導語：如何才能寫好一篇反三角函數(shù)，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

1、常見反三角函數(shù)值：

arcsin0=0；arcsin(1/2)=π/6；arcsin(√2/2)=π/4；arcsin(√3/2)=π/3；arcsin1=π/2；atccos1=0；arccos(√3/2)=π/6；arccos(√2/2)=π/4；arccos(1/2)=π/3；arccos0=π/2；arctan0=0；arctan(√3/3)=π/6；arctan(1)=π/4；arctan(√3)=π/3；arctan0=π/2。

2、反三角函數(shù)：

常見的三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。在航海學、測繪學、工程學等其他學科中，還會用到如余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)、半正矢函數(shù)、半余矢函數(shù)等其他的三角函數(shù)。不同的三角函數(shù)之間的關系可以通過幾何直觀或者計算得出，稱為三角恒等式。

（來源：文章屋網(wǎng) ）

篇2

一、數(shù)形結合,巧求范圍

例1.求函數(shù)y=的定義域。

解法一:由題意知需2sinx+1≥0,即需sinx≥-。如圖1,由正弦曲線知,在一個周期上[-,],符合條件的角的范圍為[-,]。根據(jù)正弦函數(shù)的周期性,可知函數(shù)的定義域為[2kπ-,2kπ+],k∈Z。

解法二:如圖2,由三角函數(shù)線可看出,滿足sinx=-的角可以是-、,而滿足sinx≥-的角的終邊必須在-、的終邊的上方,再結合正弦函數(shù)的周期性可知,所求的定義域為[2kπ-,2kπ+],k∈Z。

例2.已知f(x)是定義在(-3,3)上的奇函數(shù),當0

解:由f(x)是定義在(-3,3)上的奇函數(shù),可知f(x)的圖像關于原點呈中心對稱,把圖像補全,再結合y=cosx的圖像可知所求解集為(-,-1)∪(0,1)∪(,3)。

評析:例1可用兩種方法從“形”的角度來解決問題,第一種方法是根據(jù)正弦曲線的圖像特征,先找出在一個周期內的符合條件的角的范圍,再根據(jù)周期性得到結論;第二種方法是利用三角函數(shù)線來找出角的范圍。熟練掌握函數(shù)圖像、三角函數(shù)線的畫法和合理選擇一個周期是解決問題的關鍵。例2的難點在于如何根據(jù)奇偶性把圖像補全,如何把f(x)的圖像和y=cosx的圖像有機地結合起來。中學數(shù)學研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分,數(shù)與形是有聯(lián)系的,這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結合,或形數(shù)結合。作為一種數(shù)學思想方法,數(shù)形結合是高中數(shù)學中常用的重要的解題思想方法之一,它的特點是直觀、形象、解題快捷,合理利用數(shù)形結合,對解題往往可以起到事半功倍的效果。

二、縮小范圍,正確解題

例3.已知tan(α-β)=,tanβ=-,且α、β∈(0,π),求2α-β的值。

解:由兩角和差的正切公式可求tanα=tan[(α-β)+β]==,tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1,

因為α、β∈(0,π),且tanα

所以α∈(0,)、β∈(,π),(2α-β)∈(-π,0)。

因為在(-π,0)上滿足正切值等于1的角只有-,

所以2α-β=-。

例4.在三角形ABC中,cosA=,sinB=,則cosC的值為

解:分∠B為鈍角和銳角兩種情況討論:

(1)若B為銳角,則sinA=,cosB=,所以cosC=

-cos(A+B)=-;

(2)若B為鈍角,因為sinB=,又0

所以∠A>,從而∠A+∠B>π,不可能。

綜上所述,cosC的值只能為-。

評析:由于三角函數(shù)是周期函數(shù),即自變量與三角函數(shù)值是多對一的對應關系,所以,解三角問題時要特別注意確定角的實際變化范圍,盡可能地縮小角的范圍,否則會出現(xiàn)增解。在教學中,這兩道題的錯誤率都很高,均涉及到范圍的縮小問題,如例3中學生在求出tan(2α-β)=1后,往往沒有注意到根據(jù)已有信息縮小范圍,而是直接由題中所給范圍得出(2α-β)∈(-π,2π),所以2α-β的值有三個,即、-、,從而出現(xiàn)增根。而例4難度則更大,更容易被學生所忽視,很多學生直接分∠B為銳角和鈍角來解題,有一部分學生可能懷疑鈍角的情形,卻不會正確縮小范圍,最終還是求出的兩個結果,導致錯誤發(fā)生。

三、隱含條件,不容忽視

例5.設cosθ+sinθ=m,則使sinθ+cosθ>0的m的范圍是

解:對sinθ+cosθ=m兩邊平方易得sinθcosθ=,

由立方和公式得sinθ+cosθ

=(sinθ+cosθ)(sinθ-sinθcosθ+cosθ)

=m(1-)=

所以m(m-3)

另外,m=sinθ+cosθ=sin(θ+),所以-≤m≤……②

由①②得m的范圍是(0,]。

篇3

教學重點:掌握用反三角函數(shù)值表示給定區(qū)間上的角

教學難點:反三角函數(shù)的定義

教學過程:

一.問題的提出：

在我們的學習中常遇到知三角函數(shù)值求角的情況，如果是特殊值，我們可以立即求出所有的角，如果不是特殊值()，我們如何表示呢?相當于中如何用來表示，這是一個反解的過程，由此想到求反函數(shù)。但三角函數(shù)由于有周期性，它們不存在反函數(shù)，這就要求我們把它們的定義域縮小，并且這個區(qū)間滿足：

(1)包含銳角;(2)具有單調性;(3)能取得三角函數(shù)值域上的所有值。

顯然對，這樣的區(qū)間是;對，這樣的區(qū)間是;對，這樣的區(qū)間是;

二.新課的引入：

1.反正弦定義：

反正弦函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作：.

