導(dǎo)語：如何才能寫好一篇求函數(shù)值域，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

關(guān)鍵詞： 函數(shù) 函數(shù)值域 方法

1.觀察法

對(duì)于一些簡單的函數(shù)，可在定義域及函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系基礎(chǔ)上確定函數(shù)的值域，這叫觀察法。

由于函數(shù)值域是對(duì)應(yīng)于函數(shù)定義域的函數(shù)值集合，因此首先要考察函數(shù)結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，從定義域出發(fā)，逐步推斷出函數(shù)的值域。

例1：求函數(shù)y=（x-3）的值域。

解：函數(shù)定義域?yàn)?1≤x＜1，又≥0，x-3＜0，y≤0，即函數(shù)值域y∈（-∞，0］。

2.反函數(shù)法

如果函數(shù)在定義域內(nèi)存在反函數(shù)，而求函數(shù)值域又不易求解時(shí)，可在通過求反函數(shù)的定義域的過程中而使問題獲解，叫反函數(shù)求函數(shù)值域的方法。

即由y=f（x），反解出求函數(shù)x=f（x），原函數(shù)值域包含在f（y）的定義域中。然后分析二者的關(guān)系以確定函數(shù)值域。此法的成功取決于反解成立，分析正確，并注意在反解過程中保持同解性。

例2：求函數(shù)y=+，x∈（0，1］的值域。

錯(cuò)解一：y=+≥2，函數(shù)值域y∈［2，+∞）。

剖析：當(dāng)x=（0，+∞］時(shí)，結(jié)論x=［2，+∞）才是正確的。但當(dāng)x∈（0，1），這個(gè)結(jié)論就不可靠了。

錯(cuò)解二：y=+?圳x-2yx+4=0，

x∈R，4y-16≥0，解得y≤-2或y≥2。

函數(shù)值域?yàn)椋?∞，-2］∪［2，+∞）。

剖析：以上求出的結(jié)果，只能是x∈（-∞，0）∪（0，+∞）時(shí)函數(shù)的值域，解法二同樣忽略了0≤x≤1了這一限制條件，而x∈（0，1］的值域用“判別式法”是無法解決的。

正解：（反函數(shù)法）y=+?圳x-2yx+4=0，

x∈（0，1］，y≥2，y+≥2（1），方程（1）的根只能是x=y-，由0＜y-≤1，解得y≥，函數(shù)值域?yàn)椋郏?∞）。

3.轉(zhuǎn)化法

利用已知值域的函數(shù)或所給函數(shù)的定義域，作為“媒介”，將待求值域的函數(shù)式變形。通過適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算，求得所給函數(shù)的值域。將所求函數(shù)值域問題轉(zhuǎn)化為熟知的基本初等函數(shù)的值域問題，常能化難為易。

例3：求函數(shù)y=的值域。

解：由函數(shù)表達(dá)式得：2sinx+ycosx=3-y?圳sin（x+θ）=3-y，其中θ由sinθ和cosθ=確定。

|sin（x+θ）|≤1，（）≥（3-y）?圳y≥，即原函數(shù)值域y∈［，+∞）。

4.不等式法

運(yùn)用不等式的性質(zhì)，特別是含等量的不等式，分析等號(hào)成立的條件，以確定函數(shù)值域，叫不等式求函數(shù)值域的方法。

例4：已知α∈（0，π），求函數(shù)y=sinα+的值域。

錯(cuò)解：α∈（0，π），sinα＞0，＞0，sinα+≥2=2，函數(shù)值域?yàn)椋?，+∞）。

剖析：由于忽略了“當(dāng)且僅當(dāng)sinα+時(shí)上式才能取等號(hào)”，但因|sinα|≤1故sinα≠，因此上式不能取等號(hào)，至少應(yīng)有y≠2。

正解：α∈（0，π），sinα＞0，＞0，sinα+=sinα++≥3≥3。

當(dāng)且僅當(dāng)sinα=，即sinα=1時(shí)，上式能全取等號(hào)。

小結(jié)：用“不等式法”求函數(shù)值域，主要是利用“幾個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于其幾何平均值”，但須注意取等號(hào)時(shí)條件是否能得到滿足。

5.最值法

由于初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，所以我們可以通過求函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的最大值，最小值的辦法，并求函數(shù)的值域。

例5：求函數(shù)y=的值域。

解：由函數(shù)定義域知，cosx∈［-1，-）∪（-，1］。

（1）當(dāng)cosx∈［-1，-）時(shí)，y=x+=1-（-1），（）=-1，注意到cosx?邛（-），y?邛-∞-∞＜y≤-1。

（2）當(dāng)cosx∈（-，1］時(shí)，（1+2cosx））=-1，（）=，注意到cosx?邛（-），y?邛+∞，≤y＜+∞。

故函數(shù)值域?yàn)椋?∞，-1］∪［，+∞）.

