導(dǎo)語：小議思辨數(shù)學(xué)概念對(duì)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)的要義一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：思辨數(shù)學(xué)的概念是弗賴登塔爾提出的。概率統(tǒng)計(jì)課程中思辨數(shù)學(xué)內(nèi)容至少包含思辨求解和思辨推斷兩個(gè)模塊。關(guān)于思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)分，能為概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)提供重心，在教學(xué)法上具有重要意義。珍視概率統(tǒng)計(jì)課程中思辨數(shù)學(xué)的教育價(jià)值，驅(qū)動(dòng)以概念為本的概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)，對(duì)訓(xùn)練創(chuàng)新思維素養(yǎng)和培育直覺能力有著獨(dú)特的作用。

關(guān)鍵詞：思辨數(shù)學(xué)；算法；概率統(tǒng)計(jì)；直覺思維

1思辨數(shù)學(xué)詞源詮釋

思辨數(shù)學(xué)一詞是荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（Freudenthal，1905—1990）首先提出的。他在名著《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中舉例詮釋了思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)別：設(shè)有相同數(shù)量的白酒與紅酒各一杯，取一匙白酒倒入紅酒內(nèi)，使之混合，再取同量的一匙混合酒倒入白酒內(nèi)。試問，白酒杯中所含的紅酒比紅酒杯中所含的白酒多，還是正好相反？答案是：兩種含量一樣多。然而解題方法有兩種，一種是根據(jù)其取法操作，列出算式計(jì)算...另一種是這樣思考的：設(shè)想每個(gè)杯子中的白酒和紅酒是分開的，那么白酒杯中的紅酒正是紅酒杯中所缺少的部分，而它的空缺現(xiàn)在正好被白酒所填補(bǔ)。前一種解法是算法求解，后一種解法是思辨求解]。

顯然，這是兩種思維風(fēng)格迥然不同的解法，解法一是邏輯性的算法求解，屬于算法數(shù)學(xué)；解法二主要是直覺性的思辨求解，屬于思辨數(shù)學(xué)。這里舉例僅僅是為了詮釋概率論中思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)別。我們認(rèn)為，思辨數(shù)學(xué)就是動(dòng)態(tài)地辯證地把握概念和體味推據(jù)（這里把思辨推理的理論依據(jù)簡(jiǎn)稱推據(jù)），憑借對(duì)概念的直覺和數(shù)學(xué)美的啟迪（而非邏輯性的推理），產(chǎn)生直觀的解題思路方法或做出合情推理決策。換言之，在直覺領(lǐng)引下，圍繞推據(jù)，換位思考，思維在運(yùn)動(dòng)中覓到解題方法的一套數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

德國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家克萊因（KleinF，1849—1925）指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列的技巧，這些技巧只不過是它微不足道的方面，它們遠(yuǎn)不能代表數(shù)學(xué)，就如同調(diào)配顏色遠(yuǎn)不能當(dāng)作繪畫一樣，技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物。”[4]克萊因這一論斷，對(duì)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義，把握思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)分，它能為教學(xué)提供重心，對(duì)于貫徹概率統(tǒng)計(jì)思想方法為主線的教學(xué)大有裨益。

2概率統(tǒng)計(jì)課程中的思辨數(shù)學(xué)內(nèi)涵透析

從思維的邏輯層面透析，概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)內(nèi)容可以分為兩類，大部分是程序性的，有一些則是思辨性的。算法是程序性的，概率統(tǒng)計(jì)的演算中充斥著算法；然而，在概率演算題中也會(huì)遇到思辨求解問題，雖然這類題數(shù)量不多，但解題思維中頗富有理性精神，有著方法論的教育意義。特別值得一提的是，就產(chǎn)生數(shù)理統(tǒng)計(jì)一些重要方法的思想而言，思辨因素起著關(guān)鍵性的作用，從本質(zhì)上講，作為數(shù)理統(tǒng)計(jì)核心內(nèi)容的統(tǒng)計(jì)推斷也隸屬于思辨數(shù)學(xué)的范疇，即思辨數(shù)學(xué)至少包含思辨求解和思辨推斷兩大模塊?，F(xiàn)分述如下：