對于注意：

(1)(相當于原來函數(shù)的值域);

(2)(相當于原來函數(shù)的定義域);

(3);

即：相當于內的一個角，這個角的正弦值為。

反正弦：符合條件()的角，叫做實數(shù)的反正弦，記作：。其中，。

例如：，，，

由此可見：書上的反正弦與反正弦函數(shù)是一致的，當然理解了反正弦函數(shù)，能使大家更加系統(tǒng)地掌握這部分知識。

2.反余弦定義：

反余弦函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作：.

對于注意：

(1)(相當于原來函數(shù)的值域);

(2)(相當于原來函數(shù)的定義域);

(3);

即：相當于內的一個角，這個角的余弦值為。

反余弦：符合條件()的角，叫做實數(shù)的反正弦，記作：。其中，。

例如：，，由于，故為負值時，表示的是鈍角。

3.反正切定義：

反正切函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作：.

對于注意：

(1)(相當于原來函數(shù)的值域);

(2)(相當于原來函數(shù)的定義域);

(3);

即：相當于內的一個角，這個角的正切值為。

反正切：符合條件()的角，叫做實數(shù)的反正切，記作：。其中，。

例如：，，，

對于反三角函數(shù)，大家切記：它們不是三角函數(shù)的反函數(shù)，需要對定義域加以改進后才能出現(xiàn)反函數(shù)。反三角函數(shù)的性質，有興趣的同學可根據(jù)互為反函數(shù)的函數(shù)的圖象關于對稱這一特性，得到反三角函數(shù)的性質。根據(jù)新教材的要求，這里就不再講了。

練習：

三.課堂練習：

例1.請說明下列各式的含義：

(1);(2);(3);(4)。

解：(1)表示之間的一個角，這個角的正弦值為，這個角是;

(2)表示之間的一個角，這個角的正弦值為，這個角不存在，即的寫法沒有意義，與，矛盾;

(3)表示之間的一個角，這個角的余弦值為，這個角是;

(4)表示之間的一個角，這個角的正切值為。這個角是一個銳角。

例2.比較大小：(1)與;(2)與。

解：(1)設：，;，，

則，，

在上是增函數(shù)，，

，即。

(2)中小于零，表示負銳角，

中雖然小于零，但表示鈍角。

即：。

例3.已知：，，求：的值。

解：正弦值為的角只有一個，即：，

在中正弦值為的角還有一個，為鈍角，即：，

所求的集合為：。

注意：如果題目沒有特別說明，結果應為準確值，而不應是近似值，書上均為近似值。

例4.已知：，，求：的值。

解：余弦值為的角只有一個，即：，

在中余弦值為的角還有一個，為第三象限角，即：，

所求的集合為：。

例5.求證：()。

證明：，，設，，

則，即：，即：，

，，

，，即：。

例6.求證：()。

證明：，，設，，

則，即：，即：(*)，

，，

，，即：。

注意：(*)中不能用來替換，雖然符號相同，但，不能用反余弦表示。

篇4

關鍵詞： 大學數(shù)學 高中數(shù)學 銜接 教學改革

受教育者接受教育是一個連續(xù)的過程，各教育階段之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，是相互作用、互為影響的。針對普通高中數(shù)學課程標準在課程目標、課程內容、學生的學習方式、教師的教學方式等方面提出的要求，大學數(shù)學教學必須在內容和方法上相應地加以改革。筆者長期從事大學數(shù)學的教育工作，探索建構基于大學數(shù)學與高中數(shù)學銜接的模式。

1.高中數(shù)學新課標與大學數(shù)學交叉重合的部分

新課標中最重要的改革內容就是把微積分的知識點放在高中學習，微積分的教學成為高中數(shù)學教學的重點與難點。所以，對導數(shù)的概念、導數(shù)的運算法則及導數(shù)的性質與應用等方面的講解成了高中教學的重中之重，學生對這方面的學習是比較到位的。從最近幾年的大學數(shù)學課堂可以看出，學生對導數(shù)這部分內容的掌握明顯比前幾年的學生透徹得多。在大學統(tǒng)計的教學中，一些基本的統(tǒng)計概念如樣本、總體，樣本均值、樣本方差等，在大學可以只做適當點撥，不需要作為新的知識點講解。

2.高中刪減但大學需要用到的內容

高中數(shù)學新課標中最重要的刪減的內容就是反三角函數(shù)。盡管高中學習中會提到反函數(shù)，但很少有教師會真正具體詳細地講解原函數(shù)與反函數(shù)的關系，且反三角函數(shù)在《新課標》中消失了。這個內容的消失，導致學生在大學學習反三角函數(shù)有關內容的時候一頭霧水。對反三角函數(shù)的定義與概念不清不楚，導致學生在學習這方面的內容時有很大的困難，特別是在對反三角函數(shù)的求導、積分運算及求連續(xù)型概率分布時候，由于缺乏反三角函數(shù)的定義域、值域及其積分運算的學習，學生對反三角函數(shù)有關知識的運用就頗為吃力。筆者的做法是在講解反函數(shù)概念時，結合三角函數(shù)和反三角函數(shù)的關系，及時補充相關知識，能使學生加深對反函數(shù)的理解。

