導(dǎo)語：如何才能寫好一篇數(shù)值分析，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

關(guān)鍵詞：地下水，滲流場，穩(wěn)定性

1 引言

擬建基坑工程坑深19.5m，場地范圍內(nèi)地基土為軟弱土，地下水豐富，水位埋深約為3m。本文基于對該基坑工程的初步設(shè)計(jì)，應(yīng)用浸潤線理論采用數(shù)值模擬分析的方法對基坑進(jìn)行分部施工模擬，在開挖及降水的綜合影響作用下計(jì)算分析基坑的應(yīng)力、位移狀態(tài)。

2 工程概況

基坑工程建設(shè)規(guī)模158127，擬建工程地下5層，地上42層。基坑周長315m，坑深19.5m。

3 工程地質(zhì)、水文地質(zhì)條件

3.1 地形地貌

擬建工程，建設(shè)場地地形平坦，相對高差不超過0.5m。歸屬于山前沖積平原地貌單元。

3.2 地層巖性

根據(jù)勘察鉆探資料，建設(shè)場地表部為較厚的第四系覆蓋層，詳述如下：

3.3 水文地質(zhì)條件

根據(jù)勘察資料，建設(shè)場地內(nèi)地下水水位埋深2.5m～3.0m，主要為①雜填土層中的上層滯水與2、3粉質(zhì)粘土層中的孔隙潛水。1雜填土層中的上層滯水水量較少，地層透水性較強(qiáng)，滲透性系數(shù)K=1m/d，2、3粉質(zhì)粘土層中的孔隙潛水水量豐富，滲透性相對較弱，滲透性系數(shù)K=0.1m/d。

4 基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

4.1 支護(hù)方案

根據(jù)建設(shè)基坑工程特征，工程場地地質(zhì)條件。支護(hù)方案采用排樁+錨索，降水方案選用坑內(nèi)積水明排。

4.2 計(jì)算參數(shù)的選取及設(shè)計(jì)結(jié)果

5 數(shù)值分析

數(shù)值分析中通過模型的建立及分步施工過程（開挖、降水）的模擬充分考慮基坑工程在開挖、降水綜合作用下的應(yīng)力與位移特征。

5.1 分步施工

將該基坑工程分解為12個(gè)分步工程：

1支護(hù)樁施工2基坑開挖至第1道錨索下0.5m，水位降至坑下0.5m3第1道錨索施工4基坑開挖至第2道錨索下0.5m，水位降至坑下0.5m5第2道錨索施工6基坑開挖至第3道錨索下0.5m，水位降至坑下0.5m7第3道錨索施工8基坑開挖至第4道錨索下0.5m，水位降至坑下0.5m9第4道錨索施工10基坑開挖至第5道錨索下0.5m，水位降至坑下0.5m11第5道錨索施工12基坑開挖至預(yù)定深度（19.5m），水位降至坑下0.5m。幾何模型建立如圖2。

5.2 地下水滲流分析

基坑場地范圍內(nèi)地層主要為粉質(zhì)粘土，透水性相對較弱，基坑開挖過程中擬采用積水明排的降水方法，分步施工階段基坑外側(cè)的地下水不能完全的從坑壁排出，勢必形成一定的水頭差，在基坑及基坑外一定范圍形成地下水滲流場。本文采用水位變化岸坡地下水位浸潤的計(jì)算方法確定分步工程中降水后的地下水位線。然后將其賦入數(shù)值分析模型中，進(jìn)行地下水滲流計(jì)算。

地下水位浸潤線計(jì)算： ， 施工中降水后的坑內(nèi)水位， 施工中降水前的坑內(nèi)水位， 、 降水前后計(jì)算點(diǎn)至坑壁的距離， 降水后計(jì)算點(diǎn)的地下水位， 降水前計(jì)算點(diǎn)的地下水位。

采用浸潤線理論模擬基坑開挖降水過程計(jì)算孔隙水壓力。降水后的水位線改變了基坑一定范圍內(nèi)原有的滲流場，孔隙水壓力環(huán)境也隨之改變（圖3―5），樁后形成三角形的孔隙水壓力（圖6），最大孔隙水壓力約為178kN/。

5.3 基坑應(yīng)力位移分析

用數(shù)值分析基坑開挖降水后，在主被動(dòng)土壓力及孔隙水壓力的綜合作用下，計(jì)算坑壁的應(yīng)力及變形狀態(tài)（圖7―10），坑壁應(yīng)力呈三角形，最大應(yīng)力約為417kN/，基坑外側(cè)2倍的基坑深度范圍內(nèi)土體皆有不同程度的塑性變形，最大位移量約為130mm。

6 結(jié)論與建議

（1）基坑開挖降水作用改變了初始地下水環(huán)境，形成新的滲流場，最大孔壓可達(dá)178kN/；

（2）開挖完成后，基坑坑壁應(yīng)力呈三角形，最大應(yīng)力約為417kN/，基坑外側(cè)2倍的基坑深度范圍內(nèi)土體皆有不同程度的塑性變形，最大位移量約為130mm；

（3）建議對基坑外3倍深度范圍的建構(gòu)筑物進(jìn)行位移監(jiān)測。

參考文獻(xiàn)

（1）張力霆，土力學(xué)與地基基礎(chǔ)，高等教育出版社，2007年7月；

篇2

【關(guān)鍵詞】數(shù)值分析 科學(xué)計(jì)算 信息與計(jì)算科學(xué) 教學(xué)改革

【中圖分類號】G642.0 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1009-9646(2008)09(a)-0044-02

科學(xué)計(jì)算是伴隨計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)而迅速發(fā)展并獲得廣泛應(yīng)用的一門新興交叉學(xué)科,是數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)其在高科技領(lǐng)域應(yīng)用的必不可少的紐帶和工具?？茖W(xué)計(jì)算的方法和理論為科學(xué)研究與技術(shù)創(chuàng)新提供了新的重要手段和理論基礎(chǔ),科學(xué)計(jì)算現(xiàn)已成為與實(shí)驗(yàn)和理論并重的第三種科學(xué)研究方法。數(shù)值分析又稱數(shù)值計(jì)算方法,它作為介紹科學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)理論和數(shù)值方法的課程,對培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力,解決實(shí)際問題的能力以及創(chuàng)新能力起著非常重要的作用。數(shù)值分析現(xiàn)不僅是綜合性大學(xué)信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)、應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課程,也是信息類專業(yè)、工科類專業(yè)(如土木工程,航天航空,機(jī)械工程等)的必修課程,因此在進(jìn)入21世紀(jì)后,隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展,社會對科學(xué)計(jì)算人才需求的變化,對數(shù)值分析課程進(jìn)行教學(xué)改革,進(jìn)一步提高數(shù)值分析的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果,以適應(yīng)新形勢下社會對人才的需求,變得尤為迫切。

1 課程的內(nèi)容和特點(diǎn)

1.1 課程的內(nèi)容

數(shù)值分析課程是以微積分、線性代數(shù)、常微分方程等課程的基本內(nèi)容為基礎(chǔ),以算法設(shè)計(jì)為手段,以計(jì)算機(jī)為工具實(shí)現(xiàn)算法,全面地介紹了科學(xué)研究及生產(chǎn)實(shí)踐中各領(lǐng)域所遇到的普遍的數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法和理論,因此它是所有與科學(xué)計(jì)算密切相關(guān)的專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課程。

數(shù)值分析課程的基本概念有:誤差、收斂性、穩(wěn)定性、插值、計(jì)算量、存儲量等,這些概念是用來刻畫數(shù)值方法的準(zhǔn)確性、可靠性、效率以及計(jì)算復(fù)雜度;核心內(nèi)容包括:代數(shù)問題數(shù)值計(jì)算、函數(shù)的數(shù)值逼近論、計(jì)算幾何、微分方程數(shù)值解、最優(yōu)化方法、統(tǒng)計(jì)計(jì)算等方面[1]。

1.2 課程的特點(diǎn)

數(shù)值分析作為大學(xué)本科階段的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程,它具有下面的一些主要特點(diǎn):

1.2.1 實(shí)踐性強(qiáng)

上文已提到數(shù)值分析的核心內(nèi)容是研究應(yīng)用計(jì)算機(jī)對科學(xué)研究和實(shí)際應(yīng)用中常見的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行數(shù)值求解的各種方法。這些方法除了理論上要正確可行外,還要求通過數(shù)值試驗(yàn)證明是有效的、實(shí)用的。因此,與其它數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課程有所不同,數(shù)值分析課程很強(qiáng)調(diào)實(shí)踐,要求學(xué)生在學(xué)習(xí)了每個(gè)算法后用學(xué)過的計(jì)算機(jī)語言編程或借助于一些數(shù)學(xué)軟件,如Mathematica、Matlab,完成算法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn),這樣學(xué)生不僅知道理論上是如何計(jì)算,而且還能把結(jié)果真正地計(jì)算出來。有些算法盡管在理論上不夠嚴(yán)謹(jǐn),但通過實(shí)際計(jì)算、對比分析等手段證明是行之有效的,在實(shí)際應(yīng)用中也是可以采用的。

1.2.2 應(yīng)用性強(qiáng)

數(shù)值分析中的理論與算法并不是都來源于純粹的微積分、線性代數(shù)、常微分方程等課程,很大程度也是由于科學(xué)研究和實(shí)際工程計(jì)算的需要,可以說它來源于實(shí)際又應(yīng)用于實(shí)際。一方面,目前很多算法已經(jīng)在物理力學(xué)、生物信息、計(jì)算機(jī)應(yīng)用、土木工程、航天航空、石油勘探、環(huán)境工程、材料等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用;另一方面,數(shù)值方法在這些領(lǐng)域的應(yīng)用過程中會產(chǎn)生一些新問題,為解決這些新問題,研究人員和技術(shù)人員深入研究、不斷攻關(guān),從而又會促進(jìn)數(shù)值分析理論和算法的發(fā)展。

1.2.3 計(jì)算公式多且復(fù)雜,不好記憶

數(shù)值分析課程的許多算法或是采用“構(gòu)造性”的方法,把計(jì)算公式具體構(gòu)造出來,如Lagrange插值,Hermite插值等;或是采用“遞推”方法,將復(fù)雜的計(jì)算過程化簡為簡單計(jì)算過程的多次重復(fù),例如:求解線性方程組的Jacobi迭代法,Gauss-Seidel迭代法等,從而使得算法里出現(xiàn)的計(jì)算公式多且復(fù)雜,學(xué)生不好記憶。

2 數(shù)值分析課程教學(xué)中存在的問題

目前,在數(shù)值分析課程教學(xué)中普遍存在下面幾個(gè)問題:

2.1 內(nèi)容多,學(xué)時(shí)少

數(shù)值分析的內(nèi)容非常豐富,包含代數(shù)問題數(shù)值計(jì)算、函數(shù)的數(shù)值逼近論、計(jì)算幾何、微分方程數(shù)值解等,但學(xué)時(shí)數(shù)卻不多,一般只有64/54,教師使用傳統(tǒng)的教學(xué)方法講授這些知識時(shí),由于計(jì)算公式多且復(fù)雜,推導(dǎo)繁瑣,不得不采用填鴨式教學(xué),每節(jié)課都在講新課,拼命趕進(jìn)度,這種做法既忽視了學(xué)生這個(gè)主體的作用,使學(xué)生處于被動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài),時(shí)間久了就會失去學(xué)習(xí)數(shù)值分析的興趣,產(chǎn)生厭學(xué)情緒;同時(shí)也扼殺了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性和創(chuàng)造性。

2.2 重理論,輕實(shí)踐

前面已提到數(shù)值分析是一門與計(jì)算機(jī)關(guān)系密切的實(shí)踐性很強(qiáng)的課程,但在傳統(tǒng)的教學(xué)模式中,教師通常只注重講授算法原理、誤差分析和收斂性證明等理論內(nèi)容,忽略了上機(jī)實(shí)踐環(huán)節(jié)。學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐機(jī)會少,就會使學(xué)生不能徹底理解算法的原理與運(yùn)用,只知道大概是“怎么算”,但不會真正把結(jié)果算出來,造成理論與實(shí)踐的脫節(jié);同時(shí)也會使學(xué)生感到數(shù)值分析的學(xué)習(xí)很抽象、枯燥、難學(xué),以致學(xué)習(xí)興趣不高。

2.3 缺乏帶有上機(jī)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的教材

數(shù)值分析課程是20世紀(jì)50年代末在我國一些綜合性大學(xué)開始開設(shè)的,由于當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)的應(yīng)用在我國剛開始起步,所以當(dāng)時(shí)使用的數(shù)值分析教材基本上都沒有上機(jī)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的。人類社會進(jìn)入21世紀(jì)后,計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展迅猛,許多復(fù)雜的計(jì)算能以驚人的速度在計(jì)算機(jī)上得到滿意的計(jì)算結(jié)果,但作為介紹科學(xué)計(jì)算理論和數(shù)值方法的數(shù)值分析課程,其大部分教材沒能適應(yīng)時(shí)代的變化,還是沿用舊教材的內(nèi)容結(jié)構(gòu),沒有增加上機(jī)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,這給教學(xué)帶來很大的困難,直接影響了人才的培養(yǎng)。

3 課程教學(xué)改革

為全面貫徹落實(shí)科學(xué)發(fā)展觀,切實(shí)把高等教育重點(diǎn)放在提高質(zhì)量上,教育部和財(cái)政部于2007年先后頒布了《教育部財(cái)政部關(guān)于實(shí)施高等學(xué)校本科教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革工程的意見》和《教育部關(guān)于進(jìn)一步深化本科教學(xué)改革全面提高教學(xué)質(zhì)量的若干意見》。在這些綱領(lǐng)性文件指導(dǎo)下,全國高校掀起了一輪新的教學(xué)改革活動(dòng),數(shù)值分析課程的教學(xué)改革也開展得如火如荼并已取得一定成效(見文[2,3])。很多專業(yè)開設(shè)了數(shù)值分析課程,不同專業(yè)有不同的要求,有些要求相差很大,下面談?wù)勎倚Ｐ畔⑴c計(jì)算科學(xué)專業(yè)的數(shù)值分析課程教學(xué)改革的一些措施和想法。

我校信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)是2006年開始招生。2006級學(xué)生的數(shù)值分析課程安排在第四學(xué)期。為了做好數(shù)值分析課程的建設(shè)工作,我們專門成立了數(shù)值分析課程建設(shè)小組。以下就是我們在數(shù)值分析課程教學(xué)改革的一些措施和想法:

3.1 選擇合適的教材

對于信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說數(shù)值分析是一門專業(yè)基礎(chǔ)課,要求比其它專業(yè)高,既要掌握算法的應(yīng)用,也要掌握算法的原理、誤差分析、收斂性分析等理論知識,因此選取的教材應(yīng)兼顧這兩方面。我們采用了林成森新編的《數(shù)值分析》4. 該教材內(nèi)容全面,闡述嚴(yán)謹(jǐn)、詳細(xì)、深入淺出,且每個(gè)常用的算法都給出了偽程序。我們知道很多學(xué)生都怕編程,選擇了該教材將有助于學(xué)生動(dòng)手編程上機(jī)實(shí)現(xiàn)算法。

3.2 內(nèi)容選取合理,突出重點(diǎn)

信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的數(shù)值分析課程的課時(shí)是64學(xué)時(shí),在這有限的學(xué)時(shí)內(nèi)要詳細(xì)地講授所有的內(nèi)容是不現(xiàn)實(shí)的,也是不可能的。我們必須對教學(xué)內(nèi)容重新優(yōu)化設(shè)計(jì),要有側(cè)重,以主帶次。在課堂上有限的時(shí)間里力求講明白一個(gè)主題,重點(diǎn)講授典型的、具有代表性的并能體現(xiàn)其思想方法的常用算法和理論,而對那些原理相近的內(nèi)容則可留給學(xué)生課后自學(xué),使課堂講授的內(nèi)容真正做到“少而精”。例如:在講授解線性方程組的Gauss消去法時(shí),我們在課堂上重點(diǎn)詳細(xì)地介紹了Gauss消去法和Gauss列主元消去法,學(xué)生在理解了這些方法的原理之后,再結(jié)合高等代數(shù)知識就很容易自學(xué)Gauss按比例列主元消去法和Gauss-Jordan消去法。

3.3 加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié),提高科學(xué)計(jì)算能力

數(shù)值分析有別于其它數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課程,它是一門與計(jì)算機(jī)結(jié)合密切的實(shí)踐性很強(qiáng)的課程。由于課時(shí)緊張,在2006級的培養(yǎng)計(jì)劃里數(shù)值分析課程沒有安排上機(jī)實(shí)驗(yàn)課,但我們?nèi)握n老師在講授完每一章后都會布置一些上機(jī)實(shí)驗(yàn)題讓學(xué)生自己編程上機(jī)運(yùn)算(注:學(xué)生在第二學(xué)期已經(jīng)學(xué)了C語言),并且要求把程序和實(shí)驗(yàn)結(jié)果交給老師批改。通過上機(jī)實(shí)驗(yàn),使學(xué)生加強(qiáng)了對課堂內(nèi)容的理解,同時(shí)又和計(jì)算機(jī)語言結(jié)合起來,自己編程,動(dòng)手計(jì)算,使學(xué)生較好地掌握常用的科學(xué)計(jì)算方法和技巧,積累了解決實(shí)際問題的能力,而且也培養(yǎng)了學(xué)生質(zhì)疑問題的能力和實(shí)踐創(chuàng)新能力。這種做法很受學(xué)生歡迎。為了進(jìn)一步提高上機(jī)實(shí)驗(yàn)的質(zhì)量,我們打算在新的培養(yǎng)計(jì)劃中增加9～12課時(shí)的上機(jī)實(shí)驗(yàn)課。