2.1思辨求解問題

若對(duì)某些概率問題的題設(shè)條件進(jìn)行分析，抓住題目中的關(guān)鍵概念，由對(duì)這些概念的直覺和思辨，就能引發(fā)解題的思AXB路和方法。具體說來，吃透問題的條件和結(jié)論，抓住起決定性作用的思辨因素，運(yùn)用發(fā)散思維或逆向思維，進(jìn)行類比聯(lián)想或換位思考推理，進(jìn)而恰當(dāng)?shù)匾胼o助事件或輔助隨機(jī)變量，就會(huì)建構(gòu)和洞察到所研究的數(shù)學(xué)對(duì)象中蘊(yùn)涵著的事件之間或隨機(jī)變量之間的某種對(duì)稱性、對(duì)等性或等可能性的關(guān)系。那么，這些事件、事件關(guān)系所遵從的一般的概率法則、統(tǒng)計(jì)規(guī)律或一些概率原理等就構(gòu)成解題思維的支點(diǎn)，即推據(jù)；思維一旦受到這些推據(jù)以及數(shù)學(xué)中對(duì)稱美的直覺啟發(fā)，就會(huì)迅速地做出判斷，尋到簡(jiǎn)便的解法，或直接給出答案。

2.2.1最大似然法（以離散型隨機(jī)變量為例）

2.2.2最小二乘估計(jì)

回歸分析的基本思想是首先根據(jù)樣本組的分布特征以及對(duì)問題的思辨認(rèn)識(shí)而先驗(yàn)地選定一個(gè)模型類型，然后求出（估計(jì)出）模型中相應(yīng)參數(shù)。至于對(duì)參數(shù)的估計(jì)，一般采用最大似然估計(jì)法，具體到回歸分析上叫做最小二乘法。所謂最小二乘法系利用拉格朗日條件極值原理，對(duì)所選模型在所給樣本下，保證誤差最小時(shí)，求得參數(shù)估計(jì)值[6]。說到底它也是一種思辨推斷模式。

2.2.3假設(shè)檢驗(yàn)

先根據(jù)統(tǒng)計(jì)目的對(duì)總體提出一個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)0H（也叫原假設(shè)），然后再由一次抽樣的結(jié)果來檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否可信，從而做出決策：拒絕還是接受這個(gè)假設(shè)。一方面，我們先假定0H是正確的，在此假定下，某事件A出現(xiàn)的概率很小，比如p(A)=0.05；另一方面，進(jìn)行一次試驗(yàn)，如果事件A出現(xiàn)了，就是說在一次試驗(yàn)中就居然發(fā)生了小概率事件，那么根據(jù)直覺：“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中一般認(rèn)為是不會(huì)發(fā)生的。”（小概率事件原理，即推據(jù)）我們不能不懷疑作為小概率事件的前提假設(shè)0H的正確性，因而做出拒絕0H的決策；如果進(jìn)行一次試驗(yàn)，小概率事件沒有出現(xiàn)，則試驗(yàn)結(jié)果與假設(shè)相符，沒有理由拒絕0H，因而只好接受0H。進(jìn)一步歸結(jié)出假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟（略），即是算法程序，使概念的直觀具體性有了一個(gè)邏輯思維的圖式，如果沒有這些邏輯模式，推理將變得沒有質(zhì)量。從根本上看，假設(shè)檢驗(yàn)法是以小概率事件原理為推據(jù)的思辨推斷模式。概言之，最大似然估計(jì)、最小二乘估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)本質(zhì)上都是思辨的產(chǎn)物；從思維方法上講，它們是思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)有機(jī)的統(tǒng)一體；“思辨”當(dāng)頭，“算法”自然就在其中了。