一般二次函數(shù)的值域常用此法求解。有些高次整函數(shù)也可用此法。

6.判別式

根據(jù)一元二次方程ax+by+c=0有實(shí)根時(shí)，=b-4ac≥0。的性質(zhì)，求函數(shù)值域的方法叫做判別式法。

例6：求函數(shù)y=2x-7x+3的值域。

解：2x-7x+3-y=0，且x∈R，=b-4ac=49-8（3-y）≥0，y≥，該函數(shù)值域?yàn)椋郏?∞）.

此法可用于行如：y=（A，P不同時(shí)為零，分子分母無公因式）的函數(shù)的值域。但必須強(qiáng)調(diào)：（1）是既約公式；（2）驗(yàn)證端點(diǎn)值是否能取到；（3）整理成行如一元二次方程的形式后，若平方項(xiàng)系數(shù)含字母要討論；（4）若定義域人為受限，則判別式法失效。

7.換元法

通過代數(shù)換元法或者三角函數(shù)換元法，把無理函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)求函數(shù)值域的方法叫換元法。

例7：已知函數(shù)f（x）的值域是［，］，求y=f（x）+的值域。

解：f（x）∈［，］，≤f（x）≤，故≤≤。令t=，則t∈［，］。有f（x）=（1-t），y=g（t）=（1-t）+t=-（t-1）+1，由于g（t）在t∈［，］時(shí)單調(diào)遞增

當(dāng)t=，y=，當(dāng)t=，y=，

y=f（x）+的值域是［，］.

8.圖像法（數(shù)行結(jié)合法）

通過分析函數(shù)式的結(jié)構(gòu)、定義域、單調(diào)性、奇偶性、極值等。確定若干有代表性的點(diǎn)，勾畫出函數(shù)的大致圖形，從而確定函數(shù)的值域。

例8：求函數(shù)y=|x-1|+x的值域。

解：原函數(shù)可以表達(dá)成：當(dāng)x≤-1或x≥1，y=|x-1|+x=（x+2）-；當(dāng)-1≤x≤1，y=|x-1|+x=-（x+）+。

作出函數(shù)圖像（見圖1）

由圖像知函數(shù)值域?yàn)椋?1，+∞）。

9.單調(diào)性法

利用函數(shù)單調(diào)性，先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求每個(gè)區(qū)間上函數(shù)的值域，最后取其并集即得函數(shù)值域。

例9：求y=x-的值域。

解：y=x和y=-均為單調(diào)增函數(shù)，

y=y+y=x-為增函數(shù)，由定義域x≤知y=，故y≤.

10.配方法

如果給定一個(gè)復(fù)合函數(shù)，y=f［g（x）］，若g（x）或f（x）可以視為一元二次多項(xiàng)式，則要用配方法求其函數(shù)值域。

例10：求y=x+的值域。

解：y=x+=1-（-1），在定義域x≤內(nèi)，顯然有（-1）≥0，y≤1，函數(shù)值域?yàn)椋?∞，1］。

本文僅從求函數(shù)值域的十種常用方法談起，在不同的文獻(xiàn)中可能會(huì)有與本文有出入的其它不同的方法，但解法大致相同，如構(gòu)造法、極限法、解析法、復(fù)數(shù)換元法、三角代換法、恒等變換法、有理化法等。當(dāng)然，本論文求函數(shù)值域的方法不是一成不變的，應(yīng)在多次解題過程中綜合并靈活應(yīng)用這幾種方法。

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篇2

例1：求函數(shù)y=■的值域。

解：原函數(shù)變形為關(guān)于x的方程得(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0。原函數(shù)定域?yàn)镽。上述方程在x∈R內(nèi)有實(shí)根。

（1）當(dāng)y-2=0時(shí),方程化為13=0在x∈R內(nèi)無實(shí)根,不合題意，故y≠2；

（2）當(dāng)y-2≠0時(shí), 上述方程為一元二次方程, 要使該方程在x∈R內(nèi)有實(shí)根, 必須滿足?駐=4(y-2)2-4(y-2)（3y+7)≥0，解得－■≤y≤2。

綜合(1)(2)，得原函數(shù)的值域?yàn)閇－■,2)。

例2：求函數(shù)y=■的值域。

解：原函數(shù)變形為關(guān)于x的方程得：(y-2)x2+x-y-7=0。又原函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)。 所以上述方程在（-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)上有實(shí)根。

（1）若y-2=0，方程化為x-3=0，其在上述區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，此時(shí)y=2；

（2）若y-2≠0，方程為一元二次方程，要使其在上述區(qū)間內(nèi)有實(shí)根只須?駐=1+4(y-2)(y+1)≥0，y-2+1-y-1≠0，-2-1-y-1≠0，解得y≤■或y≥■。

綜合(1)(2)，得原函數(shù)值域?yàn)?-∞,■ ]∪[■,+∞)。

例3：已知x＞■，求函數(shù)f(x)=■的值域。

解：原函數(shù)變形為關(guān)于x的一元二次方程得x2-(2y+4)x+5+4y=0。原函數(shù)定義域?yàn)椋ā?+∞），上述方程在（■,+∞）上有根，則?駐≥0，（x1-■)(x2-■)≥0，x1+x2＞5，或?駐≥0，（x1-■)(x2-■)