3.4 采用現(xiàn)代化教學(xué)手段

由于數(shù)值分析內(nèi)容豐富,計(jì)算公式多且復(fù)雜,推導(dǎo)過程繁瑣,所以我們采用了多媒體教學(xué)。這樣可節(jié)省板書、畫圖的大量時(shí)間,教師有充足的時(shí)間把基本概念,算法構(gòu)造的原理等重點(diǎn)內(nèi)容講透徹,而且在多媒體教學(xué)過程中還可以結(jié)合運(yùn)用Mathematics,Matlab等數(shù)學(xué)軟件演示算法的計(jì)算過程和結(jié)果,使學(xué)生加深對抽象知識的直觀理解,從而提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性。

3.5 積極編寫新教材

由于在新的形勢下數(shù)值分析課程的教育觀念、教學(xué)要求以及教學(xué)內(nèi)容已經(jīng)發(fā)生了變化,所以教材的編寫也應(yīng)跟上時(shí)展的步伐?，F(xiàn)雖然已有一些數(shù)值分析的新教材嘗試了與計(jì)算機(jī)應(yīng)用相結(jié)合,融進(jìn)了Basic語言、C語言或Matlab數(shù)學(xué)軟件編程實(shí)現(xiàn)算法的新內(nèi)容,但大家認(rèn)同的精品教材不多,因此仍需從事數(shù)值分析教學(xué)的同行們繼續(xù)努力、不斷改革、勇于創(chuàng)新,編寫適合不同專業(yè)需求的新教材。由于合適的上機(jī)實(shí)驗(yàn)輔導(dǎo)教材奇缺,所以我們的課程建設(shè)小組已開始編寫上機(jī)實(shí)驗(yàn)輔導(dǎo)教材,以解燃眉之急。

3.6 改革考核方法

考核是評估教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效果的重要手段。數(shù)值分析傳統(tǒng)的考試方法為筆試閉卷考試,主要是考察學(xué)生的識記能力,忽略了對學(xué)生編程上機(jī)實(shí)踐的要求。在新的形式下,為提高大學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力,我們對數(shù)值分析的考核方法進(jìn)行了改革,把上機(jī)實(shí)驗(yàn)列入考核內(nèi)容,即學(xué)生的期評成績由筆試成績、上機(jī)實(shí)驗(yàn)和平時(shí)成績按比例確定。

4結(jié)語

我校信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的數(shù)值分析課程建設(shè)起步晚,課程的教學(xué)改革仍需我們不斷的探索與實(shí)踐,我們也將繼續(xù)努力,并借鑒兄弟院校該課程的教學(xué)改革經(jīng)驗(yàn),朝著精品課程目標(biāo)建設(shè)數(shù)值分析課程。

參考文獻(xiàn)

[1] 伍渝江,尤傳華,丁方允.數(shù)值分析課程的繼承與改革 [J].高等理科教育,2000,8(1): 46-49.

[2] 杜廷松.關(guān)于數(shù)值分析課程教學(xué)改革研究的綜述和思考[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2007,23(2):8-15.

篇3

關(guān)鍵詞：MATLAB；數(shù)值分析；教學(xué)改革

中圖分類號：G421 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1007-9599 (2011) 13-0000-01

Attempts to Strengthen the Teaching of Numerical Analysis by Matlab

Huang Cheng

(Foreign College Of Central South University of Forestry and Technology,Changsha410201,China)

Abstract:The combination of Matlab and Numerical Methods is a viable reform of teaching about Numerical Methods.This paper introduces the new teaching’s system and new curriculum.In order to solve the defects of curriculum,provides new ideas and approaches.

Keywords:MATLAB;Numerical Analysis;Teaching Reform

歷年本科學(xué)生對數(shù)值分析的反映可表達(dá)為：抽象、冗繁、枯燥，只是為了考試而學(xué)。這種狀況必須改變。

MATLAB在上世紀(jì)80年代推出后，已發(fā)展為一種功能全面的軟件。它問世后，一個(gè)“用軟件工具增強(qiáng)線性代數(shù)教學(xué)”的項(xiàng)目ATLAST在美國國家科學(xué)基金立項(xiàng)，并在90年代獲得成功。其后歐洲日本等國家快速跟進(jìn)，并在相鄰學(xué)科中進(jìn)一步拓展。

09年中南林業(yè)科技大學(xué)將“數(shù)值分析”改為“數(shù)值分析與MATLAB”，要求在教學(xué)領(lǐng)域有所創(chuàng)造和前進(jìn)。我受教研究室的支持和幫助，在教學(xué)中進(jìn)行了初步嘗試。本文討論該課程教學(xué)體系的改革和教學(xué)內(nèi)容改變兩個(gè)問題。

一、教學(xué)體系的變革

國內(nèi)“數(shù)值分析”的多數(shù)是沿著方法原理、計(jì)算步驟、計(jì)算框圖、計(jì)算速度、誤差、收斂和實(shí)例這樣一個(gè)體系展開A。這套體系成型于手工計(jì)算時(shí)代。在低級語言編程的時(shí)代作了一定改進(jìn)，但仍顯繁瑣。目前在MATLAB下，各種方法已打包為指令，不再需要對各種方法進(jìn)行編程。使用者只需知道方法原理、調(diào)用方法和指令即可。導(dǎo)致教學(xué)的立足點(diǎn)己經(jīng)不同，這是一個(gè)根本性的改變。面對這樣情況的出現(xiàn)，課時(shí)與內(nèi)容矛盾不斷加劇，國內(nèi)計(jì)算器時(shí)代建立起來的教學(xué)體系到了必須改變的時(shí)候，也具備了改變的條件。

現(xiàn)在我們在“數(shù)值分析與MATLAB”課中講授數(shù)值分析是按：問題提法、解題理念與原理、解題指令與多指令的配合、計(jì)算結(jié)果表示、實(shí)例和實(shí)驗(yàn)這樣一套教學(xué)體系進(jìn)行的。

這樣有什么理由和好處呢？一個(gè)課程的教學(xué)體系與該學(xué)科體系、教學(xué)目的、學(xué)習(xí)者層次等因素有關(guān)。從教學(xué)目的、學(xué)習(xí)者層次角度而論，本科生學(xué)習(xí)“數(shù)值分析”課的目的是應(yīng)用它來解工程和科學(xué)問題；從學(xué)科體系看，數(shù)值分析的學(xué)科發(fā)展與計(jì)算工具有著密切的關(guān)系[1]?？上?，目前教學(xué)領(lǐng)域未適應(yīng)這種發(fā)展和變革。所以改革是很有必要的。MATLAB只是軟件發(fā)展的一個(gè)階段，但也引起了很多變化。它的影響表現(xiàn)為兩個(gè)方面：一可以把傳統(tǒng)分析方法、設(shè)計(jì)程式處理得更簡捷；二是推動(dòng)新方法、新程式面世。例如在MATLAB中，用4階Runge-Kutta數(shù)值積分法解常微分方程，核心部份是[2]

〔t，Y〕=ode45（odefun，tspan，y0）

從應(yīng)用角度看，詳細(xì)的講ode45內(nèi)Runge-Kutta算法是不必要的。只需知道輸入量的意義、輸入方法，能看懂輸出量t，Y的意義，就可以了。換句話說，知道解題指令與多指令的配合、計(jì)算結(jié)果表示等就可以用了。但為保證正確使用，就必須了解其適用范圍、優(yōu)缺點(diǎn)等。講授時(shí)就不必追求數(shù)學(xué)上的公式推導(dǎo)，而應(yīng)著力闡述概念。其中包括：問題的數(shù)學(xué)提法，解題方法的實(shí)質(zhì)理念、幾何概念和計(jì)算公式。而有關(guān)計(jì)算速度，因僅用計(jì)算次數(shù)來分析計(jì)算速度，顯得不適用。而在MATLAB中有計(jì)時(shí)器可測出指令計(jì)算問題的時(shí)間，從而得出該方法是否接受；也可對比不同方法的速度，從而給出評價(jià)。所以分三條途徑學(xué)習(xí)：一是在解線性方程組的章節(jié)中重點(diǎn)介紹用計(jì)時(shí)器進(jìn)行實(shí)測和評價(jià)；二是以做習(xí)題的形式，要求用計(jì)時(shí)器對比各種方法的計(jì)算速度；三是在章節(jié)總結(jié)中，從原理和實(shí)算二方面進(jìn)行歸納對比。有關(guān)誤差分為二條線：一是把誤差概念集中一章介紹；二是在講迭代法解微分方程和數(shù)值積分的指令時(shí)，介紹誤差控制和自適應(yīng)性。這樣的好處是：立足應(yīng)用，原理概念清晰，聯(lián)系實(shí)際。一定程度上克服了抽象、枯燥的問題，提高了學(xué)生實(shí)際使用能力。

二、教學(xué)內(nèi)容改變

在新形勢下如何規(guī)范精選教學(xué)內(nèi)容是個(gè)急待解決的問題。我們的原則是：摒棄部分原有的分析方法和設(shè)計(jì)程式，傳授以MATLAB為基礎(chǔ)的分析方法和設(shè)計(jì)程式。將課程內(nèi)容設(shè)定為三部份：一是MATLAB基礎(chǔ)，含MATLAB語言基礎(chǔ)和數(shù)據(jù)可視化基礎(chǔ)；二是多項(xiàng)式運(yùn)算、數(shù)值微積、插值逼近、誤差分析、解微分方程等傳統(tǒng)數(shù)值分析的內(nèi)容；三是符號運(yùn)算、線性系統(tǒng)分析和Simulink建模仿真介紹。較傳統(tǒng)意義上的數(shù)值分析內(nèi)容更為廣泛。

課程中MATLAB語言基礎(chǔ)是最基本的。同時(shí)為加強(qiáng)形象思維和圖示計(jì)算結(jié)果，安排了數(shù)據(jù)可視化基礎(chǔ)。鑒于多項(xiàng)式運(yùn)算在線性系統(tǒng)分析中的作用；插值逼近、解微分方程等為傳統(tǒng)數(shù)值分析中最基本內(nèi)容，于以保留。數(shù)值微積在解微分方程中要用到，也選取了[3]。符號運(yùn)算、線性系統(tǒng)分析和Simulink等應(yīng)用面最廣泛，作為高端應(yīng)用代表入選。

上述教學(xué)內(nèi)容前兩部份數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主要為線性代數(shù)、高等數(shù)學(xué)。線性系統(tǒng)分析和Simulink建模仿真等，則涉及運(yùn)算微積、控制論、仿真等專業(yè)知識。各專業(yè)學(xué)生對于此類基礎(chǔ)概念參差不齊是個(gè)突出難題。此部分課內(nèi)適當(dāng)補(bǔ)充基礎(chǔ)，教師掌握好課程深淺是成敗的關(guān)鍵。因此對數(shù)值分析實(shí)行分類分級教學(xué)，不同專業(yè)和不同層次的學(xué)生采取不同的教學(xué)方式，從總體上提高教學(xué)質(zhì)量是特別必要的。

通過教學(xué)實(shí)踐，我們形成了新教學(xué)體系。雖然這套體系尚不完整，但為解決“數(shù)值分析”課的蔽端，提供了一種新思路。但所選方法是否抓住了最基本、最有用的方法？能否反映學(xué)科前沿？頗值得討論。改革是個(gè)長期的過程，成效多大，更要通過社會與教學(xué)的長期考驗(yàn)才會有結(jié)論。寫了上面的文字，希望能得到大家的指正。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬昌風(fēng),林偉川.現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算方法[M].北京:科學(xué)出版社,2008

[2]張志涌,楊祖櫻.MATLAB教程(R2010a)[M].北京:北京骯空航天大學(xué)出版社,2010

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關(guān)鍵詞:數(shù)值分析;課程改革;開放式教學(xué)

中圖分類號:G64文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A文章編號:1673-291X(2010)31-0293-02

引言

大學(xué)畢業(yè)生是國家寶貴的人才資源,其就業(yè)問題關(guān)系到國家經(jīng)濟(jì)建設(shè)、社會穩(wěn)定和人民群眾的根本利益,關(guān)系到高等教育的持續(xù)健康協(xié)調(diào)發(fā)展。高等學(xué)校作為國家和社會培養(yǎng)高素質(zhì)人力資源的主要陣地,要以市場需求為導(dǎo)向設(shè)置專業(yè),變革教學(xué)方法,提高教育質(zhì)量,培養(yǎng)能夠適應(yīng)社會需要的復(fù)合型人才。

數(shù)值分析是一門理論與實(shí)踐相結(jié)合的課程,它是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)學(xué)生的主干課程,我們在強(qiáng)調(diào)它的理論結(jié)構(gòu)時(shí),更注重它的實(shí)用價(jià)值。同時(shí)它也是各種計(jì)算性科學(xué)的共性基礎(chǔ)與聯(lián)系紐帶,實(shí)踐證明數(shù)值分析作為科學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)與核心,已被廣泛應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)和國民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)領(lǐng)域。如計(jì)算物理學(xué)、計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué)、天氣預(yù)報(bào)、大型水利工程的建設(shè)與設(shè)計(jì)等。如何根據(jù)市場需求改革數(shù)值分析課程的教學(xué)方法?如何提高教育質(zhì)量,培養(yǎng)具有一定層次信息技術(shù)素養(yǎng)的大學(xué)生?如何提高學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力?這些都是我們值得探討的問題。

一、傳統(tǒng)教學(xué)方法的不足

傳統(tǒng)教法是以教師的講授為主,課程記憶性內(nèi)容太多。而課堂例題、課后作業(yè)和實(shí)驗(yàn)題目又都是固定的、單一知識為主的題目,程序式的問題較多,問題的模仿性太大,高層次、開放性和思維性問題較少。傳統(tǒng)教法中主要以教材為主線,授課中多以演示法及互動(dòng)法為主,并配備固定的實(shí)驗(yàn)和作業(yè)。這樣教學(xué)雖然也能達(dá)到一定的效果,但缺點(diǎn)也很顯然。首先,教學(xué)以理論為主線,實(shí)踐性問題過少,學(xué)生只知道理論,不知道如何應(yīng)用。其次,傳統(tǒng)教法不能夠體現(xiàn)出特優(yōu)生、一般生和差生特點(diǎn),更不能滿足到特優(yōu)生想學(xué)多、學(xué)好和學(xué)深的要求。傳統(tǒng)教學(xué)方法忽略了學(xué)生的個(gè)性發(fā)展和對學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng),不利于培養(yǎng)高層次的、可就業(yè)的IT人才。

二、課程改革的具體方案

為了彌補(bǔ)這些不足,在授課中應(yīng)少講理論,多講實(shí)踐應(yīng)用,讓學(xué)生在動(dòng)手編制程序的過程中理會理論知識點(diǎn),通過改正程序中出現(xiàn)的錯(cuò)誤,細(xì)化知識,達(dá)到強(qiáng)化理論知識、精通程序編制的目的。其中有兩個(gè)重要的環(huán)節(jié),一是作業(yè)題目、實(shí)驗(yàn)題目的合理設(shè)計(jì)。讓有能力的學(xué)生做一些有深度、有廣度、有拓展的綜合性題目,讓差生做一些可獨(dú)立完成的單一知識點(diǎn)題目,分層次、分需求教學(xué),分層次、分需求管理,這樣才能充分體現(xiàn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力。二是教師要按學(xué)生的反饋信息、學(xué)生的需求合理修改、設(shè)置教學(xué)實(shí)踐例題,引導(dǎo)學(xué)生解決復(fù)雜問題,讓學(xué)生感受到問題的不同解法、程序編制的不同途徑、算法的優(yōu)劣等方面給編制程序帶來的不同效果,影響學(xué)生形成好的編程習(xí)慣。我們的具體方案如下。

1.開放式作業(yè)

數(shù)值分析是一門集理論、抽象和設(shè)計(jì)于一身的計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程,它主要研究用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其理論。數(shù)值分析既有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn),又有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)際實(shí)驗(yàn)的高度技術(shù)性的特點(diǎn),是一門與計(jì)算機(jī)使用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程。通過本課程的學(xué)習(xí),能使學(xué)生熟練掌握各種常用的數(shù)值算法的構(gòu)造原理和過程分析,提高算法設(shè)計(jì)和理論分析能力,并且能夠根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型,然后提出相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算方法,并能編出程序在計(jì)算機(jī)上算出結(jié)果。因此,在實(shí)際教學(xué)中我們采取開放式作業(yè)。

開放作業(yè)包含兩個(gè)方面的內(nèi)容:一方面是作業(yè)內(nèi)容的開放。教師依據(jù)教學(xué)要求,設(shè)計(jì)10道左右的作業(yè)題目,分為綜合性題目、單一知識點(diǎn)難題和單一知識點(diǎn)基礎(chǔ)題等類型,其中綜合性題目主要以工程上的實(shí)際問題為背景,要求學(xué)生建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并求解。這些題目由學(xué)生自主選擇組合完成其中的2～3道題,每題有相應(yīng)的難度系數(shù),作為衡量作業(yè)質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)。另一方面是作業(yè)提交形式的開放。學(xué)生的作業(yè)可以寫在作業(yè)本上上交,也可以提交電子作業(yè)。電子作業(yè)需要學(xué)生把編制的程序運(yùn)行無錯(cuò)后提交,這種形式鍛煉了學(xué)生的動(dòng)手能力、提高了學(xué)生解決實(shí)際問題的能力和糾錯(cuò)的能力。作業(yè)成績由選題的難度系統(tǒng)和選題的個(gè)數(shù)決定。