3.樹立與高中數(shù)學新課標相適應的教學理念

課改后的新課程與舊課程最根本的區(qū)別在于理念，對于大學教師來說，其不僅要調整教學內容，改進教學方法，更重要的是要更新教學理念。高中數(shù)學新課標與舊課程在知識體系、難易程度、組織結構等方面都有了較大的變化，采取開設必修課、選修課的形式，按照分模塊的方式講解內容，滿足不同層次學生發(fā)展的需要。雖然各個模塊之間依然有著內在的邏輯聯(lián)系，但這種邏輯性與以往相比有了較大的弱化，并且雖然《新課標》在一定程度上擴大了知識面，但是反過來，數(shù)學知識的深入程度、難易程度相對降低，對整個大學數(shù)學教學產生了很大的影響。

很多大學數(shù)學知識在高中數(shù)學已經學過，特別是在大一上學期，學習的大部分是微積分的內容，就導致很多學生產生懈怠心理；另外，進入下學期的學習，學習的都是新知識，而且難度增大不少，沒有高中那樣高強度的復習，學生就對數(shù)學產生畏懼心理。針對上述問題與現(xiàn)象，大學教師要調整與高中數(shù)學新課標相適應的教學內容，高中數(shù)學新課標增加或者刪減了部分內容，大學數(shù)學的教學內容要與之適應。大學數(shù)學的內容有些隨之精簡，有些反而要強化，比如反三角函數(shù)及正割、余割函數(shù)在大學數(shù)學中用得比較多，因此筆者在大一第一次課講解函數(shù)的概念與性質的時候，就把這方面的內容作為重點講解。為防止學生因高中學過而產生懈怠心理，筆者在講解這方面內容的時候，盡可能地多講解極限這一思想及有關的數(shù)學人物與數(shù)學危機等背景，利用一些現(xiàn)象講解有限無限的相互轉換，從而加深學生對抽象概念的理解，為后續(xù)的學習打下基礎。

高中數(shù)學新課標強調終身學習的理念。面對全新的教學理念，創(chuàng)新的教學內容，大學教師要與時俱進，在講解知識的同時，還要加強自身的學習。教師可以通過數(shù)學探究、數(shù)學建模、數(shù)學文化等教學手段提高學生的學習興趣。在內容上，多用些通俗易懂的語言或者經歷講解一些數(shù)學概念，不但要使得學生有興趣，更要使得學生能深入思考。同時，利用多媒體教學等輔助儀器，形象客觀的圖片或者動漫展示一些事物的細微變化過程，有助于學生對抽象事物的理解。高中數(shù)學新課標已將數(shù)學文化以不同的形式滲透在各模塊的教學內容中，在大學數(shù)學教學中不僅要使廣大學生認識到數(shù)學的科學價值，更要使得學生具有豐富的人文價值，讓學生真正體會到數(shù)學不僅是源于實際問題的需要，更具有深厚的人文價值與意義。從這個角度上講，數(shù)學文化的修養(yǎng)比純粹的數(shù)學技能的培養(yǎng)更能反映出人的價值。因此，在教學過程中，應當多渠道、全方位地滲透數(shù)學的人文價值，從而培養(yǎng)出具有豐富文化、科學精神的綜合型人才。

參考文獻：

[1]余立.教育銜接若干問題研究[M].上海：同濟大學出版社，2003.

篇5

決于對被積函數(shù)的分析，還需要通過多做習題來積累經驗，總結幾種常用的不定積分的求法，以幫助高職學生提高運算能力和分析問題的能力。

[關鍵詞]不定積分；方法；常用方法

中圖分類號：O1 文獻標識碼：A 文章編號：1009-914X（2014）17-0160-01

不定積分是高等數(shù)學中非常重要的部分，是計算如定積分、重積分、曲線積分的基礎，同時對微分方程的求解也有著重要的作用。但是不定積分是求導的逆運算，即求一個未知函數(shù)，使其導數(shù)恰好是某一已知函數(shù)。因此不定積分的求解方法靈活多變，無法遵循固定方法，只能因題而異，通過不同的習題，歸納求解技巧，總結經驗，探尋規(guī)律，開拓思路，提高計算能力和增強思維能力。 高職學生在學習這一部分時，一般都會感到困難，出錯率很高，為了更好的讓學生掌握不定積分的計算，提高解題速度和計算的正確性，現(xiàn)將求解不定積分的常見方法總結如下：

5 分部積分法：稱為分部積分公式

一般地，需要利用分部積分法計算的不定積分其被積函數(shù)是兩個函數(shù)的乘積，則確定兩個函數(shù)誰作為誰作為是利用分部積分公式的關鍵。

（1）若被積函數(shù)是冪函數(shù)（指數(shù)為正整數(shù)）與指數(shù)函數(shù)或正（余）弦函數(shù)的乘積，可設冪函數(shù)為，而將其余部分湊微分進入微分號，使得應用分部積分公式后，冪函數(shù)的冪次降低一次。

（2）若被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積，可設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為，而將冪函數(shù)湊微分進入微分號，使得應用分部積分公式后，對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)消失。

（3）若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正（余）弦函數(shù)的乘積，、可隨意選取，但在兩次分部積分中，必須選用同類型的，以便經過兩次分部積分后產生循環(huán)式，從而解出所求積分。

