導(dǎo)語：悖論――自引用――不一致――無一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

Wecan’tsolveproblemsbyusingthesamekindofthinkingweusedwhenwecreatedthem.--AlbertEinstein

寫下這個(gè)題目，不免有些驚心動(dòng)魄，這些主題詞未免太大了，還好本文只是討論它們之間的這一“――”，即對(duì)這些主題詞的相關(guān)方面作一些初步的探討。

1．悖論

悖論自古有之。比較出名的是說謊者悖論：一個(gè)人說了一句話：“我現(xiàn)在在說謊”。我們來分析一下這句話是真話，還是謊話。假設(shè)這句話是真話，由它的內(nèi)容所指，則這句話是謊話；反過來，假設(shè)這句話是謊話，那么“我現(xiàn)在在說謊”就是謊話，因此他說的是實(shí)話。

由這句話是真話，可以推導(dǎo)出這句話是謊言；由這句話是謊話，又可以推導(dǎo)出這句話是真話。這就稱為悖論。

更形式化的悖論定義是：“由A可以推導(dǎo)出┐A（A的否定的形式寫法），并且由┐A可以推導(dǎo)出A?！?/p>

悖論還有很多，如“蘇格拉底悖論”、“萬能上帝悖論”、中國古代的“矛盾悖論”、“先有雞先有蛋悖論”、“自由悖論”、康德的二律背反等等。

還有一類跟悖論很相近的命題，我們不妨稱之為“自毀命題”。自毀命題的定義是：“由A可以推導(dǎo)出┐A，但由┐A并不能推導(dǎo)出A?！弊詺}具有自毀性質(zhì)，自毀命題本身是不能成立的，但它的否定卻沒有約束。

比如克里特哲學(xué)家說：“克里特人總是說謊”，這就是一個(gè)自毀命題。這個(gè)命題與說謊者悖論很相似，但兩者并不一樣。假設(shè)這句話是真話，那么由它所指及這個(gè)哲學(xué)家是個(gè)克里特人的事實(shí)，可以推出這個(gè)哲學(xué)家也總是說謊，這個(gè)哲學(xué)家現(xiàn)在當(dāng)然也是在說謊，即這句話是謊言；再看另外一個(gè)方向，假設(shè)這句話是謊話，也就是“克里特人并不總是說謊”，由此并不能推出矛盾。

再看“世上沒有絕對(duì)的真理”，這也是一個(gè)自毀命題。假設(shè)這句話是真的，那么世上就有了絕對(duì)的真理，這與話語所指矛盾；假設(shè)這句話是假的，也就是“世上有某些絕對(duì)的真理”，這并不能產(chǎn)生矛盾。

再如“中國文化一無用處”，這也是一個(gè)自毀命題。我們用中文文字來說這句話，這樣來看，中文文字就是有用的，也即中國文化的某些東西是有用的，這就與原命題矛盾；反過來，這個(gè)命題的否定也并不能產(chǎn)生矛盾。

《五燈會(huì)元》里有長爪梵志與佛陀的辯論，長爪梵志的立論命題是“什么都不接受。”佛陀就問道：“那你接受不接受‘什么都不接受’這個(gè)觀點(diǎn)呢？”長爪梵志無言，只好認(rèn)輸。這也是一個(gè)自毀命題。

自毀命題也還有很多，比如“真理是不可言說的”，“墻上不準(zhǔn)寫字”，“我沒有在說話”，“我在睡覺”，“以暴止暴”等。

另外，還有一類“自成命題”。自成命題的定義是：“A并不可以推導(dǎo)出┐A，但由┐A可以推導(dǎo)出A?！弊猿擅}具有自成性質(zhì)，自成命題的否定將導(dǎo)致矛盾的，但它的肯定卻沒有約束。比如哥德爾語句，就是自成命題。

悖論與自毀命題、自成命題的一個(gè)區(qū)別是：自毀命題的名詞常常包含有一個(gè)全稱量詞的限制。

悖論與自毀命題、自成命題的相同之外就在于矛盾性，也即不一致性。悖論在肯定和否定命題兩個(gè)方向都會(huì)產(chǎn)生矛盾，而自毀命題在肯定命題時(shí)會(huì)產(chǎn)生矛盾，自成命題在否定命題時(shí)會(huì)產(chǎn)生矛盾。自毀命題只能假，自成命題只能真。

2．羅素悖論

悖論里面最出風(fēng)頭的要數(shù)“羅素悖論”，他直接引起了“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”，撼動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