2.開放式實(shí)驗(yàn)

數(shù)值分析是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,但它不像純數(shù)學(xué)那樣只研究數(shù)學(xué)本身的理論,而是把理論與計(jì)算緊密結(jié)合,著重研究數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及理論,并將這一理論在實(shí)踐中應(yīng)用,以達(dá)到解決實(shí)際問題的目的。為了讓學(xué)生更好地理解他們所學(xué) 的知識在實(shí)際生活中的應(yīng)用,我們必須重視實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié),在講述基本原理和基本操作方法的同時(shí),應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和工程實(shí)踐能力,提高他們的程序設(shè)計(jì)能力和上機(jī)操作那個(gè)能力。因此在實(shí)際教學(xué)中我們采取開放式實(shí)驗(yàn)。

開放實(shí)驗(yàn)包含兩個(gè)方面的內(nèi)容:一方面是題型的開放。實(shí)驗(yàn)題型分為程序糾錯(cuò)題、程序填空題、程序驗(yàn)證題和程序編制題四類。另一方面是選題的開放。實(shí)驗(yàn)題目有15道左右,難度、深度、廣度各不相同,學(xué)生自主選題組合,題目不固定,個(gè)數(shù)不固定。選什么程度的題目,選幾道題完成由學(xué)生全面決定。老師唯一約束的是學(xué)生要絕對獨(dú)立完成,教師可根據(jù)學(xué)生提交的實(shí)驗(yàn)程序文件驗(yàn)證。學(xué)生的實(shí)驗(yàn)成績由選題的難度系統(tǒng)和選題的個(gè)數(shù)決定。

3.開放式教學(xué)

數(shù)值分析課介紹的數(shù)學(xué)方法大多數(shù)都有工程背景,對離散數(shù)據(jù)插值和對函數(shù)的數(shù)值逼近的方法來源于對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理、產(chǎn)品外形設(shè)計(jì)等工程實(shí)際問題,樣條函數(shù)方法正是圖像處理技術(shù)等方面的關(guān)鍵部分,FFT 技術(shù)能夠快速處理數(shù)據(jù),在機(jī)械、電子、信息、自動(dòng)化工程中的實(shí)時(shí)信號處理中占有重要位置。因此,在實(shí)際教學(xué)過程中我們可以根據(jù)工程背景采取開放式教學(xué)。

開放教學(xué)包含兩個(gè)方面的內(nèi)容:一方面是教學(xué)實(shí)例的設(shè)計(jì)。傳統(tǒng)教學(xué)中都以教課書中實(shí)例為主,教師在上面講,學(xué)生在下面邊聽邊看書上的程序,對照起多媒體投影中的程序和書本的程序一模一樣,學(xué)生對教師的演示也就提不起興趣了,感覺既枯燥又乏味。鑒于此,我們可以開放教學(xué)實(shí)例內(nèi)容,由教師或?qū)W生提供實(shí)例題目,課上教師和同學(xué)共同分析問題、提供實(shí)例的數(shù)值解法,并給出相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)程序。教師可通過這種實(shí)例分析,引導(dǎo)學(xué)生解決多知識點(diǎn)綜合性題目。例如,在介紹三次樣條插值方法時(shí),可以給出工程上飛機(jī)機(jī)翼型值線的實(shí)際問題,通過列舉機(jī)翼上緣輪線的數(shù)據(jù),要求同學(xué)們自己編程用三次樣條函數(shù)畫出機(jī)翼曲線。這樣,不僅鍛煉了學(xué)生的動(dòng)手能力,而且還能進(jìn)一步加深學(xué)生對數(shù)值分析這門課的學(xué)習(xí)興趣。另一方面是基礎(chǔ)知識的實(shí)踐性教學(xué)。授課時(shí)教師精講基本知識點(diǎn),做適當(dāng)?shù)难菔?然后留有一定的時(shí)間給出一些基礎(chǔ)問題,讓學(xué)生扮演教師角色,講解具體的數(shù)值算法、編制程序,其他的學(xué)生可對程序進(jìn)行優(yōu)化、糾錯(cuò)。學(xué)生由被動(dòng)的聽講變成了主動(dòng)的講解,角色的轉(zhuǎn)換激發(fā)了學(xué)生的熱情,吸引了學(xué)生的注意力。學(xué)生在講的過程中,也對所講內(nèi)容有了更深層的認(rèn)識。設(shè)計(jì)開放教學(xué)著重強(qiáng)化學(xué)生自我獲取知識的能力、組織和交流能力。

4.充分利用網(wǎng)絡(luò)資源,開放師生之間的交流

為了減少課程教學(xué)難度,提高教學(xué)質(zhì)量,加強(qiáng)對學(xué)生自主學(xué)習(xí)的輔導(dǎo)力度,擴(kuò)大輔導(dǎo)面,我們充分利用網(wǎng)絡(luò)資源,開展了多種形式的導(dǎo)學(xué)、網(wǎng)上討論咨詢答疑、學(xué)習(xí)輔導(dǎo)活動(dòng),具體方式有以下幾種:(1)網(wǎng)上討論、咨詢答疑。這種類型的咨詢答疑活動(dòng)是利用網(wǎng)絡(luò)環(huán)境,由專業(yè)教師主持,通過BBS展開師生間、同學(xué)間的討論、信息交流,適宜于進(jìn)行學(xué)習(xí)方法討論,教學(xué)信息的交流,簡單課程學(xué)習(xí)問題的咨詢答疑。(2)電話咨詢答疑。電話咨詢答疑,一般來說僅是單一的聲音媒體交流,因此多用于簡短信息的交流和簡單概念性問題的咨詢答疑,例如,確定考試或輔導(dǎo)的時(shí)間、地點(diǎn)等等。(3)E-mail信箱答疑輔導(dǎo)。E-mail信箱答疑輔導(dǎo)時(shí)純文字媒體的交流,常常用于解題示范,例題展示,信息交流等類型的問題答疑輔導(dǎo)。(4)運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)。運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)編寫并制作CAI教學(xué)課件和電子教案,在課件中的每一章明確本章的學(xué)習(xí)要求,課后有復(fù)習(xí)思考題。數(shù)值分析課程的教學(xué)大綱、試卷、試卷分析、標(biāo)準(zhǔn)答案也一律做成電子版的,以方便學(xué)生的查閱。

結(jié)語

數(shù)值分析是一門理論與實(shí)踐相結(jié)合的課程,它是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)學(xué)生的主干課程。目前,用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)與工程問題的科學(xué)計(jì)算,已成為與理論分析,科學(xué)實(shí)驗(yàn)同樣重要的科學(xué)研究方法。在數(shù)值分析課程教學(xué)中,從內(nèi)容編排到課堂教學(xué),我們都本著提高學(xué)生應(yīng)用能力的思想,簡化理論推導(dǎo),重視實(shí)踐,極大增強(qiáng)了學(xué)生利用數(shù)值計(jì)算方法解決實(shí)際問題的信心,同時(shí)也提高了學(xué)生的市場競爭力,為學(xué)生更好的就業(yè)提供了保障。當(dāng)然,數(shù)值分析課程的教學(xué)改革任務(wù)是長期的、艱巨的,以上的工作只是我們的一點(diǎn)嘗試。在今后的教學(xué)中,我們要時(shí)刻總結(jié)良好的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),為數(shù)值分析課程的教學(xué)改革多作貢獻(xiàn),我們將廣采百家之長,不斷地改進(jìn)我們的教學(xué)方式方法,爭取取得更好的教學(xué)效果,培養(yǎng)更多的合格人才。

參考文獻(xiàn):

[1]王能超.數(shù)值分析簡明教程[M].北京:高等教育出版社,1984.

[2]姚傳義.面向應(yīng)用提高數(shù)值分析課程教學(xué)效果[J].化工高等教育,2007,(2): 39-41.

篇5

關(guān)鍵詞 分解槽； Fluent；攪拌槳葉；數(shù)值分析

中圖分類號TQ13 文獻(xiàn)標(biāo)識碼A 文章編號 1674-6708（2014）110-0048-02

Numerical Simulation of optimum designing for Stirring blade of Precipitator Tank

Wang You

Guiyang Aluminum-Magnesium Design & Research Institute Co.Ltd.， Guiyang，Guizhou， China 550081

AbstractBased on the principle of hydromechanics similarity， this paper gives a numerical simulation analysis on the precipitator’s stirring blade （MIG）relevant design modification， and combined with the fluid analysis software Fluent. The paper competitively analyzes four aspects as the three dimensional flow field velocity distribution， solid content difference analysis， stirring power and the maximum shear stress， provides reference basis for design of stirring blade.

KeywordsPrecipitator Tank， Fluent， Stirring Blade， Numerical Simulation

0 引言

隨著氧化鋁生產(chǎn)大型化的發(fā)展，傳統(tǒng)的Φ14m分解槽已不能滿足生產(chǎn)要求，需要開發(fā)更大直徑型的分解槽。分解槽大型化設(shè)計(jì)的主要難點(diǎn)是攪拌裝置的設(shè)計(jì)，其攪拌在生產(chǎn)過程中既要滿足料漿充分的混合懸浮又不破壞晶種的長大，因而其攪拌有一定的特殊性。攪拌裝置設(shè)計(jì)的重點(diǎn)在于槳葉的選型，目前由于攪拌過程種類繁多，介質(zhì)情況差異很大，實(shí)際使用的攪拌槳葉形式多種多樣。目前的選型方法多是根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，選擇習(xí)慣應(yīng)用的槳型，再在常用范圍內(nèi)決定攪拌器的各種參數(shù)。也有通過小型試驗(yàn)，再進(jìn)行放大的設(shè)計(jì)方法。隨著計(jì)算流體力學(xué)的發(fā)展，運(yùn)用流體分析軟件對攪拌過程進(jìn)行數(shù)值模擬技術(shù)已日趨成熟，本文就是在現(xiàn)有的氧化鋁生產(chǎn)上通用的MIG型攪拌器的基礎(chǔ)上，運(yùn)用相似原理和Fluent軟件提供的穩(wěn)態(tài)多重參考系法(MFR)對設(shè)計(jì)的三種攪拌器進(jìn)行數(shù)值模擬，并與原有Φ14m分解槽的MIG型攪拌器進(jìn)行對比分析，得到適合大型分解槽攪拌使用要求的槳葉形式，為設(shè)備改進(jìn)優(yōu)化提供設(shè)計(jì)參考依據(jù)。

1 研究對象及模型建立

1.1 物理模型

分解槽整體模型如圖1，槽體直徑16m，高42m，內(nèi)設(shè)置6層攪拌槳、1組擋板、在擋板對面設(shè)置提料管，建模中忽略提料管內(nèi)部流場，忽略攪拌槳厚度。三種不同槳葉結(jié)構(gòu)形式見圖2，其中模型A是傳統(tǒng)MIG槳葉形式，槳葉與軸的夾角為60°，模型B是將模型A中內(nèi)槳葉分為上內(nèi)槳及下內(nèi)槳兩部分，模型C是將模型A中槳葉與軸的夾角由60°增加到70°，具體結(jié)構(gòu)尺寸見表1。

圖1 整體攪拌分解槽模型

圖2 槳葉模型圖

模型A 模型B 模型C

分解槽內(nèi)徑（m） 16 16 16

液面高度（m） 38 38 38

槳葉層數(shù) 6 6 6

槳葉直徑（m） 底層 11.6 11.6 11.6

其它層 10 10 10

每層槳葉之間高度（m） 6 6 6

軸徑規(guī)格（mm） Φ610X26 Φ610X26 Φ610X26

槳葉與軸夾角（°） 60 60 70

內(nèi)漿分段 1段 2段 1段

擋板數(shù)量（含出料管） 2 2 2

轉(zhuǎn)速（rpm） 4.4 4.4 4.4

表1 分解槽不同攪拌槳葉形式結(jié)構(gòu)尺寸

1.2計(jì)算方法

本文選用Realizable k-ξ湍流模型，歐拉-歐拉多相流模型對分解槽內(nèi)固液體系進(jìn)行數(shù)值模擬。在模型中考慮相間作用力、虛擬質(zhì)量力及升力對固體顆粒的影響，其中固－液兩相間阻力系數(shù)的理論計(jì)算采用相間相互碰撞的Gidaspow 模型。

采用穩(wěn)態(tài)多重參考系法（MRF），將各個(gè)計(jì)算區(qū)域分成兩個(gè)或多個(gè)互不重疊的圓筒狀區(qū)域，整個(gè)分解槽分為旋轉(zhuǎn)區(qū)域和靜止區(qū)域兩部分，旋轉(zhuǎn)區(qū)域的幾何結(jié)構(gòu)只有攪拌槳，靜止區(qū)域的幾何結(jié)構(gòu)包括整個(gè)槽壁、擋板與提料管，旋轉(zhuǎn)區(qū)域創(chuàng)建旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，靜止區(qū)域創(chuàng)建靜止坐標(biāo)系，攪拌槳相對內(nèi)部子區(qū)域靜止，實(shí)現(xiàn)攪拌槳的旋轉(zhuǎn)。

1.3 工藝條件

表2是分解槽實(shí)際生產(chǎn)中的一組常用物性參數(shù)。

項(xiàng)目 料液的密度

kg/m3 料液的粘度

Pa.s 顆粒密度

kg/m3 固含

g/l 顆粒

大小

μm 含量

（質(zhì)量分率）%

數(shù)值 1753 0.0038 2424 1000 70 10.25/31

表 2 物性參數(shù)

2 模擬結(jié)果分析

2.1 分解槽內(nèi)物料的三維速度矢量

圖3為穿過攪拌槳葉中心X-Y平面的三維速度分布圖，模型A、B形成的流場相似，都只在每層槳葉之間形成了非常明顯的流體循環(huán)，流體在槽內(nèi)基本是在每層槳葉之間流動(dòng)，沒有形成槳葉之間的兩層流體循環(huán)，而模型C在每層漿之間形成明顯的槳間循環(huán)，內(nèi)外槳葉有明顯地流體向上運(yùn)動(dòng)之后分別向內(nèi)外槳葉的流場位置循環(huán)從而形成了明顯的兩層流體循環(huán)，導(dǎo)致顆粒在槽內(nèi)提留時(shí)間要比模型A、B長，從而有利于顆粒的結(jié)晶長大，也同實(shí)際設(shè)計(jì)MIG型攪拌器的預(yù)期效果吻合。

圖3 流場(X-Y平面)三維速度分布圖

2.2流場內(nèi)的均勻度

分解槽攪拌的主要目的之一還要保持溶液濃度均勻，保證晶種與溶液有良好的接觸以利于析出晶體。通過模擬可以得到顆粒相在整個(gè)流場中的分布狀況，以及確定顆粒相的高濃度區(qū)域。

圖4給出了70μm顆粒的體積相分布情況，從圖中可以看出，在分解槽底面上有比較明顯的沉積，說明底層槳附近區(qū)域是沉積高危區(qū)，且易沉積的區(qū)基本可以分為兩塊，就是攪拌軸附近區(qū)域以及槽底邊緣的區(qū)域。模型A、B的沉積區(qū)域明顯多于模型C。

圖4 70μm顆粒體積相分布圖（X-Y平面）

流場內(nèi)的最大固含差，可以在一定程度上反映出整個(gè)攪拌的顆粒相分布的均勻程度，本文根據(jù)固體顆粒體積分?jǐn)?shù)換算為固含量，進(jìn)而得到固含差，表 3給出了三種槳葉形式的最大固含差的計(jì)算分析值。

從表中可以看出，模型C的最大固含差最小，模型A最大，工業(yè)生產(chǎn)要求固含差控制在5%∽8%以內(nèi)，從計(jì)算結(jié)果看，模型B和C可以滿足。

模型 顆粒

直徑 體積分?jǐn)?shù)/% 固含/g/l 最大固含差/%

最大 最小 差值 最大 最小 差值

A 70μm 31.38 28.93 2.53 1033.11 918.21 114.9 11.12

125μm 11.24 8.95 0.60

B 70μm 31.63 30.5 1.13 1046.2 968.4 77.8 7.45

125μm 11.53 9.45 2.08

C 70μm 31.39 30.43 0.68 1035 977.11 57.89 5.59

125μm 11.31 9.88 0.44

表3 三種槳葉形式的最大固含差

2.3攪拌功率

攪拌功率是攪拌中重要的參數(shù)，一定程度影響了生產(chǎn)成本和工業(yè)生產(chǎn)的現(xiàn)實(shí)可能性。

圖5給出了運(yùn)用Fluent計(jì)算的三種槳葉形式各層槳葉消耗功率分布情況。模型A消耗的總功率為106.4 KW， 模型B消耗的總功率為137.1 KW， 模型C消耗的總功率為115.6 KW，通過比較分析，在滿足使用要求和經(jīng)濟(jì)性方面綜合考慮，模型C的綜合性能最好。

圖5 功率分布圖

3 結(jié)論

1）本文建立了大型分解槽攪拌槳葉的三種計(jì)算模型，并采用穩(wěn)態(tài)多重參考系法對三種槳葉的攪拌過程進(jìn)行了數(shù)值模擬計(jì)算，結(jié)論是模型C相較于模型A和模型B，攪拌流動(dòng)效果較好，沉積區(qū)最少，均勻度最好，綜合性能經(jīng)濟(jì)指標(biāo)亦能滿足生產(chǎn)需要；

2）通過與現(xiàn)有工業(yè)上使用的分解槽及其攪拌結(jié)構(gòu)進(jìn)行對比分析，運(yùn)用Fluent計(jì)算所得的分解槽攪拌模型能滿足實(shí)際生產(chǎn)對分解槽攪拌結(jié)構(gòu)和工藝性能的要求，能為分解槽的大型化工業(yè)生產(chǎn)提供可靠的理論設(shè)計(jì)依據(jù)。

參考文獻(xiàn)

[1]王凱，虞軍，等.攪拌設(shè)備[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2003.