2.3概率統(tǒng)計(jì)中的思辨數(shù)學(xué)之特征分析

2.3.1思辨求解問題與思辨推斷的異同

思辨求解問題的推據(jù)具有確定性和真理性。。然而，思辨推斷的推據(jù)則具有“或然性”，比如最大似然原理中的用詞：“應(yīng)該是”，并非“一定是”；小概率事件原理中的用詞“一般認(rèn)為是不會(huì)發(fā)生”，但并非“絕對(duì)不會(huì)發(fā)生”，可見思辨推斷的結(jié)論則是概率邏輯意義下的必然。比如假設(shè)檢驗(yàn)就是概率性質(zhì)的反證法。故思辨推斷理屬合情推理。

思辨求解與思辨推斷的共同之處，都是主體基于對(duì)概率統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)及其結(jié)構(gòu)的透徹了解，基于對(duì)整個(gè)問題的理解把握以及已有的知識(shí)背景，使主體能跨越邏輯的思考而進(jìn)入直念（即數(shù)學(xué)直觀，形象觀念）[3]，想象和直覺判斷，以推據(jù)為準(zhǔn)繩，迅速解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題。

2.3.2思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的比較

由于思辨數(shù)學(xué)一詞是相對(duì)于與算法數(shù)學(xué)的概念提出的，下面我們就其兩者進(jìn)行對(duì)比分析：

算法數(shù)學(xué)有具體化、程序化和機(jī)械化特點(diǎn)，又有抽象性、概括性和精確性；思辨數(shù)學(xué)有抽象化、模式化和直念化特點(diǎn)，又帶有假定性、哲理性和啟示性。

算法有算理，比如概率的公理、定理、性質(zhì)等構(gòu)成概率算法求解的基本算理。算理是算法的理論基礎(chǔ)，算法是算理的具體體現(xiàn)；思辨求解和思辨推斷有推據(jù)，比如對(duì)稱性、對(duì)等性、等可能性、最大似然原理、小概率事件原理等構(gòu)成概率思辨求解和思辨推斷的推據(jù)。推據(jù)是思辨的理論基礎(chǔ)，思辨求解和思辨推斷是推據(jù)的實(shí)際表達(dá)。

與算法相比較，算法求解依據(jù)邏輯思維、邏輯推理，思維是縱向的、條理化的；思辨數(shù)學(xué)則依據(jù)認(rèn)識(shí)之直覺，思維是跳躍性的、橫向的和發(fā)散的。思辨求解的推理是非邏輯的；思辨推斷是歸納性質(zhì)的合情推理。

3提出思辨數(shù)學(xué)概念對(duì)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)具有的要義

關(guān)于思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的這種區(qū)分，在教學(xué)法上具有重要意義。傳統(tǒng)的概率教學(xué)著眼于概率算法求解，重視運(yùn)算規(guī)則和方法技巧，注重邏輯思維能力培養(yǎng)，忽視或根本不談概率思辨求解，因?yàn)樵S多概率教材的例題與習(xí)題都鮮見思辨求解類的素材；輕視概率統(tǒng)計(jì)課程的基本概念教學(xué)，因而造成了概率思想、統(tǒng)計(jì)認(rèn)識(shí)諸方面知識(shí)匱乏和直覺能力的缺失。比如統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心，統(tǒng)計(jì)推斷是對(duì)統(tǒng)計(jì)總體的未知數(shù)量特征做出概率形式表達(dá)的推理，鑒于思維上推與證的不同而分別提出了參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)，由此構(gòu)成統(tǒng)計(jì)推斷內(nèi)容的兩面。參數(shù)估計(jì)是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體參數(shù)所作的“猜想”，而前提是樣本與總體的同分布（即樣本與總體的同質(zhì)性）的假定；假設(shè)檢驗(yàn)即對(duì)總體特征做出的一種假設(shè)，然后根據(jù)樣本信息對(duì)這一假設(shè)的支持程度做出描述。前提同樣都是樣本與總體的同分布的假定。從哲學(xué)層面講，它們探討的都是共性與個(gè)性的辯證關(guān)系。