以下，我們介紹一下“羅素悖論”。如果集合具有自己屬于自己的性質(zhì)，那么我們稱這個(gè)集合是“自吞的”，比如所有集合的集合。現(xiàn)在假設(shè)T是所有不自吞集合的集合。那么請(qǐng)問T是否是自吞的？如果說T不是自吞的，那么T將屬于自己，那么T就是自吞的。如果說T是自吞的，那么T便具有T內(nèi)元素的性質(zhì)“不自吞”，即T是不自吞的。

“羅素悖論”的通俗形式是“理發(fā)師悖論”：一個(gè)理發(fā)師聲稱他給且只給不為自己理發(fā)的人理發(fā)。那么問題來了，這個(gè)理發(fā)師是否給自己理發(fā)？如果他不給自己理發(fā)，那么按照他的聲稱，他應(yīng)該給自己理發(fā)。如果他給自己理發(fā)，那么他便具有“不為自己理發(fā)”性質(zhì)的，也就是他不為自己理發(fā)。

數(shù)學(xué)家“日用而不知”的“集合”概念居然存在矛盾，這對(duì)于當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們不啻一記晴天霹靂。打個(gè)比方，一個(gè)人早上醒來，卻發(fā)現(xiàn)自己腳下都是沙土?；蛘哒缫粋€(gè)百萬富翁突然發(fā)現(xiàn)自己的錢都是假鈔。或者正如一個(gè)小孩放學(xué)回來，卻發(fā)現(xiàn)自己的家人都不見了，自己的家都“空”了。這樣的感覺無疑是使人震驚，甚至恐懼的。既然樸素的集合論思想是不嚴(yán)密的，那么數(shù)學(xué)家們就要建構(gòu)更加嚴(yán)密的集合論，在樸素集合論的概念里加上一些限制，以防止不適當(dāng)集合的出現(xiàn)。如此，公理集合論就漸漸發(fā)展起來了。其中，ZF公理集合論是比較成熟的一種。ZF公理集合論目前還沒出現(xiàn)矛盾，但問題是經(jīng)過了“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”，如何叫數(shù)學(xué)家們相信“ZF公理集合論是一致的”？（所謂一致的，就是不矛盾的，或稱協(xié)調(diào)的，也就是不會(huì)在一個(gè)系統(tǒng)里面既有公式A為真又有公式┐A為真。）

這個(gè)問題又?jǐn)U展到對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的反思，什么樣的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是穩(wěn)固的？數(shù)學(xué)真理的本質(zhì)是什么？數(shù)學(xué)命題有什么意義？它們是建基于什么樣的證明之上的？［1］

對(duì)于此問題的不同看法，數(shù)理邏輯界形成了三派：邏輯主義學(xué)派（羅素，懷特海）、形式主義或公理學(xué)派（希爾伯特）、直覺主義（布勞威爾）學(xué)派。本文主要涉及形式主義學(xué)派。

希爾伯特大力提倡數(shù)學(xué)的形式主義（即公理化）。在那個(gè)時(shí)期，初等幾何、算術(shù)、群、環(huán)、域、拓樸空間等數(shù)學(xué)系統(tǒng)都得到了公理論?；仡櫄v史，我們還可以驚奇地發(fā)現(xiàn)，哲學(xué)家斯賓諾莎嘗試過用公理化的方法來表述倫理學(xué)。

希爾伯特提出了希爾伯特方案，也就是把古典數(shù)學(xué)的每一分支都形式化，并且證明這些數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性和完全性。所謂協(xié)調(diào)性，也就是一致性，即這個(gè)形式系統(tǒng)內(nèi)部不會(huì)出現(xiàn)矛盾。所謂完全性，是指這個(gè)形式系統(tǒng)里面的任一公式A，或者A是可證的，或者是┐A可證的。

正當(dāng)希爾伯特滿懷信心要一勞永逸地解決數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題時(shí)，哥德爾不完全性定理的證明驚醒了形式主義學(xué)派的美夢(mèng)。

3．哥德爾

哥德爾（1906－1978）在中國是值得大吹特吹的人物，國外一般認(rèn)為哥德爾與愛因斯坦都是上世紀(jì)最有影響的科學(xué)家。特別是在數(shù)學(xué)界和人工智能界，甚至有很多教授認(rèn)為哥德爾高于愛因斯坦。但在國內(nèi)，哥德爾遠(yuǎn)不如愛因斯坦名聲響。究其原因，除了哥德爾理論的艱澀外，可能還由于哥德爾本人性格的內(nèi)向。

