導(dǎo)語(yǔ)：剖析三角形的等積分割線與三角函數(shù)式的求值論文一文來(lái)源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

如何將一個(gè)三角形面積分割成兩個(gè)相等的部分，是我們已熟知的問(wèn)題，只要沿三角形的中線，即可把三角形分割成面積相等的兩個(gè)部分，許多同學(xué)認(rèn)為，這樣的分割線只有三條，但是，這樣的分割線到底有多少條呢？

問(wèn)題1：請(qǐng)用一條直線，把△ABC分割為面積相等的兩部分。

解：取BC的中點(diǎn)，記為點(diǎn)D，連結(jié)AD，則AD所在直線把△ABC分成面積相等的兩個(gè)部分。

大家知道，這樣分割線一共有三條，分別是經(jīng)過(guò)△ABC的三條中線的直線，能把△ABC的面積分成相等兩部分。除了這三條以外，還有很多種，并且對(duì)于△ABC邊上任意一點(diǎn)，都可以找到一條經(jīng)過(guò)這點(diǎn)且把三角形面積平分的直線。

問(wèn)題2：點(diǎn)E是△ABC中AB邊上的任意一點(diǎn)，且AE≠BE，過(guò)點(diǎn)E求作一條直線，把△ABC分成面積相等的兩部分。

解：如圖2，取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD，過(guò)點(diǎn)D作DF∥CE，交BC于點(diǎn)F，則直線EF就是所求的分割線。

證明：設(shè)CD、EF相交于點(diǎn)P

∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)

∴AD=BD∴S△CAD=S△CBD

∴S四邊形CAEP＋S△PED=S四邊形DPFB＋S△PCF

又∵DF∥CE∴S△FED=S△DCF（同底等高）

即：S△PED=S△PCF

∴S四邊形CAEP=S四邊形DPFB

∴S四邊形CAEP＋SPCF=S四邊形DPFB＋S△PED

即S四邊形AEFC=S△EBF

由此可知，把三角形面積進(jìn)行平分的直線有無(wú)數(shù)條，而且經(jīng)過(guò)邊上任意一條直線，運(yùn)用梯形對(duì)角線的特殊性質(zhì)，很容易作出這樣的分割線。

那么，這些分割線會(huì)不會(huì)交于某特定的一點(diǎn)呢？

大家知道，三角形的三條中線都把三角形分成面積相等的兩個(gè)部分，而三條中線交于它的重心，如果這些分割線相交于一點(diǎn)，那么這點(diǎn)必定是三角形的重心。

問(wèn)題3：已知：如圖3，在△ABC中，G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，求證：S△AEF=S△ABC.

證明：延長(zhǎng)AG，交BC于點(diǎn)D

∵點(diǎn)G是△ABC的重心

∴AG:AD=2:3

又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC

由本題可得：過(guò)AB邊上的點(diǎn)E，經(jīng)過(guò)重心G的直線，EF把三角形面積分為4:5兩部分，直線EF并不是三角形的等積分割線。而根據(jù)問(wèn)題2，可以找到一條過(guò)點(diǎn)E把三角形面積平分的一條直線，這條直線必不過(guò)重心G。

綜上可知，三角形的等積分割線有無(wú)數(shù)條，而且任意給定邊上一點(diǎn)，都可以作出相應(yīng)的等積分割線，且只有一條，所有的分割線并不相交于三角形的重心。

1.給角求值要求熟練掌握兩角和與差的三角函數(shù)的基本公式、二倍角公式，特別要注意逆向使用和差角公式與二倍角公式，以此將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)。

例1

求值：sec50°+tan10°

解析：sec50°+tan10°

=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°

=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°

=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°

=cos40°+cos20°cos10°

=2cos30°cos10°cos10°=3

總結(jié)評(píng)述：本題的解題思路是：變角→切割化弦→化異角為同角→轉(zhuǎn)化為特殊角→約去非特殊角的三角函數(shù)。

解此類問(wèn)題的方法是，轉(zhuǎn)化為特殊角，同時(shí)能消去非特殊角的三角函數(shù)。

2.給值求值給出角的一種三角函數(shù)值，求另外的三角函數(shù)式的值，常用到同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及其推論，有時(shí)還用到“配角”的技巧，解題的關(guān)鍵是找出已知條件與欲求的值之間的角的運(yùn)算及函數(shù)名稱的差異，對(duì)已知式與欲求式施以適當(dāng)?shù)淖冃?，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的。公務(wù)員之家

例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值

策略：要求1-sin2αcos2α的值，條件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要從這一條件出發(fā)，將α的某一三角函數(shù)值求出，即可獲解。

解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26

∵cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)

∴1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26

3.給值求角

給出三角函數(shù)值求角的關(guān)鍵有二：

（1）求出要求角的某一三角函數(shù)值（通常以正弦或余弦為目標(biāo)函數(shù)）。

（2）確定所求角在（已求該角的函數(shù)值）相應(yīng)函數(shù)的哪一個(gè)單調(diào)區(qū)間上（注意已知條件和中間所求函數(shù)值的正負(fù)符號(hào)）。

例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。

解析：由已知不難求出tanα與tan2β的值，這就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷α+2β的范圍。

∵cosα=－750且α∈（0，π）

∴sinα=150,tanα=－17

又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34

∴tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα

=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1

α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)

β∈（0，π），tanβ=－13<0,β∈(π2,π)

∴2β∈（π,2π），tan2β=－34<0

∴3π2<2β<2π

∴α+2β∈（2π，3π）.

而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4

∴α+2β=11π4

總結(jié)評(píng)述：給值求角問(wèn)題中，求出三角函數(shù)值后，要注意限制角的范圍。