的實質(zhì)和關(guān)鍵應(yīng)是提高解題教學(xué)質(zhì)量的有效途徑。

例1：設(shè)證明在(0,1)內(nèi)至少有一個x滿足方程

師：討論方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)的根的存在性問題，一般有兩種途徑：（1）利用連續(xù)函數(shù)的零點定理，（2）尋找f(x)的一個原函數(shù)F(x)，使F′(x)=f(x)，且F(a)=F(b)利用Rolle定理就可找到原方程的根。下面利用第二種途徑來解決。如何利用羅爾定理了解決這個問題呢？（注：在問題思路的探討過程中，教師一定要留出時間和空間，讓學(xué)生利用所學(xué)的知識通過自己的思考，探討思路是怎樣發(fā)現(xiàn)的。）

生1：令，而f(x)的哪一個原函數(shù)可滿足F′(x)=f(x)且F(0)=F(1)？

經(jīng)過幾分鐘的觀察……,生2：取，則F(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo)，且F(0)=F(1)=0故有Rolle定理知，至少存在一個x∈(0,1)，使得F′(x)=0，

評價：解題教學(xué)重在引導(dǎo)學(xué)生找到解決問題的思路、方法，通過上述問題的學(xué)習(xí)讓學(xué)生明白尋找原函數(shù)是解決此類問題的關(guān)鍵。

（三）在結(jié)論的完成階段向?qū)W生展現(xiàn)結(jié)論的延伸、聯(lián)系及新問題的發(fā)現(xiàn)過程。

一個問題的結(jié)束是否意味著教學(xué)任務(wù)的完成呢？在大多數(shù)情況下，教師迫于教學(xué)時數(shù)的限制，在解決完一個問題后就開始了另一個問題的講解，這樣的教學(xué)看似學(xué)生學(xué)習(xí)了許多東西而實質(zhì)上這種教學(xué)充其量只完成了知識目標(biāo)的教學(xué)，對于學(xué)生能力的養(yǎng)成，特別是數(shù)學(xué)意識的養(yǎng)成關(guān)注很少，更不要說學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)了。我們知道一個問題的解決往往意味著新的問題的提出和發(fā)現(xiàn)，因此我們在一個問題講解完之后，不要急于提出另外一個問題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對原有問題的反思、消化，從舊的結(jié)論中提出新的見解，比如可啟發(fā)學(xué)生思考如下問題：這個問題的解法和前面類似問題的解法有什么聯(lián)系和區(qū)別，我們?nèi)绻言袉栴}的條件加強或減弱，結(jié)論將如何變化，在此題的條件下還能得到哪些結(jié)論，各個結(jié)論之間是如何聯(lián)系的等等，這種通過學(xué)生自己的思考來尋求結(jié)論的延伸，新問題的發(fā)現(xiàn)，以及新舊問題之間的聯(lián)系的教學(xué)，既能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的能力，更能增加學(xué)生的成功心理體驗，提高他們的學(xué)習(xí)興趣，從而為他們的終身學(xué)下堅實的基礎(chǔ)。

四、“過程教學(xué)”與“結(jié)果教學(xué)”的協(xié)調(diào)統(tǒng)一

(一)既展現(xiàn)成功的思維過程，也暴露失敗的思考過程。

在我們的教學(xué)過程中，一般整理向?qū)W生展示的都是解決問題的正確的思維過程，然而“數(shù)學(xué)的發(fā)展并非是無可懷疑的真理在教學(xué)中的簡單積累，而是一個充滿了猜想與反駁的復(fù)雜過程”，在教學(xué)中適時的暴露教師或?qū)W生失敗的思考過程，也許更能啟迪學(xué)生的思維，使學(xué)生在自我反省中優(yōu)化思維品質(zhì)。在教學(xué)中暴露教師是如何從失敗走向成功的全過程，學(xué)生學(xué)到的是真正的研究問題的方法，同時還學(xué)到了數(shù)學(xué)家百折不撓的品質(zhì)和精神。每堂課一開始要花點時間糾正作業(yè)中典型錯誤,每次布置1-2道富有思考些的題目,讓同學(xué)回去思考.下堂課再討論，套公式的題目,課堂上不講。因此暴露思維過程即要展示成功的過程，更要適當(dāng)體現(xiàn)一些錯誤思維的暴露、調(diào)控及糾正過程。

例2：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，證明：至少存在一點ξ∈(a,b)，

分析：結(jié)論可轉(zhuǎn)化為證明：，使(b-ξ)f′(ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0。

生1：在(a,b)上運用Rolle中值定理來解決呢？

生2：由于不知道f(x)在x=a,b的值，不能直接運用。

生3：我們可以構(gòu)造一個函數(shù)F(x)，使F(x)在x=ξ的導(dǎo)數(shù)正好是(b-ξ)f′(ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0，

師：哪一個函數(shù)在x=ξ的導(dǎo)數(shù)是(b-ξ)f′(ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0。

生3：取F(x)=(b-x)[f(x)-f(a)]，則F(a)=F(b)=0，而由已知條件可知F(x)在[a,b]上連續(xù)、在(a,b)可導(dǎo)，所以由羅爾定理知：∈(a,b)F′(ξ)=(b-ξ)f′(ξ)-[f(ξ)-f(a)=0，既∈(a,b)，使。

在上述問題的解決過程中，通過生1的思維受阻，啟迪其他學(xué)生的思維，為正確思路的形成奠定了基礎(chǔ)。

(二)選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容。

并不是所有的教學(xué)內(nèi)容都適合運用過程教學(xué)，我們知道教材中有些內(nèi)容，其發(fā)現(xiàn)過程是極其艱難和漫長的，比如在講解數(shù)列極限概念時，要求學(xué)生在較短的時間內(nèi)，去想象和發(fā)現(xiàn)，是不現(xiàn)實的，而有些內(nèi)容發(fā)現(xiàn)則來自于數(shù)學(xué)家突然間的靈感，這些內(nèi)容發(fā)現(xiàn)的思維過程連科學(xué)家自身都不能很好的說清，何況我們的學(xué)生呢，因此在進(jìn)行過程教學(xué)時，教師要認(rèn)真鉆研教材，選擇恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容通過過程教學(xué)使學(xué)生掌握研究問題的方法，近而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。

(三)展現(xiàn)合理有效的問題情景。

我們知道并不是所有問題都能引發(fā)學(xué)生的積極思考，比如，“這樣做對不對？”“是不是？”，“你能把定理內(nèi)容敘述一下嗎？”等問題只能引發(fā)學(xué)生低水平的思考，并不能真正激發(fā)學(xué)生潛在的創(chuàng)造性，從而使學(xué)生以飽滿的熱情投入到教學(xué)中來，因此在設(shè)置問題情景時，一定要從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，提出一些使學(xué)生通過積極思考和探索才能解決的問題來。