哥德爾（Godel）一般被認(rèn)為是亞里士多德以來最偉大的邏輯學(xué)家（或許還加上一個(gè)弗雷格，他是現(xiàn)代邏輯的創(chuàng)始人）。他有幾個(gè)主要的貢獻(xiàn)：一階邏輯的完備性定理，哥德爾第一、第二不完全性定理、連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF公理集合論的協(xié)調(diào)、旋轉(zhuǎn)宇宙里時(shí)間旅行的可能、把萊布尼茲的上帝存在論證明轉(zhuǎn)化為邏輯形式。在他的晚年，他對(duì)哲學(xué)產(chǎn)生了深厚的興趣，尤其是康德、萊布尼茲和胡塞爾的哲學(xué)理論。（哥德爾晚年的轉(zhuǎn)向，其背后包含有什么東西呢？）

在第一不完全性定理中，哥德爾證明了，任一包含算術(shù)的形式系統(tǒng)，它的一致性和完全性是不可兼得的?；蛘哌@樣來說，如果一個(gè)包含算術(shù)的形式系統(tǒng)是一致的，那么這個(gè)系統(tǒng)必然是不完全的。所謂不完全，就是指存在一個(gè)公式A，使得A和┐A在這個(gè)系統(tǒng)內(nèi)都不可證。

在哥德爾第一不完全定理中，哥德爾創(chuàng)造性地應(yīng)用了很多理論，如遞歸函數(shù)，哥德爾編碼，對(duì)角化，自引用等。在可計(jì)算的意義下，N上可表達(dá)性、遞歸函數(shù)、圖靈可計(jì)算（也就是目前的計(jì)算機(jī)可計(jì)算）、lambda函數(shù)等計(jì)算模型都是等價(jià)的。正因?yàn)檫@些計(jì)算模型的等價(jià)性，哥德爾的工作經(jīng)常被借鑒到其它計(jì)算模型上去。

4．自引用

哥德爾在第一不完全性定理的證明中，構(gòu)造了一個(gè)公式G，使得這個(gè)G是真的但在這個(gè)系統(tǒng)內(nèi)卻是不可證的。這個(gè)G可以理解為以下的漢語描述：“這個(gè)數(shù)論語句在系統(tǒng)中是不可證的。”這個(gè)G是不可證的，也就是“這個(gè)數(shù)論語句在系統(tǒng)中是不可證的”在系統(tǒng)中是不可證的。在這里，我們看到了“自引用”（或稱“自指”，“怪圈”）。

這種怪圈并不是在數(shù)學(xué)上獨(dú)有的。侯世達(dá)先生（DouglasR.Hofstadter）的《哥德爾、艾舍爾、巴赫――集異壁之大成》［2］是人工智能界的一本奇書。在這本書里，作者考察了各種形式的“自引用”。為了對(duì)這種“自引用”有個(gè)直觀的了解，大家不妨看一下艾舍爾的木雕畫，看看那些“瀑布”、“拿著反光球的手”、“變形”、“左手畫右手，右手畫左手”等怪畫。同樣，在巴赫的卡農(nóng)與賦格里，也存在類似的怪圈。數(shù)理邏輯學(xué)家哥德爾更是神奇般地把這種怪圈引進(jìn)了以精確著稱的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。令人叫絕的是，侯世達(dá)先生甚至在本書的創(chuàng)作中也使用了很多怪圈。

另外，在博爾赫斯和卡爾維諾的文學(xué)作品里，我們也可以看到類似的怪圈。我在《玄奘東歸記》的創(chuàng)作中，也嘗試使用了這種怪圈。

再者，這種怪圈在道德界也經(jīng)常可以發(fā)現(xiàn)，但它往往是以反面的形式出現(xiàn)，也就是“不自指”的。我們習(xí)慣于指責(zé)他人，我們很難做到“責(zé)人先責(zé)己”。我們嚴(yán)于律人，寬以待己。我們習(xí)慣于指責(zé)其它民族，我們卻很難反省一下我們歷史上的“帝王將相”動(dòng)則活埋數(shù)十萬人，我們卻很難反省一下狂亂的“”。（目前，市面上總算看到了關(guān)于反省的《一百個(gè)人的十年》（馮驥才著））我們習(xí)慣于指責(zé)社會(huì)的物質(zhì)化，我們卻很難控制自己對(duì)物質(zhì)的欲望。我們習(xí)慣于指責(zé)社會(huì)在墮落，我們卻很難反省我們參與了整個(gè)社會(huì)的墮落。我們習(xí)慣于指責(zé)其他人貪污腐敗，我們卻很難反省一下我們對(duì)權(quán)力財(cái)富的不當(dāng)追逐。我們習(xí)慣于說別人都是壞的，我們卻很難反省我們自己也是壞的。其實(shí)，一切道德命題都應(yīng)該是“自指的”?？档碌摹捌毡榛瓌t”說道：“要只按照你同時(shí)認(rèn)為也能成為普遍規(guī)律的準(zhǔn)則去行動(dòng)?！?/p>