即(2y+4)2-4(5+4y)≥0，5+4y-■(2y+4)+■≥0，2y+4≥5，

或2y+4)2-4(5+4y)≥05+4y-■(2y+4)+■＜0，

解得y≥1。原函數(shù)的值域?yàn)閇1,+∞)。

例4：已知函數(shù)f(x) =log3■的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0 , 2)， 求m、n的值。

解：f(x) 的值域?yàn)?0,2)，■∈[1,9]，設(shè)y=■, 則1≤y≤9, 化為關(guān)于x的方程為(y-m)x2-8x-y-n=0，由函數(shù)定義域?yàn)镽知，上述方程在R內(nèi)有實(shí)根。

（1）若y-m=0，則上述方程化為一元一次方程8x+m-n=0在R內(nèi)有實(shí)根，此時(shí)y=m，又1≤y≤9，所以1≤m≤9。

（2）若y-m≠0，上述方程為一元二次方程,要使其在R內(nèi)有實(shí)根,則?駐=(-8)2-4(y-m)(y-n)≥0，即y2－（m+n）y+（mn－16）≤0。由1≤y≤9 知，關(guān)于y的一元二次方程y2－（m+n）y+（mn－16）=0的兩根為1和9。由韋達(dá)定理得m+n=1+9，mn－16=1×9，解得■

綜合（1）（2），得m=n=5。

注意：（1）“判別式法”的解題思想是：函數(shù)在D內(nèi)有意義等價(jià)于方程在D內(nèi)有實(shí)根。（2）用判別式之前，必須先考慮x2的系數(shù)是否為0。（3）一元二次方程在D內(nèi)有實(shí)根：若D=R，則只須?駐≥0；若D≠R，則除了?駐≥0外，還須考慮實(shí)根在D內(nèi)的具體分布情況。

篇3

三角函數(shù)中的求值問題主要有：已知某三角函數(shù)，求另外某些三角函數(shù)值或三角式的值；已知某三角函數(shù)式的值，求某些三角函數(shù)或三角式的值，求某些非特殊角的三角式的值等幾類，解決這類問題不僅需要用到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、圖像以及三角函數(shù)的恒等變化，還常涉及到函數(shù)、不等式、方程及幾何計(jì)算等眾多知識(shí)，這類問題往往概念性強(qiáng)，具有一定的綜合性和靈活性。我以為就三角函數(shù)的求值與計(jì)算應(yīng)注重以下問題：

一、三角函數(shù)式的化簡：

（1）常用方法：①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化簡要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項(xiàng)數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)

二、三角函數(shù)的求值類型有三類：

（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；

（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；

（3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。

三、三角等式的證明：

（1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端的化“異”為“同”；

（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。

例題（1）若 ，化簡

主要口訣：化異分母為同分母，脫去根式符號(hào)化簡

解析：由已知可知， 在第Ⅱ象限，所以 在Ⅱ、Ⅲ象限。

原式=

= =

=

例題（2）已知函數(shù)f（x）=- sin2x+sinxcosx.

（Ⅰ） 求f（ ）的值；

（Ⅱ） 設(shè) ∈（0， ），f（ ）= - ，求sin 的值.

例題（3）求證：tan x - tan x =

思路分析：本題的關(guān)鍵是角度關(guān)系：x= x - x，

右式= =

= tan x - tan x。

=

思路分析：將左式分子中“1”用“sin2α+cos2α”替換，

左邊= = = =右邊

篇4

一、 忽視負(fù)號(hào)，生搬硬套

問題1 求函數(shù)F（X）=-的值域，函數(shù)g（x）=+ 的值域。

問題2 求函數(shù)f（x）=x+3-1-x的值域，函數(shù)g（x）=x+3+1-x的值域。

簡析：教師應(yīng)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)雙根式型和雙絕對(duì)值型函數(shù)值域問題求解的基本方法和特殊方法，尤其是易錯(cuò)點(diǎn)。上面兩組問題在函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)形式上只差一個(gè)負(fù)號(hào)，但在解法上不一樣，學(xué)生容易類比遷移解題，出現(xiàn)錯(cuò)誤，具體解法如下。

問題1：易知函數(shù)的定義域{x？誆-3≤x≤1}，由于函數(shù)y=為遞增函數(shù)，函數(shù)y=-也為遞增函數(shù)，根據(jù)在公共定義域中，“增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)”的單調(diào)性質(zhì)，函數(shù)f（x）為遞增函數(shù)。

f（-3）≤f（x）≤f（1），即-2≤f（x）≤2。

顯然函數(shù)g（x）不能根據(jù)“增+減=增（減）”的單調(diào)性進(jìn)行判斷，而采用等價(jià)轉(zhuǎn)化的形式來處理，由于+≥0，故g2（x）=4+2。