參考文獻

篇6

1、分部積分法是微積分學中的一類重要的、基本的計算積分的方法。它是由微分的乘法法則和微積分基本定理推導而來的。它的主要原理是將不易直接求結果的積分形式，轉化為等價的易求出結果的積分形式的。常用的分部積分的根據(jù)組成被積函數(shù)的基本函數(shù)類型，將分部積分的順序整理為口訣：“反對冪指三”。分別代指五類基本函數(shù)：反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的積分。

2、設函數(shù)和u，v具有連續(xù)導數(shù)，則d(uv)=udv+vdu。移項得到udv=d(uv)-vdu；一般來說，u,v選取的原則是：積分容易者選為v，求導簡單者選為u。例如：∫Inx dx中應設U=Inx，V=x。

（來源：文章屋網(wǎng) ）

篇7

1.1問題的分析

求解著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，通過分析知近月點和遠月位置可以用空間坐標來表示，于是通過直角三角形的相關性質、三角函數(shù)與反三角函數(shù)有關知識并借助計算器，最后即可求得近月點與遠月點相對著陸點的位置。求嫦娥三號相應的速度與大小，借鑒了參考文獻[1]，并結合自身的理解，且在基本假設中的假設2下，利用能量守恒，即可得嫦娥三號在近月點與遠月點的勢能與動能之和相等的一個表達式，再根據(jù)開普勒第二定律可知：在近月點與遠月點的速度之比為近月點與遠月點到月球球心的距離的反比，即可得第二個表達，最后聯(lián)立兩個表達式即可求出嫦娥三號在近月點與遠月點的速度。對于嫦娥三號的方向，根據(jù)物理學中物體做曲線運動的基本性質，得到速度方向是沿曲線上該點的切線方向。

1.2能量守恒模型的建立與求解

能量守恒模型的求解將月球的質量M為7.3477×1022kg，萬有引力常量G為6.672×10-11N.m2.kg-2，近月點距月球表面15km，遠月點距月球表面100km，月球的平均半徑為1737.013km，帶入（1.13）、（1.14）得到近月點與遠月點的速度分別如下：v1=1.704km/s，v2=1.625km/s嫦娥三號在近月點與遠月點的速度方向為：沿曲線上該點的切線方向。

2結果分析

在假設1的情況下，計算出近月點（C）在離著陸點（A）北偏東59.204°，距離為1758.933km處。遠月點（F）在離著陸點（A）南偏東24.331°，距離為3673.118km處。解決此題所運用的知識點為：直角三角形相關性質勾股定理、歐氏距離、三角函數(shù)中的正弦定理以及反三角函數(shù)。所涉及的工具為計算器。故知識點較簡單、理解容易且有較好的軟件支撐，則該問解出答案比較準確。在假設2的情況下，計算出嫦娥三號在近月點的速度v1=1.704km/s，遠月點的速度v2=1.625km/s，，附件1中所給嫦娥三號在近月點的相對速度為1.7km/s，所以本問的誤差為1.704-1.71.7=0.235%，可以看出誤差很小，故利用能量守恒的方法并結合開普勒第二定律解出嫦娥三號在近月點與遠月點的速度是可行的。由物理學中物體作曲線運動，物體的速度方向是沿曲線上該點的切線方向，故得出的嫦娥三號在近月點與遠月點的速度方向也是可行的。

3問題二

篇8

關鍵詞：三角函數(shù)線；單調性；誘導公式；象限符號

三角函數(shù)是高中數(shù)學的重要內容之一，它的定義和性質涉及的知識面較廣，并且有許多獨特的表現(xiàn)形式，因而作為高考考查基礎知識和基本技能方面的重要內容。即便是在新課改之后我們都使用了人教A版的新教材但是三角這塊的知識除了去掉了反三角函數(shù)、積化和差、和差化積、半角公式等，基本上保留大部分的內容，所以依然是高考的重點內容。綜觀近幾年的高考試題，一般為一道客觀題和一道解答題，分值約占整個試卷的10%左右，高考對本章的考查表現(xiàn)為：

1、客觀題的考點在于基礎知識：解析式、圖象及圖象變換、三角函數(shù)的性質以及簡單的三角變換（求值、化簡及比較大?。?。

2、計算或證明題的難度明顯降低，主要考查對基本知識的掌握程度以及基本技能、基本方法的運用。試題大都來源于課本中的例題、習題得變形，因此復習時應“立足于課本，著眼于提高”。

3、實際應用題將三角函數(shù)融入三角形中，既能考查解三角形的知識與方法，又能考查運用三角公式進行恒等變換的技能，近年來備受命題者的青睞。

在人教版老教材中高一下冊第四章4.8節(jié)三角函數(shù)單調性中有這樣一道例題。

例4 不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0：

其實判斷它們大于0還是小于0也就是比較它們的大小：

結合本節(jié)的教學目標：單調性，我們可以解決這一問題。而我們在日常教學工作中會發(fā)現(xiàn)這樣的三角函數(shù)值比較大小的題目還是多種多樣的且解法也是多種多樣的。