從戰(zhàn)略上看，由樣本推斷總體具有歸納性質(zhì)，從戰(zhàn)術(shù)上看，最大似然估計(jì)法與假設(shè)檢驗(yàn)的解題程式中的樣本值nx,x,,x12􀀢又非具體的數(shù)值，因而具有演繹性質(zhì)，所以最大似然估計(jì)法和假設(shè)檢驗(yàn)是歸納與演繹的辯證統(tǒng)一。對(duì)于統(tǒng)計(jì)推斷內(nèi)容的教法，目前多數(shù)教學(xué)已落入算法化、程式化的俗套，把參數(shù)的最大似然估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)作為一套處理問題的規(guī)則或算法來教；2003年出版的《Mathematica基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)軟件》一書，把參數(shù)的最大似然估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)按算法編程由計(jì)算機(jī)來做[7]，毫無思想。誠然，數(shù)學(xué)教育不應(yīng)該拒絕計(jì)算機(jī)的滲透，特別是統(tǒng)計(jì)推斷問題常會(huì)涉及一些煩瑣的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和計(jì)算，借助于計(jì)算機(jī)可節(jié)省大量的時(shí)間和精力。但是，數(shù)學(xué)方法的內(nèi)核是數(shù)學(xué)思想，由于意識(shí)不到統(tǒng)計(jì)推斷是思辨數(shù)學(xué)體系，所以容易忽視產(chǎn)生統(tǒng)計(jì)推斷方法所依賴的統(tǒng)計(jì)推斷思想、策略及其思維活動(dòng)過程的教學(xué)，以致學(xué)生不能目睹數(shù)學(xué)過程的形象而生動(dòng)的性質(zhì)，體悟不到統(tǒng)計(jì)推斷方法中蘊(yùn)涵的概率思想，更達(dá)不到思維訓(xùn)練之效。誠然，給學(xué)生一個(gè)可仿效的范例，就足以教會(huì)一個(gè)算法，盡管這樣的教學(xué)，學(xué)生學(xué)會(huì)了套用統(tǒng)計(jì)推斷的解題步驟，可能會(huì)做對(duì)若干道數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題，但是對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷的思想實(shí)質(zhì)和認(rèn)識(shí)機(jī)制理解不深。比如，有學(xué)生在用最大似然估計(jì)法解題時(shí)，先把具體的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)帶入似然函數(shù)的表達(dá)式，再作取對(duì)數(shù)、求導(dǎo)、求極值點(diǎn)的運(yùn)算；有的學(xué)生在假設(shè)檢驗(yàn)解題中，在寫到最后一步：“拒絕H0”或“接受H0”時(shí)就擱筆了，把“即認(rèn)為...”這句關(guān)鍵的陳述語省略了不寫。不難想到，他們對(duì)樣本的二重性以及最大似然法所使用的辯證邏輯思維領(lǐng)悟不透徹；對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷所表達(dá)的非決定論的因果關(guān)系規(guī)律認(rèn)識(shí)不到位。一句話，對(duì)最大似然估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)方法的本質(zhì)思想，缺少深層的思考。傳統(tǒng)教學(xué)的結(jié)果只會(huì)給學(xué)生留下這樣的印象：數(shù)理統(tǒng)計(jì)是裝著一筐子的“算法”。這種只強(qiáng)調(diào)算法與規(guī)則的數(shù)學(xué)課程，正如只強(qiáng)調(diào)語法和拼寫的寫作課程一樣，都是一種本末倒置。