4≤g2（x）≤4+2=8，且g（x）≥0。

2≤g（x）≤2。

該題另一解法雙換元后數(shù)型結(jié)合處理，令u=，v=，則u2+v2=4（u，v≥0）且直線l∶u+v=y，即直線v在軸上的截距等于y，數(shù)型結(jié)合易知y∈[2，2]。

問題2：該類雙絕對(duì)值型解法有三種，在利用絕對(duì)值不等式性質(zhì)解題時(shí)易出錯(cuò)。絕對(duì)值不等式性質(zhì)：a-b≤a±b≤a+b，具體解法如下。

x+3-1-x≤（x+3）+（1-x）=4，

-4≤x+3-1-x≤4，即-4≤f（x）≤4，本題易錯(cuò)認(rèn)為（x+3）-（1-x）≤4。

而x+3+1-x≥（x+3）+（1-x）=4，即g（x）≥4。

另一解法是利用絕對(duì)值的幾何意義，轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的點(diǎn)到點(diǎn)-3與1距離之差或距離之和，說明 -3與1兩點(diǎn)將數(shù)軸化分為三段，結(jié)合數(shù)軸易找出答案。還有一種解法是去掉絕對(duì)值，劃分為三段的一次分段函數(shù)，做出圖像，由圖像可知。

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域是常見的方法，除導(dǎo)數(shù)法處理外，復(fù)雜函數(shù)的形成大體分兩類，第一類由基本初等函數(shù)加減乘除四則運(yùn)算組合而成，另一類由復(fù)合而成。但對(duì)單調(diào)性的處理截然不同，第一類要熟記一些性質(zhì)，如增+增=增，增—減=增，第二類的處理根據(jù)同增異減的法則處理。

二、名稱不一，方法有別

問題3 求下列函數(shù)的值域：①y=的值域，②y=。

簡析：易發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)的分母只有函數(shù)名稱不一樣，可解法截然不同，同名的可用函數(shù)的有界性解決，異名的應(yīng)用數(shù)型結(jié)合更方便。

解： ①函數(shù)y=的定義域sinx+2≠0，

x∈R，原式可化為sinx=。

由于-1≤sinx≤1，則-1≤≤1，轉(zhuǎn)化為分式不等式組，后解略。

②y==，可看做過定點(diǎn)（-2，1）與動(dòng)點(diǎn)（cosx，sinx）連線的直線斜率，由于動(dòng)點(diǎn)是單位圓上的點(diǎn)，

看做過點(diǎn)（-2，1）向單位圓引的兩條切線的斜率，由=1解出k=0或k=-，即-≤sinx≤0，

另解也可用有界性，原式可變?yōu)椋?sin（x+θ）= （tanθ=-），由≤1，兩邊平方可解出，后略。

三、不顧定義，亂用均值

問題4 求下列函數(shù)的值域：①y= 的值域，②y=的值域。

簡析：上兩式分子的常數(shù)不一，可利用的思想完全不同，如果不細(xì)心函數(shù)的定義，通用均值不等式法，有點(diǎn)畫蛇添足。兩式可化為y=x+（a>0，x>0），使用均值不等式，忽視均值不等式成立的“一正二定三相”等條件，尤其是取最值時(shí)，自變量是否在定義域內(nèi)，否則，利用單調(diào)性判斷，

錯(cuò)解①原式可化為y=+ ，令t=≥2，

函數(shù)y=t+ ≥2 =2，當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)，即t=1取等號(hào)，顯然不在定義域中。

正確解法：函數(shù)y=t+（t≥2）在[2，+∞）遞增，y≥2+=。

②原式可化為y=+ ，令t=≥2，

函數(shù)y=t+≥2=4 ，當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)，即t=2取等號(hào)，x=0取最小值。

四、次數(shù)之分，換元有別

問題5 求下列函數(shù)的值域：①f（x）=x+的值域，②f（x）=x+。

簡析：運(yùn)用換元法將所給函數(shù)的解析式化為較易求解的函數(shù)，上兩式根號(hào)里有次數(shù)之別，全用換元思想，當(dāng)次數(shù)是一次時(shí)用代數(shù)換元，形如f（x）=ax+b+（c≠0）的用普通換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域的求解，表達(dá)式中含有結(jié)構(gòu)的用三角換元法。

解①f（x）=x+的定義域?yàn)閧x│x

令t= （t≥0），則x=1-t2，f（x）=-t2+t+1=-（t-）2+，

f（x）≤。

② 令t=sinθ （-≤θ≤） ，f（x）=sinθ+cosθ=sin（θ+），

-≤θ≤，

-≤θ+≤， -≤sin（？漬+）≤1。

-1≤f（x）≤。

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1.含有二次根式的二次型

[分析]觀察其中自變量x出現(xiàn)的位置及其指數(shù)的情況,可以發(fā)現(xiàn)加號(hào)前面的有理項(xiàng)中的x的次數(shù)是加號(hào)后面無理項(xiàng)中的 x 的次數(shù)的2倍(前面的 x 是一次的,后面的 x 是二分之一次的),這兩項(xiàng)構(gòu)成了事實(shí)上的二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的關(guān)系,因此可以使用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的值域問題.