對此我結合對數(shù)，指數(shù)比較大小的分類方法：

① 同底不同真（同底不同指）利用單調性；

② 同真不同底（同指不同底）利用圖像關系；

③ 不同底不同真（不同底不同指）利用中間量。

將正弦余弦三角函數(shù)值比較大小這種題型進行了分類總結。一共分了4類：

① 同角不同三角函數(shù)名

② 同三角函數(shù)名不同角

③ 不同三角函數(shù)名不同角

④ 綜合應用。

以下簡記：同角不同名，同名不同角，不同名不同角，綜合。

按照不同的類型找到了相應的方法。以提高學生做題的速度和效率。

一、同名不同角

方法：利用三角函數(shù)線。

例如：比較大?。?/p>

圖中我們可以看到45°時正弦線MP=OM余弦線。

（1）可以明顯看出1弧度角的OM

（2）可以明顯看出190度角的OM的長度大于MP的長度，但是它們都是負的所以OM

點評：在使用三角函數(shù)線時要注意以下幾點：

1、當角?琢的終邊在y軸上時，余弦線變成一個點。

2、當角?琢的終邊在x軸上時，正弦線，正切線都變成了點。

3、三種有向線段必是OM,MP,AT起點在前終點在后。比較除了長度外還要考慮正負。

三角函數(shù)線的正負與坐標軸的正反方向一致。

4、三角函數(shù)線都是與單位圓有關的有向線段，所以作某角的三角函數(shù)線時，一定要先作單位圓。

5、在不使用量角器的條件下畫出非特殊角的三角函數(shù)線時可以利用，的三角函數(shù)線作為比較界線。

當然你會發(fā)現(xiàn)利用三角函數(shù)線也可以解決在同一象限內不同角同名的三角函數(shù)值比較大小的問題。

二、同名不同角

方法：利用單調性。

例如：比較大?。?/p>

點評：同角不同名的三角函數(shù)值比較大小利用單調性這一種方法要求學生熟練掌握正弦函數(shù)余弦函數(shù)，正切函數(shù)的單調區(qū)間及單調性。

當然同角不同名的三角函數(shù)值比較大小不只有利用單調性這一種方法。

像例（1）就是同一象限內的同名不同角的三角函數(shù)值比較大小可以使用三角函數(shù)線。

（2）可以通過象限符號判斷。

點評：像此類不同角不同名比較大小的題有時候考察的著重點不是比較大小而是三角函數(shù)象限符號問題。大家要熟記口訣：“第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限切為正，第四象限余弦為正?！焙営洠骸耙蝗胰兴挠嘞摇边@種題相對來說比較簡單。

當然大家也會發(fā)現(xiàn)這種方法不能解決所有的不同角不同名比較大小的問題。因為很多不同角不同名的三角函數(shù)值的符號是相同的。那么我就需要另外的方法了。

方法2：利用誘導公式化為同名，再同名不同角的方法來判斷。

例如比較大小：

當然在知道

的時候我們也可以利用三角函數(shù)線得到答案。

點評：像此類不同角不同名比較大小的題考察的著重點卻是六類誘導公式。大家要熟記簡記角琢的誘導公式的口訣：“奇變偶不變，符號看象限?！笨梢娫诖朔诸愔校梢酝ㄟ^誘導公式轉化為“同名不同角”這類。也可以說這一類已經開始體現(xiàn)知識的靈活與連貫了。例如：

此種類型是不同名不同角但是給出了大小關系而判斷角的關系。

同樣也可以根據(jù)誘導公式變?yōu)橥Y合單調性得。

前三種分類雖然是比較有章可循，但并不一定是唯一的方法也可能不是最簡單的方法。作這種分類目的是能夠在看到此題型可以在方法選擇上不浪費太多時間。當然如果知識掌握靈活，能夠想到最簡單的方法也是可以的。

按此這些類型分開按圖索驥很有效率，但是方法與方法之間也不是完全割裂分離得的，也有綜合使用的。

四、綜合

前面的三種方法會分開考察也會綜合考察。這就需要大家在熟練掌握的基礎上加以靈活應用了。這種題通常要具體問題具體分析了沒有什么特定的形式。下面僅以一例作解釋。

例如比較大?。?/p>

篇9

【摘要】 不定積分的求解一直是高等數(shù)學的重點，但由于其方法的靈活性以及結果的不確定性，又一直是高等數(shù)學的難點。針對不定積分求解方法的核心思想——“湊微分”，就其技巧、步驟的形式化方面做了相關分析和總結，并給出了一系列行之有效的“湊微分”的形式化步驟和技巧。

【關鍵詞】 不定積分; 湊微分; 換元積分法; 分部積分法; 醫(yī)用高等數(shù)學

微積分是醫(yī)用高等數(shù)學的基本和主要內容，在數(shù)學甚至是自然科學的發(fā)展階段中有著不可磨滅的貢獻，正如恩格斯所說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那就正是在這里”[1]。不定積分是微積分中的重要一章，是解決反問題的重要方法，在科學、技術和經濟等許多領域中有著重要的應用。不定積分掌握程度的好壞直接決定著對后面定積分、多元函數(shù)微積分以及微分方程等章節(jié)內容的掌握，亦對后續(xù)課程的學習有很大的影響。由于不定積分方法的靈活性和結果的不確定性，同學們在學習時往往顯得無從下手，下面結合自己在講授不定積分時的經驗，關于不定積分求解方法的學習提幾點建議。

作者在教學之余，曾關于不定積分的求解方法總結過一句口訣“原函數(shù)，結牛萊，湊微代換分部微元來，定于不定都交代”[2]。不定積分的常規(guī)求解方法主要包括直接積分法、換元積分法和分部積分法，而經常使用的主要是換元積分法和分部積分法，其核心即——“湊微分”。

1 換元積分法中的“湊微分”

