導(dǎo)語：復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)設(shè)計思考一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要:復(fù)變函數(shù)與積分變換課程是理工科的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，在學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)其他工科課程中發(fā)揮著極其重要的作用。鑒于這門課程的理論復(fù)雜性，傳統(tǒng)的教學(xué)模式往往受學(xué)時的限制，教學(xué)效果并不理想，因此為提高教學(xué)效果，本文提出以學(xué)生為中心的原則下課程教學(xué)設(shè)計的若干思考，即在倡導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的新形勢下如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心以及提升他們的學(xué)習(xí)能力。近幾年的教學(xué)實踐表明，這些方法對提高這門課程的教學(xué)效果行之有效，受到學(xué)生們的普遍歡迎。

關(guān)鍵詞:復(fù)變函數(shù)與積分變換;教學(xué)設(shè)計;對分課堂;Matlab仿真;學(xué)習(xí)通軟件

眾所周知，復(fù)變函數(shù)與積分變換是理工科各專業(yè)的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，它是學(xué)生學(xué)習(xí)農(nóng)業(yè)機械化、力學(xué)、自動控制理論、電子技術(shù)、自動化、信號處理等諸多課程的先修課，也是解決實際工程問題的有力數(shù)學(xué)工具。然而，由于這門課是建立在高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析課程的基礎(chǔ)之上，其數(shù)學(xué)公式繁多，理論性較強，因此對初學(xué)者而言，它的內(nèi)容顯得難度很大，學(xué)生學(xué)習(xí)的效果往往不容樂觀。鑒于工科學(xué)生學(xué)好這門課程的重要性，我們做了一些新的嘗試，開展了多樣化的線上教學(xué)模式，并將其與傳統(tǒng)的教學(xué)模式相結(jié)合，充分發(fā)揮線上模塊化教學(xué)與線下集中授課的優(yōu)點，取長補短。既解決了學(xué)時的限制，又拓寬了知識面，也加深了一部分內(nèi)容的難度和深度，以適應(yīng)不同專業(yè)對該門課程的不同需求。本文是根據(jù)多年來這門課的教學(xué)經(jīng)驗與學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，堅持“以學(xué)生為中心”原則，總結(jié)若干切實可行的新型教學(xué)方法，期待與同行專家學(xué)者學(xué)習(xí)交流。

一、注重激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

本科階段三門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課:高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)及概率論與數(shù)理統(tǒng)計，雖然讓學(xué)生學(xué)習(xí)到了豐富的大學(xué)數(shù)學(xué)知識，但由于它們的抽象性與計算復(fù)雜性，學(xué)生學(xué)習(xí)效果也是良莠不齊?？紤]到它們是考研科目，學(xué)生還是會全力以赴去學(xué)好這些課程。然而，復(fù)變函數(shù)與積分變換不是工科學(xué)生的考研科目，加上它的理論復(fù)雜性，學(xué)生的學(xué)習(xí)動力明顯不足，這樣在平時教學(xué)中，學(xué)生比較容易懈怠，集中上課的效果不容樂觀，作業(yè)完成的質(zhì)量往往不高。以上這些是當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)這門課的普遍現(xiàn)象，作為教師，我們需要重視并改變它。為了讓課堂的氣氛活躍起來，我們以PPT課件和錄制小視頻的形式給同學(xué)們介紹與這門課知識點有關(guān)的有趣故事。例如在講復(fù)數(shù)的起源時，可先通過PPT課件介紹在復(fù)數(shù)的產(chǎn)生過程中，那些著名的數(shù)學(xué)家的故事，了解其人，知道其對復(fù)變函數(shù)作出的偉大貢獻，包括偉大的數(shù)學(xué)家歐拉，柯西，魏爾斯特拉斯，黎曼等等。簡要了解數(shù)學(xué)史對學(xué)習(xí)這門課程很有幫助。比如讓同學(xué)們了解歐拉是如何利用高等數(shù)學(xué)知識，得到歐拉公式的，而后人又是如何利用三角函數(shù)的冪級數(shù)展開式給出其嚴(yán)格證明方法，歐拉本身的生平事跡十分勵志，特別對于處于信息嚴(yán)重爆炸的今天的學(xué)生，會有很強的震撼作用，學(xué)生也必然會被歐拉論文成果多產(chǎn)與毅力堅強所吸引。當(dāng)學(xué)生不再感覺這門課程只是晦澀難懂的時候，我們提出一些有趣的問題。比如，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)在高等數(shù)學(xué)里有界，它們在復(fù)變函數(shù)是否仍然有界?復(fù)變函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)如何定義?指數(shù)函數(shù)又為什么會具有周期性呢?對數(shù)函數(shù)為什么會是多值的?這些與高數(shù)截然不同的結(jié)論，必然激發(fā)他們學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的極大興趣，于是我們再鼓勵學(xué)生課余時間在復(fù)變函數(shù)與積分變換教材中尋找答案，讓他們以行動自覺地學(xué)習(xí)這門課程的相關(guān)知識點。另外，我們也會利用數(shù)學(xué)軟件Matlab仿真來處理一些理論性強的概念如級數(shù)、留數(shù)、傅里葉變換及拉普拉斯變換等，鼓勵學(xué)生課余時間也來利用這軟件做一些仿真練習(xí)，這些形象的教學(xué)手段有助于學(xué)生加強對復(fù)雜公式、概念等的理解與認(rèn)識。由此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們感受到我們教師這么做就是為了讓他們學(xué)習(xí)這門課充滿樂趣，而不是只有枯燥與困惑。