說明:使用換元法的時(shí)候,無論在什么情況下,都要保證新的變?cè)c換掉的代數(shù)結(jié)構(gòu)的取值范圍相一致,這圍,以防出錯(cuò).

2.含有指數(shù)式的二次型

例2:求函數(shù) y =4 x + 2 x+1 +3的值域.

[分析]根據(jù)指數(shù)式的運(yùn)算法則,4 x =(22)x= (2 x)2,2 x+1 = 2 x?2 1 = 2?2 x,因此可考慮把原函數(shù)看成是關(guān)于 2 x 的二次函數(shù)來解決問題.

解: y =(2 x)2 + 2?2 x+3,令2 x=t,則 t >0,且

y = t2 +2 t +3=( t +1)2+2,( t >0).

t >0,y>(0+1)2+2=3.

函數(shù) y = 4 x+2 x+1 +3 的值域?yàn)? 3,+∞).

3.含有對(duì)數(shù)式的二次型

例3:求函數(shù) y =( log 2 x )2+log 2 x2+2 的值域.

[分析]根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,log 2 x2=2 log 2 x,因此可以把原函數(shù)看成是關(guān)于 log 2 x 的二次函數(shù).

解:y=( log 2 x )2 +2 log 2 x+2,令log 2 x = t,則 t∈R,且 y = t 2+2 t+2=( t+1 )2+1,( t∈R ).

函數(shù)y=(log 2 x)2 + log 2 x2+2 的值域?yàn)?[1,+∞).

4.含有特殊三角函數(shù)式的二次型

例4:求函數(shù) y = cos2x+4sinx 的值域.

[分析]原函數(shù)是由兩個(gè)不同名也不同角的三角函數(shù)相加而成,因此先要根據(jù)二倍角公式 cos2 x=1-2sin2 x,將它們化成同角同名的三角函數(shù).這樣就可以把原函數(shù)看成是關(guān)于 sin x 的二次函數(shù)了.

解:cos2x=1-2sin2x ,y=1-2sin2x+4sinx.

令sinx= t,則-1≤ t ≤1,

并且 y =-2 t2+4 t+1=-2(t-1)2+3.

-1≤t≤1,

-2(-1-1)2+3≤y≤-2(1-1)2+3,即-5≤y≤3.

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關(guān)鍵詞：函數(shù)值域解題技巧解題方法

函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要內(nèi)容，它與日常生活有著密切的聯(lián)系。而值域在函數(shù)的應(yīng)用中具有重要地位，它貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終。求函數(shù)值域的方法比較靈活，它所涉及的知識(shí)面較廣，用到的數(shù)學(xué)思想方法較多，是數(shù)學(xué)考查的基本內(nèi)容。研究函數(shù)值域，必須仔細(xì)觀察函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，采取相應(yīng)的解法，靈活機(jī)動(dòng)地“變通”。以下通過幾個(gè)例子說明常見函數(shù)值域的幾種常規(guī)求法。

一、配方法

點(diǎn)評(píng)：單調(diào)性在此類問題中的比重較大，也比較靈活，可以和其他函數(shù)性質(zhì)綜合來考察，因此此類型需要重點(diǎn)關(guān)注

總結(jié)上面介紹了求函數(shù)值域的幾種方法，可以讓人更清晰明了地了解各種方法.但是了解方法與掌握方法是不同層次的要求。要掌握一種方法，一定要熟悉這一方法運(yùn)用的全過程。要掌握求函數(shù)值域的方法，就要反復(fù)地練習(xí)、使用，學(xué)會(huì)如何避免使用一些方法時(shí)可能產(chǎn)生的錯(cuò)誤。并且要多動(dòng)腦，多思考鉆研，擅于從解題中總結(jié)經(jīng)驗(yàn).其次，要熟悉一些關(guān)于初等函數(shù)值域的結(jié)論，因?yàn)樗乔髲?fù)雜函數(shù)的基礎(chǔ)。必要時(shí)，可以將較復(fù)雜的函數(shù)分解、轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)來求值域?？傊?，求函數(shù)值域的方法多樣，很多題目解題方法不唯一。關(guān)鍵是要正確選用合適的求值域的方法，根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)，特點(diǎn)以及類型等選擇合適的方法。這就要求我們要靈活變通，才能找到簡便巧妙的方法。而且，函數(shù)值域跟定義域和對(duì)應(yīng)法則相關(guān)，不僅要重視對(duì)應(yīng)法則的作用而且要特別注意定義域的約束作用，以免錯(cuò)解。這樣，做到了對(duì)求函數(shù)值域的各種方法有一定的透切的了解，并且能夠清楚每個(gè)需要注意的問題之后，我們就會(huì)“心中有數(shù)”。

參考文獻(xiàn)：

[1]求函數(shù)值域的方法簡介-中國基礎(chǔ)教育研究 - 趙建新 2007年1月第1期

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關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 函數(shù)定義域 思維品質(zhì)

學(xué)生進(jìn)入高中，學(xué)習(xí)集合這一基本工具后，就開始了高中函數(shù)的學(xué)習(xí)。用集合的觀點(diǎn)定義了函數(shù)，進(jìn)而開始了對(duì)函數(shù)的研究。然而，不管是求函數(shù)解析式、值域，還是研究其性質(zhì)，都離不開對(duì)定義域的研究。

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對(duì)應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤。如：

例1：用籬笆圍一個(gè)矩形菜園，現(xiàn)有籬笆總長度為100m，求矩形菜園的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：S=（50-x）

故函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x） .