換元積分法中的“湊微分”主要體現(xiàn)在第一類換元積分法中，其基本原理是：當〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗 不容易直接求出時，則將其轉化成〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗 ，然后令φ′(x)dx=dφ(x)=du (取φ(x)=u ) ，即〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]dφ(x)〖JF)〗=〖JF(Z〗f(u)du〖JF)〗 。其中的關鍵是第一步：將g(x) 拆分成f[φ(x)]φ′(x) ，這正是“湊微分”的核心。由于“湊微分”方法靈活多樣，單單依靠幾個常見的湊微分公式并不能給同學們足夠的啟示，在講解過程中我們將方法歸結為“一拆、二靠、三轉化”三步走，并且結合常見的不定積分公式求解，這樣同學們掌握起來就比較容易了。

1.1 “拆”

遇到一個不定積分題目，首先看其能否直接拆分成若干個函數(shù)的乘積，若能，則挨個觀察拆分成的函數(shù)能否湊微分，找出合適的進行湊微分求解。如：求解不定積分 〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗分析：觀察到被積函數(shù)cosx2x 可以拆分成兩個函數(shù)的乘積：cosx·12x ，并且12x 可以進行湊微分從而變成dx 。解：〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosx·12xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdx〖JF)〗=sinx+C。

1.2 “靠”

若一個不定積分不能直接拆分成若干個函數(shù)的乘積或可以拆分成若干個函數(shù)的乘積但是難以進行湊微分計算，則先觀察它是否與某一個不定積分基本公式形式上接近，若接近，就以此不定積分基本公式為目標去靠近從而求解。如：求解不定積分 〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗分析：通過觀察此不定積分不能直接進行拆分，但其與不定積分基本公式〖JF(Z〗11+u2du〖JF)〗=arctanu+C 形式上接近，因此我們可以以此為目標去靠近。解：〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗=1a2〖JF(Z〗11+(xa)2dx〖JF)〗=1a〖JF(Z〗1adx1+(xa)2〖JF)〗=1a〖JF(Z〗d(1ax)1+(xa)2〖JF)〗=1aarctanxa+C。

1.3 轉化

若一個不定積分既不能直接拆分成若干個函數(shù)的乘積或可以拆分成若干個函數(shù)的乘積但是難以進行湊微分計算，又不與任何一個不定積分基本公式形式上接近，則可以先利用恒等變形等方法進行轉化，再根據(jù)轉化的形式進行相應求解。如：求解不定積分 〖JF(Z〗1a2-x2dx〖JF)〗分析：此不定積分既不能直接拆分成若干個函數(shù)的乘積或可以拆分成若干個函數(shù)的乘積但是難以進行湊微分計算，又不與任何一個不定積分基本公式形式上接近。通過觀察被積函數(shù)1a2-x2 可以用拆分成1a-x·1a+x ，從而逆用通分公式變成12a(1a-x+1a+x) 進行求解。解：〖JF(Z〗1a2-x2dx〖JF)〗=〖JF(Z〗1(a+x)(a-x)dx〖JF)〗=12a〖JF(Z〗(1a+x+1a-x) dx〖JF)〗=12a[〖JF(Z〗1a+xdx〖JF)〗+〖JF(Z〗1a-x) dx〖JF)〗]=12a[〖JF(Z〗1a+xd(a+x)〖JF)〗-〖JF(Z〗1a-x) d(a-x)〖JF)〗]=12a(ln|a+x|-ln|a-x|)+C=12alna+xa-x)+C。

2 分部積分法中的“湊微分”

分部積分法主要適用于被積函數(shù)是兩個函數(shù)乘積形式(主要是反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)五類基本初等函數(shù)形式的乘積)的不定積分，主體內容可以概括為“一套公式、兩個步驟、三種類型”：一套分部積分公式即：〖JF(Z〗u(x)dv(x)〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)du(x)〖JF)〗等價于 〖JF(Z〗u(x)v′(x)dx〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)u′(x)dx〖JF)〗兩個基本步驟即：① 配微分，即將〖JF(Z〗f(x)dx〖JF)〗 變形為 〖JF(Z〗udv〖JF)〗 ;② 代入分部積分公式求解、化簡(可以重復使用)。

三種解題類型即：① 配微分后直接套公式計算、化簡;② 使用兩次分部積分公式后移項解方程;③ 直接積分法、換元積分法和分部積分法結合運用。

分部積分法的關鍵是步驟①中的配微分，即將f(x) 拆分成uv′。u與v′選擇不當會使題目求解越陷越繁瑣，例如求解不定積分〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗 ：解法1：選擇u=cosx ，v′=x

〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗=12〖JF(Z〗cosxdx2〖JF)〗=12x2cosx+12〖JF(Z〗x2sinxdx〖JF)〗　=12x2cosx+16〖JF(Z〗sinxdx3〖JF)〗=12x2cosx+16x3sinx-16〖JF(Z〗x3d sinx〖JF)〗=12x2cosx+16x3sinx-16〖JF(Z〗x3cosxdx〖JF)〗= (陷入無限循環(huán)中)。解法2：選擇u=x ，v′=cosx〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗xd sinx〖JF)〗=xsinx- 〖JF(Z〗sinxdx〖JF)〗=xsinx-(-cosx)+C=xsinx+cosx+C(求解簡單明了)。對于u 與v′的選擇，我們有以下兩個原則:① u 、v′選擇要得當，使 v容易求出。② 〖JF(Z〗vdu〖JF)〗要比原積分 〖JF(Z〗udv〖JF)〗 容易求解。遵循上面的兩個原則，在教學實際中我們總結出一個比較實用的方法：對拆分成乘積的兩個函數(shù)求導數(shù)，若函數(shù)類型發(fā)生變化則做u，沒有發(fā)生變化則做v′，全部沒有發(fā)生變化則任選其一做u 即可。