再來看自然語言方面，每個(gè)詞語都要由其它詞語定義，那么在語詞深處，不可避免地是循環(huán)定義的，是自引用的。

不要再講這么多太玄的東西，我們只要簡(jiǎn)單地對(duì)看一眼，這時(shí)就是一個(gè)“自引用”的悖論。假設(shè)甲與乙對(duì)看了一眼，那么請(qǐng)問甲看得多，還是乙看得多？如果說甲看得多，那么甲看到的所有東西（通過甲的眼睛在乙的眼睛里的成像）都會(huì)被乙看到，這樣來說乙看得更多；如果說乙看得多，同理可得甲看得更多。這不是悖論是什么？

這種怪圈在音樂界，在美術(shù)界，在文學(xué)界，在數(shù)學(xué)界，道德界、語言界乃至日常生活中都有其客觀的存在，那能否說怪圈是人類的一種普遍現(xiàn)象呢？是不是因?yàn)槟撤N更本質(zhì)的怪圈（比如意識(shí)里的怪圈），才導(dǎo)致了這種怪圈現(xiàn)象在音樂、在美術(shù)、在文學(xué)、在數(shù)學(xué)上的投影呢？現(xiàn)象學(xué)、存在主義、心理學(xué)、唯識(shí)學(xué)能對(duì)這種怪圈現(xiàn)象有什么貢獻(xiàn)嗎？

5．不一致

根據(jù)第一不完全性定理可以推導(dǎo)出，一個(gè)包含算術(shù)形式系統(tǒng)的一致性在這個(gè)系統(tǒng)內(nèi)是不可證的。這就是哥德爾第二不完全性定理。根據(jù)這個(gè)定理，一致性的證明超出了形式系統(tǒng)的能力。也就是說，形式系統(tǒng)可能是一致的，形式系統(tǒng)也可能是不一致的。在沒有發(fā)現(xiàn)形式系統(tǒng)的矛盾性之前，我們只有學(xué)習(xí)維特根斯坦，對(duì)系統(tǒng)的“一致性”保持沉默。

前期的維特根斯坦認(rèn)為語言與世界共有一種邏輯本質(zhì)并追求一種精確的語言，而后期的維特根斯坦則承認(rèn)日常語言，接受日常語言的模糊性，訴諸常識(shí)――世界圖示。這又能給我們什么啟示？

我們左繞右繞，繞了這么久，還是繞不開“不一致”？那么我們不妨換一種思維：“既然甩不掉你，那你要跟著，你就跟著吧”?；蛟S“不一致”正如同人的影子，它是人類遠(yuǎn)不脫的宿命？

在這樣的思路下，非單調(diào)邏輯和弗協(xié)調(diào)邏輯誕生了。

非單調(diào)邏輯承認(rèn)人在不同時(shí)間里理論不協(xié)調(diào)性的可能。比如當(dāng)人類看到大雁會(huì)飛、鴿子會(huì)飛……于是總結(jié)出“所有的鳥都是能飛的”。但后來人類又發(fā)現(xiàn)駝鳥是不能飛的，于是原來的命題就應(yīng)該改為“所有的鳥都是能飛的，除了駝鳥”。而且，如果以后發(fā)現(xiàn)還有其它鳥不能飛，這個(gè)命題就還要再改。這樣來看，系統(tǒng)的定理集并不是單調(diào)遞增的。

非單調(diào)邏輯在“允許不一致”方面進(jìn)行了探索，但非單調(diào)邏輯還不是嚴(yán)格的“不協(xié)調(diào)的邏輯”。非單調(diào)邏輯允許在不同的時(shí)間里可以有A和┐A同時(shí)成立，但是在同一時(shí)間里，非單調(diào)邏輯也不允許A和┐A同時(shí)成立。