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量x的范圍： 0

即：函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x） （0

這個(gè)例子說明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對(duì)實(shí)際問題的影響。這體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，培養(yǎng)學(xué)生此項(xiàng)品質(zhì)是十分必要的。

另外如：y=x和 雖然對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，也是不同的函數(shù)。

二、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：

例2：求函數(shù) 的值域.

錯(cuò)解：令

故所求的函數(shù)值域是 .

剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥0，而函數(shù) 在[0，+∞）上是增函數(shù)，

所以當(dāng)t=0時(shí)，ymin=1.

故所求的函數(shù)值域是[1， +∞）.

以上例子說明，變量的允許值范圍的重要性，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生。

求函數(shù)值域，往往也會(huì)想到函數(shù)最值的求解。這里以二次函數(shù)

為例舉例說明。

例3：求函數(shù) 在[1，4]上的最值.

解：

當(dāng) 時(shí)，

初看本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到此題定義域不是R，而是[1，4]。這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生思維缺乏靈活性。學(xué)生只知道利用對(duì)稱軸求二次函數(shù)最值。然而，那往往是定義域是R的時(shí)候，當(dāng)條件改變時(shí)，需要考慮完善。本題還要繼續(xù)做下去：

f（4）=42-4x4-5=-5

函數(shù) 在[1，4]上的最小值是-9，最大值是―5.

這個(gè)例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，應(yīng)注意定義域的取值范圍對(duì)函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，這說明思維的靈活性很重要。

三、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。如：

例4：求出函數(shù)f（x）=1n（4+3x-x2）的單調(diào)區(qū)間.

解：先求定義域：

函數(shù)定義域?yàn)椋?1，4）.

令 ，知在 上時(shí)，u為減函數(shù)，

在 上時(shí)， u為增函數(shù)。

又

即函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 。

如果在做題時(shí)，沒有在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說明學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，在做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，只是對(duì)題型，套公式，而不去領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì)，也說明學(xué)生的思維缺乏深刻性。此題正解應(yīng)該是函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 。

四、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，如果定義域區(qū)間關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對(duì)稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：

例5：判斷函數(shù) 的奇偶性.

解： 定義域區(qū)間 不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

函數(shù) 是非奇非偶函數(shù).

若學(xué)生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出學(xué)生解題思維的敏捷性

如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性可能得出如下錯(cuò)誤結(jié)論：

函數(shù) 是奇函數(shù).

綜上所述，在求解函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能精細(xì)地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變（指對(duì)定義域?yàn)镽來說），對(duì)解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生辨析理解能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。

參考文獻(xiàn)：

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〔中圖分類號(hào)〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2012）24—0090—01

反函數(shù)是函數(shù)研究中的一個(gè)重要內(nèi)容，是函數(shù)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).在反函數(shù)教學(xué)中稍有不慎就會(huì)走入誤區(qū)，有些錯(cuò)誤觀點(diǎn)甚至在一些輔導(dǎo)資料中以謬傳謬，造成誤導(dǎo).這里列舉出求解反函數(shù)相關(guān)問題的幾種常見錯(cuò)誤，并提出相應(yīng)的對(duì)策.

誤區(qū)之一 求反函數(shù)時(shí)忽視了原函數(shù)的值域

眾所周知，兩個(gè)函數(shù)若定義域不同，即使對(duì)應(yīng)法則相同，也不是相同的函數(shù).原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域，若忽視了原函數(shù)的值域，則解得的結(jié)果不一定正確.

例1 求函數(shù)y=1-■（-1≤x

錯(cuò)解：由y=1-■得（y-1）2=1-x2， x2=1-（y-1）2.

又-1≤x

剖析： 原函數(shù)的值域?yàn)椋?，1），故反函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1），而上述解法所得的反函數(shù)的定義域?yàn)閇0，2]，顯然不是原函數(shù)的反函數(shù).

誤區(qū)之二 求反函數(shù)時(shí)忽視了原函數(shù)的定義域

有些函數(shù)其本身不存在反函數(shù)，但在其單調(diào)區(qū)間內(nèi)反函數(shù)存在.在求這類函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，除注意其值域外，同時(shí)也要注意其定義域，根據(jù)其定義域?qū)η蟮玫膞合理取舍.

例2 求函數(shù)y=-x2+4x+2 （0≤x≤2）的反函數(shù).