如：求解不定積分 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗分析：指數(shù)函數(shù)ex 與三角函數(shù)cosx 求導數(shù)后仍然為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)，函數(shù)類型都沒有發(fā)生變化，則任選其一做u 即可。解1：〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗exd sinx〖JF)〗=exsinx-〖JF(Z〗sinxdex〖JF)〗=exsinx-〖JF(Z〗sinx exdx〖JF)〗=exsinx+〖JF(Z〗exd cosx〖JF)〗=exsinx+excosx-〖JF(Z〗cosxdex〖JF)〗=exsinx+excosx-〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗移項整理得 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=12ex(sinx+cosx)+C。解2： 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdex〖JF)〗=excosx-〖JF(Z〗exd cosx〖JF)〗=excosx+〖JF(Z〗exsinxdx〖JF)〗=excosx+〖JF(Z〗sinxdex〖JF)〗=excosx+exsinx-〖JF(Z〗exd sinx〖JF)〗=excosx+exsinx-〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗移項整理得 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=12ex(cosx+sinx)+C。另外，針對某些被積函數(shù)只有一個的情況，可以看成其與常數(shù)的乘積。如：求解不定積分 〖JF(Z〗arctanxdx〖JF)〗分析: 被積函數(shù)arctanx 可以看成arctanx·1 ，arctanx 求導得11+x2 ，類型由反三角函數(shù)形式變成冪函數(shù)形式，而1求導得0，仍為冪函數(shù)形式不變，因此取u=arctanx ，v′=1 即v=x 。解：〖JF(Z〗arctanxdx〖JF)〗=xarccosx-〖JF(Z〗xd arccosx〖JF)〗= xarccosx+〖JF(Z〗x11-x2 dx〖JF)〗

=xarccosx+12〖JF(Z〗x11-x2 dx2〖JF)〗=xarccosx-12〖JF(Z〗x11-x2 d(1-x2)〖JF)〗xarccosx-1-x2+C。此方法對于“配微分”的選擇來說是比較實用的，并且可以培養(yǎng)同學們的發(fā)散思維，但在一定方面亦有其局限性，對于某些題目，容易使同學們產生“歧途亡羊”之感。

如：求解不定積分 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗分析: 被積函數(shù)x2 求導得2x ，cosx 求導得-sinx ，類型仍是冪函數(shù)和三角函數(shù)形式，因此應該任取一個做u 即可，但通過下面的求解發(fā)現(xiàn)并不是如此。解法1：〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗=13〖JF(Z〗cosx dx3〖JF)〗=13x3cosx-13〖JF(Z〗x3d cosx〖JF)〗=13x3cosx+13〖JF(Z〗x3sinxdx〖JF)〗=13x3cosx+112〖JF(Z〗sinxdx4〖JF)〗=13x3cosx+112x4sinx-112〖JF(Z〗x4d sinx〖JF)〗=13x3cosx+112x4sinx-112〖JF(Z〗x4cosxdx〖JF)〗=… (陷入無限循環(huán))。解法2： 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗=〖JF(Z〗x2d sinx〖JF)〗=x2sinx-〖JF(Z〗sinx dx2〖JF)〗=x2sinx-2〖JF(Z〗xsinx dx〖JF)〗=x2sinx+2〖JF(Z〗xd cosx〖JF)〗=x2sinx+2xcosx-2〖JF(Z〗cosx dx〖JF)〗=x2sinx+2xcosx-2sinx+C (求解簡單明了)。為解決此缺陷，我們再給出一個選擇u 及v′ 的簡便方法(此法在《高等數(shù)學》[3]中亦有相應體現(xiàn))：把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積，按“反對冪指三(反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù))”的順序，前者為u ，后者為v′ 。

如：求解不定積分 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗分析：被積函數(shù)x2cosx 可以看成冪函數(shù)x2 與三角函數(shù)cosx 的乘積，按照“反對冪指三”順序取u=x2 ，v′=cosx (具體求解過程即上例解法2)。其實，兩種方法各有利弊，第一種方法拓展了學生的發(fā)散思維，但對于某些問題不能廣泛使用，第二種方法雖然簡潔、應用廣泛，但是又限制了同學們發(fā)散思維的培養(yǎng)，因此我們在教學過程中應該相互結合，互為補充，這樣才能既有效解決問題，又培養(yǎng)了學生們的思維能力。

通過上面的方法，我們幾乎可以將不定積分的基本求解形式化的確定下來，在一定程度上減輕了同學們的學習壓力。但是，對于不定積分求解步驟、方法形式化的討論，并不是要把高等數(shù)學裝扮得冰冷且美麗著，而是要在掌握形式化技巧的基礎上深度挖掘“冰冷的美麗”[4]后面“火熱的思考”[4]，從而達到“淡化形式，注重實質”[5]的目的，真正的使同學們“透過形式主義的美麗，真正領會到微積分的無窮魅力”[4]。

【參考文獻】

1 張順燕.數(shù)學的思想、方法和應用.北京大學出版社，2002.

2 范應元，安洪慶，孔雨佳.醫(yī)用高等數(shù)學教學中人文推動的模糊綜合評價.數(shù)理醫(yī)藥學雜志，2008，21(6)：760～761.