二、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)這門課的信心

多年的教學(xué)經(jīng)驗告訴我們，切不可在課堂上一味地講授復(fù)變函數(shù)與積分變換的知識點。雖然這門課是建立在高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析之上，但很多學(xué)生已經(jīng)忘記甚至記錯高等數(shù)學(xué)中的概念、定義、定理等，甚至搞錯解題方法。因此，我們在下次講授新課前，會提醒學(xué)生我們將要學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容，這些內(nèi)容與高等數(shù)學(xué)里哪些內(nèi)容相似或有關(guān)，鼓勵同學(xué)們課余時間復(fù)習(xí)相關(guān)的高等數(shù)學(xué)知識，同時預(yù)習(xí)這門課的新知識點。例如，復(fù)變函數(shù)與積分變換課程中的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、級數(shù)及其斂散性的判別等，在高等數(shù)學(xué)中也有此類定義。我們采用的這種類比的教學(xué)方法可以很好地培養(yǎng)學(xué)生自發(fā)學(xué)習(xí)與查資料的學(xué)習(xí)習(xí)慣。當(dāng)他們走進課堂學(xué)習(xí)新知識點的時候，信心滿滿;當(dāng)我們事先設(shè)計好問題，在課堂提問的時候，他們也會搶著回答。我們的課堂教學(xué)形成了很好的互動氛圍，讓學(xué)生感受到他們就是課堂教學(xué)的積極參與者，課堂是他們展現(xiàn)自我才華的舞臺。