[2]鐘麗，黃雄斌，賈志剛.用CFD研究攪拌器的功率曲線[J]. 北京化工大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，30(5):5-8.

[3]李振花，何珊珊，萬茂榮，談遒.攪拌槽中的流體力學(xué)模型[J].高?；瘜W(xué)工程學(xué)報(bào)，1996，10(1):22-29.

篇6

[關(guān)鍵詞]雷電；接閃；電場數(shù)值分析

中圖分類號：P427.32 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-914X（2014）47-0260-01

一、雷電

雷電是發(fā)生在大氣層中的聲、光、電等物理現(xiàn)象，通常認(rèn)為是由于熱空氣上升，冷空氣下降過程中的熱交換，產(chǎn)生帶有正負(fù)電荷的小水滴積聚形成積雨云，在積雨云（雷云）形成過程中，由于大氣電場以及溫差起電效應(yīng)、破碎起電效應(yīng)的同時(shí)作用，正負(fù)電荷分別在云的不同部位積聚。當(dāng)這些電荷積聚到一定程度時(shí)，就會在云與云之間或云與地之間發(fā)生放電，也就是人們平常所說的“閃電”。其中云與地之間產(chǎn)生的放電現(xiàn)象又稱為地閃，極容易對人類造成不可挽救的危害，也是我們進(jìn)行雷電防護(hù)研究的主要對象。

雷電放電瞬間可產(chǎn)生數(shù)十千安，甚至數(shù)百千安的放電電流。雷電流能產(chǎn)生巨大的破壞力和很強(qiáng)的電磁干擾，給人類的生活、工作帶來很大的影響，它引起的災(zāi)害是自然界十大災(zāi)害之一。

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，各類電子信息產(chǎn)品得到廣泛應(yīng)用，特別是電子信息系統(tǒng)的應(yīng)用，極大的方便了人們的生活。但是，這些電子設(shè)備普遍存在著絕緣強(qiáng)度低、過電壓和過電流耐受能力差、對電磁干擾敏感等弱點(diǎn)，一旦建筑物受到直接雷擊或其附近區(qū)域發(fā)生雷擊，雷電過電壓、過電流和脈沖電磁場會通過供電線、通信線、接收天線、金屬管道和空間輻射等途徑侵入建筑物內(nèi)，威脅室內(nèi)電子設(shè)備的正常工作和安全運(yùn)行。如防護(hù)不當(dāng)，這些雷害輕則使電子設(shè)備誤動(dòng)作，重則造成電子設(shè)備永久性損壞，嚴(yán)重時(shí)還可能造成人員傷亡。隨著全社會現(xiàn)代化水平的不斷提高，雷電對電子和通訊等設(shè)施的破壞，而造成的經(jīng)濟(jì)損失及人員傷亡，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了雷擊火災(zāi)的損失，雷電災(zāi)害已成為“電子化時(shí)代的一大公害”

雷電災(zāi)害造成的損失的大小是牽扯到社會許多方面的十分復(fù)雜的問題。雷電能造成人員傷亡，即使得建筑物起火、擊毀、能對電力電話、計(jì)算機(jī)及其網(wǎng)絡(luò)等設(shè)備造成破壞，雷電又是年年重復(fù)發(fā)生的自然現(xiàn)象，在每年的七八月份是雷暴的高發(fā)期，尤其是在熱帶地區(qū)，雷電次數(shù)就更多。但是現(xiàn)在對于雷電災(zāi)害及防雷知識，全社會缺少一定的認(rèn)識，加上僥幸心理，所以極易造成雷擊事故。因此，必須進(jìn)行深入的研究和采取必要的措施。

就減輕雷電造成的損害而言通?？紤]的措施有：一是加強(qiáng)預(yù)報(bào)工作，在雷暴來之前就能像預(yù)報(bào)天氣一樣，讓人們做好準(zhǔn)備，如拔掉電源插座等。第二就是加強(qiáng)新建建筑物的防雷擊的能力，在建筑物建成之前做好建筑物的防雷設(shè)計(jì)和施工。目前國家氣象部門很重視這個(gè)方面的工作，各個(gè)地區(qū)的氣象部門也都開展了這樣的業(yè)務(wù)。三是加強(qiáng)雷擊時(shí)的救援工作。所以目前普遍采用的是加強(qiáng)防雷工程的做法。

當(dāng)雷電擊中建筑物時(shí)，由于雷電是具有高電壓、大電流，作用時(shí)間極短的瞬變過程，通常在瞬間釋放出巨大的能量，把被擊中金屬熔化，使物體水份受熱膨脹，產(chǎn)生強(qiáng)大的機(jī)械力，或分解成氫氣和氧氣，產(chǎn)生爆炸，使建筑物遭到破壞。雷擊產(chǎn)生的高溫引起建筑物燃燒構(gòu)成火災(zāi)，產(chǎn)生的高壓引起觸電。根據(jù)目前的防雷理論，無論采取哪種保護(hù)方法，都需要使用接閃器接閃，通過引下線將雷電流引下至接地裝置，由接地裝置散入大地中。在此過程中存在以下雷擊安全隱患：

1）雷電流沿引下線傳導(dǎo)過程中，在其周圍存在很強(qiáng)的電磁場，可能引起感應(yīng)過電壓和過電流。

2）雷電流由散流裝置入地過程中形成的電位梯度過大會導(dǎo)致行人因跨步電壓而發(fā)生人身傷亡事故。

3）直接雷擊時(shí)，雷電流在泄放和散流過程中因電阻壓降和電感壓降導(dǎo)致高電位通過靜電感應(yīng)在水平布設(shè)的信號線路和電源線路上產(chǎn)生的過電壓損壞設(shè)備接口，并有可能導(dǎo)致反擊及人身觸電傷亡事故。

二、感應(yīng)雷的災(zāi)害分析

1）散流時(shí)引起的過流（壓）損壞：當(dāng)雷電擊中建筑物散流時(shí)，分流到配電系統(tǒng)、信號線路、其它金屬管道中的雷電流引起設(shè)備過壓（流）損壞或人身觸電導(dǎo)致傷亡事故。

2）發(fā)生直接雷擊，雷電流泄放時(shí)，建筑物內(nèi)部分布著暫態(tài)電磁場，尤其以引下線周圍最為強(qiáng)烈。此電磁場將會對建筑物內(nèi)各個(gè)系統(tǒng)產(chǎn)生作用，引起設(shè)備誤動(dòng)作或損壞。

3）室內(nèi)暫態(tài)磁場作用在信息系統(tǒng)環(huán)路上，將會產(chǎn)生感應(yīng)過電壓（流），導(dǎo)致設(shè)備接口或設(shè)備本身損壞。

4）雷雨云（積雨云）引起的感應(yīng)雷擊而發(fā)生損壞。當(dāng)有雷雨云經(jīng)過沿線上空或附近時(shí)，由于靜電感應(yīng)會在電源線路、信號線路、控制線路上感應(yīng)出極性相反的靜電荷，當(dāng)雷云放電后，這些靜電荷由于不能及時(shí)入地會產(chǎn)生過電壓（流）損壞設(shè)備。

5）云內(nèi)閃和云際閃對信息系統(tǒng)設(shè)備的影響。云內(nèi)閃和云際閃產(chǎn)生的雷電電磁脈沖（LEMP）可引起內(nèi)部設(shè)備因感應(yīng)過電壓（流）損壞。

三、接閃桿接閃瞬間電場數(shù)值分析

圖1為本文研究對象：防護(hù)直擊雷的接閃桿。圖一

如圖2所示，由于接閃桿為軸對稱模型，所以本文只計(jì)算了其一個(gè)面。

圖3為ANSYS環(huán)境下對接閃桿進(jìn)行1：1建模后，對其施加kV電壓，其X軸方向的電場強(qiáng)度分布圖。由圖3可知，其X軸方向的電場強(qiáng)度最大值及最小值均在接閃桿尖端。

篇7

關(guān)鍵詞:數(shù)值分析；MC模型；HS模型

PLAXIS deformation in the pit in the application of numerical analysis

Ye Haibo

Jiading District, Shanghai Real Estate (Group) Co., Ltd.

Abstract: The Excavation of a numerical analysis of the key issues is the use of appropriate soil constitutive model. [1] PLAXIS geotechnical finite element analysis software is used to solve geotechnical deformation, stability and common issues such as groundwater seepage finite element family of software, which provides a mole - Coulomb (MC), soil hardening (HS ), soft soil creep (SSC) and other soil material model. This departure from the Project to discuss the numerical analysis of pit deformation PLAXIS for calculating the parameters of thinking, comparative analysis of the MC and HS model results and monitoring results were compared with the pit, can provide a reference for similar projects.

Keywords: numerical analysis; MC model; HS model

1工程概況

上海某地鐵車站基坑工程為二地鐵線十字相交處，后建南北向車站被已建的東西向車站分隔為南北兩個(gè)區(qū)域，地質(zhì)條件復(fù)雜，道路管線多，交通流量大，周圍建筑物密集。本文對其擬建的北側(cè)標(biāo)準(zhǔn)段區(qū)域進(jìn)行分析，基坑南北長約65m、東西寬約25.2m～31.2m，基坑開挖深度約為24.0m，基坑保護(hù)等級定為一級。

1.1地質(zhì)資料

基坑范圍內(nèi)主要涉及雜填土、素填土、褐黃～灰黃色粉質(zhì)粘土、灰色砂質(zhì)粉土、灰色淤泥質(zhì)粘土、灰色粘土、灰色粉質(zhì)粘土、暗綠～草黃色粉質(zhì)粘土、草黃色粘質(zhì)粉土、草黃色粉砂、灰色粉砂、灰色粘土層土。

1.2水文資料

本工程地下水主要有淺部土層中的潛水，及深部粉性土、砂土層中的承壓水。上海年平均水位埋深在0.5～0.7m，低水位埋深1.50m。現(xiàn)場測得的地下水位埋深一般在1.15～1.25m之間。

1.3支護(hù)結(jié)構(gòu)體系

1.3.1圍護(hù)結(jié)構(gòu)

圍護(hù)結(jié)構(gòu)采用1000mm厚地下連續(xù)墻，混凝土強(qiáng)度等級為水下C30。標(biāo)準(zhǔn)段地下連續(xù)墻深42米，入土比為0.74。

1.3.2支撐

基坑采用鋼支撐和混凝土支撐，標(biāo)準(zhǔn)段設(shè)9道支撐，第2、4和7道分別為800×1000、1000×1000和1200×1000混凝土支撐，其余均為Φ609×16鋼支撐，第3、5道支撐有移撐。

1.3.3地基加固

地基加固采用高壓旋噴樁局部抽條加固，標(biāo)準(zhǔn)段加固范圍為第六道鋼支撐中心以下3米及坑底下3米，加固強(qiáng)度為qu≥1.2MPa。

2數(shù)值模擬分析

2.1計(jì)算模型

結(jié)合監(jiān)測點(diǎn)位置計(jì)算斷面取[M-7]軸×[14]軸處，此處基坑寬度為31.2m左右，最大開挖深度為24.00m。根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，基坑開挖寬度影響范圍為開挖深度的3～4倍，基坑開挖深度的影響范圍為開挖深度的2～4倍。計(jì)算模型可按此取水平方向上長度為75.6m，豎直方向上深度取為60m。

2.2單元模擬

數(shù)值模擬中土體采用平面應(yīng)變15節(jié)點(diǎn)2-D等參土體(soil)單元；圍護(hù)結(jié)構(gòu)地下連續(xù)墻采用板樁墻(Plates)單元來模擬；支撐結(jié)構(gòu)按照抗壓構(gòu)件(Anchors)來考慮；土與結(jié)構(gòu)按特殊接觸面(Interfaces)單元處理。

2.3邊界條件

基坑開挖過程中，數(shù)值模擬中的位移邊界條件：數(shù)值計(jì)算中地表為自由邊界條件；模型左右兩側(cè)邊界的側(cè)向位移限制為零；模型底部邊界的豎向位移和水平位移均限制為零。

2.4計(jì)算工況

①施工此范圍內(nèi)的地下墻結(jié)構(gòu)及地基加固、相應(yīng)灌注樁、格構(gòu)柱。

②沿基坑深度從上至下挖土至相應(yīng)支撐頂部，然后及時(shí)掏槽開挖澆筑混凝土支撐或架設(shè)鋼支撐，直到挖至下一層板梁下，架設(shè)第三道鋼支撐，澆筑下一層部分板帶并架設(shè)鋼筋砼支撐，中部預(yù)留施工階段出土孔。

③待下一層板帶及其鋼筋砼支撐達(dá)到設(shè)計(jì)強(qiáng)度后，開挖至第四道鋼支撐處。

④及時(shí)架設(shè)第四道鋼支撐（將第三道鋼支撐移至第四道鋼支撐處），然后開挖至下二層板梁下，架設(shè)第五道鋼支撐（備一道鋼支撐），澆筑下二層部分板帶并架設(shè)鋼筋砼支撐，中部預(yù)留施工階段出土孔。

⑤待下二層板帶及其鋼筋砼支撐達(dá)到設(shè)計(jì)強(qiáng)度后，開挖至第六道支撐處。

⑥及時(shí)架設(shè)第六道鋼支撐（將第五道鋼支撐的備撐移至第六道鋼支撐處），然后開挖至坑底。

⑦做素砼墊層并澆筑砼底板，底板達(dá)到強(qiáng)度后不得拆除支撐。

2.5土體計(jì)算參數(shù)

由于本構(gòu)模型的不同，土體主要計(jì)算參數(shù)的設(shè)置也不同。巖土工程分析計(jì)算中，MC本構(gòu)模型經(jīng)常使用，但其不能模擬土的一些特殊形為特性，而HS模型可以體現(xiàn)初次加載和卸載-再加載之間的剛度差別。本文分別采用以上兩種土體本構(gòu)模型進(jìn)行模擬計(jì)算。

2.5.1 MC土體模型

在PLAXIS程序當(dāng)中MC模型，共需要五個(gè)參數(shù)楊氏模量E、泊桑比υ、內(nèi)聚力С、內(nèi)摩擦角φ、剪脹角ψ。根據(jù)PLAXIS材料手冊，粘土剪脹角ψ≈0，泊桑比С一般取0.15～0.25；內(nèi)聚力С、內(nèi)摩擦角ψ為土體強(qiáng)度參數(shù)，根據(jù)地質(zhì)勘查報(bào)告取用；楊氏模量E為土體的剛度參數(shù)，可分為初始切線模量Ei、一點(diǎn)切線模量Etan、割線模量Esec和回彈模量Eur。其中，割線模量Esec代表土體平均剛度，多作為楊氏模量E。0

2.5.2 HS土體模型

Hardening-Soil模型采用Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則，主要涉及到剛度參數(shù)壓縮模量、參考割線剛度、參考卸荷再加荷模量、卸載再加載泊松比Vur等。

壓縮模量：根據(jù)地質(zhì)勘察報(bào)告或相關(guān)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合經(jīng)驗(yàn)選取；

參考割線剛度：按照正常固結(jié)粘土，取 (1～2)；

參考卸荷再加荷模量：根據(jù)相關(guān)工程經(jīng)驗(yàn)并結(jié)合Plaxis中默認(rèn)缺省關(guān)系，取。

卸載再加載泊松比Vur：對砂性土取Vur=0.15，粘性土取Vur=0.20。 [2][3]

2.5.3水泥土加固土體參數(shù)

考慮到本工程坑底加固為局部抽條加固，計(jì)算模型可從安全角度出發(fā)不考慮土體加固。如為滿堂加固需考慮水泥土加固影響時(shí)加固后水泥土粘聚力c=0.2qu，內(nèi)摩擦角φ取30°；初始割線模量Ei=E50=(60～154)qu。[2]0

2.6支護(hù)結(jié)構(gòu)計(jì)算參數(shù)

2.6.1地下連續(xù)墻

因此HS模型的數(shù)據(jù)模擬結(jié)果更為真實(shí)。

3數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果評價(jià)

由2知，HS模型比MC模型可以給出更為符合實(shí)際情況的模擬結(jié)果，因此，對數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果的評價(jià)可僅比較HS模型計(jì)算得到結(jié)果與實(shí)際監(jiān)測數(shù)據(jù)、規(guī)范經(jīng)驗(yàn)形式的結(jié)果。

3.1.1規(guī)范控制值與經(jīng)驗(yàn)預(yù)估0

基坑保護(hù)等級為一級時(shí)，（1）圍護(hù)結(jié)構(gòu)最大側(cè)移控制指標(biāo)為0.18%H，為43.2；（2）坑外地表最大沉降控制指標(biāo)為0.15%H，為36.0。

3.1.2監(jiān)測布置與監(jiān)測數(shù)據(jù)

基坑部分監(jiān)測項(xiàng)目與監(jiān)測點(diǎn)開挖至基坑設(shè)計(jì)標(biāo)高時(shí)，（1）坑內(nèi)隆起（K1）監(jiān)測結(jié)果為19.90；（2）坑外地表沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)結(jié)果最大值為19.90；（3）地下連續(xù)墻水平位移曲線最大值為50.61，已超過報(bào)警值。

3.1.3數(shù)值模擬計(jì)算（HS模型）結(jié)果的評價(jià)