錯(cuò)解： 函數(shù)y=-x2+4x+2 （0≤x≤2）的值域?yàn)閥∈[2，6]，又y=-（x-2）2+6，即（x-2）2=6-y，x-2=

±■.

所求的反函數(shù)為y=2±■ （2≤x≤6）.

剖析： 上述解法中忽視了原函數(shù)的定義域 ，沒有對(duì)x進(jìn)行合理取舍，從而得出了一個(gè)非函數(shù)表達(dá)式.

誤區(qū)之三 混淆復(fù)合函數(shù)的反函數(shù)與反函數(shù)的復(fù)合函數(shù)兩個(gè)不同的概念

函數(shù)y=[φ（x）]的反函數(shù)指的是復(fù)合函數(shù)g（x）=[φ（x）]的反函數(shù)g-1（x），而函數(shù)y=f-1[ φ（x）]指的是y=f（x）的反函數(shù)y=f-1（x）中的x用φ（x）代替得到的解析式，即y=f（x）的反函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)一般是不同的.

例3 已知函數(shù)f（x）=2x-1，求f（x+1）的反函數(shù).

錯(cuò)解：由f（x）=2x-1可求得其反函數(shù)為f-1（x）=■x+■，從而所求的反函數(shù)為f-1（x+1）=■（x+1）+■=■x+1.

剖析：上面解法錯(cuò)誤的原因是誤認(rèn)為函數(shù)f-1（x+1）是復(fù)合函數(shù)f（x+1）的反函數(shù).事實(shí)上，函數(shù)y=f（x+1）的映射法則已不再是“f”了，當(dāng)然“f-1”不是它的逆映射，正確的解法是：令g（x）=f（x+1）=2（x+1）-1=2x+1，解得g-1（x）=■x-■，即f（x+1）的反函數(shù)為g-1（x）=■x-■.

誤區(qū)之四 盲目利用反函數(shù)求函數(shù)值域

在反函數(shù)存在的前提下， 某些函數(shù)運(yùn)用反函數(shù)法求函數(shù)的值域的確是一種好方法，但通過反函數(shù)的定義域求原函數(shù)的值域，邏輯上屬于循環(huán)解答.習(xí)慣上是將反函數(shù)的解析式有意義的x的取值范圍作為原函數(shù)的值域.運(yùn)用這種方法求函數(shù)值域只有在等價(jià)變形的前提下才是正確的.

例4 求函數(shù)y=■（x>0）的值域.

錯(cuò)解 ： 由函數(shù)y=■ 可求得反函數(shù)為y=■，其反函數(shù)定義域?yàn)閤∈（-∞，3）∪（3，+∞），從而原函數(shù)的值域?yàn)閧y|y∈R且y≠3}.

剖析： 由于x=■>0，可求得原函數(shù)的值域?yàn)椋ā觯?），而不是（-∞，3）∪（3，+∞），造成錯(cuò)誤的原因是求解x時(shí)， 用x≠-2代替了原函數(shù)的定義域x>0，這是一種不等價(jià)的變形.

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關(guān)鍵詞：對(duì)數(shù)函數(shù)；性質(zhì)；圖像

探究一：對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域、值域

例1.求下列函數(shù)的定義域

方法歸納：

1.求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時(shí)應(yīng)遵循的原則：分母不能為0，根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，被開方數(shù)非負(fù)，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1。

2.求函數(shù)定義域的步驟：列出使函數(shù)有意義的不等式組，化簡并解出自變量的取值范圍，確定函數(shù)的定義域。

（3）函數(shù)y=2+log2x（x≥1）的值域?yàn)椋–）

A.（2，+∞） B.（-∞，2） C.[2，+∞） D.[3，+∞）

方法點(diǎn)撥：可以直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，也可以借助對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像求出函數(shù)的值域，更加直觀、形象。

探究二：對(duì)數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（重點(diǎn)）

例2.比較下列各組對(duì)數(shù)值的大小

方法歸納：

對(duì)數(shù)值大小的比較方法有：

1.如果底數(shù)相同，真數(shù)不同，直接利用同一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大小，如果底數(shù)為字母，則要分類討論。

2.如果底數(shù)不同，真數(shù)相同，可以利用圖像的高低與底數(shù)的大小關(guān)系解決，或利用換底公式化為同底的再進(jìn)行比較。

3.若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助中間量1，0，-1等進(jìn)行比較。

例3.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷及應(yīng)用

方法點(diǎn)撥：

求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：

1.求出函數(shù)的定義域。

2.將復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)。

3.確定各基本初等函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間。

4.根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

例4.利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域

函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）在[2，4]上的最大值與最小值的差是1，求a的值。

方法點(diǎn)撥：

通過對(duì)底數(shù)a的討論來確定此對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可以確定究竟在區(qū)間的哪個(gè)端點(diǎn)處分別取得最大值和最小值，列出關(guān)于a的對(duì)數(shù)方程，求出a值。