三、最大可能地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力

當(dāng)同學(xué)們對復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的學(xué)習(xí)充滿興趣與信心的時候，作為這門課的教師，我們思考著如何趁熱打鐵，最大可能地提升他們的理解能力、計算能力及表達能力。具體而言，我們采用對分課堂教學(xué)模式。這種教學(xué)模式最早是復(fù)旦大學(xué)張學(xué)新教授提出的，它起初主要應(yīng)用于人數(shù)少的文科課程教學(xué)。我們采用分組的方法，布置學(xué)習(xí)任務(wù)給每個小組，再結(jié)合超星學(xué)習(xí)通的線上教學(xué)平臺，也取得了較好的效果。我們的具體做法是，將全班分成若干小組，選擇各章的部分小節(jié)內(nèi)容作為他們的自學(xué)內(nèi)容，小組內(nèi)部互相交流，確定學(xué)生代表，利用課堂教學(xué)的部分時間，采用板書或者PPT的形式給全班師生講解，然后全班討論，最后我們授課教師總結(jié)與點評。例如，我們講授復(fù)變函數(shù)的概念與極限，先請學(xué)生代表講解復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性，然后請其他小組同學(xué)討論該學(xué)生代表講課的優(yōu)點與不足，最后授課教師點評。我們講函數(shù)解析的充分必要條件，先安排小組同學(xué)講初等函數(shù)并舉例，大家再討論，最后我們加以總結(jié)。在時間上，我們一般安排學(xué)生講課15分鐘，大家討論5分鐘，教師點評與總結(jié)25分鐘。這樣，學(xué)生將有20分鐘課堂時間展現(xiàn)自我風(fēng)采，鍛煉自己的理解能力與表達能力。這對于學(xué)生也是一種很必要的鍛煉，離開座位，走上講臺，當(dāng)一次“老師”，體會自己學(xué)會和通過自己的講解讓別人學(xué)會的區(qū)別，也是學(xué)生展現(xiàn)自己的一次難得機會。這樣做的確會占用一部分課堂教學(xué)時間，教學(xué)大綱中的教學(xué)任務(wù)如何有效完成呢?我們充分利用超星學(xué)習(xí)通線上教學(xué)平臺，將每次上課的內(nèi)容、課件及相關(guān)資料放在平臺上，供學(xué)生隨時查閱。承擔(dān)復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)的所有教師均可提前錄制相關(guān)教學(xué)內(nèi)容的視頻，放在學(xué)習(xí)通的資料庫里，根據(jù)每個班級的教學(xué)進度按時發(fā)放。這樣一方面可以彌補課堂教學(xué)時間的不足，另一方面對于學(xué)生在課下預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)時，可以反復(fù)觀看教學(xué)視頻，也可以結(jié)合自己的實際理解情況，選擇跳過某部分視頻，直接進行下一個知識點的學(xué)習(xí)。這種自主選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容的方式受到同學(xué)們的普遍歡迎，既照顧學(xué)習(xí)能力比較強的學(xué)生，節(jié)約了時間，又可以照顧到接受能力相對薄弱的學(xué)生，通過反復(fù)觀看理解，有疑問隨時在平臺上提出，老師不再局限于地點的選擇，隨時隨地可以解答疑問。每章結(jié)束以后會進行線上測試，分為系統(tǒng)自評和學(xué)生互評兩種。系統(tǒng)自評以客觀題為主，在題庫里隨機選擇相關(guān)題目，學(xué)生可多次作答，取最高分?jǐn)?shù)計入該次成績。系統(tǒng)可以統(tǒng)計出每題的正確率，授課教師可參考統(tǒng)計結(jié)果決定是否在課堂上統(tǒng)一講解該題目。這樣可以很好地彌補課時量不足的局限。教師也可以根據(jù)測試結(jié)果和每次的作業(yè)報告及時了解學(xué)生對知識點的掌握情況，從而在后面的教學(xué)中及時查缺補漏。下圖是部分作業(yè)的發(fā)放和統(tǒng)計情況。對于成績方面，我們將學(xué)生的出勤、講課質(zhì)量、線上線下作業(yè)的完成情況作為平時成績考核的重要依據(jù)，適當(dāng)降低期末考試成績所占的比重，這樣更好地激發(fā)了同學(xué)們的學(xué)習(xí)自覺性。

總之，我們所做的一切都是旨在以學(xué)生為中心，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的興趣，培養(yǎng)他們敢于挑戰(zhàn)這門理論性強的數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)勇氣，進而最大可能性提升他們的理解能力、計算能力及表達能力。這樣，他們將努力學(xué)好這門課，為其他后續(xù)理工科的應(yīng)用類課程打好基礎(chǔ)。教學(xué)相長，這也提高了我們教師的業(yè)務(wù)水平與專業(yè)素養(yǎng)。致謝:作者感謝南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院教改項目《復(fù)變函數(shù)與積分變量》混合式教學(xué)探索與實踐(No．2019GQ0502)的資助，也感謝編輯和審稿專家的寶貴建議。

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作者:王凡 孔倩 張新華單位:南京農(nóng)業(yè)大學(xué)