（1）坑外地表沉降

根據(jù)HS模型數(shù)據(jù)模擬計(jì)算結(jié)果，由PLAXIS程序?qū)С鰣D8（b）坑外地表沉降Uy的數(shù)據(jù)表，并形成曲線圖，疊加沉降監(jiān)測點(diǎn)數(shù)據(jù)得到圖12。由圖可知，數(shù)值模擬坑外地表沉降曲線與監(jiān)測數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布比較吻合，且比較吻合規(guī)范經(jīng)驗(yàn)公式沉降曲線的形態(tài)。

坑外地表沉降數(shù)值模擬曲線與沉降監(jiān)測點(diǎn)比較圖

（2）地下連續(xù)墻水平位移

采用HS模型數(shù)據(jù)模擬計(jì)算地下連續(xù)墻的水平位移小于實(shí)際監(jiān)測值，原因：（1）數(shù)值模擬計(jì)算過程鋼筋混凝土支撐剛度按照設(shè)計(jì)值取用，實(shí)際基坑開挖施工時(shí)并非在結(jié)構(gòu)梁板達(dá)到100%強(qiáng)度后才開始下層土施工；（2）數(shù)值模擬鋼支撐掏槽開挖較為理想狀態(tài)，實(shí)際掏槽開挖局部土層還是會產(chǎn)生短時(shí)的“局部缺撐”狀態(tài)。而地下連續(xù)墻的最大水平位移的位置，數(shù)值模擬（21.75m）與實(shí)際監(jiān)測值（24.00m）略有差距，但其符合文獻(xiàn)[2]上海地區(qū)地鐵基坑統(tǒng)計(jì)結(jié)果，即“20m以上的基坑圍護(hù)最大變形值一般位于開挖面以上，平均值0.9h深度處”。

（3）坑內(nèi)隆起

很明顯坑內(nèi)隆起的實(shí)際監(jiān)測值小于數(shù)值模擬結(jié)果（73.09m），主要原因是簡化計(jì)算時(shí)未考慮結(jié)構(gòu)梁板局部逆作先行澆筑后自重以及局部土體加固附加荷載的壓土作用。

4結(jié)論

（1）以PLAXIS巖土工程軟件采用HS土體模型對上海軟土基坑工程進(jìn)行數(shù)值模擬可以得到較為符合實(shí)際情況的結(jié)果，可以此評估基坑開挖的變形情況以及對周邊環(huán)境的影響。

（2）采用鋼筋混凝土支撐的板式支護(hù)體系圍護(hù)結(jié)構(gòu)的基坑工程，施工過程中需要確保支撐達(dá)到設(shè)計(jì)要求強(qiáng)度方可進(jìn)行下層土體開挖施工，否則可能引起圍護(hù)結(jié)構(gòu)水平位移超限值。

（3）逆作法澆筑的結(jié)構(gòu)梁板自重以及坑底加固作為附加荷載可以有效的抑制坑內(nèi)隆起量，由于缺少具體先行澆筑結(jié)構(gòu)范圍，故本文未作相關(guān)的比較計(jì)算。

參考文獻(xiàn)：

[1]上海市勘察設(shè)計(jì)行業(yè)協(xié)會，上海現(xiàn)代建筑設(shè)計(jì)（集團(tuán)）有限公司，上海建工（集團(tuán)）有限公司主編.DG/TJ08-61-2010.上海市工程建設(shè)規(guī)范《基坑工程技術(shù)規(guī)范》.上海，2010

[2]劉國彬，王衛(wèi)東主編.基坑工程手冊（第二版）.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2009

[3]北京金土木軟件技術(shù)有限公司.PLAXIS巖土工程軟件使用指南.北京：人民交通出版社，2010

作者簡歷：

篇8

一、實(shí)驗(yàn)3.1

題目：

考慮線性方程組，，，編制一個(gè)能自動(dòng)選取主元，又能手動(dòng)選取主元的求解線性代數(shù)方程組的Gauss消去過程。

（1）取矩陣，，則方程有解。取計(jì)算矩陣的條件數(shù)。分別用順序Gauss消元、列主元Gauss消元和完全選主元Gauss消元方法求解，結(jié)果如何？

（2）現(xiàn)選擇程序中手動(dòng)選取主元的功能，每步消去過程都選取模最小或按模盡可能小的元素作為主元進(jìn)行消元，觀察并記錄計(jì)算結(jié)果，若每步消去過程總選取按模最大的元素作為主元，結(jié)果又如何？分析實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。

（3）取矩陣階數(shù)n=20或者更大，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)過程，觀察記錄并分析不同的問題及消去過程中選擇不同的主元時(shí)計(jì)算結(jié)果的差異，說明主元素的選取在消去過程中的作用。

（4）選取其他你感興趣的問題或者隨機(jī)生成的矩陣，計(jì)算其條件數(shù)，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)，觀察記錄并分析實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。

1.

算法介紹

首先，分析各種算法消去過程的計(jì)算公式，

順序高斯消去法：

第k步消去中，設(shè)增廣矩陣中的元素（若等于零則可以判定系數(shù)矩陣為奇異矩陣，停止計(jì)算），則對k行以下各行計(jì)算，分別用乘以增廣矩陣的第行并加到第行，則可將增廣矩陣中第列中以下的元素消為零；重復(fù)此方法，從第1步進(jìn)行到第n-1步，則可以得到最終的增廣矩陣，即；

列主元高斯消去法：

第k步消去中，在增廣矩陣中的子方陣中，選取使得，當(dāng)時(shí)，對中第行與第行交換，然后按照和順序消去法相同的步驟進(jìn)行。重復(fù)此方法，從第1步進(jìn)行第n-1步，就可以得到最終的增廣矩陣，即；

完全主元高斯消去法：

第k步消去中，在增廣矩陣中對應(yīng)的子方陣中，選取使得，若或，則對中第行與第行、第列與第列交換，然后按照和順序消去法相同的步驟進(jìn)行即可。重復(fù)此方法，從第1步進(jìn)行到第n-1步，就可以得到最終的增廣矩陣，即；

接下來，分析回代過程求解的公式，容易看出，對上述任一種消元法，均有以下計(jì)算公式：

2.

實(shí)驗(yàn)程序的設(shè)計(jì)

一、輸入實(shí)驗(yàn)要求及初始條件；

二、計(jì)算系數(shù)矩陣A的條件數(shù)及方程組的理論解；

三、對各不同方法編程計(jì)算，并輸出最終計(jì)算結(jié)果。

3.

計(jì)算結(jié)果及分析

（1）

先計(jì)算系數(shù)矩陣的條件數(shù)，結(jié)果如下，

可知系數(shù)矩陣的條件數(shù)較大，故此問題屬于病態(tài)問題，

b或A的擾動(dòng)都可能引起解的較大誤差；

采用順序高斯消去法，計(jì)算結(jié)果為：

最終解為x=(1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000001,

0.999999999999998,

1.000000000000004,

0.999999999999993,

1.000000000000012,

0.999999999999979,

1.000000000000028)T

使用無窮范數(shù)衡量誤差，得到=2.842170943040401e-14，可以發(fā)現(xiàn)，采用順序高斯消元法求得的解與精確解之間誤差較小。通過進(jìn)一步觀察，可以發(fā)現(xiàn)，按照順序高斯消去法計(jì)算時(shí)，其選取的主元值和矩陣中其他元素大小相近，因此順序高斯消去法方式并沒有對結(jié)果造成特別大的影響。

若采用列主元高斯消元法，則結(jié)果為：

最終解為x=(1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000000)T

同樣使用無窮范數(shù)衡量誤差，有=0；

若使用完全主元高斯消元法，則結(jié)果為

最終解x=(1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000000,

1.000000000000000)T

同樣使用無窮范數(shù)衡量誤差，有=0；

（2）

若每步都選取模最小或盡可能小的元素為主元，則計(jì)算結(jié)果為

最終解x=(1.000000000000000

1.000000000000000

1.000000000000000

1.000000000000001

0.999999999999998

1.000000000000004

0.999999999999993

1.000000000000012

0.999999999999979

1.000000000000028)T

使用無窮范數(shù)衡量誤差，有為2.842170943040401e-14；而完全主元消去法的誤差為=0。

從（1）和（2）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，列主元消去法和完全主元消去法都得到了精確解，而順序高斯消去法和以模盡量小的元素為主元的消去法沒有得到精確解。在后兩種消去法中，由于程序計(jì)算時(shí)的舍入誤差，對最終結(jié)果產(chǎn)生了一定的影響，但由于方程組的維度較低，并且元素之間相差不大，所以誤差仍比較小。

為進(jìn)一步分析，計(jì)算上述4種方法每步選取的主元數(shù)值，并列表進(jìn)行比較，結(jié)果如下：

第n次消元

順序

列主元

完全主元

模最小

1

6.000000000000000

8

8

6.000000000000000

2

4.666666666666667

8

8

4.666666666666667

3

4.285714285714286

8

8

4.285714285714286

4

4.133333333333333

8

8

4.133333333333333

5

4.064516129032258

8

8

4.064516129032258

6

4.031746031746032

8

8

4.031746031746032

7

4.015748031496063

8

8

4.015748031496063

8

4.007843137254902

8

8

4.007843137254902

9

4.003913894324853

8

8

4.003913894324853

10

4.001955034213099

0.015617370605469

0.015617370605469

4.001955034213099

從上表可以發(fā)現(xiàn)，對這個(gè)方程組而言，順序高斯消去選取的主元恰好事模盡量小的元素，而由于列主元和完全主元選取的元素為8，與4在數(shù)量級上差別小，所以計(jì)算過程中的累積誤差也較小，最終4種方法的輸出結(jié)果均較為精確。

在這里，具體解釋一下順序法與模最小法的計(jì)算結(jié)果完全一致的原因。該矩陣在消元過程中，每次選取主元的一列只有兩個(gè)非零元素，對角線上的元素為4左右，而其正下方的元素為8，該列其余位置的元素均為0。在這樣的情況下，默認(rèn)的主元也就是該列最小的主元，因此兩種方法所得到的計(jì)算結(jié)果是一致的。

理論上說，完全高斯消去法的誤差最小，其次是列主元高斯消去法，而選取模最小的元素作為主元時(shí)的誤差最大，但是由于方程組的特殊性（元素相差不大并且維度不高），這個(gè)理論現(xiàn)象在這里并沒有充分體現(xiàn)出來。

（3）

時(shí)，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)過程，各種方法的計(jì)算結(jié)果如下所示，在這里，仍采用無窮范數(shù)衡量絕對誤差。

順序高斯消去法

列主元高斯消去

完全主元高斯消去

選取模最小或盡可能小元素作為主元消去

X

1.000000000000000

1.000000000000000

1.000000000000000

1.000000000000001

0.999999999999998

1.000000000000004

0.999999999999993

1.000000000000014

0.999999999999972

1.000000000000057

0.999999999999886

1.000000000000227

0.999999999999547

1.000000000000902

0.999999999998209

1.000000000003524

0.999999999993179

1.000000000012732

0.999999999978173

1.000000000029102

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1.000000000000000

1.000000000000000

1.000000000000000

1.000000000000001

0.999999999999998

1.000000000000004

0.999999999999993

1.000000000000014

0.999999999999972

1.000000000000057

0.999999999999886

1.000000000000227

0.999999999999547

1.000000000000902

0.999999999998209

1.000000000003524

0.999999999993179

1.000000000012732

0.999999999978173

1.000000000029102

2.910205409989430e-11

2.910205409989430e-11

可以看出，此時(shí)列主元和完全主元的計(jì)算結(jié)果仍為精確值，而順序高斯消去和模盡可能小方法仍然產(chǎn)生了一定的誤差，并且兩者的誤差一致。與n=10時(shí)候的誤差比相比，n=20時(shí)的誤差增長了大約1000倍，這是由于計(jì)算過程中舍入誤差的不斷累積所致。所以，如果進(jìn)一步增加矩陣的維數(shù)，應(yīng)該可以看出更明顯的現(xiàn)象。

（4）

不同矩陣維度下的誤差如下，在這里，為方便起見，選取2-條件數(shù)對不同維度的系數(shù)矩陣進(jìn)行比較。

維度

條件數(shù)

順序消去

列主元

完全主元

模盡量小

1.7e+3

2.84e-14

2.84e-14

1.8e+6

2.91e-11

2.91e-11

5.7e+7

9.31e-10

9.31e-10

1.8e+9

2.98e-08

2.98e-08

1.9e+12

3.05e-05

3.05e-05

3.8e+16

3.28e+04

3.88e-12

3.88e-12

3.28e+04

8.5e+16

3.52e+13

4.2e-3

4.2e-3

3.52e+13

從上表可以看出，隨著維度的增加，不同方法對計(jì)算誤差的影響逐漸體現(xiàn)，并且增長較快，這是由于舍入誤差逐步累計(jì)而造成的。不過，方法二與方法三在維度小于40的情況下都得到了精確解，這兩種方法的累計(jì)誤差遠(yuǎn)比方法一和方法四慢；同樣地，出于與前面相同的原因，方法一與方法四的計(jì)算結(jié)果保持一致，方法二與方法三的計(jì)算結(jié)果保持一致。

4.

結(jié)論

本文矩陣中的元素差別不大，模最大和模最小的元素并沒有數(shù)量級上的差異，因此，不同的主元選取方式對計(jì)算結(jié)果的影響在維度較低的情況下并不明顯，四種方法都足夠精確。

對比四種方法，可以發(fā)現(xiàn)采用列主元高斯消去或者完全主元高斯消去法，可以盡量抑制誤差，算法最為精確。不過，對于低階的矩陣來說，四種方法求解出來的結(jié)果誤差均較小。

另外，由于完全選主元方法在選主元的過程中計(jì)算量較大，而且可以發(fā)現(xiàn)列主元法已經(jīng)可以達(dá)到很高的精確程度，因而在實(shí)際計(jì)算中可以選用列主元法進(jìn)行計(jì)算。

附錄：程序代碼

clear

clc;

format

long;

%方法選擇

n=input(＇矩陣A階數(shù):n=＇);

disp(＇選取求解方式＇);

disp(＇1

順序Gauss消元法，2

列主元Gauss消元法，3

完全選主元Gauss消元法，4

模最小或近可能小的元素作為主元＇);

a=input(＇求解方式序號：＇);

%賦值A(chǔ)和b

A=zeros(n,n);

b=zeros(n,1);

for

i=1:n

A(i,i)=6;

if

i>1

A(i,i-1)=8;

end

if

i

A(i,i+1)=1;

end

end

for

i=1:n

for

j=1:n

b(i)=b(i)+A(i,j);

end

end

disp(＇給定系數(shù)矩陣為：＇);

A

disp(＇右端向量為：＇);

b

%求條件數(shù)及理論解

disp(＇線性方程組的精確解：＇);

X=(A＼b)＇

fprintf(＇矩陣A的1-條件數(shù):

%f

＼n＇,cond(A,1));

fprintf(＇矩陣A的2-條件數(shù):

%f

＼n＇,cond(A));

fprintf(＇矩陣A的無窮-條件數(shù):

%f

＼n＇,cond(A,inf));

%順序Gauss消元法

if

a==1

A1=A;b1=b;

for

k=1:n

if

A1(k,k)==0

disp(＇主元為零，順序Gauss消元法無法進(jìn)行＇);

break

end

fprintf(＇第%d次消元所選取的主元：%g＼n＇,k,A1(k,k))

%disp(＇此次消元后系數(shù)矩陣為：＇);

%A1

for

p=k+1:n

l=A1(p,k)/A1(k,k);

A1(p,k:n)=A1(p,k:n)-l*A1(k,k:n);

b1(p)=b1(p)-l*b1(k);

end

end

x1(n)=b1(n)/A1(n,n);

for

k=n-1:-1:1

for

w=k+1:n

b1(k)=b1(k)-A1(k,w)*x1(w);

end

x1(k)=b1(k)/A1(k,k);

end

disp(＇順序Gauss消元法解為:＇);

disp(x1);

disp(＇所求解與精確解之差的無窮-范數(shù)為＇);

norm(x1-X,inf)

end

%列主元Gauss消元法

if

a==2

A2=A;b2=b;

for

k=1:n

[max_i,max_j]=find(A2(:,k)==max(abs(A2(k:n,k))));

if

max_i~=k

A2_change=A2(k,:);

A2(k,:)=A2(max_i,:);

A2(max_i,:)=A2_change;

b2_change=b2(k);

b2(k)=b2(max_i);

b2(max_i)=b2_change;

end

if

A2(k,k)==0

disp(＇主元為零，列主元Gauss消元法無法進(jìn)行＇);

break

end

fprintf(＇第%d次消元所選取的主元：%g＼n＇,k,A2(k,k))

%disp(＇此次消元后系數(shù)矩陣為：＇);

%A2

for

p=k+1:n

l=A2(p,k)/A2(k,k);

A2(p,k:n)=A2(p,k:n)-l*A2(k,k:n);

b2(p)=b2(p)-l*b2(k);

end

end

x2(n)=b2(n)/A2(n,n);

for

k=n-1:-1:1

for

w=k+1:n

b2(k)=b2(k)-A2(k,w)*x2(w);

end

x2(k)=b2(k)/A2(k,k);

end

disp(＇列主元Gauss消元法解為:＇);

disp(x2);

disp(＇所求解與精確解之差的無窮-范數(shù)為＇);

norm(x2-X,inf)

end

%完全選主元Gauss消元法

if

a==3

A3=A;b3=b;

for

k=1:n

VV=eye(n);