任何一門數(shù)學(xué)學(xué)科都是由概念和技巧支撐的；若能區(qū)別概率統(tǒng)計(jì)教材中思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)，區(qū)分或認(rèn)識(shí)思辨數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，這就意味著預(yù)先設(shè)定將它們作為思維訓(xùn)練來教，其意義在于強(qiáng)調(diào)思辨因素，強(qiáng)調(diào)概率統(tǒng)計(jì)思想方法形成的思維活動(dòng)的過程，自然也是強(qiáng)調(diào)了以概念為本的課程教學(xué)模式。

3.1凸顯以概率論為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)思想以深化統(tǒng)計(jì)認(rèn)識(shí)

毫無疑問，概率論是統(tǒng)計(jì)的運(yùn)載工具，統(tǒng)計(jì)思想是統(tǒng)計(jì)方法的靈魂。按照思辨數(shù)學(xué)模式講授統(tǒng)計(jì)推斷，能夠更好地揭示和表達(dá)統(tǒng)計(jì)思想，深化統(tǒng)計(jì)認(rèn)識(shí)。因?yàn)樨瀼厝握摷矗骸霸谀撤N假定（假設(shè)）...之下，一方面...另一方面...，依推據(jù)則有...”的思辨推斷模式，勢(shì)必強(qiáng)調(diào)深刻理解概念和推據(jù)，充分展示換位思考中的思辨原理與辯證思維方法，這就凸顯了以概率論為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)推斷思想。比如假設(shè)檢驗(yàn)，如果統(tǒng)計(jì)假設(shè)被理解為構(gòu)成概率計(jì)算的基礎(chǔ)的話，那么，看來極不可能的某個(gè)事件發(fā)生了，那就有悖于常理，于是統(tǒng)計(jì)假設(shè)認(rèn)為是小概率的事件的發(fā)生，將是一個(gè)反對(duì)該假設(shè)的證據(jù)，并且這種概率越小，其證據(jù)越顯得強(qiáng)有力。又由于在統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的邏輯中，前提與結(jié)論之間的邏輯蘊(yùn)涵不再是必然的，而是一種概率蘊(yùn)涵。換句話說，概率解釋中的解釋前提是假說，所以得到的邏輯必然的推論是可能的概率解釋。而在概率解釋中，對(duì)個(gè)別事實(shí)解釋的概率性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律在每一個(gè)別情況下無法實(shí)現(xiàn)這一規(guī)律聯(lián)系著，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)規(guī)律是大數(shù)定律，它僅在大量觀察或多次試驗(yàn)中才能出現(xiàn)。因此在統(tǒng)計(jì)規(guī)律上所作的關(guān)于個(gè)別事實(shí)的結(jié)論，只能解釋這一事實(shí)的可能性，而不是它的必然性。因此，“接受”中的“納偽”和“拒絕”中的“棄真”這兩類錯(cuò)誤不可避免的發(fā)生充分說明了這一點(diǎn)。

3.2強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思辨對(duì)培育直覺能力具有獨(dú)特功效