那么，是否有一種邏輯允許A和┐A同時(shí)成立呢？

我們來分析一下，如果有一種邏輯系統(tǒng)允許A和┐A同時(shí)成立，那么這個(gè)系統(tǒng)稱為不一致的。由反證法規(guī)則可以推導(dǎo)出，在不一致的系統(tǒng)里，所有的公式都是真的。這種公式全真的系統(tǒng)，我們稱之為“不足道的系統(tǒng)”，也就是沒有研究價(jià)值的系統(tǒng)。如此可以看出，“不一致的系統(tǒng)”（通過反證法規(guī)則）一定是“不足道的系統(tǒng)”。那么，我們能不能構(gòu)造一個(gè)“不一致但又足道的系統(tǒng)”呢？答案是可以的，前提是該系統(tǒng)里不能承認(rèn)反證法規(guī)則。

弗協(xié)調(diào)邏輯（ParaconsistentLogic）［3］，就是這樣一個(gè)邏輯系統(tǒng)。在這個(gè)邏輯系統(tǒng)里，矛盾律和反證法不普遍有效。如此，就引入了一個(gè)不一致但卻足道的邏輯系統(tǒng)。弗協(xié)調(diào)邏輯是人類思維的一個(gè)大膽飛躍，它大膽地否定了“矛盾律”的普遍有效性，在系統(tǒng)里面引入了“不一致”。在這個(gè)邏輯系統(tǒng)里，A和┐A可以同時(shí)成立。

科斯塔（N.C.A.daCosta，1929－），弗協(xié)調(diào)邏輯的開創(chuàng)者，定義了一系列邏輯系統(tǒng)Cn(1<=n<=ω)。在C1系統(tǒng)中，┐（A∧┐A）成立時(shí)，歸謬律才成立。在C2系統(tǒng)中，（┐（A∧┐A））∧┐（（┐（A∧┐A））∧（┐┐（A∧┐A）））成立時(shí)，歸謬律才成立。如此類推，可以定義到Cω。

6．無

科斯塔的這些邏輯系統(tǒng)層次與佛教中的“四重二諦”是有類似之處的。我曾在《以數(shù)理邏輯試解四重二諦》［4］中試圖用邏輯語言來表達(dá)“四重二諦”，并提出了真理的層次論。在“四重二諦”中，有以下的性質(zhì)：a.每一重里，真諦來自于對(duì)俗諦的否定。b.第(n+1)重的俗諦是第n重俗諦與真諦之分的前提。這種層次之分，與弗協(xié)調(diào)邏輯里的層次很有相似之處。

不同之處在于，科斯塔的弗協(xié)調(diào)邏輯側(cè)重“立”的方面，“四重二諦”則側(cè)重“破”的方面?！八闹囟B”的前三重可以對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)學(xué)歸納法。到了第四重，則對(duì)于前三重建立的所有系統(tǒng)來了一個(gè)更徹底的否定，直至“言亡慮絕”。

另外，在侯世達(dá)先生的《哥德爾、艾舍爾、巴赫――集異壁之大成》里，我們也能看到很多禪宗的故事。一個(gè)外國人，通過一學(xué)期的漢語課，就能對(duì)禪宗有如此深的悟解，這是不能不讓我們驚嘆且慚愧的。

本文的最后，我們也來欣賞一個(gè)禪宗故事?！洞蠡燮沼X禪師語錄》卷30里寫道：僧問趙州：“狗子還有佛性也無？”州云：“無。”此一字子，乃是摧許多惡知惡覺底器仗也。如僧問趙州：“狗子還有佛性？”州云：“無?！敝还芴崴号e覺，左來也不是，右來也不是；又不得將心等悟，又不得向舉起處承當(dāng)，又不得作玄妙領(lǐng)略，又不得作有無商量，又不得作真無之無卜度，又不是坐在無事甲里，又不得向擊石火閃電光處會(huì)。直得無所用心，心無所之時(shí)，莫怕落空，這里卻是好處。

我們應(yīng)該注意到，這個(gè)“無”并不是“有”的對(duì)立面“沒有”。這個(gè)“無”踏殺了“有”、“沒有”、“有且沒有”、“有或者沒有”，“非有或者沒有”……直到言亡慮絕，這才罷休！

佛學(xué)中這種“無”的思想，能給今天的我們什么啟迪？

主要參考文獻(xiàn)：

1、S．C．克林著，莫紹揆譯，《元數(shù)學(xué)導(dǎo)論》，科學(xué)出版社，1984

2、侯世達(dá)著，郭維德等譯，《哥德爾、艾舍爾、巴赫――集異壁之大成》，商務(wù)印書館，1996

3、張清宇等著，《哲學(xué)邏輯研究》，社會(huì)科學(xué)文獻(xiàn)出版社，1997

4、莊朝暉著，《思拷者手記》，中國文聯(lián)出版社，2003