[max_i,max_j]=find(A3(k:n,k:n)==max(max(abs(A3(k:n,k:n)))));

if

numel(max_i)==0

[max_i,max_j]=find(A3(k:n,k:n)==-max(max(abs(A3(k:n,k:n)))));

end

W=eye(n);

W(max_i(1)+k-1,max_i(1)+k-1)=0;

W(k,k)=0;

W(max_i(1)+k-1,k)=1;

W(k,max_i(1)+k-1)=1;

V=eye(n);

V(k,k)=0;

V(max_j(1)+k-1,max_j(1)+k-1)=0;

V(k,max_j(1)+k-1)=1;

V(max_j(1)+k-1,k)=1;

A3=W*A3*V;

b3=W*b3;

VV=VV*V;

if

A3(k,k)==0

disp(＇主元為零，完全選主元Gauss消元法無法進(jìn)行＇);

break

end

fprintf(＇第%d次消元所選取的主元：%g＼n＇,k,A3(k,k))

%disp(＇此次消元后系數(shù)矩陣為：＇);

%A3

for

p=k+1:n

l=A3(p,k)/A3(k,k);

A3(p,k:n)=A3(p,k:n)-l*A3(k,k:n);

b3(p)=b3(p)-l*b3(k);

end

end

x3(n)=b3(n)/A3(n,n);

for

k=n-1:-1:1

for

w=k+1:n

b3(k)=b3(k)-A3(k,w)*x3(w);

end

x3(k)=b3(k)/A3(k,k);

end

disp(＇完全選主元Gauss消元法解為:＇);

disp(x3);

disp(＇所求解與精確解之差的無窮-范數(shù)為＇);

norm(x3-X,inf)

end

%模最小或近可能小的元素作為主元

if

a==4

A4=A;b4=b;

for

k=1:n

AA=A4;

AA(AA==0)=NaN;

[min_i,j]=find(AA(k:n,k)==min(abs(AA(k:n,k))));

if

numel(min_i)==0

[min_i,j]=find(AA(k:n,k)==-min(abs(AA(k:n,k:n))));

end

W=eye(n);

W(min_i(1)+k-1,min_i(1)+k-1)=0;

W(k,k)=0;

W(min_i(1)+k-1,k)=1;

W(k,min_i(1)+k-1)=1;

A4=W*A4;

b4=W*b4;

if

A4(k,k)==0

disp(＇主元為零，模最小Gauss消元法無法進(jìn)行＇);

break

end

fprintf(＇第%d次消元所選取的主元：%g＼n＇,k,A4(k,k))

%A4

for

p=k+1:n

l=A4(p,k)/A4(k,k);

A4(p,k:n)=A4(p,k:n)-l*A4(k,k:n);

b4(p)=b4(p)-l*b4(k);

end

end

x4(n)=b4(n)/A4(n,n);

for

k=n-1:-1:1

for

w=k+1:n

b4(k)=b4(k)-A4(k,w)*x4(w);

end

x4(k)=b4(k)/A4(k,k);

end

disp(＇模最小Gauss消元法解為:＇);

disp(x4);

disp(＇所求解與精確解之差的無窮-范數(shù)為＇);

norm(x4-X,inf)

end

二、實(shí)驗(yàn)3.3

題目：

考慮方程組的解，其中系數(shù)矩陣H為Hilbert矩陣：

這是一個(gè)著名的病態(tài)問題。通過首先給定解（例如取為各個(gè)分量均為1）再計(jì)算出右端的辦法給出確定的問題。

（1）選擇問題的維數(shù)為6，分別用Gauss消去法（即LU分解）、J迭代法、GS迭代法和SOR迭代法求解方程組，其各自的結(jié)果如何？將計(jì)算結(jié)果與問題的解比較，結(jié)論如何。

（2）逐步增大問題的維數(shù)，仍用上述的方法來解它們，計(jì)算的結(jié)果如何？計(jì)算的結(jié)果說明的什么？

（3）討論病態(tài)問題求解的算法。

1.

算法設(shè)計(jì)

對任意線性方程組，分析各種方法的計(jì)算公式如下，

（1）Gauss消去法：

首先對系數(shù)矩陣進(jìn)行LU分解，有，則原方程轉(zhuǎn)化為，令，則原方程可以分為兩步回代求解：

具體方法這里不再贅述。

（2）J迭代法：

首先分解，再構(gòu)造迭代矩陣，其中

，進(jìn)行迭代計(jì)算，直到誤差滿足要求。

（3）GS迭代法：

首先分解，再構(gòu)造迭代矩陣

，其中

，進(jìn)行迭代計(jì)算，直到誤差滿足要求。

（4）SOR迭代法：

首先分解，再構(gòu)造迭代矩陣

，其中，進(jìn)行迭代計(jì)算，直到誤差滿足要求。

2.

實(shí)驗(yàn)過程

一、根據(jù)維度n確定矩陣H的各個(gè)元素和b的各個(gè)分量值；

二、選擇計(jì)算方法（

Gauss消去法，J迭代法，GS迭代法，SOR迭代法），對迭代法設(shè)定初值，此外SOR方法還需要設(shè)定松弛因子；

三、進(jìn)行計(jì)算，直至滿足誤差要求（對迭代法，設(shè)定相鄰兩次迭代結(jié)果之差的無窮范數(shù)小于0.0001；

對SOR方法，設(shè)定為輸出迭代100次之后的結(jié)果及誤差值），輸出實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

3.

計(jì)算結(jié)果及分析

（1）時(shí)，問題可以具體定義為

計(jì)算結(jié)果如下，

Gauss消去法

第1次消元所選取的主元是：1

第2次消元所選取的主元是：0.0833333

第3次消元所選取的主元是：0.00555556

第4次消元所選取的主元是：0.000357143

第5次消元所選取的主元是：2.26757e-05

第6次消元所選取的主元是：1.43155e-06

解得X=(0.999999999999228

1.000000000021937

0.999999999851792

1.000000000385369

0.999999999574584

1.000000000167680)T

使用無窮范數(shù)衡量誤差，可得=4.254160357319847e-10；

J迭代法

設(shè)定迭代初值為零，計(jì)算得到

J法的迭代矩陣B的譜半徑為4.30853＞1，所以J法不收斂；

GS迭代法

設(shè)定迭代初值為零，計(jì)算得到GS法的迭代矩陣G的譜半徑為：0.999998＜1，故GS法收斂，經(jīng)過541次迭代計(jì)算后，結(jié)果為X=(1.001178105812706

0.999144082651860

0.968929093984902

1.047045569989162

1.027323158370281

0.954352032784608)T

使用無窮范數(shù)衡量誤差，有=0.047045569989162；

SOR迭代法

設(shè)定迭代初值為零向量，并設(shè)定，計(jì)算得到SOR法迭代矩陣譜半徑為0.999999433815223，經(jīng)過100次迭代后的計(jì)算結(jié)果為

X=(1.003380614145078

0.962420297458423

1.031857023134559

1.061814901289881

1.014037815827164

0.917673642493527)T；

使用無窮范數(shù)衡量誤差，有=0.082326357506473；

對SOR方法，可變，改變值，計(jì)算結(jié)果可以列表如下

迭代次數(shù)

100

100

100

100

迭代矩陣的譜半徑

0.999999433815223

0.999998867083155

0.999996830135013

0.999982309342386

X

1.003653917714694

0.974666041209353

1.011814573842440

1.042837929171827

1.017190220902681

0.945462001336268

1.014676015634604

0.896636864424096

1.090444578936265

1.107070542628148

1.006315452225331

0.873244842279255

1.028022215505147

0.790604920509843

1.267167365524072

1.061689730857891

0.990084054872602

0.846005956774467

1.051857392323966

0.653408758549156

1.486449891152510

0.783650360698119

1.349665420488270

0.664202350634588

0.054537998663732

0.126755157720745

0.267167365524072

0.486449891152510

可以發(fā)現(xiàn)，松弛因子的取值對迭代速度造成了不同的影響，上述四種方法中，松弛因子=0.5時(shí)，收斂相對較快。

綜上，四種算法的結(jié)果列表如下：

算法

Gauss消去法

Jacobi法

GS法

SOR法（取）

迭代次數(shù)

--

不收斂

541

100

迭代矩陣的譜半徑

--

4.30853

0.999998

0.999999433815223

X

0.999999999999228

1.000000000021937

0.999999999851792

1.000000000385369

0.999999999574584

1.000000000167680

--

1.001178105812706

0.999144082651860

0.968929093984902

1.047045569989162

1.027323158370281

0.954352032784608

1.003380614145078

0.962420297458423

1.031857023134559

1.061814901289881

1.014037815827164

0.917673642493527

4.254160357319847e-10

--

0.047045569989162

0.082326357506473

計(jì)算可得，矩陣H的條件數(shù)為>>1，所以這是一個(gè)病態(tài)問題。由上表可以看出，四種方法的求解都存在一定的誤差。下面分析誤差的來源：

LU分解方法的誤差存在主要是由于Hilbert矩陣各元素由分?jǐn)?shù)形式轉(zhuǎn)換為小數(shù)形式時(shí)，不能除盡情況下會出現(xiàn)舍入誤差，在進(jìn)行LU分解時(shí)也存在這個(gè)問題，所以最后得到的結(jié)果不是方程的精確解

，但結(jié)果顯示該方法的誤差非常小；

Jacobi迭代矩陣的譜半徑為4.30853，故此迭代法不收斂；

GS迭代法在迭代次數(shù)為541次時(shí)得到了方程的近似解，其誤差約為0.05

，比較大。GS迭代矩陣的譜半徑為0.999998，很接近1，所以GS迭代法收斂速度較慢；

SOR迭代法在迭代次數(shù)為100次時(shí)誤差約為0.08，誤差較大。SOR迭代矩陣的譜半徑為0.999999，也很接近1，所以時(shí)SOR迭代法收斂速度不是很快，但是相比于GS法，在迭代速度方面已經(jīng)有了明顯的提高；另外，對不同的，SOR方法的迭代速度會相應(yīng)有變化，如果選用最佳松弛因子，可以實(shí)現(xiàn)更快的收斂；

（2）

考慮不同維度的情況，時(shí)，

算法

Gauss消去

J法

GS法

SOR法（w=0.5）

計(jì)算結(jié)果

0.999999999966269

1.000000001809060

0.999999976372676

1.000000127868103

0.999999655764116

1.000000487042164

0.999999653427125

1.000000097774747

--

0.997829221945349

1.037526203106839

0.896973261976015

1.020345136375036

1.069071166932576

1.051179995036612

0.996814757185364

0.926343237325536

1.012938972275634

0.939713836855171

0.988261805073081

1.064637090535154

1.083633345093974

1.045060177115514

0.970603024778469

0.880212649657655

迭代次數(shù)

--

--

356

100

譜半徑

--

6.04213

1

0.999999999208776

--

時(shí)，

算法

Gauss消去法

Jacobi法

GS法

SOR法（w=0.5）

計(jì)算結(jié)果

0.999999994751197

1.000000546746354

0.999985868343700

1.000157549468631

0.999063537004329

1.003286333127805

0.992855789229370

1.009726486881556

0.991930155925812

1.003729850349020

0.999263885025643

--

0.997442073306751

1.019069909358409

0.992278247786739

0.956441858313237

0.986420333361353

1.021301611956591

1.038701026806608

1.035942773498533

1.016693763149422

0.985716454946250

0.947181287500697

1.015776039786572

0.966429147064483

0.928674868157910

0.996931548482727

1.066737803913537

1.097792430596468

1.088030440855069

1.048110620811192

0.989919418572424

0.922840813704142

0.853252417221922

迭代次數(shù)

--

--

1019

100

譜半徑

--

8.64964

1

0.999999999999966

--

時(shí)

算法

Gauss消去法

Jacobi法

GS法

SOR法（w=0.5）

計(jì)算結(jié)果

0.999999968723799

1.000002417094896

0.999994922439769

0.998640261957706

1.025668111139297

0.781933485305194

2.066840925345890

-2.279036697492128

7.532393125791018

-7.355047567109081

7.380667063930484

-1.129041418095142

0.425748747257065

1.733284233971601

0.817952344733362

--

不收斂

1.004385740641590

1.046346067877554

0.907178347707729

0.905763455949053

0.972521802788457

1.043731445367903

1.091535169448764

1.110090020703944

1.103129684679768

1.077168651146056

1.038514736265176

0.992259990832041

0.942151390478003

0.890785366684065

0.839876442493220

迭代次數(shù)

--

--

262

100

譜半徑

--

6.04213

＞1

1.000000000000000

8.355047567109082

--

--

0.160123557506780

分析以上結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，隨著n值的增加，Gauss消去法誤差逐漸增大，而且誤差增大的速度很快，在維數(shù)小于等于10情況下，Gauss消去法得到的結(jié)果誤差較小；但當(dāng)維數(shù)達(dá)到15時(shí)，計(jì)算結(jié)果誤差已經(jīng)達(dá)到精確解的很多倍；

J法迭代不收斂，無論n如何取值，其譜半徑始終大于1，因而J法不收斂，所以J迭代法不能用于Hilbert矩陣的求解；

對于GS迭代法和SOR迭代法，兩種方法均收斂，GS迭代法是SOR迭代法松弛因子取值為1的特例，SOR方法受到取值的影響，會有不同的收斂情況?？梢缘贸鯣S迭代矩陣的譜半徑小于1但是很接近1，收斂速度很慢。雖然隨著維數(shù)的增大，所需迭代的次數(shù)逐漸減少，但是當(dāng)維數(shù)達(dá)到15的時(shí)候，GS法已經(jīng)不再收斂。因此可以得出結(jié)論，GS迭代方法在Hilbert矩陣維數(shù)較低時(shí)，能夠在一定程度上滿足迭代求解的需求，不過迭代的速度很慢。另外，隨著矩陣維數(shù)的增加，

SOR法的誤差水平基本穩(wěn)定，而且誤差在可以接受的范圍之內(nèi)。

經(jīng)過比較可以得出結(jié)論，如果求解較低維度的Hibert矩陣問題，Gauss消去法、GS迭代法和SOR迭代法均可使用，且Gauss消去法的結(jié)果精確度較高；如果需要求解較高維度的Hibert矩陣問題，只有采用SOR迭代法。

（3）

系數(shù)矩陣的條件數(shù)較大時(shí)，為病態(tài)方程。由實(shí)驗(yàn)可知，Gauss法在解上述方程時(shí)，結(jié)果存在很大的誤差。而對于收斂的迭代法，可以通過選取最優(yōu)松弛因子的方法來求解，雖然迭代次數(shù)相對較多，但是結(jié)果較為精確。

總體來看，對于一般病態(tài)方程組的求解，可以采用以下方式：

1.

低維度下采用Gauss消去法直接求解是可行的；

Jacobi迭代方法不適宜于求解病態(tài)問題；

GS迭代方法可以解決維數(shù)較低的病態(tài)問題，但其譜半徑非常趨近于1，導(dǎo)致迭代算法收斂速度很慢，維數(shù)較大的時(shí)候，GS法也不再收斂；

SOR方法較適合于求解病態(tài)問題，特別是矩陣維數(shù)較高的時(shí)候，其優(yōu)勢更為明顯。

2.

采用高精度的運(yùn)算，如選用雙倍或更多倍字長的運(yùn)算，可以提高收斂速度；

3.

可以對原方程組作某些預(yù)處理，從而有效降低系數(shù)矩陣的條件數(shù)。

4.

