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【論文關鍵詞】定積分微元法

【論文摘要】微積分是與應用聯(lián)系發(fā)展起來的，它是數(shù)學的一個重要的分支，其應用與發(fā)展已廣泛的滲透到了物理學，化學，經(jīng)濟學等各個自然科學之中，是我們學習各門學科的重要工具。

微積分學是微分學和積分學的統(tǒng)稱，它的創(chuàng)立，被譽為“人類精神的最高勝利”。在數(shù)學史上，它的發(fā)展為現(xiàn)代數(shù)學做出了不朽的功績。恩格斯曾經(jīng)指出：微積分是變量數(shù)學最重要的部分，是數(shù)學的一個重要的分支，它實現(xiàn)帶科學技術以及自然科學的各個分支中被廣泛應用的最重要的數(shù)學工具。凡是復雜圖形的研究，化學反映過程的分析，物理方面的應用，以及彈道﹑氣象的計算，人造衛(wèi)星軌跡的計算，運動狀態(tài)的分析等等，都要用得到微積分。正是由于微積分的廣泛的應用，才使得我們人類在數(shù)學﹑科學技術﹑經(jīng)濟等方面得到了長足的發(fā)展，解決了許多的困難。以下將講述一下定積分在計算圖行面積和體積，初等數(shù)學中的一些應用。

一、在計算圖形面積和立體圖形體積上的應用

在學習和生活中，我們常常會遇到一些計算圖形面積和體積的問題，而且這些圖形大多是無規(guī)則的，對這些圖形的計算，如果用我們中學的計算面積和體積的數(shù)學公式是無法解決，因為中學所學的這些公式都是對比較規(guī)則圖形實用。但是我們應用了定積分，這樣的問題就可迎韌而解。

1.計算平面圖形的面積

例1.求拋物線y=x2與直線x+y=2所圍的平面圖形的面積。

分析：根據(jù)題目，我以在坐標系們可中畫出y=x2和x+y=2所圍的圖形，即（圖一）其中陰影部分就是所要求的平面圖形的面積。

解：由于拋物線y=x2與直線x+y=2在A（-2，4）及B（1，1）相交，

所以S=f（x）dx，其中f（x）=（2﹣x）﹣x2（-2≤x≤1），于是有

S=[（2-x）-x2]dx=（2x--）]1-2=9/2

2.求立體圖形的體積

用類似求圖形面積的思想，我們也可以求一個立體圖形的體積，例如求一個木塊的體積，我們可以利用微元法，把木塊劃分成n份小塊，其每一小塊的體積厚度為△xi，假設每一小塊的橫截面積為A（x）i則此小塊的體積大約為A（xi）△xi，從而將其所有的小塊相加，我們可以得到其體積為V≈A（xi）△xi，并且當其厚度△xi趨于零時，由定積分定義有V=A（x）dx（其中a與b分別為計算體積時的起始值和終了值）。對于旋轉體的體積，由于其平面截得旋轉體的截面是一個圓，則設曲線y=f（x），其截面面積為A（x）=?仔[f（x）]2。于是，所求體積為V=A（x）dx=?仔[f（x）]2dx。

例2.一塊由直線y=a和直線x=3a及弧y2=ax，（a>0a≤x≤3a）所共圍成的區(qū)域，以x軸為軸旋轉一周所形成的體積是多少？

分析：（圖二）斜線區(qū)域即為題意所指的區(qū)域，其旋轉積求法，可將區(qū)域ABQD的旋轉體積減去區(qū)域ABCD的旋轉體積，即為所求。

解：首先來求區(qū)域ABQD的旋轉體積：

V1=?仔?琢xdx=?仔?琢|=4?仔?琢3

而區(qū)域ABCD的旋轉體積為一個其半徑為a，高為2a的圓柱體，則V2=?仔?琢2•；2?琢=2?仔?琢3

∴區(qū)域CDQ的旋轉體積為：V=V1-V2=4?仔?琢3-2?仔?琢3=2?仔?琢3

二、在初等數(shù)學中的應用

近些年來，定積分還越來越多的被應用到初等數(shù)學中的一些問題上面來，下面就來討論一下定積分在證明不等式，等式和一些數(shù)列的極限方面的應用。

1.證明不等式和等式

在運用積分來證明不等式時，一般要利用到積分的如下性質：設f（x）與g（x）為定義在[a，b]上的兩個可積函數(shù)，若f（x）≤g（x），x∈[a，b]，則有：f（x）dx≤g（x）dx.

例3.設n∈N，求證：1n（n+1）<1++……+<1+1nn

證明：設是i任意一自然數(shù)，則有：

dx=1n|=1n-1n=1n-1n

在區(qū)間（，）上顯然有i<=idx從而得：1n-1n<………（1）

<1n-1n…………（2）

由（1）式得：[1n-1n]<，所以有1n<

由（2）式得：=1+<1+[1n-1n]=1+1n

于是，綜上所述：1n<1++……+<1+1n

以上是應用定積分的性質證明不等式，下面再看關于等式的證明。（注意：在運用定積分證明等式時，要根據(jù)等式的特點，作輔助函數(shù)，然后再直接積分從而證明等式。）

例4.證明：c+++……+=

證明：設f（x）=c+cx+……+cx=（1+x）n

∵f（x）dx=cx+x2+……+x

同時又有：（1+x）ndx=

∴cx+x2+……+x=

∴當x=1時，可得：c+++……+=

此外，定積分還可用來求和式，根據(jù)微分與積分互為逆運算的關系，先對和式積分，利用已知數(shù)列的和式得到積分和，再求導數(shù)即可，這里就不在介紹了。

2.求數(shù)列和的極限

在實際的學習中，我們會發(fā)現(xiàn)在計算一些數(shù)列和的極限時，可以利用定積分的計算法來求某些可以看成是積分和式的數(shù)列極限，這樣，我們可得出一種求極限的新方法：若f（x）在[a，b]上連續(xù)，將[a，b]等分為幾個小區(qū)間，△x=記分點為：?琢=x0于是：f（x0+i△x）△x=f（x）dx，并且有些數(shù)列的一般項?琢n總可以設法寫成?琢n=f（x0+i△x）△x，因此，有些數(shù)列的極限問題，則可以轉化為定積分的計算問題。

例5.求：（++……+）

解：原式=（++……+）•；＝•；

取f（x）=且在[0，1]上連續(xù)，將[0，1]分成n個小區(qū)間，則有△x=，分點為：0<<<……<<=1，于是有：f（x0+i△x）△x=•；，由定積分的存在定理有：原式=•；=dx=1n（1+x）|=1n2。

總而言之，微積分是與應用聯(lián)系發(fā)展起來的。微積分的應用推動了數(shù)學的發(fā)展，同時也極大的推動了天

文學，物理學，化學，工程學，經(jīng)濟學等自然科學，社會科學及應用科學各個分支中的發(fā)展，而且隨著人類認識的不斷發(fā)展，微積分正指引著人類走向認知的殿堂。

參考文獻：

[1].華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京：高等出版社，1987.

[2].劉書田，馮翠蓮.微積分[M].北京：高等教育出版社，2003.