例5.利用函數(shù)單調(diào)性求解對(duì)數(shù)不等式

已知log0.7（2x）

解題技巧：解對(duì)數(shù)不等式應(yīng)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為關(guān)于真數(shù)的不等式，求解時(shí)應(yīng)注意原對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0的條件，常見對(duì)數(shù)不等式類型如下：

對(duì)于函數(shù)圖像的掌握要求兩點(diǎn)：首先要求熟悉掌握各種基本初等函數(shù)的圖像，復(fù)雜函數(shù)的圖像都是由簡單函數(shù)的圖像通過平移、伸縮、對(duì)稱等變換而得到的。其次把握函數(shù)圖像的性質(zhì)，根據(jù)圖像的性質(zhì)去判斷，如：過定點(diǎn)、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等。

探究四：對(duì)數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例7.已知函數(shù)f（x）=loga（x+1）-loga（1-x）（a>0，且a≠1）

（1）求f（x）的定義域；

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一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對(duì)應(yīng)法則,所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)學(xué)生必須考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域,否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤。如:

例1:某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻,現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m,求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式?

解:設(shè)矩形的長為x米,則寬為(50-x)米,由題意得:

S=x(50-x),故函數(shù)關(guān)系式為:S=x(50-x)。

如果解題到此為止,則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整,缺少自變量的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí),S的值是負(fù)數(shù),即矩形的面積為負(fù)數(shù),這與實(shí)際問題相矛盾,所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量的范圍:0

即:函數(shù)關(guān)系式為:S=x(50-x)(0

這個(gè)例子說明,在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時(shí),學(xué)生必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對(duì)實(shí)際問題的影響,若考慮不到這一點(diǎn),就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性;若注意到定義域的變化,就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性。

二、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合,當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定,函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時(shí),學(xué)生應(yīng)注意函數(shù)定義域。如:

例2:求函數(shù)y=4x-5+的值域。

錯(cuò)解:令t=,則2x=t+3,

y=2(t+3)-5+t=2t+t+1=2(t+)+≥,故所求的函數(shù)值域是[,+∞)。

剖析:經(jīng)換元后,應(yīng)有t≥0,而函數(shù)y=2t+t+1在[0,+∞)上是增函數(shù),

所以當(dāng)t=0時(shí),y=1。故所求的函數(shù)值域是[1,+∞)。

以上例子說明,變量的允許值范圍是何等的重要,學(xué)生若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍,精細(xì)地檢查解題思維的過程,就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生。也就是說,學(xué)生若能在解好題目后,檢驗(yàn)已經(jīng)得到的結(jié)果,善于找出和改正自己的錯(cuò)誤,善于精細(xì)地檢查思維過程,便體現(xiàn)出良好的思維批判性。

三、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí),函數(shù)值隨著增減的情況,所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。如:

例3:指出函數(shù)f(x)=log(x+2x)的單調(diào)區(qū)間。

解:先求定義域:

x+2x>0,x>0或x

令u=x+2x,知在x∈(-∞,-2)上時(shí),u為減函數(shù);在x∈(0,+∞)上時(shí),u為增函數(shù),

又f(x)=logu在[0,+∞)是增函數(shù)。

函數(shù)f(x)=log(x+2x)在(-∞,-2)上是減函數(shù),在(0,+∞)上是增函數(shù)。

即函數(shù)f(x)=log(x+2x)的單調(diào)遞增區(qū)間(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-2)。

如果在做題時(shí),學(xué)生沒有在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性,就說明學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解,沒有理解。在做練習(xí)或作業(yè)時(shí),只是對(duì)題型、套公式,而不去領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì),也說明學(xué)生的思維缺乏深刻性。

四、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性,應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱,如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對(duì)稱,則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如:

例4:判斷函數(shù)y=x,x∈[-1,3]的奇偶性。

解:2∈[-1,3]而-2[-1,3],

定義域區(qū)間[-1,3]關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對(duì)稱,

函數(shù)y=x,x∈[-1,3]是非奇非偶函數(shù)。

如果學(xué)生像以上這樣的過程解完這道題目,就很好地體現(xiàn)出解題思維的敏捷性。

如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域,那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯(cuò)誤結(jié)論:

f(-x)=(-x)=-x=-f(x),

函數(shù)y=x,x∈[-1,3]是奇函數(shù)。

錯(cuò)誤剖析:以上做法是沒有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的前提下直接加以判斷所造成,這是學(xué)生極易忽視的步驟,也是造成結(jié)論錯(cuò)誤的原因。

綜上所述,在求解函數(shù)關(guān)系式、單調(diào)性、奇偶性等問題中,如果我們能精細(xì)地檢查思維過程,思辨函數(shù)定義域有無改變(指對(duì)定義域?yàn)镽來說),對(duì)解題結(jié)果有無影響,就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析能力,有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì),從而不斷提高學(xué)生思維能力,有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。

參考文獻(xiàn):

[1]田萬海.數(shù)學(xué)教育學(xué).浙江教育出版社.

[2]莊亞棟.高中數(shù)學(xué)教與學(xué).中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)編輯部出版.