實(shí)驗(yàn)結(jié)論

（1）對Hibert矩陣問題，其條件數(shù)會隨著維度的增加迅速增加，病態(tài)性會越來越明顯；在維度較低的時(shí)候，Gauss消去法、GS迭代法和SOR迭代法均可使用，且可以優(yōu)先使用Gauss消去法；如果需要求解較高維度的Hibert矩陣問題，只有SOR迭代法能夠求解。

（2）SOR方法比較適合于求解病態(tài)問題，特別是矩陣維數(shù)較高的時(shí)候，其優(yōu)點(diǎn)更為明顯。從本次實(shí)驗(yàn)可以看出，隨著矩陣維數(shù)的增大，SOR方法所需的迭代次數(shù)減少，而且誤差基本穩(wěn)定，是解決病態(tài)問題的適宜方法。

附錄：程序代碼

clear

all

clc;

format

long;

%矩陣賦值

n=input(＇矩陣H的階數(shù):n=＇);

for

i=1:n

for

j=1:n

H(i,j)=1/(i+j-1);

end

end

b=H*ones(n,1);

disp(＇H矩陣為：＇);

H

disp(＇向量b：＇);

b

%方法選擇

disp(＇選取求解方式＇);

disp(＇1

Gauss消去法，2

J迭代法，3

GS迭代法，4

SOR迭代法＇);

a=input(＇求解方式序號：＇);

%Gauss消去法

if

a==1;

H1=H;b1=b;

for

k=1:n

if

H1(k,k)==0

disp(＇主元為零，Gauss消去法無法進(jìn)行＇);

break

end

fprintf(＇第%d次消元所選取的主元是：%g＼n＇,k,H1(k,k))

for

p=k+1:n

m5=-H1(p,k)/H1(k,k);

H1(p,k:n)=H1(p,k:n)+m5*H1(k,k:n);

b1(p)=b1(p)+m5*b1(k);

end

end

x1(n)=b1(n)/H1(n,n);

for

k=n-1:-1:1

for

v=k+1:n

b1(k)=b1(k)-H1(k,v)*x1(v);

end

x1(k)=b1(k)/H1(k,k);

end

disp(＇Gauss消去法解為:＇);

disp(x1);

disp(＇解與精確解之差的無窮范數(shù)＇);

norm((x1-a),inf)

end

D=diag(diag(H));

L=-tril(H,-1);

U=-triu(H,1);

%J迭代法

if

a==2;

%給定初始x0

ini=input(＇初始值設(shè)定:x0=＇);

x0(:,1)=ini*diag(ones(n));

disp(＇初始解向量為:＇);

x0

xj(:,1)=x0(:,1);

B=(D^(-1))*(L+U);

f=(D^(-1))*b;

fprintf(＇(J法B矩陣譜半徑為：%g＼n＇,vrho(B));

if

vrho(B)

for

m2=1:5000

xj(:,m2+1)=B*xj(:,m2)+fj;

if

norm((xj(:,m2+1)-xj(:,m2)),inf)

break

end

end

disp(＇J法計(jì)算結(jié)果為:＇);

xj(:,m2+1)

disp(＇解與精確解之差的無窮范數(shù)＇);

norm((xj(:,m2+1)-diag(ones(n))),inf)

disp(＇J迭代法迭代次數(shù):＇);

m2

else

disp(＇由于B矩陣譜半徑大于1，因而J法不收斂＇);

end

end

%GS迭代法

if

a==3;

%給定初始x0

ini=input(＇初始值設(shè)定:x0=＇);

x0(:,1)=ini*diag(ones(n));

disp(＇初始解向量為:＇);

x0

xG(:,1)=x0(:,1);

G=inv(D-L)*U;

fG=inv(D-L)*b;

fprintf(＇GS法G矩陣譜半徑為：%g＼n＇,vrho(G));

if

vrho(G)

for

m3=1:5000

xG(:,m3+1)=G*xG(:,m3)+fG;

if

norm((xG(:,m3+1)-xG(:,m3)),inf)

break;

end

end

disp(＇GS迭代法計(jì)算結(jié)果:＇);

xG(:,m3+1)

disp(＇解與精確解之差的無窮范數(shù)＇);

norm((xG(:,m3+1)-diag(ones(n))),inf)

disp(＇GS迭代法迭代次數(shù):＇);

m3

else

disp(＇由于G矩陣譜半徑大于1，因而GS法不收斂＇);

end

end

%SOR迭代法

if

a==4;

%給定初始x0

ini=input(＇初始值設(shè)定:x0=＇);

x0(:,1)=ini*diag(ones(n));

disp(＇初始解向量為:＇);

x0

A=H;

for

i=1:n

b(i)=sum(A(i,:));

end

x_star=ones(n,1);

format

long

w=input(＇松弛因子:w=＇);

Lw=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U);

f=w*inv(D-w*L)*b;

disp(＇迭代矩陣的譜半徑：＇)

p=vrho(Lw)

time_max=100;%迭代次數(shù)

x=zeros(n,1);%迭代初值

for

i=1:time_max

x=Lw*x+f;

end

disp(＇SOR迭代法得到的解為＇);

x

disp(＇解與精確解之差的無窮范數(shù)＇);

norm((x_star-x),inf)

end

pause

三、實(shí)驗(yàn)4.1

題目：

對牛頓法和擬牛頓法。進(jìn)行非線性方程組的數(shù)值求解

（1）用上述兩種方法，分別計(jì)算下面的兩個(gè)例子。在達(dá)到精度相同的前提下，比較其迭代次數(shù)、CPU時(shí)間等。

（2）取其他初值，結(jié)果又如何？反復(fù)選取不同的初值，比較其結(jié)果。

（3）總結(jié)歸納你的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，試說明各種方法適用的問題。

1.

算法設(shè)計(jì)

對需要求解的非線性方程組而言，牛頓法和擬牛頓法的迭代公式如下，

（1）牛頓法：

牛頓法為單步迭代法，需要取一個(gè)初值。

（2）擬牛頓法：（Broyden秩1法）

其中，

擬牛頓法不需要求解的導(dǎo)數(shù)，因此節(jié)省了大量的運(yùn)算時(shí)間，但需要給定矩陣的初值，取為。

2.

實(shí)驗(yàn)過程

一、輸入初值；

二、根據(jù)誤差要求，按公式進(jìn)行迭代計(jì)算；

三、輸出數(shù)據(jù)；

3.

計(jì)算結(jié)果及分析

（1）首先求解方程組（1），在這里，設(shè)定精度要求為，

方法

牛頓法

擬牛頓法

初始值

計(jì)算結(jié)果X

x1

0.905539609855914

0.905539493347151

x2

1.085219168370031

1.085218882394940

x3

0.672193668718306

0.672193293825304

迭代次數(shù)

3

13

CPU計(jì)算時(shí)間/s

3.777815

2.739349

可以看出，在初始值相同情況下，牛頓法和擬牛頓法在達(dá)到同樣計(jì)算精度情況下得到的結(jié)果基本相同，但牛頓法的迭代次數(shù)明顯要少一些，但是，由于每次迭代都需要求解矩陣的逆，所以牛頓法每次迭代的CPU計(jì)算時(shí)間更長。

之后求解方程組（2），同樣設(shè)定精度要求為

方法

牛頓法

擬牛頓法

初始值

計(jì)算結(jié)果X

x1

0.500000000009699

0.499999994673600

x2

0.000000001063428

0.000000572701856

x3

-0.523598775570483

-0.523598762908871

迭代次數(shù)

4

12

CPU計(jì)算時(shí)間/s

2.722437

3.920195

同樣地，可以看出，在初始值相同情況下，牛頓法和擬牛頓法在達(dá)到同樣計(jì)算精度情況下得到的結(jié)果是基本相同的，但牛頓法的迭代次數(shù)明顯要少，但同樣的，由于每次迭代中有求解矩陣的逆的運(yùn)算，牛頓法每次迭代的CPU計(jì)算時(shí)間較長。

（2）對方程組（1），取其他初值，計(jì)算結(jié)果列表如下，同樣設(shè)定精度要求為

初始值

方法

牛頓法

擬牛頓法

計(jì)算結(jié)果

0.905539609855914

1.085219168370031

0.672193668718305

9.211852562357894

-5.574005400255346

18.118173639381205

迭代次數(shù)

4

58

CPU計(jì)算時(shí)間/s

3.907164

4.818019

計(jì)算結(jié)果

0.905539609855914

1.085219168370031

0.672193668718305

9.211849682114591

-5.573999165383549

18.118182491302807

迭代次數(shù)

4

2735

CPU計(jì)算時(shí)間/s

8.127286

5.626023

計(jì)算結(jié)果

0.905539609855914

1.085219168370031

0.672193668718306

0.905539493347151

1.085218882394940

0.672193293825304

迭代次數(shù)

3

13

CPU計(jì)算時(shí)間/s

3.777815

2.739349

計(jì)算結(jié)果

0.905539609855914

1.085219168370031

0.672193668718306

0.905548384395773

1.085220084502458

0.672219278250136

迭代次數(shù)

4

188

CPU計(jì)算時(shí)間/s

3.835697

2.879070

計(jì)算結(jié)果

9.211852448563722

-5.574005155684773

18.118173976918605

Matlab警告矩陣接近奇異值，程序進(jìn)入長期循環(huán)計(jì)算中

迭代次數(shù)

19

--

CPU計(jì)算時(shí)間/s

4.033868

--

計(jì)算結(jié)果

0.905539609857335

1.085219168371536

0.672193668734922

Matlab警告矩陣接近奇異值，程序進(jìn)入長期循環(huán)計(jì)算中

迭代次數(shù)

13

--

CPU計(jì)算時(shí)間/s

12.243263

--

從上表可以發(fā)現(xiàn)，方程組（1）存在另一個(gè)在(9.2,

-5.6,

18.1)T附近的不動(dòng)點(diǎn)，初值的選取會直接影響到牛頓法和擬牛頓法最后的收斂點(diǎn)。

總的來說，設(shè)定的初值離不動(dòng)點(diǎn)越遠(yuǎn)，需要的迭代次數(shù)越多，因而初始值的選取非常重要，合適的初值可以更快地收斂，如果初始值偏離精確解較遠(yuǎn)，會出現(xiàn)迭代次數(shù)增加直至無法收斂的情況；

由于擬牛頓法是一種近似方法，擬牛頓法需要的的迭代次數(shù)明顯更多，而且收斂情況不如牛頓法好（初值不夠接近時(shí)，甚至?xí)霈F(xiàn)奇異矩陣的情況），但由于牛頓法的求解比較復(fù)雜，計(jì)算時(shí)間較長；

同樣的，對方程組（2），取其他初值，計(jì)算結(jié)果列表如下，同樣設(shè)定精度要求為

初始值

方法

牛頓法

擬牛頓法

計(jì)算結(jié)果

0.500000000009699

0.000000001063428

-0.523598775570483

0.499999994673600

0.000000572701856

-0.523598762908871

迭代次數(shù)

4

12

CPU計(jì)算時(shí)間/s

2.722437

3.920195

計(jì)算結(jié)果

0.500000000011085

0.000000001215427

-0.523598775566507

0.331099293590753

-0.260080189442266

76.532092226437129

迭代次數(shù)

5

57

CPU計(jì)算時(shí)間/s

5.047111

5.619752

計(jì)算結(jié)果

0.500000000000916

0.000000000100410

-0.523598775595672

1.0e+02

*

-0.001221250784775

-0.000149282572886

1.754185881622843

迭代次數(shù)

6

62

CPU計(jì)算時(shí)間/s

3.540668

3.387829

計(jì)算結(jié)果

0.500000000000152

0.000000000016711

-0.523598775597862

1.0e+04

*

0.000026556790770

-0.000020396841295

1.280853105748650

迭代次數(shù)

7

55

CPU計(jì)算時(shí)間/s

2.200571

2.640901

計(jì)算結(jié)果

0.500000000000005

0.000000000000503

-0.523598775598286

矩陣為奇異值，無法輸出準(zhǔn)確結(jié)果

迭代次數(shù)

8

--

CPU計(jì)算時(shí)間/s

1.719072

--

計(jì)算結(jié)果

0.500000000002022

0.000000000221686

-0.523598775592500

矩陣為奇異值，無法輸出準(zhǔn)確結(jié)果

迭代次數(shù)

149

--

CPU計(jì)算時(shí)間/s

2.797116

--

計(jì)算結(jié)果

矩陣為奇異值，無法輸出準(zhǔn)確結(jié)果

矩陣為奇異值，無法輸出準(zhǔn)確結(jié)果

迭代次數(shù)

--

--

CPU計(jì)算時(shí)間/s

--

--

在這里，與前文類似的發(fā)現(xiàn)不再贅述。

從這里看出，牛頓法可以在更大的區(qū)間上實(shí)現(xiàn)壓縮映射原理，可以在更大的范圍上選取初值并最終收斂到精確解附近；

在初始值較接近于不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，牛頓法和擬牛頓法計(jì)算所得到的結(jié)果是基本相同的，雖然迭代次數(shù)有所差別，但計(jì)算總的所需時(shí)間相近。

（3）

牛頓法在迭代過程中用到了矩陣的求逆，其迭代收斂的充分條件是迭代滿足區(qū)間上的映內(nèi)性，對于矩陣的求逆過程比較簡單，所以在較大區(qū)間內(nèi)滿足映內(nèi)性的問題適合應(yīng)用牛頓法進(jìn)行計(jì)算。一般而言，對于函數(shù)單調(diào)或者具有單值特性的函數(shù)適合應(yīng)用牛頓法，其對初始值敏感程度較低，算法具有很好的收斂性。

另外，需要說明的是，每次計(jì)算給出的CPU時(shí)間與計(jì)算機(jī)當(dāng)時(shí)的運(yùn)行狀態(tài)有關(guān)，同時(shí)，不同代碼的運(yùn)行時(shí)間也不一定一致，所以這個(gè)數(shù)據(jù)并不具有很大的參考價(jià)值。

4.

實(shí)驗(yàn)結(jié)論

對牛頓法和擬牛頓法，都存在初始值越接近精確解，所需的迭代次數(shù)越小的現(xiàn)象；

在應(yīng)用上，牛頓法和擬牛頓法各有優(yōu)勢。就迭代次數(shù)來說，牛頓法由于更加精確，所需的迭代次數(shù)更少；但就單次迭代來說，牛頓法由于計(jì)算步驟更多，且計(jì)算更加復(fù)雜，因而每次迭代所需的時(shí)間更長，而擬牛頓法由于采用了簡化的近似公式，其每次迭代更加迅速。當(dāng)非線性方程組求逆過程比較簡單時(shí)，如方程組1的情況時(shí)，擬牛頓法不具有明顯的優(yōu)勢；而當(dāng)非線性方程組求逆過程比較復(fù)雜時(shí)，如方程組2的情況，擬牛頓法就可以體現(xiàn)出優(yōu)勢，雖然循環(huán)次數(shù)有所增加，但是CPU耗時(shí)反而更少。

另外，就方程組壓縮映射區(qū)間來說，一般而言，對于在區(qū)間內(nèi)函數(shù)呈現(xiàn)單調(diào)或者具有單值特性的函數(shù)適合應(yīng)用牛頓法，其對初始值敏感程度較低，使算法具有很好的收斂性；而擬牛頓法由于不需要在迭代過程中對矩陣求逆，而是利用差商替代了對矩陣的求導(dǎo)，所以即使初始誤差較大時(shí)，其倒數(shù)矩陣與差商偏差也較小，所以對初始值的敏感程度較小。

附錄：程序代碼

%方程1，牛頓法

tic;

format

long;

%%初值

disp(＇請輸入初值＇);

a=input(＇第1個(gè)分量為：＇);

b=input(＇第2個(gè)分量為：＇);

c=input(＇第3個(gè)分量為：＇);

disp(＇所選定初值為＇);

x=[a;b;c]

%%誤差要求

E=0.0001;

%%迭代

i=0;

e=2*E;

while

e>E

F=[12*x(1)-x(2)^2-4*x(3)-7;x(1)^2+10*x(2)-x(3)-11;x(2)^3+10*x(3)-8];

f=[12,-2*x(2),-4;2*x(1),10,-1;0,3*x(2)^2,10];

det_x=((f)^(-1))*(-F);

x=x+det_x;

e=max(norm(det_x));

i=i+1;

end

disp(＇迭代次數(shù)＇);

i

disp(＇迭代次數(shù)＇);

x

toc;

%方程1，擬牛頓法

tic;

format

long;

%%初值

%%初值

disp(＇請輸入初值＇);

a=input(＇第1個(gè)分量為：＇);

b=input(＇第2個(gè)分量為：＇);

c=input(＇第3個(gè)分量為：＇);

disp(＇所選定初值為＇);

x0=[a;b;c]

%%誤差要求

E=0.0001;

%%迭代

i=0;

e=2*E;

A0=eye(3);

while

e>E

F0=[12*x0(1)-x0(2)^2-4*x0(3)-7;x0(1)^2+10*x0(2)-x0(3)-11;x0(2)^3+10*x0(3)-8];

x1=x0-A0^(-1)*F0;

s=x1-x0;

F1=[12*x1(1)-x1(2)^2-4*x1(3)-7;x1(1)^2+10*x1(2)-x1(3)-11;x1(2)^3+10*x1(3)-8];

y=F1-F0;

A1=A0+(y-A0*s)*s＇/(s＇*s);

x0=x1;

A0=A1;

e=max(norm(s));

i=i+1;

end

disp(＇迭代次數(shù)＇);

i

disp(＇迭代次數(shù)＇);

x0

toc;

%方程2，牛頓法

tic;

format

long;

%%初值

disp(＇請輸入初值＇);

a=input(＇第1個(gè)分量為：＇);

b=input(＇第2個(gè)分量為：＇);

c=input(＇第3個(gè)分量為：＇);

disp(＇所選定初值為＇);

x=[a;b;c]

%%誤差要求

E=0.0001;

%%迭代

i=0;

e=2*E;

while

e>E

F=[3*x(1)-cos(x(2)*x(3))-0.5;x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06;exp(1)^(-x(1)*x(2))+20*x(3)+(10*pi-3)/3];

f=[3,x(3)*sin(x(2)*x(3)),x(2)*sin(x(2)*x(3));2*x(1),-162*x(2)-81/5,cos(x(3));-x(2)*exp(1)^(-x(1)*x(2)),-x(1)*exp(1)^(-x(1)*x(2)),20];

det_x=((f)^(-1))*(-F);

x=x+det_x;

e=max(norm(det_x));

i=i+1;

end

disp(＇迭代次數(shù)＇);

i

disp(＇迭代次數(shù)＇);

x

toc;

%方程2，擬牛頓法

tic;

format

long;

%%初值

%%初值

disp(＇請輸入初值＇);

a=input(＇第1個(gè)分量為：＇);

b=input(＇第2個(gè)分量為：＇);

c=input(＇第3個(gè)分量為：＇);

disp(＇所選定初值為＇);

x0=[a;b;c]

%%誤差要求

E=0.0001;

%%迭代

i=0;

e=2*E;

A0=eye(3);

while

e>E

F0=[3*x0(1)-cos(x0(2)*x0(3))-0.5;x0(1)^2-81*(x0(2)+0.1)^2+sin(x0(3))+1.06;exp(1)^(-x0(1)*x0(2))+20*x0(3)+(10*pi-3)/3];

x1=x0-A0^(-1)*F0;

s=x1-x0;

F1=[3*x1(1)-cos(x1(2)*x1(3))-0.5;x1(1)^2-81*(x1(2)+0.1)^2+sin(x1(3))+1.06;exp(1)^(-x1(1)*x1(2))+20*x1(3)+(10*pi-3)/3];

y=F1-F0;

A1=A0+(y-A0*s)*s＇/(s＇*s);

x0=x1;

A0=A1;

e=max(norm(s));

i=i+1;

end

disp(＇迭代次數(shù)＇);

i

disp(＇迭代次數(shù)＇);

篇9

關(guān)鍵詞：教學(xué)輔助；非線性方程求根；用戶圖形界面

中圖分類號：TP319文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1009-3044(2012)13-3140-03

The Application of MATLAB GUI in Numerical Analysis Course Teaching

CHEN Li-hong, ZHOU Zhi-gang

(Department of Mathematics and Computer College, Wuhan Textile University, Wuhan 430073, China)

Abstract：According to the difficult in numerical analysis course teaching, it is discussed that the MATLAB GUI(Graphical User Interfaces，GUI) application in numerical analysis course teaching with solving nonlinear equations as example. the view is proposed that designing MATLAB GUI for numerical analysis will fully arouse teachers and students both aspects of the enthusiasm to improve quality of numerical analysis course combined with MATLAB GUI function.