3 同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學.第5版.高等教育出版社，2002.

4 張奠宙.微積分教學：從冰冷的美麗到火熱的思考.大學數(shù)學課程報告論壇論文集，2005.

篇10

從實際出發(fā)，探討在醫(yī)學類專業(yè)《醫(yī)用高等數(shù)學》教學中實行分層教學的必要性與可行性。

【關鍵詞】 醫(yī)用高等數(shù)學； 教學效率； 分層教學

《醫(yī)用高等數(shù)學》是一門醫(yī)學類專業(yè)的基礎課程，隨著生命科學與醫(yī)學科學數(shù)量化進程的加快，數(shù)學在高等醫(yī)學教育中的地位和作用顯得愈來愈重要。在面向21世紀高等醫(yī)學人才的培養(yǎng)目標中，應當使未來的醫(yī)學人才具有應用數(shù)學分析的頭腦去研究醫(yī)學理論和臨床實踐的能力。許多教育者正在不斷探索、嘗試各種途徑，以提高《醫(yī)用高等數(shù)學》教學效率。筆者認為實行分層教學對于提高《醫(yī)用高等數(shù)學》教學效率是一種必要、可行的方法。

分層教學就是教師在學生知識基礎、智力因素和非智力因素存在明顯差異的情況下，有區(qū)別地設計教學環(huán)節(jié)和進行教學，遵循因材施教的原則，有針對性的實施對不同類別學生的學習指導，從而使每個學生都能在原有基礎上得到發(fā)展，從而達到總體教學目標。分層教學有多種形式，主要有兩種：一是針對不同專業(yè)特點，后續(xù)課程的要求進行分層教學，在課時計劃、教學大綱、教學內容上進行區(qū)別，如藥學專業(yè)開設課時是一般醫(yī)學類專業(yè)的兩倍，內容也是增加了許多，包括了微積分的基本內容、級數(shù)、微分方程的基本解法等；二是針對同一專業(yè)、同一要求，根據(jù)學生基礎的差別進行教學。對于第一種我國的高?；旧献龅搅?，根據(jù)專業(yè)特點進行分層教學，但對于第二種尚處于起步時期，探索階段。下面就醫(yī)學類專業(yè)《醫(yī)用高等數(shù)學》中進行第二種分層教學的必要性與可行性談談自已的看法。

1 實行分層教學的必要性

1.1 從教育時代特色上有必要

為實現(xiàn)“科教興國”的戰(zhàn)略目標和可持續(xù)發(fā)展的跨世紀的宏偉計劃，在本世紀初我國青年接受高等教育的比例逐年大幅度提高，到2005年中國高等教育毛入學率達19%，我國已進入國際上公認的高等教育大眾化階段，有些大城市已從精英教育轉向大眾化的普及教育。高校招生規(guī)模的不斷擴大，使新生入學基礎的差別相對增大。按傳統(tǒng)的教學體系和教學方法進行教學所產生的問題和矛盾將更加突出，高等教育形勢的這一變化必然對《醫(yī)用高等數(shù)學》教育提出新的按不同層次進行教學的要求。

醫(yī)學類專業(yè)中有多個專業(yè)是文理兼招，如預防專業(yè)、臨床專業(yè)、婦幼專業(yè)等，這些專業(yè)是必須開設高等數(shù)學的。我國教育部頒布的高中數(shù)學教學大綱對高中文科、理科中學數(shù)學有些區(qū)別，對某些知識點要求不一樣，如反三角函數(shù)這一知識點文科生不作要求、理科生必須掌握的內容，在高考指揮棒下，有些學校為提高升學率對于文科生反三角函數(shù)不進行教學。但反三角函數(shù)是基本函數(shù)之一，是《醫(yī)用高等數(shù)學》中必須涉及的內容，這樣如不進行分層教學勢必對某些學生是一種重復學習，對文科生來說是一種全新的知識，因此分層教學是必須的。

2 實行分層教學的可行性

分層教學的理論基礎是“掌握學習”理論，美國教育家、心理學家布盧姆(B．S．Bloom)認為：“只要在提供恰當?shù)牟牧虾瓦M行教學的同時，給每個學生提供適度的幫助和充分的時問，幾乎所有的學生都能完成學習任務或達到規(guī)定的學習目標?！蓖粚I(yè)實行分層教學，應遵循“掌握學習”原則：作為同一專業(yè)的課程，分層教學并不是降低對學生要求的教學，而是教學要求相同，即學生對知識的掌握程度要求是相同，只是教師根據(jù)學生的實際發(fā)展水平、學習方式和個性特點，在教學環(huán)節(jié)的組織上、課時的分配上進行調整的教學方式。

對于文、理兼招的醫(yī)學專業(yè)，一般可以分成A、B兩組。A組對象主要為原理科生，B組對象主要為原文科生（當然這樣的分層要充分征求學生的意見，有可能原學文科的會自愿到A組，而原理科的自愿到B組）?，F(xiàn)行教材是可行，編者們在編教材時，都是“寬編窄用”，兼顧了文、理科學生，教師在教學內容選擇上有很大的自主性。經過幾年的發(fā)展師資上較前幾年有了很大的提高，原來的本科生教本科生基本都不存在，教師的學歷與實際教學經驗都得到了提高，教師完全的能力勝任這樣的教學改革。

參考文獻

1 湯自凱.醫(yī)用高等數(shù)學教學方法體會.湖南醫(yī)學高等?？茖W校學報，2001，(4)：44～45．