數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)思辨性。弗賴登塔爾指出：“算法是好的，數(shù)學(xué)中的常規(guī)也是不可避免的?！盵1]誠然，對(duì)數(shù)學(xué)來說算法具有極大的重要性，代數(shù)、微積分、概率中都有算法。當(dāng)前教學(xué)的強(qiáng)烈趨勢(shì)就是盛行算法化[1]。將一個(gè)領(lǐng)域算法化是更容易超越該領(lǐng)域的一種方式[1]。然而，現(xiàn)代數(shù)學(xué)之不同于古老數(shù)學(xué)，在于它強(qiáng)調(diào)的是思辨的因素而不是算法[1]。最引人注目的新生事物，也就是引起現(xiàn)代化過程發(fā)生的事物——集合論、抽象代數(shù)、分析學(xué)、拓?fù)洹际撬急娴漠a(chǎn)物。它們是沖破算法的僵化的外殼噴射而出的[1]。同時(shí)弗賴登塔爾還指出：算法數(shù)學(xué)與思辨數(shù)學(xué)的關(guān)系是辯證的，不能把它們看作是新與舊、高與低的對(duì)立。從培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的層面看，算法數(shù)學(xué)與思辨數(shù)學(xué)好比“算術(shù)和幾何正是作為互相的直接對(duì)立面在智力上發(fā)展起來的，但這并不表明因?yàn)橄矚g其中一個(gè)就應(yīng)該把另一個(gè)貶低。相反，教學(xué)應(yīng)該將這種發(fā)展繼續(xù)下去”[8]，教學(xué)應(yīng)該像重視算法數(shù)學(xué)一樣重視思辨數(shù)學(xué)，但問題在于目前的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀，人們有些重算法而輕思辨的傾向。概率統(tǒng)計(jì)的思辨求解和思辨推斷解決問題的重要策略和特點(diǎn)是：對(duì)具體問題作具體分析，以已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為背景，在直覺領(lǐng)引下發(fā)掘問題中蘊(yùn)含著的思辨因素，尋找到推據(jù)或生成推據(jù)，以推據(jù)為支點(diǎn)，憑借直覺展開思辨推算或推斷。其思維方式是直覺的。從心理學(xué)視角看，思辨數(shù)學(xué)是直覺思辨的產(chǎn)物，它是思維對(duì)那種隱藏于數(shù)學(xué)對(duì)象深層的數(shù)學(xué)事物關(guān)系間的和諧性與規(guī)律性的感受，正是這種感受把知識(shí)空間投影和凈化成那幅心智圖像。顯意識(shí)和潛意識(shí)溝通形成頓悟，進(jìn)而達(dá)到直覺思維的目標(biāo)。

因此，強(qiáng)調(diào)思辨數(shù)學(xué)，必然注重培育直覺能力。思辨求解不僅能增加和豐富學(xué)生概率解題的方法策略，而且對(duì)其直覺思維乃至創(chuàng)新能力的培養(yǎng)大有裨益?？巳R因說過：“在某種意義上講，數(shù)學(xué)的進(jìn)展主要?dú)w功于那些以直覺能力著稱的人多于那些以嚴(yán)謹(jǐn)證明著稱的人?！?/p>

3.3透過思辨求解法感悟數(shù)學(xué)方法的奇異美

思辨求解法的產(chǎn)生離不開直覺，數(shù)學(xué)直覺本質(zhì)上就是“美的意識(shí)或美感”。美的意識(shí)力或鑒賞能力越強(qiáng)，發(fā)現(xiàn)和辨認(rèn)隱蔽的和諧關(guān)系的直覺能力也就越強(qiáng)。數(shù)學(xué)審美意識(shí)是產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺、爆發(fā)數(shù)學(xué)靈感的“刺激素”。

思辨求解法的思想性強(qiáng)，其方法直觀，運(yùn)算簡(jiǎn)捷，甚至用不著計(jì)算就能直接獲得答案。從思辨求解法產(chǎn)生的心理機(jī)制來看，其思維空間是動(dòng)態(tài)的；每一個(gè)具體的思辨性解法，無不聯(lián)系著主體解題的思維運(yùn)作：數(shù)形結(jié)合，動(dòng)靜聯(lián)想，等價(jià)語意轉(zhuǎn)換，整體性把握思考，以及受到數(shù)學(xué)美的啟迪等。它把數(shù)學(xué)表達(dá)式的對(duì)稱美、數(shù)學(xué)關(guān)系的和諧美、數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)思想的思辨美發(fā)揮的淋漓盡致。奇妙的解法閃爍著智慧之光，常給人以精神上的愉悅和滿足。

“奇異性與思辨性是密切相關(guān)的，奇異性的結(jié)果會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)的新進(jìn)展，而思辨能引起人們的思索，調(diào)動(dòng)人們的想象，幫助人們對(duì)未知事物作深入地理解、把握和預(yù)見，促使人們?nèi)プ非髷?shù)學(xué)中內(nèi)在旋律。”即追求數(shù)學(xué)美的旋律。

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