Key words：auxiliary teaching；solving nonlinear equations；MATLAB GUI

《數(shù)值分析》是理工科院校數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)等專業(yè)的教材，它在專業(yè)課程體系中占有重要地位。該課程的主要任務(wù)是研究用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其理論，它的內(nèi)容包括函數(shù)的數(shù)值逼近、數(shù)值微分與數(shù)值積分、非線性方程數(shù)值解、數(shù)值線性代數(shù)、微分方程數(shù)值解等,這些均與計(jì)算機(jī)緊密結(jié)合在一起。如果采用傳統(tǒng)的教學(xué)方式，一方面需要花大量的時(shí)間在黑板上繪圖和計(jì)算，在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)無法進(jìn)行內(nèi)容的擴(kuò)展；另一方面學(xué)生理解和接授知識時(shí)感覺枯燥、難度大。MATLAB軟件的推出為該門課的教學(xué)提供了有利工具，利用MATLAB強(qiáng)大的繪圖及仿真功能，可以將抽象的內(nèi)容以形象的圖形表示出來，既可演示復(fù)雜系統(tǒng)的未知結(jié)果，又可改變系統(tǒng)參數(shù)，演示系統(tǒng)隨參數(shù)變化的變化結(jié)果或變化趨勢，有助于學(xué)生對抽象理論的理解。然而在課堂上應(yīng)用MATLAB演示所講授內(nèi)容，需要臨時(shí)編程，這對于有限的課堂時(shí)間多有不便，而且界面也不直觀，若能將MATLAB的可開發(fā)的GUI功能結(jié)合數(shù)值計(jì)算中的典型算法構(gòu)造開放式的用戶界面，既可充分發(fā)揮MATLAB的強(qiáng)大的計(jì)算功能，又可避免記憶繁瑣的命令，不僅方便老師在課堂直觀演示，而且便于學(xué)生課下自己設(shè)計(jì)系統(tǒng)，添加代碼實(shí)現(xiàn)更多的演示功能，將會充分調(diào)動(dòng)教師和學(xué)生兩方面的積極性，全面提高課程的教學(xué)質(zhì)量。

1圖形用戶界面設(shè)計(jì)簡介

圖形用戶界面是由窗口、光標(biāo)、按鍵、菜單、文字說明等對象（Objects）構(gòu)成的一個(gè)用戶界面，用戶通過一定的方法（如鼠標(biāo)或鍵盤）選擇激活這些圖形對象，使計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某種動(dòng)作或變化，如實(shí)現(xiàn)計(jì)算或繪圖等。MATLAB的GUI編程可以用兩種方式實(shí)現(xiàn)。一是GUI設(shè)計(jì)工具GUIDE，它的優(yōu)點(diǎn)是非常容易入手，風(fēng)格很像VB，相關(guān)控件可以隨意拖動(dòng)，GUI設(shè)計(jì)簡單、省時(shí)，但GUIDE的一個(gè)嚴(yán)重缺點(diǎn)是無法直接創(chuàng)建核心對象；二是利用M函數(shù)構(gòu)建GUI，即M文件界面設(shè)計(jì)，這種方法需要解決數(shù)據(jù)傳遞問題，如何正確實(shí)現(xiàn)回調(diào)函數(shù)中用戶菜單或控件的句柄傳送是M文件成功創(chuàng)建GUI的關(guān)鍵。事實(shí)上，不管采用哪種設(shè)計(jì)方法，事先都要分析界面所要求實(shí)現(xiàn)的主要功能，明確設(shè)計(jì)任務(wù)，并站在使用者的角度審查界面功能及界面的控件布局，然后進(jìn)行代碼編寫，對功能進(jìn)行逐項(xiàng)檢查，調(diào)整完善界面功能。圖形用戶界面設(shè)計(jì)的一個(gè)基本原則要求具有簡單性，即設(shè)計(jì)界面時(shí)應(yīng)力求簡潔、清晰地體現(xiàn)出界面的功能和特征，為此要盡量使用用戶所熟悉的標(biāo)志和符號，盡量刪去可有可無的功能，盡量多采用圖形結(jié)果，盡量減少窗口數(shù)目，力避在不同窗口之間進(jìn)行來回切換。

2實(shí)例仿真及分析

非線性方程的迭代解法求根是數(shù)值分析課程的一個(gè)重要內(nèi)容，初始迭代點(diǎn)及迭代函數(shù)的正確選取是求根的關(guān)鍵，為了使學(xué)生對迭代法求根有清醒的認(rèn)識，下面以非線性方程迭代法求根的GUI實(shí)現(xiàn)說明MATLAB GUI對數(shù)值分析課程的輔助教學(xué)功能。

不動(dòng)點(diǎn)迭代法求根中需要選取迭代公式，確定迭代初始點(diǎn)、精度，不動(dòng)點(diǎn)迭代法求根的界面如圖1。圖1不動(dòng)點(diǎn)迭代法求根的GUI界面

界面中設(shè)置了五個(gè)edit控件，分別用于輸入方程f(x)、迭代公式、迭代初始點(diǎn)x0、精度tol和最大迭代次數(shù)；四個(gè)Push Button控件，分別用于繪圖、求解、重設(shè)參數(shù)和退出界面；一個(gè)axes控件，用于顯示函數(shù)f(x)的圖像；為體現(xiàn)設(shè)計(jì)的簡潔性，界面中只設(shè)置一個(gè)List? box控件，所有的結(jié)果都將在Listbox控件中顯示，這樣設(shè)計(jì)使界面更加合理化。系統(tǒng)能輸入任意的方程，通過huatu_pushbutton3控件得到其圖像，很容易判斷該方程在零點(diǎn)的大致位置，即迭代初始點(diǎn)x0。輸入方程后，單擊畫圖控件，可以得到函數(shù)f(x)的圖像，并顯示在界面中。用編制好的GUI演示求解程f(x)=x3-x-1=0在x0=1.5附近的根x*，并用兩種迭代公式求根，迭代公式分別為x= 3，初始點(diǎn)x0=1.5，精度tol=0.000001,最大迭代次數(shù)N=20，左鍵單擊不動(dòng)點(diǎn)求解控件，得到求根運(yùn)行界面，如圖2。在運(yùn)行界面中得到運(yùn)行結(jié)果，并且在函數(shù)圖像中標(biāo)出了通過運(yùn)行得到的方程的根。

選取迭代公式x=x3-1，初始點(diǎn)x0=1.5，精度tol=0.000001,最大迭代次數(shù)N=50的運(yùn)行界面，左鍵單擊不動(dòng)點(diǎn)求解控件，得到如圖3的求根界面。圖2,圖3分別為同一方程取不同迭代函數(shù)求根的運(yùn)行界面，由此可以讓學(xué)生直觀的看出不動(dòng)點(diǎn)迭代法求根在選取不同迭代函數(shù)時(shí)，得到的收斂效果不同，直觀的體現(xiàn)了迭代函數(shù)的重要性。

用Newton法來求方程f(x)=x3-x-1=0在x0=1.5附近的根，精度tol=0.000001,最大迭代次數(shù)N=20。編制的GUI演示結(jié)果可以讓學(xué)生感受到Newton法求根的收斂速度比不動(dòng)點(diǎn)迭代法求根的收斂速度快。

學(xué)生通過以上非線性方程求根的GUI，很容易體會到不動(dòng)點(diǎn)迭代求根選取迭代函數(shù)的重要性及不動(dòng)點(diǎn)迭代與Newton法求方程根的區(qū)別。同時(shí)設(shè)計(jì)的GUI具有開放性，可以讓學(xué)生課后添加控件與代碼，實(shí)現(xiàn)GUI更多的功能，這樣不僅能夠提高學(xué)生對數(shù)值算法的理解，而且極大提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)值分析課程的興趣及編程解決實(shí)際問題的能力。

3結(jié)束語

將MATLAB GUI與數(shù)值分析課程結(jié)合起來,教師可以現(xiàn)場演示數(shù)值方法，開闊了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)值分析課程的思路。若針對數(shù)值分析課程的所有教學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容編制一個(gè)輔助教學(xué)仿真軟件，這對于數(shù)值分析課程的可視化教學(xué)、學(xué)生的數(shù)值實(shí)驗(yàn)更有意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]張志涌.精通MATLAB [M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2000.

[2]陳垚光,王正林,毛濤濤.精通MATLAB GUI設(shè)計(jì)[M].北京:電子工業(yè)出版社,2008.

[3]尚濤,石端偉,安寧,等.工程計(jì)算可視化與MATLAB實(shí)現(xiàn)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2002.

篇10

關(guān)鍵詞: 改善; 模擬；氣流組織; 分析; 比較;

中圖分類號： F407.474文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

1 機(jī)艙物理模型

機(jī)艙內(nèi)設(shè)備及管線眾多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，建立模型時(shí)必須進(jìn)行簡化來使模型適合數(shù)值模擬計(jì)算，模型簡化的基本原則是: 對空間氣流場產(chǎn)生作用較小且溫度影響不大的設(shè)備管線進(jìn)行移除; 對結(jié)構(gòu)形狀復(fù)雜，簡化后對模擬結(jié)果影響較小的設(shè)備規(guī)則化; 對厚度邊界做無厚度壁面處理; 忽略風(fēng)管，在風(fēng)口段用立方體代替，底面為風(fēng)口;抽風(fēng)圍阱對流場影響小，以風(fēng)口面代替等;該船舶機(jī)艙模型空間大小為: 長 21m，寬 13m，高 10m，主要設(shè)備有汽輪機(jī)、鍋爐、渦輪增壓機(jī)組、高溫除氧器、等離子過濾器、部分煙氣管道等；該艙底層為鋪板層，沿高度方向分別為第 1、2 格柵層，頂部為甲板層，風(fēng)口均布置在第1、2 格柵層下方，為防止送風(fēng)直吹發(fā)熱表面，造成較大熱應(yīng)力，風(fēng)口均采用矩形風(fēng)口，風(fēng)向垂直向下，尺寸大小為0.4m×0.2m 的風(fēng)口55個(gè)，尺寸0.4m×0.28m 的風(fēng)口 4 個(gè) ( 側(cè) 45°方向增加局部繞流) 。機(jī)艙簡化后幾何模型如圖 1 所示。

圖 1 機(jī)艙幾何模型

2 流體數(shù)學(xué)模型及邊界條件

2.1 流體數(shù)學(xué)模型

CFD 技術(shù)經(jīng)過長時(shí)間的發(fā)展，在計(jì)算流體流動(dòng)傳熱傳質(zhì)方面已經(jīng)非常成熟，本文通過 Fluent軟件CFD技術(shù)模擬機(jī)艙內(nèi)氣流組織分布，機(jī)艙內(nèi)通風(fēng)為湍流對流換熱問題，本文選用圖1模型，為獲得較好的模擬結(jié)果，提高模擬效率，對模擬進(jìn)行如下假設(shè)和簡化:

1) 機(jī)艙內(nèi)流體為不可壓流體，密度符合假設(shè);

2) 艙內(nèi)流體流動(dòng)及傳熱視為穩(wěn)態(tài)過程;

3) 各壁面的輻射傳熱不計(jì);

2.2 邊界條件設(shè)置

利用開局讓棋法進(jìn)行幾何建模及劃分網(wǎng)格，因機(jī)艙內(nèi)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，模型網(wǎng)格采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，對風(fēng)口及重要發(fā)熱面進(jìn)行局部加密，網(wǎng)格數(shù)量為 88 萬.

艙內(nèi)通風(fēng)是采用典型的置換通風(fēng)與自然通風(fēng)相結(jié)合的形式，邊界條件設(shè)置如下:

1) 送、回風(fēng)口邊界條件: 送風(fēng)及機(jī)械抽風(fēng)口為速度入口邊界，送風(fēng)方向與出風(fēng)口面垂直；

2) 自然排風(fēng)口邊界條件: 通風(fēng)時(shí)保證艙內(nèi)正壓，因此自然排風(fēng)口采用壓力出口邊界；

3) 固體壁面邊界條件: 艙內(nèi)發(fā)熱固體壁面采用定熱流密度，壁面厚度為0.

3 設(shè)計(jì)方案及模擬結(jié)果分析

3.1 設(shè)計(jì)方案

機(jī)艙內(nèi)送風(fēng)口位置相對固定，采用下送上回的通風(fēng)方式，回風(fēng)進(jìn)入抽風(fēng)圍阱后通過管道與各風(fēng)機(jī)相通；本文設(shè)計(jì)鍋爐燃燒空氣量占總送風(fēng)量50% 左右，從艙內(nèi)吸入會造成內(nèi)部各區(qū)域氣流壓力梯度過大，因此采用獨(dú)立系統(tǒng)從外界抽進(jìn)燃燒空氣。根據(jù)《ISO8861-1998造船--柴油機(jī)船舶機(jī)艙通風(fēng)設(shè)計(jì)要求和計(jì)算基準(zhǔn)》進(jìn)行熱負(fù)荷及通風(fēng)量估算，得到該通風(fēng)系統(tǒng)排除艙內(nèi)余熱所需風(fēng)量為160000m3/h，艙內(nèi)設(shè)計(jì)溫度54℃，送風(fēng)溫度39℃，風(fēng)機(jī)開度 100%時(shí)，送風(fēng)口的設(shè)置送風(fēng)速度為9.4m/s，考慮到送風(fēng)量對氣流組織及艙內(nèi)溫度的影響，設(shè)定送風(fēng)開度來進(jìn)行分析，分別為 100%，85%，70%.機(jī)艙環(huán)境的優(yōu)化可通過改變送抽風(fēng)口位置形狀、面積及送風(fēng)量等來實(shí)現(xiàn)，為獲得最佳氣流組織形式，該艙通過增大抽風(fēng)圍阱及隔屏來增加艙內(nèi)空氣擾流，防止大漩渦及通風(fēng)死角，理論上，機(jī)械抽風(fēng)口分布越多，抽風(fēng)圍阱尺寸越大，會有效改善艙內(nèi)氣流組織，但是機(jī)艙內(nèi)空間狹小，因風(fēng)口而增加的風(fēng)管會減少艙內(nèi)可用空間; 且過多地增加隔屏?xí)o工作人員管理維護(hù)帶來不便，經(jīng)過分析給定 4 種調(diào)整方案來進(jìn)行研究，見表 1

3.2 模擬結(jié)果分析

3.2.1 氣流組織分析

計(jì)算收斂后，選取典型截面進(jìn)行分析，由圖 1可以看出，兩鍋爐間至主機(jī)右側(cè)面區(qū)域散熱面積最大，流場也最復(fù)雜，因此截取y=﹣0.5m 面進(jìn)行氣流組織分析，y=﹣0.5m 截面如圖 2所示.

在假定機(jī)艙送風(fēng)口位置固定情況下，要消除漩渦和通風(fēng)死角，一般采用下列方法: 一是設(shè)置障礙物，障礙物對室內(nèi)氣流組織有顯著影響; 二是布置空氣射流通風(fēng)系統(tǒng)，由于氣流至底層后從下至上流動(dòng)，障礙物迎風(fēng)面不存在滯留區(qū)，同時(shí)考慮經(jīng)濟(jì)成本問題，對主機(jī)右側(cè)安裝隔屏作為障礙物來消除此漩渦，隔屏位置如圖 2 所示"

4 結(jié) 語

模擬結(jié)果表明，利用CFD技術(shù)對機(jī)艙氣流組織進(jìn)行模擬分析是一種高效簡潔的方法，獲得的結(jié)果是可信的，且通過模擬分析可知:

1) 合理的布置機(jī)械抽風(fēng)口能有效地改進(jìn)艙內(nèi)流場，在艙內(nèi)增加隔屏作為障礙物并非完全是負(fù)面影響，在不影響艙內(nèi)設(shè)備運(yùn)行和人員工作情況下，增加隔屏能有效改變艙內(nèi)氣流組織

2) 自上而下的通風(fēng)方式能使各工作面溫度得到較好的控制，人員活動(dòng)區(qū)域溫度符合設(shè)計(jì)要求

3) 風(fēng)機(jī)開度直接影響艙內(nèi)溫度，通過改變風(fēng)機(jī)開度能節(jié)省通風(fēng)資源，機(jī)艙內(nèi)環(huán)境的優(yōu)化有很多方式，可通過改變風(fēng)口數(shù)量大小、形式、位置等，這些還需要進(jìn)一步的研究和補(bǔ)充

參考文獻(xiàn):

［1］ 向立平，王漢青空調(diào)客車內(nèi)氣流組織與污染物濃度場數(shù)值模擬［c］中南大學(xué)學(xué)報(bào)( 自然科學(xué)版) ，